statistika konsep variabel acak & distribusi peluang
DESCRIPTION
Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi PeluangTRANSCRIPT
Pertemuan 4
STATISTIKA 1Konsep Variabel Acak dan
Distribusi Peluang
Rully Aprianto
November 2013
Carpe Diem
Konsep Variabel Acak Variabel acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi)
ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). Fungsi variabel acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk
mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi variabel acak harus mampu memetakan setiap kejadian dengan
tepat ke satu bilangan riil. Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang
seimbang. Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai berikut:
R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Salah satu variabel acak yang dapat dibuat adalah:
X = jumlah sisi dadu yang bermata genap
= 0 jika sisi dadu ganjil
=1 jika sisi dadu genap
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:
Daerah fungsi Wilayah fungsi
S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.
X(ei) . 0
. 1
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Distribusi Peluang variabel Acak X tergantung dari distribusi peluang kejadiannya.
Sehingga distribusi variabel acak X dapat dijabarkan sebagai berikut:
p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)
= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6
p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
Sisi yang muncul
Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6
Peluang kejadian
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
X 0 1 0 1 0 1
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
LatihanDua buah mata uang dilempar bersama-sama. Jika masing-masing memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang kejadiannya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka definisikan variabel acak tersebut. Lengkapi dengan distribusi peluang dari variabel acak tersebut.
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Nilai Harapan Variabel Acak Nilai harapan dari variabel acak adalah pemusatan dari
nilai variabel acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.
Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:
kontinu p.a X jika ,)(
diskret p.a X jika ),(
)(1
dxxfx
xpx
X
ii
n
iix
Ε
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Sifat-sifat Nilai Harapan Jika c konstanta maka E(c ) = c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c
maka E(cX) = c E(X) Jika X dan Y variabel acak maka E(XY) =
E(X) E(Y)
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Contoh: Jika diketahui distribusi peluang dari
variabel acak X seperti tabel disamping
Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Nilai variabel Acak X
X 0 1 2 3 4 5
P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Ragam Variabel Acak Ragam dari variabel acak X didefinisikan sebagai berikut:
V(X) = E(X-E(X))2
= E(X2) - E2(X) tunjukkan ! Sifat-sifat dari ragam
Jika c konstanta maka V(c ) = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2 V(X) Jika X dan Y variabel acak maka, V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)
Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
Contoh (Gunakan contoh sebelumnya)V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2
= 55/6 - 225/36 = 105/36
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Distribusi Peluang Populasi (1) Distribusi Peluang Diskret
Merupakan distribusi peluang bagi variabel acak yang nilai-nilainya diperoleh dengan cara mencacah (counting)
Beberapa distribusi peluang diskret, antara lain: Bernoulli Binomial Poisson
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Distribusi Peluang Kontinu Merupakan distribusi peluang bagi variabel acak
yang nilai-nilainya diperoleh dengan menggunakan alat ukur
Beberapa distribusi yang tergolong dalam distribusi variabel acak kontinu antara lain: Normal Weibull Gamma Beta
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Distribusi Peluang Populasi (2)
Distribusi Peluang Diskret Bernoulli
Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal
variabel acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal
Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Binomial Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas variabel acak Binomial merupakan jumlah dari
kejadian sukses, X=0,1,2,….,n Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat
dituliskan sebagai:P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n
dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Distribusi Peluang Diskret
Contoh: Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Distribusi Peluang KontinuDistribusi Normal
Bentuk distribusi simetrik Mean, median dan modus berada
dalam satu titik Fungsi kepekatan peluang dapat
dituliskan sebagai berikut: P ( - < x < + ) = 0.683 P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954
Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:
variabel acak (X) dengan mean () dan ragam (2) menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)
2
2
12
2
1),,(
x
exf
b
a
aFbFdxxfbxap )()()()(
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
X
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Setiap variabel acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda perhitungan peluang akan sulit
Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi variabel acak normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi
Distribusi peluang dari variabel acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku
X
Z
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Cara Penggunaan Tabel Normal Baku Nilai z, disajikan pada kolom
pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)
Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang variabel acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).
Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03
-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004
-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006
-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008
P(Z<-2.42)=0.008
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Contoh: Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 5 mm2. Hitunglah,1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai
20 mm?3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Tugas 2 Seorang peternak menetaskan dua butir telur untuk menghitung
keuntungan dari usaha menetaskan telur ayam petelur. Ada tiga kemungkinan hasil yaitu telur menetas dengan jenis kelamian jantan dengan peluang 0.45, menetas dengan jenis kelamin betina dengan peluang 0.45 dan kemungkinan terakhir adalah telur tidak menetas. Harga telur Rp 1000/butir, biaya tetas Rp 300/butir, harga jual anak ayam jantan Rp 800/ekor dan harga anak ayam betina Rp 3000/ekor.
1. Tentukan ruang contohnya 2. Definisikan variabel acaknya agar dapat menghitung keuntungan 3. Tentukan peluang untuk tiap nilai variabel acak 4. Hitung nilai harapan dari variabel acaknya! 5. Apakah untung atau rugi?
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Tugas 3 Lima ibu akan melahirkan bayi tunggal. Peluang
seorang ibu akan melahirkan bayi laki-laki sebesar 0.5
a. Tentukan ruang contohnya b. Tentukan semua bayi yang dilahirkan laki-laki. c. Tentukan peluang paling banyak 3 bayi
dilahirkan berjenis kelamin perempuan.
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
Tugas 4 Berat badan mahasiswi menyebar normal dengan
mean sebesar 50 Kg dan standar deviasi 10 Kg. Seorang mahasiswi menimbang berat badannya
a. Berapa peluang berat badan mahasiswi tersebut antara 48 Kg sampai 55 Kg
b. Jika berat badan mahasiswi tersebut tergolong 5% terkurus berapa berat maksimum berat badan mahasiswi tersebut?
KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang
Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])
Statistika 1
22 S E K I A N
AD ASTRA PER ASPIRA