studio di funzioni con moduli
TRANSCRIPT
Materiale didattico di Matematica –Studio di funzioni con moduli
Anna Mineo
STUDIO DI FUNZIONI CON MODULI
Le situazioni che di solito si presentano quando si deve studiare una funzione che contiene dei
moduli sono le seguenti:
tutta l’espressione analitica della funzione è interna al modulo ovvero l’equazione si
presenta nella forma xfy .
Si osserva che
0
0
xfsexf
xfsexfxf .
Nel caso dato è conveniente studiare la funzione di equazione xfy e rappresentarne il
grafico. Il grafico di xfy si ricava dal grafico della funzione xfy per quegli
intervalli in cui 0xf e dal grafico di xf per quegli intervalli in cui 0xf . In
concreto si opera una simmetria rispetto all’asse delle x dei soli archi di curva i cui punti
hanno ordinata negativa. Sarà poi necessario studiare la continuità e la derivabilità della
funzione per i punti in cui 0xf .
La funzione è del tipo xfy dove xf è un’espressione che contiene alcuni termini in
modulo e altri senza. Ad esempio 13 xxy . In questo caso si deve conoscere come
varia il segno degli argomenti di tali moduli e poi studiare la funzione che si ottiene quando:
o essi sono positivi o nulli;
o essi sono negativi.
Infine si uniscono i due grafici trovati.
ESEMPIO: Studiare la funzione di equazione 1
2
x
xy .
La funzione data è del tipo evidenziato sopra, si procede quindi studiando la funzione di
equazione 1
2
x
xy .
Il dominio della funzione è l’insieme ,11,D .
La curva passa per l’origine degli assi ed è positiva per x>-1 ( negativa per x<-1)
La funzione non presenta simmetrie particolari.
Comportamento della funzione agli estremi degli intervalli del dominio:
Materiale didattico di Matematica –Studio di funzioni con moduli
Anna Mineo
1
lim2
1 x
x
x
1lim
2
1 x
x
x la retta x = -1 è un asint. verticale
1
lim2
x
x
x la funzione non ammette asintoti orizzontali
Si ricerca la presenza di asintoti obliqui:
1limlim2
2
xx
x
x
xfm
xx 1
1limlim
2
x
x
xmxxfq
xx
La retta 1 xy è un asintoto obliquo.
La derivata prima della funzione è 2
2'
1
2
x
xxxf . Essa si annulla in
20 xex . Con lo studio del segno della derivata prima, analizzando gli
intervalli di monotonia si deduce che: x=0 è un punto di minimo relativo mentre
x=-2 è un punto di massimo relativo.
La derivata seconda della funzione è 3
''
1
2
xxf . La derivata seconda non si
annulla mai e quindi non ci sono punti di flesso; inoltre essa è positiva per x>-1 e
quindi in tale intervallo volge la concavità verso l’alto ( nell’intervallo x<-1 volge la
concavità verso il basso).
Il grafico della funzione studiata è quindi:
-15 -10 -5 0 5 10 15
Materiale didattico di Matematica –Studio di funzioni con moduli
Anna Mineo
Il grafico della funzione 1
2
x
xy è invece:
-15 -10 -5 0 5 10 15
ESEMPIO 1
Studiare la funzione 1
1
2
2
x
xxxy e disegnarne il grafico.
La funzione data è definita nell’insieme R - 1
La presenza del termine 1x impone di definire xf nel seguente modo:
1,11
1
1
1
11
12
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
xxsex
x
x
xxx
xsex
xx
x
xxx
xf
Di seguito si riportano tre grafici: i primi due sono i grafici delle due funzioni razionali fratte,
mentre il terzo grafico è l’unione dei due grafici precedenti.
Materiale didattico di Matematica –Studio di funzioni con moduli
Anna Mineo
ESEMPIO 2
Studiare la funzione xx
xy
4
4 2
e disegnarne il grafico.
Per determinare il campo di esistenza della funzione bisogna risolvere l’equazione
(*) x - 4 + x= 0.
È evidente che questa equazione non ammette soluzioni, in quanto non esistono valori della
variabile che annullano contemporaneamente i due moduli.
Ne consegue che la (*) non ammette soluzioni, e che il campo di esistenza della funzione è
l’insieme R dei numeri reali.
La funzione data si decompone nelle seguenti tre funzioni razionali :
Si osservi che la decomposizione della funzione y nelle funzioni y1 , y2 , y3 si può determinare
analizzando i termini che si presentano in valore assoluto. Infatti, osservato che:
Materiale didattico di Matematica –Studio di funzioni con moduli
Anna Mineo
e costruito il seguente grafico:
si deduce che il denominatore della funzione assegnata si decompone come:
4 - x - x = 4 - 2x se x < 0,
4 - x + x = 4 se 0 x 4,
x - 4 + x = 2x - 4 se x > 4.
Il grafico della funzione data è riportato nella figura.