ESTIMASI PARAMETER SEBUAH POPULASI

A. DASAR TEORI

Secara umum parameter populasi diberi symbol θ (baca:tetha). Simbol θ dapat berupa

rata-rata (mean), standar deviasi, atau proporsi.

Cara-Cara Menaksir:

a. Jika parameter θ di taksir oleh θ̂sebuah harga tertentu, maka θ̂ dinamakan penaksir

atau titik taksiran.

b. Hasil penaksiran dinyatakan melalui interval taksiran atau selang taksiran yaitu

menaksir harga parameter diantara batas-bats dua harga.

c. Semakin besar panjang interval semakin percaya akan kebenaran penaksiran yang

dilakukan.

d. Hasil penaksiran yang dicari adalah interval taksiran yang sempit dan derajat

kepercayaan yang memuaskan.

e. Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisien kepercayaan dinotasikan dengan

lambang γ (gamma) yang memiliki nilai 0<γ<1, merupakan nilai peluang.

1. Rumus Menaksir Mean (μ)

x−t p .s

√n<μ< x+ t p .

s

√n

2. Rumus Menaksir Standar Deviasi (σ)

(n−1 ) s2

χ 12

(1+ γ )

2 <σ2<(n−1 ) s2

χ 12

(1− γ )

2

3. Rumus Menaksir Proporsi (π)

p - z 12

γ √ pqn

< π < p + z 12

γ √ pqn

rumus mencari nilai t p

T p=t 0+t1−t 0

B1−B0

∗( B1−B0 )

B. PERMASALAHAN

Berdasarkan data dari tugas sebelumnya, mahasiswa mengerjakan tugas sebagai berikut:

1. Mengestimasi Rata-rata (μ)

2. Mengestimasi Standar Deviasi (σ)

3. Mengestimasi Proporsi (π)

Dengan taraf kepercayaan 95% dan 99%

C. PEMBAHASAN

1. Mengestimasi rata-rata (μ)

a. Dari data tunggal Tugas 1A, kita estimasi rata-rata data tersebut dengan koefisien

kepercayaan 95%. Dari perhitungan sebelumnya pada tugas 1B dan 1C

x=79,4615

s=7,691

n=65

γ=95 %

dk=n−1

dk=65−1

dk=64

t=(1−0,052 )=0,975diinterpolasi dengan melihat tabel Sudjana

60 = 2.00

64 = ?

120 = 1,98

T p=t 0+t1−t 0

B1−B0

∗( B1−B0 )

2,00+ 1,98−2.00120−60

∗(64−60 )=1,99

Taksiran rata-rata (μ) dengan koefisien kepercayaan 95% adalah

x−t p .s

√n<μ< x+ t p .

s

√n

79,4615−(1,99)( 7,691

√65 )<μ<79,4615+(1,99)(7,691

√65 )77,562<μ<81,3603

Jadi dengan koefisien kepercayaan 95% didapatkan nilai taksiran rata-rata

77,562<μ<81,3603

b. Estimasi rata-rata dengan koefisien kepercayaan 99%.

t=(1−0,012 )=0,995

diinterpolasi denganmelihat tabel Sudjana

60=2.00

64=?

120=1,98

T p=t 0+t1−t 0

B1−B0

∗( B1−B0 )

2,66+ 2,62−2.66120−60

∗(64−60 )=2,66

dengan koefisien kepercayaan 99% adalah

x−t p .s

√n<μ< x+ t p .

s

√n

79,4615−(2,66)( 7,691

√65 )<μ<79,4615+(2,66)( 7,691

√65 )79,4615−2,538<μ<79,4615+2,538

76,9235<μ<81,9995

Jadi dengan koefisien kepercayaan 99% didapatkan nilai taksiran rata-rata

76,9235<μ<81,9995

2. Mengestimasi standar deviasi (σ)

A. Estimasi standar deviasi data dengan koefisien kepercayaan 95%.

s=9,863

n=65

γ=95 %=0,95

dk=n−1

dk=65−1

dk=64

p=12(1+γ )

p=12(1+0,95)

p=0,975

p=12(1−γ )

p=12(1−0,95)

p=0,025

Selanjutnya dari Daftar Chi-kuadrat yang dikutip dari buku Metode Statistika

yang ditulis oleh Sudjana, didapatkan nilai χ2 untuk p = 0,975 dengan dk = 64

adalah 83,3. Sedangkan nilai χ2 untuk p = 0,025 dengan dk = 64 adalah 40,5.

Taksiran rata-rata (μ) dengan koefisien kepercayaan 95% adalah

(n−1 ) s2

χ 12

(1+ γ )

2 <σ2<(n−1 ) s2

χ 12

(1− γ )

2

(65−1 ) 9,8632

83,3<σ2<

(65−1 )9,8632

40,5

(64 ) 97,27883,3

<σ 2<(64 ) 97,278

40,5

74,73<σ2<153,723

8,6<σ<12,3

Jadi dengan koefisien kepercayaan 95% didapatkan nilai taksiran standar deviasi

8,6<σ<12,3

B. Estimasi standar deviasi dengan koefisien kepercayaan 99%.

s=9,863

n=65

γ=99 %=0,99

dk=n−1

dk=65−1

dk=64

p=12(1+γ )

p=12(1+0,99)

p=0,995

p=12(1−γ )

p=12(1−0,99)

p=0,005

Selanjutnya dari Daftar Chi-kuadrat yang dikutip dari buku Metode Statistika

yang ditulis oleh Sudjana, didapatkan nilai χ2 untuk p = 0,995 dengan dk = 64

adalah 92,0. Sedangkan nilai χ2 untuk p = 0,005 dengan dk = 64 adalah 35,5.

Taksiran rata-rata (μ) dengan koefisien kepercayaan 99% adalah

(n−1 ) s2

χ 12

(1+ γ )

2 <σ2<(n−1 ) s2

χ 12

(1− γ )

2

(65−1 ) 9,8632

92,0<σ2<

(65−1 )9,8632

35,5

(64 ) 97,2792,0

<σ 2<(64 ) 97,27

35,5

67,672<σ 2<175,36

8,226<σ<13,24

Jadi dengan koefisien kepercayaan 99% didapatkan nilai taksiran standar deviasi

8,226<σ<13,24

3. mengestimasi proporsi

Dari data populasi nilai siswa-siswi yang kami ambil dari SMK NEGERI 5 SURABAYA dengan n = 65 nilai. Akan mengestimasi proporsi nilai 75 kebawah dari populasi nilai siswa SMK NEGERI 5 SURABAYA.

Tabel distribusi frekuensi nilai ujian

Tabel Distribusi Frekuensi

Nilai Ujian Tabulasi Frekuensi

61 – 65

66 – 70

71 – 75

76 – 80

81 – 85

86 – 90

91 – 95

II

IIII

IIII IIII IIII IIII

IIII II

IIII IIII I

IIII IIII IIII IIII

I

2

5

19

7

11

20

1

Jumlah 65

1. taraf kekeliruan 5%

P= xn=26

65=0,4 = 40%

q= 1 – p = 1- 0,6 = 0,6 = 60%

Z12

y=Z 1

2(0,95)

=Z0,475=1,96 Diperoleh dari tabel z Sudjana.

p - z 12

γ √ pqn

< π < p + z 12

γ √ pqn

= 0,4 – (1,96)√ ( 0,4 ) x (0,6)65

<π<0,4+1,96√ (0,4 ) x (0,6)65

= 0,4 – 0,0072 < π < 0,4 + 0,0072

= 0,3928 < 𝜋 < 0,4072

= 39,28% < 𝜋 < 40,72%

2. taraf kekeliruan 1%

P= xn=26

65=0,4 = 40%

q= 1 – p = 1- 0,6 = 0,6 = 60%

Z12

y=Z 1

2(0,99)

=Z0,495=2,58 Diperoleh dari tabel z Sudjana.

p - z 12

γ √ pqn

< π < p + z 12

γ √ pqn

= 0,4 – (2,58)√ ( 0,4 ) x (0,6)65

<π<0,4+(2,58)√ (0,4 ) x (0,6)65

= 0,4 – 0,0095 < π < 0,4 + 0,0095

= 0,3905 < 𝜋 < 0,4095

= 39,05% < 𝜋 < 40,95%

4. Lampiran dengan SPSS 17

Mengestimasi rata-rata (μ) dengan koefisien kepercayaan 95%

ExploreCase Processing Summary

Cases

Valid Missing Total

N Percent N Percent N Percent

nilai_siswa

65 100.0% 0 .0% 65 100.0%

Descriptives

Statistic

Std. Error

nilai_siswa

Mean 79.4615

.93235

95% Confidence Interval for Mean

Lower Bound 77.5990

Upper Bound 81.3241

5% Trimmed Mean 79.6368

Median 79.0000

Variance 56.502

Std. Deviation 7.51681

Minimum 64.00

Maximum 93.00

Range 29.00

Interquartile Range 11.00

Skewness -.206 .297

Kurtosis -1.028 .586

nilai_siswa Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 2.00 6 . 44 5.00 6 . 88888 8.00 7 . 11111111 18.00 7 . 55555555559999999 11.00 8 . 22222222222 20.00 8 . 66666666999999999999 1.00 9 . 3

a. Mengestimasi rata-rata (μ) dengan koefisien kepercayaan 99%

ExploreCase Processing Summary

Cases

Valid Missing Total

N Percent N Percent N Percent

nilai_siswa

65 100.0% 0 .0% 65 100.0%

Descriptives

Statistic

Std. Error

nilai_siswa

Mean 79.4615

.93235

99% Confidence Interval for Mean

Lower Bound 76.9863

Upper Bound 81.9368

5% Trimmed Mean 79.6368

Median 79.0000

Variance 56.502

Std. Deviation 7.51681

Minimum 64.00

Maximum 93.00

Range 29.00

Interquartile Range 11.00

ExploreCase Processing Summary

Cases

Valid Missing Total

N Percent N Percent N Percent

Skewness -.206 .297

Kurtosis -1.028 .586

nilai_siswa Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

2.00 6 . 44 5.00 6 . 88888 8.00 7 . 11111111 18.00 7 . 555555555559999999 11.00 8 . 22222222222 20.00 8 . 66666666999999999999 1.00 9 . 3

Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)

D. KESIMPULAN

Dari perhitungan yang telah dilakukan diperoleh hasil sebagai berikut.

1. Mengestimasi rata-rata (μ)

a. Dengan koefisien kepercayaan 95% diperoleh taksiran rata-rata

77,562<μ<81,3603

b. Dengan koefisien kepercayaan 99% diperoleh taksiran rata-rata

76,9235<μ<81,9995

2. Mengestimasi standar deviasi (σ)

a. Dengan koefisien kepercayaan 95% diperoleh taksiran standar deviasi

8,6<σ<12,3.

b. Dengan koefisien kepercayaan 99% diperoleh taksiran standar deviasi

8,226<σ<13,24.

3. Proporsi (π)

a. Dengan koefisien kepercayaan 95% diperoleh taksiran proporsi

39,28% < 𝜋 < 40,72%

b. Dengan koefisien kepercayaan 99% diperoleh taksiran proporsi.

39,05% < 𝜋 < 40,95%

4. Mengestimasi rata-rata (μ) menggunakan program SPSS 17.

a. Dengan koefisien kepercayaan 95% diperoleh interval taksiran nilai taksiran rata-

rata . 77,5990<μ<81,3241

b. Dengan koefisien kepercayaan 99% diperoleh interval taksiran nilai taksiran rata-

rata .76,9863<μ<81,9368

E. SUMBER REFRENSI

Sudjana. 1992. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.