strucni rad srednje vrijednosti u svakodnevnom zivotu

Toni Milun Srednje vrijednost u svakodnevnom životu

1 Toni Milun

SREDNJE VRIJEDNOSTI U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU UVOD

Često postoji potreba da niz podataka zamijenimo jednim brojem –

srednjom vrijednosti ili prosjekom. Odgovor na pitanje kako izračunati prosječnu ocjenu savladali smo još

tijekom osnovnoškolskog obrazovanja. Zbrojili bismo sve ocjene iz pojedinog predmeta i podijelili zbroj s brojem ocjena i znali bismo kolika će nam biti zaključna ocjena. Može li se na isti način izračunati prosječna produktivnost nekog zaposlenika, prosječni prinos nekog investicijskog fonda ili prosječna plaća u nekom poduzeću?

Da bismo odgovorili na ova pitanja moramo znati da postoji 5 srednjih vrijednosti, odnosno «mjera centralne tendencije». Tri su potpune: aritmetička, geometrijska i harmonijska sredina i dvije su položajne: medijan i mod.

ARITMETIČKA SREDINA

Aritmetička sredina x je najpoznatija, najvažnija i najčešće korištena srednja vrijednost. Definira se kao prosječna vrijednost koja se dobije kao omjer zbroja svih vrijednosti neke varijable i broja njenih vrijednosti.

Za negrupirane podatke računa se prema izrazu:

N

x

x

N

i

i∑== 1 gdje je xi pojedina vrijednost varijable, a N ukupni broj podataka.

Iz grupiranih podataka dobije se iz relacije:

∑

∑

=

=

∗

=k

i

i

k

i

ii

f

xf

x

1

1 gdje je je xi pojedina vrijednost varijable, a fi broj pojavljivanja

vrijednosti xi.

Aritmetička sredina je prikladna srednja vrijednost za homogene statističke skupove s niskom razinom varijabilnosti. Na nju utječu sve jedinice niza, a izrazito ekstremne vrijednosti mogu značajno povećati ili smanjiti njenu vrijednost.

Ukoliko postoje ekstremno male ili velike vrijednosti, ili veliko raspršenje podataka aritmetička sredina ne mora biti reprezentativna, pa postoji potreba računanja medijana i moda.

MEDIJAN

Medijan Me je vrijednost one jedinice skupa koja se u nizu vrijednosti poredanih po veličini nalazi točno u sredini i dijeli niz vrijednosti na dva jednaka dijela tako da je pola jedinica skupa iznad, a pola ispod medijana.


2 Toni Milun

Ako je broj jedinica N neparan broj medijan je vrijednost koja se u

ureñenom nizu nalazi na rednom broju 2

1+=N

r . rxMe =

Ako je broj jedinica paran broj medijan je poluzbroj vrijednosti varijabli na

rednom broju 2

Nr = i 1+r .

2

1++= rr xx

Me .

Na vrijednost medijana ne utječu ekstremne vrijednosti, što mu može biti nedostatak, ali i prednost.

MOD

Mod je vrijednost one jedinice skupa koja ima najveću učestalost pojavljivanja u statističkom nizu. Niz može imati jednu, dvije ili više dominantnih vrijednosti, ali isto tako postoje i nizovi bez moda. Niz u kojima su sve jedinice meñusobno različite nema mod.

PRIMJER 1

Kolika je prosječna ocjena Ivice iz matematike, ako je tijekom godine dobio sljedeće ocjene: 3, 4, 4, 2, 3, 4, 2, 4?

Izračunat ćemo aritmetičku sredinu, medijan i mod i usporediti ih.

Prema izrazu N

x

x

N

i

i∑== 1 aritmetička sredina iznosi 25,3

8

26==x .

Da bismo izračunali medijan, Ivičine ocjene posložit ćemo u niz od najmanje do najveće: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Budući da Ivica ima paran broj

ocjena (N=8) , 42==

Nr , pa je medijan poluzbroj 4. i 5. ocjene u nizu.

5,32

43

2

54 =+

=+

=xx

Me .

50% Ivičinih ocjena su manje ili jednake 3,5, a 50% su više ili jednake 3,5.

Ivica je imao dvije dvojke, dvije trojke i četiri četvorke. Najčešća ocjena je 4, pa prema tome mod iznosi 4.

Zaključak: Ocjene se kreću u rasponu od 2 do 4, s nešto više četvorki u odnosu na trojke i dvojke, pa aritmetička sredina (3,25) najbolje reprezentira zadani skup i možemo reći da je prosječna ocjena 3,25.

PRIMJER 2

U poduzeću XY zaposlenici imaju mjesečnu neto plaću kako je navedeno u tablici 1:


3 Toni Milun

Zanimanje: Mjesečna plaća (kn)

Direktor 20000

Zamjenik 11000

Inženjer 5000

Tajnik 4000

Fizički radnik 3000



Tablica 1

Aritmetička sredina plaća iznosi 70007

490001 ===∑=

N

x

x

N

i

i

kn.

Prosječna plaća zaposlenika u poduzeću XY, dobivena izrazom za aritmetičku sredinu, iznosi 7000 kn.

Plaće su posložene u redu od najveće do najmanje i poduzeće ima neparan

broj zaposlenika (N=7). U tom slučaju 42

1=

+=N

r , pa je medijan jednak

40004 == xMe Polovica zaposlenika imaju mjesečnu plaću manju ili jednaku 4000 kn, a

druga polovica veću ili jednaku 4000 kn. Najviše zaposlenika imaju mjesečnu plaću u iznosu 3000 kn, pa je mod

3000 kn.

Koja od navedenih vrijednosti bi bila najprikladnija prosječna vrijednost? U tablici 2 imamo prikaz svih navedenih vrijednosti.

aritmetička sredina 7.000,00 medijan 4.000,00 mod 3.000,00

Tablica 2

Ne smijemo zaboraviti da je osnovna funkcija prosjeka da jednim brojem ponudi sliku prosječne jedinice zadanog skupa. Najčešće korištena vrijednost - aritmetička sredina u ovom primjeru nije prikladna jer u poduzeću XY zapravo ne postoji niti jedan zaposlenik s mjesečnom plaćom od 7000 kn ili približno jednakim iznosom. Iako je prosječna plaća pravilno izračunata, ona nije reprezentativan predstavnik mjesečnih plaća navedenih zaposlenika.

Zbog dvije velike vrijednosti mjesečnih plaća koje narušavaju homogenost ostalih podataka (20.000 kn i 11.000 kn), mod i medijan bolje opisuju prosječnog zaposlenika, pa bi jedna od te dvije vrijednosti bila primjerenija prosječna vrijednost.


4 Toni Milun

GEOMETRIJSKA SREDINA

Geometrijska sredina negrupiranih podataka računa se prema izrazu:

NNxxxG ∗∗∗= ...21 , tj. N

N

i

ixG ∏=

=1

, ix >0 gdje je xi pojedina

vrijednost varijable, a N ukupni broj podataka.

Za grupirane podatke računa se:

N f

k

ff kxxxG ∗∗∗= ...21

21 tj. N

k

i

f

iixG ∏

=

=1

, ix >0, Nfk

i

i =∑=1

gdje je je xi

pojedina vrijednost varijable, a fi broj pojavljivanja vrijednosti xi,

Primjenjuje se u analizi vremenskih nizova podataka, odnosno kada podaci slijede geometrijsku progresiju.

PRIMJER 3

Osoba A uložila je 1. siječnja 2001. godine 1.000,00 kn u XY investicijski fond i stanje na računu 1. siječnja pojedine godine izgleda kako je prikazano u tablici 3. godina stanje na računu 2001 1.000,00 2002 1.075,00 2003 1.183,58 2004 1.290,10 2005 1.319,77 2006 1.425,35

Tablica 3

Koliki je prosječni prinos fonda izražen u postotcima?

Prvo ćemo izračunati prinose izražene u postotcima (stopama) p za svaku pojedinu godinu, kao i pojedine kamatne faktore promjene r .

Kako je ulog od 1.000,00 kn nakon 1 godine povećan na 1.075,00 kn iznos prinosa je knknkn 00,7500,000.100,075.1 =− , a postotak prinosa je

%5,7%100*1000

751 ==p .

U drugoj godini iznos od 1.075,00 kn narastao je na 1.183,58 kn, pa je iznos prinosa knknkn 58,10800,075.158,183.1 =− ili izraženo u postotcima

%1,10%100*00,1075

58,1082 ==p .

Tako računamo postotke za sve navedene godine.


5 Toni Milun

Kamatni faktor prinosa možemo izračunati na dva načina: 100

1 ii

pr += ili

1−

=i

i

iC

Cr . Dakle 075,1

100

5,711 =+=r ili 075,1

00,1000

00,10751 ==r

Na takav način možemo izračunati sve preostale kamatne faktore. Dobili smo tablicu 4 s prikazom postotaka i faktora prinosa za sve

navedene godine.

godina stanje na računu

godina postotak prinosa (p)

Kamatni faktor (r)

2001 1.000,00 1 7,5% 1,075 2002 1.075,00 2 10,1% 1,101 2003 1.183,58 3 9% 1,09 2004 1.290,10 4 2,3% 1,023 2005 1.319,77 5 8% 1,08 2006 1.425,35

Tablica 4

Imamo dva problema: 1. Što bi predstavljala prosječna stopa prinosa, odnosno što bi bila njena

interpretacija? 2. Kako izračunati prosječnu stopu prinosa?

Evo i odgovora na 1. problem: Prosječna stopa bi trebala imati sljedeće

svojstvo: uloženih 1.000,00 kn bi uz takvu konstantnu prosječnu stopu nakon 5 godina trebali narasti na 1.425,35 kn.

Što se tiče drugog problema možemo se upitati sljedeće: Je li prosječni prinos aritmetička sredina svih postotaka prinosa ili faktora prinosa? Ili je možda geometrijska sredina postotaka, ili pak faktora prinosa? Izračunat ćemo sve 4 prosječne vrijednosti.

Aritmetičku sredinu postotaka izračunat ćemo kao omjer zbroja svih

postotaka i njihovog broja %38,75

%8%3,2%9%1,10%5,7=

++++=p . Iz dobivene

aritmetičke sredine postotka prinosa računamo prosječan kamatni faktor prinosa

0738,1100

1 =+=p

r .

Analogno računamo aritmetičku sredinu kamatnog faktora prinosa.

Dobijemo iznos 0738,15

08,1023,109,1101,1075,1=

++++=r , pa je odgovarajući

postotak promjene %38,7%100*)1( =−= rp . Možemo primijetiti da su u oba izračunata slučaja prosječne stope i kamatni faktori prinosa jednaki.

Računamo i geometrijsku sredinu svih postotaka prinosa %60220,683,291,105,75 =∗∗∗∗=p , a odgovarajući kamatni faktor promjene

iznosi 0660220,1100

1 =+=p

r .


6 Toni Milun

Analogno računamo prosječni kamatni faktor prinosa i dobijemo 0734562,108,1023,109,1101,1075,15 =∗∗∗∗=r te odgovarajući prosječni postotak

%34562,7%100*)1( =−= rp Vrijednosti aritmetičkih i geometrijskih sredina postotaka i faktora prinosa

dane su u tablici 5: Način računanja p(%) r aritmetička sredina postotaka 7,38000 1,0738000 aritmetička sredina faktora 7,38000 1,0738000 geometrijska sredina postotaka 6,60220 1,0660220 geometrijska sredina faktora 7,34562 1,0734562 Tablica 5

Provjerit ćemo uz koju od ove 3 različite stope bi vrijednost od 1000 kn nakon 5 godina narasla na 1.425,35 kn.

godina p=7,38% (r=1,0738)

p=6,6022% (r=1,066022)

p=7,34562% (r=1,0734562)

2001 1.000,00 1.000,00 1.000,00 2002 1.073,80 1.066,02 1.073,46 2003 1.153,05 1.136,40 1.152,31 2004 1.238,14 1.211,43 1.236,95 2005 1.329,52 1.291,41 1.327,81 2006 1.427,63 1.376,67 1.425,35

Tablica 6

Kako možemo primijetiti, jedino uz prosječnu stopu promjene p=7,34562%, odnosno r=1,0734562 uloženih 1.000,00 kn naraste na 1.425,35 kn, pa možemo zaključiti da se prosječna stopa promjene dobije kao geometrijska sredina faktora promjene.1

HARMONIJSKA SREDINA

Harmonijska sredina se definira kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti podataka.

Za negrupirane podatke računa se prema izrazu:

∑=

=N

i ix

NH

1

1 , 0≠ix , gdje je xi pojedina vrijednost varijable, a N ukupni broj

podataka. Za grupirane podatke računa se:

∑

∑

=

==k

i i

i

k

i

i

x

f

f

H

1

1 , 0≠ix , gdje je xi pojedina vrijednost varijable, a fi broj pojavljivanja

vrijednosti xi,

1 Bitno je uočiti da nismo računali prosječno stanje, već prosječnu promjenu stanja fonda.


7 Toni Milun

Harmonijska sredina koristi se kad je veličina za koju tražimo prosjek obrnuto proporcionalna veličini koja je zadana, najčešće kad računamo prosječno vrijeme za obavljanje neke aktivnosti.

PRIMJER 4

Osoba A samostalno izradi odreñeni ureñaj za 3 sata, osoba B za 4 sata, a osoba C za 6 sati. Koliko je prosječno vrijeme potrebno da se izradi jedan ureñaj?

Pretpostavit ćemo da ne znamo koja od 3 potpune srednje vrijednosti je prikladna za računanje prosječnog vremena, pa ćemo izračunati sve tri srednje vrijednosti i provjeriti ih.

Aritmetička sredina iznosi 3,43

643&=

++=Ax

Geometrijska sredina iznosi 16,46433 =∗∗=gx

Harmonijska sredina iznosi 4

6

1

4

1

3

1

3=

++

=Hx

Koja je vrijednost ispravna? Budući da učenici imaju najviše problema upravo s razumijevanjem ovog

tipa zadataka riješit ćemo ga na više načina:

PRVI NAČIN: Prosječno vrijeme bi mogli interpretirati na sljedeći način: kad bi sve tri

osobe radile, koliko vremena bi bilo potrebno da zajedno izrade tri ureñaja?

Možemo razmišljati na sljedeći način: sve tri osobe istovremeno krenu u

izradu ureñaja. Osoba A u jednom satu obavi 3

1 posla, osoba B

4

1, a osoba C

6

1posla.

Nakon 3 sata osoba A je već napravila svoj ureñaj, osoba B je odradila4

3

posla, a osoba C samo 2

1

6

3= ureñaja, pa joj preostaje još pola posla. Kako je

osoba C najsporija, osoba A joj se pridružuje i pomaže. Kakva je situacija nakon još jednog sata rada (ukupno 4 sata)? Osoba B je upravo završila svoj ureñaj, tako da imamo 2 gotova ureñaja.

Osobe A i C zajedno dovršavaju ureñaj osobe C. Osoba A je u sat vremena

sklopila 3

1 ureñaja, a osoba C

6

1 ureñaja, što zajedno iznosi

2

1

6

1

3

1=+ ureñaja –

upravo onoliko koliko je bilo preostalo nakon tri sata. Zaključak: sve tri osobe zajedno uspjele su u 4 sata napraviti 3 ureñaja,

što znači da je prosječno vrijeme za izradu jednog ureñaja iznosi 4 sata, pa možemo zaključiti da je harmonijska sredina ispravna prosječna vrijednost u našem slučaju.


8 Toni Milun

DRUGI NAČIN: Budući da je 12 najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 4 i 6 vidjet

ćemo koliko ureñaja su sve 3 osobe napravile za 12 sati. Osoba A izradi 12:3=4 ureñaja, osoba B 12:4=3 ureñaja, a osoba C 12:6=2 ureñaja. Ako zbrojimo ukupno vrijeme provedeno u poslu dobit ćemo 3*12=36 sati za koje je izrañeno 4+3+2=9 ureñaja. Prosječno vrijeme po jednom ureñaju iznosi 36:9=4 sata.

TREĆI NAČIN:

Osoba A u jednom satu izradi 3

1 ureñaja, osoba B

4

1, a osoba C

6

1

ureñaja. Zajedno u 1 satu izrade 4

3

12

9

6

1

4

1

3

1==++ ureñaja, što u prosjeku po

osobi izañe4

13:

4

3= ureñaja. Ako se u jednom satu prosječno obavi

4

1 posla slijedi

da će cijeli posao u prosjeku biti obavljen za 4 sata. Ako se harmonijska sredina koristi za izračunavanje prosjeka veličine koja

je obrnuto proporcionalna od zadane možemo se pitati što je u našem primjeru obrnuto proporcionalno.

Problem u primjeru 4 mogli smo i drugačije formulirati: Kolika je prosječna produktivnost P triju osoba? Produktivnija je osoba kojoj treba manje vremena za obavljanje odreñenog posla, dakle produktivnost je obrnuto proporcionalna vremenu i možemo je definirati kao količinu obavljenog posla u jednom satu s

mjernom jedinicom [ ]1−h . Tako je produktivnost osobe 1

3

1 −h ureñaja, osobe B

1

4

1 −h , a osobe C 1

6

1 −h ureñaja.

Poopćeno govoreći, prosječna produktivnost je aritmetička sredina svih

produktivnosti N

t

N

P

P

N

i i

N

i

i ∑∑== ==11

1

. S druge strane prosječna je produktivnost

obrnuto proporcionalna prosječnom vremenu t

P1

= iz čega slijedi da je

∑=

==N

i it

N

Pt

1

1

1, čime smo pokazali da je prosječno vrijeme za obavljanje nekog

posla harmonijska sredina svih pojedinačnih iznosa vremena.

LITERATURA:

1. Gogala, Z. (2001.): Osnove statistike, Sinergija d.o.o., Zagreb 2. Papić, M., (2005.): Primijenjena statistika u MS Excelu, ZORO d.o.o.,

Zagreb 3. Šošić, I., (2006.): Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb 4. Vukičević, M., Papić, M. (2003.): Matematičko-statistički priručnik za

poduzetnike, Golden marketing – Tehnička knjiga, Zagreb

strucni rad srednje vrijednosti u svakodnevnom zivotu

Documents