strength of materials 2

Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m

thanh hïng

43

CHƢƠNG 5 : XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG

§1 : Khái niệm

Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại MZ

Quy ƣớc : MZ >0 nếu nhìn vào mặt cắt Mz quay thuận chiều kim đồng hồ.

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.

Bước 1 : Xác định phản lực liên kết, phân đoạn

thanh

Bước 2 : Lập biểu thức nội lực

Đoạn 1 : Lập mặt cắt 1-1 AB,

xét cân bằng phần trái : 0z1a.

(1)

z z 1m 0 M mz

Đoạn 2 : Lập mặt cắt 2-2BC, xét cân bằng phần

trái : 0 z2 a.

(2)

z zm 0 M ma M 2ma

Bước 3: Vẽ biểu đồ.

Trong thực tế, các chi tiết, bộ phận chịu xoắn nhƣ: mũi khoan, trục các tuốc bin,...Ta xét hai

trƣờng hợp chịu xoắn thuần tuý:

- Thanh mặt cắt ngang tròn.

- Thanh mặt cắt ngang không tròn.

§2. Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt ngang tròn

I. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Thí nghiệm: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ

(xoắn thuần tuý)

Trƣớc khi thanh chịu lực: Vạch những đƣờng thẳng

song song trục thanh (đƣờng sinh) và các đƣờng tròn

vuông góc trục thanh.

Sau khi chịu lực, ta thấy:

Mặt cắt ngàm đứng yên

Các đƣờng song song trục thanh bị xoắn ốc

Các đƣờng tròn vẫn vuông góc trục thanh và

khoảng cách giữa các đƣờng tròn không đổi

Đƣa ra hai giả thuyết:

Giả thuyết về mặt cắt ngang: Mặt cắt ngang luôn phẳng và vuông góc trục thanh, khoảng

cách giữa các mặt cắt là không đổi. (a)

Giả thuyết về bán kính của mặt cắt ngang: bán kính của mặt cắt ngang luôn phẳng và độ

dài không đổi. (b)


thanh hïng

44

Ngoài ra, còn tuân theo 3 giả thuyết đầu tiện của SBVL

Xét điểm A bất kì thuộc thanh: Việc tính ứng suất tại A rất phức tạp (không tính đƣợc)

Tách tại A một phân tố bằng các mặt

Hai mặt cắt ngang 1-1, 2-2 cách nhau khoảng dz.

Hai mặt phẳng đi qua trục z, làm với nhau một góc d.

Hai mặt trụ trục z có bán kính và (+d).

Phân tố ABCDEFGH

Theo giả thuyết (a) , ta có: AE=BF=CG=DH=dz

Phân tố không có biến dạng dọc trục z

Trên mặt cắt ABCD (hay EFGH) không có ứng

suất pháp.

Trên mặt cắt ngang thanh chỉ có ứng suất tiếp .

Gọi : d - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2.

- góc trƣợt giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 do gây ra.

Sau khi chịu Mz điểm A A’: Theo giả thuyết (b) OA=OA’=

d=A'OA

AA' OAtgd d dtg

EA dz dz dz

(1)

Ta có: P R

P: Vuông góc với bán kính

R: hƣớng theo bán kính giả thuyết (b) R=0

Vậy P

®inh luËt Huc GdG

dz

(2)

®inh nghÜa2 2 z

z

(F) (F) (F)

Md d d dM dF G dF G dF G J

dz dz dz dz GJ

(3)

Gọi

d

dz là góc xoắn tỷ đối (góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt ngang cách nhau

một khoảng bằng 1 đơn vị)

(2)

(3) z

M

J

(4)

Gọi GJ - Độ cứng của thanh khi xoắn

J= JP: Mômen quán tính độc cực 4

4 4 4P x y

DJ J J (1 ) 0,1D (1 )

32


thanh hïng

45

Nhận xét: phân bố bậc nhất đối với

z zmax

P P

0 0

M MD D.

2 J 2 W

PP

2JW

D : Mômen chống xoắn của mặt cắt ngang

II. Biến dạng

Gọi là góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt đầu thanh (góc xoắn toàn phần)

Xét đoạn thanh có chiều dài dz:

z

P

M dz(3) d

GJ

l l

z

P0 0

M dzd

GJ (5)

Nếu :

z z

P P

M M lconst

GJ GJ

(6)

Đặc biệt: khi thanh chia ra n đoạn: chiều dài li,

i

(i)z

i P

Mconst

G J

i

(i)nz i

i 1 i P

M l

G J

(7)

III. Kiểm tra bền và kiểm tra cứng

a. Điều kiện bền:

z zmax max o

max 3 4P

M M[ ]

W n0,2D (1 )

(8)

0: ứng suất nguy hiểm (xác định từ thực nghiệm)

n : Hệ số an toàn (n>1)

Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền.

- Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang:

z max3

b 4

MD

0,2 (1 )

.

- Xác định [Mz]b (giá trị tải trọng cho phép).

b. Điều kiện cứng:

z zmax maxmax 4 4

P

M M[ ](rad/m)

GJ G.0,1D (1 )

(9)

Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra cứng.

- Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: z max

4c 4

MD

0,1G (1 )

.

- Xác định [Mz]c (giá trị tải trọng cho phép).

Chú ý: Muốn thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền và cứng thì

D=max{Db,Dc} ; [Mz]=min{[Mz]b ,[Mz]c }


thanh hïng

46

Ví dụ 1: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ. Xác định mặt cắt ngang thanh nếu biết:

[]=5kN/cm2 ; []=0,25rad/m ; G=8.103 kN/cm2 . Sau đó đi tính AC.

Giải:

Vẽ biểu đồ mômen MZ :

zmax

M 4kNm 400kNcm

Xác định đƣờng kính D:

Theo điều kiện bền:

z max 33

b

M 400D 7,37cm

0,2 0,2.5

.

Theo điều kiện cứng:

z max4 4c 3 2

M 400D 3,76cm

0,1G 0,1.8.10 .0,25.10.

D=max{Db,Dc}=7,37cm.

Tính AC: AC = AB + BC

(1) (2)100 100z z (1) (2)

AC z z

0 0P P

100100 4

0 3 40P

M dz M dz, (M 2z,M 4kNm)

GJ GJ

1 12z.dz 400 .5.10

GJ 8.10 0,1.7,37

0,021 rad

Ví dụ 2: Cho thanh chịu lực nhƣ

hình vẽ. Hãy xác định mặt cắt thanh,

biết:

[]=5kN/cm2 .

[]=0,25rad/m .

G=8.103 kN/cm2 .

Tính góc xoắn toàn phần AC=?

Tính phản lực và chia đoạn

Vẽ biểu đồ Mz

Đoạn 1 (AB): 1max

M 2kNm 200kNcm

Theo điều kiện bền:

1(1) max 33b

M 200d 5,85cm

0,2 0,2.5

.

Theo điều kiện cứng:

1(1) max44

c 3 2

M 200d 3,16cm

0,1G 0,1.0,25.8.10 .10

.

d1=max{db(1),d c

(1)}=5,85 cm.


thanh hïng

47

Đoạn 2 (BC): 2max

M 4kNm 400kNcm .

Theo điều kiện bền: 2(2) max 33

b

M 2002d 4 7,36cm

0,2 0,2.5

(2)bd 3,68cm .

Theo điều kiện cứng: 2(2) max4 4c 3 2

M 4002d 3,76cm

0,1G 0,1.0,25.8.10 .10

(2)

cd 1,88cm .

d2=max{db(2),d c

(2)}=3,68 cm.

d=max{d1,d2}=5,85 cm.

Vậy JP1 =0,1.d4=0,1.5,854=117,1cm4 ; JP2 =0,1.(2d)4=0,1.(2.5,85)4=1861,1cm4

Tính góc xoắn toàn phần:

Tính : = AB + BC

1 2 1 2 1 2

(1) (2) (2)a a a a (2)2 2 4 2 2z z z z

3 3P P P P P P0 0 0 0

M dz M dz M dzmz dz M .ama 2.10 .10 4.10 .10

GJ GJ GJ GJ 2GJ GJ 2.8.10 .117,1 8.10 .1861,1

1,07(rad).

§3: Xoắn thuần tuý thanh có mặt cắt ngang không tròn

Thí nghiệm: Xét thanh chịu xoắn mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trƣớc khi thanh chịu xoắn,

ta vạch lên mặt ngoài thanh những đƣờng thẳng song song trục thanh, vuông góc trục thanh

( Tạo nên lƣới ô vuông)

Sau khi thanh chịu xoắn, trục thanh vẫn thẳng nhƣng các đƣờng kể đều bị cong đi ô

vuông bị méo mặt cắt ngang của thanh bị vênh đi.

Lý thuyết đàn hồi đã nghiên cứu đƣợc thanh xoắn có mặt cắt ngang bất kỳ.

I. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu xoắn thuần tuý

Luật phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt:

Tại các điểm góc: = 0

Các trục đứng: phân bố theo quy luật đƣờng

cong có tâm uốn tại tâm O

Dọc theo các cạnh: phân bố theo đƣờng cong,

max tại A và A’

zmax

xoan

M

W ; Wxoắn=b2h

1 max

zmax

xoan

M

GJ ; Jxoắn=b3h

Trong đó: ,, phụ thuộc b/h, đƣợc tra theo bảng Các công thức đƣợc rút ra từ thực nghiệm.


thanh hïng

48

h/b 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 8.0 10

0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.291 0.307 0.313 0.333

0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.291 0.307 0.313 0.333

1 0.859 0.795 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

II. Thanh có thành mỏng

Định nghĩa: Thanh có mặt cắt ngang với bề dày << các kích

thƣớc khác của mặt cắt thanh có thành mỏng.

Ví dụ: ống tròn mỏng, thép dát I,C,L

Đƣờng trung bình: là đƣờng chia đôi chiều dày của mặt cắt.

a. Thanh có thành mỏng kín:

Đƣờng trung bình là đƣờng khép kín thành mỏng kín.

Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng kín, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:

Vì bé xem ứng suất tiếp phân bố đều theo .

Xét điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang.

z zA max

o A o min

z

2

(s)0

M M

2F 2F

M ds

4F G

Với S - độ dài đƣờng trung bình.

b. Thanh có thành mỏng hở:

Đƣờng trung bình là đƣờng không khép kín Thanh có thành mỏng hở

Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng hở, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:

Chia mặt cắt ra m hình chữ nhật : hình thứ i có chiều rộng i, chiều dài hi

z zi i max max

xo¾n xo¾n

M M

J J

Trong đó: n

3

i ixo¾ni 1

1J h (*)

3

z

xo¾n

M

GJ

Thực tế : m

3i ixo¾n

i 1

nJ h

3

Với n- phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang, xác định bằng thực nghiệm (tra bảng)

Loại mặt cắt L C T I

n 1,10 1,12 1,15 1,20

§4. Bài toán siêu tĩnh


thanh hïng

49

Bài toán 1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu

lực nhƣ hình vẽ.

Giải:

Xét cân bằng AB:

z A BM 0 M M M (1)

Bài toán siêu tĩnh: bậc siêu tĩnh n = 1.

Lập phƣơng trình biến dạng bổ sung.

Phƣơng trình biến dạng : do A, B là ngàm nên

AB AC CB 0 (*)

Trong đó:

(1) (1)z z

AC

P P

(2) (2)z z

CB

P P

M .AC M .2a

G.J G.J

M .CB M .a

G.J G.J

Lập mặt cắt 1-1 và 2-2

(1)Z A

z(2)Z B

M Mm 0

M M

Thay vào (*):

A B

P P

M .2a M .a0

GJ GJ

(2)

B

A

2MM

3(1),( 2)

MM

3


thanh hïng

50

Bài toán 2: Trụ tròn AB liên kết ngàm tại A,

chịu mômen xoắn M0, gắn với 2 thanh CD, EF

bằng 1 thanh CE tuyệt đối cứng.

Biết AB có : G,d

CD, EF có cùng l, E, F

Xác định biến dạng dài của CD, EF.

Giải:

Xét cân bằng ABCE:

1 2Y 0 N N N

Điều kiện biến dạng: l b.tg b.

: góc xoắn tƣơng đối của AB ( góc xoắn toàn phần)

iZ i

p

M .l

GJ

Xét thanh AB: Vẽ biểu đồ Mz

Vậy:

0 0

p p p

M 2Nb M 4Nb( 2Nb)a a a

GJ GJ GJ

0

p

01 2

p

20

1 2

p

M 4NbNll b b a

EF GJ

M aEFN N N

lGJ abEF

M aNal l

EF lGJ ab.EF


thanh hïng

51

Bài toán 3: Xét thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.

Biết : G, d, l , u (biến dạng dài tỷ đối theo

phƣơng u tại điểm M).

Tìm M0, góc xoay của tiết diện tại B.

Giải:

- Vẽ biểu đồ Mz

- Xác định M0

Ta có: WP = 0,2 d3, JP = 0,1d4

Theo đ ịnh lu ật Hooke:

1( )

u u vE (1)

mặt khác : 0u v x y u v

(2)

.Eu u(1),(2) (1 )

u uE 1

(3)

- Theo công thức xoay trục:

xy xy

xy

x y x ycos2 sin2 sin2

u 2 2

u

sin2

- Xét phân tố tại M:

0 uzxy max 3

p

MM E.

W sin2 (1 ).sin20,2d

3u

0

E.0,2dM

(1 )sin2

- Góc xoay của tiết diện tại B. A là ngàm → A=0

30 u u

B AB 4p

M l .E.l.0,2d 2 .E.l.

GJ G.d.(1 ).sin2G.0,1d (1 ).sin2


thanh hïng

52

BÀI TẬP CHƢƠNG 5


thanh hïng

53

CHƢƠNG 6: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

§1. Khái niệm

Định nghĩa: Thanh chịu uốn là thanh có trục bị

uốn cong dƣới tác dụng của ngoại lực.

Trục là đƣờng cong phẳng thanh chịu uốn phẳng

(dầm)

Ngoại lực: lực tập trung hay phân bổ vuông

góc trục dầm, hoặc mômen nằm trong mặt phẳng

chứa trục dầm.

Ở đây, ta chỉ xét thanh có mặt cắt ngang tồn tại

trục đối xứng (trục y) và tải trọng tác dụng thuộc mặt

phẳng đối xứng, (chính là mặt phẳng chứa trục quán tính trung tâm mặt phẳng quán tính

chính trung tâm).

Xét 2 trƣờng hợp: + Dầm uốn thuần túy phẳng.

+ Dầm uốn ngang phẳng.

§2. Uốn thuần túy phẳng

I. Định nghĩa: là dầm mà trên mọi mặt

cắt ngang chỉ tồn tại 1 thành phần nội

lực Mx nằm trong mặt phẳng quán

tính chính trung tâm (y0z)

II. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Dầm có mặt cắt chữ nhận b h, chịu

uốn thuần túy nhƣ hình vẽ.

Thí nghiệm:

Trƣớc khi chịu lực, vạch lên mặt

ngoài dầm những đƣờng thẳng song

song và vuông góc trục dầm, tạo

nên những ô vuông.

Sau khi chịu lực, dầm biến dạng, ta

thấy đƣờng thẳng song song với trục

dầm trở thành đƣờng cong, đƣờng

vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và

vuông góc với trục dầm.

Suy ra 2 giả thuyết :

a. giả thuyết về mặt cắt ngang : mặt cắt

ngang dầm luôn phẳng và vuông góc với

trục dầm (cả trƣớc và sau biến dạng)

b. Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc của dầm không ép lên

nhau và không đẩy xa nhau.


thanh hïng

54

Vật liệu dầm làm việc trong giới hạn đàn hồi (, tuân theo định luật Huc)

Nhận xét : dầm bị uốn, các thớ trên co lại, các thớ dƣới giãn ra từ thớ vo sang thớ giãn sẽ

có thớ không co, không giãn . Gọi là thớ trung hòa.

Tổng thớ trung hòa là lớp trung hòa.

Lớp trung hòa x mặt cắt ngang ta có mặt

trung hòa.

Bỏ qua các biến dạng của mặt cắt ngang

(biến dạng nhỏ), coi nhƣ mặt cắt ngang không

thay đổi, suy ra đƣờng trung hòa là đƣờng thẳng

Xét đoạn thanh dz cắt ra khỏi thanh bởi 1-1

và 2-2

Sau khi biến dạng ta có :

Theo tính chất thớ trung hòa : dz =d

Thớ ab ( cách thớ trung hòa 1 đoạn y):

abt = dz ; abs = ( y)d

®inh nghÜas t

z

t

ab ab y

ab (1)

Xét điểm C bất kỳ trên mặt cắt ngang nào đó của dầm: việc tính ứng suất tại điểm C không

thực hiện đƣợc. Suy ra tách tại C một phân tố hình hộp (Các mặt song song với mặt phẳng tọa

độ) tính ứng suat trên 6 mặt phân tố

Theo giả thiết (b) trên các mặt song song z, không có ứng

suất pháp hay: x y

0

Theo giả thiết (a) góc của phân tố biến dạng không đổi.

trên các mặt phân tố không có ứng suất tiếp.

chỉ tồn tại z

Theo định luật Huc: z z

y.E E.

(2)

®inh nghÜa

z z x

(F) (F)

E EN dF 0 y.dF 0 .S 0

Sx = 0 ®inh nghÜa

x là trục trung tâm. Vì y là trục đối xứng nên x0y là hệ quán tính chính trung tâm

của mặt cắt ngang.

(2)

2

x z x

(F) (F)

E EM ydF y .dF .J

x

x

M1

EJ (3): Độ cong của trục quán tính chính trung tâm (EJx: độ cứng của dầm khi uốn)

(2),(3) xz

x

My

J


thanh hïng

55

Nhận xét: Luật phân bố của z

trên mặt cắt ngang dầm:

Phân bố bậc nhất đối với y.

Những điểm nằm trên đƣờng thẳng song song với x

(có cùng tung độ y) sẽ có z bằng nhau và tỉ lệ với

d (khoảng cách đến đƣờng trung hòa).

Điểm nằm trên đƣờng trung hòa (y=0) có z=0.

Những điểm nằm xa đƣờng trung hòa nhất có max min

, .

Nếu trục x cũng là trục thẳng đối xứng: Đƣờng trung hòa chia đôi chiều cao

x xmax min

x x

M Mh,

J 2 W (4)

với Wx=x

2J

h : mômen chống uốn của mặt cắt ngang.

Nếu trục x không phải là trục đối xứng:

x K

max max

x

x n

min max

x

M.y

J

M.y

J

(5)

III. Điều kiện bền:

a. Với vật liệu dẻo: k n

Điều kiện bền: max (6)

b. Với vật liệu đòn : k

n

Điều kiện bền:

max k

min n

(7)

IV. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang:

Mặt cắt ngang hợp lý nếu đảm bảo bền (khả năng chịu lực là lớn nhất) tiết kiệm vật liệu.

a. Yêu cầu về bền: Ứng suất lớn nhất trong dầm đạt tới ƢS cho phép

x K

max max kx

x n

min min nx

M.y

J

M.y

J

k

max kn

max n

y

y (8)

(8) Kết luận:

Vật liệu dẻo: k n

k n

max maxy y trục x đối xứng

Vật liệu dòn: Trục x chia chiều cao mặt cắt theo tỷ số ở (8)


thanh hïng

56

b. Yêu cầu tiết kiệm vật liệu:

Từ biểu đồ z ta thấy:

Vật liệu ở vùng có max, min làm việc gần hết khả năng.

Vật liệu càng ở gần đƣờng trung hòa làm việc ít hơn.

Bố trí vật ở xa đƣờng trung hòa.

(a), (b) + Vật liệu dẻo : Trục x đối xứng, vật liệu bố trí xa đƣờng trung hòa mặt cắt hợp lý

thƣờng là:

+ Vật liệu dòn:

Chú ý: Khi xét điều kiện bền cho thanh:

Nếu Mx có dấu không đổi chỉ quan tâmmax

M

Nếu Mx có hai dấu: đƣờng trung hòa không chia

đôi chiều cao, vật liệu dòn quan tâm đến cả

Mmax, Mmin (Kiểm tra tại cả 2 mặt cắt)

§3. Uốn ngang phẳng

1. Định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm

mà trên mặt cắt ngang có các thành phần nội

lực Mx, Qy nằm trong mặt phẳng nằm quán tính

chính trung tâm (y0z)

Mặt phẳng tải trọng: (các tải trọng thuộc cùng

1 mặt phẳng)

Mặt phẳng biến dạng

Hai mặt phẳng này trùng nhau có trƣờng

hợp uốn phẳng:

Uốn phẳng thuần túy : chỉ tồn tại Mx

Uốn phẳng ngang: có Mx, Qy (h >> b, h << l)


thanh hïng

57

II. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng nhƣ hình vẽ.

Trƣớc khi dầm chịu lực: vạch lên ngoài

mặt dầm những đƣờng thẳng song song và

vuông góc với trục dầm (tƣợng trƣng cho thớ

dọc và mặt cắt ngang)

Sau khi dầm biến dạng, ta thấy:

- Những đƣờng thẳng song song với trục

dầm (thớ dọc) bị cong nhƣng vẫn song song

với trục dầm, các thớ không ép lên nhau,

cũng không tách nhau trên mặt cắt dọc: y

=0 (Thực tế thì có nhƣng vì sự thay đổi ấy

nhỏ bỏ qua, đúng khi h << l)

- Những đƣờng thẳng vuông góc với trục dầm không còn thẳng và vuông góc trục dầm nữa

mặt cắt ngang không còn phẳng mà bị vênh.

+ Thớ dọc: 1 số thớ co lại, 1 số thớ giãn ra z

+ Mặt cắt ngang: mặt cắt ngang không còn phẳng bị biến dạng góc ứng suất tiếp zy

LTDH

tại điểm D(x,y) bất kỳ thuộc mặt cắt ngang, tách ra 1 phân tố hình hộp thì trên các

mặt phân tố y, z, zy

Thực tế: y << z,zy z,zy

a. Ứng suất pháp z:

- Trong uốn thuần túy phẳng, mặt cắt ngang phẳng: XZ

X

M.y

J (*)

- Trong uốn ngang phẳng, mặt cắt ngang không còn phẳng không thể sử dụng công thức (*)

Tuy nhiên trong "Lý thuyết đàn hồi", công thức tính z rất phức tạp và chứng minh đƣợc

rằng đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, vẫn dùng đƣợc công thức (*) để tính z mà sai số không lớn lắm.

Vậy: xz

x

My

J (1) (h nhỏ nên xem nhƣ mặt cắt ngang là phẳng)

b. Ứng suất tiếp zy - Công thức Jurapski

Ta đi xác định phƣơng, chiều và độ lớn của ứng suất tiếp zy

Xét dầm mặt cắt ngang chữ nhật hẹp bxh (b<< h mặt

cắt hẹp) chịu uốn ngang phẳng.

Phƣơng :

Xét điểm A(x,y) thuộc mặt cắt ngang 1-1. Qua D kẻ đƣờng thẳng song song với Ox, cắt các biên của mặt cắt tại B, C; cắt Oy tại D.

Ứng suất tiếp C có chiều bất kỳ trong (1-1)

C CC zy zx


thanh hïng

58

Theo luật đối ứng: nếu có Czx phải có C

xz , mặt khác: do mặt bên dầm không có lực tác

dụng ( Nz = 0, Mz = 0...) nên C C

xz zx 0

Vậy C B

C zy B zy; TT

Do tính chất đối xứng và giả thiết mặt cắt chữ nhật hẹp nên:

A B C D zy

Vậy ứng suất tiếp của các điểm trên BC đi qua A chỉ có phƣơng y và có trị số bằng nhau.

(Phân bố đều)

Độ lớn :

Cắt đoạn dầm dz bằng mặt phẳng 1-1, 2-2

Mặt phẳng song song với Oz đi qua điểm D

chia đoạn dz thành 2 phần:

tính zy yz ?

Đặt BC = bC

dt(BCEF) = FC

Xét cân bằng đoạn dz:

C C

(1) (2)z z yz c

F F

Z 0 dF dF .b .dz 0 (*)

Mặt khác :

x(1) (2) x xz z

x x

M M dMy ; y

J J

(biểu đồ Mx liên tục : chiều dài thay đổi dz mômen thay đổi

vi phân dMx)

(*)

c c

x x xyz c

x xF F

M M dMydF ydF b dz 0

J J

( x

x

Mconst

J đối với mặt cắt đang xét)

C

C

xyz c

x F

xyz

c x F

dMb dz ydF

J

dM 1ydF

dz b J

Ta có: C

Cxy x

F

dMQ ; ydF S

dz: mômen tĩnh của phần diện tích Fc đối với trục x

Vậy:

Cy x

yz zyx c

Q S

J b (2) - Công thức Jurapski


thanh hïng

59

c. Luật phân bố ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt

Mặt cắt chữ nhật.

Tính ứng suất tiếp tại điểm D(x,y)

Ta có : cx C

h 1 hS b .( y). ( y)

2 2 2

bC = b ; 3

x

b.hJ

12

Thay vào công thức Jurapski ta đƣợc

2 22 2

Cy y

y x

zy 3 3x c

h hQ .b.( y ) 6Q .( y )Q S 4 4

J b b.h b.h2b.

12

(3)

Ứng suất tiếp lớn nhất tại y=0 (thuộc đƣờng trung hòa)

y y

max zy

3Q 3Q(0)

2b.h 2F (4)

Mặt cắt chữ I.

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt

cắt ngang chữ I. Để đơn giản hóa ta coi mặt

cắt gồm 3 hình chữ nhật ghép lại.

Phần lòng: hình chữ nhật rộng d, cao (h-2t)

2y(l)

zy xx

Q dy(S )

J d 2 (5)

(với Sx : tra bảng)

Phần đế: 2 hình chữ nhật rộng b, cao t

y y(d)

zyx x

Q Q .xh t h t.t.x.( ) .( )

J t 2 2 J 2 2

{ ứng suất của phần giao giữa lòng và đến không xét đến vì phức tạp và có trị số nhỏ }

Thực tế: thấy (l)

zy >>(d)

zy ta chỉ xét sụ phân số ƢS tiếp zy ở phần lòng của mặt cắt.

Tại y=0 (các điểm thuộc đƣờng trung hòa):

y x(l)zy max

x

Q S

J d (6)

Tại điểm K (giao giữa phần lòng và đế): Xét điểm K thuộc phần lòng (lßng ®ª (l)c c zyb b lớn)

K

hy t

2

2y

k xx

Q d hS t

J d 2 2

(7)


thanh hïng

60

Mặt cắt hình tròn

y 2 2

zy

x

Q(R y )

3J (8)

Tại y=0 :

2

y y

zy max

x

Q R 4Q

3J 3F

III. Kiểm tra bền cho dầm – chịu uốn ngang phẳng

Xét đoạn dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang chữ nhật (bxh). Nếu tách ra tại các

điểm trên dầm những phân tố thì tƣơng ứng có 3 loại trạng thái ứng suất (TTƢS) dựa vào biểu

đồ z và zy của mặt cắt ngang.

Phân tố A, A' có z max zymin

; 0 là phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Phân tố B có z zy max0; là phân tố ở trạng thái trƣợt thuần túy.

Phân tố C có z zy0; 0 là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng.

Vì tại các điểm trong dầm chịu 3 loại TTƢS khác nhau nên việc kiểm tra bền cho dầm

phải tiến hành kiểm tra đồng thời cho 3 loại TTƢS trên.

a) Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:

- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có x maxmin

M M .

- Điểm kiểm tra : điểm có z maxmin

.

Điều kiện bền: + Vật liệu dẻo : max (9a)

+ Vật liệu dòn :

max k

min n

(9b)

b) Kiểm tra phân trượt thuần túy:

- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có y maxQ .

- Điểm kiểm tra : điểm có zy max .

Điều kiện bền: max (10)

Ta có thể tính [] thông qua [] theo thuyết bền nhƣ sau :

- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất : / 2 .

- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất : / 3 .


thanh hïng

61

c) Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:

- Mặt cắt kiểm tra: mặt cắt có y xQ & M cùng lớn

- Điểm kiểm tra: điểm có z

và zy cùng lớn (điểm K)

Điều kiện bền:

Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :

2 21 K K4 (11)

Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất

2 2t K K3 (11’)

Trong đó : K

cC xC

K K K

x x c

Q .SMy ;

J J .b

Từ các điều kiện bền (9a,b), (10), (11) Có 3 dạng bài toán :

1. Kiểm tra bền: theo điều kiện bền (9a) hoặc (9b).

Chú ý: Mặt cắt ngang có đƣờng trung hoà không chia đôi chiều cao; Vật liệu dòn phải

quan tâm cả hai mặt cắt có x maxmin

M M

2. Chọn kích thước mặt cắt ngang :

1

2 i

3

(9,9 ') F

(10) F F max F

(11) F

3. Xác định giá trị tải trọng cho phép [P] tác dụng lên dầm:

Để giải bài toán không phức tạp, ta xác định [F]S hoặc [P]S sơ bộ theo (a), sau đó kiểm

tra cho (b), (c) với các giá trị sơ bộ vừa tìm đƣợc:

+ Nếu các điều kiện bền thỏa mãn (hoặc vƣợt quá < 5% chấp nhận đƣợc) thì ta

chọn [F] = [F]S hay [P] = [P]S.

+ Nếu điều kiện nào không thỏa mãn thì ta chọn [F] hay [P] theo điều kiện đó là đủ.

----------------------------------------------------


thanh hïng

62

Ví dụ 1: Kiểm tra bền cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ nếu 216kN/cm .

Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực:

max max

Q 56kN; M 50kNm;

Bước 2: Xác định đặc trƣng hình học:

Chia mặt cắt thành 2 hình :

Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1) là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2) là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1):

1,O 1,O

0 4.( 8.6)x 0 , y 1cm

20.12 8.6

. Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :

1

2

O (0, 1)

O (0, 5)

1 2

(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4

x x x x 1 1 x 2 2

1 1J J J (J y F ) (J y F ) 20 .12 ( 1) .20.12 8 .6 ( 5) .8.6 6784cm

12 12

3xS 4,5.9.12 486(cm )

Bước 3: Kiểm tra bền:

Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:

2

n 2 2maxmin max

x

M 50.10max y 11 8,1kN/ cm 16kN/ cm

J 6784 (1)

Kiểm tra phân trƣợt thuần túy: (Điểm kiểm tra: điểm ở đƣờng trung hòa)

C

cx 2 2max

max

x

Q .S 56.4860,33kN/ cm 8 kN/ cm

J b 6784.12 2 (2)

Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:

- Chọn mặt cắt kiểm tra: mặt cắt tại bên phải C có C CQ 40kN, M 48kNm

- Điểm kiểm tra: Điểm B (thuộc phần dƣới):

c 3x B C

2S 2.12.( 9) 240(cm ) ; y 8 1 9(cm) ; b 3 3 6(cm)

2

c2C C x2 2

B B Bx x c

M Q .S48.10 40.240y .9 6,37(kN/cm ) ; 0,24(kN/cm )

J 6784 J .b 6784.6

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

2 2 2 2 2 2

t B B4 6,37 4.0,24 6,38kN/cm 16kN/cm (3)


thanh hïng

63

(1,2,3) dầm đảm bảo yêu cầu về bền.

Ví dụ 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ biết [ ]=16 kN/cm2


x ymax maxM 60kNm; Q 61kN;

Bước 2: Tính đặc trƣng hình học:

(1) (2) 3 3

x x x

4 4

43x

x

(1) (2) 3

x x x

1 1J J 2J (8b) .3b 2. (6b) .b

12 12

92b (cm )

J 92bW 23b

h/ 2 4b

S S 2S (4b.3b).2b 2.(b.3b).1,5b 15b

Bước 3: Xác định sơ bộ mặt cắt ngang:

2

max

3

x

M 60.10max [ ] 16 b 2,54cm

W 23b → Chọn b=2,54cm

Bước 4: Kiểm tra cho hai phân tố còn lại

Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy

3

x 2 2maxmax c 4

x

Q .S 61.1,5.2,540,15kN/ cm 8kN/ cm

2J b 92.2,54 .2,54

Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:

- Chọn mặt cắt tại bên trái B: B BQ 61kN, M 60kNm

- Chọn điểm kiểm tra: điểm D (thuộc phần trên): bc=b=2,54cm

c 3 3x

bS b.3b.( 3b) 10,5.b 172,1cm

2

2 2B 2

D D 4 3

x

c 3B x 2

D 4 2

x c

M 60.10 60.10y .3b .3 11,94(kN / cm )

J 92.b 92.2,54

Q .S 61.10,5b 60.10,51,08(kN / cm )

J .b 92.b .b 92.2,54

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

2 2 2 2 2t D D4 11,94 4.1,08 12,13kN/ cm

Vậy, với kích thƣớc đã chọn, dầm đảm bảo yêu cầu về bền.


thanh hïng

64

Ví dụ 3 : Hãy xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên dầm nhƣ hình vẽ :

biết [ ]=16 kN/cm2.


2

max maxM 2,5qa ; Q 3qa;

Bước 2: Tính đặc trƣng hình học:

Chia mặt cắt thành 2 hình :

Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1):

1,O 1,O

0 4.( 8.6)x 0 , y 1cm

20.12 8.6

. Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :

1

2

O (0, 1)

O (0, 5)

1 2

(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4

x x x x 1 1 x 2 2

1 1J J J (J y F ) (J y F ) 20 .12 ( 1) .20.12 8 .6 ( 5) .8.6 6784cm

12 12

3xS 4,5.9.12 486(cm ) .

Bước 3: Xác định sơ bộ tải trọng cho phép [q]

2 2

n 2maxmin max S

x

M 2,5qa .10max y 11 16kN/ cm q 10kN/ m

J 6784.

Bước 4: Với q chọn sơ bộ, kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại:

Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy:

x 2 2max x

max

x C x C

Q .S 3qa.S 3.10.2.4860,36kN/ cm 8kN/ cm

J b J b 6784.12 2

Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:

- Chọn mặt cắt kiểm tra tại C: 2C CQ 2qa , M 2,5qa

- Chọn điểm kiểm tra: điểm B (thuộc phần dƣới):

c 3x B C

2S 2.12.( 9) 240(cm ) ; y 8 1 9(cm) ; b 3 3 6(cm)

2

c2 2C C x2 2

B B B

x x c

M Q .S2,5.10.2 .10 2.10.2.240y .11 13,3(kN/ cm ) ; 0,24(kN/ cm )

J 6784 J .b 6784.6

2 2 2 2 2 2t B B4 13,3 4.0,24 13,31kN/ cm 16kN/ cm .


thanh hïng

65

Vậy chọn q=10 kN/m.

§4. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm khi uốn

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng. Xác định

phƣơng các ứng suất chính của những phân tố tại

các điểm khác nhau trong dầm:

Phân tố tại A, A’ (trạng thái ứng suất đơn):

phƣơng chính vuông góc với trục dầm.

Phân tố tại B (trạng thái trƣợt thuần túy):

phƣơng chính làm với trục dầm góc 45o.

Phân tố tại C, C’ (trạng thái ứng suất phẳng): Xác định

phƣơng chính nhờ vòng tròn MO.

Quỹ đạo của ứng suất chính: là tập hợp các đƣờng cong mà

tiếp tuyến tại điểm bất kì trùng với phƣơng chính tại điểm ấy.

lập thành 2 họ đƣờng cong:

Quỹ đạo ứng suất chính nén

Quỹ đạo ứng suất chính kéo

(xác định bằng phương pháp thực nghiệm)

Ứng dụng: Biết đƣợc quỹ đạo ứng suất chính thì cho phép bố trí vật liệu hợp lý để tăng khả

năng chịu lực của dầm

VD: Bê tông cốt thép: + Bê tông: chịu nén tốt

+Cốt thép: chịu kéo tốt đặt theo phƣơng quỹ đạo ứng suất chính

kéo (VD: Cốt thép vai bò...)


thanh hïng

66

§5. Thế năng biến dạng đàn hồi

Năng lƣợng làm vật thể biến dạng đàn hồi gọi là năng lƣợng biến dạng đàn hồi

Dầm chịu uốn ngang phẳng: Nói chung các phân tố tại một điểm nào đó của dầm là trạng

thái ứng suất phẳng ( 1 3 20, 0 )

Thế năng riêng biến dạng đàn hồi:

3 3 31 1 11 2 1 3 3 1

2 21 3 1 3

U U U2 2 2E 2E

1U 2

2E

(1)

Mặt khác:

1

2 21 max

14

2 2

(2)

1

2 23 min

14

2 2

(3)

2 2 2 2 c 22 2(1),(2),(3)

x y x2

2 2 2x x c

y z 2 2max,min z y zy

M Q (Q )2(1 )U . y

2E 2 E 2E 2G 2EJ 2GJ b

1( ( ) 4 )

2 2

Thế năng biến dạng đàn hồi của đoạn thanh dz:

(V) (F) (F)

2 2 c 2x y x2

2 2 2x x c(F) (F)

dU UdV Udz.a '.F dz UdF

M Q (S )dU dz y dF

2EJ 2GJ b

2 2 c 2x y2 x

2 2 2x x c(F) (F)

M Q (S )dU dz y dF dF

2EJ 2GJ b

(4)

Đặt c 2x

2 2x c(F)

(S )FdF

J b Ta có: 2

x

(F)

J y dF

2 2(4)x y

2x

M QdU dz dz

2GF2EJ (5)

Giả sử dầm có chiều dài l và F = const

2 2l lx y

2x(l) 0 0

M QU dU dz dz

2GF2EJ

Mỗi dạng mặt cắt dầm có khác nhau

- hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp

Mặt cắt chữ nhật: = 1,20

Mặt cắt tròn: = 1,11

Mặt cắt chữ I: = F/F1

Trong đó: F: Diện tích chữ I


thanh hïng

67

F1: Diện tích phần lòng chữ I (F1 = (h-2t).d)



thanh hïng

68

CHƢƠNG 7. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

§1: Khái niệm

Định nghĩa: "Đường đàn hồi là đường cong trục

dầm sau khi uốn".

Phƣơng trình đƣờng đàn hồi trong hệ (yOz) :

y = y(z)

Xét điểm K trên trục dầm trƣớc khi uốn, sau khi

dầm biến dạng K có vị trí la K'

KK’: Chuyển vị thẳng của điểm K

u: Chuyển vị thẳng theo phƣơng ngang

v: Chuyển vị thẳng theo phƣơng đứng

Thực tế: u << v bỏ qua chuyển vị ngang u KK’= v, Vị trí điểm K sau khi dầm biến dạng

nằm trên đƣờng thẳng đi qua K.

v : độ võng của dầm tại K.

v = v(z) = y = y(z) (7.1)

: góc xoay của mặt cắt ngang dầm tại K .

’: Góc giữa tiếp tuyến của đƣờng đàn hồi tại điểm K’ với phƣơng ngang.

= ’ tg’=y’(z) (7.2)

Trong thực tế tính toán dầm chị uốn, ngoài điều kiện bền cho dầm, ngƣời ta còn phải

kiểm tra điều kiện cứng cho dầm.

Điều kiện cứng:

maxy f

l l (7.3)

l: Chiều dài nhịp dầm

f: mũi tên độ võng

§2: Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi

(Phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi)

Trong chƣơng uốn ngang phẳng ta đã thiết lập đƣợc công thức biểu thị mối quan hệ giữa

bán kinh cong trục dầm và mô men uốn Mx, ta có:

x

x

M1

EJ (1)

Mặt khác, vì đƣờng đàn hồi là đƣờng cong hình học nên theo hình học vi phân ta có:

2 3 / 2

1 y ''

(1 y ' ) (2)

(1) x

(2) 2 3 / 2

x

My ''

(1 y ' ) EJ (3)


thanh hïng

69

Vì chỉ có duy nhất một đƣờng đàn hồi nên ta phải chọn dấu cho (3) sao cho phù hợp.

Xét đoạn dầm chịu uốn trong 2 trƣờng hợp:

Ta thấy: y’’ và Mx luôn trái dấu nên ta chọn dấu (-) cho hệ thức (3).

3

x

2 3 / 2

x

My ''

(1 y ' ) EJ (7.4)

Theo giả thuyết 3 : Biến dạng bé nên y’ bé bỏ qua đại lƣợng y’2.

Ta có phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi:

x

x

My ''

EJ (7.5)

§3: Các phƣơng pháp xác định đƣờng đàn hồi

I. Phƣơng pháp tích phân không xác định

Ta thấy rằng Mx = Mx(z) x

x

M

EJ là hàm của z → (7.5) là phƣơng trình với biến số phân li.

Ta có:

x x

x x

M (z) M (z)dy '(z)y ''(z) dy '(z) dz

dz EJ EJ

tích phân

x

x

x

x

M dzy '(z) C

EJ

M dzy(z) C dz D

EJ

(7.6)

Trong đó: C,D: hằng số tích phân, xác định bằng điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm.

Nếu dầm chia n đoạn có n biểu thức ( i)

x

( i)

i x

M

E J (i=1n)

Từ (7.6) 2n hằng số tích phân Ci, Di , từ điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm ta lập

đƣợc hệ 2n phƣơng trình đại số, giải ra ta đƣợc 2n ẩn số Ci, Di.


thanh hïng

70

Ví dụ: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ: EJx=const. Hãy xác định độ võng và góc xoay tại mặt cắt

A của dầm

Giải:

1. Xác định phản lực và phân đoạn dầm

2. Lập phƣơng trình vi phân

Đoạn 1: Dùng mặt cắt 1-1 AB, xét cân bằng phần bên trái:

1

2 (1) 2(1) 1 x 1x 1(z )

qz M qzM y ''

2 EJ 2EJ

1

1

31

1(z ) 1

41

1(z ) 1 1 1

qzy' C

6EJ

qzy C z D

24EJ

(0z1a)

Đoạn 2: Dùng mặt cắt 2-2 BC, xét cân bằng phần bên trái:

2

2(2)x 2 2

(2)x 2

2(z )x x

qa qa aM ( z ) qaz

2 1 2

M qazy''

EJ EJ

2

2

22

2(z ) 2x

32

2(z ) 2 2 2

qazy' C

2EJ

qazy C z D

6EJ

(0z2a)

3. Xác định Ci, Di :

Điều kiện biên:

Tại C: z2 =a, ta có: 2 2

y' (a) 0;y (a) 0

3 3

2 2

4 4

2 2 2

qa qaC 0 C

2EJ 2EJ

qa qaC a D 0 D

6EJ 3EJ

Điều kiện liên tục:

Tại B: (z1 =a, z2 =0) 1 2 1 2y' (a) y' (0); y (a) y (0)

3 3 3

1 2 1

4 4 4

1 1 2 1

qa qa 2qaC 0 C C

6EJ 2EJ 3EJ

qa qa 23qaCa D 0 D D

24EJ 3EJ 24EJ

4. Xác định chuyển vị và góc xoay tai A: z1=0


thanh hïng

71

1

1

4 4 431

1(z ) 1 A 1(0)

3 331

1(z ) A 1(0)

qz 23qa 23qa( 2)qay z y y

24EJ 3EJ 24EJ 24EJ

qz 2qa2qay' y' y'

6EJ 3EJ 3EJ

II. Phƣơng pháp đồ toán (phƣơng pháp dầm giả tạo)

Quan hệ giữa Qy, Mx,q(z):

2y x x

y 2

dQ dM d Mq(z); Q ; q(z);

dz dz dz

Mặt khác: 2

x

2

x

Md yy ''(z) ;

dz EJ

Giả sử một dầm giả tạo chịu tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo:

xgt

x

Mq

EJ (7.7)

Gọi lực cắt và mômen uốn trên dầm giả tạo là Qgt, Mgt

2 2gt x

gt2 2

x

d M M d y(z)q

dz EJ dz

gt

gt gt

dM (z)y(z) M (z); y '(z) Q (z)

dz (7.8)

Trong đó, liên kết của dầm giả tạo phải tƣơng ứng với sự làm việc của dầm thực:

y = 0, y’= 0 liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt = 0; Qgt= 0

y ≠ 0, y’ ≠ 0 liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt ≠ 0; Qgt ≠ 0

Mét sè trêng hîp

DÇm thùc DÇm gi¶ t¹o


thanh hïng

72

Từ (7.7) ta có: xgt

x

Mq

EJ nếu EJx = const, dạng qgt giống dạng biểu đồ Mx.

Ta thấy qqt và Mx ngƣợc dấu nhau: x qt qt

x qt qt

M > 0 q < 0 q

M < 0 q > 0 q

Chú ý: Phần diện tích giới hạn bởi đƣờng cong:

Hình ZC Hình ZC

HL

3

L

4

HL

n 1

HL

n 2

2HL

3

3L

8

nHL

n 1

n 1L

2(n 2)

Ví dụ: Cho hình vẽ nhƣ bên: dầm có EJx = const chịu

lực. Xác định độ võng của dầm:

Giải:

Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx

Chọn dầm giả tạo và đặt tải trọng giải tạo.

xgt

x

Mq

EJ

Xác định yA và y'A .

Dùng mặt cắt qua A và xét cân bằng phần dầm

giả tạo bên phải ta có :

32 2

gtA 1 2X x

1 1 1 1 2qay 0 Q F F qa .a qa .a

EJ 2 3 2 3EJ


thanh hïng

73

43 3

A gtA 2 1x x

5 3 1 1 5 1 3 23qam 0 M F . a F. a qa a qa a

3 4 EJ 2 3 6 4 24EJ

Vậy: 4 3

'A gtA A gtA

x x

23qa 2qay M ; y Q

24EJ 3EJ

III. Phƣơng pháp thông số ban đầu

Giả sử dầm chia ra n đoạn.

Xét hai đoạn kề nhau (i) và (i+1).

Gọi độ võng, góc xoay, mômen uốn,

lực cắt, tải trọng phân bố và đạo hàm tải

trong phân bố tƣơng ứng ở 2 đoạn này

là :

Đoạn i:

yi(z),y’i(z), Mi(z), Qi(z), qi(z), q’i(z).

Đoạn i+1:

yi+1(z), y’i+1(z), Mi+1(z), Qi+1(z),

qi+1(z), q’i+1(z).

Giả thiết tại mặt cắt z=a, 6 đại lƣợng

trên có bƣớc nhảy là: ya, y’a, Ma, Qa, qa, q’a.

(Ví dụ: đoạn nối 2, đoạn ray đƣờng tàu...)

Giả sử đƣờng đàn hồi ở đoạn i đƣợc kéo dài sang đoạn (i+1)

Xét mặt cắt za, yi+1(z) = yi(z)+ y(z) (1)

_____________________________

Nhắc lại:

Hàm y= f(x). Khai triển Taylor tại x=xo

o i nx=x2 i no o o o

o o o o o

f '(x ) f ''(x ) f (x ) f (x )y= f(x) = f(x ) + (x x ) (x x ) ... (x x ) ... (x x )

1! 2! i! n!

Tại xo = 0 đƣợc chuỗi Macloranh

_____________________________

Khai triển Taylor của hàm y(z) tại z = a: IV V

2 3 4 5y'(a) y''(a) y'''(a) y (a) y (a)y(z) y(a) (z a) (z a) (z a) (z a) (z a) ...

1! 2! 3! 4! 5!

(2)

Xác định: (IV) (V)y(a), y'(a), y''(a), y'''(a), y (a), , y (a).

Theo giả thiết: a

a

y(a) y

y'(a) y'

(a)

Ta có: i 1 ii 1 i

i 1 i

M (z) M(z)y''(z) y'' y''

(EJ) (EJ)

i 1 i 1 i i

1y"(z) [k .M (z) k .M(z)]

EJ

Với i i 1

i i 1

k k1 1;

EJ (EJ) EJ (EJ)

.


thanh hïng

74

i 1 i 1 i i

i 1 i 1 i i

(IV)i 1 i 1 i i

(V)i 1 i 1 i i

1y"(z) [k .M (z) k .M(z)]

EJ

1y'''(z) - [k .Q (z) k .Q(z)]

EJ

1y (z) [k .q (z) k .q(z)]

EJ

1y (z) - [k .q' (z) k .q' (z)]

EJ

i 1 i 1 i i

i 1 i 1 i ithay z a

(IV)i 1 i 1 i i

(V)i 1 i 1 i i

1y''(a) - [k .M (a) k .M(a)]

EJ

1y'''(a) - [k .Q (a) k .Q(a)]

EJ

1y (a) [k .q (a) k .q(a)]

EJ

1y (a)\ - [k .q' (a) k .q' (a)]

EJ

(b)

thay(a),(b) 2 3i 1 i 1 i i i 1 i 1 i ii+1 i a avµo (2)

4 5i 1 i 1 i i i 1 i 1 i i

k .M (a) k .M(a) k .Q (a) k .Q(a)y (z) = y (z) + y + y ' (z-a) - (z a) - (z a) +

2!EJ 3!EJ

k .q (a) k .q(a) k .q' (a) k .q' (a)- (z a) - (z a) ...

4!EJ 5!EJ

(7.9)

(7.9) Là công thức truy hồi. Nếu biết đƣợc y1(z) ta tìm đƣợc y2(z), y3(z)...→ Xác định y1(z).

Để xác định y1(z) ta xét đoạn i =1, (Giả sử đoạn 0 bên trái đoạn1 có q0(z) 0, y0(z) 0)

Tại mặt cắt z = a = 0, yo = yo ,y’o = y’o , q’o= q’o

Các đại lƣợng tại mặt cắt đầu nút trái dầm (z = 0):

yo, y’o, Mo, Qo, qo, q’o Các thông số ban đầu.

Thay i = 0 vào (7.9) với yo(0) = 0, y’o(0) = 0, Mo(0) = 0, Qo(0) = 0, qo(0) = 0, q’o (0) = 0.

2 3 4 5(7.9)

1 0 1 0 1 0 1 01 0 0

k .M z k .Q z k q z k .q' zy (z) = y + y' z - - - - ...

2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ (7.10)

Đặc biệt: Ei.Ji = Ei+1.Ji+1 = const ki = 1 (i =1,n)

(7.10)

2 3 4 5

0 0 0 01 0 0

M z Q z q z q' zy (z) = y + y' z - - - - ...

2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ (7.11)

(7.9)

2 3 4 5a a a a

i+1 i a a

M Q q q'y (z) = y (z) + y + y' (z-a) - (z a) - (z a) - (z a) - (z a) ...

2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ

(7.12)

Trong đó:

a i 1 i f t

a i 1 i f t

a i 1 i f t

a i 1 i f t

M M (a) M(a) = M M

Q Q (a) Q(a) = Q Q

q q (a) q(a) = q q

q' q' (a) q' (a) = q' q'

Lƣu ý dấu:

→ M > 0 P → Q > 0

> 0

q' = tg > 0

→ M < 0 P→Q < 0

< 0

q' = tg< 0

Chú ý :

- Nếu đoạn i và i+1 nối cứng thì : ya = 0, y’a = 0.

- Nếu đoạn i và i+1 nối khớp thì : ya = 0, y’a 0.


thanh hïng

75

- Nếu đoạn i và i+1 nối bằng liên kết trƣợt thì : ya 0, y’a = 0.

Ví dụ 1: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ, dầm có

độ cứng EJ = const. Hãy xác định độ võng và

góc xoay mặt cắt ngang dầm tại C.

Giải:

1. Xác định phản lực liên kết và phân đoạn dầm.

- Từ điều kiện cân bằng VA= 3qa, VB= 4qa.

- Chia dầm thành 2 đoạn.

2. Lập bảng thông số.

Bảng thông số ban đầu

z = 0 z = 2a

y0 = 0

y'0 0

M0 = 0

Q0 = 3qa

q0 = -q

q’0= 0

y = 0

y' = 0

M = 2qa2

Q = -P= -2qa

q = q

2qq'

3a

3. Viết phƣơng trình độ võng và góc xoáy ở các đoạn dầm

Đoạn 1: 0 z 2a : 2 3 4 5

0 0 0 01 0 0

M .z Q .z q .z q' .zy (z) y y' .z

2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ

3 4

1 0

2 3

1 0

3qa.z q.zy (z) y' .z

3!EJ 4!EJ

3qa.z qzy' (z) y'

2EJ 6EJ

(1)

Đoạn 2: 2a z 5a :

2 3 4 5

2 1

M(z 2a) Q(z 2a) q(z 2a) q'(z 2a)y (z) y (z) y y'(z 2a)

2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ

2 2 3 4 5

2 1

2 2 3 4

2 1

2qa .(z 2a) 2qa.(z 2a) q.(z 2a) q.(z 2a)y (z) y (z)

2!EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a

2qa .(z 2a) P.(z 2a) q.(z 2a) q.(z 2a)y' (z) y' (z)

EJ 2EJ 6EJ 36EJ.a

(2)

4. Xác định thông số chƣa biết y'0 = ?

Để xác định y’0 ta dùng điều kiện biên:

Tại z = 5a ta có y2(5a) = 0


thanh hïng

76

3 4 2 3 3 4 5

2 0

3qa.(5a) q.(5a) 2qa .(3a) 2qa.(3a) q.(3a) q.(3a)y (5a) y' .5a 0

3!EJ 4!EJ 6EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a

3 3

0

qa 125 625 27 27 2309 qay' . 9 9 .

3EJ 2 24 8 20 300 EJ

(3)

5. Xác định yC, y’C. Thay y’0 vào (1) ta đƣợc:

3 3 4 43 3 4

C 11t¹ i C

z 2a 3 23 2 3

C 11

2309 qa qa.(2a) q.(2a) qa2309 qa qa.z q.zy y (2a) . .2a 12,06y (z) . .z

300 EJ 2EJ 24EJ EJ300 EJ 2EJ 24EJ

2309.qa 3qa.(2a) q.(2309.qa 3qa.z q.zy' y' (2a)y' (z)

300EJ 2EJ300EJ 2EJ 6EJ

3 32a) qa3,03.

6EJ EJ

Ví dụ 2: Cho dầm có EJ = const, chịu lực nhƣ hình vẽ. Tính độ võng và góc xoay tại C (yc, y’c).

Giải:

1. Xác định phản lực và phân đoạn.

Xét cân bằng dầm AB :

mA = 0 VB = 5,25 qa.

mB = 0 VA = 4,75 qa.

Chia dầm thành 3 đoạn.

2. Lập bảng thông số.

Bảng thông số ban đầu

z = 0 z = 3a z = 5a

y0 = 0

y'0 0

M0 = 0

Q0 = 4,75qa

q0 = 0

o

2qq ' tg

3a

y = 0

y' = 0

M = - qa2

Q = -2qa

q = -q - (-2q) = q

f t

2qq' q' q '

3a

y = 0

y' = 0

M = 3qa2

Q = -2qa

q = -2q - (-q) = -q

f t

2qq' q' q '

3a

3. Viết phƣơng trình đƣờng đàn hồi: Ei.Ji = const ki = 1 (i =1,n)

Công thức: (7.11) và (7.12)

Đoạn 1: 0 z 3a : 3 51 0

4,75qa 2qy z 0 y' .z 0 .z 0 .z

3!EJ 3a.5!EJ .

3 51 0

2 41 0

4,75qa qy z y' .z .z .z

3!EJ 180EJ

4,75qa qy' z y' .z .z

2EJ 36aEJ

Đoạn 2: 3a z 5a :

2

2 3 4 5

2 1

qa 2qa q 2qy z y z 0 0 . z 3a z 3a z 3a . z 3a

2!EJ 3!EJ 4!EJ 3a.5!EJ

22 3 4 5

2 1

22 3 4

2 1

qa qa q qy z y z . z 3a z 3a z 3a . z 3a

2EJ 3EJ 24EJ 180aEJ

qa qa q qy' z y' z . z 3a . z 3a z 3a . z 3a

EJ EJ 6EJ 36aEJ

Đoạn 3: 5a z 8a


thanh hïng

77

2

2 3 4 5

3 2

3qa 2qa q 2qy z y z 0 z 5a z 5a z 5a z 5a

2!E.J 3!E.J 4!E.J 3a.5!E.J

22 3 4 5

3 2

22 3 4

3 2

3qa 1qa q qy z y z . z 5a z 5a z 5a . z 5a

2E.J 3E.J 24E.J 180a.E.J

3qa qa q qy' z y' z . z 5a . z 5a z 5a z 5a

E.J E.J 6E.J 36E.J

4. Xác định các thông số chƣa biết y'0 = ?

Điều kiện biên: Tại B: z = 8a ; y3(8a) = 0 y'0

5. Xác định chuyển vị và góc xoay tại C: C 1 C 1y y 3a ; y' y' 3a

§4. Bài toán siêu tĩnh

Số ẩn số > số phƣơng trình cân bằng bài toán siêu tĩnh.

n = số ẩn số – số phƣơng trình cân bằng. (n – bậc siêu tĩnh)

lập n phƣơng trình bổ sung

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm chịu uốn nhƣ

hình vẽ:

Giải:

1. Xác định phản lực:

Phá bỏ liên kết tại B thay bằng phản lực VB +

điều kiện chuyển vị tại B bằng 0 hay :

Phƣơng trình bổ sung: yB =0

2. Xác định yB theo phƣơng pháp dầm giả tạo

(phƣơng pháp đồ toán): 2

B BB gt

V .l1 2 1 ql 3y M . .l. l . .l. l

2 E.J 3 3 2E.J 4

3 4

BB

V .l qly 0

3E.J 8E.J

B

3qlV

8 .

3. Vẽ biểu đồ Qy, Mx .

Độ võng và góc xoay của một số trƣờng hợp đơn giản

Sơ đồ kết cấu Độ võng

Góc xoay Sơ đồ kết cấu

Độ võng

Góc xoay


thanh hïng

78

max

max

4

B

3

B

qly y

8EJ

qly' y'

6EJ

max

max

4

C

3

A

5qly y

384EJ

qly' y'

24EJ

max

max

3

B

2

B

Ply y

3EJ

Ply' y'

2EJ

max

max

3

C

2

A

Ply y

48EJ

Ply' y'

16EJ

max

max

2

B

B

Mly y

2EJ

Mly' y'

EJ

max

max

2

C

A

Mly y

8EJ

Mly' y'

4EJ



thanh hïng

79

strength of materials 2

Documents