TUGAS 1C

Berdasarkan Datanya Sendiri-sendiri dan Dengan Berbagai Teknik, Mahasiswa Menghitung: Rentang, Standar Deviasi, Variansi, Skewness, Kurtosis, Skor Baku

OLEH:

Tri Asih Wahyu KrisnawatiS1 Teknik Tenaga Listrik (TTL) / 125514002 / 2012

Viky Dimas WijayantoS1 Teknik Tenaga Listrik (TTL) / 125514009 / 2012

Hayu Putra F. HS1 Teknik Tenaga Listrik (TTL) / 125514233 / 2012

Hari / Jam Kuliah : Kamis / 13.00-14.40

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

BERDASARKAN DATANYA SENDIRI-SENDIRI DAN DENGAN BERBAGAI TEKNIK, MAHASISWA MENGHITUNG: RENTANG, STANDAR DEVIASI,

VARIANSI, SKEWNESS, KURTOSIS, SKOR BAKU

A. DASAR TEORI Selain ada ukuran gejala pusat dan ukuran letak, masih ada lagi ukuran lain ialah

ukuran simpangan atau ukuran dispersi. Ukuran ini dinamakan ukuran variasi. Beberapa ukuran disperse yang terkenal ialah rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau deviasi kuartil, rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi, simpangan baku atau standar deviasi, varians dan koefisien variasi.a. RENTANG

Rentang merupakan ukuran variasi yang paling mudah ditentukan. Rumus untuk

menentukan rentang adalah :

Rentang = data terbesar - data terkecil ……(1.1)

Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan ini merupakan selisih antara K3 dan

K1.. jadi didapatlah hubungan :

RAK = K3-K1 ......(1.2)

Dimana: RAK = rentang antar kuartil

K3 = kuartil ketiga,

K1 = kuartil pertama.

Simpangan kuartil atau disebut pula rentang semi antar kurtil, harganya setengah dari

rentang antar kuartil. Jadi, jika simpangan kuartil disingkat dengan SK, maka:

SK = 1/2(K3-K1) …… (1.3)

Rata-rata simpangan adalah jarak antar tiap data dengan rata-rata hitung nilai

pengamatan. Rata-rata simpangan baku dapat dihitung dengan rumus:

RS = Ʃ|x i−x|

n ……(1.4)

a. STANDAR DEVIASI

Standar deviasi atau simpangan baku merupakan ukuran simpangan yang paling

banyak digunakan. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel,

simpangan baku akan diberi simbul s., sedangkan untuk populasi diberi simbul σ (sigma).

Variansinya tentulah s2 untuk varians sampel dan σ2 untuk varians populasi. Jika kita

mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, x…, xn atau data tunggal varians

dapat dihitung dengan rumus:

s2=Ʃ(x i−x)2

n−1 ...........(1.2)

Untuk mencari simpangan baku s, dari s2 diambil harga akarnya yang positif. Dari

rumus sebelumnya varians s2 dapat dihitung sebagai berikut:

1) Hitung rata-rata x

2) Tentukan selisih x1-x, x2-x, ...,xn-x,

3) Tentukan kuadrat selisih tersebut, yakni (x1-x)2,(x2-x)2…..,(xn-x)2

4) Kuadrat-kuadrat dijumlahkan

5) Jumlah tersebut dibagi oleh (n-1)

Bentuk lain untuk rumus varians sampel adalah :

s2=nƩ x i

2−(Ʃ x i)2

n(n−1) …………….(1.3)

Jika data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi atau data kelompok,

maka untuk menentukan varian s2 dipakai rumus;

s2=Ʃ f i(x i−x )2

n−1 …………..…(1.4)

Atau yang lebih baik digunakan adalah :

s2=nƩ f i x i

2−(Ʃ f i x i)2

n(n−1) …………....(1.5)

Untuk menghitung varians sehingga perhitungan akan lebih sederhana dapat

digunakan rumus:

s2=p2( nƩ f ic i2−( Ʃ f ic i )

2

n (n−1 ) ) ……………(1.6)

b. SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI)

Untuk simpangan baku kita dapat menentukan simpangan baku gabungan. Simpangan

baku gabungan dapat dihitung dengan rumus ;

s2=Ʃ ( ni−1 ) si

2

Ʃ ni−k …………. (1.7)

Atau lengkapnya;

s2=(n1−1 ) si

2+( n2−1 ) s22+…+(nk−1)sk

2

n1+n2+…+nk−k.

…......... (1.8)

dengan s2 berarti varians gabungan untuk sampel yang berukuran n.

c. BILANGAN BAKU DAN KOEFISIEN VARIASI

Bilangan baku sering dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi fenomena,

rumus untuk bilangan baku adalah:

zi=x0+s0( x i−x

s )……..…… (1.9)

Perhatikan bahwa untuk x0 = 0 s0 = 1, rumus menjadi:

z i=xi−x

suntuk i=1,2 ,…,n ………(2.0)

Untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan

dispersi relative yang ditentukan oleh:

Dispersi relaif = dispersi absolut

rata−rata …………. (2.1)

Jika untuk disperse absolute diambil simpangan baku, maka didapat koefisien variasi,

disingkat KV. Rumusnya, dinyatakan dalam persen, berbentuk:

KV = simpanganbakurata−rata

x100 % ………..…(2.2)

d. SKEWNESS (KEMIRINGAN)

Untuk mengetahui derajat taksimeri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan

yang ditentukan oleh :

Kemiringan = Rata−rata−Modus

Simpangan baku

Rumus empirik untuk kemiringan adalah:

Kemiringan = 3 (Rata−rata−Median )

Simpangan baku

Kriteria kemiringan :

- Model positif, terjadi bila kurvanya memiliki ekor yang memanjang ke sebelah

kanan.

- Model negative, terjadi bila ekornya memanjang ke sebelah kiri.

e. KURTOSIS

Kurtosis merupakan tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva. Untuk

menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering dipakai koefisien kurtosis

presentil,diberi simbuk k. dengan rumusnya adalah;

k= SKP90−P10

=

12 ( K 3−K1 )P90−P10

…………...(2.3)

Salah satu ukuran kurtosisi ialah koefisien kurtosis, diberi simbul a4, ditentukan oleh

rumus:

a4= (m4/m22) …………….(2.4)

Kriteria yang didapat dari rumus ini adalah:

a) a4 = 0,262 distribusi normal

b) a4 > 0,263 distribusi leptokurtik, (Runcing)

c) a4 < 0,263 distribusi platikurtik. (Landai)

B. PERMASALAHANBerdasarkan data yang sudah dihitung sebelumnya, mahasiswa menghitung secara

manual perhitungan dibawawah ini:a. Rentang,b. Standar Deviasi,c. Variansi,d. Skewnesse. Kurtosis,f. Skor baku.

C. PEMBAHASAN o Rentang (range)

RAK =K3 – K1

= 86,6875 – 72,9342

= 13,7533

SK = 1/2 (K3 – K1) = 1/2 x RAK

= 1/2 (86,6875 – 72,9342)

= 1/2 x 13,7533

= 6,87665

o Simpangan Baku (Deviasi Standart)

Data Tunggal

Cara 1 S2 = ∑ (x i−x )2

n−1

= 778,259−1

= 97,28125

S = 9,863126

Cara 2 S2 = n∑ xi

2−(∑ x i)2

n(n−1) =

9 x56317−(707)2

9 x 8

=506853−499849

72

=97,27778

S = √∑ (X i−X )2

n−1 = √ 778,25

9−1

= √97,28125

= 9,86312

Data Kelompok

Nilai Ujian

fi xi x i−x (x i−x)2 fi (x i−x)2 xi2 fi . xi fi . xi

2 ci ci2 fi .

ci

fi . ci2

61-65 2 63 -16.46 270.9316 541.8632 3969 126 7938 -5 25 -10 10066-70 5 68 -11.46 131.3316 656.658 4624 340 23120 -4 16 -20 400

No x i x i−x |x i−x| |x i−x|2 x i2

1 64 -14.5 14.5 210.25 40962 68 -10.5 10.5 110.25 46243 71 -7.5 7.5 56.25 50414 75 -3.5 3.5 12.25 56255 79 0.5 0.5 0.25 62416 82 3.5 3.5 12.25 67247 86 7.5 7.5 56.25 73968 89 10.5 10.5 110.25 79219 93 14.5 14.5 210.25 8649

Jumlah

707 0.5 72.5 778.25 56317

71-75 19 73 -6.46 41.7316 792.9004 5329 1387

101251

-3 9 -57 3249

76-80 7 78 -1.46 2.1316 14.9212 6084 546 42588 -2 4 -14 19681-85 11 83 3.54 12.5316 137.8476 6889 913 75779 -1 1 -11 12186-90 20 88 8.54 72.9316 1458.632 7744 176

015488

00 0 0 0

91-95 1 93 13.54 183.3316 183.3316 8649 93 8649 1 1 1 1Total 65 546 -10.22 714.9212 3786.154 4328

8516

541420

5-14 56 -

1114067

Cara 1: S2 = ∑ f i(x i−x )2

n−1 =

3786,15465−1

S2 = 59,15865

S = 7,691466

Cara 2: S2 = n∑ f i x i

2−(∑ f i x i)2

n(n−1) = 65 x 414205−51652

65 x64

S2 = 26923325−26677225

4160 =

2461004160

S2 = 59,1586 S = 7,691466

Cara 3: S2 = p2( n∑ f ic i2−(f ic i)

2

n(n−1) ) = 52( 65 x 4067−12321

65 x 64 ) S2 = 25x60,5850 = 1514,6274

o Simpangan Baku Gabungan

Data 1 Data 2

No Nilai Siswa

x i−x |x i−x|2 Nilai Siswa

x i−x |x i−x|2

1 68 -13.8 190.44 64 -12.8 163.842 89 7.2 51.84 75 -1.8 3.243 93 11.2 125.44 89 12.2 148.844 82 0.2 0.04 86 9.2 84.645 89 7.2 51.84 68 -8.8 77.446 82 0.2 0.04 68 -8.8 77.447 82 0.2 0.04 86 9.2 84.648 89 7.2 51.84 71 -5.8 33.64

9 89 7.2 51.84 71 -5.8 33.6410 79 -2.8 7.84 75 -1.8 3.2411 79 -2.8 7.84 86 9.2 84.6412 75 -6.8 46.24 75 -1.8 3.2413 86 4.2 17.64 68 -8.8 77.4414 75 -6.8 46.24 71 -5.8 33.6415 86 4.2 17.64 79 2.2 4.8416 89 7.2 51.84 79 2.2 4.8417 71 -10.8 116.64 82 5.2 27.0418 86 4.2 17.64 71 -5.8 33.6419 75 -6.8 46.24 75 -1.8 3.2420 89 7.2 51.84 82 5.2 27.0421 89 7.2 51.84 75 -1.8 3.2422 86 4.2 17.64 71 -5.8 33.6423 68 -13.8 190.44 71 -5.8 33.6424 82 0.2 0.04 82 5.2 27.0425 89 7.2 51.84 79 2.2 4.8426 89 7.2 51.84 86 9.2 84.6427 89 7.2 51.84 75 -1.8 3.2428 82 0.2 0.04 82 5.2 27.0429 79 -2.8 7.84 82 5.2 27.0430 71 -10.8 116.64 79 2.2 4.8431 75 -6.8 46.2432 75 -6.8 46.2433 89 7.2 51.8434 64 -17.8 316.8435 82 0.2 0.04

Total 2862 -1 1952.2 2303 -1 1259.4

S2 = (n1−1 ) si

2+(n2−1 ) s22

n1+n2−k

S2 = (35−1 ) (7,58 )2+(30−1)(6,59)2

35+30−2

S2 = 34 x57,4564+29 x43,4281

63

S2 = 1953,5176+1259,4149

63

S2 = 50,97778 S = 7,139872

o Kemiringan

Koefisien pearson tipe 1 = Rata−rata – Modus

s =

79,465−87,1077,691

=−0,994

Koefisien pearson tipe 1 = 3 xRata−rata – Modus

s = 3 x

79,465−82,6257,694

= 1,232

o Kurtosis

P10=data ke−10(65+1)

100 = data ke 6,6

= data ke 68 + 0,6(data ke 7 - data ke 6) = 68 + 0,6(68-68) = 68

P90=datake−90(65+1)

100

= data ke 59,4= data ke 59 + 0,4(data ke 60 - data ke 59)= 89 + 0,4(89-89)= 89

Jadi,

K = 12(K3−K 1)

P90−P10

= 12(86−75)

89−68 =

12(11)

21 = 0,262

K = normal

D. KESIMPULAN

1. Dalam perhitungan rentang antar kuartil (RAK) dan simpangan kuartil

(SK) hanya bisa dilakukan secara manual tidak bisa menggunakan

SPSS.

2. Dalam perhitungan standar deviasi dan variasi yang dilakukan manual

dan Spss menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda.

3. Perhitungan skewness dan kurtosis secara manual dan Spss

menunjukkan hasil yang berbeda.

4. Sedangkan untuk data kelompok pada hasil perhitungan manual dan Spss menunjukkan hasil yang berbeda. Hal tersebut dikarenakan rumus yang digunakan untuk perhitungan pada data kelompok berbeda dengan rumus perhitungan pada data tunggal.

Lampiran Data Statistika

Statistics

nilai_siswa

N Valid 65

Missing 0

Std. Error of Mean .93235

Std. Deviation 7.51681

Variance 56.502

Skewness -.206

Std. Error of Skewness .297

Kurtosis -1.028

Std. Error of Kurtosis .586

Range 29.00

nilai_siswa

Frequency Percent Valid PercentCumulative

Percent

Valid 64.00 2 3.1 3.1 3.1

68.00 5 7.7 7.7 10.8

71.00 8 12.3 12.3 23.1

75.00 11 16.9 16.9 40.0

79.00 7 10.8 10.8 50.8

82.00 11 16.9 16.9 67.7

86.00 8 12.3 12.3 80.0

89.00 12 18.5 18.5 98.5

93.00 1 1.5 1.5 100.0

Total 65 100.0 100.0