structuri static determinate

CURSUL NR. 1 STRUCTURI STATIC DETERMINATE ANUL II IUDR 1.1 ASPECTE FUNDAMENTALE Scopul fundamental al Staticii constructiilor consta in evaluarea starilor de eforturi si deformabilitate ale structurilor, cu conditia asigurarii criteriilor de rezistenta, deformatie si stabilitate.

1.1.1 Relatia Actiune – Sistem – Raspuns (A – S – R) ACTIUNI STATICE

forte exterioare variatii de temperatura

cedari de reazeme

SISTEM CARACTERISTICI STRUCTURALE

(GEOMETRICE si FIZICE)

RASPUNS EFORTURI SECTIONALE si DEPLASARI PUNCTUALE

Figura 1.1 Relatia Actiune-Sistem-Raspuns pentru Staticii constructiilor

In figura 1.1 se prezinta relatia operationala definita de diagrama A – S – R care guverneaza calculul static al structurilor. Este necesar ca toti parametrii care intervin in relatia A – S – R sa fie modelati astfel incat sa reflecte si sa evalueze cat mai fidel fenomenele reale. Conform figurii 1.1 pot fi rezolvate categoriile de probleme cuprinse in tabelul 1.1.

Tabel 1.1 TIPUL

PROBLEMEI DE REZOVAT

MARIMI CUNOSCUTE

(dare de intrare)

MARIMI CARE SE DETERMINA

(date de iesire) ANALIZA A; S R SINTEZA A; R S

IDENTIFICAREA ACTIUNILOR R; S A

Din cele trei tipuri de probleme de rezolvat, prezentate in tabelul 1.1, Statica constructiilor are doua scopuri principale:

• SINTEZA. Reprezinta stabilirea configuratiei structurale in asa fel incat sa fie satisfacute conditiile cerute de destinatia cladirilor precum si de anumite criterii economice si estetice.

• ANALIZA. Reprezinta determinarea starii de eforturi sectionale si a deplasarilor punctuale in vederea dimensionarii sau verificarii elementelor.

Pentru a pune in evidenta legatura de principiu dintre Statica constructiilor si Rezistenta materialelor in figura 1.2 este redata schema corespunzatoare rezolvarii problemelor specifice ale Rezistentei materialelor. Se observa ca marimile de intrare (actiunile) din schema aferenta Rezistentei materialelor coincid cu marimile de iesire (raspunsul) din schema aferenta Staticii constructiilor, ceea ce pune in evidenta caracterul unitar al Mecanicii structurilor.

1

ACTIUNI

EFORTURI SECTIONALE DEPLASARI PUNCTUALE

SISTEM CARACTERISTICI GEOMETRICE

SECTIONALE

RASPUNS EFORTURI UNITARE si

DEFORMATII SPECIFICE

Figura 1.2 Relatia Actiune-Sistem-Raspuns pentru Rezistenta materialelor

1.2 MODELAREA RELATIEI A – S – R

1.2.1 MODELAREA ACTIUNILOR Prin actiune se intelege orice cauza care poate sa produca eforturi sau deformatii ce trebuie luata in considerare la dimensionarea elementelor de constructii sau constructiilor in ansamblu. Actiunile functie de care se face determinarea eforturilor si dimensionarea constructiei trebuie sa fie acoperitoare, in raport cu posibilitatile de incarcare reala, dar nu exagerate, deoarece ar conduce la dimensiuni prea mari ale diferitelor elemente ale structurii, contravenind principiilor economice. Clasificarea actiunilor:

• Dupa modul de aplicare: o actiuni concentrate, care sunt reprezentate prin forte ce actioneaza in puncte

izolate. In mod strict, o actiune nu se poate aplica intr-un singur punct teoretic, ci actioneaza pe o mica suprafata, care insa pentru calcul se considera redusa la un punct.

o actiuni distribuite, care se repartizeaza pe o anumita suprafata sau pe o anumita lungime. Acestea se reprezinta prin diagrame de incarcare, ordonata dintr-un punct masurand intensitatea actiunii in acel punct, dedusa din legea de variatie a incarcarii. Cele mai multe dintre actiunile care intervin in calculul constructiilor se reduc prin schematizare la actiuni distribuite, cazul cel mai frecvent fiind al actiunilor uniform distribuite.

P2

P1 P3

Actiuni concentrate Actiune distribuita

p=f(x)

Actiune distribuita

p=const.

Figura 1.3 Tipuri de shematizare a actiunilor

• Dupa natura lor: o actiuni naturale: vant, zapada, seism; o actiuni artificiale: incarcari utile, greutatea proprie a structurii;

• Dupa modul de transmitere: o actiuni directe: se transmit direct structurii de rezistenta; o actiuni indirecte: se transmit prin alte elemente sau medii de propagare;

2

• Dupa pozitie:

o actiuni fixe: nu isi modifica punctul de aplicatie; o actiuni mobile: au punctele de aplicare variabile in timp;

• Dupa modul de variatie a intensitatii:

o actiuni statice: acele actiuni a caror intensitate variaza de la zero la valoarea finala fara a fi insotite de forte de inertie;

o actiuni dinamice: acele actiuni a caror intensitate variaza suficient de rapid in timp pentru ca acceleratia produsa sa determine forte de inertie semnificative;

1.2.2 MODELAREA SISTEMULUI

In Statica Constructiilor sistemul este structura de rezistenta. Datorita actiunilor in structura de rezistenta iau nastere forte interioare. Structura de rezistenta este alcatuita din diferite elemente cum ar fi: (i) elemente verticale: stalpi, pereti structurali; (ii) elemente orizontale: grinzi, plansee, fundatie. Pe langa structura de rezistenta o structura mai are si alte elemente cu diferite roluri, cum ar fi de izolatie (hidrofuga, termica, fonica, etc). Structura de rezistenta nu trebuie confundata cu multimea elementelor care o alcatuiesc. Structura de rezistenta este un ansamblu de elemente care se influenteaza reciproc si se considera ca atare. P3P2 P1 P1

p=const.

Grinda continua Grinda cu console si articulatii (Gerber)

P1 p=const.

P1 p=const.

Arc dublu incastrat Arc triplu articulat de nivel

Cadru compus (static determinat)

P1

Cadru portal (static nedeterminat)

P1

Figura 1.4 Exemple de sisteme structurale: (i) static determinate (stanga); (ii) static nedeterminate (dreapta)

3

Descrierea comportarii unei structuri se exprima admitand pentru aceasta un model a carui comportare sa aproximeze cat mai fidel comportarea structurii reale. Acceptarea acestui model se realizeaza pe baze teoretice si experimentale. Modelarea unui sistem presupune modelarea caracteristicilor geometrice si fizice ale acestuia. 1.2.2.1 Modelarea geometrica Sub actiunea fortelor exterioare un sistem isi poate modifica geometria datorita deformatiilor elementelor componente. Deplasarile elastice ale diferitelor sectiuni sunt extrem de mici in raport cu geometria de ansamblu a structurii si cu dimensiunile sectiunilor transversale ale elementelor constitutive incat se pot neglija. Acest lucru conduce la exprimarea echilibrului static in raport cu pozitia initiala (nedeformata). Considerand elementele structurale perfect rigide, raman valabile toate aspectele teoretice stabilite in Mecanica corpului rigid.

l Δ

P P

A

Pozitia nedeformata

Pozitia deformata

( )Δ+= lPM A dar

l<<Δ ⇒ PlM A =

Figura 1.5 Evidentierea influentei reduse a raportarii fortelor exterioare la pozitia deformata

Acest mod de comportare a structurilor sub actiunea incarcarilor exterioare, in ceea ce priveste exprimarea conditiilor de echilibru static, caracterizeaza modelarea geometrica liniara. In concluzie:

(i) fortele se vor raporta la pozitia initiala nedeformata atunci cand se exprima echilibrul static;

(ii) (ii) deplasarile se neglijeaza numai in raport cu dimensiunile structurii, dar nu se neglijeaza in sine.

1.2.2.2 Modelarea fizica Studiul deformarii constructiilor necesita cunoasterea caracteristicilor de comportare ale materialelor. Diferitele materiale folosite in constructii nu se comporta la fel, dovada fiind curbele lor caracteristice, care sunt, in general, diferite. In Statica constructiilor se considera pentru calcul un material conventional, cu caracteristici simple. Se admite ca acest material este continuu, omogen si cu aceleasi proprietati in toate punctele si pe toate directiile (izotrop). Se admite totodata ca materialul se comporta perfect elastic, in conditiile normale de exploatare a constructiilor, satisfacand legea de proportionalitate intre eforturile unitare si deformatii (legea lui Hooke).

Considerand valabila ipoteza micilor deformatii se admite proportionalitatea intre forte (actiuni) si deplasarile corespunzatoare. In concluzie, eforturile sectionale si deplasarile punctuale corespunzatoare aplicarii unei forte pe structura, sunt direct legate de marimea fortei prin legea proportionalitatii.

ε

σ Figura 1.6 Curba caracteristica tensiune-

deformatie idealizata

4

1.2.2.3 Consecinte ale modelarii liniare a structurilor Modelarea geometrica liniara (bazata pe ipoteza micilor deplasari) precum si modelarea fizica liniara (bazata pe modelul Hooke de comportare a materialului) permit utilizarea simultana a principiului superpozitiei liniare (principiul suprapunerii efectelor) si principiul proportionalitatii dintre actiune si raspuns in Statica constructiilor. Acceptarea modelului geometric liniar si a modelului fizic liniar caracterizeaza comportarea liniara a structurilor. Aplicarea celor doua principii este ilustrata in figura 1.7.

1

δk,i

i k

Pi

Δk,i= δk,iPi

i k

αPi

αδk,iPi

i k

Δj,i

i k

Δj,k

i k

Pi i k

j

j

j

Δj,i= δj,iPi

Pi

Pk

Δj,k= δj,kPk

Pk

Δj

Δj= Δj,i+ Δj,k

Figura 1.7 Principiul proportionalitatii (stanga) si principiul superpozitiei (dreapta)

5

CURSUL NR. 2 STRUCTURI STATIC DETERMINATE ANUL II IUDR

2 ALCATUIREA STRUCTURILOR O structura este alcatuita din mai multe elemente legate intre ele prin legaturi interioare, iar ansamblul format este fixat de baza de sprijinire (teren) prin legaturi exterioare (reazeme). In legaturile interioare se dezvolta actiuni reciproce intre elemente, iar in reazeme se dezvolta reactiuni. 2.1 LEGATURI INTERIOARE Asamblarea intre ele a elementelor se modeleaza in mod obisnuit prin urmatoarele legaturi interioare: legatura simpla, articulatia interioara si incastrarea interioara.

2.1.1 Legatura simpla

• Impiedica numai deplasarea relativa dintre cele

doua puncte conectate, pe directia legaturii. • Prin suprimarea ei se introduce o singura

necunoscuta: efortul axial din legatura respectiva.

2.1.2 Articulatia interioara

2.1.3 Articulatia interioara multipla

I III II

B A

Figura 2.1 Legatura simpla

I II

B A III

RA = RBB

• Impiedica orice translatie relativa intre cele doua corpuri in punctul de articulare, dar permite rotirea lor relativa in raport cu acest punct.

• Prin suprimarea ei se introduc doua necunoscute (perechile de eforturi HA&VA).

• Introduce doua legaturi simple intre cele doua corpuri.

A

Figura 2.2 Articulatia interioara

HAHA VA

VA

• Daca asambleaza n corpuri, constitue (n-1) articulatii interioare simple (de unul dintre corpuri au fost legate articulat celelalte (n-1).

• Prin suprimarea ei se introduc 2(n-1) necunoscute.

I II

A n Figura 2.3 Articulatia interioara

multipla

1

2.1.4 Incastrarea interioara (nodul rigid)

I IIMA

MA

VA

VA • Impiedica orice deplasare relativa (translatie si

rotire) intre cele doua corpuri. • Prin suprimarea ei se introduc trei necunoscute

(perechile de eforturi HA, VA si MA). • Introduce trei legaturi simple intre cele doua

corpuri.

I II

A HA HA

Figura 2.4 Incastrarea interioara

2.1.5 Incastrarea interioara multipla • Daca asambleaza n corpuri, constitue (n-1)

incastrari interioare simple (de unul dintre corpuri au fost legate incastrat celelalte (n-1).

• Prin suprimarea ei se introduc 3(n-1) necunoscute.

I II

A n

Figura 2.5

Incastrarea interioara multipla

2.2 LEGATURI EXTERIOARE Legaturile exterioare au rolul de a fixa ansamblul elementelor de baza de sprijinire care in mod obisnuit este terenul. Legaturile exterioare se mai numesc si reazeme, iar fortele din legaturile exterioare se mai numesc si reactiuni.

2.2.1 Reazemul simplu A A • Impiedica numai deplasarea pe directia sa.

• Poate fi reprezentat printr-un pendul. • Prin suprimarea reazemului simplu se introduce

o singura necunoscuta: marimea reactiunii.

Figura 2.5

Reazem simplu A

VA

2.2.2 Articulatia exterioara

• Impiedica translatia pe cele doua directii

ortogonale si permite rotirea in jurul punctului de articulatie.

• Articulatia exterioara reprezinta doua legaturi simple.

• Prin suprimarea articulatiei exterioare se introduc doua necunoscute ale fortelor de legatura: marimea reactiunilor.

A A HA A Figura 2.6

Articulatia exterioaraVA

2

2.2.3 Articulatia exterioara multipla

I

II

A

n

Figura 2.7 Articulatia exterioara

multipla

• Daca asambleaza n corpuri, constitue narticulatii exterioare simple (de baza de sprijinire au fost legate articulat n corpuri).

• Prin suprimarea ei se introduc 2n necunoscute.

2.2.4 Incastrarea exterioara

• Impiedica orice deplasare relativa (translatie si rotire) in punctul de incastrare.

• Prin suprimarea ei se introduc trei necunoscute ale fortelor de legatura (eforturile HA, VA si MA).

• Incastrarea reprezinta trei legaturi simple.

A MA

A

VA

A HA

Figura 2.8 Incastrarea exterioara

2.2.5 Incastrarea exterioara multipla • Daca asambleaza n corpuri, constitue n

incastrari exterioare simple (de baza de sprijinire au fost legate articulat n corpuri).

• Prin suprimarea ei se introduc 3n necunoscute. I

II

n Figura 2.9

Incastrarea exterioara multipla

A 2.3 INVARIABILITATE GEOMETRICA Se va studia asamblarea elementelor si fixarea ansamblului de baza de sprijinire. Pentru studiul invariabilitatii geometrice vom considera elementele perfect rigide. Un sistem se numeste invariabil geometric daca fiecare element care intra in componenta sa isi pastreaza pozitia in raport cu baza de sprijinire. Se analizeaza doar cazul sistemelor plane. Un sistem are in plan 3 grade de libertate cinematica. Pentru fixarea sistemului de baza de sprijinire sunt necesare si suficiente 3 legaturi simple neconcurente si neparalele. Acestea pot fi dispuse dupa cum se vede in figura urmatoare:

A A Punct de articulatie indirecta Punct de articulatie

A

Punct de incastrare

Figura 2.10 Mod de dispunere al celor trei legaturi simple necesare fixarii unui element de baza de sprijinire

A

3

Pentru legarea invariabila a doua corpuri sunt necesare si suficiente 3 legaturi simple neconcurente si neparalele. Acestea pot fi dispuse dupa cum se vede in figura urmatoare:

I II

A Punct de articulatie interioara

I II

A Punct de incastrare interioara (nod rigid)

I

II

A Punct de articulatie interioara indirecta

Figura 2.11 Mod de dispunere al celor trei legaturi simple necesare legarii invariabile a doua elemente

Se fac urmatoarele notatii: c – reprezinta numarul corpurilor sau elementelor; l – reprezinta numarul legaturilor simple interioare; r – reprezinta numarul reactiunilor legaturilor simple din reazemele exterioare. Consideram cazul general al unui sistem alcatuit din c corpuri. De unul dintre corpuri se leaga invariabil un alt corp prin trei legaturi simple interioare neconcurente si neparalele. De aceste doua corpuri se leaga invariabil un al treilea corp prin alte trei legaturi simple interioare neconcurente si neparalele. Pentru ansamblarea celor c corpuri se utilizeaza ( )13 −= cl legaturi simple interioare. Acest anasamblu se fixeaza pe baza de sprijinire prin 3=r legaturi simple exterioare. Adunand aceste doua relatii se obtine conditia de invariabilitate geometrica:

crl 3=+ (2.1) OBSERVATII:

• In general, o legatura simpla interioara poate fi inlocuita printr-o legatura simpla exterioara.

Figura 2.12 Exemplu de inlocuire a unei legaturi simple interioare cu o legatura simpla exterioara

I II I II 2=l ; 4=r ; 2=c ;

23423×=+×=+ crl

3=l ; 3=r ; 2=c ;

23333×=+×=+ crl

• Conditia de invariabilitate geometrica crl ×=+ 3 precizeaza numarul minim de legaturi necesare invariabilitatii geometrice. Aceasta este o conditie cantitativa.

4

2.4 DETERMINARE STATICA Un sistem este static determinat daca din ecuatiile de echilibru static pot fi determinate toate necunoscutele fortelor de legatura, in ipoteza raportarii tuturor fortelor la pozitia nedeformata a structurii. Numarul necunoscutelor fortelor de legatura interioare si exterioare este dat de relatia rl + , in care l reprezinta numarul necunoscutelor actiunilor reciproce dintre corpuri, iar r numarul necunoscutelor reactiunilor. Pentru un corp pot fi exprimate in plan 3 ecuatii scalare independente de echilibru static. Deci pentru c corpuri numarul ecuatiilor scalare independente de echilibru static va fi de 3c. Se poate scrie relatia: ecnec NN = ⇒ crl 3=+ (2.2) Relatia (2.2) reprezinta conditia de determinare statica. Se observa ca sistemele static determinate au numarul minim de legaturi care le asigura invariabilitatea geometrica. Daca ecnec NN > sistemul este static nedeterminat, adica are mai multe legaturi decat ii sunt necesare pentru asigurarea invariabilitatii geometrice. Pentru a gasi fortele de legatura se face apel si la alte conditii (de exemplu la conditia de compatibilitate a deformatei structurii cu legaturile sale). Daca ecnec NN < sistemul este mecanism, adica are mai putine legaturi decat ii sunt necesare pentru asigurarea invariabilitatii geometrice.

OBSERVATII:

• Conditia de invariabilitate geometrica si de determinare statica crl 3=+ trebuie satisfacuta nu numai in ansamblu dar si pe portiuni, asa cum reiese si din figura urmatoare:

p=const.

P1 4=l ; 5=r ; 3=c ;

33543×=+×=+ crl

Figura 2.12 Structura care pe ansamblu

verifica conditia de invariabilitate geometrica, dar

care este mecanism.

Static nedeterminat Mecanism

• In stabilirea conditiei de determinare statica crl 3=+ , s-a considerat ca toate corpurile sunt deschise (adica nu au contur inchis).

De 3 ori static nedeterminat

Static determinat De 2 ori static nedeterminat

Figura 2.13 Structura cu contur deschis (stanga); structuri cu contur inchis (centru; dreapta).

5


3 SISTEME CRITICE Sistemele critice mai sunt numite si sisteme cu forma critica. Ele indeplinesc conditia crl 3=+ , insa nu au o stricta invariabilitate geometrica datorita distributiei defectuase a legaturilor. Pentru incarcari generale ele se comporta ca niste mecanisme pana ies din forma critica, iar pentru anumite incarcari particulare se comporta ca structuri static nedeterminate. 3.1 SISTEME CRITICE ELEMENTARE In figurile urmatoare sunt prezentate trei sisteme critice elementare. Acestea sunt: (i) un singur corp avand 3 legaturi concurente (vezi figura 3.1); (ii) un singur corp cu 3 penduli paraleli si inegali (vezi figura 3.2); (iii) doua corpuri legate prin 3 articulatii coliniare (vezi figura 3.3).

3.1.1 Un singur corp avand 3 legaturi concurente

3.1.2 Un singur corp avand 3 penduli paraleli si inegali

A

P

A

P

Incarcare generala Forma critica

Incarcare particulara Structura static nedeterminata

Figura 3.1 Un singur corp avand 3 legaturi concurente.

A

P


θ1 θ1

θ2< θ1

P


Figura 3.2 Un singur corp avand 3 penduli paraleli si inegali (stanga si centru); Un singur corp avand 3 penduli paraleli si egali (dreapta)

Sub actiunea unei incarcari avand caracter general (stanga), sistemul se comporta ca un mecanism pana cand cele trei articulatii nu mai sunt concurente toate 3 in acelasi punct.

Incarcare generala Mecanism

θ θ

P

θ

Sub actiunea unei incarcari avandcaracter particular (dreapta) – directia fortei P trece prin punctul de concurenta al celor 3 penduli –sistemul este static nedeterminat.

1

Sub actiunea unei incarcari avand caracter general (stanga), sistemul se comporta ca un mecanism pana cand directiile a 2 dintre penduli devin concurente. Sub actiunea unei incarcari avand caracter particular (dreapta) – directia fortei P este paralela cu directiile pendulilor – sistemul este static nedeterminat. Pornind de la acest caz, se prezinta si cazul in care toti cei 3 penduli sunt egali. Deoarece pendulii au aceeasi lungime, sub actiunea unei incarcari cu caracter general, ei se vor roti cu acelasi unghi θ. Deci in acest caz, sistemul nu iese din forma critica, el fiind considerat un mecanism.

3.1.3 Doua corpuri legate prin 3 articulatii coliniare P 3.2 SISTEME APROPIATE DE FORMA CRITICA Se considera doua bare identice, conform figurii de mai jos, pentru care se detemina valoarea fortei axiale, N, din bare, in functie de unghiul α facut cu directia orizontala si de forta concentrata P. Se izoleaza articulata interioara si se pune conditia de echilibru la translatie, pe directia verticala.

∑ = 0y ⇒ αsin2NP = ⇒ αsin2

PN =

Pentru sistemul structural analizat se exprima valorile fortei axiale din bare, N, pentru 3 valori particulare ale unghiului α facut de bara cu directia orizontala (α= 00; α= 10; α= 450), asa cum rezulta din figura 3.4.



P

Figura 3.3 Doua corpuri legate prin 3 articulatii coliniare.

P

P

P

θ2=10 θ2=10

θ1=00 θ1=00

θ3=450 θ3=450

P

N N

P

θ1=00

= ∞N SISTEM CRITIC

NN SISTEM APROPIAT DE FORMA CRITICA

PN 29≅θ2=10

PSISTEM CORECT

ALCATUIT PN 707.0≅

θ3=450

Figura 3.4 Evaluarea corectitudinii alcatuirii unui sistem structural format din doua corpuri legate prin 3 articulatii coliniare.

2

In figura 3.5 este reprezentata grafic dependenta raportului dintre valoarea efortului axial in bare, N si marimea solicitarii P de valoarea unghiului α, pentru structura descrisa anterior.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 5

05

N/P

α (0)

ZONA DE AMPLIFICARE STATICA

Figura 3.5 Dependenta valorii raportului N/P de marimea unghiului α.

Se observa cum pentru valori ale unghiului α mai mici ca 50, valorile raportului N/P sunt mult mai mari ca unitatea. Se poate denumi aceasta regiune drept o zona de amplificare statica.

Figura 3.6 Alcatuire cadre compuse

I II IIIA(c)

P

αl (1-α)l l VB

B

P.P. P.S1. P.S2.

P.P. P.S1. P.S2.

I II III

Trei legaturi concurente

A(a)

(b)

Trei legaturi neconcurente si neparalele

BC

C

B

A

In figura 3.6 se prezinta un cadru compus avand oparte principala si 2 parti secundare. Sunt considerate mai multe pozitii ale reazemuluiB, cele extreme fiind prezentate in figura 3.6(a),cand punctele A si B sunt pe aceeasi verticala(pentru un α=0) si in figura 3.6(b), cand punctele Bsi C se afla pe aceeasi verticala (pentru un α=l). In figura 3.6(c) se prezinta o pozitie intermediara areazemului B, pentru un [ ]l,0∈α . Structura prezentata in figura 3.6(a), este o formacritica pentru ca cele trei legaturi simple alecorpului II sunt concurente in acelasi punct, A. Structura prezentata in figura 3.6(b), este corectalcatuita pentru ca cele trei legaturi simple alecorpului II nu mai sunt concurente in acelasi punct.Este adevarat ca in punctul C sunt concurente 3legaturi simple interioare, dar doua apartincorpului III si una corpului II.

Pentru valori mici ale parametrului α structura poate fi considerata o structura apropiat de forma critica. Spre exemplu, daca se doreste calcularea reactiunii VB pentru ipoteza de incarcare prezentata in figura 3.6(c) rezulta ca valoarea V

B

BB este invers proportionala cu valoarea parametrului α:

( ) PVlVlPM BBdr

A αα 100 =⇒=××−×⇒=∑

3

3.3 METODE DE IDENTIFICARE A SISTEMELOR CRITICE Exista o multime de procedee de identificare a sistemelor critice sau a celor apropiate de forma critica. Dintre acestea pot fi enumerate urmatoarele: (i) Reducerea la forme critice simple; (ii) Procedeul algebric; (iii) Procedeul incarcarii nule; (iv) Procedeul cinematic; (v) Procedeul valorilor proprii ale matricei de flexibilitate. In continuare se vor prezenta 4 dintre aceste procedee.

3.3.1 Metoda reducerii la forme critice simple Daca un sistem poate fi redus la una din formele critice simple discutate mai sus, atunci rezulta ca sistemul insusi este forma critica. De exemplu, sistemul structural din figura 3.7, poate fi redus la un singur corp avand 3 legaturi simple concurente.

a b b

h

a

A

B C

D

h

A

B C

D

I II III II

E

Figura 3.7 Reducerea unei structuri la un sistem critic simplu.

a b b a

l=4; r=5; c=3; l+r=3c; 4+5=9

Pentru corpul II, corpul I reprezinta o legatura simpla cu axa AB, iar solidul III o legatura simpla cu axa CD. Asa cum se vede din figura 3.7 – dreapta directiile celor trei legaturi sunt concurente toate 3 in E.

3.3.2 Metoda cinematica Pentru orice mecanism, centrele absolute si centrul relativ dintre doua corpuri i si j, notate (i); (j); si (i,j) sunt coliniare. Daca centrele (i); (j); si (i,j) nu sunt coliniare rezulta ca sistemul nu este mecanism. Astfel, pentru stabilirea corectitudinii alcatuirii structurale se verifica daca centrele de rotatie sunt coliniare sau nu.

(1)

I III

Figura 3.8 Verificarea coliniaritatii centrelor de rotatie.

(1,2)

II

(2)

IV

(2,3) (3)

(3,4)

(4) (1)

I III

(1,2)

II

(2)

IV(2,3)

(3)

(3,4)

(4)

l=6; r=6; c=4; l+r=3c; 6+6=12 l=6; r=6; c=4; l+r=3c; 6+6=12

4

Cadrul din stanga figurii 3.8 este forma critica deoarece centrele de rotatie sunt coliniare. Cadrul din partea dreapta a figurii 3.8 este corect alcatuit, deoarece centrele de rotatie (2) (2,3) (3) nu sunt coliniare. Cu cat forma triunghiului [(2) (2,3) (3)] este mai “turtita”, cu atat sistemul structural este mai apropiat de forma critica.

3.3.3 Metoda algebrica Sistemul ecuatiilor de echilibru static poate fi scris sub forma: [ ]{ } { } { }0=+ BXA , in care [ ]A reprezinta matricea coeficientilor, ale carei elemente depind exclusiv de alcatuirea structurii; { }X reprezinta vectorul fortelor de legatura (necunoscutelor); { }B reprezinta vectorul termenilor liberi (care depinde de incarcarile exterioare).

[ ]{ } { } { }0=+ BXA ⇒ { } [ ] { }BAX ×−= −1 ⇒ { } [ ][ ] { }BAAadjX ×=

det

Daca sistemul structural este critic, fortele de legatura au valori infinite,{ } ∞→X , deci este necesar si suficient ca [ ] 0det =A . Nu este necesara rezolvarea sistemului de ecuatii de mai sus si nici calculul efectiv al [ ]Adet , ci numai sa se stabileasca daca [ ] 0det =A sau nu. Aceasta metoda are un pronuntat caracter teoretic, aplicarea ei practica fiind anevoioasa. Principalul avantaj al metodei algebrice rezida in faptul ca prin particularizare rezulta metoda incarcarii nule.

3.3.4 Metoda incarcarii nule Daca incarcarile exterioare sunt nule, ecuatia de mai sus se poate scire sub forma: [ ]{ } { } { }0=+ BXA ; { } { }0=B ⇒ [ ]{ } { }0=XA In cazul in care [ ] 0det ≠A , se obtine solutia banala, { } { }0=X , ceea ce corespunde unei structuri geometric invariabile: pentru incarcari nule, fortele de legatura sunt nule. In cazul in care [ ] 0det =A , necunoscutele { }X sunt nedeterminate. Inseamna ca exista forte de legatura nenule si care sunt in echilibru. Deci, pentru un sistem structural neincarcat se gaseste un set de forte de legatura nenule, in echilibru. Rezulta ca sistemul este forma critica.

a b b

h

a

A B

C

Figura 3.9 Evidentierea metodei incarcarii nule.

C

D

h

C D

VA=P

HA=Pa/h HC=Pa/h

VC=PVB=2P

l=4; r=5; c=3; l+r=3c; 4+5=9

5

Pentru exemplificare se considera structura neincarcata din figura 3.9. Reactiunea verticala din punctul A se considera egala cu P. In functie de aceasta se determina celelalte reactiuni astfel: ( ) hPaHhHPaM AA

dr

C/00 =⇒=−⇒=∑ ; hPaHHhPaX CC /0/0 =⇒=−⇒=∑ ;

( ) ( ) PVaVhhPaM CCst

D=⇒=−×⇒=∑ 0/0 ;

( ) ( ) ( ) PVbaPbaVM BBA2020 =⇒=+××−+×⇒=∑

Verificare: 020 =−+⇒=∑ PPPY Deorece exista un set de reactiuni care satisfac ecuatiile de echilibru, structura este sistem critic. Procedeul incarcarii nule isi gaseste o arie larga de aplicare la verificarea alcatuirii grinzilor cu zabrele.

6


4. EFORTURI SECTIONALE LA CADRE STATIC DETERMINATE 4.1 DEFINIREA EFORTURILOR SECTIONALE Dupa determinarea reactiunilor, toate fortele exterioare care actioneaza asupra structurii devin cunoscute. In structura se dezvolta forte interioare care pot fi puse in evidenta prin efectuarea unor sectiuni complete. Se lucreaza in ipoteza in care fiecare parte a structurii este deschisa (nu contine contururi inchise). Fortele care se manifesta in interiorul sectiunilor se numesc eforturi sectionale sau mai simplu eforturi. Eforturile sectionale sunt deci forte de legatura interioare (actiuni reciproce intre cele doua parti ale structurii) si se determina prin exprimarea echilibrului oricareia dintre cele doua parti (conform teoremei echilibrului partilor).

Figura 4.1 Evidentierea eforturilor sectionale intr-o sectiune oarecare I

p=const.

P1

p=const.

P1

A B

I

VA

HA

VB

p=const.

P1

VA

HA

VB

p=const.

I II fata din stanga

fata din dreapta

p=const.

P1

VA

HA

VB

p=const.

I II

T

TN

N

M

M

S

S

-S

-S

Pentru structura din figura 4.1 se considera o sectiune I. Deoarece structura considerata a fost deschisa aceasta sectiune determina doua parti I si II care vor fi legate printr-o incastrare interioara in I. Eforturile sectionale sunt tocmai fortele de legatura din incastrarea interioara. Ele sunt actiuni reciproce intre cele doua parti. Prin reducerea fortelor exterioare de la stanga sectiunii in raport cu centrul de greutate al sectiunii se obtin eforturile de pe fata din dreapta sectiunii. Prin reducerea fortelor exterioare de la dreapta sectiunii in raport cu centrul de greutate al sectiunii se obtin eforturile de pe fata din stanga sectiunii.

1

Daca se modifica pozitia sectiunii se modifica si valorile eforturilor sectionale N, T si M. Rezulta ca aceste valori sunt functie de pozitia sectiunii. Prin reprezentarea grafica a acestor functii se obtin diagramele de eforturi N, T si M. Acestea se vor reprezenta pe axele barelor structurii. Pentru stabilirea conventiei de semne consideram un element de lungime dx, ca in figura 4.2.

N N

T T

M Mdx

+

Semnele eforturilor sectionale sunt legate de deformatiile pe care acestea le produc in vecinatatea sectiunii, astfel:

N N+ • Forta axiala, N, este pozitiva cand intinde

elementul de lungime dx.

T T

+

• Forta taietoare, T, este pozitiva cand roteste in sens orar.

M M

+ • Momentul incovoietor, M, este pozitiv

cand intinde fibrele inferioare ale barei. Figura 4.2 Conventia de semne 4.2 DISCONTINUITATI GEOMETRICE In cazul sistemelor de bare, datorita configuratiilor geometrice particulare ale axelor cu discontinuitati locale (noduri), diagramele de eforturi vor prezenta, de asemenea discontinuitati, chiar daca pe anumite intervale incarcarile exterioare au o variatie continua. Discontinuitatile geometrice sunt de doua feluri: (i) discontinuitati de fibra; (ii) discontinuitati de nod. p [kN/m]

A

B

C

α

1

2

N1

N2

T1

T2

C

M1

M2

4.2.1 Discontinuitati de fibra

Se considera structura din figura 4.3. Cu toate ca forta p [kN/m] este continua, pe diagramele de eforturi sectionale N si T, in punctul C, vor aparea discontinuitati, adica salturi. In acelasitimp valoarea M ramane constanta. Se scriu ecuatiile deproiectie pe directia N2 si pe directia N1, precum si ecuatia de momente in C: N2: αααα coscos0sincos 112211 TNNNTN +=⇒=+−− T2: αααα cossin0cossin 112211 TNTTTN +−=⇒=+− MC: 21 MM = Figura 4.3 Discontinuitate de fibra

2

4.2.2 Discontinuitati de nod Se considera structura din figura 4.4. Desi bara ABC are o incarcare constanta, diagramele N si M sunt discontinue in punctul B, deoarece bara BD actioneaza asupra barei ABC cu o forta si un moment. 4.3 VERIFICAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI Verificarea diagramelor de eforturi are la baza conditia de echilibru static al nodurilor interioare. Pentru structura din figura 4.4 se prezinta diagramele de eforturi in figura 4.5. Se izoleaza nodul interior B si pe barele concurente in nod se reprezinta valorile eforturilor sectionale ca in figura 4.6.

10 [k

N/

] m

A

B

C

D

4

2

4

10 [k

N/m

]

A

B

C

D

VA=45 kN

V D=

45 k

N

HA =60 kN

10 [k

N/m

]

A

B

C

VA=45 kN

HA =60 kN

45 kN

180

kNm

+

20 kNm

N

+

20 kN 160 kNm

60 kN 45 kN

MT

Figura 4.4 Discontinuitate de nod

10 [k

N/m

]

A

B

C

D

4

2

4

+

N +

20 kN

60 kN

45 kN

T

20 kNm

160 kNm

M45 kN

+180 kNm

Figura 4.5 Diagrame de eforturi 20 kN

Pentru nodul B se verifica ecuatiile de echilibru static: 020200 =−⇒=∑ X 045450 =−⇒=∑Y

0180160200 =−+⇒=∑M In ecuatiile de proiectie intra doar fortele axiale si fortele taietoare. In ecuatiile de moment intra doar momentele incovoietoare. De aici rezulta ca diagramele N si T pot fi verificate separat de diagrama M. Echilibrul nodurilor interioare nu se utilizeaza la determinarea eforturilor sectionale ci se pastreaza pentru verificarea lor.

20 kNm

B

Figura 4.6 Eforturi sectionale pe nodul B

45 kN 20 kN

160 kNm

45 kN

180 kNm

3

4.4 RELATII DIFERENTIALE INTRE EFORTURI SI INCARCARI PENTRU BARE DREPTE Relatiile urmatoare sunt aplicabile la orice structura alcatuita din bare drepte, indiferent daca este static determinata sau static nedeterminata. Se considera un element de lungime dx, izolat dintr-o bara dreapta. Pe fetele elementului de lungime dx se aplica eforturile sectionale, considerate pozitive, corespunzatoare celor doua sectiuni. Elementul de lungime dx este incarcat cu sarcina elementara pdx, aplicata pe directie oarecare, avand componentele pndx si ptdx pe directie normala (n) si respectiv paralela (t) la axa barei. Cantitatile dN, dT si dM reprezinta variatiile eforturilor sectionale pe lungimea dx.

N

N+dN

T T+dT

M M+dM dx

pndx

ptdx

Figura 4.7 Diagrame de eforturi

Ecuatiile de echilibru static sunt:

dxdNpdNNdxpNX tt −=⇒=+++−⇒=∑ 00 (4.1)

dxdTpdTTdxpTY nn −=⇒=−−−⇒=∑ 00 (4.2)

( ) 02/0 2 =−−−+⇒=∑ dMMdxpTdxMM nB

dx

dMT =⇒ (4.3)

A B

In relatia (4.3) termenul 2/2dxpn se neglizeaza ca infinit mic de ordin superior. Relatiile (4.1) – (4.3) sunt relatiile generale intre eforturi si incarcari. Prin intermediul acestor relatii se stabilesc corelatii directe intre legea de variatie a incarcarii si configuratia diagramelor. Astfel:

• Derivata fortei axiale intr-o sectiune este egala cu intensitatea componentei tangentiale a sarcinii in dreptul acelei sectiuni luata cu semn schimbat.

• Derivata fortei taietoare intr-o sectiune este egala cu intensitatea componentei normale a sarcinii in dreptul acelei sectiuni, luata cu semn schimbat.

• Derivata momentului incovoietor dintr-o sectiune este egala cu taietoarea din acea sectiune. In aplicatiile practice, cazul curent intalnit este cel al fortelor actionand normal pe axa barei drepte. Notand cu p intensitatea sarcinii in sectiunea curenta, relatiile anterioare devin:

0=dxdN p

dxdT

−= Tdx

dM= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= p

dxMd

2

2

(4.4)

Rezulta ca forta axiala ramane constanta in lungul axei elementului de lungime dx. Pentru o lege de variatie a incarcarii ( )xfp = data de un polinom in x de un anumit grad, ecuatia curbei care margineste diagrama T va avea un grad mai mult, iar ecuatia curbei care margineste diagrama M va avea un grad mai mult decat diagrama T, deci 2 grade mai mult decat ( )xfp = .

4

Daca, de exemplu, ( ) 0== xfp , forta taietoare este constanta deoarece 0/ =dxdT , iar momentul incovoietor variaza liniar.

5


5. STRUCTURI COMPUSE DIN UNITATI STRUCTURALE O larga varietate de sisteme static determinate sunt alcatuite prin compunerea catorva structuri simple, denumite unitati structurale. Exista 3 tipuri de unitati structurale: (i) unitatea structurala simplu rezemata; (ii) unitatea structurala incastrata; (iii) unitatea structurala triplu articulata. 5.1 PREZENTARE UNITATI STRUCTURALE 5.1.1 Tipul 1: Unitatea structurala simplu rezemata In figura 5.1 sunt prezentate doua unitati structurale simplu rezemate. Din punctul de vedere al dispunerii legaturilor, acestea trebuie sa nu fie concurente si paralele pentru evitarea formelor critice sau a mecanismelor (vezi figura 5.2) p=const. p=const.

P1

A B

P1

A B

3 legaturi concurente – forma critica p=const.

P1

A B

C P1

A B

p=const.

3 legaturi paralele – mecanism Figura 5.1 Exemplu de unitati structurale

simplu rezemate Figura 5.2 Restrictii ale unitatii

structurale simplu rezemate

5.1.2 Tipul 2: Unitatea structurala incastrata In figura 5.3 este prezentata o unitate structurala simplu rezemata. Din punctul de vedere al dispunerii legaturilor nu exista restrictii.

5.1.3 Tipul 3: Unitatea structurala triplu-articulata In figura 5.4 sunt prezentate doua unitati structurale tripluarticulate. Din punctul de vedere al dispunerii legaturilor,articulatiile nu trebuie sa fie coliniare pentru evitarea formelorcritice.

p=const.

P1 P2

Figura 5.3 Exemplu de unitate structurala incastrata

1

Toate unitatile structurale sunt invariabile geometric. Din unitatile structurale pot fi realizate structuri compuse. In alcatuirea acestor structuri, unitatile structurale intra ca parti componente cu roluri structurale. Astfel, in figura 5.6 sunt prezentate doua structuri in cadre compuse formate din diverse unitati structurale.

Figura 5.4 Exemplu de unitate structurala triplu articulata

p=const.

P1

A B

p=const.

P1

A B

CC

Nivel 2

Nivel 1

Nivel 1

Nivel 3

Nivel 2 Nivel 2

Forma critica 3 articulatii coliniare

Figura 5.5 Restrictii ale unitatii structurale triplu articulate

CA

B

p=const.

NIVELUL 1 Unitate structurala

triplu articulata

NIVELUL 1 Unitate structurala simplu rezemata

NIVELUL 2 Unitate structurala triplu articulata

NIVELUL 2 Unitate structurala

triplu articulata

NIVELUL 1 Unitate structurala triplu articulata

NIV

EL

UL

3

Uni

tate

stru

ctur

ala

sim

plu

reze

mat

a

NIVELUL 2 Unitate structurala simplu rezemata

Figura 5.6 Exemple de sisteme compuse

Unitatile structurale care reazema direct pe baza de sprijinire sunt denumite parti de nivelul 1. Unitatile structurale care reazema in totalitate pe parti de nivelul 1 sau partial si pe teren sunt denumite parti de nivelul 2. Unitatile structurale care reazema cel putin intr-un punct pe unitati structurale de nivelul 2 si inrest pe unitati structurale de nivelul 1 sau pe teren sunt denumite parti de nivelul 3, s.a.m.d. Se noteaza cu n numarul de niveluri ale unei structuri. Partile de nivelul 1 mai sunt denumite si parti principale (P.P.). Partile de la nivelul 2 pana la nivelul n se mai numesc si parti secundare (P.S.). O parte principala este geometric invariabila prin ea insasi, preluandu-si singura actiunile si transmitandu-le bazei de sprijinire. Actiunile unei parti principale produc efecte numai in acea parte, celelalte parti nefiind solicitate.

2

O parte secundara este geometric invariabila numai datorita rezemarii pe alte parti ale structurii. Incarcarea unei parti secundare produce produce efecte atat in partea secundara respectiva cat si in alte parti ale structurii si anume: o parte de nivel i produce efecte si in alte parti de nivelurile i-1, i-2, ..., 1. Sistemele compuse din unitati structurale sunt geometric invariabile. Asa cum s-a prezentat anterior, fiecare unitate structurala este geometric invaribila. Partile de nivel 1 sunt geometric invariabile deoarece reazema direct pe baza de sprijinire. Partile de nivel 2 sunt geometric invariabile deoarece reazema pe parti de nivelul 1, care sunt geometric invariabile) sau si pe baza de sprijinire. Deci sunt si ele invariabile geometric. Rezulta ca sistemele compuse din unitati structurale nu pot fi sisteme critice. Mai mult, nu mai este necesara verificarea relatiei l+r=3c. Se recomanda ca sistemul compus sa aibe cat mai multe parti de nivel inferior, mai ales de nivelul 1. Cedarea partii de nivelul 1 duce la cedarea intregii structuri. 5.2 CALCULUL FORTELOR DE LEGATURA AL SISTEMELOR COMPUSE Sistemele compuse sunt cazuri particulare de siteme static determinate. Deci se poate scrie relatia

staticechecenecunoscut NN . .= . Daca se noteaza cu l numarul necunoscutelor fortelor interioare de legatura, cu r numarul necunoscutelor fortelor exterioare de legatura si cu c numarul corpurilor, relatia anterioara devine: crl 3=+ . Este dificila rezolvarea unui sistem de c3 ecuatii avand rl + necunoscute. Vom arata ca pentru sistemele compuse fiecare necunoscuta poate fi determinata dintr-o singura ecuatie de echilibru static. Mai intai aratam acest lucru pentru cele 3 tipuri de unitati structurale.

Unitatea structurala simplu rezemata

Unitatea structurala incastrata

p=const.

P1

A B

p=const. Calculul reactiunilor:

( )( ) ;0

;0

;0

AB

BA

A

VM

VM

HX

⇒=

⇒=

⇒=

∑∑∑

P1

A B

VA

HA

VB Verificare: 0=∑Y Figura 5.7 Calcul reactiuni unitate structurala simpla rezemata

P2 P2

p=const.

P1

p=const.

P1

Calculul reactiunilor:

( ) ;0

;0

;0

AA

A

A

MM

VY

HX

⇒=

⇒=

⇒=

∑∑∑

HA AVA

MA Verificare: ( ) 0

. =

∀∑ planpctM Figura 5.8 Calcul reactiuni unitate structurala incastrata

3

Unitatea structurala triplu articulata Calculul reactiunilor verticale:

( )( ) ;0

;0

AB

BA

VM

VM

⇒=

⇒=

∑∑

Verificare: ( ) 0=∑Y

Calculul reactiunilor verticale:

( )( ) ;0

;0

Bdr

C

Ast

C

HM

HM

⇒=

⇒=

∑∑

Verificare: ( ) 0=∑ X Figura 5.9 Calcul reactiuni unitate structurala triplu-articulata

p=const.

P1

A B

p=const.

P1 C

VA

HA VB

HB

Consideram un sistem compus din n niveluri. Actiunile unitatii de nivelul n sau ale unitatilor de nivel n sunt cunoscute. I se calculeaza reactiunile determinandu-se cate o necunoscuta din cate o ecuatie. Reactiunile ei inversate devin actiuni pentru unitatile de nivel inferior. In acest moment sunt cunoscute actiunile partii de nivel n-1. I se pot determina reactiunile determinandu-se fiecare necunoscuta din cate o ecuatie de echilibru static. Se repeta in continuare rationamentul. Daca o forta actioneaza pe o articulatie dintre o parte principala si una secundara, atunci poate fi considerata ca ea actioneaza pe partea principala. In general, daca o forta actioneaza pe o articulatie dintre o parte de nivel i si o parte de nivel j, cu i<j, atunci forta este considerata pe partea de nivel i.

4


6. ARCUL TRIPLU – ARTICULAT DE NIVEL Arcele se mai numesc si sisteme cu impingeri. Chiar daca sunt actionate vertical, ele dezvolta impingeri laterale. 6.1 DENUMIRI SPECIFICE ARCULUI TRIPLU – ARTICULAT

• Proiectia pe orizontala a distantei dintre reazeme se numeste deschiderea arcului.

• Segmentul de dreapta vertical de la cheie la linia reazemelor se numeste sageata arcului si se noteaza cu f.

• Dreapta AB se numeste linia reazemelor.

• Articulatia interioara C se numeste si cheia arcului.

C

α

f B

l

A

Figura 6.1 Notatii specifice arcului

• Unghiul facut de linia reazemelor cu orizontala se numeste denivelarea arcului si se noteaza cu α.

• Raportul dintre sageata arcului si deschiderea arcului se numeste turtirea arcului, iar raportul dintre deschiderea arcului si sageata arcului poarta denumirea de coeficient de indrazneala.

In continuarea vom considera denivelarea arcului egala cu zero, adica linia reazemelor este orizontala. 6.2 REZOLVAREA ANALITICA A ARCULUI TRIPLU – ARTICULAT DE NIVEL INCARCAT VERTICAL Se considera arcul triplu – articulat de nivel ca in figura urmatoare. Arcul este actionat de sistemul de forte Pi, i=1..n. In paralel, este considerata si grinda dreapta asociata arcului. Aceasta este o grinda simplu rezemata, orizontala, de aceeasi deschidere cu arcul, actionata de aceleasi forte verticale aflate la aceleasi distante.

6.2.1 Reactiunile grinzii drepte asociate Se determina reactiunile grinzii drepte asociate:

l

bPVbPlVM

jj

jj

∑∑∑ =⇒=−×⇒=

2

101

2

1

01

02 00

1

l

aPVaPlVM

jj

jj

∑∑∑ =⇒=+×−⇒=

2

102

2

1

02

01 00

∑−=i

jii PVT1

00 ( )ji

i

jiii axPxVM −−×= ∑1

00

P1

f =y3

Pj

Pn

yi

1

ρi

aj bj

V1

H1 H2

V2

xi x3

l

y

x

Pk3

2

i

PnPkPj P1

aj bj

xi

i 1 2

V10 V2

0

+

-

Ti0

T0

M0

T30

M30Mi

0

Figura 6.2 Grinda dreapta asociata arcului triplu articulat de nivel

6.2.2 Reactiunile arcului triplu – articulat de nivel Reactiunile arcului triplu articulat de nivel R1 si R2 se pot descompune in doua componente, una orizontala – H1 si respectiv H2 – si alta verticala – V1 si respectiv V2.

l

bPVbPlVM

jj

jj

∑∑∑ =⇒=−×⇒=

2

11

2

112 00

2

l

aPVaPlVM

jj

jj

∑∑∑ =⇒=+×−⇒=

2

12

2

121 00

Se observa ca reactiunile verticale ale arcului triplu articulat de nivel sunt egale cu reactiunile verticale ale grinzii asociate. Se pot scrie relatiile: 1

01 VV = si 2

02 VV = . Pentru determinarea valorilor reactiunilor

orizontale H1 si H2 se scrie suma de momente la stanga si la dreapta in cheia arcului (in punctul 3).

( ) ( ) 00 31

3

13313

=×−−−×⇒= ∑∑ yHaxPxVM jjst dar ( ) 0

3

3

1331 MaxPxV jj =−−× ∑

Rezulta: f

My

MH03

3

03

1 ==

In mod analog, calculand ( ) 03=∑ stM , se determina

fMH

03

2 = . Din relatiile deteminate pentru

calculul reactiunilor se observa ca valorile acestora nu depind de forma arcului, ci numai de pozitia relativa a celor 3 articulatii, precum si de fortele active.

6.2.3 Calculul eforturilor sectionale Fie sectiunea i. Se reduc in aceasta sectiune fortele de la stanga, verticale si orizontale, ca in figura de mai jos. Se determina expresiile eforturilor sectionale axiale, taietoare, precum si ale momentului incovoietor din sectiunea curenta i.

• Eforturi axiale in sectiunea i: i

i

ijii HPVN ρρρ cossinsin 11

1 −+−= ∑

i ρi

∑i

ijP1

sin ρ ∑

i

ijP1

cos ρ

∑i

ijP1

sin ρ

iH ρcos1

iH ρsin1 1H

iV ρcos1 iV ρsin1

1V

Figura 6.3 Proiectia fortelor de la stanga sectiunii

ii

i

ji HPVN ρρ cossin 11

1 −×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ∑

Deci: iiii HTN ρρ cossin 1

0 −×−= • Eforturi taietoare in sectiunea i:

i

i

ijii HPVT ρρρ sincoscos 11

1 −+= ∑

ii

i

ji HPVT ρρ sincos 11

1 −×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

Deci: iiii HTT ρρ sincos 1

0 −×=

• Momentul incovoietor in sectiunea i:

( ) i

i

jijii yHaxPxVM ×−−−×= ∑ 11

1 dar ( ) 0

11 i

i

jiji MaxPxV =−−× ∑

3

Deci: iii yHMM ×−= 10

Deoarece valorile eforturilor sectionale dintr-o sectiune oarecare depind de marimea unghiului facut de tangenta la arc in acea sectiune cu directia orizontala si de valoarea ordonatei yi, rezulta ca forma arcului are o influenta hotaratoare asupra diagramelor de eforturi.

6.2.4 Trasarea diagramei M Diagrama M a arcului se obtine scazand din diagrama M0 a grinzii drepte, succesiunea de ordonate yi masurate pe verticala intre axa arcului si linia reazemelor, multiplicate cu impingerea H1. Diferenta se face astfel incat in cheie momentul sa fie zero.

+

M0

Figura 6.4 Comparatie intre diagrama Marc cu diagrama Mgr asociata

-H1yi

M30=H1f

Marc

Diagrama M a arcului este cuprinsa intre linia poligonala M0 si curba data de produsul H1yi. Valorile momentului incovoietor de pe arc sunt foarte mici in raport cu valorile momentului incovoietor de grinda dreapta asociata arcului. Se poate trage concluzia ca arcul lucreaza mult mai favorabil decat grinda dreapta la incovoiere. Daca M0=H1yi, atunci diagrama M pe arc este nula si arcul se numeste arc de coincidenta. In acest caz si fortele taietoare sunt 0, iar arcul este supus doar la compresiune centrica. Diagramele N si T se traseaza prin puncte. Diagrama M se traseaza ca o functie continua avand expresii diferite pe fiecare interval. Se cunoaste ecuatia arcului y=y(x) si tg(ρ)=dy/dx. 6.3 POLIGONUL DE PRESIUNE Consideram un arc triplu – articulat actionat de fortele verticale P1, P2, ..., Pn. Arcul are reactiunile R1 si R2. Acestea au directii inclinate. Fortele exterioare care actioneaza asupra arcului sunt: R1, P1, P2, ..., Pn si R2. Se considera o sectiune i. Eforturile din aceasta sectiune se obtin prin reducerea fortelor exterioare de la stanga sectiunii in raport cu centrul ei de greutate. De exemplu, daca sectiunea i se gaseste intre P1 si P2, atunci rezultanta fortelor de la stanga se obtine compunand reactiunile R1 cu forta P1. Notam cu ai suportul rezultantei fortelor de la stanga sectiunii i. Segmentele ai (i=1, n+1) formeaza un poligon avand urmatoarele proprietati:

• Prima latura trece prin articulatia 1 si este suportul reactiunii R1. Ultima latura trece prin articulatia 2 si este suportul reactiunii R2;

4

• Fiecare latura este suportul rezultantei tuturor fortelor exterioare de la stanga sau de la dreapta sectiunii considerate;

• Poligonul trece prin cheie (adica prin articulatia 3) deoarece in aceasta sectiune momentul incovoietor trebuie sa fie nul. Acest poligon se numeste poligon de presiune.

Figura 6.5 Constructia poligonului de presiune

1 2

3P1

Pi

Pn

R2R1 R1

P1

i

i

ai Polig

onul

de

pres

iune

• Daca intr-o sectiune poligonul inteapa planul sectiunii in interiorul samburelui central, atunci in acea sectiune nu apar intinderi. Daca in toate sectiunile arcului poligonul de presiune se afla in interiorul samburelui central atunci in tot arcul nu apar intinderi.

• Daca axa arcului coincide cu poligonul de presiune, atunci arcul este un arc de coincidenta pentru incarcarea data. Deci in acest caz M≡0, T≡0, arcul fiind supus la compresiune centrica.

• In cazul fortelor distribuite, poligonul de presiune devine curba de presiune. CAZ PARTICULAR: Arcul triplu articulat de nivel, parabolic si simetric, actionat de o forta uniform distribuita

Figura 6.6 Arc triplu-articulat de coincidenta

f

y

x

1 2

3

l/2 l/2

Arc parabolic

l

p [kN/m]

p [kN/m]

i

H

M0

Hyparabola

parabola

Ecuatia arcului parabolic este:

( )xlxlfy −= 2

4 .

S-a aratat anterior ca: HyMM . Se stie ca prin 3 puncte trece o singura parabola.Parabolele M

arc −= 0

0 si –Hy au 3 puncte comune sianume : (i) x=0 y=0; (ii) x=l; y=0; (iii) x=l/2; y=f, deci ele coincid. Rezulta ca arcul triplu – articulat de nivel,simetric, este arc de coincidenta pentru incarcarea cu forta uniform distribuita. Deci: 00 ≡−= HyMM arc

5


7. STRUCTURI ARTICULATE PLANE – GRINZI CU ZABRELE

7.1 NOTIUNI INTRODUCTIVE Sunt structuri alcatuite din bare drepte, articulate la noduri. Pot fi atat static determinate cat si static nedeterminate. Se considera ca:

• Nodurile sunt articulatii perfecte. In realitate barele sunt prinse rigid in noduri. Ipoteza este valabila datorita faptului ca lungimea barelor este mult mai mare decat dimensiunile sectiunii transversale;

• Barele sunt perfect centrate in noduri; • Fortele exterioare sunt aplicate doar la noduri. Rezulta ca in barele grinzilor cu zabrele se

dezvolta doar forte axiale.

capriorpana

Grinda cu zabrele simpla

p=const

Figura 7.1 Incarcarile de pe invelitoare se transmit la grinda cu zabrele prin intermediul panelor care sunt asezate in nodurile acesteia

Grinzile cu zabrele sunt alcatuite din 2 tipuri de bare: unele care marginesc structura si care se numesc talpi si altele care leaga talpile intre ele si care se numesc zabrele. Talpile pot si superioare (S) si inferioare (I). Zabrelele inclinate se numesc diagonale (D), iar cele verticale se numesc montanti (M). Punctele de intersectie ale barelor se numesc noduri, iar intervalul dintre doua noduri se numeste panou. Grinzile cu zabrele pot fi clasificate astfel:

• Grinzi cu zabrele simple. Se formeaza prin alaturarea de triunghiuri. Nodurile sunt exclusiv situate in varfurile triunghiurilor (vezi figura 7.1);

• Grinzi cu zabrele compuse. Se formeaza din mai multe sisteme simple (vezi figura 7.2); • Grinzi cu zabrele complexe. Nodurile nu mai sunt toate la capetele triunghiurilor (vezi figura

7.3).

Sistemul simplu III

Sistemul simplu I

Figura 7.2 Exemplu de grinda cu zabrele compusa

Sistemul simplu II

1

7.2 ALCATUIREA SISTEMELOR ARTICULATE

7.2.1 Conditia de invariabilitate geometrica

Este valabila relatia l+r=3c, stabilita pentruorice structura plana. In aceasta relatie lreprezinta numarul legaturilor interioare; rreprezinta numarul reactiunilor; c reprezintanumarul corpurilor.

Figura 7.3 Exemplu de grinda cu zabrele complexa

b=9; r=3; n=6;

b+r=2n

9+3=2·6

Grinda cu zabrele static determinata

Aplicarea acestei relatii la sistemele articulate este dificila datorita numarului mare de articulatii interioare multiple. De aceea, pentru grinzile cu zabrele, vom stabili o alta conditie de invariabilitate geometrica. In plan, un punct are 2 grade de libertate. Pentru a-l fixa sunt necesare si suficiente 2 legaturi simple, necoliniare. Notam cu n numarul nodurilor, inclusiv nodurile de rezemare. Pentru a le fixa sunt necesare 2n legaturi simple. Acestea sunt: barele in numar de b si legaturile simple din reazeme in numar de r. Conditia de invariabilitate geometrica va fi: b+r=2n (7.1) Aceasta precizeaza numarul minim de legaturi pentru invariabilitatea geometrica. Pentru grinda cu zabrele prezentata in figura 7.3, numarul legaturilor simple disponibile pentru fixarea in plan a celor 6 noduri este 12622 =×=n . Structura are un numar de legaturi pentru fixare in plan egal cu numarul minim de legaturi necesar, adica n2 . Rezulta ca structura din figura 7.3 este invariabila geometric.

7.2.2 Conditia de determinare statica Un sistem este static determinat daca din ecuatiile de echilibru static se pot determina toate necunoscutele fortelor de legatura, in ipoteza ca fortele se raporteaza la pozitia nedeformata a structurii. Se poate scrie relatia: Nnec=Nec echilibru static (7.2) Necunoscutele sunt fortele axiale din bare in numar de b si reactiunile in numar de r. Deci Nnec=b+r. Pentru fiecare nod, in plan, pot fi exprimate 2 ecuatii de echilibru static independente. Deci Nec_echilibru_static=2n. Conditia de determinare statica devine: b+r=2n. Conditia de determinare statica este aceeasi cu conditia de invariabilitate geometrica. Rezulta ca sistemele articulate static determinate au numarul minim de legaturi care le asigura invariabilitatea geometrica. Daca b+r>2n sistemul este static nedeterminat, adica este geometric invariabil. Daca b+r<2n sistemul este mecanism, adica este geometric variabil.

2

7.3 METODE DE REZOLVARE A GRINZILOR CU ZABRELE Grinzile cu zabrele pot fi rezolvare utilizand numeroase metode. Dintre acestea se pot enumera: (i) Metoda izolarii nodurilor; (ii) Metoda sectiunilor si (iii) Metoda grinzii asociate, metoda aplicabila doar grinzilor cu zabrele simple incarcate cu forte verticale. Atat Metoda izolarii nodurilor cat si Metoda sectiunilor au fost prezentate in detaliu la disciplina Mecanica constructiilor.

7.3.1 Metoda izolarii nodurilor

Acest procedeu consta in izolarea tuturor nodurilor unei grinzi cu zabrele plane si in a exprima ca fortele din fiecare nod (fortele exterioare si fortele de legatura din bare si rezemari) alcatuiesc un sistem de forte concurente in echilibru pentru care se pot scrie cate doua ecuatii de proiectie. Sub aceasta forma generala metoda este laborioasa intrucat necesita rezolvarea unui sistem de 2n ecuatii avand tot atatea necunoscute. Datorita configuratiei goemetrice a grinzilor cu zabrele utilizate ca structuri de rezistenta, se poate permite exprimarea succesiva a echilibrului nodurilor avand numai cate doua bare de efort necunoscut. Prin urmare, sistemul de 2n ecuatii se reduce la n sisteme avand 2 ecuatii. Rezulta o reducere semnificativa a volumului de calcul. Calculul se incepe cu determinarea reactinuilor, folosind ecuatiile de echilibru static scrise pentru unitatile structurale care definesc sistemul. Pentru a putea exprima echilibrul unui nod, este necesar sa se suprime toate barele care leaga nodul de restul structurii. in locul barelor suprimate se introduc fortele de legatura (eforturile din bare), care au directia barei si sensul arbitrar. In afara de eforturile din barele suprimate asupra nodului mai actioneaza si fortele exterioare. Astfel nodul a devenit punct material liber supus actiunii unui sistem de forte concurente. Exprimand conditiile de echilibru pentru fiecare din aceste sisteme de forte concurente (∑ ∑ == 0 ,0 YX ) se pot determina eforturile din barele grinzii cu zabrele considerata. Metoda prezentata are o conditie restrictiva si anume: calculul eforturilor din barele unei grinzi cu zabrele incepe dintr-un nod in care sunt asamblate maximum 2 bare cu efort necunoscut si se continua, folosind rezultatele anterior determinate, pana la aflarea tuturor eforturilor din structura. In aplicarea metodei sunt utile unele observatii referitoare la anumite situatii particulare privind structura si incarcarile:

• cand intr-un nod se intalnesc numai 2 bare de directii diferite si nodul nu este incarcat, eforturile din cele doua bare sunt nule (vezi figura 7.4(a));

• cand intr-un nod se intalnesc 3 bare, dintre care doua sunt in prelungire, iar in nod nu este aplicata nici o forta, efortul in cea de-a treia bara este nul, ceea ce rezulta din ecuatia de proiectie in raport cu directia Δ (vezi figura 7.4(b));

3

• cand intr-un nod se intalnesc doua bare diferit orientate, iar nodul este incarcat numai pe directia uneia dintre ele, forta axiala din aceasta bara este egala cu P, iar forta axiala din cealalta bara este egala cu 0 (vezi figura 7.4(c));

• cand intr-un nod se intalnesc 3 bare, dintre care 2 sunt in prelungire, iar in nod se aplica o forta, in cea de-a treia bara efortul se determina direct dintr-o ecuatie de proiectie pe normala la barele in prelungire (vezi figura 7.4(d)).

Figura 7.4 Situatii particulare privind structura si incarcarile

(a) (b)

N=0 N=0N1 N2

(c)

PN=0

N3=0 (Δ)

(Δ)

P

(d)

N1 N2

N3 (Δ)

P Principalul avantaj al metodei izolarii nodurilor este acela ca se pot determina eforturile din toate barele, iar principalul dezavantaj este considerat faptul ca erorile se pot propaga.

7.3.2 Metoda sectiunilor

Aceasta metoda, bazata pe teorema echilibrului partilor, permite determinarea directa a fortelor axiale din una sau mai multebare ale structurii. prin sectionarea completa a grinzii cu zabrele se suprima anumite bare si conform axiomei legaturilor, acestea vor fi inlocuite cu fortele de legatura corespunzatoare. Se determina mai intai reactiunile astfel incat in sectiunea efectuata vor interveni ca necunoscute numai fortele axiale din barele sectionate. Pentru o portiune rigida, in plan, sunt disponibile 3 ecuatii de echilibru static, care permit determinarea unui numar maxim de 3 necunoscute. Rezulta deci ca metoda este aplicabila numai cand sectionarea intersecteaza cel mult 3 bare de efort necunoscut. Ca restrictie, cele trei bare nu trebuie sa fie concurente si nici paralele. La exprimarea echilibrului partii izolate se va urmari obtinerea unor ecuatii independente in raport cu necunoscutele. Acest lucru este posibil daca se folosesc ecuatii de moment in raport cu puncte convenabil alese care sa elimine doua din cele trei necunoscute. Metoda sectiunilor este specifica calculului eforturilor intr-un numar limitat de bare si este, in general, o metoda de verificare.

7.3.3 Metoda grinzii asociate Aceasta metoda se aplica grinzilor cu zabrele simple incarcate vertical. Grinzile cu zabrele simple sunt formate prin alaturare de triunghiuri, nodurile fiind exclusiv in varfurile triunghiurilor. In fiecare triunghi unei bare i se opune un nod si reciproc. Grinda asociata este o grinda simplu rezemata orizontala, actionata de aceleasi forte verticale ca si grinda cu zabrele, fortele fiind la aceleasi distante.

4

1

M0

Figura 7.5 Grinda dreapta asociata grinzii cu zabrele

V1

P1

P2

P4

P6

P8

2 4

6

7

53

V7

P3P5

I

I

l

S24 S24

D34

D34

I35

I35

d3 d4

h3 h4

α24

α34 α35

P1 P2 P4 P6 P8P3 P5

+

M30 M4

0V10 V7

0

Efectuam sectiunea I-I care determina doua parti distincte. Eforturile din talpa superioara, diagonala si talpa inferioara sunt notate cu S, D, I. Unghiurile facute cu directiile S34, D24 si I35 cu directia orizontala sunt notate cu α34, α24 si α35. Distantele de la noduri la axele barelor opuse sunt notate cu d (vezi d3 si d4 din figura 7.5), iar ordonatele verticale cu h (vezi h3 si h4 din figura 7.5). Reactiunile si diagrama de moment corespunzatoare grinzii drepteasociate sunt notate cu V1

0 si cu V70

si respectiv cu M . 0

7.3.3.1 Calculul reactiunilor

( )( )

01

7

11

7

117 00 V

l

xlPVxlPlVM

jj

jj =−

=⇒=−−×⇒=∑

∑∑

07

7

17

7

171 00 V

l

xPVxPlVM

jj

jj ==⇒=+×−⇒=∑

∑∑

7.3.3.2 Determinarea eforturilor S, D si I

Pentru determinarea efortului S din talpa superioara se exprima echilibrul partii din stanga sectiunii. Se va calcula suma de momente in punctul 3.

( ) 00 324

3

13313 =+−−×⇒= ∑∑ dSxxPxVM jj , dar ( ) 0

3

3

1331 MxxPxV jj =−−× ∑ . Deci:

3

03

24 dMS −=

5

Efortul dintr-o bara a talpii superioare este egal cu raportul cu semn schimbat dintre momentul incovoietor al grinzii asociate considerat in dreptul nodului opus barei si distanta de la acel nod la axa barei. Pentru grinzile simplu rezemate rezulta ca talpa superioara este comprimata. Pentru determinarea efortului I din talpa inferioara se exprima echilibrul partii din stanga sectiunii. Se va calcula suma de momente in punctul 4.

( ) 00 435

4

14414 =−−−×⇒= ∑∑ dIxxPxVM jj , dar ( ) 0

4

4

1441 MxxPxV jj =−−× ∑ . Deci:

4

04

35 dMI =

Efortul dintr-o bara a talpii inferioare este egal cu raportul dintre momentul incovoietor al grinzii asociate considerat in dreptul nodului opus barei si distanta de la acel nod la axa barei. Pentru grinzile simplu rezemate rezulta ca talpa inferioara este intinsa. Pentru determinarea eforturilor D din diagonale se exprima echilibrul de translatie al partii din stanga sectiunii. Se va calcula suma de forte pe directia X . 0coscoscos0 353524243434 =×+×+×⇒=∑ ααα ISDX

354

04

243

03

3434 coscoscos ααα ×−×=×dM

dMD sau

4

04

3

03

3434 cosh

Mh

MD −=× α

Corespunde capatului superior al lui D34Corespunde capatului inferior al lui D34

6

structuri static determinate

Documents