stato tensionale litostatico -...
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Stato tensionale litostatico
Per stato tensionale litostatico (o geostatico)si intende quello un sottosuolo indefinito a piano limite orizzontale (semispazio)
soggetto al solo peso proprio (forza di massa Wz = peso unità di volume γ).
Ipotesi: geometria e peso eventualmente variabili con z, ma indipendenti da x,y.
Sottosuolo omogeneo
Condizioni di simmetria indefinita (piana e radiale)
⇓ lo stato tensionale non varia in direzione orizzontale [σij ≠ f(x,y), σij = f(z)] ogni verticale è asse di simmetria e quindi direzione principale per σ e ε (τxz=τzy=γxz=γzy=0) ogni orizzontale è direzione principale
x
y
z
γiγ
Sottosuolo stratificato
Tensioni nel sottosuolo
1
0
0 ( ) (0) z
zz zz dz
z∂σ γ σ σ γ∂
− = ⇒ = + ∫
( )v z zσ γ=1 1
1 1( ) ( )
n n
v i i n iz h z hσ γ γ− −
= + −∑ ∑
III equazione indefinita di equilibrio:
[σz (0) è la tensione verticale imposta sul piano limite (condizione al contorno)]
Stato tensionale litostatico: tensioni totali verticali
Sottosuolo omogeneo (γ = costante)
Sottosuolo stratificato (γ = costante a tratti)
γ
γ
1
γ1
1γnγn
1
Ponendo σz=σv e assumendo per semplicità il piano limite scarico [σv(0)=0]:
γ1
z z
σv σv
Tensioni nel sottosuolo
2
wzγ
Se è presente una falda in quiete da profondità z = zw (pelo libero):
Tensioni litostatiche efficaci verticali
In ipotesi di sottosuolo omogeneo, per definizione di tensione efficace:
p. c.
p. l. f. wz
( )zvσ( )zu( )zvσ′
vv u σ′σ ,,
z
[ ]' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )v v w sat w w w w wz z u z z z z z z z z zσ σ γ γ γ γ γ= − = + − − − ≡ + −
● per z < zw ⇒ le tensioni verticali efficaci (σ’v) coincidono con quelle totali (σv=γz) ● per z > zw ⇒ u(z) = tensioni idrostatiche, σv (z) = tensioni totali calcolate con γ = γsat
1
γ1
Il peso dell’unità di volume immerso in acqua rappresenta quindi l’incremento di tensione efficace verticale per unità di profondità
Tensioni nel sottosuolo
3
( )1 0 (1 ) 1h h h v h v h vEνε σ ν σ σ σ ν νσ σ σν
= − + = ⇒ − = ⇒ = −
uzz vv −σ=σ )()('
NB: le equazioni di equilibrio sono insufficienti per ottenere le tensioni orizzontali!
Inconvenienti: difficoltà di misura di ν, ambiguità tensioni totali/efficaci
Tensioni litostatiche efficaci orizzontali
Razionale (ipotesi di mezzo elastico)
dalle relazioni di Navier + condizioni di simmetria indefinita (εh = εx= εy=0):
Empirico (dall’evidenza sperimentale)
si esprime la tensione orizzontale efficace σ‘h(z) in funzione di σ‘v(z) mediante un parametro empirico,il coefficiente di spinta a riposo k0 (misurabile in sito o in laboratorio, o esprimibile mediante correlazioni)
Procedura:
( )zvσ( )zu
hvhv u σ′σ′σσ ,,,,
( )h zσ
Approcci possibili:
z
( )v zσ ′( )h zσ ′
∑∑−−
−γ+γ=σ1
1
1
1)()(
n
in
n
iiv hzhz
)(')(' ,0 zkz vih σ=σ
uzz hh +σ=σ )(')(
Tensioni nel sottosuolo
4
0 00
( ) ( ) = ( )z
v v v vz q z q dz zσ σ γ σ σ= + = + + ∆∫
Caso generale (III equazione indefinita di equilibrio + condizione εx = εy = 0)
Stato tensionale indotto da carico superficiale indefinito
Schema: semispazio sottoposto a sovraccarico uniforme (σz(0) = q)
x
yz
q
γ
( )
( ) ( ) 1
v
h
z q z
z q z
σ γνσ γν
= +
= +−
Caso di sottosuolo omogeneo (peso unità di volume γ = costante)
In termini di incrementi di stato tensionale efficace, si sostituisce γ’ a γ e k0 a 1νν−
[ ]0 00
( ) ( ) = ( )1 1
z
h v h hz q z q dz zν νσ σ γ σ σν ν
= + = + + ∆ − −
∫
( )zvσ( )zhσ
( )zhσ
Tensioni nel sottosuolo
5
[ ]21 1 1 1 2( ) 2 2
1 1v v
z z x y v h v vedE E E E E
σ σν ν νε σ ν σ σ σ ν σ σ ν σν ν
∆ ∆− − = ∆ − ∆ + ∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ = = − −
Incrementi di deformazione prodotti dal sovraccarico (solo εz sono ≠ 0)
avendo posto
NB: nel mezzo elastico ideale Eed > E , risultando: ν→ 0 ⇒ Eed → E ν→ 0.5 ⇒ Eed →∞
Deformazioni indotte da carico superficiale indefinito
= modulo di compressione edometrica
(altrimenti detto Mv = modulo di compressione unidimensionale)
q
γ
zε( )zvσ
( )zhσ
( )zhσ
x
yz
2
11 2edE E ν
ν ν−
=− −
Tensioni nel sottosuolo
6
2
2 3
2
3
5
2
5
3 (1 2 )2
(1 2 )2
3232
r
z
rz
F r z RR R R z
F z RR R R z
F zR
F rzR
θ
νσπ
νσπ
σπ
τπ
−= − − + +
− = − − +
= =
Stato tensionale indotto da sovraccarico concentrato
Schema: semispazio caricato da forza concentrata F, assenza di peso (γ = 0)
⇒ coordinate cartesiane
sistema (r,z,θ)⇓
σr , σθ = f(r,z,ν)σz , τrz = f(r,z)
2 2
5 3 2 3
2 2
5 3 2 3
3
5
2
5
2
5
5 3 2
3 1 2 1 (2 )2 3 ( ) ( )
3 1 2 1 (2 )2 3 ( ) ( )
3232323 1 2 (2 )2 3 ( )
x
y
z
xz
yz
xy
F x z R z x zR R R z R R z R
F y z R z y zR R R z R R z R
F zR
F xzR
F yzR
F xyz R z xyR R R z
νσπ
νσπ
σπ
τπ
τπ
ντπ
− + = − − + + + + − + = − − + + + +
=
=
=
− += −
+
sistema (x,y,z)⇓
σx , σy , τxy = f(x,y,z,ν) σz , τxz , τyz = f(x,y,z)
zσ
xσ
yσ
r
R
θF
x
y
z
Soluzione di Boussinesq⇓
problema assialsimmetrico⇓
coordinate cilindricheθσ
rσ
zσ
rzτ
z
2 2
2 2 2 2 2
arctan( / )
r x y
R r z x y zy xθ
= +
= + = + +
=
y
Tensioni nel sottosuolo
7
2
4
2
3
4
2
4
2
2( )
2
2
x
y x z
z
xz
p x zR
p zR
p zR
p xzR
σπ
νσ ν σ σπ
σπ
τπ
=
= + = = =
Semispazio soggetto a sovraccarico lineare
Problema a simmetria piana (εy=0) ⇒ coordinate cartesiane
sovraccarico lineare p = [F/L]
p
22 zxR +=
P0
,Eγν= , , ( , )z p z Fd pdy Pσ σ
+∞
−∞
= ∫
La soluzione è ottenuta per sovrapposizione ed integrazioni
della soluzione per carico concentrato:
Anche in questo caso risulta:
σy = f (p,x,z,ν) σx , σz , τxz = f (p,x,z)
dy
cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto
Tensioni nel sottosuolo
8
0
25
50
75
100
0 0.5 1 1.5 2
tens
ione
[kN
]
x [m]
σxσyσzτxz
p = 100 kN/mz = 0.1 m
0
25
50
75
100
0 0.5 1 1.5 2
tens
ione
[kN
]
x [m]
σxσyσzτxz
p = 100 kN/mz = 1 m
Profili orizzontali di tensioni indotte da carico lineare
Caso ν = 0.25
In prossimità della superficie, tutte le componenti:
• diventano infinitamente elevate in prossimità del punto d’applicazione del carico
• tendono ad annullarsi rapidamente con la distanza
All’aumentare della profondità:
• le componenti lungo x (σx e τxz) si annullano in asse,poi aumentano e diminuiscono con la distanza
• le componenti σz e σy sono massime in asse,poi diminuiscono con la distanza
Tensioni nel sottosuolo
9
Profili orizzontali di tensioni indotte da carico lineare
Caso ν = 0.25
A distanza dal carico, tutte le componenti:
si annullano in superficie
aumentano e poi diminuiscono con la profondità
In asse al carico:
le componenti lungo x (σx e τxz) si annullano
le componenti σz e σy sono infinite in superficie,poi diminuiscono con la profondità
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 20 40 60 80 100
z [m
]tensione [kN]
σxσyσzτxz
p = 100 kN/mx = 0 m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 20 40 60 80 100
z [m
]
tensione [kN]
σxσyσzτxz
p = 100 kN/mx = 1 m
Tensioni nel sottosuolo
10
1
0
, , ( , )z q z pd p rd Pθ
θ
σ σ θ= ⋅∫Anche in questo caso risulta:
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme
La soluzione è ottenuta per sovrapposizione ed integrazioni della soluzione per carico lineare:
σy = f(P, ν) σx , σz , τxz = f(P)
1θθ0θ
[ ]
[ ]
sin cos( 2 )
2( )
sin cos( 2 )
sin sin( 2 )
x
y x z
z
xz
q
q
q
q
σ α α α δπ
σ ν σ σ α νπ
σ α α α δπ
τ α α δπ
= − + = + = ⋅ = + + = +
carico nastriforme q = [F/L2]
q
Pν=γ,E
0α δ
r
cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto
P
q p r dθ= ⋅ ⋅
Tensioni nel sottosuolo
11
[ ]
[ ]
3
2
1
sin
2( )
sin
0
x
y x z
z
xz
q
q
q
σ α α σπ
σ ν σ σ α ν σπ
σ α α σπ
τ
= − = = + = ⋅ =
= + = =
Distribuzione delle tensioni in asse
• gli incrementi di tensione sono esprimibili in forma adimensionale: σ/q = f(z/B)
• si estinguono ad una distanza proporzionale a B (p.es. risulta σz < 0.2q per z ≈ 4B)
• la componente σx si estingue più rapidamente della σz
2arctan2Bz
α =
Per x = 0 risulta α+2δ = 0:
e poiché è anche
0
1
2
3
4
5
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
σ/q
z/B
σx
σz
σy
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme
ν = 0.25
Tensioni nel sottosuolo
12
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme
1.La distribuzione di σz su piani orizzontali si appiattisce all’aumentare della profondità
2.Le aree dei diagrammi sono costanti
zdx qBσ+∞
−∞
=∫
•Considerazioni sull’equilibrio alla traslazione verticale
Tensioni nel sottosuolo
13
Distribuzioni con la profondità degli incrementi di tensione verticaleal variare della distanza dall’asse
All’aumentare della distanza:• l’incremento in superficie ‘salta’ da q a 0.5q a 0• gli incrementi in profondità tendono ad uniformarsi
e poi anche a crescere al di fuori della fondazione
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriformeTensioni nel sottosuolo
14
Isolinee (isobare) di incrementi di tensioni principali massime (σ1) e minime (σ3)
• Entrambe le tensioni principali nel piano diminuiscono con la distanza• Le tensioni minime (σ3) si attenuano più velocemente di quelle massime (σ1)
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriformeTensioni nel sottosuolo
15
Tensioni nel sottosuolo
16
Direzioni di tensioni tangenziali massime (max) e principali (1, 3)
max 31,
• Si osserva una rotazione continua di 90° delle direzioni principali e delle max
• Dall’asse della fondazione verso la superficie, 1 da verticale diventa orizzontale
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme
Isobare di tensioni tangenziali massime 1 3max 2
σ στ −= e tensioni verticali σz
• Le tensioni tangenziali massime aumentano e poi diminuiscono con la distanza• Ciò dipende dalla variazione combinata delle tensioni principali massime (τ ∝ σ1 - σ3)
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriformeTensioni nel sottosuolo
17
B/2B/2
q
q = 100 kPa
B = 2 m
Modello Elastico
E = 15 MPaν = 0.33
Codice Plaxis V.8
Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme: analisi FEMTensioni nel sottosuolo
18
∆σz
∆σx
σz0+∆σz
σh0+∆σh
Isocontorni FEM di tensione verticale e orizzontaleTensioni nel sottosuolo
19
2
0 0
( , , ) R
q Fd q rd dr rπ
σ σ θ θ= ⋅ ⋅∫ ∫
( )
( )
3
2 2 32 2
3
32 2
2(1 )(1 2 )2
1
0
h x y
v z
xz zy yz
q z zR z R z
zqR z
νσ σ σ ν
σ σ
τ τ τ
+ = = = + − + + +
= = − +
= = =
Problema a simmetria radiale ⇒ coordinate polareLa soluzione è ottenuta per sovrapposizione ed integrazioni della soluzione per carico concentrato:
• In asse (r=0), gli incrementi di tensione valgono:
Anche in questo caso risulta:σh = f(P, ν) , σv = f(P)
Semispazio soggetto a sovraccarico circolare
Pz
R
drrdq ⋅θ⋅
θrd dr
θd
r
Tensioni nel sottosuolo
21
Semispazio soggetto a sovraccarico circolare
Isobare degli incrementi di tensione verticale σv :
v
qσ
a parità di larghezza (R = B/2),gli incrementi di tensione si attenuano più rapidamente
rispetto alla fondazione nastriforme
Tensioni nel sottosuolo
22
2 23 3 1 2
1 1arctan2zq BL BLz
zR R R Rσ
π
= + +
2 21
2 22
2 2 23
R B z
R L z
R B L z
= + = +
= + +
Soluzione di Steinbrenner (1934):
dove:
Semispazio soggetto a sovraccarico rettangolare - I
Tensioni verticali lungo uno spigolo di un’area rettangolare di carico
Tensioni nel sottosuolo
23
(ABCD) (AQPD) (QBCP)zP zP zPσ σ σ= +
(ABCD) (AQPT) (QBRP) (PRCS) (TPSD)zP zP zP zP zPσ σ σ σ σ= + + +
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, lungo una verticale di bordo (sovrapposizione di 2 aree rettangolari è possibile ottenere le
tensioni verticali in un generico punto:
• lungo una verticale interna (sovrapposizione di 4 aree rettangolari)
Semispazio soggetto a sovraccarico rettangolare - II
(ABCD) (AQPT) (BQPS) (DRPT) (CRPS)zP zP zP zP zPσ σ σ σ σ= − − +
• lungo una verticale esterna (sovrapposizione di 4 aree rettangolari)
Tensioni nel sottosuolo
24
=γ−∂∂σ
+∂∂τ
=γ+∂∂τ
+∂∂σ
0icoszx
0isenzxzxz
xzx
2
sen 0 sen sen cos
cos 0 cos cos
xzxz
zz
i z i h i iz
i z i h iz
∂τ γ τ γ γ∂∂σ γ σ γ γ∂
+ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅ ≡ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅
Schema: piano limite scarico e inclinato di un angolo i sull’orizzontale
Considerando che nè σx nè τxz dipendono da x e che z = h cos i:
(ottenibili anche direttamente dall’equilibrio del prisma di terreno)
I e III equazioni indefinite dell’equilibrio:
Stato tensionale in un pendio indefinito
z
xi
i
11cos
Ai
=
hh cosz h i= ⋅h⋅γ
zx Aτ ⋅
z Aσ ⋅
ihγ ⋅
h seniγ ⋅ ⋅
cosh iγ ⋅ ⋅
zσxσzxτ
Tensioni nel sottosuolo
25
Esprimendo il legame tra componenti orizzontali e verticali in termini di tensioni efficaci,
il rapporto viene sostituito dal coefficiente di spinta a riposo k0
2... cos cos1 1x z i h iν νσ γ γ
ν ν= = ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅
− −
1νν−
2 20' ' cos ' ' cos ' sen cosz x xzh i k h i h i iσ γ σ γ τ γ= = = − ⋅ ⋅
Per ricavare la tensione normale σx (parallela al piano limite), occorre al solito imporre la condizione di simmetria indefinita (εx = 0) e introdurre il legame costitutivo (mezzo elastico ideale):
Ponendo il p.l.f. in corrispondenza del p.c. si ha infine:
Stato tensionale in un pendio indefinitoTensioni nel sottosuolo
26