DEME FERENC okl. ptmrnk, mrnktanr

STATIKA 1.

web-lap : www.hild.gyor.hu e-mail : deme.ferenc1@gmail.com

STATIKAI ALAPISMERETEK

A STATIKA HELYE A MSZAKI SZAKKPZSBEN A mszaki szakkpzs minden szintjn, gy a technikus kpzsben is, az egyik legnagyobb jelentsg tudomny a MECHANIKA. A mechanika a fizika rsze s egy nagyon szleskr tudomny. A mszaki mechanikt mdszerei szerint tovbbi tudomnyterletekre oszthatjuk. Ezek kzl az egyik a STATIKA. A statika tovbb oszthat kt terletre: 1. MEREV TESTEK STATIKJA (Statika) Merev testen olyan kpzelt testet rtnk, amely alakjt s mreteit semmifle kls behatsra nem vltoztatja meg. Ilyen test a valsgban nincs. De ha a szilrd testeket j kzeltssel merev testeknek tekintjk, a trvnyszersgeket lnyegesen egyszerbben, knnyebben tudjuk trgyalni. 2. SZILRD TESTEK STATIKJA (Szilrdsgtan) Terhels vagy egyb fizikai jelleg hatsok (pl. hmrskletvltozs) kvetkeztben minden test s anyag megvltoztatja az alakjt, mrett. Az alakvltozsra kpes testeket szilrd testeknek nevezzk. A felosztst tovbb is vgezhetnnk, de mi a tanulmnyainkban csak a statikval s az elemi szilrdsgtannal fogunk foglalkozni.

AZ ER

A statika leggyakrabban hasznlt fogalma az er. Az er a mindennapi letben is gyakran hasznlt fogalom. Ha meggrbtnk egy radrgumit, vagy felemelnk, elmozdtunk testeket, izmaink tjn az er rzete alakul ki bennnk. Hasonlkppen erkifejtsrl beszlnk akkor is, ha a mozgsban lev testet meglltjuk, vagy a mozgsi plyrl eltrtjk. Ezeket a tapasztalsokat fogalmazzuk meg ltalnossgban az er fogalmban, majd megismerkednk az er tulajdonsgaival. AZ ER FOGALMA Az er egy olyan hats, amely vagy a testek mozgsllapott, vagy az alakjt megvltoztatja. AZ ER JELLEMZI

- Nagysg A nagysgot egy szmjeggyel s mrtkegysggel adjuk meg. Az er mrtkegysge a Newton (ejtsd: Nyton) melyet egy nagy N betvel jellnk. Az 1 N az az er, amely 1 kg tmeg testet 1 m/sec2 re gyorst fel.

[Az angol NEWTON (1643-1727) a mechanika egyik legnagyobb tudsa volt.]

Az 1979. v eltti szakirodalomban tallkozunk a kp (kilopond) megjellssel. 1 kp az az er, mely 1 kg tmeget g-vel gyorst fel. A g a Fld vonzsbl kvetkez gyorsuls, melynek az rtke g = 9,81 m/sec. Teht 1 kp egyenl 1 kg tmeg slyval. A kt rendszer kztt az tszmts: 1 kp 9,81 N, kerektve 1 kp = 10 N. Szmtsainkban gyakran hasznljuk az 1 N ezerszerest a kilonewtont, teht ekkor az tszmts: 1 kN = 1000 N . -Hatsvonal Az az egyenes, amely mentn az er a hatst kifejti. Ennek az egyenesnek a helyzett az er llsnak is nevezik. gy egy hatsvonal lehet vzszintes, fggleges vagy ferde.

- Irny A hatsvonalon kt haladsi irny jellhet ki. Pldul a fggleges vonalon lehetsges a felfel s a lefel mutat irny, illetve rtelem. Ezrt az er egyrtelm megadshoz az irny, illetve rtelem is szksges.

- Tmadspont Ha egy er egy testre hat, akkor azt a pontot, ahol a hatst kifejti a testre, tmadspontnak nevezzk.

ERRENDSZEREK

Tbb erbl ll ercsoportot errendszernek neveznk. - TRBEN MEGOSZL ERRENDSZER ..( mrtkegysg: N/m3 ) - FELLETEN MEGOSZL ERRENDSZER ( mrtkegysg: N/m2 ) - VONAL MENTN MEGOSZL ERRENDSZER ..( mrtkegysg: N/m ) - KONCENTRL ERKBL LL ERRENDSZER .( mrtkegysg: N )

Feladatainkban az erk egy skban mkdnek, ezrt mi csak skbeli erkkel foglalkozunk. EGYENSLY Ha az errendszer hatsra egy test nyugalomban marad, akkor az errendszer egyenslyban van. ERED Ha az errendszer hatsra egy test nincs nyugalomban, akkor az errendszernek eredje van.

AZ ER JELLSE

KONCENTRLT ER A koncentrlt er rajzi jele egy nyl, melyet valamelyik nagy betvel megneveznk. Az angol Force = er sz utn ltalban az F bett hasznljk. A nv utn meg kell adni a nagysgot szmjeggyel s mrtkegysggel. Pldul gy: F = 50 kN. Ha egy feladatban tbb er szerepel s mindet F betvel neveztnk el, akkor als indexbe rt sorszmokkal tesznk klnbsget. Pldul hrom er esetben gy: F1 = 25 kN, F2 = 35 kN, F3 = 40 kN. A feladatokban egyrtelmen meg kell adni az er helyt, ami a hatsvonal egy pontjnak a helye, s ezen kvl a hatsvonal llsnak hajlsszgt. Ez egy mretekkel rendelkez koordintarendszerben trtnik, illetve tartk esetben a bekottzott statikai modellen. Ezt a rajzot NZETRAJZ nak hvjuk.

NZETRAJZ M = 1 : 100

A matematika az olyan fizikai mennyisgek jellemzsre vezette be a vektor fogalmt, amelyeknek nagysgukon kvl irnyuk s rtelmk is van. Ezek szerint az er vektormennyisg. Az er vektort a vektorbrban brzoljuk egy olyan szakasszal, melynek a hossza arnyos az er nagysgval.

VEKTORBRA 1 cm (=) 10 kN (Mivel a hosszsg nem lehet egyenl az ervel, ilyenkor azt mondjuk, hogy 1 cm-nek megfelel 10 kN.) VONAL MENTN MEGOSZL ER ( Csak az egyenletesen megoszl ervel foglalkozunk.) NZETRAJZ M = 1 : 100 A vonal mentn megoszl er betjele ltalban q de lehet brmelyik kisbet is (g, p). Nagysga a vonal (tart) 1 m-es hosszra jut fajlagos er (pl. kN/m).

3 m

2 m

0 x

y

= 300

F = 50 kN

A vektor kezdpontja

A vektor vgpontja

F

A vektor prhuzamos a nzetrajzi hatsvonallal s 5 cm hossz.

l1 = 7 m l2 = 5 m

q1 = 30 kN/m

q2 = 60 kN/m

Q 1 Q 2

Ahogy a rajzon lthat, a megoszl er jele az er nagysgval arnyos magassg tglalap. A szaggatott hatsvonal nyilak a megoszl erket helyettest kpzeletbeli erk.

TART

A feladatokban a megoszl erket t kell alaktani kpzeletbeli, helyettest koncentrlt erv (Q). Ennek a nagysgt gy szmtjuk ki, hogy annak a tartszakasznak a hosszt, amin a megoszl er hat, megszorozzuk a megoszl er nagysgval (Q = q l). Mivel a nzetrajzi tglalap magassga megfelel az er nagysgnak (azzal arnyos), ez a szorzat a tglalap terlete. A helyettest er a tglalap slypontjban mkdik, ezt jellik ki az tlk metszspontjai. A fenti plda esetben ez gy alakul:

Q1 = q1 l1 = 30 7 = 210 kN Q2 = q2 l2 = 60 5 = 300 kN

AZ ER VETLETEI A vetleteket szoktk mg sszetevknek vagy komponenseknek is nevezni.

A vetletek meghatrozshoz a NZETRAJZ szolgltat adatokat. Nzzk a korbban mr hasznlt pldt. NZETRAJZ M = 1 : 100 Korbban mr volt sz az er vektornak a meghatrozsrl. Most kpzeljk azt, hogy a vektor drtbl van, s ezt a drt vektort helyezzk bele a koordinta rendszerbe. Elszr vettsk a drtvektort az x tengelyre merleges fnysugar lmpval. Ennek eredmnyeknt az x tengelyen megszletik a drtvektor rnyka, szakszeren mondva az

x irny vetlete (Fx). Majd vettsk a drtvektort az y tengelyre merleges fnysugar lmpval. Ennek eredmnyeknt az y tengelyen megszletik a drtvektor rnyka, szakszeren mondva az

y irny vetlete (Fy).

3 m

2 m

0 x

y

= 300

F = 50 kN

Lssuk, hogy hogyan nz ez ki a rajzban: Teht az F vektor alatti derkszg hromszgnek a vzszintes befogja egyenl hossz az Fx vektorral (a vzszintes rnykkal), a fggleges befogja pedig egyenl az Fy vektorral (a fggleges rnykkal). Ezrt a hromszg oldalai helyre betehetjk a vetleteket (Fx et s Fy t). Ekkor a kvetkez derkszg hromszg keletkezik, melynek a neve vektorhromszg: Praktikus a vetleteket visszarajzolni a nzetrajzba! Ezzel kapcsolatban tudni kell, hogy egy er brmely pontjban felbonthat vetleteire. Termszetesen olyan pontjban trtnik mindig a felbonts, amelyik pontnak mretekkel meg van adva a helye.

0 x

y

Fx

Fy F

F

FY

Fx

Idzzk fel a derkszg hromszgre vonatkoz trigonometrikus sszefggseket: szinusz = szggel szemkzti befog / tfog, teht sin = Fy / F ebbl az Fy = sin F , behelyettestve az adatokat:

Fy = sin 300 50 = 0,5 50 = 25 kN

koszinusz = szg melletti befog / tfog, teht cos = Fx / F ebbl az Fx = cos F, behelyettestve az adatokat:

Fx = cos 300 50 = 0,866 50 = 43,3 kN

NZETRAJZ M = 1 : 100

AZ ER NYOMATKA ( FORGATNYOMATK)

Az er valamely pontra vonatkoz nyomatkn az M = F k szorzatot rtjk, ahol F az er nagysga, k az er hatsvonalnak a pontbl mrt tvolsga. A nyomatk mrtkegysge: er szorozva hosszsggal, teht: Nm, kNm, stb. A nyomatk eljeles mennyisg. Pozitvnak (+) nevezzk, ha a pont krli forgatsi rtelme megegyezik az ramutat jrsval. Ellenkez esetben negatv (-) az eljele. Tbb er egy pontra vonatkoz nyomatksszegt gy szmtjuk ki, hogy a kln-kln forgat egyes erk ELJELES nyomatkait ELJELHELYESEN SSZEADJUK. Ezt a mondatot a matematika jelrendszerben a kvetkez forma (kplet) fejezi ki:

M = Mi A kplet tagjainak jelentse:

M : Az sszes ernek a kivlasztott pontra felrt nyomatka

: Ez a jel a SZUMMA. Azt jelenti, hogy ami utna van az egy sszegzett adat. (A htkznapi nyelvben is szoktuk ezt hasznlni amikor pldul egy hosszabb beszd vgn tmren sszegezni szeretnnk a mondanivalnkat s azt mondjuk, hogy szumma szummrum.)

3 m

2 m

0 x

y

= 300

F = 50 kN Fy

Fx

F

k

Forgspont (Az a pont, amire a

nyomatkot felrjuk.)

Megjegyzs:

Egy pontnak egy egyenestl mrt tvolsga, a pontbl az egyenesre bocstott merleges szakasz hossza.

M = F k

Mi : Teht ez az az sszeg, amire a szumma vonatkozik, most az egyes erk eljelhelyes nyomatksszege a kivlasztott pontra.

[A kplet kimondva gy hangzik: em egyenl szumma em i.] Ha a fenti kpletet nem ltalnos esetben hasznljuk, hanem egy konkrt, megnevezett pontra felrt nyomatk kiszmtsakor, akkor az M betk jobb fels sarkhoz oda szoktuk rni a pont bet jelt is. Ez nem bonyoltja a kpletet, csupn tbb informcit nyjt (elrulja, hogy melyik pontra vonatkozik a nyomatk). Teht ha pldul a koordintarendszer kezdpontjra, az origra (jele: O) rjuk fel az erk nyomatkait, akkor gy jelenne meg az O bet a kpletben:

MO = MiO

(Ezt a kpletet szavakkal gy mondannk: em az O pontra egyenl szumma em i az O pontra.

A tartalma pedig azt jelenti, hogy: a nyomatksszeg az origra egyenl az sszes er origra felrt nyomatkainak eljelhelyes sszegvel.)

NZZNK NHNY PLDT: Kiszmtand az F er nyomatka az O pontra! MO = ?

Az F er az O pontot megegyez rtelemben forgatja az ramutat jrsval, teht a nyomatk eljele POZITV.

MO= + k F = = + 5 160 = = + 800 kNm

Az F er az O pontot ellenkez rtelemben forgatja az ramutat jrsval, teht a nyomatk eljele NEGATV.

MO= - k F = = - 6 210 = = - 1260 kNm

Az F er az O pontot megegyez rtelemben forgatja az ramutat jrsval, teht a nyomatk eljele POZITV.

MO= + k F = = + 5 90 = = + 450 kNm

Az F er az O pontot ellenkez rtelemben forgatja az ramutat jrsval, teht a nyomatk eljele NEGATV.

MO= - k F = = - 5 45 = = - 225 kNm

O X

Y k=5 m

F = 160 kN

x

Y

O

F = 210 kN

k = 6 m

X O

Y

5 m F = 90 kN O X

Y

5 m F = 45 kN

A STATIKA ALAPTTELEI (AXIMK)

A mechanikt, ezen bell a statikt bizonyos tapasztalati alapttelekbl, aximkbl vezetjk le. A merev testek statikja ngy alapttelre (aximra) pl. ELS ALAPTTEL Kt er akkor s csakis akkor van egyenslyban, ha hatsvonaluk kzs, irnyuk (rtelmk) ellenkez s nagysguk egyenl. MSODIK ALAPTTEL Hrom er akkor s csakis akkor van egyenslyban, ha hatsvonalaik kzs pontban metszik egymst s vektoraikbl nylfolytonossggal zrt hromszg szerkeszthet. HARMADIK ALAPTTEL Egy errendszer llapota nem vltozik, ha ahhoz egyenslyban lev erket adunk, vagy egyenslyban lev erket vesznk el belle. NEGYEDIK ALAPTTEL Kt merev test ltal egymsra kifejtett erk mindig pronknt fordulnak el, prjval egy egyenesbe esnek, ellenttes rtelmek s egyenl nagysgak.

F1 F2 F1

F2 F1 = F2

F1

F2 F3

F1

F2

F3

AZ ERED ER MEGHATROZSA Egy errendszer ered erejnek azt az ert nevezzk, amely egyedl kpes az errendszert minden hatsban helyettesteni. Az ered er jele az R bet. Ez a jel az ered latin nevnek, a Resultans sznak a kezdbetjbl szrmazik. Mivel az ered er minden hatsban helyettesti azt az errendszert, aminek az eredje, az ered er vzszintes vetlete (sszetevje) [Rx] egyenl az errendszerben lev sszes er vzszintes sszetevjnek [Fix] eljelhelyes sszegvel. Ezt fejezi ki a kvetkez kplet:

Rx = Fix Termszetesen ez igaz az ered er fggleges vetletre [Ry] s az errendszer erinek fggleges sszetevire [Fiy] is. Ezt fejezi ki a kvetkez kplet:

Ry = Fiy A kt vetlet ismeretben, a vetletek sszegzse szolgltatja az ered ert. Ez az sszegzs trtnhet szmtsos vagy szerkesztses mdszerrel. Ha teht az ered minden hatsban helyettesti az errendszert, akkor ez a nyomatk vonatkozsban is igaz. Teht az ered nyomatka [MR] a sk brmely pontjra egyenl az errendszer erinek ugyanarra a pontra felrt nyomatkainak [Mi] eljelhelyes sszegvel. Ezt fejezi ki a kvetkez kplet:

MR = Mi Ebbl az sszefggsbl tudjuk kiszmtani az ered helyt.

F1

F2

F1 = F2 Merev testek

Hatrozzuk meg az albbi feladatokban az ered ert!

A meghatrozs itt nem csupn az er tanult jellemzinek a meghatrozsra vonatkozik, hanem az ered er helyre is!

O

Y

X

2 m 4 m

F1 = 25 kN F2 = 80 kN

Rx = FiX = 0 kN Mivel a fggleges erknek nincs vetletk (rnykuk) a vzszintes X tengelyen, az ered ernek sincs.

RY = FiY = + F1 + F2 = + 25 + 80 = + 105 kN (Az y tengelyen lefel mutat a + irny!) Mivel az erednek csak fggleges vetlete van, ez lesz az ered:

R = Ry = + 105 kN A + eljel azt jelenti, hogy lefel mutat.

Az ered helyt a nyomatki egyenlet szolgltatja: MRO = Mi

O

Arra a pontra kell felrni a nyomatkokat, amitl keressk az eredt.

Most az origra, O ra. Teht az ered origtl mrt tvolsgnak a jele: xR R xR = F1 2 + F2 6 behelyettestve: 105 xR = 25 2 + 80 6 = 530, ebbl

xR = 530 : 105 = 5,047 m

xR = 5,047 m

R = 105 kN

A feladat albbi megoldsa ltalnos mdszert mutat, teht a mdszer nem fgg attl, hogy az errendszerben hny darab er van.

3 m 6 m

O

Y

X

F1 = 800 kN F2 = 800 kN

R = 1600 kN

xR = 6 m

3 m 3 m

Rx = FiX = 0 kN Mivel a fggleges erknek nincs vetletk (rnykuk) a vzszintes X tengelyen, az ered ernek sincs.

RY = FiY = + F1 + F2 = + 800 + 800 = + 1600 kN (Az y tengelyen lefel mutat a + irny!) Mivel az erednek csak fggleges vetlete van, ez lesz az ered:

R = Ry = + 1600 kN A + eljel azt jelenti, hogy lefel mutat.

Az ered helyt a nyomatki egyenlet szolgltatja: MRO = Mi

O

Arra a pontra kell felrni a nyomatkokat, amitl keressk az eredt.

Most az origra, O ra. Teht az ered origtl mrt tvolsgnak a jele: xR R xR = F1 3 + F2 9 behelyettestve: 1600 xR = 800 3 + 800 9 = 9600, ebbl

xR = 9600 : 1600 = 6,0 m Teht ltalnossgban megllapthatjuk, hogy : Kett prhuzamos hatsvonal, egy irnyba mutat, egyenl nagysg er esetben az

ered er hatsvonal prhuzamos az erkkel, irnya megegyezik az erk irnyval, nagysga a kt er nagysgnak az sszege, helye pedig a kt er tvolsgnak a felben van.

O X

Y

4 m 8 m

F1 = 50 kN

F2 = 50 kN

Rx = FiX = 0 kN Mivel a fggleges erknek nincs vetletk (rnykuk) a vzszintes X tengelyen, az ered ernek sincs.

RY = FiY = - F1 + F2 = - 50 + 50 = 0 kN (Az y tengelyen lefel mutat a + irny, felfel a -!) Mivel mindegyik sszetev NULLA, a kt ernek nincsen er eredje:

R = 0 kN ENNEK ELLENRE KNNY BELTNI, HOGY HA EZ A KT ER HAT EGY TESTRE, AKKOR AZ NEM MARAD NYUGALOMBAN, HANEM FOROG! A KT ERNEK TEHT VAN FORGAT NYOMATKA! Vizsgljuk meg, hogy ez a nyomatk hogyan alakul, ha elszr az O pontra, majd az A pontra, vgl a B pontra rjuk fel a nyomatkokat. MO = - F1 4 + F2 12 = - 50 4 + 50 12 = - 200 + 600 = + 400 kNm MA = F1 0 + F2 8 = 50 0 + 50 8 = 0 + 400 = + 400 kNm MB = + F1 8 + F2 0 = + 50 8 + 50 0 = + 400 + 0 = + 400 kNm Mivel mind a hrom pontra egyenl nyomatkok addtak, megllapthatjuk, hogy a kt er nyomatka a sk minden pontjra + 400 kNm lenne, teht a nyomatk minden pontra lland! Ez az lland nyomatk az er s a kztk lev tvolsg szorzata: M = + 50 8 = + 400 kNm. KT ILYEN ERT ERPRNAK NEVEZNK.

ERPR: Kt prhuzamos hatsvonal, ellenttes irny, egyenl nagysg ert erprnak neveznk. Az erprnak a sk brmely tengelyre es er vetlete NULLA s a sk brmely pontjra vonatkoz nyomatka LLAND, melynek rtke az egyik er szorozva a kt er kztti tvolsggal.

A B

+M

Az ered er meghatrozsa szerkeszt mdszerrel: Kt vektor gy adunk ssze szerkesztssel, hogy az egyik (mindegy, hogy melyik) vektor vgpontjhoz illesztjk a msik vektor kezdpontjt, majd az els vektor kezdpontjt sszektjk a msodik vektor vgpontjval. Ez az sszekt szakasz lesz az ered vektora. Az ered vektoron a nyl ellenttes a kt sszeadott vektor nylfolyamval. Az ered vektor hossza a vektorlptkkel tszmtva adja az ered er nagysgt. Az ered er tmegy a kzs tmadsponton (a hatsvonalak metszspontjn).

Kzs hatsvonal erk eredje NZETRAJZ M = 1 : 100

o x

y

F1 = 30 kN

F2 = 20 kN

VEKTORBRA 1 cm (=) 10 kN

(1 cm-nek MEGFELEL 10 kN) F1

F2

R

Az F1 s F2 erk vektorai s az R ered er vektora termszetesen egybe esne, most csak a szemlltets miatt kerltek egyms mell!!!

Lptkhelyes rajz esetn az R vektor hossza 5 cm lenne. Mivel 1 cm-nek 10 kN felel meg, 5 cm-nek 510=50. Teht R = 50 kN

A statika egyik ttele, hogy az er a hatsvonaln szabadon eltolhat. Ezrt ha a feladatban lev O pontot az erk kzs tmadspontjnak tekintjk, akkor mindegyik ert eltolhatnnk a hatsvonaln gy, hogy nyilaik cscsa legyen az O pontban. A rajzban ez azrt nincs gy, mert akkor fedn egymst a kt nyl.

R

NZETRAJZ VEKTORBRA M = 1 : 100 1 cm (=) 100 kN (1 cm-nek MEGFELEL 100 kN) NZETRAJZ VEKTORBRA M = 1 : 100 1 cm (=) 100 kN (1 cm-nek MEGFELEL 100 kN) A szerkesztshez a vetletek vektoraira nincs szksg! Itt csak azt szemlltetik, hogy az erk vetleteinek eljeles sszegei egyenlk az ered vetleteivel.

O X

Y

F1 = 600 kN

F2 = 200 kN

F1

F2

R

Lptkhelyes rajz esetn az R vektor hossza 4 cm lenne. Mivel 1 cm-nek 100 kN felel meg, 4 cm-nek 4100=400. Teht R = 400 kN

R

y (+)

F2 = 1160 kN

RY

F2X

F2Y

F1Y

Az F1 vektor vgpontjhoz illesztjk az F2 vektort. sszektjk az F1 vektor kezdpontjt az F2 vektor vgpontjval. Ez lesz az R vektor, melyre a nyilat az F1 s F2 nylfolyamval ellenttesen tesszk.

x (+)

o

F1 = 300 kN

R

RX

F2

F1

F1X

Lptkhelyes rajz esetn az R vektor hossza 11,2 cm lenne. Mivel 1 cm-nek 100 kN felel meg, 11,2 cm-nek 11,2 100 = 1120. Teht R = 1120 kN

R