statistika 3
DESCRIPTION
Statistika 3TRANSCRIPT
© 2004 Goodrich, Tamassia
Varibel Random (Peubah Acak) dan Distribusi Peluang
1
© 2004 Goodrich, Tamassia 2
Ilustrasi Variabel Random
Ruang contoh bagi percobaan pelemparan uang logamsebanyak 3 kali
S={AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
Berapa kali sisi gambar muncul?
- Tidak ada yang muncul (0)
- 1 kali muncul (1)
- 2 kali muncul (2)
- 3 kali muncul (3)
Nilai 0, 1, 2, 3 merupakan besaran acakyang nilainya ditentukandr suatu percobaan
Variabel Acak
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh dinotasikan dengan huruf besar, huruf kecilnya merupakan salah satu
diantara nilai-nilainya
© 2004 Goodrich, Tamassia 3
Contoh Variabel Random
Dua kelereng diambil berturut-turut dari sebuah kantong yang berisi 4 kelereng merah dan 3
kelereng hitam. Tentukan peubah acak yang menyatakan banyaknya kelereng merah yang
terambil.
jawab:
Misal Y adalah peubah acak banyaknya kelereng yang terambil,
maka Y={0, 1, 2}Ruang Contoh y
MM 2
MH 1
HM 1
HH 0
Bila sebuah dadu dilemparkan sampai munculnya bilangan 5, bagaimana nilai peubah acaknya
jawab:
Ruang contoh munculnya angka 5
S={Y, TY, TTY, TTTY, TTTTY,….}
Y=muncul angka 5, T=tidak muncul
Peubah acaknya takberhingga
© 2004 Goodrich, Tamassia 4
1. Variabel Acak Diskrit
Varibel acak yang didefinisikan di atas ruang contoh diskrit
Ruang contoh diskrit:
bila ruang contoh mengandung jumlah titik contoh berhingga atau suatu barisan
unsur yang tdk pernah berakhir tapi nilainya sama dengan banyaknya bilangan
cacah
Contoh: banyaknya produk yang cacat, banyaknya kelahiran per tahun dalam suatu
kota
2. Variebl Acak Kontinu
Varibel acak yang didefinisikan di atas ruang contoh kontinu
Ruang contoh kontinu:
bila ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang tak berhingga banyaknya
titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis.
Contoh: tinggi, bobot, suhu, umur
Jenis-Jenis Variabel Acak
© 2004 Goodrich, Tamassia 5
Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi (Sebaran) Peluang
© 2004 Goodrich, Tamassia 6
Definisi
Sebuah tabel atau rumusan yang mencantumkan semua kemungkinan nilai
suatu peubah acak diskrit berikut nilai peluangnya.
Contoh:
Tentukan sebaran peluang bagi munculnya sisi gambar dari pelemparan uang
logam sebanyak tiga kali
Jawab:
S={AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
M menyatakan variabel acak munculnya sisi gambar, maka:
M={0, 1, 2, 3}
Sebaran Peluang M:
Distribusi (Sebaran) Peluang Diskrit
m 0 1 2 3
P(M=m) 1/8 3/8 3/8 1/8 ∑P(M=m)=1
© 2004 Goodrich, Tamassia 7
Contoh Distribusi Peluang Diskrit
Tentukan sebaran peluang bagi jumlah bilangan bila sepasang mata dadu
dilempar.
Tentukan rumus bagi sebaran peluang bagi banyaknya kaset jazz yang
terambil, bila 4 kaset diambil dari sebuah rak yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2
kaset klasik, 3 kaset pop. Nyatakan hasilnya dalam bentuk sebuah rumus.
© 2004 Goodrich, Tamassia 8
Macam-macam Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi Uniform (seragam)
Distribusi Binomial
Distribusi Multinomial
Distribusi Hipergeometri
© 2004 Goodrich, Tamassia 9
Distribusi Uniform
Ciri-ciri Distribusi Uniform
Bila Nilai variabel random mempunyai peluang terjadi sama
Definisi Distribusi Uniform
Bila peubah acak binom X mempunyai nilai x1, x2, …xk dengan peluang yang
sama. Maka distribusi uniformnya diberikan oleh:
nxxxxuntukk
,...,,,1
x)P(X 21
Contoh
pelemparan sebuah dadu
© 2004 Goodrich, Tamassia 10
Distribusi Binomial
Ciri-ciri Distribusi Binomial
Percobaanya terdiri atas n ulangan
Dalam setiap ulangan, hasilnya digolongkan sebagai berhasil atau gagal
Peluang sukses dinyatakan dg p,untuk tiap ulangan sama, tidak berubah-ubah
Ulangan2 tsb bersifat bebas satu sama lain
Definisi Distribusi Binomial
Bila suatu ulangan mempunyai peluang keberhasilan p, dan peluang kegagalan
q=1-p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X (banyaknya
keberhasilan dalam n ulangan yang bebas adalah):
nxuntukqpxn xnx ,...,2,1,x)P(X
© 2004 Goodrich, Tamassia 11
Distribusi Binomial
Contoh kasus:
a) Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah DADU
dilemparkan sebanyak 5 kali
b) Peluang seorang untuk sembuh dari penyakit darah adalah 0.4. bila 15 orang
diketahui menderita penyakit ini. Berapa peluang bahwa
- sekurang-kurangnya 10 orang sembuh
- antara 3-8 yang sembuh
- tepat 5 yang sembuh
© 2004 Goodrich, Tamassia 12
Distribusi Hipergeometri
Definisi
Banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda
yang mengandung k sukses dan N-k gagal
Ciri-ciri Distribusi Hipergeometri
Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N
k dari n benda diklasifikasi sukses dan N-k diklasifikasi gagal
kxuntuk
nN
xnkN
xk
,...,2,1,x)P(X
© 2004 Goodrich, Tamassia 13
Distribusi Hipergeometri
Contoh kasus:
a) Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang laki dan 3 perempuan diambil secara
acak sebanyak 5 orang.
- Carilah distribusi peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu.
- Berapa peluang 2 orang perempuan dalam kepanitiaan tsb
b) Bila 5 kartu diambil dari seperangkat kartu bridge,
- berapa peluang diperoleh 3 kartu hati
- tepat memperoleh 2 kartu face (king, queen, jack)
© 2004 Goodrich, Tamassia 14
Distribusi POISSON
Definisi
Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu / daerah tertentu
,...2,1,!
)P(x; xuntukx
e x
μ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan selama selang waktu atau
daerah tertentu
Contoh: Rata-rata jumlah hari sekolah tutup karena hujan salju di musim
dingin di suatu kota tertentu adalah 4 hari. Berapa peluang bahwa sekolah
tersebut akan tutup selama 6 hari ?
Ciri-ciri Distribusi Poisson
Banyaknya hasil percobaan terjadi dalam suatu selang atau suatu daerah
tertentu
© 2004 Goodrich, Tamassia 15
Distribusi Poisson
Contoh kasus:
a) Seorang sekretaris rata-rata melakukan 2 kesalahan ketik per halaman.
Berapa peluang bahwa pada halaman berikutnya ia membuat
- 4 atau lebih kesalahan
- Tidak satu pun kesalahan
b) Bila 5 kartu diambil dari seperangkat kartu bridge,
- berapa peluang diperoleh 3 kartu hati
- tepat memperoleh 2 kartu face (king, queen, jack)
© 2004 Goodrich, Tamassia 16
Distribusi peluang kontinu tidak dapat dinyatakan dalam suatu tabel , tetapi
menggunakan suatu rumusan, yang merupakan fungsi nilai-nilai variabel acak kontinu,
sehingga dapat digambarkan sebagai suatu kurva
Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva disebut : Fungsi Kepekatan Peluang
(Probablity Density Function/PDF)
PDF dibuat sedemikian hingga luas daerah dibawah kurva diatas sumbu x sama dengan 1.
Bila luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b menyatakan peluang X terletak antara
a dan b
Distribusi Peluang Kontinu
x=a x=b
f(x)
)xP(a)xP(a)xP(a)xP(a
1)()xP(a
bbbb
dxxfbb
a
© 2004 Goodrich, Tamassia 17
Contoh Distribusi Peluang kontinu
Sebuah peubah acak kontinu X yang mengambil nilai antara x=2 dan x=4
mempunyai fungsi kepekatan peluang:
f(x)=(x+1)/8
a) Perlihatkan bahwa P(2<X<4)=1
b) Tentukan P(X<3.5)
c) Tentukan P(2.4<X<3.5)
© 2004 Goodrich, Tamassia 18
Sebuah peubah acak kontinu X mempunyai fungsi kepekatan peluang:
a) Perlihatkan bahwa P(0<X<2)=1
b) Tentukan P(X<1.2)
lainnyaxuntuk0,2x1untukx,21x0untukx,
f(x)
© 2004 Goodrich, Tamassia 19
Distribusi peubah acak kontinu yang memiliki nilai sebaran berbentuk genta seperti
pada gambar disebut dengan peubah acak normal.
Distribusi peluang KontinuDistribusi Normal
xuntukex
x
,2
1),;(n
2
2
1
Bila X adalah peubah acak normal dengan nilaitengah dan ragam , maka
persamaan kurva normalnya adalah:
© 2004 Goodrich, Tamassia 20
Peluang peubah acak berdistribusi normal X yang mengambil nilai antara x=x1 dan
x=x2 sama dengan= luas daerah dibawah kurva yang dibatasi oleh x=x1 dan x=x2
Peluang Distribusi Normal
Nilai peluang peubah acak normal X dihitiung dengan peubah acak normal Z
dengan nilai Distribusi Normal baku0σdan1μ
xZ
© 2004 Goodrich, Tamassia 21
Bila X berada diantara x=x1 dan x=x2, maka peubah acak Z akan berada diantara nilai-
nilaia pandanannya:
Peluang Distribusi Normal
Sehingga Nilai peluang peubah acak normal X dihitiung dengan :
σ
μxZdan
σ
μxZ 21
)zZ()xXP(x 2121 zP
© 2004 Goodrich, Tamassia 22
Untuk sebaran normal dengan hitunglah
a) peluang bahwa X mengambil nilai antara 45 dan 62
b) Peluang bahwa X lebih besar dari 60
Contoh 1
Jawab a)
Nilai-nilai z yang berpadanan dengan x1=45 dan x2=62 adalah
2.110
0562
σ
μxZ
5.010
0554
σ
μxZ
22
11
0.57640.3085-0.88490.5)P(Z - 1.2)P(Z
1.2)Z0.5P( 62)XP(45)zZP(z)xXP(x 2121
01σdan05μ
Jadi ada 57.64% yang nilainya berada di 45 dan 62
© 2004 Goodrich, Tamassia 23
Diberikan sebaran normal dengan hitunglah nilai x yang
a) luas daerah dibawahnya ada 38%
b) luas daerah diatasnya 5%
Contoh 2
6σdan04μ
Pada suatu nilai ujian , nilai rata-rata dari 30 mahasiswa adalah 75 dan simpangan
bakunya 8, Bila 20% diantara peserta ujian akan diberi nilai A, berapakah batas
terkecil bagi A ?
Contoh 3
Pada suatu nilai ujian , nilai rata-ratanya adalah 82 dan simpangan bakunya 5,
Mahasiswa yang mendapat nilai 88 samapi 94 mendapat B. Bila nilai ujian
menyebar normal dan 8 orang mendapat nilai B. Berapa banyak mahasiswa yang
mengikuti ujian
Contoh 4