structures pyramidales luc brun l.e.r.i., reims and walter kropatsch vienna univ. of technology,...
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Structures Pyramidales
Luc Brun
L.E.R.I., Reims
and
Walter Kropatsch
Vienna Univ. of Technology, Austria
Segmentation
• Segmentation: Partition de l’image en un ensemble de composantes connexes uniformes
falseSSPadjSS
jinji
trueSPni
connectedisSni
SX
jiji
i
i
n
ii
2
1
,...,1,)4
,...,1)3
,...,1)2
)1 S1 S2
S3S4
S5
Segmentation
• Problèmes– Quantité importante de données– L’homogénéité dépend de
• Résolution/Contexte
• Besoins– Parallélisme
– Notion de Hiérarchie
Contenu du cours
• Structure de données Hiérarchiques
• Cartes Combinatoires
• Pyramides Combinatoires
Pyramides Régulières
Pyramides Matricielles(M-Pyramides)
• Pile d’image de résolution décroissante
Niveau 0
Niveau 1
Niveau 2
2x2/4 Pyramide
Niveau 3
Pyramides Arborescentes(T-Pyramides)
M-Pyramides
• M-Pyramide NxN/q (Ici 2x2/4)– NxN : Fenêtre de Réduction. Pixels
utilisés pour calculer la valeur d’un père (habituellement un filtre passe bas)
– q : Factor de réduction. Rapport entre la taille de deux image consécutives
– Champ récepteur:Ensemble des fils au niveau le plus bas
M-Pyramides
• NxN/q=1: Pyramides non chevauchante sans trous (ex. 2x2/4)
• NxN/q<1: Pyramide trouée.
• NxN/q>1: Pyramide Chevauchante
M-Pyramides-T-Pyramides
• Comment coder une partition ?
• Sélection de racines a différents niveaux Quad tree
Quad tree
• Décomposition récursive de l ’image
Pyramide Non chevauchante
• 2x2/4 : Pyramide Gaussiène
Pyramide chevauchante
• NxN/q >1
- Fils internes:Plus proches de leurs pères
Fils externes
Exemple : 4x4/4
Pyramide Chevauchante
• NxN/q>1: Chaque pixel contribue à la valeur de plusieurs pères => Chaque pixel a plusieurs pères potentiels
Pyramides Chevauchantes
• Algorithme de Segmentation
– lien (père,fils)
– Père légitime: le plus proche (plus fort lien)
– Racine: Lien(P,Légitime(P))<seuil)
Pyramides ChevauchantesPyramid linking[BHR 81]
De Bas en haut-Calculer les valeurs-Positionner les liens
De Haut en bas-Sélectionner les racines-Lier les pixels non racine à leurs pères légitime
Pyramide chevauchante
Pyramides Régulières
• Avantages (Bister)[BCR90]– réduit l ’influence du bruit– Rend les traitements indépendants de la résolution– Converti des propriétés globales en propriétés
locales– Réduit les coûts de calcul– Analyse d ’image a coût réduit en utilisant des
images faible résolution.
Pyramides Régulières
• Inconvénients(Bister)– Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations– La préservation de la connexité n ’est pas
garantie.
Pyramides Régulières
• Inconvénients(Bister)– Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations– La préservation de la connexité n ’est pas
garantie.– Nombre limité de régions à un certain niveau
Peut être décris seulement au niveau 3
4 pixels au niveau 3 (8 bandes)
4x4/4 Pyramide
Pyramides Régulières
• Inconvénients(Bister)– Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations– La préservation de la connexité n ’est pas
garantie.– Nombre limité de régions à un certain niveau– Difficile de coder les longues régions
Pyramides Irrégulières
• Piles de graphes progressivement réduits
Pyramides Irrégulières [Mee89,MMR91,JM92]
• Partant de G=(V,E) construire G’=(V’,E’)– Sélectionner un ensemble de nœuds survivantsV
– Lien parent-enfant Partition de V
– Définition de E’
• Sélection des racines
Pyramides Stochastiques
• V’ : Maximum Independent Set
– maximum de• Une variable aléatoire
– [Mee89,MMR91]
• Un critère d ’intérêt– [JM92]
EvvVvVVv ),'('''
EvvVvv ','', 2
Pyramides Stochastiques
• Sélection des survivants: Utilisation d ’une variable aléatoire (distribuée uniformément)
1 5 10 8
6 20 9 6
15 11 3 9
13 7 10 20
1 5 10 8
6 20 9 6
15 11 3 9
13 7 10 20
Pyramides Stochastiques
• Sélection des survivants: Utilisation d ’une variable aléatoire (distribuée uniformément)
1 5 10 8
6 20 9 6
15 11 3 9
13 7 10 20
1 5 10 8
6 20 9 6
15 11 3 9
13 7 10 20
Pyramides Stochastiques
• Lien parent-enfant :
– maximum de• Une variable aléatoire
– [Mee89,MMR91]
• une mesure de similarité – [JM92]
1 5 10 8
6 20 9 6
15 11 3 9
13 7 10 21
EvvVvVVv ),'('''
Pyramides Stochastiques
• Définition des arêtes E’ du graphe réduit
– Deux pères sont reliés par une arête s ’ils ont des enfants adjacents.
Pyramides Stochastiques
• Sélection des Racines:
– Restriction du processus de décimation par une fonction de classe
• [MMR91]
– Faible Lien Parent -Enfant • [JM92]
Pyramides Stochastiques [MMR91]
• Restriction du processus de décimation par une fonction de classe
otherwize
mergemayvvifvv
E
0
,1),(
1,0
2121
Pyramides Stochastiques (Jolion-Montanvert)[JM92]
• Sélection des nœuds survivants– Critère d ’intérêt local (minimum local de la
variance)
• Relation Parent-Enfant:– Parent le plus proche (différence de niveaux de
gris)
• Extraction des racines– Différence de niveaux de gris entre un père et son
enfant >seuil
Pyramides Stochastiques
• Avantages– Processus purement local[Mee89]– Chaque racine correspond à une composante
connexe du graphe initial[MMR91]
• Inconvénient:– Pauvre description des relations entre les
régions.
DéfinitionsContraction d ’arêtes
Identifier les deux noeuds
Supprimer l’arête
Donné une arête à contracter
Définition Graphes Duaux
• Deux graphes codant les relations entre les régions et les segments
Définition Graphes duaux
• Deux graphes codant les relations entre les régions et les segments
Graphes duaux
• Avantages (Kropatsch)[Kro96]– Code les propriétés des nœuds et des faces
• Inconvénients [BK00]– Nécessite le stockage et la mise à jour de deux
structures de données. • Contraction in G Suppression dans G
• Suppression dans G Contraction dans G
Paramètre de Décimation
• Soit G=(V,E), un Paramètre de Décimation (S,N) est défini par (Kropatsch)[WK94]:– un ensemble de nœuds survivants SV– Un ensemble d ’arêtes non survivantes NE
• Tout nœud non survivant est connecté à un nœud survivant de manière unique:
NsvSsSVv ),(:!
Exemple de Décimation: S:N
Paramètre de Décimation
• Caractérisation des arêtes non relevantes(1/2)
d°f = 2
Paramètre de Décimation
• Caractérisation des arêtes non relevantes(2/2)
d°f = 1
Paramètre de Décimation
• Paramètre de Décimation dual– Supprimer toutes les faces de degré inférieur à 3
Paramètre de Décimation
• Contraction d ’arêtes: Paramètre de Décimation (S,N) – Contractions dans G– Suppressions dans G
• Nettoyage : Paramètre de Décimation dual– Contractions dans G– Suppressions dans G
Paramètre de Décimation
La caractérisation des arêtes non relevantes nécessite le graphe dual
Graphes duaux (G,G)
Paramètre de Décimation
• Avantages– Meilleure description de la partition
• Inconvénients– Faible décimation
Noyaux de Contraction
Soit G=(V,E), un noyau de contraction (S,N) est défini par:– Un ensemble de nœuds survivants SV– Un ensemble d ’arêtes non survivantes NE
Telles que:– (V,N) est une forêt de (V,E)– Les nœuds survivants S sont les racines des
arbres
Noyaux de Contraction
• L ’application successive de plusieurs paramètres de décimation est équivalente à l ’application d ’un noyau de contraction.
Exemple de Noyaux de Contractions: S
:N, ,
Exemple de Noyaux de Contractions
• Suppression des arêtes non relevantes: Noyau de contraction dual
Structures de données Hiérarchiques /Cartes Combinatoires
• M-Pyramids•Overlapping Pyramids• Stochastic Pyramids• Adaptive Pyramids• Decimation parameter• Contraction kernel
Cartes Combinatoires définitions
• Permutation : bijection de D dans D
• Orbites : images successive d ’un élément*(1) = {1,3,6}*(2)={2,10,9,8,5}*(4)={4}, *(7)={7}
• Cycles : restriction of à une seule orbite
98571246103
10987654321
)7)(4)(5,8,9,10,2)(6,3,1(
Cartes Combinatoires définitions
• G=(V,E) G=(D,,)– décomposition de chaque arête en deux demis
arêtes(brins) :
2
3-3 4
-4
5
-5
-2
6-6
1
-1
bbb 6,...,1,1,...,6
6,65,54,43,32,21,1
- : code les arêtes
D ={-6,…,-1,1,…,6}
Cartes Combinatoires définitions
• G=(D,, ) : code les nœuds
)6,2,1)(5,6,4)(5,4,3)(2,3,1(
*(1)=(1,*(1)=(1,3*(1)=(1,3,2)
12
-1
3-3 4
-4
5
-5
-2
6-6
Cartes Combinatoires Propriétés
• Calcul du graphe dual :– G=(D,,) G=(D, = , )
• L ’ordre défini sur induit un ordre sur
)5,4)(2,3,5,6)(6,4,3,1)(2,1(
*(-1)=(-1,*(-1)=(-1,3*(-1)=(-1,3,4*(-1)=(-1,3,4,6)
1
5-5 -4
-3
-6 6
2
-2
-1
4
3
Cartes CombinatoiresPropriétés
• Calcul du graphe dual :– G=(D,,) G=(D, = , )
)5,4)(2,3,5,6)(6,4,3,1)(2,1(
*(-1)=(-1,*(-1)=(-1,3*(-1)=(-1,3,4*(-1)=(-1,3,4,6)
1
-1
2
3-3 4
-4
5
-5
-26
-6
Cartes Combinatoires Propriétés
• Résumé– Les brins sont ordonnés autour des nœuds et
sommets• Le contour de chaque face est ordonné • L ’ensemble des régions qui en entoure une autre est
ordonné
– Le graphe dual peut être codé implicitement – Le formalisme des cartes combinatoires peut être
étendu a n ’importe qu’elle dimension (Lienhardt)[Lie89]
Cartes Combinatoires /Pyramides Combinatoires
• Combinatorial Maps•Computation of Dual Graphs•Combinatorial Maps properties•Discrete Maps
[Bru99]http://www.univ-st-etienne.fr/iupvis/color/Ecole-Ete/Brun.ppt
Suppression
• G=(D,, )– dD tel que d ne définit pas un pont
• G’=G\ *(d)=(D’, ’, )
dd
dd
ddddDd
1
1
11
'
'
''','
d -d
d1
d d 1
d
Suppression
• Exemple
-1
3-3 4
-4
5
-5
-2
6-6
12
-1
3-3 4
-4
-2
6-6
12
456'
354'
'''6,4'
ddDd
d=5
Contraction
• G=(D,, )– dD tel que d ne définit pas une boucle– G’=G/*(d)=(D’, ’, )
dd
dd
ddddDd
1
1
11
'
'
''','
d -d
d1
d d 1
d
d d 1
d d1
Contraction
• Préservation de l ’orientation
1
2
3
4
d
c
b
a
1
2
3
4
d
c
b
a
Opérations de base Propriété Importante
-1
3-3 4
-4
-2
6-6
12
-4
-3
-6 6
2
-2
-1
4
3
-1
3-3
4
-4
5
-5
-2
6-6
12
d=5
d=5
suppression
contraction
• Le graphe dual est implicitement mis à jour
1
5-5 -4
-3
-6 6
2
-2
-1
4
3
Noyaux de Contraction
• Soit G=(D,, ), KD est un noyaux de contraction ssi:– K est une forêt de G
• Ensemble symétrique de brins ((K)=K)
• Chaque composante connexe est un arbre
– Au moins un brin doit survivre• SD=D-K
Noyaux de Contraction
• Exemple1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
K=
Noyaux de Contraction
• Exemple1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
K=
10,21,17,13,1*
Noyaux de Contraction
• Comment calculer la carte combinatoire contractée ?– Quelle est la valeur de ’(-2) ?1 2
413 14 15
-2-1 2
4
13
1415
-2
13122' 2 12
Noyaux de Contraction
• Comment calculer la carte combinatoire contractée ?– Quelle est la valeur de ’(-2) ?1 2
4
13 14 15
-2-1
-13
17
7
2
414
15
-217
7
171322' 3
Noyaux de Contraction
• Chemins de connexion– Soit G=(D,, ) , KD et SD=D-K– Si d SD, CW(d) est la suite minimale de brins
non survivants entre d et un autre brin survivant..
• Les chemins de connexion connectent les brins survivants.
SDdNIpMinn
withddddCWSDd p
n
*
1...)(
Noyaux de Contraction
• Chemins de connexion1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
-2-1
CW(-2)=-2.-1.13.17.21.10
Noyaux de Contraction
• CW(-2)=-2,-1,13,17,21,10
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
-2-1
2
3
5 6
8 9
11 12
15 16
19 20
23 24
-2
18
14
22
7
4
112' -11
-11
Noyaux de Contraction
• Construction de la carte combinatoire contractée.– Pour chaque d in SD
• calculer d’: dernier brin de CW(-d)’(-d)=(d’)’(d)=’(-d) = (d’)
3
11
2
5 6
8 9
12
15 16
19 20
23 24
-2
18
14
22
7
4
Extensions(1/2)
• Noyaux de contraction dual– Remplacer par
– Application de plusieurs noyaux de même type• Concaténation des chemins de connexion
Extensions(2/2)
• Application de plusieurs noyaux de type différents– Objet plus général: des chemins de connexion
aux suites de connexion
• Pyramides étiquetées : – Pour chaque brin coder:
• Le plus haut degré où il est défini (durée de vie)
• La façon dont il disparaît (contracté ou supprimé)
Conclusion
• Les graphes codes efficacement les relations topologiques. Les cartes Combinatoires:– code l ’orientation – Permettent un codage implicite du graphe dual– Peuvent être généralisé à des dimensions plus
élevées
• Les pyramides irrégulières résolvent les limitations de leurs ancêtres réguliers
Pyramides Combinatoires