strutturali gruppo di lezioni - dica.unict.it · wl/4 3wl/4 wl 2 /4 12 2 2 1 2 2 4 4
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La linea elasticaMetodo delle forzeMetodo degli spostamenti per strutture soggette a sforzo normale
10Spostamenti di elementi strutturali e metodi di risoluzione di sistemi strutturali
5
Sforzo normaleTorsioneFlessione e TaglioVerifica e progetto di travi
24Meccanica della trave4
Tensioni DeformazioniLegami costitutivi
10Elementi di meccanica del continuo
3
Sollecitazioni internePrincipi di dimensionamentoSistemi piani e 3D
9Statica degli elementi snelli 2
Modellazione del sistemaElementi strutturali – vincoliEquazioni di equilibrio
9Statica dei sistemi meccanici1
Principali argomentiOreGruppo di lezioni
Spostamenti di travi inflesse
ObiettivoLe travi sono deformabili. L’obiettivo è di determinare gli spostamenti di tutti i punti di una trave, in modo da conoscere la sua configurazione deformata.
IpotesiEssendo la trave un elemento snello, è sufficiente conoscere gli spostamenti della linea d’asse della trave. Il moto degli altri punti della sezione trasversale seguono la cinematica stabilita nella teoria della trave; non si tiene conto dell’eventuale ingobbamento, limitandosi ad assegnare un moto rigido alla sezione trasversale.
Per travi non molto tozze (L/D > 6) (D dimensione caratteristica della sezione trasversale) è trascurabile l’effetto del taglio sulla deformazione.
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φ
ux
uy
φy
Conseguenze delle ipotesi
yO
yuyu ϕ+= 0)(uo
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Gli spostamenti di un elemento trave sono definiti dalla deformata dall’asse della trave. Si assume che le sezioni rette rimangano indeformate nel proprio piano, per cui possono traslare e ruotare rigidamente.
Ricordando che ogni punto dell’asse della trave rappresenta una sezione trasversale, il campo di spostamento dei punti di una trave è definito dalla traslazione e dalla rotazione dei punti dell’asse (centri delle sezioni trasversali), cioè dalle funzioni: )(),(),(),(),(),( zzzzwzvzu yxt ϕϕϕ
u
v
wφx
φy
φt
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Nel piano gli spostamenti significativi sono v, w, φx
w, spostamento assiale, dipende da N
)0()(0
wdzEANzw
z
+= ∫
V e φx dipendono dal comportamento flessionale, cioè dalla curvatura flessionale
M
• Relationship between bending moment and curvature for pure bending remains valid for general transverse loadings.
EIxM )(1 =
ρ
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Esaminando il concio di trave dz
χρ
ϕϕρ
==
=1
dzd
ddz
Dalla relazione cinematica della flessione è
ydz
ddz
dwy
x
xz
ϕχεε
+=
+=
0
0
Lo spostamento assiale si ottiene dallo sforzo normale
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x
x
x
x
xxxz
EIM
zv
zv
yEIMy
zy
−=∂∂
⇒
∂∂−=
=∂
∂==
2
2
ϕ
ϕχε
Ipotesi: il piano della sezione retta rimane sempre ortogonale all’asse della trave.
Ciò implica trascurare la deformazione dovuta al taglio che crea scorrimenti angolari fra il piano della sezione trasversale e l’asse della trave.
Pertanto
v(x)
dv/dx
φ
φ
ϕ−=dxdv
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• La curvatura è zero dove il momento flettente è zero, cioè alle estremità ed in E.
EIxM )(1 =
ρ
• La trave ha curvatura verso il basso dove ilmomento è positivo, e viceversa..
• La curvatura massima avviene dove il momentoè massimo.
Punto di flesso
Analisi qualitativa dell’equazione della linea elastica
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x
x
EIM
zv −=
∂∂
2
2
Equazione della linea elastica
zv
x ∂∂−=ϕcon
Equazione differenziale ordinaria lineare di II ordine.
Il problema al contorno è definito da 2 C.C. su v o sulla sua derivata. Sono 2 fra le seguenti condizioni
BB
AA
zLvvLv
zvvv
ϕ
ϕ
−=∂
∂=
−=∂
∂=
)()(
)0()0(
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Equation of the Elastic Curve
( ) 2100
CxCdxxMdxvEIxx
++−= ∫∫
• Constants are determined from boundary conditions
• Three cases for statically determinant beams,
– Simply supported beam0,0 == BA vv
– Overhanging beam0,0 == BA vv
– Cantilever beam0,0 == AAv ϕ
• More complicated loadings require multiple integrals and application of requirement for continuity of displacement and slope.
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Esempio : trave a mensola
z
y
F
EIPLLv
zzLEIPv
Cdzdv
CvCC
CzCzzLEIPv
CzLzEIP
dzdv
zLEIP
dzvd
zLPzM
3)(
62
00)0()0(
00)0(..
62
2
)(
)()(
3
32
1
2
21
32
1
2
2
2
=
−=
=⇒==
=⇒=
++
−=
+
−=
−=
−−=
ϕ
L v(L)
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Sample Problem 9.1
ft 4ft15kips50
psi1029in7236814 64
===
×==×
aLP
EIW
For portion AB of the overhanging beam, (a) derive the equation for the elastic curve, (b) determine the maximum deflection, (c) evaluate ymax.
SOLUTION:
• Develop an expression for M(x) and derive differential equation for elastic curve.
• Integrate differential equation twice and apply boundary conditions to obtain elastic curve.
• Locate point of zero slope or point of maximum deflection.
• Evaluate corresponding maximum deflection.
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Sample Problem 9.1
SOLUTION:
• Develop an expression for M(x) and derive differential equation for elastic curve.
- Reactions:
↑
+=↓=LaPR
LPaR BA 1
- From the free-body diagram for section AD,
( )LxxLaPM <<−= 0
xLaP
dxydEI −=2
2
- The differential equation for the elastic curve,
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Sample Problem 9.1
PaLCLCLLaPyLx
Cyx
61
610:0,at
0:0,0at
113
2
=+−===
===
• Integrate differential equation twice and apply boundary conditions to obtain elastic curve.
213
12
61
21
CxCxLaPyEI
CxLaP
dxdyEI
++−=
+−=
xLaP
dxydEI −=2
2
−=32
6 Lx
Lx
EIPaLy
PaLxxLaPyEI
Lx
EIPaL
dxdyPaLx
LaP
dxdyEI
61
61
3166
121
3
22
+−=
−=+−=
Substituting,
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Sample Problem 9.1
• Locate point of zero slope or point of maximum deflection.
−=32
6 Lx
Lx
EIPaLy
LLxL
xEI
PaLdxdy
mm 577.0
331
60
2==
−==
• Evaluate corresponding maximum deflection.
( )[ ]32
max 577.0577.06
−=EI
PaLy
EIPaLy6
0642.02
max =
( )( )( )( )( )46
2max
in723psi10296in180in48kips500642.0
×=y
in238.0max =y
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Caso di momento discontinuo
La soluzione dell’equazione differenziale della linea elastica è una funzione continua fino alla derivata seconda se il dato (la curvatura) è una funzione continua. Ciò avviene se il momento è una funzione continua e con derivata prima continua.
Pertanto se su una trave il momento è discontinuo (cioè se esistono punti notevoli), l’equazione della linea elastica va applicata separatamente a ciascuna parte della trave. Quindi, se sono n la parti di trave a curvatura regolare, si hanno n equazioni differenziali e n funzioni spostamento, con 2n costanti di integrazione.
Le condizioni al contorno vanno imposte sui 2n punti estremi di ciascuno degli n intervalli di integrazione, cioè, oltre la condizioni ai limiti, vanno imposte le condizioni di continuità nei punti di discontinuità ž. Queste sono del tipo:
)()(
)()(
1
1
zdzvdz
dzvd
zvzv
ii
ii
+
+
=
=
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y
z
wL/4 3wL/4
wL2/4
1 2
2
21 2244
−−== LzwzLwMzLwM
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y
z2
21 2222
−−== LzwzLwMzLwM
)()(
0)2()()(0)0(
861223434
42322222
21
2211
432
23
43
221
3
1
3
22
322
1
21
LdzdvL
dzdv
LvLvLvv
CzCzLzLzEIwz
EIwLvCzCz
EIwLv
CzLzLzEIwz
EIwL
dzdvCz
EIwL
dzdv
=
===
++
+−+−=++−=
+
+−+−=+−=
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EIwLC
EIwLC
EIwLC
L
L
EIwL
CCC
L
LL
CLCEI
wLEI
wL
CEI
wLEI
wLCEI
wL
CLCEI
wLEI
wLLCEI
wL
C
962963967
42
481200111
0243
2444
482424
0
4
4
3
3
3
1
3
4
3
1
43
44
3
33
1
3
43
44
1
42
=
=
=
=
−−−
=+++−
++−=+−
+++−=+−
=
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Direct Determination of the Elastic Curve From the Load Distribution
• For a beam subjected to a distributed load,
( ) ( )xwdxdV
dxMdxV
dxdM −=== 2
2
• Equation for beam displacement becomes
( )xwdx
ydEIdx
Md −== 4
4
2
2
( ) ( )
432
2213
161 CxCxCxC
dxxwdxdxdxxyEI
++++
−= ∫∫∫∫
• Integrating four times yields
• Constants are determined from boundary conditions.
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• L’equazione valida per flessione retta nel piano yz è
( )
( )zqdz
vdEI
zqdz
vdEIdzd
y
y
=
=
4
4
2
2
2
2
( ) ( ) 432
23
1 CzCzCzCdxxqdxdxdxzv +++= ∫∫∫∫
• La soluzione è
sezione costante
Si ha
∂∂
∂∂−
∂∂−=
∂∂−=
2
2
3
3
2
2
)(
)(
zvEI
zzvEIzT
zvEIzM
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Equazione della linea elastica di 4° ordine. Servono 4 condizioni al contorno.
In ciascun estremo della trave si devono imporre due CC, del tipo
C.C. cinematiche C.C. meccaniche
LL
LL
MLzvEIopL
zv
FLzvEIopvLv
MzvEIop
zv
FzvEIopvv
=∂∂−−=
∂∂
=∂∂−=
=∂∂−=
∂∂
=∂∂=
)(.)(
)(.)(
)0(.)0(
)0(.)0(
2
2
3
3
02
2
0
03
3
0
ϕ
ϕ
Notare i segni delle condizioni meccaniche
yz
M<0
T<0
M>0
T>0
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Statically Indeterminate Beams• Consider beam with fixed support at A and roller
support at B.• From free-body diagram, note that there are four
unknown reaction components.• Conditions for static equilibrium yield
000 =∑=∑=∑ Ayx MFF
The beam is statically indeterminate.
( ) 2100
CxCdxxMdxyEIxx
++= ∫∫
• Also have the beam deflection equation,
which introduces two unknowns but provides three additional equations from the boundary conditions:
0,At 00,0At ===== yLxyx θ
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z2
y1
P
zPz1
y2
328
2272652
314
2131211
42
4
41
4
0
0
zCzCzCCvzCzCzCCv
zvEI
zvEI
+++=
+++=
=∂∂
=∂∂
00
0)0('0)0(
)(''')0('''
)('')('')(')(')()(
00
0)0('0)0(
6
5
2
2
12
21
21
21
2
1
1
1
==
==
−=+−
−−=−=−−=
==
==
CC
vv
EIPzvv
zLvzvzLvzvzLvzv
CC
vv
P
PP
PP
PPL-zP
PTT −=− 12
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c3�P L zp 2zp
2EIL2,
c7�Pzp2 L zp
2EIL2,
c4� P L zp 2 L 2zp
6EIL3,
c8�P 3L 2zp zp2
6 EIL3
Pz1 L zp 2 L z1 2zp 2z1zp
2EIL3φ(z1) =
φ(z1) è massima dove ⇒=∂
∂ 0)( 1
Pzzϕ
zp�L2
3 L z1
e si ottiene P 2L 3z1 3z1
54EI L z1 2φ(z1) =
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Sample Problem 9.3
For the uniform beam, determine the reaction at A, derive the equation for the elastic curve, and determine the slope at A. (Note that the beam is statically indeterminate to the first degree)
SOLUTION:
• Develop the differential equation for the elastic curve (will be functionally dependent on the reaction at A).
• Integrate twice and apply boundary conditions to solve for reaction at Aand to obtain the elastic curve.
• Evaluate the slope at A.
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Sample Problem 9.3
• Consider moment acting at section D,
LxwxRM
MxLxwxR
M
A
A
D
6
032
1
0
30
20
−=
=−
−
=∑
LxwxRM
dxydEI A 6
30
2
2−==
• The differential equation for the elastic curve,
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Sample Problem 9.3
LxwxRM
dxydEI A 6
30
2
2−==
• Integrate twice
215
03
14
02
12061
2421
CxCL
xwxRyEI
CLxwxREI
dxdyEI
A
A
++−=
+−== θ
• Apply boundary conditions:
01206
1:0,at
0242
1:0,at
0:0,0at
214
03
13
02
2
=++−==
=+−==
===
CLCLwLRyLx
CLwLRLx
Cyx
A
Aθ
• Solve for reaction at A
0301
31 4
03 =− LwLRA ↑= LwRA 010
1
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Sample Problem 9.3
xLwL
xwxLwyEI
−−
= 30
503
0 1201
120101
61
( )xLxLxEIL
wy 43250 2120
−+−=
• Substitute for C1, C2, and RA in the elastic curve equation,
( )42240 65120
LxLxEIL
wdxdy −+−==θ
EILw
A 120
30=θ
• Differentiate once to find the slope,
at x = 0,
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Risoluzione di Strutture iperstatiche mediante il metodo delle forze
Il numero delle reazioni determinare supera il numero delle equazioni di equilibrio indipendenti (grado di iperstaticità = n).
Si scelgono n reazioni (iperstatiche) e si sopprimono i relativi vincoli, in modo che la struttura rimasta non abbia acquisito alcun cinematismo in più rispetto alal struttura di partenza. Sarà allora staticamente determinata
Si applicano alla struttura staticamente determinata le reazioni incognite come forze esterne.
Si impongono n equazioni di congruenza enipunti dove erano applicati i vincoli soppressi.
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