Statystyka – zadania, część 2

Dr Janusz Górczyński

2

Zadanie 1

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:

xi -3 -2 -1 0 1 3

pi 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2

Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 tej zmiennej.

3

Zadanie 1 - rozwiązanie

Korzystając z wzoru na obliczanie momentu zwykłego rzędu k mamy kolejno:

07,07,06,01,02,02,03,0

2,031,013,002,0)1(1,0)2(1,0)3(1

i

ii pxEXm

4,38,11,002,04,09,0

2,031,013,002,0)1(1,0)2(1,0)3( 222222

222

i

ii pxEXm

4

Zadanie 1 - interpretacja

Moment zwykły rzędu 1 ma specjalne znaczenie w opisywaniu rozkładu zmiennej losowej, jest bowiem wartością oczekiwaną (średnią) tego rozkładu.W naszym przykładzie wartość oczekiwana jest równa 0, a to oznacza, że przy wielokrotnym powtarzaniu tego eksperymentu przeciętna wartość tej zmiennej będzie równa 0. Moment zwykły rzędu 2 nie ma swojej interpretacji, wykorzystamy go dalej do obliczenia momentu centralnego rzędu 2.

5

Zadanie 2 – obliczanie parametrów

Dla zmiennej losowej o f.r.p przedstawionej na slajdzie 3 chcemy wyznaczyć moment centralny rzędu 2.

Będziemy korzystać z wzoru na moment centralny rzędu k dla zmiennej skokowej, czyli:

i

ii pEXxEXXE 222

6

Zadanie 2 – obliczanie parametrów cd.

Po podstawieniu danych z f.r.p i wykorzystując fakt, że EX=0 mamy:

4,38,11,02,04,09,0

2,0)03(1,0)01(3,0)00(

2,0)01(1,0)02(1,0)03(222

2222

Moment centralny rzędu 2 jest, podobnie jak moment zwykły rzędu 1, szczególnie ważnym parametrem. Jest on miarą zróżnicowania (dyspersji) wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

7

Zadanie 2 – interpretacja

Moment centralny rzędu 2 będziemy nazywać wariancją zmiennej losowej i oznaczać D2X.

Wariancja, podobnie jak wartość oczekiwana, jest liczbą mianowaną. Jej mianem jest kwadrat jednostki, w której wyrażona jest zmienna losowa.Wariancja jest zawsze nieujemna, a jej wielkość mówi o zróżnicowaniu (dyspersji, rozproszeniu) wartości zmiennej losowej wokół EX.Uzyskany w przykładzie wynik 3,4 można zinterpretować dość skromnie: wariancja tej cechy jest równa właśnie 3,4.

8

Zadanie 3

)3,0(0

)3,0()3()( 9

2

xdla

xdlaxxxf

Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

9

Zadanie 3 – rozwiązanie

Korzystamy z wzoru na moment rzędu k zmiennej losowej ciągłej:

dxxfxEXm kk

k )(

10

Zadanie 3 – obliczenie m1

W naszym przykładzie mamy kolejno:

5,1)(2)(2

)3(233

3

0))3((0

23

43

412

49

4934

41

923

03

334

41

92

3

03

334

41

92

3

0

2392

3

3

0 92

0

1

xx

xxdxxx

dxxdxxxxdxxm

11

Zadanie 3 – obliczenie m2

W naszym przykładzie mamy kolejno:

7,22222

333

)3(

0)3(0

2027

20135108

20135

20108

427

527

2433

512

923

02

433

512

92

3

04

435

51

92

3

0

3492

3

23

0 9220 2

2

xxx

xxdxxx

dxxdxxxxdxxm

12

Zadanie 4

Proszę wyznaczyć moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

)3,0(0

)3,0()3()( 9

2

xdla

xdlaxxxf

13

Zadanie 4 - rozwiązanie

Będziemy korzystać z następującego wzoru na moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej ciągłej:

dxxfEXxEXXE )()( 22

2

14

Zadanie 4 – rozwiązanie cd

Korzystając z obliczonej w zadaniu 3 wartości EX mamy kolejno:

3

0

23492

3

0

2323492

3

0

2292

3

0

292

3

2

3

0 9220 2

2

)75,625,116(

)75,69325,23(

)25,23)(3(

)5,1)(3(0)5,1(

)3()5,1(0)5,1(

dxxxxx

dxxxxxxx

dxxxxx

dxxxxdxx

dxxxxdxx

15

Zadanie 4 – rozwiązanie cd

45,0)225,0(2

)875,1665,16(2)375,325,115,134,5(2

375,325,119

375,325,11

75,625,11

)75,625,116(

227

527

92

3

0312

233

512

92

3

02

213

314

465

51

92

3

0

23492

2

xxxx

xxxx

dxxxxx

16

Zadanie 4 – inny sposób rozwiązania

Jak widzieliśmy wyznaczanie momentów centralnych rzędu 2 z definicji może być kłopotliwe. Znacznie łatwiej jest obliczyć moment rzędu 2 ze związku, jaki zachodzi między tym momentem, a momentami zwykłymi rzędu 1 i 2: 2

122 mm W naszym zadaniu mamy:

45,025,27,25,17,2 22

17

Zadanie 5

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:

xi -3 -2 -1 0 1 3

pi 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2

Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

18

Zadanie 5 – rozwiązanie

Mediana, to taka wartość Me, dla której spełnione są dwie nierówności:

5,0)(5,0)( MeXPiMeXP

Sprawdźmy, czy medianą MOŻE być liczba mniejsza od zera (np. –0,1) ?

6,0)1,0(4,0)1,0( XPiXP

Jak widzimy medianą nie może być liczba mniejsza od zera, ponieważ pierwsza nierówność nie będzie spełniona.

19

Zadanie 5 – rozwiązanie cd

A może medianą jest liczba większa od 0 (np. 0,1)?

3,0)1,0(7,0)1,0( XPiXPJak widzimy także nie, tym razem nie jest spełniona druga nierówność.

A może medianą jest zero? 6,0)0(7,0)0( XPiXP

Oba warunki są spełnione, tym samym Me=0.

20

Zadanie 6

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:

xi -3 -2 -1 0 1 3

pi 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0,2

Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

21

Zadanie 6 – rozwiązanie

W zadaniu 5 medianą była JEDNA liczba, ale nie musi tak być zawsze. W zadaniu 6 f.r.p jest takiej postaci, że medianą jest wartość –1: 7,0)1(5,0)1( XPiXP

Medianą jest także wartość 0:

5,0)0(6,0)0( XPiXP

Tym samym medianą jest KAŻDA liczba z przedziału domkniętego <-1; 0>.

22

Zadanie 7

Proszę wyznaczyć medianę zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

)3,0(0

)3,0()3()( 9

2

xdla

xdlaxxxf

23

Zadanie 7 - rozwiązanie

Z definicji mediany wynika, że dla zmiennych losowych ciągłych medianą będzie taka wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta jest równa 0,5:

5,0)()(

MedxxfMeF

24

Zadanie 7 – rozwiązanie cd

W naszym zadaniu mamy więc (ograniczając się do tego przedziału, gdzie fgp jest niezerowa) równanie:

5,0)3()(0 9

2

MeMedxxxdxxf

Całkujemy lewą stronę:

075,6)(5,4)(

5,05,4

5,05,1

23

23

272

023

31

92

MeMe

MeMe

xxMe

25

Zadanie 7 – rozwiązanie cd

075,6)(5,4)( 23 MeMe

Równanie wielomianowe stopnia 3

Ma miejsce zerowe dla Me=1,5

W tym konkretnym zadaniu do tego wyniku można było dojść szybciej korzystając bezpośrednio z definicji mediany. Mediana dzieli bowiem zbiór wartości zmiennej losowej na dwie części po 50% elementów. Dla paraboli o miejscach zerowych 0 i 3 wierzchołek (oś symetrii) położony jest w punkcie 1,5, stąd Me=1,5.

26

Zadanie 8

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:

xi -3 -2 -1 0 1 3

pi 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0,2

Proszę wyznaczyć kwantyl rzędu 0,1 tej zmiennej.

27

Zadanie 8 - rozwiązanie

Zgodnie z definicją kwantyli szukamy takiej wartości (oznaczmy ją symbolem kp) dla której spełnione są dwie nierówności:

pkXPipkXP pp 1)()(Zgodnie z treścią zadania parametr p jest równy 0,1 , szukamy więc liczby k0,1.

F.r.p jest takiej postaci, że kwantyl ten może być gdzieś między –3, a –2.

28

Zadanie 8 – rozwiązanie cd

1)3(1,0)3( XPiXP

Dla wartości –3 mamy:

Dla wartości –2 mamy:

9,0)2(2,0)2( XPiXP

Wynika z tego, że kwantylem rzędu 0,1 jest zarówno –3 jak i –2, tym samym jest nim każda liczba należąca do przedziału domkniętego <-3; -2>.

29

Kwartyle, czyli specjalne kwantyle

Kwantyle rzędu 0,25 , 0,5 oraz 0,75 nazywamy kwartylami i oznaczamy odpowiednio jako Q1, Q2 i Q3.Kwartyle mają bardzo ładną interpretację dla zmiennych losowych ciągłych (gdzie są pojedynczą liczbą), dzielą bowiem zbiór wartości takiej zmiennej na ćwiartki po 25% ogółu elementów.Mediana jest niczym innym jak kwartylem Q2Proszę wyznaczyć kwartyl Q3 dla f.r.p ze slajdu 26.Odp. Q3=1

30

Zadanie 9Szansa na to, że student zda egzamin ze statystyki jest równa 0,8. Na egzamin wchodzi grupa 5 studentów. Oblicz p-stwa zdarzeń:

a) Co najmniej jeden student zda egzamin

b) Egzamin zda nie mniej, jak 4 studentów.

Z treści zadania wynika, że mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym (Bernouliego). P-stwo sukcesu jest równe 0,8 a niepowodzenia 1-0,8=0,2.

Mamy 5-cio krotne powtórzenie eksperymentu ze zmienną zero-jedynkową, a zmienna przyjmuje 6 wartości: k=0, 1, 2, ..., 5

31

Zadanie 9 – rozwiązanie ad. a)

Korzystamy z wzoru na p-stwo zdarzenia przeciwnego:

)0(1)0( XPXP

A dalej z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej:

99968,000032,01112,011

2,08,01)0(5

)!05(!0!5

05050

XP

Jak widać szansa na to, że ktoś zda jest b. duża!

32

Zadanie 9 – rozwiązanie ad. b)

Z treści zadania wynika, że interesuje nas następująca suma p-stwieństw:

)5()4()4( XPXPXPKorzystając z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej mamy:

73728,032768,04096,0132768,01

2,04096,052,08,02,08,0

2,08,02,08,0)4(05

!0!5!514

!1!4!5

0555

1454

XP

33

Zadanie 10

Pewien automat produkcyjny osiąga wydajność 1000 sztuk pewnego produktu na godzinę. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu jest równe 0,002.

Proszę obliczyć p-stwo tego, że automat pracuje bez wad.

Z treści zadania wynika, że modelem dla liczby braków w jednostce czasu może być zmienna dwumianowa o n=1000 i p=0,002.

34

Zadanie 10 - rozwiązanie

Interesujące nas p-stwo zajścia zdarzenia polegającego na tym, że liczba braków będzie równa 0, stąd szukane p-stwo możemy wyznaczyć z wzoru:

135065,0998,0002,0 1000010000

Interesujące nas p-stwo możemy także wyznaczyć przyjmując dla liczby braków model Poissona, gdzie parametr =1000•0,002=2. Z wzoru na f.r.p mamy dalej:

134176,04529,7

1

73,2

11

!0

2)0(

222

0

eeXP