statistische maßzahlen arten mittelwerte modus median(zentralwert) quantile zweck –kennzeichnung...
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statistische Maßzahlen
• Arten
Mittelwerte Modus
Median(Zentralwert) Quantile
• Zweck
– Kennzeichnung einer Menge von Objekten durch den typischen Wert
– Vergleich von 2 Mengen (z.B. 2 Stichproben)
• Verschiedene Verfahren bei
– ungruppierten Daten.....................
– gruppierten Daten.................................
– klassierten Daten...........................................................
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– Beispiel: Zensuren
• 1,1,2,2,3,3,3
– Mittelwert (arithmetisch)
• alle Merkmalsausprägungen werden addiert, • dann wird durch die Gesamtzahl geteilt• hier =2,142857
– Modus
• häufigster Wert• hier :3
– Zentralwert
• die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer
• hier: 2
Maßzahlen bei Listen: babyleicht
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Maßzahlen bei Listen: Beispiele und Formeln
– Beispiel: Zensuren
• 1,1,2,2,3,3,3
– arithmetischer Mittelwert
- Zentralwert
• die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer
• hier:
– Modus
• häufigster Wert, hier :Mo=3
24
2
1 xxZ N
7
3332211
N
xx
i
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Maßzahlen bei Listen: Beispiele und Formeln
– Beispiel: Zensuren
• 1,1,2,2,3,3,3,4
– arithmetischer Mittelwert
- Zentralwert
• die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer
• hier:
– Modus
• häufigster Wert, hier :Mo=3
5254
221 , xxxxZ NN
8
43332211
N
xx
i
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arithmetischer Mittelwert
Ausprägung 1 2 3 4 5 6 7
Häufigkeit 1 1 1 1 1 1 1N=7
einfaches arithmetisches Mittel x=4=28/7
Ausprägung 1 1 1 4 4 7
Häufigkeit 1 1 1 1 1 1
N=6
einfaches arithmetisches Mittel x=3=18/6
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arithmetischer Mittelwert für Schulkinder(1)
Ausprägung 1 1 1 4 4 7
absolute Häufigkeit 1 1 1 1 1 1
einfaches arithmetisches Mittel
Ausprägung 1 4 7
absolute Häufigkeit 3 2 1
gewogenes arithmetisches Mittel
6
744111
N
xx
i
6
172431 ****
N
nxx
ii
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arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten (Rechentabelle)
Merkmal absolute Häufigkeit
Produkt
1 3 1*3=3
4 2 4*2=8
7 1 7*1=7
Summe 18
= 3 = arithmet. Mittelwert
:6
6
172431 ****x
N
nx ii
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arithmetisches Mittel für Schulkinder(2)
– Beispiel: Altersangabe
10
450140330220 *****x
N
nx ii
Alter absolute Häufigkeit
20 2
30 3
40 1
50 4
arithmetischer Mittelwert
• berechnet mit absoluter Häufigkeit
• Bei der obigen Formel spricht man auch vom
„gewogenen arithmetischen Mittel“
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arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten (Rechentabelle)
Alter absolute Häufigkeit
Produkt
20 2 40
30 3 90
40 1 40
50 4 200
Summe 370
= 37
:10
10
450140330220 *****x
N
nx ii
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arithmetisches Mittel mit relativen Häufigkeiten
Alter absolute Häufig-
relative keit
Produkt
20 2 0,2 4
30 3 0,3 9
40 1 0,1 4
50 4 0,4 20
37
arithmetischer Mittelwert
• berechnet („gewogen“) mit relativer Häufigkeit
4050104030302020 ,*,*,*,*
*x
iiii fxN
nx
=37
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2 Weisen, den gewogenen Mittelwert zu berechnen
gewogenes arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten
6
744111
6
172431
****
N
nxx
ii
6107304501 ,*,*,** ii fxx Σgewogenes arithmetisches Mittel mit relativer Häufigkeit
beide Formeln sind gleichwertig
x absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
1 3 0,5
4 2 0,333
7 1 0,1616
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Arten der Mittelwert berechnung
• Einfache Liste einfacher Mittelwert
• 2,2,2,4,4,6
• Tabelle mit Häufigkeiten
•
• gewogener Mittelwert
Zeilennummer
Merkmals-ausprägung
Häufigkeit
I x n
1 2 3
2 4 2
3 6 1
N
xi
N
xh ii
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Gewogener Mittelwert(alternatives Vorgehen)
•
•
Zeilennummer
Merkmals-ausprägung
Häufigkeit Gewogene Merkmale
I x n x*n
1 2 3 2*3=6
2 4 2 4*2=8
3 6 1 6*1=6
Summe 6 20
Mittelwert x =20/6 =3,333333
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Gewogener Mittelwert mit relativen Häufigkeiten
• Tabelle mit Häufigkeiten
• Zeile Merkmals-ausprägung
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
I X h f
1 2 3 0,5
2 4 2 0,33333
3 6 1 0,1666667
iixf
N
xh ii =0,5*2+0,33333*4+0,166667*6
=3,333333
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Gewogener Mittelwert mit relativen Häufigkeiten (Alternatives Vorgehen)
• Tabelle mit Häufigkeiten
• Zeile Merkmals-ausprägung
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
Produkt
I X h f f*h
1 2 3 0,5 0,5*2=1
2 4 2 1/3 (1/3)*4=1,33333
3 6 1 1/6 (1/6)*6=1
Summ 3,333333
iixf=3,3333=Mittelwert
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geometrischer Mittelwert(1)
Klasse 2 4 4 8
abs. Häufigkeit 1 1 1 1
geometrisches Mittel
Nxi
geometrisches Mittel
4-te Wurzel aus dem Produkt(2*4*4*8)=4
Anwendung:
bei Wachstumsprozessen
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geometrischer Mittelwert(2)
Anwendungsfelder:
Bevölkerungswachstum, Verzinsung von Kapital, Wachstum in Únternehmen und Volkswirtschaften
Anwendungsbeispiel
Ein Unternehmen hat Erfolg.
Im ersten Jahr verdoppeln sich die Umsätze gegenüber dem Ausgangsjahr.
im nächsten Jahr vervierfachen sie sich im Vergleich mit dem Jahr davor.
im nächsten Jahr ebenso.
im Jahr darauf sind die umsätze 8 mal so hoch , wie im 3. Jahr.
Wenn man jetzt ein Maß braucht, um wieviel die Umsätze durchschnittlich in jedem Jahr gewachsen sind, dann nimmt man das geometrische Mittel der Werte 2,4,4,8.
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geometrischer Mittelwert(3)
Jahre Jahr 0 Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4
Umsätze 1000 3000 4500 1687,5 5062,5
geometrisches Mittel Nxi
geometrisches Mittel4-te Wurzel aus dem Produkt(3* 1,5 *0,375*3)=1,5
=durchschnittlicher Faktor für das Wachstum in einem Jahr
Wachstumsfaktor 3 1,5 0,375 3
abs. Häufigkeit 1 1 1 1
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geometrischer Mittelwert(4)
Jahre Jahr 0 Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4
Umsätze 1000 1100 1210 1452 1306,8
geometrisches Mittel Nxi
geometrisches Mittel4-te Wurzel aus dem Produkt(1,1*1,1*1,2*0,9)=1,07
=durchschnittlicher Faktor für das Wachstum in einem Jahr
Wachstumsfaktor 1,1 1,1 1,2 0,9
abs. Häufigkeit 1 1 1 1