STREDOSKOLSKA ODBORNA CINNOSTObor SOC: 1. Matematika a statistika

Aritmetika vcera a dnes

Arithmetics: Past and Present

Autor: Cenek Skarda

Skola: Gymnazium Unicov

Gymnazijnı 257, 783 91 Unicov

Konzultant: Ing. L’ubomıra Balkova, Ph.D.

Unicov 2012

ProhlasenıProhlasuji, ze jsem svou praci vypracoval samostatne, pouzil jsem pouzepodklady (literaturu, SW atd.) uvedene v prilozenem seznamu a postup prizpracovanı a dalsım nakladanı s pracı je v souladu se zakonem c. 121/2000Sb., o pravu autorskem, o pravech souvisejıcıch s pravem autorskym a ozmene nekterych zakonu (autorsky zakon) v platnem znenı.

V Unicove dne 7. kvetna 2012 podpis: .........................

PodekovanıPodekovat bych chtel predevsım temto lidem. Me vedoucı prace Ing. L’ubomıreBalkove, Ph.D., za jejı ochotu, cenne rady a napady. Dale bych chtel podekovatRNDr. Zuzane Kopecne Voglove a Mgr. Milanu Kuxovi za jejich odbornepripomınky.

ANOTACEAckoliv se na zakladnıch skolach ucıme vsichni stejne algoritmy pro scıtanı, odcıtanı,nasobenı a delenı prirozenych cısel s tuzkou a papırem, je takovych algoritmu velkemnozstvı a kazdy z nich ma sve vyhody a nevyhody. Stejne tak krome algoritmu, kterepouzıva nas pocıtac k provadenı aritmetickych operacı, existuje cela rada algoritmu, kterese mohou hodit naprıklad ve chvıli, kdy je nası hlavnı ulohou nasobit obrovska cısla nebokdy mame k dispozici pocıtace zapojene do sıtı a s vyhodou vyuzijeme paralelnı algoritmy.

Tato prace poskytuje obsahly seznam existujıcıch algoritmu pro zakladnı aritmetickeoperace a jejich srozumitelne vysvetlenı. Pro zajımavost popisujeme u historickych metodi uroven matematiky, ktere se na danem uzemı v dobe vzniku algoritmu dosahlo, a uvyznamnych matematiku, kterı se o zminovane algoritmy zaslouzili, uvadıme jejich me-dailony. Nenı nam znamo, ze by takovy bohaty souhrn algoritmu aritmetickych operacıbyl nekde k dispozici, v prehlednem shrnutı tedy spocıva hlavnı prınos teto prace.

Vystupem prace je navıc www stranka http://bimbo.fjfi.cvut.cz/∼soc se srozumi-telnym popisem algoritmu v mnoha prıpadech doplnenym programem, ktery algoritmusilustruje.

Cast algoritmu nasobenı jsme popsali v clanku L’. Balkova, C. Skarda: Nasobımechytre?, ktery je prijat k publikaci v Pokrocıch matematiky, fyziky a astronomie.

Klıcova slova: aritmeticke operace; cıselne soustavy; casova slozitost algoritmu; paralelnıalgoritmy; redundance

ANNOTATIONAt any primary school, pupils are taught the same algorithms for addition, subtraction,multiplication, and division of natural numbers. Despite this fact, there exist a huge num-ber of such algorithms and each of them has its advantages and disadvantages. Similarly,in addition to algorithms used by our computers for execution of arithmetical operations,there exist other methods that can be more suitable in certain cases, for instance whenone wants to operate with huge numbers or in case one may use a network of computers.

This work provides a comprehensive summary of existing algorithms for basic arithme-tical operations and their comprehensible explanation. We place the described methodsinto a historical context when depicting the level of mathematical knowledge in the regionwhere the method in question was invented and we add portraits of important mathema-ticians who influenced arithmetics. To our knowledge, there has not been so far such arich summary of algorithms for arithmetical operations. Therefore, the main contributionof this work resides in the clearly arranged comprehensive summary.

An additional output is a web page http://bimbo.fjfi.cvut.cz/∼soc where a detaileddescription of algorithms is supplemented with illustrative computer programs.

A part of algorithms concerning multiplication has been described in the paper L’.Balkova, C. Skarda: Do we multiply in a clever way?, to appear in Pokroky matematiky,fyziky a astronomie.

Key words: arithmetical operation; numeration systems; time complexity of an algorithm;parallel algorithms; redundancy

Obsah

1 Uvod 6

2 Nasobenı 72.1 Nasobenı zpameti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Nasobenı s tuzkou a papırem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Egyptske nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Ruske (sedlacke) nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Indicke nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Cınske graficke nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.5 Cınske pocetnı nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.6 Al-Chwarizmıho nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.7 Cauchyovo komplementarnı nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.8 Prevod nasobenı na goniometricke a logaritmicke funkce . . . . . . 13

2.3 Mechanicke pomucky a tabulky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Soroban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Nasobenı na linach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Napierovy kosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4 Tabulky kvadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Pocıtacove nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1 Binarnı soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Redundantnı binarnı soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Klasicke nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.4 Rychle nasobenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Delenı 263.1 Delenı s tuzkou a papırem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Egyptske delenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2 Cınske pocetnı delenı podle Sun Ziho . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Mechanicke pomucky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1 Soroban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Napierovy kosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Vypocet druhe odmocniny 314.1 Vypocet druhe odmocniny s tuzkou a papırem . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Numericky vypocet druhe odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 Indicky vypocet druhe odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.3 Cınsky vypocet druhe odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5

5 Scıtanı 375.1 Scıtanı s tuzkou a papırem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.1 Cınske scıtanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Mechanicke pomucky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.1 Soroban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2.2 Scıtanı na linach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Uroven matematiky starych kultur 406.1 Pozicnı a nepozicnı soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Egypt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Mezopotamie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Idianske kmeny Ameriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.5 Cına . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Staroveka Indie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.7 Arabsky svet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Vyznamnı matematikove 477.1 Al-Chwarizmı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Augustin Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Jakub Filip Kulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.5 Antonın Svoboda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Zaver 51

6

Kapitola 1

Uvod

Pocıtanı je uzitecne v kazde cinnosti souvisejıcı se svetskymi, vedskymi nebo jimpodobnymi nabozenskymi zalezitostmi. Znalost pocetnı je vysoce cenena v znalosti lasky,v poznatcıch o bohatstvı, v hudbe i dramatu, v kucharskem umenı, v medicıne,v architekture, v prosodii, ve versotepectvı i poesii, v logice a gramatice a v jinychvecech... Pouzıva se jı ve spojitosti s pohyby Slunce a jinych nebeskych teles, sezatmenım a konjunkcemi planet a v souvislosti s hledanım smeru, polohy, casu as pohybem Mesıce. Pocet, prumery a obvody ostrovu, oceanu a hor, rozmery sıdlist’ alidskych obydlı, prostory mezi svety, svet svetla, svet bohu i svet pekelnych zivlu amnozstvı jinych nejruznejsıch merenı - lze uskutecnit jen s pomocı matematiky.Mahavıra, indicky bard, 9. stoletı n.l. ([2], str. 97)

Mahavıra ve sve oslavne basni hovorı o pocıtanı a matematice a ma na mysli zakladnıaritmeticke operace. Jeho oda zustava v platnosti i dnes, stale je treba provadet aritme-ticke operace, a to s cım dal tım vetsı rychlostı a presnostı. Proto je tema nası prace -zakladnı aritmeticke operace - stale aktualnı. Cılem prace je zachytit vyvoj zakladnıcharitmetickych operacı (nasobenı, scıtanı, delenı a vypocet druhe odmocniny) od starovekuaz do dnesnıch dnu. Je zrejme, ze jinak vypadajı algoritmy pro pocıtanı zpameti, s tuzkoua papırem, pomocı mechanickych pomucek a tabulek a algoritmy pocıtacove.

Prace je rozdelena do kapitol venovanych jednotlivym aritmetickym operacım a kazdaz kapitol je pak clenena na sekce, podle toho, zda jsou k vypoctu uzity pouze prsty nebopapır s tuzkou, mechanicke pomucky ci dokonce pocıtac.

Pripojena je take kapitola Uroven matematiky starych kultur popisujıcı uroven mate-matiky na uzemıch, kde se jednotlive algoritmy rodily, a dale kapitola Vyznamnı mate-matikove s medailonky matematiku, kterı aritmetiku podstatne ovlivnili.

7

Kapitola 2

Nasobenı

Na prvnı pohled by se mohlo zdat, ze uloha vynasobit dve prirozena cısla je nezajımava.Zname prece uz ze zakladnı skoly algoritmus, u ktereho stacı umet malou nasobilkua scıtat, a uloha je vyresena. Tato kapitola by mela byt dukazem, ze uloha zajımavaje, protoze metod resenı existuje cela rada. Egyptske a ruske nasobenı je zalozeno nabinarnım rozvoji nasobence. Cauchyovo komplementarnı nasobenı vyuzıva zapis cısel po-mocı zapornych cifer. Cınske nasobenı je graficke, a tedy pro zaky s vrozenym odporemk matematice mozna nejprıvetivejsı. Zjednodusenı nasobenı velkych cısel prinesly tabulkykvadratu, japonsky soroban a Napierovy kosti, vynalez Johna Napiera, otce logaritmu.Krome algoritmu, ktere urychlujı nasobenı zpameti a na papıre, si take ukazeme efektivnıalgoritmy pro pocıtacove nasobenı. Pri nasobenı velkych cısel se vyplatı zapsat cısla vtzv. redundantnı binarnı soustave, kde je dovolena krome cifer 0 a 1 i cifra −1. Modernıeru nasobenı velkych cısel odstartovaly ale zejmena Karacubuv algoritmus a modularnınasobenı, ktere taktez predstavıme. Kapitolu zakoncıme prehledem v soucasnosti nej-rychlejsıch znamych pocıtacovych algoritmu pro nasobenı.

2.1 Nasobenı zpameti

Nasobenı na prstech panı ucitelky na zakladnı skole nevidı rady. Chtejı nas totiz naucitnasobit do 10 krat 10 zpameti

”jako kdyz bicem mrska“. Presto je pouzitı prstu prirozenym

zjednodusenım, kterym si lide pomahajı pri vypoctech odedavna. Stredovecı obchodnıcis oblibou vyuzıvali tzv. cikanskou nasobilku, ktera umoznuje nasobit pomocı prstu cıslax × y, kde x, y ∈ {6, 7, 8, 9} (se znalostı pouhe nasobilky do 5 krat 5). Princip cikanskenasobilky pochopıte z 1. casti obrazku 2.1.

Pokud chceme nasobit 8 krat 7, zeptame se:”Osm a kolik je deset?“

”A dva.“ Skrcıme

dva prsty na prvnı ruce (c = 2). To same udelame s cıslem sedm. Schovame tedy tri prstyna druhe ruce (d = 3). Na pozici desıtek napıseme soucet vztycenych prstu (a+b = 3+2 =5) a na pozici jednotek napıseme soucin skrcenych prstu (c · d = 2 · 3 = 6). A obdrzımespravny vysledek 56. Bystry ctenar si snadno rozmyslı, ze algoritmus je pouzitelny jen knasobenı cısel, ktera jsou obe vetsı nez 5, a ze funguje dıky nasledujıcım rovnostem

(10− c)(10− d) = 100− (c+ d)10 + cd= 10(10− c− d) + cd= 10(a+ b) + cd.

Mozna uz ctenar postrehl, ze pri nasobenı nekterych cısel narazıme na uskalı. Naprıkladpri nasobenı 7 × 6 je c · d = 3 × 4 = 12, coz je vıce nez 10. V takovem prıpade na mıste

8

Obrazek 2.1: 1. Cikanska nasobilka pro vypocet 8× 7. 2. Vypocet 14× 9 na prstech.

jednotek nechame cıslo 2 a 1 preneseme k desıtkam.Nasobenı devıti nedelalo stredovekym trhovcum problemy ani pro cısla od 12 do 19.

Jejich postup naznacuje 2. cast obrazku 2.1.Pokud chceme nasobit 14 krat 9, skrcıme na leve ruce ctvrty prst – prstenıcek. Zleva

pak palec reprezentuje stovky (a = 1), zbyle prsty pred prstenıckem reprezentujı desıtky(b = 2) a prsty, ktere nasledujı za prstenıckem, reprezentujı jednotky (c = 6). Vysledek:126. Snadno si rozmyslıme, ze algoritmus funguje dıky nasledujıcım rovnostem. Nasobıme-li (10 + d) krat 9, kde d = 2, . . . , 9, platı:

(10 + d)9 = 90 + 9d= 100 + 10(d− 2) + (10− d)= 100a+ 10b+ c.

2.2 Nasobenı s tuzkou a papırem

Mame-li za ukol vynasobit dve prirozena cısla a k dispozici tuzku a papır, vetsina z naspouzije algoritmus, ktery jsme se ucili na zakladnı skole.

4 7× 5 31 4 1

2 3 5

2 4 9 1

Existuje ale cela rada alternativ.

2.2.1 Egyptske nasobenı

Egypt’ane prevzali pravdepodobne nasobenı od etiopskych kmenu. Samotne nasobenı jezalozeno na binarnım zapisu nasobence.

Chteli-li Egypt’ane vynasobit napr. 13 krat 15, sestavili si tabulku, jejız prvnı sloupectvorily mocniny dvou mensı nebo rovne 13 a druhy sloupec vznikl postupnym zdvojovanım

9

15. V prvnım sloupci si oznacili mocniny dvou, ktere se vyskytujı v binarnım zapisu 13.Pak jiz stacilo secıst ve druhem sloupci radky odpovıdajıcı oznacenym mocninam dvou(viz obrazek 2.2). Vysledek: 195. Binarnı zapis prirozeneho cısla n, tedy zapis tvaru

13 × 15•1 152 30•4 60•8 120

195

Obrazek 2.2: Vypocet 13× 15 egyptskym zpusobem.

n = a020 + a12

1 + a222 + · · ·+ ak2k,

kde koeficienty a0, a1, a2, . . . , ak ∈ {0, 1}, lze zıskat hladovym algoritmem. Podıvame se,jakou nejvyssı mocninu dvojky cıslo 13 obsahuje. To je 23 = 8. Pote od 13 odecteme 8 apro zıskany rozdıl 5 opet najdeme nejvetsı mocninu dvojky, kterou cıslo 5 obsahuje. Toje 22 = 4. Na zaver spocıtame rozdıl 5 − 4 = 1, a to je nulta mocnina dvojky. Zıskame13 = 1 + 4 + 8.

2.2.2 Ruske (sedlacke) nasobenı

Ruske nasobenı se velmi podoba egyptskemu. Jeste v 19. stoletı se pouzıvalo na ruskemvenkove a zrejme tak nasobila vetsina Evropanu pred prosazenım indo-arabskeho zpusobunasobenı, ktery se dnes ucıme na zakladnı skole.

Chceme-li ruskym zpusobem vynasobit 13 krat 15, sestavıme si tabulku, jejız prvnısloupec tvorı zbytky po opakovanem celocıselnem delenı nasobence dvojkou a druhy slou-pec vznikne postupnym zdvojovanım 15. Nynı stacı secıst ve druhem sloupci radky od-povıdajıcı jednotkovym zbytkum (viz obrazek 2.3). Vysledek: 195.

13 × 1513 : 2 = 6 zbytek 1 156 : 2 = 3 zbytek 0 303 : 2 = 1 zbytek 1 601 : 2 = 0 zbytek 1 120

195

Obrazek 2.3: Vypocet 13× 15 ruskym zpusobem.

Uvedomte si, ze pokud prirozene cıslo n nenı delitelne dvojkou, znamena to, ze naposlednım mıste v jeho binarnım zapisu je jednicka. Pokud je delitelne dvojkou, pak mav binarnım zapisu na poslednım mıste nulu. Snadno si pak rozmyslıte, ze binarnı zapiscısla n lze zıskat take nasledujıcım algoritmem:

1. Vydel cıslo dvema.

2. Je-li delitelne, zapamatuj si nulu a cıslo n/2. Nenı-li delitelne, zapamatuj si jednickua cıslo (n− 1)/2.

10

3. Pokud zapamatovane cıslo nenı nula, opakuj algoritmus. Pokud zapamatovane cısloje nula, binarnı zapis zıskas sepsanım nul a jednicek zleva doprava v poradı odposlednı zapamatovane cifry k prvnı.

2.2.3 Indicke nasobenı

Zde popsane nasobenı nenı jedine, ktere se ve stare Indii pouzıvalo. Existovalo vıce nezosm rozlicnych zpusobu nasobenı, principem se vsak velmi podobaly.

Chceme-li indickym zpusobem vynasobit 435 krat 12, namalujeme tabulku se tremisloupci a dvema radky, ktere oznacıme ciframi nasobence a nasobitele, a kazde okenkotabulky rozdelıme uhloprıckou na dva trojuhelnıky. Nynı tabulku vyplnıme tak, ze prokazdou bunku nasobıme cifry, ktere znacı, v jakem sloupci a radku se bunka nachazı.Pokud vyjde cıslo mensı nez deset, napıseme jej do dolnıho trojuhelnıku. Pokud je vysledekvetsı nebo roven deseti, napıseme desıtky do hornıho trojuhelnıku a jednotky do dolnıhotrojuhelnıku.

Na zaver vyscıtame zprava doleva cısla podel uhloprıcek. Jednotky sepisujeme a desıtkysi pamatujeme a

”prenasıme“ je. Vysledek je 5220 (viz obrazek 2.4).

Obrazek 2.4: Vypocet 435× 12 pomocı indickeho nasobenı.

2.2.4 Cınske graficke nasobenı

Cınske graficke nasobenı se nejspıse vyvinulo dıky lasce Cınanu ke kaligrafii a malbe ajejım naslednym uplatnenım v matematice pri nasobenı mensıch cısel.

Chceme-li tımto zpusobem nasobit naprıklad 123 krat 21, namalujeme za nasobenceve smeru z JZ na SV postupne jednu rovnobezku za stovky, dve rovnobezky za desıtkya tri rovnobezky za jednotky. Pote za nasobitele namalujeme ze SZ smerem na JV dverovnobezky za desıtky a jednu za jednotky. Pote do disjunktnıch obdelnıku uzavremeprusecıky odpovıdajıcı tisıcovkam, stovkam, desıtkam a jednotkam a zjistıme jejich pocty.

V nasem prıpade mame v prvnım obdelnıku 2 prusecıky, ve druhem 5, ve tretım 8 ave ctvrtem 3. Vysledek 2583 (viz obrazek 2.5 (a)).

Tımto zpusobem bychom postupovali i pri nasobenı vetsıch cısel. Pokud nam soucetprusecıku v nekterem obdelnıku vyjde vetsı nez 9, tak klasicky pricteme cifru desıtek kpredchazejıcımu obdelnıku. Naprıklad pro 124 krat 21 nam vyjde v prvnım odelnıku 2, ve

11

Obrazek 2.5: Vypocet (a) 123× 21 (b) 124× 21 cınskym grafickym zpusobem.

druhem 5, ve tretım 10 (jednicku pricteme k druhemu obdelnıku) a ve ctvrtem 4. Vysledekje tedy 2604 (viz obrazek 2.5 (b)).

2.2.5 Cınske pocetnı nasobenı

Pocetnı nasobenı se lisı od predchozıch algoritmu zejmena tım, ze probıha zleva doprava,tedy od cifer u nejvyssıch mocnin deseti k cifram u jednotek. Detailne je popsano je v [2],str. 25. Algoritmus pro vypocet 3142 × 14 je srozumitelny z obrazku 2.6. Zacına se snasobenım od nejvyssı cifry vetsıho z cısel a jednotlive kroky se postupne zapisujı zlevadoprava. K zapisu nasobenı se vetsinou pouzıvali drevene nebo kostene tycinky, my jsmepouzili pro zjednodusenı arabske cıslice.

Obrazek 2.6: Vypocet 3142× 14 cınskym pocetnım nasobenım.

2.2.6 Al-Chwarizmıho nasobenı

Al-Chwarizmıho zpusob nasobenı se v mnoha ohledech inspiruje nekterym z indickychnasobenı (ne ovsem tım, ktere jsme zde popsali my, protoze stejne jako cınske pocetnınasobenı i Al-Chwarizmıho nasobenı funguje zleva doprava) [2], str. 190-191. Nasobenı siukazeme na prıkladu 23123 krat 2131 (viz obrazek 2.7). Nejdrıve si napıseme nasobencea pod nej nasobitele tak, aby jednotky nasobitele byly pod nejvyssı cifrou nasobence.Pote vezmeme nejvyssı cifru nasobence (v nasem prıpade 2) a vynasobıme nasobitele.Tım dostaneme cıslo 4262, ktere napıseme pred nasobence tak, ze jednotkovou cifrounahradıme nejvyssı cifru nasobence. Nakonec nasobitele posuneme o jednu cifru doprava.Dalsı nasobenı provedeme cıslem 3, vyjde nam 6393 a toto cıslo pricteme k castecnemuvysledku 4262 tak, ze poslednı cifrou prepıseme trojku. Nasobitele posuneme o jednu cifrudoprava. Dale nasobıme podobne jednickou a znovu vysledek pricteme tak, ze poslednı

12

2 3 1 2 32 1 3 1

4 2 6 2| 3 1 2 32 1 3 1

4 9 0 1 3| 1 2 32 1 3 1

4 9 2 2 6 1| 2 32 1 3 1

4 9 2 6 8 7 2| 3

2 1 3 1

4 9 2 7 5 1 1 3

Obrazek 2.7: Al-Chwarizmıho vypocet 23123× 2131.

cifra nahradı jednicku. Nasobitele zase posuneme o jednu cifru doprava. Nynı provedemenasobenı analogicky i se zbylymi ciframi nasobence. Nakonec nam vyjde cıslo 49275113,coz je spravny vysledek.

2.2.7 Cauchyovo komplementarnı nasobenı

Toto nasobenı vyuzıva zapis cısel pomocı zapornych cifer. Vsimneme si, ze pri pouzitıCauchyova komplementarnıho nasobenı si vystacıme s nasobilkou do 5 krat 5!

Chceme-li nasobit 57 krat 17 Cauchyovym algoritmem, zapıseme nejprve nasobence inasobitele pomocı cifer od −4 do 5, tj. 57 = 14 3 = 100 − 40 − 3 a 17 = 23 = 20 − 3.Pruhy nad ciframi tedy znamenajı, ze cifry majı znamenko mınus.

Pote jiz nasobıme analogicky jako v klasicke desıtkove soustave. Pouze u znamenekdavame pozor: pri nasobenı dvou zapornych cifer nebo dvou kladnych cifer ma vysledekznamenko plus, pri nasobenı cifer opacneho znamenka ma vysledek znamenko mınus (vizobrazek 2.8).

1 4 3× 2 3−2 2 9

2 −8 −61 0 −4 9

9 6 9

Obrazek 2.8: Vypocet 57× 17 Cauchyovym algoritmem.

Abychom mohli Cauchyovo komplementarnı nasobenı pouzıvat, musıme umet prevadetzapisy cısel mezi klasickou desıtkovou soustavou a desıtkovou soustavou s ciframi od −4do 5. K takove konverzi slouzı nasledujıcı jednoduchy algoritmus:

13

1. Pricteme cıslo sestavene z tolika ctyrek kolik cifer ma cıslo konvertovane. Naprıkladchceme-li zapsat 57 v desıtkove soustave s ciframi od −4 do 5, v prvnım krokupricteme 44

57 + 44 = 101,

pote odecteme od kazde z poslednıch dvou cifer souctu cıslo 4

0− 4 = −4 a 1− 4 = −3.

Vysledek: 14 3.

2. Chceme-li naopak prevest cıslo do klasicke desıtkove soustavy, spocteme rozdılkladne a zaporne casti. Naprıklad zapis 14 3 v klasicke desıtkove soustave zıskamejako:

100− 43 = 57.

Vysledek: 57.

2.2.8 Prevod nasobenı na goniometricke a logaritmicke funkce

Ve stredoveke Evrope bylo bezne prevadenı nasobenı na scıtanı, nekdy velmi zvlastnımzpusobem [7]. Naprıklad se vyuzıvalo funkce cosinus ve vzorci:

cosα× cos β = 12(cos(α + β) + cos(α− β))

Pokud jsme jım chteli vynasobit dve cısla, napr. 326 a 931, museli jsme zacıt upravenımobou cısel vytknutım mocnin 10 a vypoctem prıslusneho uhlu.

326× 10−3 = 0, 326 = cos(70, 97382931◦)931× 10−3 = 0, 931 = cos(21, 40876293◦)

Pote dosadıme do vzorce:

cos(70, 97382931◦)× cos(21, 40876293◦) == 1

2(cos(70, 97382931◦ + 21, 40876293◦) + cos(70, 97382931◦ − 21, 40876293◦))

= 12(−0.04157209558 + 0.6485840956) = 1

20.607012 = 0.303506

Nakonec vysledek vynasobıme 106 a dostaneme 303506.Dokladem, ze se tımto zpusobem nasobenı provadelo, jsou obsahle, patnactimıstne

tabulky goniometrickych funkcı z roku 1613.Dalsım prevodem nasobenı na scıtanı je prevod pomocı logaritmu. Tento postup se

jeste pred nedavnem ucil i na skolach, dnes bohuzel upada v zapomnenı. Dekadicky loga-ritmus cısla x je exponent, na ktery musıme povysit cıslo 10, abychom dostali x:

10log x = x.

Pri nasobenı mocnin se stejnym zakladem se exponenty scıtajı:

am × an = am+n

14

a platı:a = 10log a, b = 10log b, ab = 10log a × 10log b = 10log a+log b = 10log ab.

Pokud tedy chceme vynasobit 326× 931, postupujeme nasledovne:

log(326× 931) = log 326 + log 931 = 2, 5132176 + 2, 968949681 = 5, 482167281

Nynı vysledek odlogaritmujeme pomocı tabulek a dostavame 303506.

2.3 Mechanicke pomucky a tabulky

2.3.1 Soroban

Soroban je japonska varianta kulickoveho pocıtadla. Do Japonska se dostal okolo roku1600 z Cıny, kde existuje podobne pocıtadlo zvane suan pan.

Obrazek 2.9: Japonske pocıtadlo soroban - papırovy model od autora SOC.

Nasobenı dvou cısel je totozne s cınskym pocetnım a Al-Chwarizmıho nasobenım,tedy postupuje opet zleva doprava, pouze se jednotlive kroky nepısı na papır, ale znacı seusporadanım kulicek na pocıtadle.

Nasobenı si uvedeme na prıkladu 46 krat 235.

1. Zacneme znazornenım cısla 46 na pocıtadle. Pri nasobenı vzdy zacıname v levemkrajnım sloupci. Kazdy sloupec je rozdelen na dve casti. V hornı casti je jednakulicka, ktera ma hodnotu cısla 5, a v dolnı casti jsou ctyri kulicky, kazda o hodnote1. Cıslo 4 tedy znazornıme posunutım 4 kulicek nahoru a cıslo 6 v dalsım sloupcivpravo posunutım jedne kulicky o hodnote 5 dolu a jedne kulicky o hodnote 1 nahoru(viz obrazek 2.10 a.).

2. Vynechame jeden sloupec a znazornıme cıslo 235 (viz obrazek 2.10 b.).

3. Vynechame dva sloupce (obecne tolik sloupcu, kolik je cifer nasobence) a zacnemenasobenım 4 krat 235. 4 krat 2 je 8, osm znazornıme na sorobanu, 4 krat 3 je 12,2 znazornıme na dalsım sloupci a 1 pricteme k 8 v sloupci predeslem. Nakonec 4krat 5 je dvacet, 2 pricteme k predeslemu sloupci. Musıme si pamatovat, ze poslednısloupec je prazdny, ale znazornuje nulu - abychom pri prepisu cısla nezmenily radjejım vynechanım! (viz obrazek 2.10 c.).

15

4. Pokracujeme obdobnym nasobenım 6 krat 235, pouze zacıname pricıtat mezivysledkyaz o jeden sloupec dal, nez pri nasobenı predchazejıcım, protoze nasobıme cıslemmensım o jeden rad (viz obrazek 2.10 d.).

5. Precteme cıslo na sorobanu. Vysledek je 10810.

Obrazek 2.10: Nasobenı 46× 235 na sorobanu.

2.3.2 Nasobenı na linach

V 15. stoletı jsou jiz v Evrope rozsırene pısemne vypocty, ty ale stale nevytlacily poctyopırajıcı se o ruznorode mechanicke pomucky. Ve 12. - 14. stoletı bylo velmi hojne vyuzıvanokulickove pocıtadlo abakus, ktere se ale od 15. stoletı ztracı a objevujı se specialnı pocetnıdesky.

Samotne pocetnı desky se od sebe velmi lisily. Odrazela se v nich narocnost vypoctui bohatstvı majitele, takze se setkavame nejen s obycejnymi drevenymi, ale i kovovymideskami. Vzdy se vsak jednalo o desku rozdelenou svislymi a horizontalnımi carami najednotliva okna, na ktere se jednotlive cifry znacily kladenım kamenu (anglicky countres,francouzsky jetons). Jedna cast linky a okno nad nı slouzı k zaznamenanı jedne cifry.Kameny umıstene na lince majı hodnotu jedne, mohou zde byt maximalne ctyri a v oknemuze byt polozen jeden kamen o hodnote peti. V jednom sloupci pak znacıme jedno cıslo,kde na dolnı lince a v prvnım okne jsou naznaceny jednotky a na kazde dalsı lince a vkazdem dalsım okne narusta hodnota cifry vzdy o jeden rad.

Nasobenı si predvedeme na 73 krat 95. Zacneme zaznacenım obou cısel v prvnıch dvousloupcıch.

Obrazek 2.11: Znazornenı cısla 73 v prvnım a 95 v druhem sloupci.

Nynı zacıname nasobenım 3 × 5 a mezivysledek naznacıme v tretım sloupci, protozenasobıme jednotky s jednotkami zacıname v dolnım okne (viz obrazek 2.12 a.).

16

Obrazek 2.12: Nasobenı 73× 95 na linach.

Pokracujeme nasobenım 3 × 9 a vysledek vyznacıme v dalsım sloupci, protoze uz alenasobıme jednotky desıtkami zacıname o jedno okno vyse (viz obrazek 2.12 b.).

Dale nasobıme 7× 5 a vysledek opet zaznacıme v dalsım sloupci, tentokrat na stejneurovni jako predesle nasobenı, protoze desıtky nasobıme jednotkami (viz obrazek 2.12 c.).

Poslednı nasobenı 7 × 9 naznacıme o jedno okno vyse, protoze nasobıme desıtkydesıtkami. Cele nasobenı ukoncıme sectenım jednotlivych mezivysledku po radach. Scıtameod nejnizsıho okna (viz obrazek 2.12 d.). Vysledek: 6935.

2.3.3 Napierovy kosti

Tuto vypocetnı pomucku, jejız pomocı muzeme jednoduse prevest nasobenı, a jak uvidımev nasledujıcı kapitole, take delenı na scıtanı, vymyslel skotsky matematik John Napier nasklonku sveho zivota. Zakladnı Napierovy kosti se skladajı z devıti samostatnych sloupku,rozdelenych na deset radku. V prvnım radku je uvedeno cıslo 1 az 9 a v nasledujıcıch devıtijsou vzestupne uvedeny jeho nasobky cısly 1 az 9, v kazdem radku desıtky pıseme naddiagonalu a jednotky pod nı. Nazev Napierovy kosti ma puvod v materialu sloupku, jımzbyla nejcasteji slonovina. Sloupky proto pripomınaly kosti.

Nasobenı si vysvetlıme na prıkladu 4732 krat 6. Z Napierovych kostı si vezmemesloupky odpovıdajıcı cifram nasobence a seradıme je tak, aby nam vzniklo zadane cıslo(v nasem prıpade cıslo 4732). Pote si najdeme radek odpovıdajıcı nasobiteli (v nasemprıpade radek 6). Nynı jiz pouze secteme cısla v hornıch a dolnıch castech tohoto radku,a to tak, ze je vzdy scıtame po diagonale (viz obrazek 2.13).

Chceme-li nasobit vıcemıstnym cıslem, vybereme radky odpovıdajıcı cifram nasobitelea usporadame je nad sebe od jednotek po cifry u nejvyssı mocniny deseti. Opet scıtamepo diagonalach.

2.3.4 Tabulky kvadratu

Uz starı Babylonane znali vzorce:

ab =1

2

((a+ b)2 − a2 − b2

),

ab =1

4

((a+ b)2 − (a− b)2

).

17

Obrazek 2.13: Vypocet 4732× 6 a 4732× 13 pomocı Napierovych kostı.

V roce 1690 uvadı Johann Hiob Ludolf ve svem dıle Tetragonometrie navod, jak pomocıtabulek kvadratu nasobit prirozena cısla. Vsimnete si, ze prave z babylonskych vzorcuje zrejme, ze pro vypocet soucinu jakychkoliv prirozenych cısel stacı mıt k dispozici dostvelkou tabulku kvadratu prirozenych cısel. V roce 1817 Antoine Voisin vydava prvnıtakove multiplikacnı tabulky. A pote v roce 1833 vychazı Kulikovy tabulky nasobenı a ta-bulky kvadratu, ktere necitujı Ludolfa a Voisina, protoze Jakub Filip Kulik o praci svychpredchudcu zrejme nevedel. Kulik vytvoril tabulky soucinu dvojcifernych prirozenychcısel. Nasobenı prirozenych cısel se pak dıky nim zjednodusilo na pouhe scıtanı, viznasledujıcı ilustrace. Chceme-li nasobit 1743 krat 37, stacı najıt v tabulce soucin 43× 37a 17× 37 a vysledky spravne secıst.

43 × 37 = 1 5 9 117 × 37 = 6 2 9

6 4 4 9 1

2.4 Pocıtacove nasobenı

Nasobenı v binarnı soustave a redundantnı binarnı soustave nenı pro cloveka bezne. Lidetotiz dıky deseti prstum provadejı vypocty v soustave desıtkove, tj. cısla zapisujı po-mocı mocnin desıtky a cifer od 0 do 9. Se soustavou binarnı ovsem pracuje valna vetsinapocıtacu.

2.4.1 Binarnı soustava

Kazde prirozene cıslo n lze prave jednım zpusobem vyjadrit ve tvaru:

n = 2k + ak−12k−1 + ...+ a12

1 + a020,

18

kde koeficienty ak−1, ..., a1, a0 nabyvajı hodnot nula nebo jedna. Tomuto retezci koeficienturıkame binarnı zapis cısla n. Pripomenme, ze binarnı zapis se zıska hladovym algoritmem:

1. Chceme-li najıt binarnı zapis cısla 13, podıvame se, jakou nejvyssı mocninu dvojkycıslo 13 obsahuje. To je 23 = 8.

2. Pote od 13 odecteme 8 a pro zıskany rozdıl 5 opet najdeme nejvetsı mocninu dvojky,kterou cıslo 5 obsahuje. To je 22 = 4.

3. Na zaver spocteme rozdıl 5− 4 = 1, a to je nulta mocnina dvojky.

4. Zıskame 13 = 23 + 22 + 20, a tedy cıslo 13 ma v binarnı soustave zapis 1101.

Nasobenı v binarnı soustave je velmi podobne nam znamemu klasickemu nasobenı vdesıtkove soustave. Naprıklad cıslo jedenact s binarnım zapisem 1011 a cıslo pet s binarnımzapisem 101 se vynasobı nasledujıcım zpusobem:

1 0 1 11 0 1

1 0 1 10 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1 1 1

Vysledek je 32+16+4+2+1 = 55. Vsimneme si, ze rychlost nasobenı odpovıda poctujednicek v binarnım zapisu nasobitele (v nasem prıpade jsou dve jednicky v binarnımzapisu 5), prave tolik scıtanı totiz musıme provest.

2.4.2 Redundantnı binarnı soustava

Pripust’me nynı v binarnı soustave cifry −1, 0 a 1. Zapisy cısel uz nejsou jedine mozne,soustava je redundantnı. Naprıklad 15 = 8+4+2+1 a taky 15 = 16−1, tedy jak 1111 tak i10001 jsou zapisy 15 v redundantnı binarnı soustave. Vyberme zapis s maximalnım poctemnul. K tomu stacı aplikovat nasledujıcı prepisovacı pravidla, dokud je co prepisovat:

01111 → 1000101111 → 10001

11 → 0111 → 01

Zatımco prumerny pocet nul ve standardnım binarnım zapisu je 1/2, v redundantnımbinarnım zapisu s maximalnım moznym poctem nul jsou to 2/3. Jelikoz je rychlostnasobenı umerna poctu nul, je jasne, ze redundantnı binarnı soustava je pro nasobenıvelkych cısel vyhodnejsı. Na zaver jeste poznamenejme, ze nasobıme analogicky jako vklasicke binarnı soustave. Pouze u znamenek davame pozor: pri nasobenı cifer stejnehoznamenka ma vysledek znamenko plus, pri nasobenı cifer opacneho znamenka ma vysledekznamenko mınus. Tedy naprıklad nasobenı 11 a 5 probehne nasledovne:

19

1 0 1 0 11 0 1

1 0 1 0 10 0 0 0 0

1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1

Vysledek je tedy 64− 8− 1 = 55.

2.4.3 Klasicke nasobenı

Oznacuje nasobenı dvou prirozenych cısel zadanych pomocı zapisu v bazi b, kde b jeprirozene cıslo vetsı nebo rovno 2. Binarnı zapis (b = 2) a desıtkovy zapis (b = 10) jsouspecialnı prıpady zapisu cısel v bazi b s ciframi 0, 1, ..., b− 1.

Soustava s prirozenym zakladem

Kazde prirozene cıslo n lze prave jednım zpusobem vyjadrit ve tvaru:

n = akbk + ak−1b

k−1 + ...+ a1b1 + a0b

0,

kde koeficienty ak, ak−1, ..., a1, a0 nabyvajı hodnot 0, 1, ..., b − 1 a ak 6= 0. Retezciakak−1...a1a0 rıkame zapis cısla n v soustave s bazı (se zakladem) b. Podobne jako vespecialnım prıpade binarnı soustavy lze takovy zapis zıskat hladovym algoritmem:

1. Chceme-li najıt zapis cısla n v bazi b, podıvame se, jakou nejvyssı mocninu bk cıslon obsahuje a kolikrat ji obsahuje. To bude koeficient ak, ktery je jiste mensı nez b(jinak by n obsahovalo bk+1).

2. Pote od n odecteme akbk a pro zıskany rozdıl opet najdeme nejvetsı mocninu bj,

kterou obsahuje, a jako aj oznacıme pocet vyskytu bj v rozdılu.

3. Vsechny koeficienty mezi aj a ak (pokud nejake takove jsou, tj. pokud je j mensınez k − 1) jsou nulove. Analogicky pokracujeme dale.

Popisme nejprve algoritmus klasickeho nasobenı tak, jak by jej provedl pocıtac, a potejej porovnejme s algoritmem

”tuzky a papıru“ [6].

Algoritmus M (multiplication)

Nasobıme prirozena cısla U, V , kde un−1...u1u0 je zapis U v bazi b a vm−1...v1v0 je zapis Vv bazi b. Oznacme W = U × V . Snadno si rozmyslıme, ze delka zapisu W v bazi b budemaximalne m+ n. Oznacme wm+n−1...w1w0 zapis W .

1. Inicializace W a i, j Poloz wn−1 = ... = w1 = w0 = 0 a i = 0 a j = 0.

2. Nasobenı nulou Pokud vj = 0, pak poloz wi+j = 0 a jdi na krok 6.

3. Inicializace i Poloz i = 0, k = 0.

20

4. Nasob a secti Poloz t = ui · vj + wi+j + k. Pak poloz wi+j = t mod b a k = [t/b],kde [x] je nejvetsı cele cıslo, ktere je mensı nebo rovno x a t mod b = t − b[t/b](zbytek po celocıselnem delenı).

5. Cyklus na i Poloz i := i+ 1. Pokud i < n, jdi na krok 4. Jinak poloz wi+j = k.

6. Cyklus na j Poloz j := j + 1. Pokud j < m, jdi na krok 2. Jinak konec.

Ilustrujme algoritmus M pro b = 10 a W = U ×V , kde U = 914 = u2u1u0 a V = 84 =v1v0:

• 1. bod w2 = w1 = w0 := 0 a i := 0 a j := 0.

• 3. bod k := 0.

• 4.+5. bod t := u0 · v0 + w0 + k = 4 · 4 = 16, w0 := 6, k := 1, i := 1.

• 4.+5. bod t := u1 · v0 + w1 + k = 1 · 4 + 0 + 1 = 5, w1 := 5, k := 0, i := 2.

• 4.+5. bod t := u2 · v0 +w2 + k = 9 · 4 = 36, w2 := 6, k := 3, i := 3, w3 := 3 (az semshodny postup s nasobenım v ruce).

• 6.+3. bod j := 1, i := 0, k := 0.

• 4.+5. bod t := u0 · v1 + w1 + k = 4 · 8 + 5 = 37, w1 := 7, k := 3, i := 1.

• 4.+5. bod t := u1 · v1 + w2 + k = 1 · 8 + 6 + 3 = 17, w2 := 7, k := 1, i := 2.

• 4.+5. bod t := u2 · v1 +w3 + k = 9 · 8 + 3 + 1 = 76, w3 := 6, k := 7, i := 3, w4 := 7.

• 6.+3. bod j := 2 a konec.

Vysledek: W = w4w3w2w1w0 = 76776.

Algoritmus M versus nasobenı s tuzkou a papırem

Pri nasobenı na papıre tvorıme castecne souciny, ktere prıslusne posunute vlevo sepisujemepod sebe a na zaver vyscıtame. Na pocıtaci je vyhodnejsı provadet nasobenı a scıtanısoucasne - tak postupuje algoritmus M. Nenı tezke si rozmyslet, ze t nabyva hodnot0, 1, . . . , b2 − 1 a prenos (carry) k nabyva hodnot 0, 1, . . . , b − 1, proto vıme, jak velkeregistry potrebujeme pro implementaci. Pocıtace navıc pracujı s bazı 2, bod 2. tedy usetrıpraci, nastava prumerne v polovine prıpadu. (Uz z predchozı sekce vıme, ze v binarnısoustave je rychlost nasobenı umerna poctu nul v binarnım zapisu nasobitele.) Nevyhodouklasickeho algoritmu je jeho pomalost. Uz pro m = n = 4 je mozne nasobit U×V rychleji.

Slozitost algoritmu M

Definujme nejprve elementarnı operace:

1. soucet a rozdıl 1-mıstnych cısel a prıpadne prenos,

2. soucin dvou 1-mıstnych cısel s 2-mıstnym vysledkem,

3. celocıselne delenı 2-mıstneho cısla 1-mıstnym za predpokladu, ze kvocient i zbytekvysledku jsou 1-mıstne.

21

Pocet takovych operacı udava slozitost algoritmu. V prıpade algoritmu M lze dokazat, zeslozitost nasobenı cısel, jejichz rozvoje v bazi b majı delky m a n, je O(m · n), tj. existujekladna konstanta K takova, ze pro libovolna dve prirozena cısla je slozitost jejich nasobenıalgoritmem M mensı nez K ·m · n.

2.4.4 Rychle nasobenı

Rychle nasobenı je nasobenı se slozitostı mensı nez nasobenı klasicke. Snaha o zrychlenıalgoritmu se zesiluje ruku v ruce s rozvojem pocıtacu a specialne snaha o maximalnızrychlenı nasobenı je dana potrebami kryptografie, kde je nutne nasobit v prijatelnem caseohromna cısla (radove 10100). My popıseme dve rychla nasobenı - Karacubovo nasobenıa Schonhageovo nasobenı v modularnı aritmetice - zalozena na duvtipnych myslenkach apomerne jednoduse popsatelna. Mezi rychlymi algoritmy patrı k tem nejstarsım, ovsemalgoritmy jeste rychlejsı uz jsou prılis technicke.

Zminme proto jen strucne, jake jsou v dnesnı dobe nejrychlejsı algoritmy pro nasobenıprirozenych cısel. V praxi se vyuzıva Schonhageuv–Strassenuv algoritmus (zalozeny narychle Fourierove transformaci) z roku 1971. Tento algoritmus je rychlejsı nez Karacubuvpro cısla majıcı rad alespon 104. V roce 2007 prevzal teoreticke prvenstvı v rychlostiFureruv algoritmus. V praxi se ale Fureruv algoritmus nevyuzıva, protoze zacına bytrychlejsı nez Schonhageuv–Strassenuv algoritmus az pro astronomicky velka cısla. Po-dobne je to s algoritmem autoru De, Saha, Kurur a Saptharishi z roku 2008.

Zajemce si dohleda podrobnosti na internetu a v knize Donalda E. Knutha [6]. Pozna-menejme, ze jde o jednu z nejrespektovanejsıch publikacı v oboru programovanı. Donald E.Knuth je prukopnıkem oboru matematicke algoritmicke analyzy a vyznamnou osobnostıv mnoha dalsıch oborech teoreticke pocıtacove vedy.

Karacubovo nasobenı

Karacubovo nasobenı vyvratilo domnenku, ze slozitost nasobenı dvou prirozenych cısels binarnım rozvojem delky n je O(n2). Tento nazor razil jeste v roce 1960 na seminarimoskevske univerzity zakladatel teorie slozitosti algoritmu Andrej N. Kolmogorov. Se-minare se ucastnil i jeho student Anatolij A. Karacuba, ktery navrhl duvtipny algoritmuss nizsı slozitostı [4, 3]. Popıseme algoritmus, ktery je zalozen na stejne myslence jakopuvodnı Karacubuv, ale je jeste trochu jednodussı. Chceme nasobit dve 2n-bitova cıslaU s binarnım zapisem u2n−1 . . . u1u0 a V s binarnım zapisem v2n−1 . . . v1v0. ZapısemeU, V nasledujıcım zpusobem U = 2nU1 + U0 a V = 2nV1 + V0. Platı tedy, ze U1 mabinarnı zapis u2n−1 . . . un a U0 ma zapis un−1 . . . u1u0, podobne V1 ma binarnı zapisv2n−1 . . . vn a V0 ma zapis vn−1 . . . v1v0. Nasledujıcı formule redukuje problem na 3 nasobenın-bitovych cısel, nekolik scıtanı, resp. odecıtanı a posouvanı binarnı carky: U × V =(22n + 2n)U1V1 + 2n(U1 − U0)(V0 − V1) + (2n + 1)U0V0. Ilustrujme Karacubuv algoritmuspro U × V , kde U = 210 a V = 119. Binarnı zapis U je 11010010 a binarnı zapis V je01110111.

210 = U = 24U1 + U0 = 24 · 13 + 2,

119 = V = 24V1 + V0 = 24 · 7 + 7,

kde U1 = 13 ma binarnı zapis 1101 a U0 = 2 ma binarnı zapis 0010, V1 = V0 = 7 majızapis 0111.

22

Nynı urcıme 3 souciny nejvyse 4-bitovych cısel: U1V1, (U1 − U0)(V0 − V1), U0V0. Vtomto konkretnım prıpade je V0 = V1, a tedy prostrednı soucin je nulovy.

U1V1 :

1 1 0 11 1 1

1 1 0 11 1 0 1

1 1 0 11 0 1 1 0 1 1

U0V0 :1 1 1

1 01 1 1 0

Na zaver zbyva provest nasobenı 28 a 24, coz znamena pridanı osmi, resp. ctyr nul nakonec zapisu cısla, a scıtanı.

U × V = 28U1V1 + 24U1V1 + 24U0V0 + U0V0.

U × V :

1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 01 1 1 0

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Po konverzi do desıtkove soustavy mame spravny vysledek

210× 119 = 214 + 213 + 28 + 27 + 24 + 23 + 22 + 21 = 24990.

Nenı tezke dokazat, ze slozitost Karacubova nasobenı je O(nlog2 3). Cıslo log2 3 je pribliznerovno 1, 585, coz je cıslo mensı nez 2, a tedy jde skutecne o rychle nasobenı podle nası de-finice. Adaptacı na desıtkovou soustavu lze prevest nasobenı 8-mıstnych cısel na nasobenıcısel 4-mıstnych, ktere uz dobrı poctari zvladnou zpameti. Nezda se vsak, ze by tako-vou metodu pouzıvali

”zazracnı poctari“, kterı v minulosti bavili obecenstvo nasobenım

obrovskych cısel zpameti.

Schonhageovo nasobenı v modularnı aritmetice

Schonhageovo nasobenı v modularnı aritmetice sice nenı rychlejsı nez Karacubuv algorit-mus, ale je zalozeno na odlisnych myslenkach a na neobvykle reprezentaci cısel, takze jerozhodne zajımave do jeho taju proniknout.

Jeho zakladnım stavebnım kamenem je modularnı aritmetika, u jejıhoz zrodu stalicestı vedci Antonın Svoboda (tvurce prvnıho ceskoslovenskeho pocıtace SAPO a velmivyznamny prukopnık informatiky nejen u nas) a Miroslav Valach. Nezavisle na nich priselse stejnou myslenkou take L. H. Garner.

Modularnı zapis

Dosud jsme se seznamili jen se zapisy prirozenych cısel v pozicnıch soustavach s prirozenoubazı (prıpadne jsme pripustili zaporne cifry). Nynı prijde naprosto odlisny zapis prirozenychcısel. Necht’ jsou dana prirozena cıslam1,m2, . . . ,mr. Pak modularnım zapisem nezapornehoceleho cısla U nazveme (u1, u2, . . . , ur), kde ui je rovno U mod mi pro kazde i od 1 dor. Pripomenme, ze mod k znamena zbytek po celocıselnem delenı cıslem k a nabyvahodnot od 0 do k − 1. Naprıklad 13 = 3 · 4 + 1, a tedy 13 mod 4 = 1. Ukazme si naprıkladu takovou modularnı reprezentaci.

23

Necht’ U = 26, r = 3 a m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5. Pak

u1 = 26 mod 2 = 0,

u2 = 26 mod 3 = 2,

u3 = 26 mod 5 = 1.

Proto (0, 2, 1) je modularnım zapisem cısla 26.Aby takovy zapis mel smysl, melo by byt mozne puvodnı cıslo ze znalosti modularnı

reprezentace zrekonstruovat. To bez dodatecnych podmınek mozne nenı. Vsimneme si, zecısla 56 a 26 majı stejny modularnı zapis (0, 2, 1). Nastestı platı nasledujıcı znama Cınskazbytkova veta: Necht’ a, u1, u2, . . . , ur jsou nezaporna cela cısla a necht’ m1,m2, . . . ,mr

jsou prirozena po dvou nesoudelna cısla. Pak existuje prave jedno U , ktere splnuje:

1. a ≤ U < a+m = a+m1 ·m2 · · · · ·mr,

2. (u1, u2, . . . , ur) je modularnı reprezentace U .

Z teto vety plyne, ze kdyz se omezıme na cısla od 0 do 2 · 3 · 5 = 30, pak mezi nimi pravejen cıslo 26 ma modularnı reprezentaci (0, 2, 1).

Modularnı aritmetika

V modularnı aritmetice je mozne paralelizovat scıtanı a nasobenı. 1 Platı totiz, ze pokudU a V jsou prirozena cısla s modularnımi reprezentacemi (u1, u2, . . . , ur) a (v1, v2, . . . , vr)a obe lezı mezi 0 a m = m1 ·m2 · · · · ·mr, pak U +V ma modularnı reprezentaci ((u1 + v1)mod m1, (u2 + v2) mod m2, . . . , (ur + vr) mod mr), U × V ma modularnı reprezentaci((u1 ·v1) mod m1, (u2 ·v2) mod m2, . . . , (ur ·vr) mod mr). Nevyhodou je, ze nepozname,zda vysledek operace nevypadl z intervalu 0 az m. Navıc pri pohledu na modularnı re-prezentace nepozname, ktere z cısel je vetsı. Proto potrebujeme rychlou konverzi, kteracıslum prirazuje modularnı zapis a zejmena z modularnıho zapisu rychle vyrabı zpet re-prezentovana cısla.

Binarnı modularnı aritmetika

Jak uvidıme, takovou rychlou konverzi poskytuje vhodna volba modul m1,m2, . . . ,mr.Nasledujıcı napad se zrodil v hlave A. S. Fraenkela. Volme modula mi = 2ei − 1, kdee1 < e2 < · · · < er jsou po dvou nesoudelna. Nesoudelnost takovych modulı je zarucenanasledujıcı vetou: Necht’ e, f jsou prirozena cısla. Pak 2e − 1 a 2f − 1 jsou nesoudelna,prave kdyz e a f jsou nesoudelna.

Konverze U na (u1, u2, . . . , ur)

Zapisme U ve tvaru U = atAt + at−1A

t−1 + · · · + a1A + a0, kde A = 2ei . Uvedomme si,ze binarnı zapis a0 zıskame tak, ze vezmeme poslednıch ei bitu v binarnım zapisu U , prozıskanı a1 vezmeme predposlednıch ei bitu atd. Vlastne jen nasekame binarnı zapis U odkonce po ei bitech. Protoze A = 1 mod (2ei − 1), dostaneme ui = (at + at−1 + · · · + a0)

1To znamena, ze mame-li k dispozici dostatek pocıtacovych jednotek, muzeme vypocty provadet prokazdou pozici modularnı reprezentace na jedne z techto jednotek, aniz bychom potrebovali informaci odostatnıch jednotek. Uvedomte si, ze toto u klasickeho scıtanı a nasobenı nejde, dochazı totiz k prenosu.

24

mod (2ei − 1). V desıtkove soustave mame analogii - tzv. casting out nines - vyloucenıdevıtek. Naprıklad 789 mod 9 = 7 + 8 + 9 mod 9 = 6, coz skutecne platı, protoze789 = 87 · 9 + 6. Ilustrujme tento algoritmus opet na prıkladu.

Necht’ U = 437, r = 3 a m1 = 22 − 1 = 3, m2 = 23 − 1 = 7, m3 = 25 − 1 = 31.Zrejme tedy e1 = 2, e2 = 3, e3 = 5. Snadno overıte, ze binarnı zapis U je 110110101.

1. Pro zıskanı u1 rozsekame binarnı zapis U po blocıch delky 2 (musıme jej vpredudoplnit nulou, aby mel sudou delku), tj. 01, 10, 11, 01, 01. To znamena, ze a4 =1, a3 = 2, a2 = 3, a1 = 1, a0 = 1. Dostavame, ze u1 = 1+2+3+1+1 mod 3 = 2.

2. Pro zıskanı u2 rozsekame binarnı zapis U po blocıch delky 3, tj. 110, 110, 101. Toznamena, ze a2 = 6, a1 = 6, a0 = 5. Dostavame, ze u2 = 6 + 6 + 5 mod 7 = 3.

3. Pro zıskanı u3 rozsekame binarnı zapis U po blocıch delky 5 (musıme jej vpredudoplnit nulou, aby mel delku 10), tj. 01101, 10101. To znamena, ze a1 = 13, a0 = 21.Dostavame, ze u3 = 13 + 21 mod 31 = 3.

Modularnı reprezentace 437 je tedy (2, 3, 3).(Samozrejme, ze pocıtac scıta binarnı, nikoliv desıtkove, zapisy cısel at, at−1, . . . , a0.)

Konverze (u1, u2, . . . , ur) na U

Je o neco slozitejsı. Probıha ve dvou krocıch: Nejprve je treba najıt r(r − 1)/2 konstantcij, kde indexy i, j nabyvajı hodnot od 1 do r, i < j a platı cijmi = 1 mod mj. K tomuvyuzijeme nasledujıcı algoritmus.

Pokud b · ei mod ej = 1, pak

(1 + 2ei + 22ei + · · ·+ 2(b−1)ei)︸ ︷︷ ︸cij

(2ei − 1)︸ ︷︷ ︸mi

= 1 mod (2ej − 1)︸ ︷︷ ︸mj

.

Pote polozıme U = vrmr−1 . . .m2m1 + · · ·+ v3m2m1 + v2m1 + v1, kde

v1 = u1 mod m1

v2 = (u2 − v1)c12 mod m2

v3 = ((u3 − v1)c13 − v2)c23 mod m3...

......

vr = (((ur − v1)c1r − v2)c2r − . . . )c(r−1)r mod mr

Snadno se presvedcıme, ze takto spoctene U splnuje:

1. U je nezaporne cıslo mensı nez m,

2. U mod mi = ui pro kazde i od 1 do r.

Ilustrujme i tento algoritmus na prıkladu.Necht’ jsou dana modula m1 = 22 − 1 = 3, m2 = 23 − 1 = 7, m3 = 25 − 1 = 31.

Hledame U s modularnı reprezentacı (2, 3, 3) takove, ze 0 ≤ U < 3 · 7 · 31 = 651.

1. Nejprve najdeme konstanty c12, c13, c23 takove, ze

(a) c12 · 3 = 1 mod 7,

(b) c13 · 3 = 1 mod 31,

25

(c) c23 · 7 = 1 mod 31.

K tomu potrebujeme urcit b ∈ N splnujıcı:

(a) b · 2 mod 3 = 1 ⇒ b = 2,

(b) b · 2 mod 5 = 1 ⇒ b = 3,

(c) b · 3 mod 5 = 1 ⇒ b = 2.

Z algoritmu pro vypocet cij pak vıme, ze

c12 = 1 + 22 = 5, c13 = 1 + 22 + 24 = 21, c23 = 1 + 23 = 9.

2. Odtud jiz snadno spocteme

v1 = 2 mod 3 = 2, v2 = (3−2)5 mod 7 = 5, v3 = ((3−2)21−5)9 mod 31 = 20.

A na zaver U = 20 · 7 · 3 + 5 · 3 + 2 = 437.

Schonhageovo nasobenı

Nynı mame vse pripraveno k tomu, abychom pochopili fungovanı algoritmu, ktery ArnoldSchonhage v roce 1966 navrhl. Nejprve si vsimneme, jak sikovne volı 6 modulı, kterabudou v jeho algoritmu vystupovat.

m1 = 26qk−1 − 1m2 = 26qk+1 − 1m3 = 26qk+2 − 1m4 = 26qk+3 − 1m5 = 26qk+5 − 1m6 = 26qk+7 − 1.

Pro posloupnost q0 = 1 a qk = 3qk−1 − 1, tj. qk = (3k + 1)/2 pro kazde k prirozene,jsou modula po dvou nesoudelna. Navıc platı, ze pri nasobenı pk = (18qk + 8)-bitovychcısel nedojde k pretecenı, tj. zustaneme mezi 0 a m = m1 · m2 · · · · · m6, protoze m jevetsı nez 22pk . Ted’ jiz samotny Schonhageuv algoritmus. Chceme nasobit prirozena cıslaU a V , oznacme W = U × V . Najdeme nejmensı pk tak, ze nasobena cısla jsou nejvysepk-bitova. K pk najdeme prıslusna modula.

1. Spocti u1 = U mod m1, . . . , u6 = U mod m6, v1 = V mod m1, . . . , v6 = V mod m6.

2. Vynasob u1v1, . . . , u6v6.

3. Spocti w1 = u1v1 mod m1, . . . , w6 = u6v6 mod m6.

4. Najdi 0 ≤ W < m takove, ze W = w1 mod m1, . . . ,W = w6 mod m6.

Vsimneme si, ze kazde z cısel ui, vi ma maximalne 6qk +7 = 18qk−1+1 < pk−1 bitu, a tedyze algoritmus prevadı ulohu nasobit pk-bitova cısla na nasobenı pk−1-bitovych cısel. To jepodobna myslenka jako v Karacubove nasobenı vedoucı ke snızenı slozitosti. Tentokrat jemozne - i kdyz pracne - dokazat, ze slozitost Schonhageova nasobenı je O(nlog3 6). Jelikozlog3 6 je priblizne 1, 63 < 2, jde opet o rychle nasobenı, tj. se slozitostı mensı nez O(n2).

26

Kapitola 3

Delenı

3.1 Delenı s tuzkou a papırem

3.1.1 Egyptske delenı

Je stejne jako egyptske nasobenı zalozene na binarnım zapisu, tentokrat ale podılu.Delıme-li napr. cıslo 187 cıslem 24, zacneme vytvorenım tabulky. V levem sloupci vy-pisujeme mocniny dvojky a v pravem jim nalezejıcı hodnoty vznikle zdvojovanım delitele,nez najdeme cıslo nejblizsı k delenci, ktere je zaroven mensı nez delenec. V nasem prıpadeje to cıslo 96. Dal navıc v tabulce vypisujeme prevracene hodnoty mocnin dvojky a jimnalezejıcı hodnoty delitele.

Nynı se dıvame na nejblizsı nasobek delitele k cıslu 187 a odecteme ho od nej. Zarovenmocninu dvojky jemu nalezejıcı vyznacıme. S cıslem vzniklym odectenım postupujemestejne. Na zaver secteme vsechny zakrouzkovane nasobky dvojky a secteme je.

187 : 24

1 24 187-96=91 + zakrouzkujeme 42 48 91-48=43 + zakrouzkujeme 24 96 43-24=19 + zakrouzkujeme 1

1/2 12 19-12=7 + zakrouzkujeme 1/21/4 6 7-6=1 + zakrouzkujeme 1/41/8 3 1-0,75=0,25 + zakrouzkujeme 1/32

1/16 1, 51/32 0, 75

Nynı zakrouzkovane mocniny dvojky secteme a tım zıskame priblizny podıl:

4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/32 = 7 + 25/32.

U cısel s omezenym rozvojem nakonec cıslo zjistıme presne. U cısel s neomezenymrozvojem ho muzeme jen upresnovat tım, ze budeme pokracovat v algoritmu. Pro pocıtanıv beznem zivote vsak zaokrouhlujeme a nepotrebujeme stoprocentne presne cıslo.

Egypt’ane si oblıbili pocıtanı s tzv. kmenovymi zlomky, coz jsou zlomky s jednickou vcitateli. Z vyse popsaneho zpusobu delenı je jasne, ze podıl zıskavali ve tvaru celeho cıslaa souctu kmenovych zlomku.

27

3.1.2 Cınske pocetnı delenı podle Sun Ziho

Tento zpusob delenı popisuje ve sve tvorbe cınky matematik Sun Zi, zijıcı okolo 400 n.l. Velmi se podoba zpusobu delenı, ktere se dnes ucıme ve skolach. Delenı, stejne jakocınske pocetnı nasobenı, je zalozeno na postupnem delenı a stalem prepisovanı jednot-livych kroku. Na ukazku budeme delit cıslo 47978 sedmi (uvadıme v cınskych a arabskychcıslicıch).

1. Zacneme zapsanım delence v jednom radku a delitele o radek nıze pod nejvyssıcifru delence. Pokud nemuzeme cifru, pod kterou mame napsaneho delitelejım delit,posuneme ho o jednu cifru vpravo. To delame, dokud nemuzeme danou skupinu ciferdelit. V nasem prıpade posuneme 7 o jedno mısto a naznacıme tım delenı 47/7 (vizobrazek 3.1 a.).

2. Celocıselne vydelıme 47/7 a vysledek napıseme o radek nad delence v urovni delitele(viz obrazek 3.1 b.).

3. Od 47 odetecme 6× 7 a delitele posuneme o dalsı cifru vpravo (viz obrazek 3.1 c.).

4. Pokracujeme delenım 59/7 a vysledek napıseme do hornıho radku za 6, pote opetzjistıme zbytek po delenı a delitele posuneme o dalsı cifru vpravo (viz obrazek 3.1d.).

5. Takto pokracujeme az do ukoncenı delenı (viz obrazek 3.1 e., f.). V nasem prıpadebylo delenı celocıselne, pokud by nebylo, zapsal by se zbytek a delenı se ukoncilo.

Obrazek 3.1: Cınske pocetnı delenı 47978 : 7.

28

3.2 Mechanicke pomucky

3.2.1 Soroban

Pri delenı na sorobanu musıme zacıt znazornenım delence a delitele. Z leve strany nejdrıveznazornıme delitele, nechame alespon 2 sloupce volne a pote znazornıme delence (vizsekce 2.3.1). Pokud tedy chceme delit naprıklad 68947 cıslem 73, mel by soroban vypadat,jak je znazorneno na obrazku 3.2.

Obrazek 3.2: Znazornenı cısel 73 a 68947 pred delenım.

Nynı jiz prejdeme k samotnemu delenı.

1. Zacneme celocıselnym delenım 68 deleno 7, coz je 9. Devıtku znazornıme na sloupcipred delencem (viz obrazek 3.3 a.).

2. Nynı vynasobıme 7 krat 9 a vysledek odecteme od 68 (viz obrazek 3.3 b.).

3. Nakonec vynasobıme 3 krat 9, tj. 27, a odecteme od 59. Odecıtame o jednu cifrunıze, nez u predesleho, protoze nynı odecıtame nasobek jednotek (viz obrazek 3.3c.).

4. Pokracujeme stejnym zpusobem dal, takze za 9 napıseme 4 a pote odecteme 7 krat4, tj. 28, od delence (viz obrazek 3.3 d.).

5. Vynasobıme 3 krat 4 a odecteme od 44 (viz obrazek 3.3 e.).

6. Nynı opakujeme tento postup, dokud se nedostaneme na cıslo, ktere uz dale nemuzemedelit, tj. na zbytek, ktery je mensı nez delitel. V nasem prıpade je vysledek 944 azbytek 35, neboli 944 a 35/73 (viz obrazek 3.3 f.).

Existuje jiste uskalı. Naprıklad pri delenı 64947 cıslem 73 bychom v 1. kroku dostali,ze 1. cifra podılu je 9, po odectenı 7×9 od 64 by zbyla jednicka, tj. v dalsım kroku bychom3× 9 odecıtali od 19 a dostali bychom zaporne cıslo! Resenı problemu ale nenı slozite. Vechvıli, kdy by vysla zaporna cifra, bychom se vratili o krok zpet a mısto 9 zvolili cıslo ojednicku mensı, tj. 8.

3.2.2 Napierovy kosti

Delenı pomocı Napierovych kostı (popsany v sekci 2.3.3) je v mnoha ohledech velmi po-dobne nasemu delenı. Pokud naprıklad chceme vydelit cıslo 256436 cıslem 47, vyberemesi z Napierovych kostı kosti nasobku ctyr a sedmi.

29

Obrazek 3.3: Delenı 68947 : 73 na sorobanu.

Obrazek 3.4: Delenı 256436 : 47 pomocı Napierovych kostı.

30

2 5 6 4 3 6 : 47 = 5456 + 4/472 3 5

2 1 4 3 61 8 8

2 6 3 62 3 5

2 8 62 8 2

4

1. Vedle tabulky si vypıseme nasobky 47.

2. Od nejvyssıch cifer vzdy odecıtame co nejvetsı nasobek 47, koeficient nasobkuzapıseme do vysledku.

3. Opakujeme tento postup, dokud se nedostaneme na cıslo mensı nez delitel. Zbytekzapıseme jako zlomek.

31

Kapitola 4

Vypocet druhe odmocniny

4.1 Vypocet druhe odmocniny s tuzkou a papırem

4.1.1 Numericky vypocet druhe odmocniny

Vypocet druhe odmocniny byl pred nekolika lety soucastı zakladnıho vzdelanı na skolach.Nynı se vsak vıce nez na svou hlavu spolehame na kalkulacku a tento jednoduchy nume-ricky vypocet zalozeny na nasobenı a odecıtanı upada v zapomnenı.

Vypocet si ukazeme na odmocnenı cısla 35217261.

1. Zacneme rozdelenım cısla na dvojice cifer.

2. Podıvame se na prvnı dvojici a premyslıme, jaka nejvetsı druha mocnina nejakehocısla se do nı vejde. V nasem prıpade je to 52.

3. 25 odecteme od 35 a cıslo 5 napıseme do mezivysledku.

4. Pokracujeme opsanım dalsı dvojice. Za toto cıslo napıseme oddelujıcı znacku : advojnasobek naseho mezivysledku.

5. Druhou cifru odmocniny hledame jako maximalnı z splnujıcı

(5z)2 = (50 + z)2 ≤ 3521,

coz zjednodusıme na tvar

100× z + z2 = 10z × z ≤ 1021.

6. V nasem prıpade je maximalnı takove z = 9. Cıslo 9 tedy napıseme za 5 do me-zivysledku a za nase cıslo po znamenku delenı.

7. Dale vynasobıme 109× 9 a odecteme od 1021.

8. Pokracujeme opet opsanım dalsı dvojice, tedy za 40 pıseme 72. Za toto cıslo napısemeoddelujıcı znacku a dvojnasobek naseho mezivysledku, tedy 118.

9. Tretı cifru odmocninu dostaneme jako maximalnı z splnujıcı

(59z)2 = (590 + z)2 ≤ 352172,

coz zjednodusıme na tvar

1180× z + z2 = 118z × z ≤ 4072.

32

10. V tomto prıpade je maximalnı z = 3. Cıslo 3 tedy napıseme za 59 do mezivysledkua za cıslo za oddelovacım znamenkem.

11. Pokracujeme stejne jako v minulych krocıch.

12. Pokud bychom chteli dostat jeste presnejsı hodnotu odmocniny, nic nam nebranıpokracovat dal. Za mezivysledek by se napsala desetinna carka a za zbytek dvenuly, tj. 490500, a pokracovali bychom analogicky dale.

3 5 2 1 7 2 6 1√

= 5 9 3 4−2 5

1 0 2 1 : 109 × 9− 9 8 1

4 0 7 2 : 1183 × 3− 3 5 4 9

5 2 3 6 1 : 11864 × 4− 4 7 4 5 6

4 9 0 5

Tento algoritmus si jeste predvedeme na vypoctu druhe odmocniny ze 3.

0 3√

= 1 , 7 3 2− 1

2 0 0 : 27 × 7− 1 8 9

1 1 0 0 : 343 × 3− 1 0 2 9

7 1 0 0 : 3462 × 2− 6 9 2 4

1 7 6

Tımto algoritmem muzeme teoreticky pokracovat az do nekonecna, pokud se jedna oodmocniny s neomezenym desetinnym rozvojem.

4.1.2 Indicky vypocet druhe odmocniny

Vetsina indickych matematickych pravidel a navodu je velmi strucna, u vypoctu odmoc-niny je vsak navod velmi kratky i na indickou uroven. Poucka podle Srıdhary znı (originalje bez doplnujıcıho textu v zavorkach):

Odecti (nejvetsı mozny) ctverec od (poslednıho) licheho mısta, vydel zbytekzdvojnasobenou (pod nejblizsı mısto) posunutou odmocninou; podıl umıstina radce (zdvojnasobene odmocniny) a po odectenı jeho ctverce zdvojnasob(podıl). Potom posun obdrzene (v radku zdvojnasobene odmocniny) cıslo ojedno mısto kupredu a del jım jako drıve. (Po opakovanı operace do konce)vezmi polovinu zdvojnasobeneho cısla. ([2], str. 119).

My si vypocet odmocniny predvedeme na vypoctu√

325142.

33

1. − | − | − |3 2 5 1 4 2

2. − | − |7 5 1 4 21 0

3. − | − |5 1 4 2

1 0 7

4. | − |2 4 2

1 1 4

5. | − |2 4 2

1 1 4

6. | − |2 4 2

1 1 4 0

1. Zacneme znazornenım lichych a sudych cısel pomocı ”−”a ”|”.

2. Hledame nejvetsı druhou mocninu mensı nez 32, v nasem prıpade to je 25. 25odecteme od 32 a zdvojnasobenou odmocninu (tedy 10) zapıseme pod zbytek hnedzkraje, v nasem prıpade pod 75.

3. Nynı 75 vydelıme 10, vysledek zapıseme za 10 a 75 nahradıme 5, tj. zbytkem podelenı.

4. Od 51 odecteme mocninu podılu, tj. 49, a samotny podıl zdvojnasobıme na 14.

5. Mezivysledek posuneme o jedno mısto doprava.

6. Delıme 24 cıslem 114, coz je 0. Nulu napıseme za 114. Nynı bychom meli opakovatbody 4. a 5., vysla nam ale nula, a tak bychom posunuli mezivysledek o dalsı mıstodoprava. Tım bychom se ale dostali za desetinnou carku, coz Indove nedelali, nybrzukoncili vypocet odmocniny vydelenım mezivysledku dvema. Vysledek: 570.

Ukoncenı vypoctu pred desetinnou carkou neznamena, ze tento postup nadale neplatı.Pokracovali bychom totoznym postupem teoreticky do nekonecna nebo do ukoncenehorozvoje, pozor pouze na desetinnou carku:

34

2 4 2 01 1 4 0

1 4 0 01 1 4 0, 2

1 4 9 61 1 4 0, 4

1 4 9 6 01 1 4 0, 4

Dostavame tedy lepsı odhad odmocniny 570, 2 atd.Vsimneme si drobneho uskalı indickeho postupu. Pri hledanı druhe cifry z (a podobne

i dalsıch cifer) odmocniny Indove nevychazı z podmınky 10z × z ≤ 751, ale ze slabsıpodmınky 10× z ≤ 75. Proto jejich postup selze napr. pri vypoctu

√324142.

1. − | − | − |3 2 4 1 4 2

2. − | − |7 4 1 4 21 0

3. − | − |4 1 4 2

1 0 7

4. | − |−8 4 2

1 1 4

Napravu ale zjedname snadno, vratıme se do predchozıho 3. kroku a mısto 7 zvolıme cısloo jednicku mensı, tedy 6.

4.1.3 Cınsky vypocet druhe odmocniny

Vypocet pro zjistenı druhe odmocniny se v Cıne podobal numerickemu vypoctu druheodmocniny. Puvodnı cınske pravidlo znı (bez doplnujıcıho textu v zavorkach):

Stanov obsah (ctverce) jako delenec. Vezmi jednu pocıtacı tycinku a jdi pres je-den (sloupec). Posun suo-te. Prvnı (vybranou cıslici odmocniny) nasob cıslemt’ien-suan, to je delitel. Rozdel (jım). Po delenı zdvojnasob delitel, to je stalydelitel. Vrat’ ho (o jeden dılek, dostanes) prıslusny (pevny) delitel. Dale vrat’

umıstenou pocıtacı tycinku o krok. (Pokracuj) jako drıve. Jednu vybranou(cifru) tım nasob. Suo-te pricti k (prıslusnemu) pevnemu deliteli jako drıve.Jednu vybranou (cifru) tım nasob. Suo-te pricti k (prıslusnemu) pevnemudeliteli a del. Dale jako drıve. ([2], str. 51)

35

Nynı si cely algoritmus predvedeme podrobneji na prıkladu√

173212. Rekneme si jeste,ze vsechny vypocty byly provadeny na tzv. pocıtacı desce (viz sekce 6.5).

fang1 7 3 2 1 2 s

fa1 0 0 0 0 t’ien− suan

4 fang1 7 3 2 1 2 s

4 0 0 0 0 fa1 0 0 0 0 t’ien− suan

4 fang1 3 2 1 2 s

8 0 0 0 fa1 0 0 t’ien− suan

4 1 fang1 3 2 1 2 s

8 1 0 0 fa1 0 0 t’ien− suan

4 1 fang5 1 1 2 s

8 2 0 fa1 t’ien− suan

4 1 6 fang5 1 1 2 s

8 2 6 fa1 t’ien− suan

4 1 6 fang1 5 6 s8 3 2 fa

1 t’ien− suan

1. Napıseme odmocnovane cıslo do radku s. Na radku t’ien − suan zaznacıme cıslo10000, kterym naznacıme nejvetsı lichou cifru delence a ktere nam pouze ukazujeaktualnı pozici ve vypoctu, jinak je k vypoctu nepotrebujeme.

2. Nynı hledame nejvetsı mozne cıslo, jehoz mocnina je mensı nebo rovna 17, coz je 4.4 napıseme do radku fang a fa na uroven t’ien− suan.

3. Dale vydelıme 173212 cıslem fa (tj. 40000) a na radek s napıseme zbytek po delenı.Nakonec fa zdvojnasobıme a posuneme o jedno mısto doprava. Posuneme t’ien −suan o dve mısta doprava.

36

4. Delıme s cıslem fa. Vysledek, tj. jednicka, napıseme do radku fa za ctyrku a doradku fang za osmicku.

5. Vydelıme s cıslem fa a zbytek po delenı napıseme do radku s. Fa posuneme ojedno mısto a t’ien − suan o dve mısta doprava. Nakonec jednicku v radku fazdvojnasobıme.

6. Postupujeme totozne podle kroku 4. a 5. S vydelıme fa a dostavame sestku. Tunapıseme do radku fang a fa.

7. Nakonec znovu vydelıme s cıslem fa a zbytek po delenı napıseme do radku fa.

8. Teoreticky bychom mohli pokracovat ve vypoctu posunutım fa o jedno mısto at’ien − suan o dve mısta doprava. To vsak Cınane nedelali a ukoncili vypocet zao-krouhlenım.

37

Kapitola 5

Scıtanı

5.1 Scıtanı s tuzkou a papırem

5.1.1 Cınske scıtanı

Pri scıtanı si Cınane nejprve poskladali obe cısla vedle sebe a pote postupne scıtali cısla odnejvyssıch cifer po nejmensı tak, ze od jednoho cısla cifry odecıtali a k druhemu je pricıtali.Scıtanı zapisovali zdola nahoru a v nejvyssım radku meli konecny vysledek. Tento postupsi predvedeme na sectenı cısel 9762 a 8423. Uvadıme ho v cınskych cıslicıch poskladanychz jednotlivych tycinek a v prepisu pomocı arabskych cıslic ([2], str. 25). Vysledek: 18185.

Obrazek 5.1: Vypocet 9762 + 8423 cınskym zpusobem.

38

5.2 Mechanicke pomucky

5.2.1 Soroban

Pokud chceme pomocı sorobanu secıst dve cısla, musıme si nejdrıve jedno z nich nasorobanu znazornit. Chceme-li secıst 4862 a 8359, znazornıme na sorobanu 4862 (vizobrazek 5.2 a.).

Obrazek 5.2: Scıtanı 4862 + 8359 na sorobanu.

Nynı chceme k 4862 pricıst cıslo 8359.

1. Pricteme 8 k 4 a zıskame 12. Na mısto 4 dame 2 a ve sloupci nalevo znazornıme 1(viz obrazek 5.2 b.).

2. Pokracujeme prictenım 3 k 8, zıskame 11. Jednu jednicku dame na mısto 8 a druhoupricteme ke dvojce ve sloupci nalevo, takze zıskame 3 (viz obrazek 5.2 c.).

3. Tımto zpusobem pokracujeme u zbylych cifer. Vysledek: 13221 (viz obrazek 5.2 d.).

Takto muzeme scıtat cısla az do 1018. Soroban je v Japonsku stale velmi oblıben a ucıse na nem pocıtat vetsina detı na zakladnıch skolach. Pouzıva jej ale i dost dospelych,kterı na nem casto pocıtajı rychleji nez na kalkulacce ([18], [16]).

5.2.2 Scıtanı na linach

Je totozne s nasım nynejsım, bezne pouzıvanym scıtanım pod sebou, pouze papır a tuzkajsou nahrazeny deskou a kameny (viz popis lin v sekci 2.3.2).

Scıtanı zahajıme znazornenım cısel v jednotlivych sloupcıch. Naprıklad secteme cısla457, 236 a 7512 (viz obrazek 5.3).

Scıtanı zacneme od jednotek. Secteme 7 + 6 + 2 = 15. Petku znazornıme v oknejednotek a jednicku si zapamatujeme (viz obrazek 5.3 a.). Pote scıtame dalsı radek, nynıdesıtek, a nezapomeneme na jednicku z predchozıho mezivysledku. Zıskame 10, druhepolıcko tedy zustane prazdne a jednicku si zapamatujeme. Tımto zpusobem pokracujemeaz k vysledku: 8205 (viz obrazek 5.3 b.).

39

Obrazek 5.3: V hornı casti je zaznacenı cısel 457, 236 a 7512 na pocetnı desce. V dolnıcasti je scıtanı 457 + 236 + 7512 na linach.

40

Kapitola 6

Uroven matematiky starych kultur

Jiz od dob, kdy clovek zacal vnımat sam sebe a zacal premyslet o tom, co je kolem nej,musel neodmyslitelne dojıt k potrebe rıci, kolik ceho je, kolik co vazı a merı. A kdyzpoprve nekdo vyskrabal na zed’ tri mamuty, jiz muzeme rıci:

”Ano, tady jsou zacatky

matematiky, tedy snahy zachytit nejakou skutecnost pomocı cısel.“Rozvoj matematiky probıhal nerovnomerne po cele Zemi. Matematika vzdy sla ruku

v ruce s pokrokem a zadna velka civilizace se bez nı neobesla. Od 6. tisıciletı pr.n.l. sena uzemı od Egypta pres Mezopotamii az po Cınu rozpada prvotne pospolna spolecnost.Vznikajı zde otrokarske spolecnosti, ktere muzeme pozdeji pozorovat v Americe u Inku,Azteku a Mayu. Tato novejsı forma vlady vznikala tam, kde byly lepsı klimaticke aprırodnı podmınky, tedy tam, kde je moznost produkce vıce jıdla nez pro zemedelce sa-motne. Remeslna vyroba se oddeluje od zemedelstvı, puda je rozdelovana do soukromehovlastnictvı, obchod stoupa na dulezitosti. Cela spolecnost se stava od tohoto obdobızavisla na matematice a na cım dal slozitejsıch vypoctech. Musı se prece vedet, kolikje treba odvest na danıch, kolik co stojı a kolik si ceho kupuji nebo mam.

6.1 Pozicnı a nepozicnı soustavy

V cele praci byly pouzıvany vsechny zapisy vypoctu v desıtkove pozicnı soustave, tj.v nami nejpouzıvanejsı soustave. Malokdo si dnes pripustı praci ci vubec existenci jinesoustavy nez nası desıtkove pozicnı nebo prinejhorsım dvojkove pouzıvane ve vypocetnıtechnice.

Prave nepripoustenı si jine soustavy souvisı s nası vyukou, ve ktere se o jinych sou-stavach nic nedozvıdame. Trvalo ale dlouhou, casto prerusovanou dobu, nez nase cıselnasoustava spatrila svetlo sveta.

V nepozicnıch soustavach musel existovat specialnı znak pro kazdou mocninu desıti,tedy za predpokladu, ze byla vyuzıvana desıtkova soustava. Pouzıvaly se naprıklad ictyrkove, petkove nebo sedesatkove soustavy. V techto soustavach take chybel symbolpro nulu, jednotliva cısla pak vznikala kladenım jednotlivych symbolu za sebe, aniz bybylo nutne dbat na jejich vzajemne poradı.

Zakladnım predpokladem pro pozicnı soustavy byl objev nuly. K tomu dochazı kolemroku 628 indickym ucencem Brahmaguptou. S pozicnı nulou ma v zapisu cısla kazdacıslice specificke postavenı k ostatnım cıslicım, protoze na pozici cıslice zavisı jejı nasobeks mocninami desıtek, tj. jedna cifra znamena jednotky (tedy cifra × 100), dalsı v poradıdesıtky (cifra ×101), dalsı tisıce (cifra ×102), atd. Pokud nektera mocnina chybı, vyplnıse jejı mısto v zapisu nulou. Pozicnı zapis cısel ma obrovskou vyhodu: stacı nam deset

41

symbolu (vcetne nuly) pro zapis libovolne velkeho cısla a prace v teto soustave je mnohemsnazsı nez v nepozicnıch soustavach.

6.2 Egypt

Pyramidy, postavene jiz okolo let 3600-2700 pr.n.l., jsou pomnıky a nespornymi dukazyurovne egyptske matematiky. Ke stavbe takovych objektu bylo zapotrebı poctu s

”velkymi“

cısly a jednodussıch geometrickych operacı. V Egypte se tyto znalosti vyuzıvaly take pristavbe zavlazovacıch kanalu, mest, prehrad a vodnıch nadrzı. Take bylo treba scıtat oby-vatelstvo, polnosti a veskery majetek, protoze zde existovala centralizovana vlada podzastitou faraona, ktere se odvadely dane. Velkou roli hral take presny kalendar, podlektereho se urcovalo obdobı rozvodnovanı Nilu.

Obrazek 6.1: Symbolicky zapis cısla 21623.

Egypt’ane jiz znali nepozicnı desıtkovou cıselnou soustavu. Meli specialnı symbol procıslo 1 a pro mocniny 10 az po 107 (napr. milion se znacil symbolem praboha Hh, kterynese oblohu nad zemı). Ostatnı cısla se znacila opakovanım znaku pro mocniny desetia jejich kladenım za sebe. Egypt’ane psali zprava doleva, stejne symboly kladli za sebemaximalne ctyri, pote udelali mezeru.

Ucenci Egypta byli pısari, kterı zastavali vetsinu dulezitych svetskych funkcı. Praveproto to bylo jedno z nejlukrativnejsıch zamestnanı.

Naucenı Chetiho

Pısarskemu umenı se venuj s laskou! Vez, ze nenı nad pısarske umenı. Pısarskeumenı musıs milovat vıc nez svou matku. Pred tvym pohledem bude krasa.Toto umenı je vetsı nez kazdy jiny urad a v zemi nema obdoby.

Vez, kazde povolanı ma predstaveneho. Jen pısar je predstaveny sam sobe.

Vez, ze nenı pısare, kteremu by se nedostavalo jıdla, statku z kralovskehodomu, zivota, blahobytu, zdravı ... Jeho otec a matka velebı boha, ze ho po-stavil na cestu zivota ([1], str. 171).

Egypt’ane jiste znali zakladnı ctyri aritmeticke operace, ktere si ulehcovali skladanımkamınku. Krome toho byli zbehlı v pocıtanı se zlomky. Jejich rozvoj si vynutila potrebapocıtanı kalendare. Mesıc rozdelili na tricet tricetin - dnu. Slozitejsı zlomky skladali ztzv. kmenovych zlomku (zlomku s citatelem rovnym jedne), z nichz nejstarsı byly zlomky1/2, 1/4, 1/8, 1/16, . . . , tedy zlomky, v jejichz jmenovateli byly mocniny dvou.

Egyptska a stejne tak i vsechny ostatnı staroveke civilizace neznaly symboliku. Egypt’anesice resili mnohe ulohy podobne tem nasim, meli ale zadanı i vypocet ve slovnı podobe.V ulohach hospodarskeho charakteru se objevovaly objemy i povrchy teles a mnohe geo-metricke otazky.

Celkove byla egyptska matematika na obstojne urovni. Neexistovaly sice zadne obecnevzorce a k mnohym vysledkum se dochazelo ciste empirickou cestou, pro nejcastejsı typy

42

prıkladu ale existovaly vzory resenı. Ty by se mohly povazovat za prapuvodnı pocatkyalgebraickych metod. Egyptska matematika pouzıvala podobne vypocetnı metody jakomatematika babylonska, z cehoz lze usuzovat, ze spolu mely obe kultury styky. Pozdejimela egyptska matematika vliv na formovanı matematiky recke ([5]).

6.3 Mezopotamie

Jiz okolo 4. tisıciletı pr.n.l. se na uzemı nızin rek Eufrat a Tigris nachazely dva silne ot-rokarske staty s rozvinutym zemedelstvım a remeslnou vyrobou. Zemedelstvı se opıraloo umele zavlazovanı a o pluh. Pri vystavbe mest se pouzıvaly prıme, na sebe kolmeulice. Stupnovite chramy vzdalene pripomınaly pyramidy. Kolem 2. tisıciletı pr.n.l. bylynarody na tomto uzemı podmaneny Babylonany. Novym kulturnım, obchodnım a admi-nistrativnım centrem se stal Babylon. Administrativnı oporou Babylonu byli opet pısari,nejvetsı svetstı vzdelanci. Psali na hlinene tabulky vymackavanım jednotlivych symbolu.Pote se tabulky vysusily na slunci.

Babylonane vetsinou vyuzıvali sedesatkovou soustavu, znali ale i soustavu desıtkovou.Psali klınovym pısmem. Jednotlive znaky se casto lisily pouze velikostı symbolu ci podleokolnıch znaku. Celkove platila nejednotnost zapisu, coz nam nynı velmi ztezuje praci priprekladu tabulek s matematickymi ci astronomickymi texty.

Matematika Babylonu byla pokrocilejsı nez matematika egyptska. Dochovaly se tisıcetabulek s matematickymi texty, bohuzel je zatım prelozena jen nepatrna cast z nich.

Vıme, ze znali ctyri zakladnı aritmeticke operace, resili kvadraticke rovnice, vyuzıvalizlomky. Pro zlomky meli specialnı pomocne tabulky se zakladnımi nasobky zlomku. Pravepri poctech se zlomky davali prednost soustave sedesatkove. Taktez se pocıtalo s procentya dochovaly se tabulky s prıklady, ktere bychom nynı resili pomocı algoritmu, Babylonaneje ale nejspıse neznali a resili je postupnym zkousenım a priblizovanım se k vysledku.

Zpocatku se zdalo, ze geometrie nebyla v Mezopotamii na vysoke urovni. To se vsakzmenilo v roce 1939, kdy byly v Suzach objeveny nove klınopisne tabulky. Z nich sedozvıdame, ze geometrie v Babylonu rozvinuta byla. Pocıtaly se polomery opsanych avepsanych kruznic, naprıklad do trojuhelnıku. Hodnota π byla urcena jako 3 + 7/60 +30/602 = 3, 125 (tj. s odchylkou mensı nez 1, 7%)

Mezi matematikou Egypta a Babylonu muzeme najıt mnoho spolecneho ze dvouduvodu. Prvnım je, jak jiz jsme zminovali, ze spolu byly nejspıse obe zeme v kontaktu,druhym je podobna forma vlady, ktera pozadovala resenı stejnych uloh - tvorba kalendare,vymerovanı pozemku, danı apod. Da se take predpokladat, ze mnohe matematicke prin-cipy Babylonu a Egypta prevzali i Indove a Rekove, mozna i Cınane, pozdeji pak Arabovea Evropane ([5]).

6.4 Idianske kmeny Ameriky

Populace na americkem kontinentu byla dlouho oddelena od vyvoje Asie a Evropy. Prvnıotrokarske staty zde vznikajı az na pocatku naseho letopoctu. Nejvetsıho rozkvetu pakdosahly okolo 4.-6. stol. n.l. Vladu rısı drzeli ve svych rukou veleknezı.

Mayove jiz od 4. stol. pr. n. l. pouzıvajı pozicnı cıselnou soustavu se znaky pro cısla0− 19 a se zakladem 20. Cısla psali jako ostatnı text do sloupcu.

43

Obrazek 6.2: Mayska cıselna soustava.

Vetsina matematickych textu Mayu se nedochovala v dusledku kolonizace Spanely,kterı spalili vsechny puvodnı spisy. Muzeme se ale domnıvat, ze matematika byla navysoke urovni. Pocıtali velmi presne kalendar. Rok byl tvoren z 18 × 20 = 360 dnı a5 zaverecnych dnı. Rozdıl pote dorovnavali prestupnymi roky jako dnes my. Znali takemnoha souhvezdı, Polarku, pocıtali budoucı zatmenı slunce, velmi presne popsali pohybyVenuse ([5]).

Aztekove a Inkove na uzemı Mexika a Peru meli podobne znalosti matematiky jakoMayove. Aztekove vyuzıvali dvacıtkovou nepozicnı soustavu.

Obrazek 6.3: Aztecka cıselna soustava.

44

Inkove meli uzlove pısmo zvane”kipu“. Tım zapisovali jak kalendar, tak i ucetnictvı

a dane.Po Aztecıch a Incıch se dochovaly pouze hmotne pamatky, pozoruhodna architektura,

zavlazovacı systemy, silnice. Spanele pocatkem 16. stoletı znicili vse, co se dalo.

6.5 Cına

Prvnı zmınky o cınske matematice tykajıcı se predevsım sestavovanı kalendare mameuz z obdobı kolem poloviny 2. tisıciletı pr. n. l. Jiz v tomto obdobı bylo hlavnı obzivouobyvatelstva zemedelstvı a s nım spojena potreba kalendare. Vypocty pri tvorbe kalendarudokazujı dobre aritmeticke znalosti Cınanu, presto nemame zadne hmatatelne dukazy ovyvoji matematiky temer do pocatku naseho letopoctu. Prvnı dochovane dılo Matematikav devıti kapitolach jiz obsahuje souhrn mnoha znalostı.

Kolem roku 800 n. l. za vlady dynastie Tchang byla Cına nejvetsı rısı. Astronomickapozorovanı v te dobe dosahujı vysoke presnosti. Naprıklad obeh planety Saturn kolemSlunce byl urcen na 28,51 let, coz je jen o 0,05 roku vetsı hodnota nez skutecna. V 7.stoletı byl vynalezen knihtisk a ve stejnem stoletı je take zahajena stavba velkeho kanaluspojujıcıho sever zeme s jihem. Tento kanal byl dokoncen az v 18. stol. v delce 1700km. Vyucovanı matematiky se v Cıne prikladal velky vyznam. Jiz od 10 stol. pr. n. l.se vyucovala matematika u detı od 6 let. Obtızne matematicke vzdelanı a s nım spojenestatnı zkousky zıskaly na vaznosti od 5. stol. n. l.

Od 10. stol. pr. n. l. se objevujı cıslice na keramickych a bronzovych predmetech cina mincıch. Jiz v teto dobe se pouzıva desıtkova pozicnı soustava. Cıslice znamenajıcıhodnotu jednotek byly psany svisle, desıtky pote horizontalne. Cifry stovek se psaly jakocifry jednotek a cifry tisıcu opet jako cifry desıtek.

Obrazek 6.4: Cınska cıselna soustava.

45

Matematicke ukony Cınane vetsinou zaznamenavali kladenım tycinek na pocıtacı desku.Tycinky byly velke do 15 centimetru, vyrabely se ze dreva, kovu ci slonoviny. Cınske cıslicemajı puvod prave v kladenı tycinek. Pocıtacı deska nebyla nicım vyjimecna, jednalo sepouze o dostatecne velkou rovnou plochu.

Znalost male nasobilky se stala soucastı zakladnıho matematickeho vzdelanı. Bylaobjevena rada tabulek, ktere obsahovaly jednotlive souciny. V Cıne take bylo hojnevyuzıvano kulickove pocıtadlo suan-pchan podobne evropskemu abaku, ktere nejspıseposlouzilo za predlohu japonskemu sorobanu. Prave obliba pocıtadla nejspıse zaprıcinilapozdnı zavedenı znaku pro nulu, ktera se poprve objevuje az ve 13. stoletı.

Cınska matematika na prelomu tisıciletı jiz pocıtala celou radu uloh. V knize Matema-tika v devıti kapitolach nalezame ulohy s pomery, linearnımi rovnicemi a jejich soustavami,zlomky, vypocty objemu a obsahu ([2], od str. 18).

6.6 Staroveka Indie

Jiz ve 3. tisıciletı pr.n.l. nachazıme v okolı Indu pamatky o rozvinute spolecnosti. Vblızkosti vrchoviny Mohendzo-daro se nachazelo na svou dobu prekvapive velke a dobreresene mesto. Kolme ulice, kanalizace, zavlazovacı systemy, to vse nasvedcuje tomu, zetehedejsı spolecnost mela dobre znalosti matematiky a nejspıse i astronomie. Bohuzel sevsak zadne matematicke texty nenasly a objevene piktograficke napisy na predmetechnejsou doposud vylusteny.

Cele mesto bylo z nam neznamych duvodu opusteno kolem poloviny 2. tisıciletı pr.n.l. ana uvolnena uzemı prichazı kmeny arijcu (v jejich jazyce

”urozenı“). Pocatkem 1. tisıciletı

pr.n.l. bylo hlavnı obzivou obyvatel zemedelstvı s cımz souvisı vystavba zavlazovacıchsystemu a astronomie pro urcenı kazdorocne se opakujıcıch zaplav. O stoletı pozdejinachazıme prvnı zmınky o stycıch s Asyriı a Babyloniı. Pozdeji pak kolem 6. stoletı pr.n.l.i s rychle se rozvıjejıcı antickou Evropou.

Kolem 1. stoletı pr. n. l. se indictı vyslanci dostavajı do Rıma a Cıny, v teto dobese take nejspıse dostava buddhismus z Indie do Cıny. Nejvetsı rozkvet vedy nastava od4. stoletı, kdy jiz fungujı v nekolika mestech univerzity a rada nizsıch skol. Vznika celarada anstronimickych del, ktere se castecne zminujı i o matematickych vypoctech. Mimoto jsou proslule skoly humanitnıch ved, teologie, filozofie i prırodnıch ved.

Matematika mela v Indii vzdy velkou vaznost, dokonce se ji podle povestı zacal ucitBuddha v osmi letech. Dochoval se nam dokonce chvalozpev na matematiku z 9. stoletıod

”barda“ Mahavıra.

Matematicke texty nalezame priblizne od 6. stoletı. n.l. Krome zakladnıch operacıbezne pouzıvali zlomky, znaly vypocet druhe odmocniny a priblizny vypocet tretı odmoc-niny. Take se resily ruzne druhy rovnic, jejichz zadanı vetsinou vychazelo z geometrickychuloh. Naprıklad byla znama i Pythagorova veta.

Nejvetsım prınosem indicke matematiky nejspıse bylo zavedenı desıtkove pozicnı sou-stavy a jejı pozdejsı rozsırenı do sveta. Jiz od 2. stoletı pr.n.l. existovaly specialnı symbolypro cıslice 1− 9. Prozatım ale stale existovaly specialnı symboly pro cısla 10, 20, 30, 40 . . .a cısla se vetsinou tvorila souctem jednotlivych cısel napsanych za sebou (stejne jako vrımskem zapisu cısel). V tomto obdobı vedle sebe existovalo nekolik typu zapisu cısel,ve kterych byla velka nesourodost, cemuz napomahalo i castecne prolınanı jednotlivychzapisu. Naprıklad ze zapisu indickych cıslic kharosthı (nepozicnı desıtkova soustava) si lzeuvedomit, ze puvodnı cıselne soustavy v Indii musely byt ctverkove.

46

Obrazek 6.5: Indicka cıselna soustava kharosthı.

Kolem 6. stoletı n.l. se objevujı prvnı zapisy nuly v matematickych textech, coz jejeden z nejdulezitejsıch okamziku ve vyvoji matematiky, protoze objevenı nuly prımovede k pozicnım soustavam. Ta se v Indii objevuje kolem 9. stoletı, kdy dochazı k dovrsenıvyvoje desıtkove pozicnı soustavy.

6.7 Arabsky svet

S rozpadem Rımske rıse a nastupem nove, netolerantnı krest’anske vıry hledajı rectı irımstı ucenci azyl mimo Evropu. Ten nejdrıve nachazejı v Byzantske rısi, ovsem i zdecasem posiluje krest’ansntvı a nepratelstvı proti jinym vıram a myslenkovym proudum.V roce 529 nechava byzantsky cısar Justinian zavrıt athenskou skolu platoniku, kterınachazejı azyl v rychle se rozvıjejıcı Arabske rısi.

Do 8. stoletı n.l. Arabove ovladli Malou Asii, Kavkaz, Strednı Asii, Severnı Afrikua Pyrenejsky poloostrov. Ke konci 8. stoletı se mnoho evropskych, ale i indickych cibabylonskych ucencu soustred’uje do Bagdadu. Prave na znalostech techto zahranicnıchucencu se tvorı zaklady a dalsı rozvoj arabske vedy. V Bagdadu se zaklada velka knihovnaobsahujıcı opisy del az z Byzance, kam byla pod zastitou chalıfa poslana skupina pısaru.V dobe nejvetsıho rozkvetu obsahovala okolo 400 000 svazku. Ve meste take existovalacela rada mensıch knihoven a kniznıch obchodu.

Zatımco Evropa prozıvala dobu temna, arabsky svet prohluboval vedomosti ve vsechrovinach. Nejinak tomu bylo i u matematiky. Je ironiı, ze mnoho del se dostalo do arabskerıse po prekladu z rectiny ci latiny a znovu se do Evropy vracı jako preklady z arabstinydo latiny.

Dlouhou dobu byla vyuzıvana sedesatkova soustava, ktera se zde udrzela az do 9. sto-letı. Prvnı dılo, ktere popisovalo desıtkovou soustavu a operace v nı, byl Al-Chwarizmıhoaritmeticky traktat. Ten se bohuzel dochoval pouze v neuplnem latinskem prekladu z po-loviny 12. stoletı. Prepis take obsahuje mnohe chyby a nove cıslice jsou proste vynechany.Spis je ulozen v univerzitnı knihovne v Cambridge, a ackoli nenı pojmenovan, dıky

”Ka-

talogu ved“, soupisu knih nekdejsı bagdadske knihovny, se podarilo najıt puvodnı nazevknihy - Kniha o scıtanı a odecıtanı podle indickeho zpusobu. Z tohoto nazvu je zrejme, zepredlohou arabske desıtkove soustavy byla cıselna soustava indicka.

Arabske matematice se jiz pred 1. tisıciletım n.l. podarilo neco do te doby nevıdaneho.Dıky sve otevrenosti ucencum a vedenı bez rozdılu vıry nebo puvodu se zde poprve zadobu existence lidstva propojilo vedenı celeho tehdy znameho sveta a pozdeji poslouzilajako pokladnice vedomostı pro nadchazejıcı zlaty vek objevu a rozvoje Evropy ([2], odstr. 177).

47

Kapitola 7

Vyznamnı matematikove

7.1 Al-Chwarizmı

Al-Chwarizmı byl matematik arabskeho puvodu zijıcı okolo let 780–850. Na obrazku 7.1je znamka vydana v SSSR u prılezitosti 1200. vyrocı narozenı Al-Chwarizmıho, ackolivdatum narozenı ani umrtı nenı presne znamo.

Obrazek 7.1: Al-Chwarizmı na ruske znamce.

Z jeho dıla se dochovalo pet castecne prepracovanych opisu, ktere jsou venovany al-gebre, astronomii, geografii a vypoctum kalendare. Jeho prace v oblasti aritmetiky a alge-bry mely velky vliv na dalsı rozvoj matematiky. Casti jeho prace byly pozdeji prebıranya komentovany v pracıch nasledujıcıch desıtek generacı.

Al-Chwarizmıho aritmeticky traktat je prvnı znamou arabskou pracı, v nız je vylozenaindicka desıtkova pozicnı soustava a objasneny matematicke ukony v teto soustave. Tatojeho prace se dochovala pouze v jedinem latinskem prekladu z poloviny 13. stoletı, kteryvsak nenı plne dokonceny a zacına slovy:

”Algorizmi pravil...“. Prave z teto zkomole-

niny Al-Chwarizmıho jmena pochazı slovo algoritmus. Z Al-Chwarizmıho algebraickehotraktatu zase pochazı slovo al-dzebr, v nemz ma puvod dnesnı termın algebra, ktereoznacovalo sectenı dvou rovnic s cılem zbavit se nezname. Dalsı latinske spisy jako napr.Algorizmova kniha o praxi aritmetiky (1135–1153) nebo Kniha uvedenı Algorizma doumenı astronomickeho, sestavena mistrem A. (kolem r. 1143) se castecne odvolavajı naAl-Chwarizmıho a jeho dıla ([2]).

48

7.2 John Napier

John Napier z Merchistonu (1550–1617) byl skotsky matematik, fyzik, astronom a astro-log. Do pameti se zapsal jako vynalezce logaritmu, proto se na jeho pocest prirozenemulogaritmu (tedy logaritmu o zakladu e) rıka Napieruv logaritmus.

Obrazek 7.2: John Napier.

Jeho otec byl biskupem v Orkney a silna vıra se prenesla i na syna. Napier ovsempojal vıru po svem a na zaklade studia Zjevenı Janova, poslednı knihy Noveho zakona,predpovedel apokalypsu a dokazal, ze papez je antikrist. Odtud je jiz jen krucek k jehodalsımu zajmu - okultnım vedam (alchymii a astrologii). Nenı divu, ze byl svymi sousedypovazovan za carodeje. Traduje se historka, ze Napieruv cerny kohout umel odhalit mezisluhy zlodeje. Zrejme to ale bylo tak, ze kazdy ze sluhu byl Napierem vyzvan, aby sekohouta dotkl. A jelikoz byl kohout pomazan sazemi, meli pak nevinnı sluhove cerneruce, zatımco vinık se dotknout bal, a jeho ruce tedy zustaly ciste.

7.3 Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy (1789–1857) byl matematik francouzskeho puvodu, prukopnık ma-tematicke analyzy a Napoleonuv inzenyr. Byl silny katolık a prıvrzenec kralovske rodiny,coz ho privedlo do nekolika konfliktu po Francouzske revoluci.

Nejdrıve studoval na Ecole Centrale du Pantheon, kde se naucil hlavne latinu. Pote vroce 1804 vstoupil na skolu Ecole Polytechnique se zamerenım na stavbu mostu a cest.Jiz po dvou letech studia patril k nejlepsım studentum. Po roce 1810 byl nejdrıve povolanna stavbu Port Napoleon v Cherbourg, po padu Napoleona se stal profesorem na EcolePolytechnique. Po dalsım prevratu ve Francii roku 1830, kdy byl sesazen Karel X. a natrun usedl kral Louis Philippe, odesel Cauchy jako ucitel vnuka Karla X. do exilu a pobyvalchvıli i v Praze.

Roku 1839 se Cauchy znovu vracı do Parıze, protoze vsak neslozil prısahu nove vlade,byl sice profesorem, ale nedostaval plat. Poslednı dny dozil v rodinnem kruhu ve vesnicceSceaux blızko Parıze.

Od roku 1839 do roku 1848 vydal pres 300 odbornych statı, tj. temer jednu za tyden.Spolu s Leonhardem Eulerem, Arthurem Cayleym a Paulem Erdosem patrı mezi nej-plodnejsı autory matematickych clanku vsech dob.

49

Obrazek 7.3: Augustin Louis Cauchy.

7.4 Jakub Filip Kulik

Jelikoz je Kulikovo jmeno v dejinach ceske matematiky vyznamne, rekneme si o nemalespon par zakladnıch informacı. Jakub Filip Kulik (1793–1863) se narodil ve Lvove astudoval filozofii a prava na tamnı univerzite, brzy vsak zacal tıhnout k matematice. Vroce 1914 se prihlasil do konkurzu na mısto profesora olomouckeho lycea a tehoz roku tambyl jmenovan radnym profesorem. O dva roky pozdeji byl jmenovan profesorem fyzikyna univerzite ve Styrskem Hradci. Na teto univerzite slozil roku 1822 doktorske zkouskya o rok pozdeji byl zvolen jejım rektorem. V roce 1826 byl jmenovan profesorem vyssımatematiky na univerzite v Praze. Vedle podrobnych ucebnic vyssı analyzy a mechanikyjsou nejvyznamnejsı jeho dıla tabulkova (tabulky nasobenı, druhych a tretıch mocnin,logaritmicke, trigonometrickych a hyperbolickych funkcı a jejich logaritmu, tabulky kvypoctu obsahu valcovych a kuzelovych nadob, delitelu cısel, primitivnıch korenu). Krometoho Kulik sestavil zname Kulikovy tabulky delitelu cısel od 3 do 100 milionu, ktere bylyulozeny do knihovny Vıdenske cısarske akademie ved a na kterych Kulik pracoval dvacetlet. Poznamenejme, ze pri rucnım sestavovanı tak obsahlych tabulek se Kulik samozrejmenevyhnul chybam. Navıc v dnesnı dobe pocıtacu jeho dılo prirozene upadlo v zapomnenı.

7.5 Antonın Svoboda

Antonın Svoboda (1907–1980) byl jeden z nejvyznamejsıch novodobych ceskych mate-matiku a prukopnıku vypocetnı techniky. Narodil se v Praze jako syn profesora ceskehojazyka. Vystudoval dve vysoke skoly, nejdrıve elektrotechnicke a strojnı inzenyrstvı naCVUT, pote fyziku na Karlove Univerzite. Po obsazenı Ceskoslovenska nacisty utıka i sesvou manzelkou a kolegou Vladimırem Vandem ze zeme nejdrıve do Francie odkud se jimpozdeji po temer neuveritelnych cestach podarı vycestovat do USA.

V Americe spolupracoval na vyvoji samocinnych pocıtacu pro vojensky projekt pro-tiletadloveho zamerovacıho systemu MARK 46, ktery se pouzıval na letadlovych lodıchdalsıch 50 let.

V roce 1946 se vracı zpatky do Ceskoslovenska a vydava knihu o mechanickych pocıtacıchzarızenıch, ktera o dva roky pozdeji vychazı i v USA, kde ve stejny rok obdrzı ocenenıNaval Ordance Development Award. I proto mel v nasledujıcıch letech problematictejsı

50

pozici v komunistickem rezimu.Roku 1950 zalozil Oddelenı matematickych stroju. Pod zastitou teto instituce zacal

od roku 1951 pracovat na prvnım ceskoslovenskem samocinnem pocıtaci, zkracene SAPO,jehoz zakladnı soucastkou byla elektromagneticka rele. SAPO byl poprve slavnostne spustenv roce 1958, ale bohuzel jiz roku 1960 vyhorel.

Dalsım Svobodovym projektem byl pocıtac EPOS, Elektronkovy POcıtac Stroj. Zajımavostıje, ze EPOS pracoval v desıtkove soustave a hardwarove sdılel cas az pro pet programu.Byl spusten v roce 1960, mel pamet’ 40 tisıc slov a rychlost priblizne 35 tisıc operacı zasekundu. Nasledujıcı upravena tranzistorova verze byla spustena roku 1962. Roku 1964Svoboda opet emigroval do Ameriky, kde zustal az do sve smrti, ktera ho zastihla pripozorovanı vybuchu sopky Mount St Helen roku 1980 ([17]).

51

Kapitola 8

Zaver

Cılem prace bylo zachytit vyvoj zakladnıch aritmetickych operacı od staroveku az dodnesnıch dnu. Podarilo se nam sesbırat z nejruznejsıch zdroju bohatou skalu algoritmunasobenı, delenı, vypoctu druhe odmocniny a scıtanı. Prınos prace spocıva tedy zcasti vresersnı cinnosti - hledanı algoritmu. Jeste vetsım prınosem je ovsem srozumitelny popisalgoritmu, ktere byly v mnoha prıpadech v puvodnıch zdrojıch pouze zbezne naznacenya nikoliv podrobne vysvetleny a ilustrovany na prıkladech.

Ctenar drzı v ruce prehledny souhrn algoritmu aritmetickych operacı od tech nej-starsıch az po dnesnı. Verıme, ze by tato prace mohla byt uzitecnou v knihovne stredoskolskychprofesoru matematiky, kterı by mohli nektere z algoritmu vysvetlovat v ramci matema-tickych seminaru. Nenı nam znamo, ze by byl nekde v literature ci na internetupodobne bohaty souhrn popsanych a ilustrovanych algoritmu k dispozici, vprehlednem shrnutı tedy spocıva hlavnı vyznam teto prace.

Tato SOC ma jeste dva dalsı vyznamne vystupy.

• Jednım je www stranka http://bimbo.fjfi.cvut.cz/∼soc se srozumitelnym popisemalgoritmu v mnoha prıpadech doplnenym programem, ktery algoritmus ilustruje.

• Druhym je clanek L’. Balkova, C. Skarda: Nasobıme chytre?, ktery je prijat k pu-blikaci v Pokrocıch matematiky, fyziky a astronomie a v nemz je popsana castalgoritmu nasobenı.

52

Literatura

[1] J. Becvar, M. Becvarova, H. Vymazalova, Matematika ve staroveku: Egypt a Mezo-potamie, 1.vydanı, Prometheus, 2003

[2] A. P. Juskevic, Dejiny matematiky ve stredoveku, 1.vydanı, Academia, Praha 1978.

[3] A. A. Karacuba, The Complexity of Computation (v anglictine), Proc. Steklov Inst.Math. 211 (1995), 169–183

[4] A. A. Karacuba, Yu. Ofman, Multiplication of Many-Digital Numbers by AutomaticComputers (v rustine), Proceedings of the USSR Academy of Sciences 145 (1962),293–294

[5] A. Kolman, Dejiny matematiky ve staroveku, 1.vydanı, Academia, 1969

[6] D. E. Knuth, The Art of Computer Programming volume 2: Seminumerical Algori-thms, 3rd ed, Addison-Wesley Boston etc., 1998

[7] F. Kurina, Matematika a kalkuly, Matematika - fyzika - informatika 18 (2008/2009),1–20

[8] M. Mares, Prıbehy matematiky, Pistorius & Olsanska, Prıbram, 2008

[9] S. Porubsky, Ako rychlo vieme a mozeme nasobit’, sbornık 30. mezinarodnı konferenceHistorie matematiky, editori J. Becvar, M. Becvarova, matfyzpress, 2009

[10] I. Sykorova, Nasobenı ve stredoveke Indii, sbornık 29. mezinarodnı konference Historiematematiky, editori J. Becvar, M. Becvarova, Matfyzpress, 2008.

[11] H. Vymazalova, Staroegyptska matematika, Dejiny matematiky, svazek 31, Praha2006.

[12] Biografie ceskych matematiku, inserv.math.muni.cz/biografie

[13] http://cs.wikipedia.org/wiki/Augustin Louis Cauchy, 3.1.2012

[14] http://webhome.idirect.com/ totton/abacus/pages.htm#Division1, 15.2.2012

[15] http://webhome.idirect.com/ totton/soroban/Div Rev, 25.11.2011

[16] http://en.wikipedia.org/wiki/Soroban, 5.11.2011

[17] http://cs.wikipedia.org/wiki/Antonın Svoboda, 2.3.2012

[18] http://www.youtube.com/watch?v=bEvwSlA88fU&feature=related, 5.11.2011

53