statistička analiza hidroloških...
TRANSCRIPT
1
Statistička analiza hidroloških nizova Uslovi koje hidrološki nizovi moraju da ispune:
nezavisni podaci (slučajnost)jednako raspoređeni, “istorodni” (homogenost)
Nizovi godišnjih ekstremagodišnji minimumi (male vode)godišnji maksimumi (velike vode, padavine)
Nizovi prekoračenja iznad praga (parcijalne serije)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1.1.1998. 1.1.1999. 1.1.2000. 31.12.2000.
Q (m
3 /s)
Dunav, Bezdan
Postupak
I. PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacima1) formiranje EMPIRIJSKE RASPODELE2) proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA3) testiranje SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela4) IZBOR najbolje raspodele
F
x
F
x
osmotreni podaci –EMPIRIJSKA RASPODELA
prilagođavanje –TEORIJSKA RASPODELA
Fe(x) F (x)
2
Postupak
II. PRORAČUN teorijske raspodeleVEROVATNOĆE za zadatu vrednost, F(x)KVANTILA (vrednosti za zadatu verovatnoću), x(F)
F
x
proračun KVANTILA
F (x)
F
x
proračun VEROVATNOĆE
F (x)
x
Fx
xF
F
Način izražavanja veze X-P
vrednost slučajne promenljive
x
VEROVATNOĆA:
funkcija raspodele ili verovatnoća neprevazilaženja
F(x) = P{X ≤ x}
verovatnoća prevazilaženja P{X > x} = 1 – F(x)
3
Povratni period
način izražavanja verovatnoće kritičnog događaja
izražava se u godinama
velike vode (maksimumi)
primer: T(200 m3/s) = 50 god. znači da će se protok od 200 m3/s prevazići jednom u 50 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/50 = 0.02 = 2%)
male vode (minimumi)primer: T(0.4 m3/s) = 20 god. znači da će se protok manji od 0.4 m3/s javiti jednom u 20 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/20 = 0.05 = 5%)
)(11
}{1)(
xFxXPxT
−=
>=
)(1
}{1)(
xFxXPxT =
≤=
Teorijske raspodele verovatnoće u hidrologiji
Normalna i log-normalna raspodela
Gumbelova raspodela
Pirson III i log-Pirson III raspodela
4
Normalna raspodela
gustina raspodele:
funkcija raspodele:
∞<<∞−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
σμ−
−πσ
= xxxf ,2
)(exp2
1)( 2
2
x
f(x)
μ
F(x)
x
1
0
duuxFx
∫∞−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
σμ−
−πσ
= 2
2
2)(exp
21)(
0.5
μ
Normalna raspodela
parametri:μ – srednja vrednost (μ = μ’1)σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)
x
f(x)
μ
F(x)
x
1
0
0.5
μμ – parametar
lokacije
σ – parametar razmere
σ1
σ2
σ1
σ2
5
Normalna raspodelaStandardna normalna raspodela
smena:
gustina i funkcija raspodele:
parametri:
σμ−
=xz
1,0 =σ=μ
z
φ(z)
0
Φ(z)
z
1
0
duuzz
∫∞−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
π=Φ
2exp
21)(
2
0.5
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
π=ϕ
2exp
21)(
2zz
Normalna raspodela
važna osobina: simetričnost → Cs = 0
z
φ(z)
0
Φ(z)
z
1
0
0.5
0z–z
φ(–z)= φ(z)
z–z
Φ(–z)Φ(z)
1 – Φ(–z) = Φ(z)
1 – Φ(z) = Φ(–z)
6
Normalna raspodela
Veza između normalne i standardne normalne raspodele:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
Φ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σμ−
≤=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σμ−
≤σμ−
=
=μ−≤μ−=≤=
xxZP
xXP
xXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
Φ=xxF )(
σμ−
=Φ=xzzxF ),()(
Normalna raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
)()(TAB xFzFS
xxzx XZx
=⎯⎯ →⎯−
=→
xZX SzxxzzFxF ⋅+=→⎯⎯ →⎯= TAB)()(
xSx
=σ=μ
7
Log-normalna raspodela
Primena normalne raspodele na logaritmovane podatkeako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodeluparametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza
Veza sa standardnom normalnom raspodelomYY σμ ,
)(log}log{}10{}{)(
xFxYPxPxXPxF
Y
Y
=≤==≤=≤=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
σμ−
Φ==xxFxF Y
log)(log)(
σμ−
==Φ==yzxyzyFxF Y ,log),()()(
Log-normalna raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)
yY
Y
Sy
=σ=μ
)()()(log TAB xFyFzFS
yyzxyx XYZy
==⎯⎯ →⎯−
=→=→
yyZX xSzyyzzFxF 10)()( TAB =→⋅+=→⎯⎯ →⎯=
8
Gumbelova raspodela
gustina raspodele:
funkcija raspodele:
inverzna funkcija raspodele:
drugi nazivi:dvostruko eksponencijalna raspodelaraspodela ekstremnih vrednosti I tipa
∞<<∞−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
α−
−−α−
−α
= xuxuxxf ,expexp1)(
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
α−
−−=uxxF expexp)(
)]lnln([)( FuFx −−α+=
Gumbelova raspodela
parametri:α – parametar razmereu – parametar lokacije
osobine:srednja vrednost μ(u,α)standardna devijacija σ(u,α)
koef. asimetrije Cs = 1.14
x
f(x)
u
α1
α2 > α1
u – parametar lokacije
α – parametar razmere
απ
=σ
α+=μ
6
5772.0u
9
Gumbelova raspodela
Standardna Gumbelova raspodela
smena:
parametri:
gustina raspodele:
funkcija raspodele:
inverzna funkcija raspodele:
∞<<∞−=−−− yeeyg
yey ,)(
yeeyG−−=)(
)lnln()( GGy −−=
α = 1u = 0
α−
=uxy
Cs = 1.14
y
g(y)
0
Gumbelova raspodela
Veza između obične i standardne Gumbelove raspodele:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
α−
≤=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
α−
≤α−
=
=−≤−=≤=
uxGuxYP
uxuXP
uxuXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−
=uxGxF )(
α−
==uxyyGxF ),()(
10
Gumbelova raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))
F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))
x
x
SSxu
78.045.0
=α−=
)()( xFeyFuxyx Xe
Yy==→
α−
=→−−
α⋅+=→−−=→= yuxFyyFxF YX )lnln()()(
Familija gama raspodelaDvoparametarska gama raspodela
gustina raspodele:
parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmere
0,)(
1)( /1
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛βαΓβ
= β−−α
xexxf x
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x)
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x)
β = 1 α = 2
α = 1
α = 2
α = 4
β = 1
β = 2β = 4
11
Pirsonova raspodela III tipa
Troparametarska gama raspodela
gustina raspodele:
parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmereγ – parametar lokacije
osobine:asimetrična; za Cs = 0 postaje normalna raspodelamomenti:
0,)(
1)( /)(1
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛βγ−
αΓβ= βγ−−
−α
xexxf x
α=
αβ=σ
γ+αβ=μ
2sC
Pirsonova raspodela III tipa
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
αβ−=γ⋅
=β=α xcS
csxx
sx
,2
,42
)( za TAB xFcS
xxKx Xsx
xP ⎯⎯⎯⎯ →⎯
−=→
xPPsx
X SKxxKcxF ⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯ za TAB)(
KP – faktorfrekvencije
12
Log-Pirson III raspodela
Log-Pirson III raspodelaako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodeluprimena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke
Log-Pirson III raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)
Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)
αβ−=γ⋅
=β=α ycS
csyy
sy
,2
,42
)()(log za TAB
xFyFc
SyyKxyx XY
sy
yP =⎯⎯⎯⎯ →⎯
−=→=→
yyPP
syX xSKyyK
cxF 10)(
za TAB=→⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯
13
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Q (m
3 /s)
PrimerSava – Sremska Mitrovica
originalni niz X
logaritmovani niz Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent varijacije 0.187 0.022
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
Primer
Proračun parametara raspodela
Normalna raspodela:
Log-normalna raspodela:
Gumbelova raspodela:
X Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent asimetrije 0.623 0.196/sm3.781
/sm41873
3
==σ
==μ
xS
x
07936.06147.3
==σ==μ
yY
Y
Sy
/sm4.6093.78178.078.0
/sm38353.78145.0418745.03
3
=⋅=⋅=α
=⋅−=⋅−=
x
x
S
Sxu
14
Primer
Proračun parametara raspodela
Pirson III raspodela:
Log-Pirson III raspodela:
X Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
/sm1678623.0
3.781241872
3.2432
623.03.7812
31.10623.044
3
22
=⋅
−=−=γ
=⋅
=⋅
=β
===α
sx
x
sxx
sx
cS
x
cSc
804.2196.007936.026147.3
2
007771.02
196.007936.02
31.104196.044
22
=⋅
−=−=γ
=⋅
=⋅
=β
===α
sy
y
syy
sy
cS
y
cS
c
Primer
Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95
Normalna raspodela:
Log-normalna raspodela:
/sm54723.781645.14187
645.1)95.0(95.0)(3
XL TAB,
=⋅+=⋅+=
=⎯⎯⎯ →⎯=
x
X
Szxx
zxF
/sm556210
74524.307936.0645.16147.3645.1)95.0(95.0)(
3
XL TAB,
==
=⋅+=⋅+==⎯⎯⎯ →⎯=
y
y
X
x
SzyyzxF
15
Primer
Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95
Gumbelova raspodela:
Pirson III raspodela:
/sm56454.609970.23835
970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(3=⋅+=α⋅+=
=−−=→=
yux
yxFX
/sm55953.781802.14187
802.1)623.0,95.0(819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(
3
TAB
=⋅+=⋅+=
=========⎯⎯ →⎯=
xP
sxP
sxPsxPX
Skxx
cFkcFkcFkxF
/sm55953.243098.161678
098.1695.0)(
3
XL
=⋅+=β⋅+γ=
===βγ−
⎯→⎯=
ux
uxxFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0
Primer
Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95
Log-Pirson III raspodela:
/sm561710
74953.307936.0699.16147.3
699.1)196.0,95.0(
700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(
3
TAB
==
=⋅+=⋅+=
===
======⎯⎯ →⎯=
y
yP
syP
syPsyPX
x
Skyy
cFk
cFkcFkxF
/sm561700777.066.1218041.2
66.12195.0)(
3
XL
=⋅+=β⋅+γ=
===βγ−
⎯→⎯=
uy
uyxFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0
16
Primer
Sava – Sremska MitrovicaRezultati proračuna kvantila od 95%
Raspodela Protok sa F(x) = 0.95
(m3/s)
Normalna 5472
Log-normalna 5562
Gumbelova 5645
Pirson III 5595
Log-Pirson 3 5617
Testiranje saglasnosti
Saglasnost empirijske i teorijske raspodeleempirijska raspodela Fe(x)teorijska raspodela Ft(x)
Test Kolmogorova-Smirnovakontrolna statistika Dmax = max |Ft(x) – Fe(x)|kriterijum:
Dmax < Dkr → raspodele su saglasneDmax > Dkr → raspodele nisu saglasne
Dkr zavisi od dužine uzorka N i praga značajnosti α, dato u tablicama
N α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%
20 0.265 0.294 0.329 0.352
40 0.189 0.210 0.235 0.252
17
Primer
Sava – Sremska MitrovicaSaglasnost empirijske i teorijske raspodele –test Kolmogorova-Smirnova
Dmax
N LN G P3 LP3
0.088 0.072 0.072 0.065 0.067
0.2280.2130.1900.17151
α = 1%α = 2%α = 5%α = 10%N
Dkr
Izbor teorijske raspodele
Izbor najbolje teorijske raspodelena osnovu primenljivosti teorijske raspodele
da li osobine teorijske raspodele odgovaraju osobinama uzorka (npr. asimetrija)
na osnovu testova saglasnosti emirijske i teorijske raspodelevizuelna provera na dijagramu verovatnoće
18
Primer
Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: kontrola osobina raspodela
originalni niz X
logaritmovani niz Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent varijacije 0.187 0.022
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
P3 LP3, možda LN
Primer
Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: saglasnost empirijske i teorijske raspodele
Dmax
N LN G P3 LP3
0.088 0.072 0.072 0.065 0.067
najbolje slaganje
19
Primer
Sava – Sremska Mitrovicaizbor najbolje raspodele: vizuelna provera na papiru verovatnoće
0.9990.990.950.90.80.50.20.001 0.01 0.05 0.10
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
F(x)
x =
Q (m
3/s)
N LN
G P3
LP3 emp
Dijagrami verovatnoće
Verovatnoća u aritmetičkoj razmeri?
Kako “linearizovati” zavisnost F(x)?
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 200 400 600 800 1000
x
F(x
)
oblasti teškog očitavanja verovatnoće
20
Dijagrami verovatnoće
Standardizovane promenljive – jednoznačna veza između promenljive i verovatnoće
normalna raspodela: z – F(z)Gumbelova raspodela: y = –ln(–ln F)
Linearna veza između standardizovane i “originalne”promenljive
normalna raspodela: X = μ + σ ZGumbelova raspodela: X = u + α Y
Dijagram normalne verovatnoće
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
-3 -2 -1 0
0.5
0.5
2
0.3
0.7
0.1
0.9
0.01
0.99
0.001
0.999
0.7
0.3
0.9
0.1
10
0.99
0.01
100
0.999
0.001
1000
1 2 3
Standardizovana normalna promenljiva z
Sluč
ajna
pro
men
ljiva
x
Funkcija raspodele ( )F x
Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-
Povratni period (godina)T
21
Dijagram Gumbelove verovatnoće
Standardizovana Gumbelova promenljiva y
Sluč
ajna
pro
men
ljiva
x
Funkcija raspodele ( )F x
Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-
Povratni period (godina)T
0
200
400
600
800
1000
1200
-2
0.001
-1
0.01
0.99
0
0.1
0.9
0.3
0.7
0.5
0.5
2
1
0.7
0.3
2
0.9
0.1
10
3 4 5
0.99
0.01
100
0.95
0.05
20
0.98
0.02
50
6 7
0.999
0.001
1000
0.998
0.002
500
0.995
0.005
200
Dijagram log-normalne verovatnoće
10
100
1000
10000
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Standardna normalna promenljiva z
Prot
ok (m
3 /s)
osmotreni niz
LN raspodela
0.005 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.99
Funkcija raspodele F (x )
22
Papir normalne verovatnoće
“Komercijalni” papir
0.990.980.950.90.80.50.10.01 0.9950.001 0.998 0.9990.05 0.2 0.3 0.4 0.6 0.70.005