Structural Space Scaling

SHOJIMA KojiroThe National Center for University Entrance Examinations

shojima@rd.dnc.ac.jp

Purpose

• MDSでは項目群は 1つの空間 Sにプロットされる

• Sがいくつかの部分空間から成るとしたら？• 部分空間間に構造（因果、影響）があったら？• Sの構造を仮説検証的（確認的）に同定したい

• 構造空間尺度法 (structural space scaling)を提案– 部分空間間の関係を記述するための確認的MDS– パス図を使う

Path Diagram• ノードとパス（無向、有向、双方向）を使って変数間の関係を図示– Graphical Models– Structural Equation Models– Beyesian Networks

Entire Space and Subspaces

• マップに 8つの項目

• S：全体の空間• S1と S2：部分空間

• S1→S2という構造

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1x2 x3

x4

x5

x6 x7

x8

η2

η1

S

S2

S1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1x2 x3

x4

x5

x6 x7

x8

η2

η1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1x2 x3

x4

x5

x6 x7

x8

f11O1

f12η2

η1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1x2 x3

x4

x5

x6 x7

x8

f11O1

i21

f21

f12

f22

i22

η2

η1

Map→Path Diagram

𝑓 21

𝑓 22

𝑠21

𝑠22

1

1

𝑖21

𝑖22

𝑥5 𝑥6

𝑥7 𝑥8

𝑎5 𝑎6

𝑎7 𝑎8

点 O1(m11, m12)

𝑓 11

𝑓 12

𝑚11

𝑚12

𝑟1

𝑥1 𝑥2

𝑥3 𝑥4

𝑎1 𝑎2

𝑎3 𝑎4

𝑎1=¿ �⃗�1 𝑋 1∨¿

S1は f11と f12によって形成

S2は f21と f22によって形成

𝑠21

𝑠22

𝑖21

𝑖22

𝑥1 𝑥2

𝑥3 𝑥4

𝑥5 𝑥6

𝑥7 𝑥8

𝑓 11

𝑓 12

𝑓 21

𝑓 22

𝑟1

1

1

𝑚11

𝑚12

𝑎1 𝑎2

𝑎3 𝑎4

𝑎5 𝑎6

𝑎7 𝑎8

Exogenous and Endogenous Spaces

外生空間 内生空間外生次元

外生次元

内生次元

内生次元

[𝑓 11

𝑓 1 2

𝑓 21

𝑓 22

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

𝑥5

𝑥6

𝑥7

𝑥8

]=[¿

𝑖2 1 𝑓 12

𝑖22 𝑓 12

¿¿¿¿

]+¿

Path Diagram→Structural Coordinates

𝑓 21

𝑓 22

𝑠21

𝑠22

1

1

𝑖21

𝑖22

𝑥5 𝑥6

𝑥7 𝑥8

𝑎5 𝑎6

𝑎7 𝑎8

𝑓 11

𝑓 12

𝑚11

𝑚12

𝑟1

𝑥1 𝑥2

𝑥3 𝑥4

𝑎1 𝑎2

𝑎3 𝑎4

𝐭=𝛍+𝐀𝐭+𝐮

[𝑓 11

𝑓 1 2

𝑓 21

𝑓 22

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

𝑥5

𝑥6

𝑥7

𝑥8

]=[𝑓 11

𝑓 12

𝑖21 𝑓 1 2

𝑖22 𝑓 1 2

¿¿¿¿

]+¿

𝐭=𝛟+𝐀𝐭

Structural Coordinates→Measurement Coordinates

G: 選択行列 (selection matrix taking x out of t)Φ: 内積構造 (inner product structure)Δ: 距離構造 (distance structure, model distance)D: 1-mode 2-way距離行列

𝚲=(𝐈−𝐀)− 1𝐱=𝐆𝐭=𝐆𝚲𝛟

G: 選択行列 (selection matrix taking x out of t)Φ: 内積構造 (inner product structure)Δ: 距離構造 (distance structure, model distance)D: 1-mode 2-way距離行列

Measurement Coordinates→Distance Structure

Φ: Inter-Subspace Inner Product Structure

r1: f11と f12の内積

𝚽=𝛟𝛟′= [1 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖21 𝑖22 ¿ 𝑓 11

′ 𝑓 12 1 𝑖2 1 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖22 𝑓 11

′ 𝑓 12 ¿ 𝑖21 𝑖21 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖21

2 𝑖21 𝑖22 ¿ 𝑖2 2 𝑖22 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖21𝑖22 𝑖2 2

2 ¿𝑶 ]= [1 𝑟1 𝑖21 𝑖22 ¿𝑟 1 1 𝑖21 𝑟1 𝑖22𝑟 1 ¿ 𝑖21 𝑖21𝑟1 𝑖212 𝑖21𝑖22 ¿ 𝑖22 𝑖22𝑟1 𝑖21𝑖22 𝑖22

2 ¿𝑶 ]𝑓 11

𝑓 12

𝑓 21

𝑓 22

𝑟1

Measurement Equations→Distance Structure

G: 選択行列 (selection matrix taking x out of t)Φ: 内積構造 (inner product structure)Δ: 距離構造 (distance structure, model distance)D: 1-mode 2-way距離行列

Goodness of Fit Indices

n: Number of Items: Estimated Distance StructureMD: Mean DifferenceRMSD: Root Mean Squared Difference

Summary (1) SEM Approach in MDS

• Structural Space Scaling (SSS)を提案– MDSにおいて部分空間間関係 (inter-subspace

structure)を構造方程式とパス図で表現–座標を構造化→距離行列を構造化（距離構造）– MDSにおける構造方程式アプローチ–モデル適合度などを参考にモデル改善

• 具体的な推定手続きについては今後の課題–今回の例については再現を確認

Summary (2) Dimensionality

• 次元数について–通常のMDSでは 2次元か 3次元–実用上、 4次元以上の空間にプロットしない

• データが 4次元以上の構造を持つとき– 2D (3D)空間に射影されたシルエットは構造の実体に迫れない

• パス図は 4次元以上の構造の視覚化に優れる

4次元以上の構造の記述がしやすい

→ A1 A2 A3 B1 B2 B3A1 1 2 5 5 6A2 1 1 5 6 5A3 1 2 5 6 5B1 4 3 3 2 1B2 3 3 4 1 1B3 3 4 3 2 1

5.5 3.5

Expansion to Asymmetric Structure

ご清聴ありがとうございました。