Superficie parametrizada

• Definición. Superficies parametrizadas. Una parametrizacionde una superficie es una función φ: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ3, donde Des algún dominio en ℝ2. La superficie S corresponde a lafunción φen su imagen: S = φ(D). Podemos escribir:

Φ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

• Si φ es diferenciable o de clase C1 [que es lo mismo que decirque x(u,v), y(u,v), z(u,v) son diferenciables o funciones C1 de(u,v)], llamamos a S superficie diferenciable o C1.

Vectores tangentes a una superficie parametrizada

• Supongamos que φ es una superficie parametrizada que esdiferenciable en (uo, vo) ϵℝ2. Fijando u en uo, obtenemos unaaplicación ℝ2 → ℝ3 dado por 𝑡 → φ 𝑢𝑜, 𝑡 cuya imagen es unacurva sobre la superficie. El vector tangente a esta curva en el puntoφ(uo,vo), que denotamos por Tu, dado por:

• 𝑇𝑣 =𝜕Φ

𝜕𝑣=

𝜕𝑥

𝜕𝑣 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒊+

𝜕𝑦

𝜕𝑣 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒋 +

𝜕𝑧

𝜕𝑣 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒌

• De manera análoga, si fijamos v y consideramos la curva 𝑡 →φ 𝑡, 𝑣𝑜 , obtenemos el vector tangente a esta curva en φ (uo,vo),dado por:

• 𝑇𝑢 =𝜕Φ

𝜕𝑢=

𝜕𝑥

𝜕𝑢 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒊 +

𝜕𝑦

𝜕𝑢 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒋 +

𝜕𝑧

𝜕𝑢 𝑢𝑜, 𝑣𝑜 𝒌

• 𝑇𝑣 =𝜕Φ

𝜕𝑣=

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝒊 +

𝜕𝑦

𝜕𝑣 𝒋 +

𝜕𝑧

𝜕𝑣 𝒌

Área de una superficie parametrizada• Definición: Área de una superficie parametrizada.

Definimos el area A(S) de una superficie parametrizadapor:

• Donde 𝑇𝑢 𝑥 𝑇𝑣 es la norma de 𝑇𝑢 𝑥 𝑇𝑣. Si es un union de superficie S. su area es la suma de las areasde las S.

Área de superficie

Integral de funciones escalares sobre superficies• Definición: La integral de una función escalar sobre un superficie.

Si f(x, y, z)es una función continua con valores reales, definida sobre una superficie parametrizada S. Definimos la integral de f sobre S como:

Ejemplo 1:

• Un helicoide se define por Ф: 𝐷 ⟶ ℝ3, donde:

x= r cosθ, y= r senθ, z= θ

y D la región determinada por 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1.

• Y sea f dada por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 + 𝑥2 + 𝑦2

• Hallar:

• Resultado: 8π/3

Ejemplo 2:

Dada la superficie z= 𝑥 + 𝑦2 definida por Ф: 𝐷 ⟶ ℝ3

D la región determinada por 0 ≤ x≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.

y sea f dada por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦

Hallar: 𝑓 𝑑𝑆 = S

Resultado: (9√2)/2

Integrales de campos vectoriales sobre superficies• Definición. La integral de superficie de un campo

vectorial. Sea F un campo vectorial definido sobre S, laimagen de una superficie parametrizadaφ, denotadapor :

Se define por:

Ejemplo:

• Sea D el rectángulo en el plano Ф definido por:

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1

Y sea S la superficie definida por la parametrizaciónФ: 𝐷 ⟶ ℝ3,dada por:

x= cosθ senФ, y= senθ senФ, z= cosФ

(Así θ y Ф son los ángulos de las coordenadas esféricas y S es la esfera unidad parametrizada por Ф). Sea r el vector posición r(x, y, z)=(xi, yj, zk). Calcular:

• Resultado: -4π

Teorema de Stokes

Introducción al teorema de Stokes

kFjFiF 321F Sea entonces:

ky

F

x

Fj

x

F

z

Fi

F

y

F

z

123123rotF

Por tanto usamos la formula :

dAy

F

x

F

y

z

x

F

z

F

x

z

z

F

y

F

s D

123123dSrotF

Por otro lado: dzFdydxdsps

32p

1 FF-dsFF Por tanto:

sdxdyF

y

z

x

z

D321 FFdSF

b

as

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxds 321 FFFF

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Demostración del teorema de Stokes

DdA

y

x

zFF

x

y

zFF

3132

DdA

xy

zF

x

z

y

z

z

F

x

z

y

F

y

z

z

F

y

F

yx

zF

y

z

x

z

z

F

y

z

x

F

x

z

z

F

x

F 2

3

3311

2

3

3322

(6)

(7)

s

b

a

dtdz

dy

y

zFF

dt

dx

x

zFFds 3231F

dyy

zFFdx

x

zFF

c

3231

dyy

zFFdx

x

zFF

D

3231

(8)

Ejemplo #1• Demostrar para el siguiente caso en particular que el teorema de

Stokes es aplicable, donde:

Ejemplo #2

• Aplicar el teorema de Stokes para el siguiente caso en particular donde:

Teorema de Gauss

Teorema de Gauss(Divergencia)El teorema de Gauss afirma que el flujo

de un campo vectorial hacia el exteriorde una superficie cerrada es igual a la

integral de la divergencia de ese campo

vectorial sobre el volumen encerradopor la superficie. Es un resultado

paralelo a los teoremas de Stokes y

Green, en el sentido de que relacionauna integral sobre un objeto geométrico

cerrado (curva o superficie) con otra

integral sobre la región contenida.

Teorema de Gauss

Sea 𝑊 un sólido simple en el espacio R3 y 𝑆 = 𝜕𝑊 su

borde, orientado con la normal unitaria exterior 𝑛 . Sea 𝐹 un campo vectorial de clase 𝐶1. Entonces

∇ ∙ 𝐹

𝑊

𝑑𝑉 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑆

𝜕𝑊

O alternativamente:

div 𝐹

𝑊

𝑑𝑉 = (𝐹 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆

𝜕𝑊

Demostración

Se supone que la región es de Tipo I, entonces.

𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑓1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑓2(𝑥, 𝑦)} 𝐷 Es la superficie de la proyección de 𝑊 en el plano 𝑥𝑦.

Sea 𝐹 = (𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 ), por simplicidad y para demostrar la igualdad

se supone que 𝐹 solo tiene componente en la dirección 𝑘 Aplicando el teorema fundamental del cálculo para la integral de volumen podemos decir:

𝜕𝑅

𝜕𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 − 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

𝑊

Podemos descomponer 𝑆 en tres piezas, 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 donde 𝑆1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑓1(𝑥, 𝑦)) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}, 𝑆2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑓2(𝑥, 𝑦)) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷} y 𝑆3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕𝐷, 𝜙(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜓(𝑥, 𝑦)}. En 𝑆3 el vector normal exterior unitario 𝑛 es perpendicular al eje 𝑧 y por tanto también al campo, de modo que

(𝑅𝑘 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆

𝑆3

= 0

Por otro lado la normal en 𝑆2 apunta hacia arriba y en 𝑆1 hacia abajo, de

modo que al realizar el producto punto de 𝑘 ∙ 𝑛 = 1 para el caso de 𝑆2 y −1 para el caso de 𝑆1.

(𝑅𝑘 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆

𝑆2

= 𝑅𝑑𝑆

𝑆2

= 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

(𝑅𝑘 ∙ 𝑛 )𝑑𝑆

𝑆1

= − 𝑅𝑑𝑆

𝑆1

= − 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

𝑅𝑘 ∙ 𝑛 𝑑𝑆

𝑆

= 𝑅𝑑𝑆

𝑆2

− 𝑅𝑑𝑆

𝑆1

𝑅𝑘 ∙ 𝑛 𝑑𝑆

𝑆

= 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

− 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

𝑅𝑘 ∙ 𝑛 𝑑𝑆

𝑆

= [𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑥, 𝑦 )

𝐷

− 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑥, 𝑦 )]𝑑𝑥𝑑𝑦