stewart platformu tasarimipolen.itu.edu.tr/bitstream/11527/4487/1/9595.pdf · toleransı je : bacak...
TRANSCRIPT
ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
Burak ULAġ
Anabilim Dalı : Makina Mühendisliği
Programı : Sistem Dinamiği ve Kontrol
HAZĠRAN 2009
STEWART PLATFORMU TASARIMI
HAZĠRAN 2009
ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
Burak ULAġ
(503061602)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009
Tezin Savunulduğu Tarih : 08 Haziran 2009
Tez DanıĢmanı : Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız BAYRAKTAROĞLU
Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ata MUĞAN (ĠTÜ)
Prof. Dr. Ġbrahim ÖZKOL (ĠTÜ)
STEWART PLATFORMU TASARIMI
iii
ÖNSÖZ
Öncelikle bu tez çalışması ile ilk defa adım attığım robotik konusunda yol
gösteren danışmanım Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız Bayraktaroğlu‟na sabrı ve
hoşgörüsü için teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca tez çalışmam konusunda bana fikir veren Yük.Müh. Murat Karadeniz‟e
ve kullanmış olduğum eyleyicinin teminini sağlayan Bias Mühendislik A.Ş.‟ye
teşekkürü bir borç bilirim.
Mayıs 2009 Burak ULAŞ
iv
v
ĠÇĠNDEKĠLER
Sayfa
ÇĠZELGE LĠSTESĠ .................................................................................................... vii ġEKĠL LĠSTESĠ ........................................................................................................... ix SEMBOL LĠSTESĠ ...................................................................................................... xi 1. GĠRĠġ ..................................................................................................................... 1
1.1 Temel Kavramlar ................................................................................................ 1 1.2 Seri Manipülatörler ............................................................................................. 1 1.3 Paralel Manipülatörler ........................................................................................ 2 1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri......................................................... 5
2. KĠNEMATĠK ........................................................................................................ 6 2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği .................................................... 6
2.1.1 Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği .................................. 6
2.1.2 Stewart Platform Mekanizmasının İleri Kinematiği .................................. 9
2.1.2.1 Analitik Yöntem.............................................................................9
2.1.2.2 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem ......................................................10
2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin Hesaplanması.................................................................................................... 11
2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı .................................................... 16 2.4 Tekillik ............................................................................................................. 18
2.4.1 Tekillik Endeksi ..................................................................................... 19 2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar ...................................................................... 20 2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları ..................................................................... 20
3. DĠNAMĠK ............................................................................................................ 22 3.1 Dinamik Modeller............................................................................................. 22
3.2 İleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi............................................ 22 3.3 Tasarım Hedefleri ............................................................................................. 27
4. ÇALIġMA UZAYI .............................................................................................. 29 4.1 Parametre Uzayı Yaklaşımı ............................................................................... 29 4.2 SPM‟ye Uyarlanması ........................................................................................ 30 4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması .............................................................. 31 4.4 Çalışma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi ................................................. 33 4.5 Hesaplama Sonuçları ........................................................................................ 34
4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi ................................................................................... 35 4.7 Ayrıklaştırma Yöntemi ile Çalışma Uzayının Doğrulanması .............................. 36
5. BENZETĠMLER ................................................................................................. 38 5.1 Mekanik Sistemin Modellenmesi ...................................................................... 38 5.2 Kontrol Sisteminin Modellenmesi ..................................................................... 40
5.2.1 Ters Kinematik ...................................................................................... 40 5.2.2 Kontrolör ............................................................................................... 40
5.2.3 İleri Kinematik ....................................................................................... 41 5.2.4 Jakobiyen ve Tekillik Endeksinin Hesaplanması ..................................... 42
vi
5.2.5 İleri Dinamik ...............................................................................................42 5.3 Çalışma Uzayı ve Dinamik Davranış Benzetimleri .................................................42
5.3.1 Koordinat Sistemi .......................................................................................43 5.3.2 X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge) .......................................................43 5.3.3 Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave) ......................................................47
5.3.4 Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway) ........................................................51 5.3.5 X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll)..............................................................54 5.3.6 Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw) .............................................................57 5.3.7 Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch) .............................................................61 5.3.8 Yörünge Takibi Hareketi .............................................................................65
5.4 Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi ..........................................................................69 5.4.1 Yük Sınırının Belirlenmesi ..........................................................................69
5.4.2 Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi .......................................................69 6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER..................................................................................71 KAYNAKLAR .................................................................................................................73 EK A.1 ..............................................................................................................................75 EK A.2 ..............................................................................................................................85 ÖZGEÇMĠġ .....................................................................................................................87
vii
ÇĠZELGE LĠSTESĠ
Sayfa
Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2000E Modeline ilişkin performans çizelgesi .. 28
Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken
konumlar............................................................................................ 34
Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları .................................................... 35
Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları ................................ 37
Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar ......................... 65
Çizelge 5.2 : Farklı eksenlerdeki hareketler için en yüksek frekans değerleri...... 70
viii
ix
ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa
ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör ............................................................. 1
ġekil 1.2 : D. Stewart‟ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem................................. 3
ġekil 1.3 : Eric Gough‟nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin
modern versiyonu ......................................................................................... 3
ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması ................................................................... 4
ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar ............................................ 5
ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan vektörler ....... 7
ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması ................................. 8
ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler .......................... 23
ġekil 3.2 : Moog Series 6DOF2000E modeli............................................................... 27
ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection) işleminin
uygulanması ................................................................................................ 30
ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler ........................................ 31
ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi .............................................. 32
ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması .......... 32
ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası .............................................. 33
ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri .............................. 35
ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler .......... 36
ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı ............................................ 37
ġekil 5.1 : ADAMS‟da kurulan mekanik sistem modeli ............................................. 39
ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler .................................................... 40
ġekil 5.3 : Matlab/Simulink‟de kurulan kontrol sistemi modeli ................................. 41
ġekil 5.4 : ADAMS‟da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi ..................... 43
ġekil 5.5 : Surge hareketi .............................................................................................. 44
ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları .......................... 44
ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ......................... 45
ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ..................... 45
ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ................ 46
ġekil 5.10 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ....... 46
ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi............. 47
ġekil 5.12 : Heave hareketi .......................................................................................... 47
ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ........................ 48
ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ....................... 48
ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ................... 49
ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi .............. 49
ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ....... 50
ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi............. 50
ġekil 5.19 : Sway hareketi ............................................................................................. 51
x
ġekil 5.20 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ........................ 51
ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ....................... 52
ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler .................... 52
ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi .............. 53
ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi........ 53
ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi ............. 54
ġekil 5.26 : Roll hareketi ............................................................................................... 54
ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları............................. 55
ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar............................ 55
ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ........................ 56
ġekil 5.30 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi................... 56
ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ............ 57
ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ................. 57
ġekil 5.33 : Yaw hareketi .............................................................................................. 58
ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları............................. 58
ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar .......................... 59
ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ........................ 59
ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi................... 60
ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ............ 60
ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ................. 61
ġekil 5.40 : Pitch hareketi.............................................................................................. 61
ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları ............................. 62
ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ............................ 62
ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ......................... 63
ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi ................... 63
ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ............ 64
ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi .................. 64
ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi .............................................................................. 65
ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları.................................. 66
ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar ................................ 66
ġekil 5.50 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler ............................. 67
ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi........................ 67
ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ................. 68
ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi ...................... 68
ġekil 5.54 : 2000 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri............................ 69
ġekil A.1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici .............................................. 85
ġekil A.2 : ULN5804B devresinin kurulum şeması .................................................... 86
xi
SEMBOL LĠSTESĠ
li : i. bacağın uzunluğu
R : Global dönüşüm matrisi
pti : Hareketli platform referans noktasından i. bacağın üst bağlantı
noktasına uzanan vektör
pbi : Sabit platform merkezinden i. bacağın alt bağlantı noktasına uzanan
vektör
x : Uç elemanının uzaydaki konumunu ifade eden vektör
x, y, z : Uç elemanının uzaydaki doğrusal koordinatları
α, β, θ : Uç elemanının Euler açı teoremine göre uzaydaki açısal koordinatları
(X-Y-Z dönme sırasına göre)
lm : SPM‟nin algılayıcılar ile ölçülen bacak uzunluğu vektörü
e : Sayısal yöntem ile ileri kinematik denklemin çözümünde bacak
boyları için iterasyon hata vektörü
ε : Sayısal yöntem ile ileri kinematik analizde iterasyonlar için hata
toleransı
Je : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü Euler açıları ile ifade
edilen konum vektörünün değişimlerine bağlayan Euler açıları
Jakobiyen matrisi
J, Jk : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü genelleştirilmiş hız
vektörüne bağlayan kinematik Jakobiyen matrisi, J ile de ifade
edilmektedir.
P : Plücker vektörü
Pn : Normalize edilmiş Plücker vektörü
W : Genelleştirilmiş koordinatlarda hız vektörü
ni : i. bacağın birim vektörü
V : Genelleştirilmiş koordinatlarda doğrusal hız vektörü
Ω : Genelleştirilmiş koordinatlarda açısal hız vektörü
τ : Eyleyici kuvvetleri vektörü
f : Genelleştirilmiş kuvvet/moment vektörü
γ : Doğrusal ivme vektörü
g : Yerçekimi ivmesi vektörü
m : Hareketli platform kütlesi vektörü
I : Hareketli platformun ağırlık merkezine göre eylemsizlik matrisi
I3 : 3x3‟lük birim matris
Rt : Üst platformdaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı
Rb : Alt tabladaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı
S : Eyleyici strok uzunluğu
xii
xiii
STEWART PLATFORMU TASARIMI
ÖZET
Sanayide ve çeşitli sektörlerde seri manipülatörlere göre daha az kullanım alanı
bulan paralel manipülatörler yer aldıkları uygulamalarda kesin bir üstünlüğe
sahiptirler. Bu üstünlük paralel mekanizmaların seri manipülatörlere göre daha
yüksek rijitliğe, yük/ağırlık oranına ve konumlandırma hassasiyetine bağlı
olarak ortaya çıkmaktadır.
Yüksek rijitliği ve dolayısı ile yüksek doğal frekansı sebebi ile titreşim
simülatörü olarak tercih edilmektedirler. Yük/ağırlık oranının seri
manipülatörlere göre yüksek olmasından dolayı büyük kütlelerin yüksek
ivmeler ile hareket ettirilmesine olanak sağlamaktadırlar. Bu yüzden taşıt veya
uçak simülatörlerinde hareket platformu görevini üstlenirler. Kapalı birer
kinematik zincir olmalarından dolayı birbirinden bağımsız olan uzuvların
hataları uç elemanına doğru kümülatif olmayan bir şekilde aktarılır. Seri
manipülatörlerde ise uzuvların hataları uç elemanına doğru toplanarak etki
etmektedir. Bu özelliği paralel robotların hassas malzeme işleme veya montaj
işlerinde yer almasını sağlamaktadır.
Bu çalışmada paralel manipülatörlerin belirlenen tasarım kriterlerini
karşılayacak şekilde tasarlanması amacıyla kullanılabilecek yöntemler
araştırılmıştır. Bu yöntemlerin çalışma uzayı, geometrik boyutlar ve uç
elemanının taşıyabileceği yüke bağlı eyleyici kuvvetlerinin belirlenmesi
amacıyla kullanılabilmesi için takip edilebilecek bir prosedür geliştirilmiştir.
Çoklu gövde dinamik benzetimlerine alternatif olacak bir matematiksel model
oluşturularak, iki sistemin davranışları çıkışlar üzerinden karşılaştırılmıştır.
Çıkışların birbiri ile uyumlu olduğu gözlenmiş ve son olarak sistemin yük ve
ivme sınırları tespit edilmiştir.
xiv
xv
DESIGN OF THE STEWART PLATFORM
SUMMARY
Parallel manipulators which are less commonly used than serial counterparts in
several industries, show definitely better performance in their application areas.
This advantage rises from the rigidity, load/weight ratio and sensitivity of
positioning of the parallel manipulators.
They are utilized in vibration simulators due to their high natural frequency
which is caused by the rigidity. Because of their higher load/weight ratio, they
are also used in vibrating huge masses with increased accelerations. Thus they
are suitable as a motion platform for vehicle and aeroplane simulator
applications. Since the parallel manipulators consist of a closed loop kinematic
chain, the independent errors of each link affect the end effector in a non-
cumulative way. However, these errors are accumulated in serial manipulators.
This feature makes parallel robots ideal for low tolerance machining and
assembly processes.
In this thesis, the methods which can be applied to the design of parallel
manipulators according to the design criteria are investigated. A design
procedure is developed in order to use these proper design methods such that
defininig the workspace, geometric dimensions, and actuator forces which
depends on the load supported by the end effector.
Multi body dynamics simulation outputs are compared to the outputs which are
obtained from a mathematical model proposed in this thesis. Comparison
results show satisfactory correlation. In addition, the acceleration and weight
limits of the system are also determined.
xvi
1
1. GĠRĠġ
1.1 Temel Kavramlar
Robotikte manipülasyon terimi nesnelerin bir amaç doğrultusunda yerinden alınması,
taşınması, montajı, yerleştirilmesi ve çeşitli takımlar ile işlenmesini ifade etmektedir.
Bu işlemleri gerçekleştirebilen mekanizmalar ise manipülatör olarak adlandırılır [1].
Bir manipülatörün her bir uzvuna, bir mafsal ile bağlı olan rijit gövde sayısı bağlantı
derecesi‟ni ifade etmektedir. Bu durumda, herbir uzvu 2 veya daha az bağlantı
derecesine sahip olan sistemler, basit kinematik zincir olarak adlandırılırlar. Eğer
uzuvlardan en az biri, taban olmamak koşuluyla 3 veya daha yüksek bir bağlantı
derecesine sahip ise bu sistem bir kapalı-çevrim kinematik zincir adını alır (C.
Gosselin, 1988).
1.2 Seri Manipülatörler
Manipülatörler iki ana sınıfa ayrılmaktadır ve bunlardan ilki olan seri manipülatörler
birer basit kinematik zincirdir çünkü sadece taban ve uç uzuvlarında 1 olmak üzere,
diğer uzuvlarında 2 bağlantı derecesine sahiptirler. Bu tip zincirler aynı zamanda
açık-çevrim kinematik zincir olarak da anılmaktadır. Şekil 1.1‟de endüstride
kullanılan bir seri robot gösterilmektedir.
ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör
2
1.3 Paralel Manipülatörler
Manipülatörlerin ayrıldığı ikinci sınıf ise paralel manipülatörlerdir. Bu sistemler birer
kapalı-çevrim kinematik zincirdir.
Paralel manipülatörlerin genel tanımı daha geniştir ve uç elemanının kontrol edilen
serbestlik derecesinden daha fazla sayıda eyleyici içeren mekanizmaları da kapsar.
Ele alacağımız mekanizmalar aşağıda anlatılan karakteristik özelliklere sahiptir.
1) En az iki kinematik zincir uç elemanına bağlanır. Bu zincirlerden en az biri
bir eyleyici içerir.
2) Eyleyici sayısı uç elemanının serbestlik derecesine eşittir.
Bu tip mekanizmalar aşağıdaki özelliklere sahiptirler.
1. En az iki zincir mevcut olması, zincirdeki yüklerin dağıtılmasına olanak
sağlar.
2. Eyleyici sayısı ihtiyacı minimumdur.
3. Mekanizmanın kapalı çevrim kontrolü için gerekli sensör adedi minimumdur.
Bu tanımlara göre bir paralel robot n serbestlik derecesine ve bir sabit tabana sahip,
en az iki bağımsız kinematik zincir ile birbirine bağlıdır. İçerdiği eyleyici adedi n‟dir.
Zincir sayısı tam olarak end-effector‟ın serbestlik derecesine eşit olan paralel
robotlar; “tam paralel manipülatör” (fully parallel manipulator) olarak adlandırılır
[2].
Paralel manipülatörlerin en bilinen tipi Stewart Platformudur. 1965 yılında D.
Stewart tarafından bir uçuş simülatörü olarak (Şekil 1.2) önerilen sistem altı doğrusal
eyleyiciden oluşmaktaydı [3].
3
ġekil 1.2 : D. Stewart‟ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem
Daha öncesinde Eric Gough, Stewart‟ın modeline benzer bir modeli bir lastik test
makinesi olarak önermiştir. Onun sisteminde, tam paralel hareketlendirilmiş
mekanizma oluşturacak şekilde altı adet eyleyici kullanılmıştı [4]. Lastik üreticisi
Dunlop firması tarafından kullanılan bu test sistemi ve güncel versiyonu Şekil 1.3‟de
gösterilmiştir.
ġekil 1.3 : Eric Gough‟nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin
modern versiyonu
Günümüzde Stewart Platformu olarak anılan paralel mekanizma, bir taban ve bir
hareketli tabla ve bunları birbirine bağlayan 6 hareketli uzuvdan oluşmaktadır. En
genel halinde bu uzuvların her biri tabana universal mafsal ile, hareketli tablaya ise
küresel mafsallar ile bağlanmaktadır. Aynı zamanda eyleyici görevi gören uzuvlar ise
4
kendi içerisinde birer prizmatik mafsala sahip olup, bu mafsalın tahriki ile doğrusal
hareketleri gerçekleştirmektedirler. Uzuvların bağlantı şekilleri değişebilmektedir.
Örneğin tüm bacakların (uzuvların) tabanda ve tablada birbirinden farklı noktalara
bağlandığı sistemler 6-6‟lık Stewart Platformu olarak anılır (Şekil 1.4). Eğer bacaklar
tabanda ayrı noktalara, üst tablada ise ikişerli olarak 3 ayrı noktaya bağlanıyorsa bu
sistem 6-3‟lük Stewart Platformudur. Eğer bacaklar alt tabanda da ikişerli olarak 3
ayrı noktadan bağlı ise 3-3‟lük Stewart Platformu ortaya çıkar.
ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması
Görüldüğü gibi ifade edilen Stewart Platformu mekanizması Şekil 1.2‟de D.
Stewart‟ın önerdiği sistemden çok Şekil 1.3‟de E. Gough tarafından tasarlanan
sisteme benzemektedir. Buna karşın bu tip mekanizmalar, günümüzde sıkça Stewart
Platformu veya Stewart-Gough Platformu olarak anılmaktadır.
Paralel manipülatörlerde prizmatik (doğrusal) eyleyiciler dışında pek çok farklı
eyleyici tipi kullanılabilmektedir. Şekil 1.5‟deki ABB firmasının dönel eyleyicilere
sahip FlexPicker robotu ve Rotobot isimli tabana bağlı eyleyicilerin taban çevresi
üzerinde ötelenmesi ile hareket eden sistemler bunlara örnek gösterilebilir.
5
ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar
1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri
Paralel ve seri manipülatörlerin kullanım alanları sundukları fiziksel özelliklerine
bağlı olarak ayrılmaktadır. Paralel manipülatörler, taşıdıkları yükü birden fazla
eyleyiciye dağıttıkları için daha yüksek yararlı-yük/ağırlık oranı ve rijitliğe
sahiptirler. Aynı zamanda seri manipülatörlere göre daha küçük çalışma hacmine
sahip olduklarından, robot boyutlarının sınırlı olması gereken durumlarda, büyük
yüklerin, dar bir hacimde hareket ettirileceği işlerde tercih edilirler. Bunlara en iyi
örnek taşıt simülatörleri veya sarsıcı sistemleridir.
Paralel robotlar, seri robotlardan farklı olan kinematik zincir yapısından dolayı,
kümülatif olmayan eklem hatalarına sahiptir [5]. Bu durum çalışma hassasiyetinin
artmasını sağlamaktadır. Eyleyicileri tahrik eden motorların tabana yakın
konumlandırılması, sistemin hareket eden parçalarının ataletini düşük tutmakta ve
performansı arttırmaktadır. Bu sebeple yüksek hızda, düşük toleranslı işlemlerde seri
robotlara göre üstündürler.
Seri robotlarda hesaplanması kolay olan sistemin ileri kinematiği, paralel robotlarda
analitik olarak basit değildir. İteratif yöntemler kullanılarak gerçek-zamanlı
çözülebilen ileri kinematik denklemlerinin çözümünde genetik algoritmaların da
kullanılması yönünde çalışmalar mevcuttur. Buna karşılık sistemin
konumlandırılmasında öncelikli olarak kullanılan ters kinematik denklemlerin
çözümü son derece kolay olup, gerçek-zamanlı kontrol için analitik çözüm
kullanılabilmektedir.
6
2. KĠNEMATĠK
2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği
Bu çalışmada bir Stewart Platform Mekanizması (SPM) üzerinde çalışılacağı için bu
sistemlerin ters ve ileri kinematiği üzerinde durulacaktır.
Genel amaçlı manipülatör olarak tasarlanan SPM‟lerde yapılan başlıca hesap, üst
platform merkezinin istenen doğrusal ve açısal konuma gelmesi için bacakların
ulaşması gereken uzunluklardır. Bu veriler, platformun ters kinematik denklemleri
çözülerek elde edilir. Uç elemanının doğrusal konumu x, y, ve z koordinatları ile
açısal konumu ise Euler açılarına veya global koordinatlardaki açılara dayanan α, β
ve θ olmak üzere ve bacak boyları birinciden altıncıya kadar bir dizi ile ifade edilirse;
SPM‟nin uç elemanının bir yüzeye dokunması gerektiği durumlarda, yüzeye çarpma
anında temas noktasının koordinatlarının hesaplanması veya platformun başlı başına
bir joystick vazifesi gördüğü durumlarda; bacak boyu ölçümlerinden uç noktanın
konumunu verecek bir algoritma gerekmektedir [2]. Bu algoritma ise platformun ileri
kinematiği‟nin çözümüdür.
2.1.1 Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği
Ters kinematik problemin çözümünde verilen uç elemanı koordinatları kullanılarak
bu konumu sağlayacak bacak boylarının hesaplanması gerekmektedir. Giriş
koordinatları mekanizmanın 6 serbestlik derecesi sebebiyle 6 parametre içerir. İlk
üçü doğrusal ve son üçü ise açısal konumlar olmalıdır.
7
ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan
vektörler
Şekil 2.1‟da gösterilen mekanizma konumu için, uzaydaki konumu bilinen uç
elemanı üzerindeki C noktasını sağlayacak, her bir bacağın alması gereken uzunluk,
(BP vektörünün büyüklüğü), aşağıdaki denklemden (2.1) hesaplanabilir. Düz
kinematikten farklı olarak Stewart Platformu‟nda her bir uç elemanı koordinatına
karşılık tek bir bacak boyu vektörü elde edilebilir. Bu durum analitik çözümü
güvenilir ve hızlı yapmaktadır.
(i=1, 2, 3, ..., 6) (2.1)
Denklem 1.1‟de verilen p vektörü, uzaydaki yeri sabit olan herhangi bir noktadaki
global koordinat eksen takımına göre hareketli platformdaki referans noktasının
konum vektörüdür. Bu vektörün, zamana göre değerinin değişiminin bilindiği kabul
edilecektir. i. bacağa ait pt vektörü ise global koordinat eksenleri yerine başlangıçta
global eksenler ile yönelmeleri aynı olan ve daima C noktasında yer alan bir yerel
koordinat eksen takımına göre, C noktasından bacağın hareketli plakaya bağlandığı
Pi noktasına uzanan vektördür. Global koordinatlarda orijin O noktasından i. bacağın
tabana bağlandığı Bi noktasına uzanan pbi vektörü ise mekanizma tasarımında
belirlenen ve değişmeyen bir parametredir. Bu durumda herhangi bir bacağa ait
uzunluk değerinin hesaplanması için gerekli tek işlem pti vektörünün hareketli
8
platform koordinat sisteminden, global koordinat sistemine dönüştürülmesidir.
Denklem 2.1‟de bu işlemi R matrisi (global dönüşüm matrisi) gerçekleştirmektedir.
Global dönüşüm matrisi, hareketli platformun açısal konumuna bağlı olarak
hesaplanır. Hareketli platformun uzaydaki yönelmesi Euler açıları kullanılarak ifade
edilebilir. Euler açıları hareketli platformun yönelmesini, sırası ile C noktasındaki
koordinat eksen takımına ait Z, X ve tekrar Z eksenleri etrafında yapılan dönmeler ile
ifade etmektedir. Eksenler ve bunların sırası istenildiği gibi değiştirilebilir.
ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması
Şekil 2.2‟de gösterildiği gibi Euler açı teoreminde üç boyutlu bir XYZ koordinat
sisteminde {x,b,c} koordinatlarında yer alan bir noktanın, X ekseni etrafında yaptığı
belirli bir açıdaki dönme sonucu, başlangıç koordinat sistemine göre alacağı yeni
konum {x,q,r}; 3x3‟lük bir dönüşüm matrisi ve döndürülmüş koordinat sistemine
göre noktanın koordinatlarının {x,b,c} çarpımına eşittir.
Herbir eksendeki dönme için o eksendeki açının fonksiyonu olan ayrı bir 3x3‟lük
dönüşüm matrisi yazılabilir. Örneğin Şekil 2.2‟de verilen eksen takımında X ekseni
etrafında α açısı kadar yapılan bir dönme sonucu noktanın alacağı yeni konum, (2.2)
matrisi ile elde edilir.
(2.2)
9
En az iki farklı toplam üç eksende yapılan dönme işlemlerine ait dönüşüm matrisleri
çarpılarak üç boyutlu uzayda mümkün olan tüm yönelmelerin elde edilebileceği bir
global dönüşüm matrisi oluşturulur. Global dönüşüm matrisi oluşturulurken diğer
dönüşüm matrislerinin çarpım sırası önemlidir ve dönüşüm tipini belirler.
Örnek olarak XYZ eksenlerinde sırasıyla yapılacak dönme işleminin global dönüşüm
matrisini ele alalım. Bunlara ait Rx, Ry ve Rz dönüşüm matrislerinin önçarpımı ile
(Rz*Ry*Rx) global dönüşüm matrisi elde edilirse, bu matris “mutlak dönüşüm”
yapar yani tüm dönmeler uzayda yeri ve doğrultusu sabit bir koordinat sisteminin
eksenlerine göre yapılır. Bu durumda referans alınan koordinat sisteminin doğrultusu
yapılan dönmelerden etkilenmez. Eğer dönüşüm matrisleri sırası ile art arda
çarpılırsa (Rx*Ry*Rz) bu durumda, global dönüşüm matrisi “bağıl dönüşüm” yapar
ve buna göre herbir eksen etrafındaki dönme sonrası koordinat sistemi de yeni bir
yönelmeye ulaşır. Bir sonraki döndürme işlemi bu yeni yönelmeye sahip koordinat
sisteminin ilgili ekseni etrafında gerçekleştirilir [1].
2.1.2 Stewart Platform Mekanizmasının Ġleri Kinematiği
Stewart Platformları ve genel olarak tüm paralel manipülatörlerin ileri kinematiğinin
hesaplanmasında iki tip çözüm metodu mevcuttur: analitik çözüm ve sayısal
(tekrarlamalı) çözüm [6].
2.1.2.1 Analitik Yöntem
Genel olarak analitik yöntemler fazla tercih edilmez çünkü analitik çözüm, “Polinom
metodu” adı verilen uzun ve karmaşık bir algoritma ile gerçekleştirilmekte ve
gerçek-zamanlı kontrol için çok ağır kalmaktadır. Bunun yanısıra analitik çözüm,
ters kinematik analizdeki gibi tek sonuç vermemektedir. Herhangi bir tasarımda, aynı
bacak boyları ile sağlanabilecek 8 olası hareketli platform konumu mevcuttur.
Dolayısıyla ileri kinematiğin bir yörüngenin takibi için çözülmesi durumunda, elde
edilen olası konumların doğru konuma ulaşmak için elenmesi gerekmektedir. Bu ise
işlemi daha da karmaşık hale getirmektedir.
10
2.1.2.2 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem
Tekrarlamalı yöntem, temelde ters kinematik denklemlerinin çözümünden yola
çıkmaktadır. Denklem 2.3‟de verilen x vektörü, hareketli platformun hesaplanmak
istenen doğrusal ve açısal pozisyonlarını temsil etsin.
(2.3)
Bu durumda Denklem 2.4‟de x‟in fonksiyonu olarak verilen l vektörü, ters kinematik
çözüme ait ve herbiri ayrı bir bacağın uzunluğunu veren 6 denklemi temsil
etmektedir. lm vektörü ise 6 bileşenli ve algılayıcılar vasıtasıyla fiziksel sistemden
ölçülen bacak uzunluklarını içeren bir vektördür. Böylece l denklemleri, doğru
konum vektörüne (x) göre çözüldüğünde Denklem 2.4 sıfıra eşitlenecektir. Bu
sebeple, bu eşitliğin sol tarafı, ileri kinematiğin çözümü için bir hedef fonksiyonu
olarak belirlenebilir.
(2.4)
Hedef fonksiyonunu iterasyondaki mevcut bacak boyu hatasını temsil eden bir e
vektörü ile gösterirsek, e(x) vektörünün x‟e göre alınan gradyen matrisinin tersi,
“Euler açıları Jakobiyen matrisi, Je”dir ve bacak boyu hatalarını platform konumu
değişimlerine bağlar. Bu durumda ölçülen bacak boyu vektörü lm ve herhangi bir
tutarlı başlangıç konumu x için denklem 2.5, sürekli olarak doğru x konumuna
yakınsayacaktır.
(2.5)
İterasyonlar, bağıl hata denetlenerek durdurulabilir. e vektörünün bileşenlerinin
ölçülen boya (lm) göre oranlarının bulunması ve bu oranların en yüksek olanının
belirlenen bir hata değerinin altında kalması durumunda (Denklem 2.6) son bulunan
iterasyon sonucu doğru olarak kabul edilir ve bir sonraki zaman adımına geçilir.
(2.6)
Kontrol amacı ile sayısal yöntemlerin kullanılması oldukça yaygındır çünkü çok
basit ve hızlı bir algoritma ile birkaç iterasyonda doğru sonuca
11
yakınsayabilmektedirler. Tek koşul, algoritmaya verilen hareketli platforma ait
başlangıç konumunun gerçek konuma yeteri kadar yakın olmasıdır. Aksi halde
çözümler, başlangıç konumundan daha yakın olan başka bir olası platform konumuna
yakınsayabilmektedir. Platform sisteminin her zaman kullanıcı tarafından bilinen bir
konumdan başlatılması ve her iteasyonda ulaşılan doğru pozisyonun bir sonrakinde
başlangıç değeri olarak kullanılması durumunda, algoritmanın sorunsuz çalıştığı
görülmüştür.
Literatürde bu yöntemin tek dezavantajı olarak Jakobiyen matrisinin her iterasyon
adımında tekrar hesaplanması ve bunun sonucunda çözümün yavaşlaması
gösterilmiştir. Buna çözüm olarak kullanılan Jakobiyen matrisinin bir veya birkaç
iterasyon adımında daha kullanılması tavsiye edilmiş ve bu yönteme “değiştirilmiş
Newton-Raphson yöntemi” adı verilmiştir [6].
Paralel manipülatörlerin kinematik hesaplarında kullanılan Jakobiyen matrisleri,
sistemdeki eyleyici konumlarındaki küçük değişimleri uç elemanının konum
parametrelerinin değişimine bağlamaktadır. İleri kinematik denklemlerinin sayısal
çözümünde önemli rol oynamalarının yanısıra paralel robotların konum kontrolünde
dikkat edilmesi gereken tekil konfigürasyonların analizinde de bu yöntem
kullanılmaktadır. Statik ve dinamik analizlerde eyleyici kuvvetlerini, platformun
eksenlerde uygulayabildiği kuvvet ve momentlere bağlayan denklemler de bu
matrisleri içermektedir.
Bu sebeple bu bölümde Jakobiyen matrislerinin hesaplanması ve bunların tekil
konfigürasyonlar ile ilişkisine değinilecektir.
2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin
Hesaplanması
i. bacak vektörü‟nün (li) genel formülü; pt, hareketli platform eksen takımına göre
hareketli platformun merkezinin bacakların bu platformdaki bağlantı noktalarına olan
uzaklığı; pb, referans koordinat eksen takımına göre bacakların taban bağlantı
noktalarının koordinatları ve p, hareketli platform merkezinin referans koordinat
takımına göre konum vektörü olmak üzere aşağıdaki şekilde verilebilir;
12
(2.7)
Global Dönüşüm Matrisi‟nin (R) hesaplaması Euler XYZ koordinat eksenleri için
aşağıdaki gibidir.
(2.8)
Denklem 2.7‟de verilen ifade aşağıdaki şekilde açılabilir;
(2.9)
Uç eleman konum koordinatlarının değişimi ile bacak uzunluklarının değişimleri
arasındaki bağıntı Euler Jakobiyen (Je) matrisinin tersi ile belirlenir (Merlet, 1993);
(2.10)
Ters kinematik Jakobiyen matrisi, bacak vektörlerinin (li), uç eleman konum vektörü
(x=[x, y, z, α, β, θ]‟) bileşenlerine göre kısmi türevlerinin alınması ile hesaplanır;
(2.11)
Oluşturulan matrisin tersi ise bacak uzunluğu değişimlerini, konum değişimlerine
ilişkilendiren bağıntıyı yani Euler Jakobiyen matrisini (Je) ortaya çıkarmaktadır.
(2.12)
Denklem 2.13‟de bu matrisin elemanlarının hesaplanması için kullanılan denklemler
verilmiştir;
13
14
(2.13)
Denklem 2.13‟deki bazı çarpanlar aşağıdaki gibi değiştirilebilir;
(2.14)
Denklem 2.14‟de lij, i‟nci bacağa ait vektörün j‟nci bileşenini temsil etmektedir.
Buradan Denklem 2.13‟ye ait ilk üç eşitlik aşağıdaki gibi değiştirilebilir:
(2.15)
Kalan üç eşitlikte ise bir takım düzenlemelere gidilir ise skaler nokta çarpım
operatörünü (.) kullanarak daha basit gösterimler elde edilebilir.
15
(2.16)
Tüm matris elemanlarının ifadelerinde birim bacak vektörleri bulunmaktadır. Her bir
bacağın alt bağlantı noktalasından üst bağlantı noktasına yaptığı yönelmeyi belirten
bu birim vektörler
(2.17)
ile temsil edilirse ters kinematik Euler Jakobiyen matrisinin her biri bir bacağa ait
olan satırlarını aşağıdaki bileşenler oluşturur:
(2.18)
Euler ters Jakobiyeni bacak uzunlukları değişimini genelleştirilmiş koordinatların
değişimi ile ilişkilendirir.
Denklem 2.18‟deki ifade bacak boylarının değişimini, hareketli platformun
yönelmesinde kullanılan koordinat sisteminin parametre değişimlerine bağlı olarak
vermektedir. Buna karşın uç elemanının yönelme değişimi referans koordinat eksen
takımının herbir ekseni etrafında yaptığı 3 açısal hız değişkeni cinsinden ifade
edilebilir. Bunun için Denklem 2.7‟teki ifadenin zamana göre türevi alınırsa;
(2.19)
p vektörünün referans koordinat merkezinden hareketli platform merkezine uzanan
vektör olduğu göz önünde bulundurularak, bu vektörün zamana göre türevinin uç
elemanının öteleme hız vektörü (V=[νx, νy, νz]‟) olduğu kabul edilebilir. Buna göre
ifadede bir takım düzeltmeler yapılırsa;
(2.20)
16
Açısal hız vektörü Ω=[ωx, ωy, ωz]‟ olarak tanımlanırsa hareketli platform
merkezinden i. üst bağlantı noktasına uzanan vektörün zamanla değişimi;
(2.21)
Tüm bu eşitlikler Denklem 2.20‟de yerine konur ve Denklem 2.17‟den yararlanılarak
vektörel formda gösterilirse
(2.22)
şeklini alır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci terimde skaler çarpımın özelliklerinden
yararlanılarak açısal hız vektörü nokta çarpanı ile ifade edilir.
(2.23)
Denklemdeki doğrusal V ve açısal Ω hız vektörleri birlikte W=[V, Ω]‟ vektörünü
oluştururlar. Bu vektör uç elemanının referans koordinatlardaki hızlarını ifade eder
ve bu sebeple uç elemanının genelleştirilmiş koordinatlardaki hız vektörü olarak
adlandırılır.
(2.24)
Görüldüğü gibi son bulunan eşitlik uç elemanı doğrusal ve açısal hızlarını bacak
boyu değişimlerinin bir fonksiyonu olarak vermektedir. Dolayısıyla eşitliğin sağ
tarafındaki diğer çarpan bir başka Jakobiyen ifadesidir. Literatürde bu matris
kinematik Jakobiyen (J)‟in tersi olarak adlandırılır ve bu jakobiyen daha çok tekillik
analizlerinde kullanılmaktadır.
(2.25)
2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı
Uzaydaki bir doğruyu tanımlamakta kullanılan Plücker vektörleri 6 bileşenden
oluşurlar. Doğrunun genel analitik tanım denklemine göre fazladan 2 parametre daha
içeren bu P vektörü Şekil 2.3‟de gösterilen O merkezli koordinat sisteminde M1 ve
17
M2 noktalarından geçen bir doğru için Denklem 2.26‟da gösterildiği şekilde
hesaplanabilir.
ġekil 2.3 : Plücker vektörü ile ifade edilen bir doğru
(2.26)
Herhangi sıfırdan farklı bir skaler değer ile çarpılmış p vektörü, her zaman bir
doğruyu temsil edecektir. 6 boyutlu bir Plücker vektörü sadece q sıfırdan farklı bir
vektör olmak üzere p.q=0 koşulu sağlandığında bir doğru tanımlar [7]. Plücker
vektörleri M1M2 uzunluğuna göre normalize edilirse denklem 2.27‟e dönüşür.
(2.27)
Bir paralel robot için M1 ve M2 noktaları bacaklardan birinin üst ve alt platforma
bağlantı noktalarını temsil etsin. Bu durumda, normalize edilmiş Plücker vektörünün
pn kısmı, birim bacak boyu vektörü ni„ye eşit olacaktır.
Burada Plücker vektörlerinin bir diğer önemli özelliği de ele alınmalıdır. u ve v,
sıfırdan farklı iki keyfi vektör olarak tanımlansın. Bu durumda [p1, u × p1] olarak
tanımlanan bir Plücker vektörü ile [p1, v × p1] olarak tanımlanan bir başka Plücker
vektörü aynı doğruyu temsil ederler.
Plücker vektörlerinin açıklanan özelliklerinden yola çıkarak denklem 2.24 ile ifade
edilen ters kinematik Jakobiyen matrisinin satırlarının bacakların bağlantı noktaları
18
arasında uzanan doğruları temsil eden Plücker vektörlerinden meydana geldiği
görülecektir. Bu durum tekillik analizlerinde önemli bir rol oynamaktadır.
SPM için ortaya konulan bu tanımlama paralel manipülatörler için genel bir teorem
olarak ifade edilebilir. Buna göre; uzuvları uç elemanına bir küresel mafsal ile bağlı
olan bir paralel manipülatöre ait ters Jakobiyen matrisi uzuvlarını uç elemanına
bağlayan doğruya ait Plücker vektörlerinden oluşmaktadır [2].
2.4 Tekillik
Kinematik tekillik; uç elemanı konumunu ve mafsal parametreleri arasındaki ilişkiyi
ifade eden denklemlerden bir veya daha fazlasının lineer bağımlı hâle gelmesi ile
ortaya çıkan durumdur. Bu durum tekil konfigürasyon adı verilen konumlarda
görülmektedir.
Matematiksel olarak tekil konfigürasyonlarda ters jakobiyen matrisinin rankı
düşmekte ve tekil bir matrise dönüşmektedir. Mekanizmanın rijitliğini kaybetmesine
yol açan bu konumlar, sistemin kontrol edilemez duruma gelmesine ve eyleyici
kuvvetlerinin yetersiz kalmasına sebep olmaktadır. Bu kuvvetler kapalı zincir
mekanizmadaki bileşenlere zarar verebilecek seviyelere ulaşabilmektedir. Buradan
tekillik analizinin tasarım aşamasında neden büyük önem taşıdığı anlaşılabilir.
Θa aktif mafsal değişkenlerini (açısal veya doğrusal konum), X uç elemanının
konumunu ve W ise uç elemanının açısal ve doğrusal hızlarını ifade eden vektörler
olsun. Θa‟nın zamanla değişimi ile W arasındaki bağıntı A ve B gibi iki katsayı
matrisi ile birlikte ifade edilirse;
(2.28)
Eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten tekillik durumu için üç farklı sınıflandırma
yapılabilir.
1-Tipi tekillik (seri tekillik); A‟nın tekil olması durumunda platformun hareket
etmediği durumlar için (W=0) sıfırdan farklı bir mafsal hız vektörü (dθa) elde edilir.
Bu tip tekil konfigürasyonlara yaklaştıkça mekanizma nispeten büyük mafsal hızları
için küçük uç elemanı hızları yaratmaktadır. Böyle bir durum; hareket kontrolünü
kötü etkilemesine rağmen bir avantaj da getirir. Sistem bu konumlara yaklaştıkça
19
hareket hassassiyetini arttırır. Dolayısı ile özel bir tasarım yapılarak bu tip
durumların sağladığı yüksek hassasiyetten yararlanılabilir.
2-Tipi tekillik (paralel tekillik); B‟nin tersinin alınamadığı durumlardır. Mafsal
hızlarının sıfır olması halinde bile platformun hareket serbestisine sahip olmasına yol
açan konfigürasyonlardır. Bu tip konumların getirdiği iki risk vardır. Birincisi sistem
artık kontrol edilemez duruma gelir. İkincisi ise ortaya çıkan büyük kuvvetler
arızalara sebep olabilir.
3-Tipi tekillik; hem A hem de B‟nin tekil olduğu durumdur. Aktif mafsalların
kilitlendiği durumlarda bile uç eleman hareket edebilir veya uç eleman sabit olsa bile
mafsalların hareket etmesi mümkün olabilir.
Paralel tekillik; mekanizmaya hasar verme kapasitesine sahip ve çalışma uzayında,
bu duruma ait tekil konfigürasyonların büyük yer kaplaması sebebiyle diğer tip
tekilliklerden daha fazla önem taşımaktadır [2].
2.4.1 Tekillik Endeksi
Manipülatörlerde güvenilir bir sistem ortaya çıkarmak amacıyla tekil
konfigürasyonların da göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Tekil
konfigürasyonlardan kaçınmak için iki tasarım yöntemi mevcuttur. Birincisi tekil
konumların manipülatörün çalışma uzayı dışında tutulması ikincisi ise tekil
konumlara olan yakınlığın hareket esnasında denetlenmesi ve sistemin yörüngesinin
böyle bir konumun yakınından geçmesi durumunda kontrol sisteminin bu yörüngeyi
değiştirmesi veya sistemi tamamen durdurmasıdır.
Uç eleman yörüngesinin değiştirilmesinin her uygulamada mümkün olmaması ve
özellikle gerçek zamanlı kontrol edilen sistemlerde yeni bir yörünge tanımlaması
konusunda kullanışlı yöntemler geliştirilememesi sebebiyle günümüzde en çok tercih
edilen tasarım yöntemi bu konfigürasyonların çalışma uzayından çıkarılmasıdır.
Mekanizmanın tekil bir konfigürasyona olan yakınlığı sistem Jakobiyen matrisin
özdeğerleri incelenerek hesaplanabilir. Özdeğerlerinin herhangi birinin sıfıra
yakınsaması durumunda sistemin tekil bir konfigürasyona yaklaştığı anlaşılır.
Literatürde tekillik endeksi olarak adlandırılan bir değer bu tip kritik konumları
belirlemede kullanılmaktadır. Tekillik endeksi Jakobiyen matrisinin determinantıdır
ve böylece özdeğerlerin sıfıra yaklaşması durumunda sıfıra doğru yakınsar.
20
Jakobiyen determinantının yanı sıra kinetik enerji ve farklı tip normlar kullanarak
tekillik için daha güvenilir ve anlamlı bir endeks türetilmesi konusunda çalışmalar
yapılmaktadır [8].
Yapılan benzetimlerde elde edilen ölçümler ve gözlemler sonucunda tekil
konfigürasyonların tipine göre daha geniş bir bölgede etkili oldukları belirlenmiştir.
Örneğin bir SPM‟nin bilinen tekil konfigürasyonlarından birinin uç elemanının düşey
ekseni etrafında ±90° açılarla yaptığı dönmelerde ortaya çıktığı bilinmektedir ancak
sistem tekilliğe 90 derecelik dönüş tamamlanmadan girmekte ve yaklaşık 60
derecelik bir dönüş sonrasında sistemin geri dönmek için ihtiyaç duyduğu eyleyici
kuvveti aşırı seviyede yükselmektedir. Bu konumdan itibaren platform serbestlik
derecesi kazanarak harekete devam etmekte ve sonucunda tekil konfigürasyona
ulaşıldığında benzetim sayısal çözüme ulaşılamaması sebebi ile durdurulmaktadır.
2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar
Eyleyici kuvvetleri (τ) ve genelleştirilmiş kuvvet vektörü (f) (Jakobiyen ile elde
edilen uç elemanına uygulanan kuvvet ve moment vektörü) arasındaki temel bağıntı,
seri ve paralel manipülatörler için aynı olup Jakobiyen matrisinin (J) transpozesine
bağlı olarak denklem 2.29‟da gösterilmiştir.
(2.29)
Genelleştirilmiş kuvvet vektörünü ifade eden eşitlik denklem 2.30‟da gösterildiği
gibi kinematik Jakobiyenin tersinin transpozesini içermektedir.
(2.30)
Jakobiyen matrisinin hesaplanmasında kullanılan platformun konum vektörüne (x)
ait bileşenler kuvvet ve momentlerin belirli bir çalışma noktası etrafında geçerli
olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla farklı bir konum için yapılan statik analizde
Jakobiyen matrisi tekrar hesaplanmak zorundadır.
2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları
Statik analiz bir paralel manipülatörde belirli bir uç eleman konumu için eyleyici
kuvvet ölçülmesi ile genelleştirilmiş kuvvetlerin hesaplanmasında veya
21
genelleştirilmiş kuvvetlerden dengeleyici eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasında
kullanılabilirler.
Paralel manipülatör tasarımında, statik analiz ile uç elemana etki eden
genelleştirilmiş kuvvetlerin yaklaşık sınır değerleri bilindiğinde kullanılacak
eyleyicilerin sahip olması gereken en yüksek kuvvet değerleri belirlenebilir. Aynı
şekilde eyleyicilerin sınırları biliniyorsa uç elemana uygulanabilecek yüklemeler
hesaplanabilir [2].
Literatürde, bir manipülatörün herhangi bir konumu için değişim aralığı belirlenmiş
genelleştirilmiş kuvvetlerden en yüksek eyleyici kuvvetlerini hesaplamayı amaçlayan
çalışmalar mevcuttur. Aynı şekilde sınırlandırılmış eyleyici kuvvetlerinden
genelleştirilmiş kuvvet sınırlarını belirleme çalışmaları da yapılmaktadır. Ayrıca
çalışma uzayı içerisinde bu iki vektörün en yüksek değerlerini arayan algoritmalar da
geliştirilmektedir.
Statik dengedeki eyleyici kuvvetleri ve uç eleman kuvvet/momentleri arasındaki
bağıntılar sayesinde yapılan araştırmalar paralel manipülatörlerin kuvvet sensörü
olarak kullanılabileceğini de ortaya koymaktadır. Böylece bacaklarına birer adet
kuvvet algılayıcısı yerleştirilmiş 6-UPS manipülatör uç elemanına etkiyen
kuvvetlerin algılanması amacıyla kullanılabilmektedir.
22
3. DĠNAMĠK
Bu bölümde 6-6 UPS Stewart Platform Mekanizmaları için ileri ve ters dinamik
denklemleri türetilerek uç organa ait genelleştirilmiş ivme, hız ve koordinatlar ile
eyleyici kuvvetleri arasındaki ilişki kurulmuştur.
3.1 Dinamik Modeller
Paralel robotların kontrolünde aşağıda sınıflandırılan uygulamalar için sistem
dinamiği önemli bir rol oynamaktadır [2]:
1) Hızlı ve/veya ağır yük taşıyan robotlar: uçuş simülatörleri veya birtakım
manipülatörler nispeten daha geniş bir çalışma uzayına ihtiyaç duyarlar ve bu
uzayda uç organın hareketlerinde dinamik etkiler önemli rol oynar.
2) Yüksek bant genişliğine sahip robotlar: daha çok titreşim simülatörü olarak
kullanılan bu tip robotlar dar bir çalışma uzayında yüksek frekansta hareket
ederler.
3) Yapısal olarak hassas robotlar: düşük hızdaki dinamik etkilerin sistem
davranışını değiştirebildiği robotlardır. Kablo uzuvlara sahip veya esnek
uzuvlu robotlar bu sınıftadırlar. Özellikle yüksek hızlı parça işleme
durumlarında dinamik hatalar statik hatalardan daha ciddi etkilere sahiptir.
İki farklı tip dinamik model mevcuttur:
Ters dinamik: uç organa ait verilen yörünge, hız ve ivme bilgileri için gerekli
eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasıdır.
İleri dinamik: eyleyici kuvvetlerinin bilindiği durumlar için uç organdaki anlık
konum, hız ve ivme değerlerinin elde edilmesidir.
3.2 Ġleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi
Herhangi bir bacağın (i. bacak) üst tablaya bir küresel mafsal ile bağlandığı nokta Bi
olsun. Bu noktadan tablaya etkiyen kuvvet fi iki bileşene ayrılabilir. Birincisi birim
23
bacak vektörü ni doğrultusunda etkiyen ilgili eyleyici kuvvet büyüklüğü τi, diğeri ise
ni‟ye dik olan ve eylemsizlikten kaynaklanan fNi kuvvetidir. (Şekil 3.1) Bu durumda
fi kuvveti denklem 4.1 ile ifade edilir;
(3.1)
FN, tüm bağlantı noktalarından etkiyen fNi kuvvetlerinin toplamı ve MN bu
kuvvetlerin C noktası etrafında meydana getirdiği toplam moment ise F ve M, uç
organ üzerindeki C noktasına etkiyen toplam kuvvet ve moment olmak üzere denge
denklemleri 3.2 ve 3.3‟de verildiği gibi olacaktır.
(3.2)
(3.3)
ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler
σ ve σN, 6 bileşenden oluşan iki vektör olsun;
(3.4)
(3.5)
Denklem 3.2 ve 3.3 tek bir eşitlik ile 3.6‟daki gibi ifade edilebilir.
(3.6)
24
G noktası hareketli platformun ağırlık merkezini temsil etsin. Simülatör veya bir
başka amaç için kullanılan fiziksel hareket platformunun ağırlık merkezi, genellikle
üst tablanın merkezi olarak kabul edilen uç organ referans noktası C ile çakışık
olmayacaktır ve dolayısı ile büyüklüğü sıfırdan farklı olan bir GC uzaklık vektörü
mevcut olacaktır. Ağırlık merkezine göre elde edilen fiziksel parametreler, bu
vektörden de yararlanarak referans C noktasındaki konum, hız ve ivme değerlerinin
hesaplanmasında kullanılacaktır. G noktasına etkiyen moment;
(3.7)
Newton-Euler denklemleri kullanılarak kuvvet ve moment denklemleri elde edilir.
(3.8)
(3.9)
Burada g, yerçekimi ivmesi; γG, G noktasındaki doğrusal ivme vektörü; m, hareketli
platform kütlesi; I, hareketli platformun ağırlık merkezi etrafındaki 3x3‟lük
eylemsizlik matrisi ve Ω, uç organın açısal hız vektörüdür.
C noktasındaki doğrusal ivme γC; G noktasındaki doğrusal ivmeye bağlı olarak γG
hesaplanabilir.
(3.10)
Denklem, 3.8‟de yerine konulursa 3.11 eşitliği elde edilir. Burada üzeri çizili GC
vektörü bu vektörün skew-simetrik matris halini temsil etmektedir. Bu matris sadece
bir başka vektör ile çarpım yapılacağı zaman oluşturulmaktadır.
(3.11)
Bu eşitlikten faydalanarak ve denklem 3.7, 3.9 ve 3.10 kullanılarak;
(3.12)
Hareketli platformun açısal hızı olan ω;
(3.13)
25
3.11 ve 3.12‟de verilen eşitlikler matris şeklinde ifade edilirse;
(3.14)
Burada dW/dt vektörü, uç organın genelleştirilmiş koordinatlardaki hızının zamana
göre türevini ifade etmektedir. Buradaki 6x6‟lık T1 matrisi ve 6 bileşenli T2 vektörü
aşağıda tanımlanmıştır. I3 ifadesi 3x3‟lük birim matrisi göstermektedir.
(3.15)
(3.16)
Burada 3.6 ve 3.14 eşitlikleri kullanılarak;
(3.17)
Elde edilir. Eğer γi, Bi noktasındaki doğrusal ivmeyi temsil ederse;
(3.18)
Bu denklem matris şekline dönüştürülür ise;
(3.19)
Elde edilir ve burada U1i matrisi 3x6‟lıktır, U2i ise 3 bileşenli bir vektördür.
(3.20)
(3.21)
γi vektörünün ni vektörüne dik bir düzleme alınan izdüşüm vektörü γNi olsun. Bu
vektör;
(3.22)
Olarak tanımlanır. Matris şekline dönüştürüldüğünde bu denklemler;
(3.23)
26
Hareket platformunun bacakları doğrultusunda z-ekseninin yerleştirildiği ve orijini,
sabit tablaya bağlantı noktaları Ai‟de olan koordinat eksen takımları ele alınırsa, her
bir bacağın kendi koordinat eksen takımında x ve y-eksenleri etrafında yaptığı atalet
momentleri birbirine eşit ve Ji değerinde kabul edilebilir. Z-ekseni etrafındaki
eylemsizlik gözardı edilebilecek kadar küçük kabul edilirse fNi vektörü;
(3.24)
σN vektörünün bileşenleri olan FN ve MN değerleri;
(3.25)
(3.26)
3.23 ve 3.24 eşitlikleri kullanılarak;
(3.27)
(3.28)
Son iki eşitlik σN‟i bulmak üzere birleştirilirse;
(3.29)
Burada V1 6x6‟lık bir matris, V2 ise 6 bileşenli bir vektördür;
(3.30)
(3.31)
Denklem 3.17 ve 3.29 kullanılarak;
(3.32)
Dolayısıyla 6-UPS tipi paralel mekanizma için ileri dinamik denklemi 3.33 ile
gösterilmiştir.
27
(3.33)
Temel matris işlemleri ile kontrol amaçlı kullanılan ters dinamik denklemi de 3.34 ile
verilmektedir.
(3.34)
3.3 Tasarım Hedefleri
Bir simülatör sistemini hareketlendirme görevini üstlenecek Stewart Platform
mekanizmasının tasarım çalışmaları için referans alınması gereken performans
kriterlerine ihtiyaç duyulacaktır. Bu performans kriterleri sistemin simülatör amaçlı
kullanılması sebebiyle, konumlandırma hassasiyeti gibi kriterlerden çok doğrudan
tek eksen üzerinde veya kombine konumlandırma (yer değiştirme), hız ve ivme
sınırları ile ilgilidir. Ayrıca robotun kaplayacağı hacim ve boyut sınırlamaları da
önceden hesaba katılmalıdır. Bu amaçla tasarım hedeflerine örnek teşkil etmesi
amacıyla Moog Inc. firmasına ait Series 6DOF2000E model paralel konumlandırıcı
mekanizmanın (Şekil 3.2) sahip olduğu özellikler ele alınacaktır.
ġekil 3.2: Moog Series 6DOF2000E modeli
Bu özelliklerden dinamik performans ile ilgili olanları Çizelge 3.1‟de verilmiştir.
Bunların yanısıra sistemin yere sabit taban kısmının yerde kaplayacağı en geniş
alanın 1.84(m)×1.84(m) olacağı belirtilmiş ve üst hareketli platformun bacak bağlantı
28
noktalarından geçen bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğunun 1.5 m olduğu
bilinmektedir. Platformun başlangıç pozisyonundaki yüksekliği 0.71 m‟dir.
Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2000E Modeline ilişkin performans
çizelgesi
Serbestlik
Derecesi
Birleşik Yer
Değiştirme
Tek Eksende
Yer Değiştirme Hız İvme
Tx -
Surge ± 270 mm ± 250 mm ± 500 mm/s ± 0.6 g
Ty -
Heave ± 180 mm ± 180 mm ± 300 mm/s ± 0.5 g
Tz -
Sway ± 260 mm ± 250 mm ± 500 mm/s ± 0.6 g
Rx - Roll ± 22° ± 21° ± 30°/s ± 500°/s²
Ry - Yaw ± 23° ± 22° ± 40°/s ± 400°/s²
Rz - Pitch + 25° / - 23° ± 22° ± 30°/s ± 500°/s²
Seçilen hareket platformu 1000 kg yük taşıyacak şekilde tasarlanmıştır. Dolayısı ile
tüm performans ölçümleri bu yük altında gerçekleştirilecektir.
Üretici firma kataloglarında 305 mm ile 1575 mm arasında değişen strok boylarına
sahip doğrusal eyleyiciler sunabildiğini belirtmektedir. Bu bilgi de tasarım kriterleri
arasında kullanılacaktır.
29
4. ÇALIġMA UZAYI
4.1 Parametre Uzayı YaklaĢımı
Günümüzde paralel robotların geometrisine bağlı olarak çalışma uzayını ortaya
çıkarmak üzere kullanılabilecek üç tür yöntem mevcuttur. Bunlar; ayrıklaştırma
metodu, geometrik yaklaşımlar ve sayısal yöntemlerdir. Bu yöntemler yerine göre
oldukça kullanışlı olmalarına karşın tasarımı belirleme amacıyla değil ancak tasarımı
doğrulama amacıyla kullanılabilmektedir [2], [9].
Bu bölümde önerilecek yöntem ise bunlardan farklı olarak istenen sayıda ve çalışma
uzayının sınırına yakın seçilmiş noktalarda konumlandırma gerçekleştirebilecek
geometrik tasarım parametreleri için kullanılabilir aralıkları sunmaktadır. Temeli
Parametre-Uzayı Yaklaşımı‟na dayanan bu algoritma içerisinde Aralık Analizi
yöntemi (Interval Analysis) de kullanılarak hesap süresi olabildiğince
kısaltılmaktadır. Parametre-uzayı yaklaşımında incelenebilecek farklı parametre
sayısında bir sınır olmayıp, parametrelerin çoğalması hesap süresini doğrusal
olmayan bir şekilde arttırmaktadır. Aralık analizi yöntemi ise her farklı geometri için
deneme-yanılma işlemini sadece noktaları her köşesi için sağlayabilen prizmaları
parametre uzayı içerisinde aramak amacıyla kullanılmaktadır.
Algoritmanın çalışması şu şekildedir: Öncelikle uzay içerisinde belirlenmiş olan
minimum ve maksimum sınır noktalarının köşelerini oluşturduğu bir prizmanın
uygunluğu her köşesi için bir sağlama yapılarak kontrol edilir. Eğer her köşe için
noktaların tümü sağlanıyorsa prizma kabul edilir ve işlem sona erdirilir. Bu
belirlenen parametre sınırları içerisinde seçilen her parametre kümesinin bu çalışma
uzayını sağlayabileceği anlamına gelir. Eğer bir nokta bile sağlanamıyorsa, bu
sağlamayı engelleyen parametre köşe sıralarına bakılarak bulunur ve bu prizma o
parametrenin maksimum ve minimum değerine ait kenarından ikiye bölünür
(Bisection) (Şekil 4.1). Büyük prizma kabul edilmez ve algoritma aynı şekilde
küçültülen prizmalar üzerinden devam ettirilir. Bölme işlemi prizmanın en büyük
kenar uzunluğunun belirli bir sınırın altına inmesi ile sona erdirilir ve artık o prizma
daha fazla incelenmez. Bu en küçük kenar uzunluğu sınırı, ilgili parametrenin
30
inceleme aralığının belirli bir sayıya bölünmesi ile incelenir. Ardından bir sonraki
prizma ile incelemeye devam edilir. Kabul edilmeyen tüm prizmaların kenar
uzunluklarının sınırın altında kalması veya tüm prizmaların kabul edilmesi ile
algoritma sona erer.
ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection)
işleminin uygulanması
4.2 SPM’ye Uyarlanması
Parametre-Uzayı yaklaşımının kullanışlı bir biçimde SPM‟ye adapte edilmesi için
öncelikle mekanizmanın sahip olduğu geometrik parametre sayısının olabildiğince
azaltılması gerekmektedir. Literatürde sıkça kullanılan geometrik gösterimler
genellikle toplam 6 tasarım parametresi içerir. Bunlar; tabana ait dairesel platform
yarıçapı (Rb), hareketli dairesel platform yarıçapı (Rt), tabandaki ve üst platformdaki
ardışık iki mafsalın taban merkezine göre yaptığı açılar (2*α ve 2*β), strok uzunluğu
belirli olan bacakların sahip olduğu minimum veya maksimum toplam uzunluk (Lm)
ve üst ve taban platformların yatay düzleme paralel iken birbirlerine göre olan
montaj açılarıdır (γ). Bu değişkenler Şekil 4.2‟de gösterilmektedir.
31
ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler
İki platformun bağıl montaj açılarının (γ) tasarımda sıfır kabul edilmesinden dolayı
bu parametre hesaba dahil edilmeyecektir. Kalan 5 parametre arasında en fazla önem
taşıyanlar platform yarıçapları ve bacak uzunluklarının sınırlarıdır. Bacak
uzunlukları, en fazla eyleyicinin strok boyu kadar değişebileceğinden, maksimum ve
minimum uzunluklar aslında aynı parametreye diğer bir deyişle eyleyicinin en kısa
durumundaki (Retracted) boyuna bağlıdırlar.
5 parametrenin tamamının tasarımda önemli bir rol üstlenmesine karşın, parametre
uzayında yapılan taramanın ardından elde edilen kullanılabilir parametre aralıklarına
ilişkin verilerin grafiksel olarak tasarımcıya aktarılması mümkün olamamaktadır. Bu
sonuçların ancak 3 eksenli bir grafik ile tasarımcıya aktarılabileceği düşünülerek 5
parametrenin en az önem arzeden 2 tanesi yani α ve β açıları sabit kabul edilecek ve
kalan üç parametre olan Rt, Rb ve Lm aralıkları belirlenecektir.
4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması
Sabit tutulacak olan α ve β açılarının değerleri 5° olarak öngörülmüştür. Hareketli
platform yarıçapının, tasarım parametrelerinde verilen eşkenar üçgen kenar uzunluğu
(a = 1.5 m) kullanılarak (Şekil) 800 mm değerinin altında bir değer alması
32
öngörülmüştür. Aynı şekilde tabandaki sabit platform yarıçapı için de, sistemin yer
yüzeyinde kapladığı dörtgen alana (1.84m×1.84m) sığabilecek en büyük dairenin
yarıçap değeri (Rb ≈ 900 mm) referans alınmıştır. Bu verilere göre incelenecek
yarıçap aralıkları yapılan denemeler ışığında üst tabla için [500 mm, 800 mm] ve alt
tabla için [800 mm, 1100 mm] olarak belirlenmiştir.
ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi
Üretici tarafından sunulabilen minimum ve maksimum doğrusal eyleyici strok
uzunlukları 305 mm ve 1575 mm olarak belirtilmiştir. Strok uzunlukları, Şekil 4.4‟de
gösterildiği gibi eyleyici boylarının en uzun ve en kısa boylarının belirlenmesinde
kullanılacaktır.
Burada eyleyici boylarının belirlenmesinde hareketli platform konumları için
bacakların alacağı yaklaşık boylar için bir hesaplama yapılmıştır.
ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması
33
Bu hesaba göre parametre uzayı yaklaşımından daha önce alınan sonuçlardan
faydalanarak Rt=600 mm ve Rb=900 mm parametreleri için seçilecek eyleyicinin
kapalı boyu 830 mm‟den düşük, tam açık boyu ise 1170 mm‟den yüksek olmalıdır.
Buna göre strok boyu en az 340 mm olmalıdır.
4.4 ÇalıĢma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi
ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası
Bu koşullar ile incelenecek mekanizmaya ait hareketli tabla merkezinin konumunun
referans alınan tasarım hedeflerinde belirtildiği gibi taban merkezinden 710 mm
yükseklikte bir noktada olması planlanmıştır. Dolayısı ile uzaydan seçilecek
noktaların bu başlangıç konumuna bağlı olarak konumlandırılması gerekmektedir.
Şekil 4.5‟de mekanizmanın sahip olması istenen öteleme çalışma uzayı elipsoidinden
seçilen 6 nokta kırmızı renk ile işaretlenmiştir. Algoritmadan beklenen hareketli üst
tabla merkezi olan C noktasının bu 6 noktaya da ulaşmasını sağlayabilecek
geometrik parametreleri elde etmesidir. Bu elipsoidin üzerindeki noktalar tasarım
hedeflerinde belirtilen öteleme koordinatlarından ibarettir ve bu konumlarda
platformun yönelmesi değişmemektedir.
34
Tasarım sırasında sistemin ulaşması gereken uzaysal koordinatlar tek eksendeki yer
değiştirmeler olarak Çizelge 4.1‟de verilmiştir. Bu koordinatlar toplam 12 adet
olmak üzere mekanizmanın sağlaması gereken konumlar kümesini oluşturmaktadır.
Algoritmanın amaç pozisyonları Çizelge 4.1‟deki gibi girilmiştir.
Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken
konumlar
Nokta
No.
X
Konum
[mm]
Y
Konum
[mm]
Z
Konum
[mm]
X Açısı
[°]
Y Açısı
[°]
Z Açısı
[°]
1 250 0 0 0 0 0
2 -250 0 0 0 0 0
3 0 180 0 0 0 0
4 0 -180 0 0 0 0
5 0 0 250 0 0 0
6 0 0 -250 0 0 0
7 0 0 0 21 0 0
8 0 0 0 -21 0 0
9 0 0 0 0 22 0
10 0 0 0 0 -22 0
11 0 0 0 0 0 22
12 0 0 0 0 0 -22
4.5 Hesaplama Sonuçları
Yapılan hesaplama sonucunda Şekil 4.6‟da gösterilen parametre kümeleri elde
edilmiştir. Bu kümeleri temsil eden ayrık dörtgenler; köşeleri ve iç hacimlerinin
temsil ettiği parametre değerleri seçildiğinde sistemin belirlenen çalışma uzayı
pozisyonlarını sağlayacağını göstermektedir.
Kullanılan yöntem ile sistemin üst hareketli platformu için yarıçap Rt = 600 mm ve
sabit alt tabla için yarıçap Rb = 900 mm seçilirse, bu sistemde kullanılması gereken
minimum ve maksimum eyleyici strok uzunlukları Çizelge 4.2‟de gösterilmiştir.
35
Aynı çizelgede yarıçaplar aralık olarak verildiğinden, bu strok uzunluklarını sağlayan
eyleyicilerle sistemin sahip olabileceği yarıçap boyut aralıkları da ortaya
çıkarılmıştır.
ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri
Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları
Üst Hareketli Tabla Çapı
(Rt): Alt Sabit Tabla Çapı (Rb): Eyleyici Strok Sınırları (S):
500 mm ≤ Rt < 800 mm 800 mm ≤ Rb < 950 mm 385.16 mm ≤ Ls < 414.33
mm
500 mm ≤ Rt < 800 mm 875 mm ≤ Rb < 912.5 mm 381.00 mm ≤ Ls < 384.57
mm
Değerlerin elde edildiği en küçük prizma kenarlarının boyutları, uzayda her
parametrenin bölüneceği en küçük parça uzunluğuna bağlıdır ve hesaplamada bu
değer parametrenin en büyük ve en küçük değerini arasındaki farkın 500‟de biri
olarak girilmiştir. Toplam 334 adet prizma hesaplanmıştır.
4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi
Kullanılan yöntem ile 600 mm‟lik üst tabla yarıçapı ve 900 mm‟lik alt tabla yarıçapı
değerleri için 380 mm ile 414 mm arasında değişen strok uzunluğuna sahip bir
eyleyicinin seçilebileceği ortaya çıkarılmıştır. Bu eyleyicinin sabit boyu önceden
800
850
900
950
1000
1050
1100
500
550
600
650
700
750
800
320
340
360
380
400
420
440
Alt Yaricap [mm]
Tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler
Ust Yaricap [mm]
Eyle
yic
i S
trok U
zunlu
gu [
mm
]
36
yapılan denemelerde hesaplanan tam kapalı eyleyici boyunun 830 mm‟den düşük
olması ve tam açık boyunun 1170 mm‟den yüksek olması koşulunu sağlamak üzere
burada yapılan parametre uzayı analizi sonuçlarına dayanarak sabit boy [342 mm,
449 mm] aralığında değer alabilir.
ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler
Üretici kataloğundan seçilen ve belirlenen kriterleri karşılayan ürün, Moog firmasına
ait CA22369 model doğrusal eyleyici sistemidir ve bu sistem 645 mm tam kapalı boy
ve 406.4 mm strok boyuna sahiptir. Burada tam kapalı boy 830 mm minimum boyu
karşılamadığından bu sistemin uzunluğuna en fazla 185 mm‟lik bir eklenti
yapılmalıdır. Eyleyicinin strok boyu belirlenen uygun aralığın içerisindedir ve sahip
olduğu maksimum tahrik kuvveti 19127 N‟dur.
4.7 AyrıklaĢtırma Yöntemi ile ÇalıĢma Uzayının Doğrulanması
Boyutları belirlenmiş bir SPM‟nin çalışma uzayı sınırlarının doğrulanması için
ayrıklaştırma yöntemi kullanılabilir. Ayrıklaştırma yöntemi mekanizmanın
yönelmesiz öteleme veya ötelemesiz yönelme konumları için uzayın küçük koordinat
artımları ile ve belirlenen koordinat sınırları arasında taranması esasına dayanır. Bu
tarama sırasında gelinen konumlar için bacak uzunluk sınırları kontrol edilerek
gerçeklenebilecek konumlar toplanır gerçeklenemeyen konumlar elenir. Elde edilen
geçerli konumlar nokta bulutu olarak bir üç boyutlu grafik ile görselleştirilir.
Çalışma uzayı sınırlarının bu nokta bulutunun içerisinde kalması durumunda tasarım
doğrulanmış olur. Kullanılan yöntemde koordinat tarama aralıkları 15 mm olarak
37
belirlenmiş ve yönelmesiz öteleme konumları için çalışma uzayı hesaplanmıştır.
Hesaplanmış çalışma uzayı Şekil 4.8 ile gösterilmektedir.
Nokta bulutunda bulunan en uç noktalara ait koordinatlar Çizelge 4.3 ile verilmiştir.
Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları
Xmin Xmaks Ymin Ymaks Zmin Zmaks
-340 mm 340 mm 520 mm 1060 mm -305 mm 305 mm
ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı
38
5. BENZETĠMLER
Tasarlanan sistemin dinamik performansını incelemek üzere sanal ortamda
mekanizmanın bir modeli oluşturulmuş ve model üzerinde gerçekleştirilen
benzetimler ile tasarım hedeflerinin doğrulaması yapılmıştır. Modelin ayrıntıları;
yapılan benzetimlerin geçerliliği ve kapsamı açısından önemlidir. Bu sebeple bu
kısımda sistemin modellemesi üzerinde durulacaktır.
Tüm sistem, mekanik yapı ve kontrolör kısmı olmak üzere iki bölüme ayrılmıştır.
Mekanik sistemin modellemesi ADAMS®/View programında gerçekleştirilmiştir.
Mekanik sisteme tahrik eden eyleyicilerin sisteme uyguladığı kuvvetler
Matlab/Simulink programında kurulan kontrol sistemi ile her benzetim adımı için ve
mekanik sistemden elde edilen verilere bağlı olarak hesaplanmaktadır. Hesaplanan
değerler kuvvet olarak ADAMS programına aktarılmakta ve mekanik sistemin
davranışı hesaplanarak bir sonraki benzetim adımına geçilmektedir.
5.1 Mekanik Sistemin Modellenmesi
Sistemin mekanik kısmının modellenmesi ADAMS programında yapılmıştır (Şekil
5.1). Mekanizmadaki bağlantı noktalarının konumları ve eyleyici bileşenlerinin
boyutları ile sistemin başlangıç konumunda tasarım hesaplarına bağlı kalınmıştır.
Sistemin 1000 kg yüklü olduğu durum için modellenmiş ve bu yük 1 m kenar
uzunluğuna sahip bir küp ile temsil edilmiştir.
Bağlantı noktalarının konumları tabanda sabit tabla bağlantılarının geçeceği
çemberin yarıçapı Rb ve bu bağlantı noktalarının ikişerli olarak çember merkezi ile
yaptıkları açının yarısı olan α değerlerine göre belirlenmiştir. Üst platformda ise
benzer şekilde üst bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı Rt ve bunlar
arasındaki ikişerli açının yarısı olan β parametreleri kullanılmıştır. Sistemin
başlangıç konumu, tasarım hedeflerinde önceden saptanmıştır ve üst hareketli
tabladaki bağlantı noktalarının uzaydaki düşey konumunu belirlemek üzere
kullanılmaktadır.
39
ġekil 5.1 : ADAMS‟da kurulan mekanik sistem modeli
Eyleyicilerin boyutları ise tasarımda belirlenen çalışma uzayını sağlayacak şekilde ve
üreticinin katalog değerlerine sadık kalınarak belirlenmiştir. Eyleyicilerin
boyutlandırılmasında çalışma uzayının gerektirdiği en düşük ve en yüksek bacak
boyları ele alınarak, kapalı haldeki eyleyici boyu ve sahip olması gereken en düşük
strok boyu göz önünde bulundurulmuştur.
Eyleyicinin strok boyu, çalışma uzayının hacim genişliğinde etkin bir parametre iken
kapalı durumdaki eyleyici boyu, bu çalışma uzayını ötelemeye yarayan bir
parametredir.
Hazırlanan mekanik sistem modeline eyleyicilerin strok sınırlarını da dahil etmek
üzere iki yönlü darbe fonksiyonları içeren kuvvetler her bacak için ayrı olarak
tanımlanmıştır. Bu kuvvetler, eyleyici içerisinde hareket eden milin, alt strok sınırına
veya üst strok sınırına eriştiği durumlarda hareketi durdurucu etki yaratmaktadır.
Böylece bacak boyları hiçbir şekilde sınırların dışına çıkmamaktadır ve sınır
mesafelerde sistemin hareketini engellemektedir.
Mekanik sistemde mevcut üst küresel ve alt üniversal mafsalların sürtünme etkileri
de modele dahil edilmiştir. Sürtünmenin modellenmesinde ADAMS programının
dökümanlarında yağlanmış metal yüzeylerin sürtünmesi için önerilen statik sürtünme
katsayısı için 0.23 ve dinamik sürtünme katsayısı için 0.16 değerleri kullanılmıştır.
40
5.2 Kontrol Sisteminin Modellenmesi
Sistemdeki uç elemanın izleyeceği yörüngenin tanımlanması, bu yörüngeyi
sağlayacak bacak boylarının hesaplanması, bu boyları sağlayacak kontrol
kuvvetlerinin hesaplanması ve mekanik sistemden ölçülen bacak boylarını kullanarak
uç elemanın uzaydaki konumunun hesaplanması işlemleri Matlab® programında
gerçekleştirilmektedir (Şekil 5.2). Bunların yanısıra sistem hakkında çeşitli bilgiler
veren bir algoritma ayrı bir blok altında çalışmaktadır.
ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler
5.2.1 Ters Kinematik
Kullanıcı tarafından benzetim öncesinde tanımlanan sistem yörüngesi, Bölüm 2‟de
açıklanan ters kinematik denklemlerinin çözülmesi ile sistemdeki eyleyicilerin her
adımda alması gereken boylarının hesaplanmasında kullanılmaktadır. Bu algoritma
bacak üst bağlantı noktalarının hareketli tabla koordinat sistemine göre konumlarına
ve alt bacak bağlantı noktalarının sabit eksen takımına göre konumlarına ihtiyaç
duymaktadır.
5.2.2 Kontrolör
Hesaplanan bacak boyları, mekanik sistem modelinden elde edilen bacak boyu
ölçümleri ile karşılaştırılarak bir PID kontrolöre giriş olarak verilmektedir. Oransal
41
ve türevsel terimler eyleyici kuvvetlerini belirlerken, integral terimi sürekli rejim
hatasını sıfırlamayı amaçlar. Katsayılar ilk olarak Ziegler-Nichols yöntemi
kullanılarak tespit edilmiştir. Ardından gerçekleştirilen benzetimler sonucunda daha
uygun olan Kp=1000 , Kd=100 ve Ki=2500 değerleri kullanılmıştır.
Kontrolörden çıkış olarak alınan kontrol sinyali seçilen eyleyicinin azami kuvvet
uygulama kapasitesine göre sınırlandırılmaktadır.
ġekil 5.3 : Matlab/Simulink‟de kurulan kontrol sistemi modeli
5.2.3 Ġleri Kinematik
Bölüm 2‟de anlatılan tekrarlamalı yöntem kullanılarak her benzetim adımında uç
elemanının uzaydaki yeni konumu, ölçülen bacak boyları ve mekanizmanın tasarım
geometrisi kullanılarak birkaç iterasyonda hesaplanabilmektedir. Algoritma her
zaman sistemin başlangıç konumundan itibaren yakınsamaya başladığından, iteratif
yöntemlerin en ciddi sorunu olan yanlış bir konuma yakınsama durumu ile
42
karşılaşılmamaktadır. Yapılan benzetimlerde ileri kinematik çözüm yöntemi oldukça
güvenilir sonuçlar vermiştir. Yapılan her iterasyon için hata toleransı 1.0e-5 olarak
belirlenmiş ve her benzetim adımında sonuca ulaşmak için en fazla 2 iterasyona
ihtiyaç duyulmaktadır.
5.2.4 Jakobiyen ve Tekillik Endeksinin Hesaplanması
Ters Jakobiyenin hesaplanması için sadece uç elemanın uzaydaki konumu ve
sistemin geometrik tasarım parametrelerinin bilinmesi gerekmektedir. Oluşturulan
matrisin tersi alınarak Jakobiyen matrisi elde edilir. Jakobiyen matrisinin
özdeğerlerinden en az birinin sıfır olması durumunda mekanizma tekil bir
konfigürasyona girmiş olur. Bu durumlardan sakınmak için bu matrisin
determinantının sıfıra olan uzaklığına bakılarak böyle bir konfigürasyona olan
yakınlık kontrol edilmelidir.
5.2.5 Ġleri Dinamik
Sistemin ileri dinamiği Bölüm 4‟de anlatılan yöntem ile çözülmüştür. Bu yöntemde
sistemden elde edilen bacak boyları değişim vektörü, ileri kinematik çözüm ile
hesaplanan uç eleman konumu ve eyleyicilerden sisteme uygulanan kuvvet değerleri
kullanılarak, uç elemanın genelleştirilmiş koordinatlarda sahip olacağı anlık ivme
değerlerine ulaşılmaktadır.
Her benzetim sonucunda ADAMS modelinden elde edilen ivme değerleri, ileri
dinamik denklemlerinin çözümü ile elde edilen ivme değerleri ile karşılaştırılarak,
matematiksel model doğrulanmıştır. İki model arasındaki en önemli fark ADAMS
modelinin mafsal sürtünmelerini içermesine karşılık, matematiksel modelde bunun
mevcut olmamasıdır. Çıkışlar arasındaki farklılığın en önemli nedeni sürtünme
etkisinin yer almamasıdır.
5.3 ÇalıĢma Uzayı ve Dinamik DavranıĢ Benzetimleri
Hazırlanan dinamik sistem üzerinde Bölüm 5‟de belirtilmiş olan tasarım hedeflerinin
doğrulaması gerçekleştirilmiştir. Bu doğrulamalarda uç elemana ilgili eksende
yapması planlanan en yüksek genlikli sinüzoidal salınım fonksiyonu yörünge olarak
tanımlanmış ve bu salınımın frekansı ise aynı eksende yapması planlanan en yüksek
ivmeyi sağlayacak şekilde belirlenmiştir. Sinüzoidal titreşim fonksiyonunun ikinci
türevinin maksimum değerinin, amaçlanan maksimum ivme değerine eşit olacak
43
şekilde seçilmesi ile frekans değeri doğrudan belirlenmiş olur. Frekansı veren ifade
aşağıda gösterilen denklem 5.1 ile hesaplanabilir. Burada ω, sinyal frekansı; γmax,
ilgili eksendeki maksimum ivme değeri; A ise salınım genliğidir.
(5.1)
5.3.1 Koordinat Sistemi
Benzetimlerde sisteme yaptırılan hareketler Şekil 5.4 ile gösterilen koordinat
sisteminin eksenlerine göre gerçekleştirilmektedir. Doğrusal hareketler X ekseninde
Surge, Y ekseninde Heave ve Z ekseninde Sway olarak adlandırılmaktadır. Açısal
hareketler ise X, Y ve Z eksenlerinde sırasıyla Roll, Yaw ve Pitch olarak
anılmaktadır.
ġekil 5.4 : ADAMS‟da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi
5.3.2 X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge)
Hareket platformuna X ekseni doğrultusunda yönelmesiz 250 mm genlikli bir
sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.5). Bu salınımın frekansı, 0.6 g
maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 4.85 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.
44
ġekil 5.5 : Surge hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.6
ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile
takip etmektedir.
ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-400
-200
0
200
400
600
800Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
45
ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.7 ve Şekil 5.8 ile
gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal X-ekseni hareketi
üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.8‟de üst üste çizdirilmiştir.
ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
20
40
Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-7 Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-10
0
10
Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5
0
5
10x 10
-7 Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-7 Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-20
0
20
Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
46
ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.9„da
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.10 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
ġekil 5.10 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.11 ile gösterilmektedir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
47
ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi
5.3.3 Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave)
Hareket platformuna Y ekseni doğrultusunda yönelmesiz 180 mm genlikli bir
sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.12). Bu salınımın frekansı, 0.5 g
maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 5.22 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.
ġekil 5.12 : Heave hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.13
ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile
takip etmektedir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.3
1.32
1.34
1.36
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
48
ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları
ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.14 ve Şekil 5.15 ile
gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal Y-ekseni hareketi
üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.15‟de üst üste çizdirilmiştir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-200
0
200
400
600
800
1000Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4x 10
-4 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5
-4
-3
-2
-1
0
1x 10
-3 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
49
ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler
ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.16„da
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.17 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1
0
1
2
3Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5
0
5
10
15x 10
-8 Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10
-5
0
5
10
Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5
0
5
10x 10
-7 Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-15
-10
-5
0
5x 10
-8 Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1
0
1
2
3
4Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4850
900
950
1000
1050
1100
1150Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
50
ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.18 ile gösterilmektedir.
ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.3
1.32
1.34
1.36
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
51
5.3.4 Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway)
Hareket platformuna Z ekseni doğrultusunda yönelmesiz 250 mm genlikli bir
sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.19). Bu salınımın frekansı, 0.6 g
maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 4.85 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.
ġekil 5.19 : Sway hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.20
ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile
takip etmektedir.
ġekil 5.20 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-400
-200
0
200
400
600
800Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
52
ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.21 ve Şekil 5.22 ile
gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal Z-ekseni hareketi
üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.22‟de üst üste çizdirilmiştir.
ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10
-5
0
5
10
15Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-150
-100
-50
0
50Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10
-5
0
5
10Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100
-50
0
50Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-10
0
10
20
30
Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10
-5
0
5
10Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
53
ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.23„de
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.24 ile eyleyicilerin kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.25 ile gösterilmektedir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-4000
-2000
0
2000
4000
6000
Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
54
ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi
5.3.5 X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll)
Hareket platformuna X ekseni etrafında ötelemesiz 21° genlikli bir sinüzoidal
salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.26). Bu salınımın frekansı, 500°/s² maksimum
açısal ivmeyi sağlayan 4.88 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.
ġekil 5.26 : Roll hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.27
ile verilmektedir. Sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip
etmektedir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.3
1.32
1.34
1.36
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
55
ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları
ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.28 ve Şekil 5.29 ile
gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal X-ekseni hareketi
etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.29‟da üst üste çizdirilmiştir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
56
ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler
ġekil 5.30 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.30„da
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.31 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20
-10
0
10
20Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-40
-20
0
20
40
60
80
Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10
-5
0
5
10Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20
0
20
40
60
80Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-60
-40
-20
0
20Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20
-10
0
10
20Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
57
ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.32 ile gösterilmektedir.
ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi
5.3.6 Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw)
Hareket platformuna Y ekseni etrafında ötelemesiz 22° genlikli bir sinüzoidal
salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.33). Bu salınımın frekansı, 400°/s² maksimum
açısal ivmeyi sağlayan 4.26 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-5000
0
5000
10000
Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
58
ġekil 5.33 : Yaw hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.34
ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile
takip etmektedir.
ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları
0 0.5 1 1.5-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.5 1 1.5-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
59
ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.35 ve Şekil 5.36 ile
gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal Y-ekseni hareketi
etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.36‟da üst üste çizdirilmiştir.
ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler
0 0.5 1 1.5-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.5 1 1.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
0 0.5 1 1.5-0.1
-0.05
0
0.05
0.1Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5-20
-10
0
10
20Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-10
-5
0
5
10
15
Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5-0.1
0
0.1
0.2
0.3Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5-0.1
-0.05
0
0.05
0.1Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
60
ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.37„de
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.38 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.39 ile gösterilmektedir.
0 0.5 1 1.5800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
61
ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi
5.3.7 Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch)
Hareket platformuna Z ekseni etrafında ötelemesiz 22° genlikli bir sinüzoidal salınım
yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.40). Bu salınımın frekansı, 500°/s² maksimum açısal
ivmeyi sağlayan 4.77 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.
ġekil 5.40 : Pitch hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.41
ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile
takip etmektedir.
0 0.5 1 1.51.32
1.34
1.36
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
62
ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları
ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.42 ve Şekil 5.43 ile
gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal Z-ekseni hareketi
etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.43‟de üst üste çizdirilmiştir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
63
ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler
ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.44„de
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.45 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-50
0
50
100
150Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2
0
2
4x 10
-7 Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20
-10
0
10
20Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5
0
5
10x 10
-7 Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3
-2
-1
0
1x 10
-7 Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-40
-20
0
20
40
60
Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
64
ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.46 ile gösterilmektedir.
ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
65
5.3.8 Yörünge Takibi Hareketi
Tek eksen üzerinde yapılan hareket benzetimleri ile sistemin verilen dinamik
özellikleri sağlamadaki başarısı incelenmiştir. Bunlara ek olarak platform merkezinin
tüm eksenlerde farklı genlik ve frekanslardaki salınımların Çizelge 5.1‟e göre
kombinasyonundan oluşan hareket yörüngesini takip etmesi istenmiş ve bu
benzetimin sonuçları da incelenmiştir.
Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar
Hareket Ekseni Salınım Genliği Salınım Frekansı
[Hz]
Surge - X 200 mm 0.2
Heave - Y 50 mm 0.4
Sway - Z 50 mm 0.4
Roll - X 5° 0.4
Yaw - Y 5° 0.2
Pitch - Z 5° 0.4
ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi
Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.48
ile verilmektedir. Sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip
etmektedir.
66
ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları
ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar
Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak
hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.49 ve Şekil 5.50 ile
gösterilmektedir.
Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç
elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.50‟de üst üste çizdirilmiştir.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400
-200
0
200
400
600
800Dogrusal Koordinatlarda Konum
Zaman [saniye]
Dogru
sal K
onum
[m
m]
X Konumu
Y Konumu
Z Konumu
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-6
-4
-2
0
2
4
6Euler Acisal Koordinatlarinda Konum
Zaman [saniye]
Acis
al K
onum
[dere
ce]
X Acisi
Y Acisi
Z Acisi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar
Zaman [saniye]
Dogru
sal H
iz [
mm
/saniy
e]
Dogrusal X
Dogrusal Y
Dogrusal Z
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar
Zaman [saniye]
Acis
al H
iz [
radyan/s
aniy
e]
Acisal X
Acisal Y
Acisal Z
67
ġekil 5.50 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler
ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi
Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.51„de
gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde
kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.52 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi
gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu
maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-5
0
5
10
Dogrusal X Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20
-10
0
10
20
30Acisal X Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Dogrusal Y Ivmesi
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-0.5
0
0.5
Acisal Y Ivmesi
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10
0
10
20
30Dogrusal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Dogru
sal Iv
me [
mm
/saniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-30
-20
-10
0
10
20
Acisal Z Ivmesi
Zaman [saniye]
Acis
al Iv
me [
radyan/s
aniy
e2]
ADAMS Modeli
Matematiksel Model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200Bacak Uzunluklari
Zaman [saniye]
Uzunlu
k [
mm
]
68
ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi
Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda
Şekil 5.53 ile gösterilmektedir.
ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 104 Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.3
1.32
1.34
1.36
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46Tekillik Endeksi
Zaman [saniye]
Dete
rmin
ant(
iJk)
69
5.4 Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi
5.4.1 Yük Sınırının Belirlenmesi
Üretici kataloğundan seçilen eyleyici tipinin uygulayabildiği en yüksek kuvvet değeri
19127 N olmaktadır. Sistemin eyleyicilerinin ihtiyaç duyacağı kuvvetlerin bu
sınırlara yaklaştığı, yük değeri hesaplanmış ve bu değerin 2000 kg olduğu
belirlenmiştir. Sistem kullanılan eyleyiciler ile önerilen kütle değerinin 2 katı yükü
taşıyabilmekte ve aynı performans kriterlerini sağlayabilmektedir. Bu şekilde
yüklenmiş platform mekanizması en fazla eyleyici kuvvetine yüksek moment
değerlerinin ortaya çıktığı Roll hareketini gerçekleştirirken ihtiyaç duymaktadır.
Kuvvet ihtiyacının değişimi Şekil 5.54 ile gösterilmektedir. Kesikli üst ve alt çizgiler
seçilen eyleyici modelinin uygulayabileceği en yüksek kuvvet değerini
göstermektedir.
ġekil 5.54 : 2000 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri
5.4.2 Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi
Sistemin yaptığı 6 farklı sinüzoidal hareketin frekansı o hareket esnasında ulaşılan en
yüksek ivme değerlerini belirlemektedir. Bu durumda frekansın artması uç elemanın
ulaşacağı ivme değerlerini yüksektecek ve eyleyici kuvveti ihtiyacını arttıracaktır.
Dolayısı ile hareket frekanslarının genlikleri sabit olmak üzere ulaşabilecekleri sınır
değerler eyleyici kuvvetlerine bakılarak belirlenmiştir. Bu sınır frekansları
hareketlere göre Çizelge 5.1 ile verilmektedir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 104 Eyleyici Kuvvetleri
Zaman [saniye]
Kuvvet
[New
ton]
70
Çizelge 5.2 : Farklı eksenlerdeki hareketler için en yüksek frekans değerleri
Yapılan Hareket En Yüksek Frekans [radyan/sn]
Surge 9.5
Heave 17
Sway 9.5
Roll 8.5
Yaw 24
Pitch 8.5
71
6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER
Yapılan çalışmada paralel manipülatörler ve özellikle Stewart Platform
Mekanizmalarına ait genel bilgiler verilmiş, sistemin ileri ve ters kinematik
denklemlerinin çözümü, tekillik analizleri ele alınarak statik analiz ve ileri ve ters
dinamik modelin oluşturulması ayrıntılı olarak açıklanmıştır.
Belirli tasarım kriterlerini sağlamak üzere bir SPM‟nin boyutlandırılması
amaçlanmıştır. Tasarım kriterlerinin tutarlı ve genel kullanım alanlarındaki
ihtiyaçları karşılayacak seviyede olması amacıyla bu kriterler gerçek bir hareket
platformunun özelliklerinden örnek alınmıştır.
Kriterler sistem boyutları, çalışma uzayı sınırları ve uç elemanın uygulayabileceği en
yüksek ivmeyi içermektedir.
Çalışma uzayı sınırları parametre uzayı yaklaşımı yöntemi ile birlikte kullanılarak üst
tabla, alt tabla ve eyleyici boyutları ile ilgili seçim aralıkları belirlenmiştir. Bu
aralıklardan faydalanarak üretici kataloğundan gereksinimleri karşılayan bir eyleyici
seçilmiş ve eyleyici boyutlarının sağladığı çalışma uzayı ayrıklaştırma yöntemi ile
ortaya çıkarılmıştır. Hedefleri karşılayan eyleyici boyutlarının kullanıldığı model ile
dinamik benzetimler gerçekleştirilerek eyleyici kuvvetlerinin yeterliliği
incelenmiştir. Aynı zamanda sistemin Newton-Euler denklemleri ile kurulan
matematik modelinden elde edilen genelleştirilmiş ivme çıkışları dinamik benzetim
modelinin çıkışları ile karşılaştırılarak matematik modelin doğrulaması
gerçekleştirilmiştir.
Matematik modelin hareket platformunun yere paralel eksenler etrafında yaptığı
açısal hareketlerde ivme çıkışları için ADAMS modelinden farklılık gösterdiği tespit
edilmiştir. Bu farklılığın yer çekiminin platform üzerinde yarattığı moment etkisi
altındaki hareketlerde ortaya çıktığı sonucuna varılmıştır.
72
Tüm tasarım hedeflerini karşıladığı görülen sistemin eyleyicilerin sınır kuvvetlerinde
taşıyabileceği yük ve gerçekleştirebileceği salınımların frekansları ortaya
çıkarılmıştır.
Ultramotion firmasına ait Digit model bir adım motorlu doğrusal eyleyicinin
bilgisayar kontrolü üzerine çalışılmıştır. Bu çalışma Ek-A.2 bölümünde anlatılmıştır.
73
KAYNAKLAR
[1] McKerrow, P. J., 1991: Introduction to Robotics, Addison-Wesley Publishing
Company.
[2] Merlet, J. P., 2006: Parallel Robots (Second Edition), Springer, Dordrecht,
Netherlands.
[3] Stewart, D., 1965: A platform with 6 Degrees of Freedom, Proc. Institute of
Mechanical Engineers, 180 (Part 1,15) 371-386.
[4] Gough, V. E., 1956-1957: Contribution to discussion of papers on research in
automobile stability, control and tyre performance, Proc. Auto Div.
Inst. Mech. Eng.
[5] Anlı, E., Alp, H., Yurt, S. N., Özkol, Ġ., 2005: Paralel Mekanizmaların
Kinematiği, Dinamiği ve Çalışma Uzayı, Havacılık ve Uzay
Teknolojileri Dergisi, Cilt 2, Sayı 1.
[6] Merlet, J. P., 1993, Direct Kinematics of Parallel Manipulators, IEEE
Transactions on Robotics and Automation, Vol. 9, No. 6.
[7] Pottmann, H., Peternell, M. and Ravani, B., 1999: An Introduction to Line
Geometry with Applications, Elsevier Science Ltd.
[8] Voglewede, P. A. and Uphoff, I., E., 2004: Measuring “Closeness” to
Singularities for Parallel Manipulators, IEEE.
[9] Merlet, J. P., 1998: Determination of the Presence of Singularities in 6D
Workspace of a Gough Parallel Manipulator, Advances in Robot
Kinematics: Analysis and Control, J. Lenarcic, M. L. Husty,
Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 1998.
74
[10] Yurt, S. N., Özkol, Ġ., 2002: 6-3 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematik,
Dinamik Analizi ve Kontrolü, Doktora Tezi, İTÜ Fen Bilimleri
Enstitüsü, İstanbul.
[11] Alp, H., Özkol, Ġ., 2008: 6 Serbestlik Dereceli 6-3, Özel Yapı 6-3 ve 6-4 Paralel
Mekanizmaların Genişletilmiş Çalışma Uzayı Analizi, Doktora
Tezi, İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
[12] Pernkopf, F. and Husty, M. L., 2006: Workspace Analysis of Stewart-Gough
Type Parallel Manipulators, Proc. ImechE Vol. 220 Part C: J.
Mechanical Engineering Science.
[13] Gosselin, C. and Angeles, J., 1990: Singularity Analysis of Closed-Loop
Kinematic Chains, IEEE Transactions on Robotics and
Automation, Vol. 6, No. 3, June 1990.
[14] Kim, D. and Chung, W., 1999: Analytic Singularity Equation and Analysis of
Six-DOF Parallel Manipulators Using Local Structurization
Method, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 15,
No. 4, August 1999.
[15] Liu, K., Fitzgerald, J. M. and Lewis, F. L., 1993: Kinematic Analysis of a
Stewart Platform Manipulator, IEEE Transactions on Industrial
Electronics, Vol. 40, No. 2, April 1993.
[16] Ünsal, A., Ömürlü, V. E, 2007: Farklı Yapıdaki Stewart Platform
Mekanizmalarının Düz ve Ters Kinematik Analizi, Yüksek Lisans
Tezi, YTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
[17] Ulucay, Ö., AkĢit, M., 2006: Design and Control of Stewart Platform, Yüksek
Lisans Tezi, Sabancı Üniversitesi, İstanbul.
[18] De Sapio, V., 1998: Some Approaches for Modeling and Analysis of a Parallel
Mechanism with Stewart Platform Architecture, Sandia Report,
Sandia National Laboratories, USA.
[19] Özdağlar, M., Öztürk T., 2001: Dynamic Modeling and Control of a Stewart
Platform Type Motion Simulator, Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ.
75
EK A.1
Matlab programında yazılan kodlar:
1) Parametre Uzayı Yaklaşımı için kullanılan kod (psa_test.m):
% Parameter Space Approach for Optimization of SPM Geometry clc; % Design Parameters are { Rb, Rt, legln }
%--------------{ TRANSFORMATIONS }---------------%
in2mm=25.4; deg2rad=pi/180;
%------------{ CONSTANT PARAMETERS }-------------%
topheight=710; baseheight=0; actlength=(9.38+6.2)*in2mm;
%------------{ PARAMETER INTERVALS }-------------%
Rb_min=800; Rb_max=1100; Rt_min=500; Rt_max=800; % alpha_min=20*deg2rad; alpha_max=30*deg2rad; % beta_min=20*deg2rad; beta_max=30*deg2rad; strk_min=12*in2mm; strk_max=18*in2mm; legln_min=actlength+strk_min; legln_max=actlength+strk_max; Lmin=legln_min; Lmax=legln_max; %strk_max;
%-------------{ SEARCH INTERVALS }---------------%
NoPn=500; IntV=[(Rb_max-Rb_min)/NoPn;... (Rt_max-Rt_min)/NoPn;... (strk_max-strk_min)/NoPn];
%------------{ DEFINED WORKSPACE }---------------%
P=[250,0,0,0,0,0;... -250,0,0,0,0,0;... 0,180,0,0,0,0;... 0,-180,0,0,0,0;... 0,0,250,0,0,0;... 0,0,-250,0,0,0;... 0,0,0,21,0,0;... 0,0,0,-21,0,0;... 0,0,0,0,22,0;... 0,0,0,0,-22,0;...
76
0,0,0,0,0,22;... 0,0,0,0,0,-22];
%--------{ PARAMETER-SPACE ALGORITHM }-----------%
%************************************************% alpha=5*deg2rad; beta=5*deg2rad; %************************************************%
clear AR; i=1; m=1; ari=1; nb=[0,1,2,3,7,6,4,5]; mb=[3,2,3,1,3,2,3]; qtlp=false; D=[Rb_min,Rb_max;Rt_min,Rt_max;strk_min,strk_max]; SR=D;
while i<=m
qtlp=false; G=SR(:,2*i-1:2*i);
for j=1:8;
bb=dec2bin(nb(j),3);
Rb=G(1,1+str2num(bb(1))); Rt=G(2,1+str2num(bb(2)));
strk=G(3,1+str2num(bb(3))); legln=actlength+strk;
pb=[-Rb*sin(pi/6+alpha),-Rb*sin(pi/6-
alpha),Rb*cos(alpha),Rb*cos(alpha),-Rb*sin(pi/6-alpha),-
Rb*sin(pi/6+alpha);...
baseheight,baseheight,baseheight,baseheight,baseheight,baseheight;..
. -Rb*cos(pi/6+alpha),-Rb*cos(pi/6-alpha),-
Rb*sin(alpha),Rb*sin(alpha),Rb*cos(pi/6-alpha),Rb*cos(pi/6+alpha)];
pt=[-Rt*cos(beta),Rt*sin(pi/6-
beta),Rt*sin(pi/6+beta),Rt*sin(pi/6+beta),Rt*sin(pi/6-beta),-
Rt*cos(beta);... 0,0,0,0,0,0;... -Rt*sin(beta),-Rt*cos(pi/6-beta),-
Rt*cos(pi/6+beta),Rt*cos(pi/6+beta),Rt*cos(pi/6-beta),Rt*sin(beta)];
for k=1:size(P,1)
X=P(k,:);
p=[X(1);X(2)+topheight;X(3)];
ca=cos(X(4)*deg2rad); sa=sin(X(4)*deg2rad); cb=cos(X(5)*deg2rad); sb=sin(X(5)*deg2rad); cc=cos(X(6)*deg2rad); sc=sin(X(6)*deg2rad);
% Rotations on X-Y-Z
R1=[1 0 0;0 ca -sa;0 sa ca];
77
R2=[cb 0 sb;0 1 0;-sb 0 cb]; R3=[cc -sc 0;sc cc 0;0 0 1]; R=R1*R2*R3;
for z=1:6 L(z,1)=norm(R*pt(:,z)+p-pb(:,z)); end
if ( min(L)>(legln+strk) || max(L)<legln ) L_P(j,k)=-1; if (j~=1) % BISECT BOX if min(G(:,2)-G(:,1)-2*IntV)>=0; bsD1=G; bsD2=G; bsD1(mb(j-1),1:2)=[G(mb(j-1),1),(G(mb(j-
1),1)+G(mb(j-1),2))/2]; bsD2(mb(j-1),1:2)=[(G(mb(j-1),1)+G(mb(j-
1),2))/2,G(mb(j-1),2)]; SR=[SR bsD1 bsD2]; m=m+2; end i=i+1; qtlp=true; break; end elseif ( min(L)>=legln || max(L)<=(legln+strk) ) L_P(j,k)=1; end
end
if qtlp==true break; end
end
if qtlp==true continue; else AR(:,2*ari-1:2*ari)=G; ari=ari+1; i=i+1; end
end
lblx='Alt Yaricap [mm]'; lbly='Ust Yaricap [mm]'; lblz='Eyleyici Strok Uzunlugu [mm]'; run psa_plot; axis([Rb_min Rb_max Rt_min Rt_max strk_min strk_max]);
%----------------{ END OF CODE }-----------------%
78
2) Parametre Uzayı Analizinin sonuçlarını grafiksel olarak almak için kullanılan
kod (psa_plot.m):
% Results Plotter for Defined Workspace Algorithm n=size(AR,2)/2;
do=[ 1 1 1 1 1 2 ; 1 1 1 2 1 1 ; 1 1 1 1 2 1 ;... 1 1 2 1 2 2 ; 1 1 2 2 1 2 ; 2 1 2 2 1 1 ;... 1 2 2 1 2 1 ; 1 2 1 2 2 1 ; 2 2 1 2 1 1 ;... 2 2 2 2 2 1 ; 2 2 2 1 2 2 ; 2 2 2 2 1 2 ];
for i=1:n
for j=1:12
line([AR(1,2*i+do(j,1)-2),AR(1,2*i+do(j,4)-2)],... [AR(2,2*i+do(j,2)-2),AR(2,2*i+do(j,5)-2)],... [AR(3,2*i+do(j,3)-2),AR(3,2*i+do(j,6)-2)]);
end
end
grid on;
title('Tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler') xlabel(lblx); ylabel(lbly); zlabel(lblz);
79
3) Parametre Uzayı Analizi sonuçlarında belirli bir aralığın sonuçlarını sayısal
olarak veren kod (psa_find.m):
clc; testprm=[900;600;0]; checklist=[0;0;1];
for i=1:n if ((testprm(1)>=AR(1,2*i-1) && testprm(1)<=AR(1,2*i)) ||
checklist(1)) if ((testprm(2)>=AR(2,2*i-1) && testprm(2)<=AR(2,2*i)) ||
checklist(2)) if ((testprm(3)>=AR(3,2*i-1) && testprm(3)<=AR(3,2*i))
|| checklist(3)) [AR(1,2*i-1),AR(1,2*i);AR(2,2*i-
1),AR(2,2*i);AR(3,2*i-1),AR(3,2*i)] end; end; end; end;
80
4) Ayrıklaştırma metodu ile çalışma uzayını hesaplayan kod (workspace.m):
clc;
%Discretization Method
%--------- Parameters ----------
% pt=[-75.06,-40.42,-40.42,-75.06,115.47,115.47;... % Top
attachment points wrt top plate CS % -18.93,-18.92,-18.93,-18.93,-18.93,-18.93;... % -90,-110,110,90,-20,20]; % pb=[-173.21,64.95,64.95,-173.21,108.25,108.25;... % Base
attachment points wrt base plate CS % 0,0,0,0,0,0;... % -25,-162.5,162.5,25,-137.5,137.5];
pt=SPM.PointsTop; pb=SPM.PointsBase; ih=SPM.InitialHeight;
% r=[0;0;0]*(pi/180); % Rotation angles about x,y,z % % ca=cos(r(1)); sa=sin(r(1)); % cb=cos(r(2)); sb=sin(r(2)); % cc=cos(r(3)); sc=sin(r(3)); % R=[cb*cc -cb*sc sb;... % sa*sb*cc+ca*sc -sa*sb*sc+ca*cc -sa*cb;... % -ca*sb*cc+sa*sc ca*sb*sc+sa*cc ca*cb];
R=1;
Lmax=1244.6; Lmin=838.2;
%------ Workspace Definition --------
int=15; % Scan interval for workspace grid k=1; for x=-400:int:400 for y=-400:int:400 for z=-400:int:400 p=[x;y+ih;z]; for i=1:6 L(i,1)=norm(R*pt(:,i)+p-pb(:,i)); end
% Check for Max. and Min. leg lengths
if (max(L)<=Lmax && min(L)>=Lmin) P(:,k)=p; k=k+1; end end end end
%---------- Visualization ----------
81
subplot(2,2,1) plot(P(1,:),P(2,:),'*') xlabel('x-axis') ylabel('y-axis') subplot(2,2,2) plot(P(3,:),P(2,:),'*') xlabel('z-axis') ylabel('y-axis') subplot(2,2,3) plot(P(1,:),P(3,:),'*') xlabel('x-axis') ylabel('z-axis') subplot(2,2,4)
MinMaxXYZ=[-max(abs(P(1,:))) max(abs(P(1,:))) min(abs(P(2,:)))
max(abs(P(2,:))) -max(abs(P(3,:))) max(abs(P(3,:)))]
plot3(P(1,:),P(3,:),P(2,:),'b.') grid on axis([MinMaxXYZ(1,1:2) MinMaxXYZ(1,5:6) MinMaxXYZ(1,3:4)]) title('Workspace Grid') xlabel('x-axis') ylabel('z-axis') zlabel('y-axis')
82
5) İleri dinamik model için Embedded Matlab Editor içerisine yazılan kod:
function [iJk,W,dW] = FwdDyn(Xest,LegVels,Forces) LegVels=1e-3*LegVels; Xest(1:3)=1e-3*Xest(1:3); J=1.378; I=[1.7e2,0,0;0,1.67e2,0;0,0,1.7e2]; m=1003; g=[0;-9.81;0]; Eang=pi/180*Xest(4:6); sa=sin(Eang(1)); sb=sin(Eang(2)); sc=sin(Eang(3)); ca=cos(Eang(1)); cb=cos(Eang(2)); cc=cos(Eang(3)); pt=1e-3*[-597.7168,253.5710,344.1459,344.1459,253.5710,-597.7168;... 0,0,0,0,0,0;... -52.2934,-543.7847,-491.4912,491.4912,543.7847,52.2934]; pb=1e-3*[-516.2188,-380.3564,896.5752,896.5752,-380.3564,-
516.2188;... 30.0000,30.0000,30.0000,30.0000,30.0000,30.0000;... -737.2368,-815.6770,-78.4402,78.4402,815.6770,737.2368]; R=[cb*cc -cb*sc sb;... sa*sb*cc+ca*sc -sc*sa*sb+ca*cc -sa*cb;... -ca*sb*cc+sa*sc sc*sb*ca+sa*cc ca*cb]; LegLengths=zeros(3,6); scalLL=zeros(1,6); normLL=zeros(3,6); iJk=zeros(6,6); for i=1:6 LegLengths(:,i)=R*pt(:,i)+Xest(1:3)-pb(:,i); scalLL(:,i)=norm(LegLengths(:,i)); normLL(:,i)=LegLengths(:,i)/scalLL(i); iJk(i,:)=[normLL(:,i)' cross(R*pt(:,i),normLL(:,i))']; end; Jk=inv(iJk); GC=R*[0;-0.5;0]; GCM=v2m(GC); W=Jk*LegVels; w=cross(cross(W(4:6),GC),W(4:6)); T1=[m*eye(3) m*GCM;-m*GCM I-m*GCM^2]; T2=[m*w-m*g;... cross(W(4:6),(I*W(4:6)))+m*GCM*(w-g)]; sum11=zeros(3,6); sum12=zeros(3,6); sum21=zeros(3,1);
sum22=zeros(3,1); for i=1:6 sum11=sum11 + J/(scalLL(i)^2)*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[eye(3) -
v2m(R*pt(:,i))]; sum12=sum12 +
J/(scalLL(i)^2)*(v2m(R*pt(:,i)))*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[eye(3) -
v2m(R*pt(:,i))]; sum21=sum21 +
J/(scalLL(i)^2)*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[cross(W(4:6),cross(W(4:6),R*
pt(:,i)))]; sum22=sum22 +
J/(scalLL(i)^2)*(v2m(R*pt(:,i)))*((v2m(normLL(:,i)))^2)*cross(W(4:6)
,cross(W(4:6),R*pt(:,i))); end; V1=[sum11;sum12]; V2=[sum21;sum22]; dW = inv(T1-V1)*transpose(iJk)*Forces-inv(T1-V1)*(T2-V2);
83
6) Plücker vektörlerini hesaplamak için yazılmış fonksiyon (plucker.m):
function [P,Pn]=plucker(M1,M2)
%PLUCKER Plücker line vector. % % [P,Pn]=PLUCKER(M1,M2) Forms the Plücker % line vector P by the formula; % % P = [ M1M2 , OM1 x M1M2 ] % % and normalized vector Pn by the formula; % % P % Pn = ---------- % || M1M2 || % % from point M1 to point M2. Resulting vectors % are always column vectors.
if nargin<2 error('Need two input arguments.') end
P=M2-M1;
if (size(P,1)==1) P=P'; end
P(4)=M1(2)*(M2(3)-M1(3))-M1(3)*(M2(2)-M1(2)); P(5)=-M1(1)*(M2(3)-M1(3))+M1(3)*(M2(1)-M1(1)); P(6)=M1(1)*(M2(2)-M1(2))-M1(2)*(M2(1)-M1(1));
Pn=P/norm(M2-M1);
84
7) Vektörleri skew-simetrik matrise dönüştüren fonksiyon (v2m.m):
%#eml function M = v2m(A) M=[0 -A(3) A(2);A(3) 0 -A(1);-A(2) A(1) 0];
85
EK A.2
EYLEYİCİ KONTROLÜ
Stewart Platform mekanizmasının bir bacağının kontrol işlemini temsil etmek üzere,
Ultramotion firmasından temin edilen NEMA Adım motoruna sahip bir doğrusal
eyleyici (Şekil A.1) mikrokontrolör ve uygun sürücü devresi ile kontrol edilecektir.
ġekil A.0.1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici
Kullanılacak sürücü devresi UCN5804B olup altı çıkışa sahip NEMA adım
motorunu unipolar yöntem ile kontrol etmek için uygundur. Bu devrenin kurulumu
Şekil A.2‟de verilmektedir.
Eyleyicinin kontrolü bir bilgisayar seri portu üzerinden yapılacak ve bilgisayar ile
iletişim kuracak olan Microchip firmasına ait PIC16F877A mikrokontrolör
eyleyicinin istenen boya ulaşmasını denetleyecektir.
Bu eyleyici tez çalışmasında incelenen sistem için uygun görülen eyleyicinin muadili
olmayıp bu ürünün kontrolü örnek amaçlı yapılacaktır.
86
ġekil A.2 : ULN5804B devresinin kurulum şeması
87
ÖZGEÇMĠġ
Ad Soyad: Burak ULAŞ
Doğum Yeri ve Tarihi: Çorlu – 18.11.1984
Adres: Ataköy 5. Kısım E2-7D D:64 Bakırköy/İstanbul
Lisans Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi – Makina Mühendisliği