STATISTIKA

Statistika : Cabang matematika yang mempelajari tentang cara pengumpulan, cara penyajian,

menganalisa data, dan penarikan kesimpulan dari data itu.

Statistik : Angka-angka yang bisa kita dapatkan dari statistika. Ada 2 jenis statistik, yaitu : 1) statistik

deskriptif yaitu informasi yang kita dapatkan dari statistik. 2) statistik inverensi yaitu penarikan

kesimpulan dari informasi-informasi dari statistika.

Statistik :

1) Statistik peringkat : Penulisan data yang diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.

2) Statistik Ekstrim :

a. Statistik minimum (X1) adalah data yang terkecil.

b. Statistik maksimum (Xn) adalah data terbesar.

3) Statistik Rataan Tiga (SRT)

SRT= 14

(Q1+2Q2+Q3)

Q1, Q2, dan Q3 adalah nilai-nilai kuartil.

Q1 = kuartil pertama (kuartil bawah)

Q2 = kuartil kedua (kuartil tengah)

Q3 = kuartil ketiga (kuartil atas)

Kuartil adalah statistik yang membagi statistik peringkat menjadi empat bagian yang sama.

X1 Q1 Q2 Q3 Xn

Cara mencari nilai-nilai kuartil :

Dengan membagi

Contoh :

Dari data : 1, 4, 7, 5, 8, 2, 4, 9, 10, 5, 11, 4, 3, 2, 6, 8

1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11

Q1=3+42

=3,5 Q3=8+82

=8

Q2=5+52

=5

SRT= 14

(Q1+2Q2+Q3)

¿14

(3,5+2.5+8 )=5,375

Cara Interpolasi

Terlebih dahulu, tentukan letak kuartilnya

Letak kuartil pada i4(n+1) dengan i = 1, 2, 3

Contoh :

1. 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 14

n = 17

letak Q1 pada i4

(17+1 )=4,5=4+0,5

Berarti letak Q1 diantara data ke 4 dan ke 5

Q1 = X4 + 0,5 (X5 – X4)

= 4 + 0,5 (5 – 4)

= 4 + 0,5 (1)

= 4,5

Q2 = pada 24

(17+1 ) = 12

(18 )=9

Berarti letak Q2 berada pada data ke 9 Q2 = X9

Q2 = 7

Q3 terletak pada 34

(17+1 )=13,5=13+0,5

Berarti letak Q3 diantara data ke 13 dan ke 14

Q3 = X13 + 0,5 (X14 – X13)

= 8 + 0,5 (9 -8)

= 8 + 0,5 (1)

= 8,5

Metoda Genap Ganjil dari n (banyaknya data)

Jika n genap m= n2

Maka letak Q2 diantara data ke (n2) dan (

n2+1)

Q2 = X ( n2 )+X ( n

2+1)

2

Jika n ganjil m= n−12

Maka letak Q2 pada data ke (n2+1)

Q2 = X ( n+12

)

Jika m genap, maka Q1 diantara data ke (m2

) dan ( m2

+1¿

dari KIRI, Q3 dari KANAN

Q1 = X (m2 )+X (m

2+1)

2 dari KIRI

Q3 = X (m2 )+X (m

2+1)

2 dari KANAN

Jika m ganjil, maka Q1 pada data ke ( m2

+1¿ dari KIRI

Q3 pada data ke ( m2

+1¿ dari KANAN

Dari contoh

n=17 ganjil m=n−12

¿17−12

=8

Q2 pada data ke 17+12

atau data ke 9 (X9)

Q2 = X9 = 7

m = 8 (genap)

Q1 diantara X 82 dan X 8

2+1 atau X4 dan X5 dari KIRI

Q3 diantara X4 dan X5 dari KANAN

Q1=4+52

=4,5 Q3=8+92

=8,5

Jangkauan antar kuartil / hamparan (H)

H = Q3 – Q1

Jangkauan semi interkuartil / simpangan semi antar kuartil (Qd)

Qd=12H=1

2(Q3−Q1)

4) Statistik Lima Serangkai

Adalah statistik yang terdiri atas lima unsur, yaitu statistik ekstrim dan kuartil yang

dituliskan dalam bentuk bagan, sbb :

Q2

Q1 Q3

X1 Xn

Dari contoh, cari :

a. Hamparan

b. Qd

c. Statistik lima serangkai

Jawab

a. H = Q3 – Q1 = 8,5 – 4,5 = 4

b. Qd=12H=1

2(4)=2

c.

5) Ukuran Pemusatan Data / Ukuran Kecenderungan Memusat

a. Rataan Hitung / Mean (X )

Data Tunggal Murni

X=∑ X in

∑ X i = Jumlah data

n = banyaknya data

Xi = Data ke-i

Contoh :

Cari mean dari data : 4, 5, 6, 7, 8

Jb : 4, 5, 6, 7, 8 n = 5

Q2=7Q1=4,5 Q3=8,5

X1=1 Xn=11

∑ X i = 4+5+6+7+8 = 30

X=∑ X in

=305

=6

Data Tunggal Berbobot

X=∑ {fi . xi }

∑ fi

Xi = Data ke-i

fi = Frekuensi data ke-i = n

Contoh :

Hitung rataan dari data : 4, 5, 3, 4, 2, 5, 1, 4, 3

Jb : 4, 5, 3, 4, 2, 5, 1, 4, 3 diurutkan menjadi 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5

∑ {fi . xi }=1.1+2.1+3.2+4.3+5.2=1+2+6+12+10=31

∑ fi=n=9

X=∑ {fi . xi }

∑ fi=319

=3,44

b. Rataan Gabungan (X gab)

Jika terdapat beberapa kelompok data, sbb :

Kelompok I : Rataannya X1, banyaknya data n1

Kelompok II : Rataannya X2, banyaknya data n2

Kelompok III : Rataannya X3, banyaknya data n3

Maka :

X gab=n1 . X1+n2 . X2+n3 X3

n1+n2+n3

Contoh :

Jika di dalam satu kelas terdapat 24 siswa pria dengan rataan berat badan 64 kg dan

terdapat 26 siswa wanita dengan rataan berat badan 53 kg. Berapa rataan berat badan

siswa pada kelas itu?

Jb : n1 = 24 n2 = 26

X1=64 X2=53

X gab=n1 . X1+n2 . X2n1+n2

¿ 24 .64+26 .5324+26

¿ 1536+137850

¿ 291450

¿58,28

c. Median (Me)

Adalah nilai tengah dari statistik peringkat. Besarnya median sama dengan kuartil

kedua (Q2).

d. Modus (Mo)

Adalah data yang paling sering muncul atau data yang frekuensinya tertinggi.

Ada tiga jenis modus :

1) Mono modus : modusnya hanya satu / tunggal

2) Bi modus : modusnya ada dua

3) Multi modus : modusnya lebih dari dua

Contoh :

Cari median dan modus dari data : 10, 13, 12, 13, 10, 14, 15, 17, 18

Jb : 10, 10, 12, 13, 13, 14, 15, 17, 18

Me = Q2 = 13

Mo = 10, 13 (Bi modus)

6) Ukuran Letak

Statistik yang termasuk dalam ukuran letak ada 3

1. Kuartil

2. Desil

3. Presentil

Desil : Membagi sekumpulan data menjadi 10 bagian

Letak Di=i(n+1)10

; i = 1, 2, 3, ... , 10

Contoh

Diberikan data sebagai berikut : 4, 5, 2, 7, 8, 7, 5, 6, 10, 14, 3,

11, 15, 4, 2

Carilah : a. D4 b. D6

Jawab

2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8 ,10, 11, 14, 15 n = 16

a. D4 i = 4

Letak D4= 4 (16+1)10

=4.1710

=6,8=6+0,8

D4 diantara X6 dan X7

D4 = X6 + 0,8 (X7 – X6) = 4 + 0,8 (5 – 4) = 4 + 0,8 = 4,8

b. D6 i = 6

Letak D6 = 6(16+1)10

=6.1710

=10,2=10+0,2

D6 diantara X10 dan X11

D6 = X10 + 0,8 (X11 – X10) = 7 + 0,2 (7 – 7) = 7 + 0 = 7

Presentil : Membagi sekumpulan data menjadi 100 bagian

Letak Pi=i(n+1)100

; i = 1, 2, 3, ... ,100

Contoh :

Diberikan data sbb:

Xi 24 25 26 28 31 35 42 43 47 52fi 11 19 12 17 13 18 14 16 15 17 152

Carilah : a. P30 b. P70

Jawab :

a. Letak P30=30(152+1)100

=30.153100

=45,9=45+0,9

Letak P30 diantara X45 dan X46

P30 = X45 + 0,9 (X46 – X45) = 28 + 0,9 (28 – 28) = 28

b. Letak P70=70(152+1)100

=70.153100

=107,1=107+0,1

Letak P70 diantara X107 dan X108

P70 = X107 + 0,1 (X108– X107) = 43 + 0,1 (43 – 43) = 43

7) Ukuran Penyebaran / Dispersi

A. Jangkauan Data

1. Rentang (R) : Selisih statistik ekstrim

R = Xn – X1

2. Simpangan Interkuartil / Hamparan (H)

H = Q3 – Q1

3. Simpangan Semi Interkuartil (Qd)

Qd = 12H=1

2(Q3−Q1 )

4. Langkah (L)

L = 32H

Contoh :

Dari data : 4, 7, 8, 11, 14, 5, 6, 8, 7, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 11,

12, 14

Carilah : a. Rentang c. Qd

b. Hamparan d. Langkah

Jawab :

1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 11 ,11, 12 ,14, 14

n = 18

a. X1 = 1 X18 = 14

R = X18 –X1 =14 – 1 = 13

b. H = Q3 – Q1 = 11 – 5 = 6

c. Qd = 12H=1

2.6=3

d. L = 32H=3

2.6=9

B. Simpangan

1. Simpangan Rata – Rata (SR)

a. Untuk data tunggal murni

SR = ∑|X i−X|n

b. Untuk data tunggal berbobot

SR = ∑ {fi|X i−X|}

∑ fi

Contoh :

Cari simpangan rata – rata dari : 4, 4, 2, 3, 3, 10

Jawab

2, 3, 3, 4, 4, 10 n = 6

∑ X i=2+3+3+4+4+10=26

X=∑ X in

=266

=4,3

xi fi xi−x |xi−x| fi|xi−x|2 1 -2,3 2,3 2,33 2 -1,3 1,3 2,64 2 -0,3 0,3 0,6

10 1 5,7 5,7 5,711,2

SR = ∑ {fi|X i−X|}

∑ fi=11,2

6=1,87

2. Simpangan Baku / Standar Deviasi (S)

a. Untuk data tunggal murni

S=√∑ ( xi−x ) ²n

Atau

S=√∑ ( xi )2−n (x)2

n

b. Untuk data tunggal berbobot

S=√∑ { fi ( xi−x ) ² }∑ fi

Atau

S=√∑ { fi ( xi )2 }−∑ {fi ( x )2 }∑ fi

3. Variansi / Ragam : kuadrat dari simpangan baku

Variansi = S2

Contoh :

Carilah simpangan baku dan variansi dari data : 3, 4, 5, 6, 7

Jawab :

n = 5

x=5

S=√∑ ( xi−x ) ²n

=√ 105 =√2

Variansi = S2 = (√2 )2=2

8) Pencilan : data yang tidak konsisten, yang terpencil atau yang diluar pagar.

Ada dua jenis pagar :

a. Pagar Dalam (PD)

PD = Q1 – L

b. Pagar Luar (PL)

PL = Q3 + L

Pencilan

L L

X1 PD Q1 Q3 PL Xn

L L

PD X1 Q1 Q3 Xn PL

Xi xi−x ( xi−x ) ²3 -2 44 -1 15 0 06 1 17 2 4

10

pencilan

L L

X1 PD Q1 Q3 Xn PL

L L pencilan

PD X1 Q1 Q3 PL Xn

Contoh :

Carilah pencilan dari data berikut : 10, 100, 1000, 10000, 100000

Jawab

Q1 = 55 Q3 = 55000

H = Q3 – Q1 = 55000 – 55 = 54945

L=32=32.54945=27472,5

PD = Q1 – L = 55 – 27472,5 = -27417,5

PL = Q3 + L = 55000 + 27472,5 =82472,5

Pencilan = 100000