statistik€ giapolitikoÔc mhqanikoÔcusers.auth.gr/~dkugiu/teach/civilengineer/lecture1.pdf ·...

ΕισαγωγήΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

Δημήτρης Κουγιουμτζής

15 Νοεμβρίου 2017

Δημήτρης Κουγιουμτζής Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

Περιεχόμενα

Περιγραφική στατιστική (Σημειώσεις: Κεφ. 1)

Εκτίμηση παραμέτρων (Σημειώσεις: Κεφ. 2)

Στατιστικοί έλεγχοι (Σημειώσεις: Κεφ. 3)

Συσχέτιση, Παλινδρόμηση (Σημειώσεις: Κεφ. 4)

Ιστοσελίδα μαθήματος:http://users.auth.gr/dkugiu/Teach/CivilEngineer/

Εισαγωγικά

Βεβαιότητα

βέβαια φαινόμενα −→ χρήση καθοριστικών μεθόδων / μοντέλων• Πόση ώρα κάνει ένας ποδηλάτης από το ένα στο άλλο άκροτης Νέας Παραλίας Θεσσαλονίκης (3km), όταν πηγαίνει μεσταθερή ταχύτητα 20km/h;• Ποια θα είναι η θέση της γης ως προς τον ήλιο τηνπρωτοχρονιά 2018;

Αβεβαιότητα / τυχαιότητα

αβέβαια ή τυχαία φαινόμενα −→ χρήση στατιστικών μεθόδων /μοντέλων• Πόση ώρα κάνει κάποιος τη διαδρομή xxxxxx – Πολυτεχνείο μεποδήλατο / αυτοκίνητο;• Είναι ακριβές το δρομολόγιο του ΟΣΕ για Αθήνα –Θεσσαλονίκη; (π.χ. InterCity 10.18 – 15.41)

βέβαια φαινόμενα −→ χρήση καθοριστικών μεθόδων / μοντέλων

• Πόση ώρα κάνει ένας ποδηλάτης από το ένα στο άλλο άκροτης Νέας Παραλίας Θεσσαλονίκης (3km), όταν πηγαίνει μεσταθερή ταχύτητα 20km/h;• Ποια θα είναι η θέση της γης ως προς τον ήλιο τηνπρωτοχρονιά 2018;

βέβαια φαινόμενα −→ χρήση καθοριστικών μεθόδων / μοντέλων• Πόση ώρα κάνει ένας ποδηλάτης από το ένα στο άλλο άκροτης Νέας Παραλίας Θεσσαλονίκης (3km), όταν πηγαίνει μεσταθερή ταχύτητα 20km/h;

• Ποια θα είναι η θέση της γης ως προς τον ήλιο τηνπρωτοχρονιά 2018;

αβέβαια ή τυχαία φαινόμενα −→ χρήση στατιστικών μεθόδων /μοντέλων

• Πόση ώρα κάνει κάποιος τη διαδρομή xxxxxx – Πολυτεχνείο μεποδήλατο / αυτοκίνητο;• Είναι ακριβές το δρομολόγιο του ΟΣΕ για Αθήνα –Θεσσαλονίκη; (π.χ. InterCity 10.18 – 15.41)

αβέβαια ή τυχαία φαινόμενα −→ χρήση στατιστικών μεθόδων /μοντέλων• Πόση ώρα κάνει κάποιος τη διαδρομή xxxxxx – Πολυτεχνείο μεποδήλατο / αυτοκίνητο;

• Είναι ακριβές το δρομολόγιο του ΟΣΕ για Αθήνα –Θεσσαλονίκη; (π.χ. InterCity 10.18 – 15.41)

Παραδείγματα

Ποια είναι η αντοχή θραύσης ενός τύπου σκυροδέματος;

Ποια είναι η μέση ροή κίνησης σε μια οδική αρτηρία τομεσημέρι; Είναι μεγαλύτερη από 1000 οχήματα την ώρα;

Πόσοι χώροι πάρκινγκ ανά διαμέρισμα έχει κατά μέσο όρομια πολυκατοικία στην Τούμπα; Στην Καλαμαριά;Υπάρχει διαφορά στις δύο συνοικίες;

Πως μεταβάλλεται η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας μετο μέγεθος του διαμερίσματος; Μπορούμε να προβλέψουμεγια κάποιο διαμέρισμα γνωστού μεγέθους την κατανάλωσηενέργειας;

Πως θα απαντήσουμε; =⇒ Στατιστική

Πως θα απαντήσουμε; =⇒

Στατιστική

Διαδικασία Στατιστικής

1 Δειγματοληψία (συλλογή δεδομένων)2 Περιγραφική Στατιστική (περιγραφή / παρουσίαση

δεδομένων και συνοπτικών μέτρων)3 Στατιστική Συμπερασματολογία ή Στατιστική

(ανάλυση στατιστικών δεδομένων και ερμηνείααποτελεσμάτων)

Παράδειγμα: Χώροι πάρκιγκ

1 Συλλέγουμε δεδομένα από 20 πολυκατοικίες στην Τούμπα

και 19 στην Καλαμαριά. X

2 ‘Βλέπουμε’ τις παρατηρήσεις (πίνακες, γραφήματα) και

υπολογίζουμε κάποια μέτρα (π.χ. μέσο όρο). V

3 Εφαρμόζουμε στατιστικές μεθόδους για να εκτιμήσουμε τομέσο χώρο πάρκιγκ στις δύο συνοικίες και για να ελέγξουμε

αν υπάρχει σημαντική διαφορά. V

Διαδικασία Στατιστικής1 Δειγματοληψία (συλλογή δεδομένων)

2 Περιγραφική Στατιστική (περιγραφή / παρουσίασηδεδομένων και συνοπτικών μέτρων)

3 Στατιστική Συμπερασματολογία ή Στατιστική(ανάλυση στατιστικών δεδομένων και ερμηνείααποτελεσμάτων)

Διαδικασία Στατιστικής1 Δειγματοληψία (συλλογή δεδομένων)2 Περιγραφική Στατιστική (περιγραφή / παρουσίαση

δεδομένων και συνοπτικών μέτρων)

3 Στατιστική Συμπερασματολογία ή Στατιστική(ανάλυση στατιστικών δεδομένων και ερμηνείααποτελεσμάτων)

Χρήσιμοι όροι Στατιστικής

τυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Χρήσιμοι όροι Στατιστικήςτυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.

δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Χρήσιμοι όροι Στατιστικήςτυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.

πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Χρήσιμοι όροι Στατιστικήςτυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.

δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Χρήσιμοι όροι Στατιστικήςτυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.

παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Χρήσιμοι όροι Στατιστικήςτυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.

στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Χρήσιμοι όροι Στατιστικήςτυχαία μεταβλητή (τ.μ.): οποιοδήποτε χαρακτηριστικότου οποίου η τιμή αλλάζει στα διάφορα στοιχεία τουπληθυσμού, π.χ. η αντοχή θραύσης σκυροδέματος.δεδομένα: ένα σύνολο τιμών μιας τ.μ. που έχουμε στηδιάθεση μας, π.χ. μετρήσεις αντοχής θραύσης σκυροδέματος.πληθυσμός: μια ομάδα ή μια κατηγορία στην οποίααναφέρεται η τ.μ., π.χ. σκυρόδεμα γενικά, ή ένας τύποςσκυροδέματος.δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετάμε, π.χ.25 δοκίμια σκυροδέματος γενικά ή ενός τύπου.παράμετρος: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στον πληθυσμό, π.χ. η μέση τιμή αντοχήςθραύσης σκυροδέματος.στατιστικό: ένα μέγεθος που συνοψίζει με κάποιο τρόποτις τιμές της τ.μ. στο δείγμα, π.χ. ο μέσος όρος αντοχήςθραύσης από τα 25 δοκίμια σκυροδέματος που μετρήσαμε.

Πιθανότητες

Πιθανοθεωρία

Τυχαία μεταβλητή τ.μ. X

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή συνάρτηση μάζαςπιθανότητας fX (x)

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής FX (x)

Κύριες παράμετροι κατανομής:– Μέση (προσδοκώμενη) τιμή: E(X ) = µ– Διασπορά (διακύμανση): Var(X ) = σ2

Σκοπός Πιθανοθεωρίας

γνωρίζουμε κατανομή (παραμέτρους) −→ μελετάμε την τ.μ.

Σκοπός Στατιστικής

γνωρίζουμε τιμές της τ.μ. −→ συμπεράσματα για την τ.μ.

γνωρίζουμε τιμές της τ.μ. −→ συμπεράσματα για την τ.μ.Δημήτρης Κουγιουμτζής Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

Με βάση τα δεδομένα θέλουμε να βγάλουμε συμπεράσματα:από δείγμα −→ για πληθυσμό

από στατιστικό −→ για παράμετρο

Παράμετρος: σταθερή κι άγνωστη

Στατιστικό: μεταβλητό και γνωστό

Δείγμα: τυχαίο και αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού

Πείραμα: ’τυχαίο και αντιπροσωπευτικό δείγμα’;

1 Πάρε ένα χαρτάκι με τηνεικόνα στο διπλανό σχήμα.

2 Διάλεξε τυχαίο καιαντιπροσωπευτικό δείγμαπέντε κύκλων από τους 60του πληθυσμού.

3 Υπολόγισε το μέσο όρο τωνακτίνων των 5 κύκλων καιγράψε το στο πίσω μέρος,π.χ.

1 + 0.5 + 1.5 + 1 + 2.5

5= 1.3

Περιγραφή Στατιστικών δεδομένωνΠεριγραφικά Μέτρα Στατιστικών Δεδομένων

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Περιγραφή Στατιστικών δεδομένων1. Διακεκριμένες τιμές (k κατηγορίες ή λίγες αριθμητικέςτιμές xi , i = 1, ..., k, δείγμα μεγέθους n)

Συχνότητες

συχνότητα εμφάνισης της τιμής xi , fi

σχετική συχνότητα / ποσοστό, pi =fin

αθροιστική συχνότητα Fi =∑i

j=1 fj όπου xj ≤ xiαθροιστική σχετική συχνότηταPi =

∑ij=1 pj όπου xj ≤ xi

Παρουσίαση συχνοτήτων για τα xi :πίνακα συχνοτήτων: μια γραμμή για κάθε τιμή, κάθεστήλη είναι ένας τύπος συχνότηταςραβδόγραμμα: μια ράβδος για τη συχνότητα κάθε τιμήςκυκλικό διάγραμμα (’πίτα’), ...

Περιγραφή Στατιστικών δεδομένων

1. Διακεκριμένες τιμές (k κατηγορίες ή λίγες αριθμητικέςτιμές xi , i = 1, ..., k, δείγμα μεγέθους n)

j=1 fj όπου xj ≤ xi

αθροιστική σχετική συχνότηταPi =

Παρουσίαση συχνοτήτων για τα xi :

πίνακα συχνοτήτων: μια γραμμή για κάθε τιμή, κάθεστήλη είναι ένας τύπος συχνότηταςραβδόγραμμα: μια ράβδος για τη συχνότητα κάθε τιμήςκυκλικό διάγραμμα (’πίτα’), ...

Παρουσίαση συχνοτήτων για τα xi :πίνακα συχνοτήτων: μια γραμμή για κάθε τιμή, κάθεστήλη είναι ένας τύπος συχνότητας

ραβδόγραμμα: μια ράβδος για τη συχνότητα κάθε τιμήςκυκλικό διάγραμμα (’πίτα’), ...

Παρουσίαση συχνοτήτων για τα xi :πίνακα συχνοτήτων: μια γραμμή για κάθε τιμή, κάθεστήλη είναι ένας τύπος συχνότηταςραβδόγραμμα: μια ράβδος για τη συχνότητα κάθε τιμής

κυκλικό διάγραμμα (’πίτα’), ...

Παράδειγμα: αριθμός δωματίων διαμερίσματος

Δίνεται ο αριθμός δωματίων σε ένα δείγμα 120 διαμερισμάτωνμιας συνοικίας της πόλης.

1 4 2 2 2 3 4 3 1 1 3 31 2 1 2 1 1 2 3 3 5 1 22 3 2 1 1 4 3 4 1 1 6 21 3 2 1 2 2 3 2 4 3 3 51 3 5 3 1 2 2 3 1 2 6 41 2 5 4 3 1 2 4 2 1 3 42 2 2 3 2 1 3 3 4 2 1 52 2 3 3 2 4 6 3 2 3 1 32 1 5 1 1 4 4 2 5 4 2 24 2 1 2 2 2 3 2 3 2 1 4

Παράδειγμα: αριθμός δωματίων διαμερίσματος

Δίνεται ο αριθμός δωματίων σε ένα δείγμα 120 διαμερισμάτωνμιας συνοικίας της πόλης.

1 4 2 2 2 3 4 3 1 1 3 31 2 1 2 1 1 2 3 3 5 1 22 3 2 1 1 4 3 4 1 1 6 21 3 2 1 2 2 3 2 4 3 3 51 3 5 3 1 2 2 3 1 2 6 41 2 5 4 3 1 2 4 2 1 3 42 2 2 3 2 1 3 3 4 2 1 52 2 3 3 2 4 6 3 2 3 1 32 1 5 1 1 4 4 2 5 4 2 24 2 1 2 2 2 3 2 3 2 1 4

Παράδειγμα (συνέχεια)

Πίνακας συχνοτήτωνxi fi pi Fi Pi

1 28 0.23 28 0.232 39 0.33 67 0.563 27 0.23 94 0.784 16 0.13 110 0.925 7 0.06 117 0.976 3 0.03 120 1.00

Άθροισμα 120 1.00

Ραβδόγραμμα

1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35

40

αριθµoς δωµατιων

συχν

oτητ

α

ραβδoγραµµα δωµατιων

Πίνακας συχνοτήτωνxi fi pi Fi Pi

1 28 0.23 28 0.232 39 0.33 67 0.563 27 0.23 94 0.784 16 0.13 110 0.925 7 0.06 117 0.976 3 0.03 120 1.00

Άθροισμα 120 1.00

Ραβδόγραμμα

1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35

40

αριθµoς δωµατιων

συχν

oτητ

α

ραβδoγραµµα δωµατιων

2. Αριθμητικές τιμές (πολλές διακεκριμένες τιμές, τιμές σε διάστημα)

Ομαδοποίηση

Χωρίζουμε τα δεδομένα σε k ομάδες −→ πίνακες / γραφήματαόπως πριν για τις k τιμές (ομάδες)

Χωρισμός σε ομάδες: (ίδιο εύρος τιμών r σε κάθε ομάδα)

Εύρος δεδομένων: R = xmax − xmin

R/k ' r

Το πρώτο διάστημα πρέπει να περιέχει το xminΤο τελευταίο διάστημα πρέπει να περιέχει το xmax

Ραβδόγραμμα (ενώνοντας τις πλευρές) −→ ιστόγραμμα

Άλλα γραφήματα: φυλλογράφημα, σημειογράφημα, ...

R/k ' r

Θέμα 1

Προσδιορισμός αριθμού ομάδων ή εύρος διαστήματοςιστογράμματος (number of bins or bin width): Μέθοδοι καιπεριορισμοί.

Θέμα 2

Φυλλογράφημα (stem and leaf plot): Παρουσίαση,πλεονεκτήματα και παράδειγμα.

Θέμα 1

Προσδιορισμός αριθμού ομάδων ή εύρος διαστήματοςιστογράμματος (number of bins or bin width): Μέθοδοι καιπεριορισμοί.

Θέμα 2

Φυλλογράφημα (stem and leaf plot): Παρουσίαση,πλεονεκτήματα και παράδειγμα.

Παράδειγμα: αντοχή θραύσης σκυροδέματος

Μετρήθηκε η αντοχή θραύσηςσκυροδέματος σε δύο δείγματααπό δύο τύπους σκυροδέματος Ακαι Β.

Α/Α τύπος Α τύπος Β1 5.3 5.02 4.5 4.23 5.7 5.44 5.8 5.55 4.8 4.66 6.4 6.17 6.4 6.18 5.6 5.39 5.8 5.510 5.7 5.411 5.5 5.212 6.1 5.813 5.2 4.914 7.0 6.715 5.5 5.216 5.7 5.417 6.3 6.018 5.6 5.319 5.5 5.220 5.0 4.821 5.822 4.723 6.124 6.725 5.1

Σύνολο 141.8 107.6

X αντοχή θραύσης του σκυροδέματος τύπου Α (σε ksi)

Χωρισμός σε ομάδεςxmin = 4.5 ksi xmax = 7.0 ksiR = xmax − xmin = 7.0− 4.5 = 2.5 ksi.Διαλέγουμε να χωρίσουμε τα δεδομένα σε 10 ομάδες (k = 10)

r =R

k=

2.5

10= 0.25 ksi,

Διαλέγουμε η πρώτη ομάδα (διάστημα) να αρχίζει από τηντιμή 4.5 ksiομάδα 1: 4.50− 4.75ομάδα 2: 4.75− 5.00...ομάδα 10: 6.75− 7.00

Η τελευταία ομάδα περιλαμβάνει το xmax = 7.0 ksi

X αντοχή θραύσης του σκυροδέματος τύπου Α (σε ksi)Χωρισμός σε ομάδεςxmin = 4.5 ksi xmax = 7.0 ksiR = xmax − xmin = 7.0− 4.5 = 2.5 ksi.

Διαλέγουμε να χωρίσουμε τα δεδομένα σε 10 ομάδες (k = 10)

r =R

k=

2.5

10= 0.25 ksi,

X αντοχή θραύσης του σκυροδέματος τύπου Α (σε ksi)Χωρισμός σε ομάδεςxmin = 4.5 ksi xmax = 7.0 ksiR = xmax − xmin = 7.0− 4.5 = 2.5 ksi.Διαλέγουμε να χωρίσουμε τα δεδομένα σε 10 ομάδες (k = 10)

r =R

k=

2.5

10= 0.25 ksi,

X αντοχή θραύσης του σκυροδέματος τύπου Α (σε ksi)Χωρισμός σε ομάδεςxmin = 4.5 ksi xmax = 7.0 ksiR = xmax − xmin = 7.0− 4.5 = 2.5 ksi.Διαλέγουμε να χωρίσουμε τα δεδομένα σε 10 ομάδες (k = 10)

r =R

k=

2.5

10= 0.25 ksi,

Η τελευταία ομάδα περιλαμβάνει το xmax = 7.0 ksiΔημήτρης Κουγιουμτζής Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

Πίνακας συχνοτήτων

Διάστημα τιμών fi pi Fi Pi4.50 – 4.75 2 0.08 2 0.084.75 – 5.00 2 0.08 4 0.165.00 – 5.25 2 0.08 6 0.245.25 – 5.50 4 0.16 10 0.405.50 – 5.75 5 0.20 15 0.605.75 – 6.00 3 0.12 18 0.726.00 – 6.25 2 0.08 20 0.806.25 – 6.50 3 0.12 23 0.926.50 – 6.75 1 0.04 24 0.966.75 – 7.00 1 0.04 25 1.00Άθροισμα 25 1.00

Ιστόγραμμα

4.5 5 5.5 6 6.5 70

1

2

3

4

5Histogram of beton data

bins

Μπορούμε να δεχτούμε ότι η X ακολουθεί κάποια γνωστήκατανομή;Είναι σημαντικό για την στατιστική ανάλυση να είναι ηκατανομή κανονική

4.5 5 5.5 6 6.5 70

1

2

3

4

bins

Μπορούμε να δεχτούμε ότι η X ακολουθεί κάποια γνωστήκατανομή;

Είναι σημαντικό για την στατιστική ανάλυση να είναι ηκατανομή κανονική

4.5 5 5.5 6 6.5 70

1

2

3

4

bins

Μπορούμε να δεχτούμε ότι η X ακολουθεί κάποια γνωστήκατανομή;Είναι σημαντικό για την στατιστική ανάλυση να είναι ηκατανομή κανονική

Περιγραφικά Μέτρα Στατιστικών Δεδομένων

• μέτρα θέσης: προσδιορίζουν χαρακτηριστικές θέσεις μέσαστο εύρος των δεδομένων

• μέτρα μεταβλητότητας: δίνουν περιληπτικά τη διασκόρπισηκαι μεταβλητότητα των δεδομένων

x1, x2, . . . , xn: παρατηρήσεις του δείγματος

statistik€ giapolitikoÔc mhqanikoÔcusers.auth.gr/~dkugiu/teach/civilengineer/lecture1.pdf ·...

Documents