statİk - İtÜÖğr. gör. dr. bahattin kimençe sayfa 22 22 2q 6 0 q 2 x y Şekildeki yüklemenin...

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 1

1

STATİK AĞIRLIK MERKEZİ 3.1 İki Boyutlu Cisimler

3.2 Düzlem Eğriler

3.3 Bileşik Cisimler

3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı

3.5 Pappus-Guldinus Teoremi

3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük

3.7 Sıvı Etkisindeki Yüzeylere Gelen Kuvvetler

3.1 İki Boyutlu Cisimler

Ağırlık kuvvetlerinin bileşkelerine cismin ağırlığı,ve bu kuvvetlerinin bileşkesinin tatbik noktasına cismin ağırlık merkezi denir. Bu kuvvetleri çok büyük bir yaklaşıkla paralel kuvvetler olarak ele alınabilir.


2

W ağırlığındaki cismin ağırlık merkezi aşağıdaki gibi hesaplanır.

Bu cisim n kadar elemandan oluştuğu varsayılırsa,

Her elemanın ağırlığı olsun.

Toplam ağırlık:

şeklinde hesaplanabilir.


3

Ağırlık merkezinin koordinatları , W ağırlığının x & y

eksenlerine gore momentlerinden hesaplanabilir.

xW= x1Δw1+ x2ΔW2+........+xnΔWn

yW= y1Δw1+ y2ΔW2+........+ynΔWn

Homojen ve sabit kalınlıklı bir cisim için:

cismin birim hacim ağırlığı

t cismin kalınlığı

A cismin yüzey alanı

V cismin hacmi

W cisimin ağırlığı

W=tA , W=tA


4

A :diferansiyel elemanın alanı

3.2 Düzlem Eğriler


5

Simetrik cisimlerde simetri eksenlerinin kesiştiği nokta o cismin

ağırlık merkezinin yeridir.


6


7

3.3 Bileşik Cisimler

Bileşik cisimler bilinen şekillere bölünerek her birinin ayrı ayrı

ağırlık merkezleri ile ağırlıklarının çarpımıyla (Moment alınarak),

tüm sistemin ağırlık merkezi hesaplanabilir.

Birleşik alan öncelikle kendisini meydana getiren geometrisi bilinen küçük alanlara ayrılır. Her bir alanın ağırlık kuvveti bu alanın ağırlık merkezinde bulunmasından hareketle tüm cismin ağırlık

merkezi bulunabilir. W = W1+ W2+ W3, x.W = x1.W1+ x2.W2+ x3.W3 y.W = y1.W1+ y2.W2+ y3.W3 A = A1+ A2+ A3 xA= x1A1+ x2A2+ x3A3


8

3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı

Çift katlı integral ile ağırlık merkezi hesaplanabilir,

Bu integral, homojen ve sabit kalınlıklı cisimler için tek katlı

integrale dönüşebilir.


9

Örnek


10

3.5 Pappus-Guldinus Teoremi

1. Teorem

L uzunluğundaki doğru parçasının x ekseni etrafında dönmesiyle

oluşacak yüzey alanı

Şeklinde elde edilir.

Burada

y: L uzunluğundaki doğru parçasının, ağırlık merkezinin koordinatıdır.


11

2. Teorem

A yüzey alanının x ekseni etrafında dönmesiyle oluşacak cismin hacmi

Şeklinde elde edilir.

Burada

y: A yüzey alanının, ağırlık merkezinin koordinatıdır.

x y

L

x y A

Şekildeki çubuğun ağırlık merkezinin koordinatlarını ve x ekseni etrafında dönmesiyle oluşacak yüzey alanı bulunuz

L

r

x

y L=a+b+c+d+e r=a+b


12

3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük

Kirişler üzerine etkiyen yayılı yük fonksiyonunun alanı, o yayılı yüke

eşdeğer tekil yükü verir.

Bu alanın ağırlık merkezi ise eşdeğer tekil yükün etkidiği noktayı

verir

Dış Kuvvetler - Tekil Kuvvetler - Yayılı kuvvetler

- Eş değ er tekil kuvvet


13

Tekil Yük P (N)

Yayılı Çizgisel Yük q(N/m), P=qL

Yayılı Alan Yükü q(N/m2) P=qL2


14


15

Örnek:

Üçgen yayılı yükte


16

3.7 Sıvı Etkisindeki Yüzeylere Gelen Kuvvetler

Pascal kanununa göre bir noktadaki sıvı basıncı bütün yönlerde aynıdır.

P =gh

= kütlenin yoğunluğu

g = yerçekim ivmesi

h = sıvının yüzeyden derinliği

= g birim hacim ağırlığı (Su için 62.4 lb/ft3 = 1 ton/m3)

P = h


17

Kağıt düzlemine dik sabit genişliği = b olarak kabul ediliyor.

Burada

-R =Plağın sıvıya yaptığı tepki kuvveti.

R1 = AD kenarındaki sıvı kuvveti

R2 = DB kenarındaki sıvı kuvveti

W = ABD parçasındaki sıvı ağırlığı.

Denge denklemi:


18

Örnek:


19

ÖRNEKLER

1-

Çözüm

No x y A xA yA

I 4.5 12 108 486 1296

II 3 4 27 81 108

III 9-

16/3=7.30

12 25.13 183.45 301.56

109.87 383.55 1102.44

xm=xA/A=383.55/109.87=3.49

ym=yA/A=1102.44/109.87=10.03

12

6 x

y

+ I II - III

9

12

6

4

12

x

y

Ağırlık merkezinin kordinatlarını bulun ve y ekseni etrafında dönmesiyle oluşacak hacmi hesaplayın


20

V=2xmA=2*3.49*109.87=2409.26

2-

ÇÖZÜM

No X A xA

I 1.27 7.07 8.97

II 1.5 18 27

III 2.15 6.28 13.5

18.79 22.47

xm=xA/A=22.47/18.79=1.196

V=2xmA=2*1.196*18.79=141.13

3-

I

2 2

2

3 x

y

II

III

3

I + II- III

3

2 2

2

3 x

y Taralı alanın y ekseni etrafında dönmesiyle oluşacak cismin hacmi hesaplayın


21

3-

No x y A xA yA

I 7 6 80 560 480

II 13.5 12 168 2268 2016

III 20 8 108 2160 864

356 4988 3360

xm=xA/A=4988/356=14.01

ym=yA/A=3360/3567=9.44

24m su

10m 7m 9m

2 derece parabol

y

x

Parabolun tepe noktası

I II

III

24m su

10m 7m 9m

2 derece parabol

y

x

Parabolun tepe noktası

Şekildeki barajın 1m genişliği için ağırlık merkezinin yerini bulunuz


22

2q

6 0

q

2 x

y

Şekildeki yüklemenin bileşke kuvvetini ve x koordinatını bulunuz q=(a+e) kN/m

x

y 3h

6h

6h

Şekildeki taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını ve bu alanın x ekseni etrafında dönmesiyle oluşacak hacmi bulunuz.

h=(a+e) cm

x

b

b

h 1 2

Şekildeki 1 ve 2 nolu ikizkenar üçgenler eşdeğerdir. Bu üçgen alanların x ekseni etrafında dönmeleriyle oluşacak hacimler oranı V1/V2 nedir

A) 1 B) 1/2 C)1/3 D)2/3

Şekildeki taralı alanın ağırlık merkezi, ikiz kenar üçgenin tepe noktasında (A noktasında) olabilmesi için ikiz kenarın yüksekliği, h ne olmalıdır.

L

L A

h L=a+b+c+d+e

statİk - İtÜÖğr. gör. dr. bahattin kimençe sayfa 22 22 2q 6 0 q 2 x y Şekildeki yüklemenin...

Documents