STUDIUL LOXODROMEI SI ORTODROMEI PE SFERA SI ELIPSOID

Navigaia este tiina care se ocupa cu metodele i practicile cele mai eficiente pentru asigurarea deplasrii navelor i aeronavelor n deplin siguran.n antichitate, navigaia era ct se poate de periculoas din cauza fragilitii i deplasrii ncete a ambarcaiunilor, a puinelor cunotine despre mare i vnturi i din lipsa hrilor detaliate i a instrumentelor. n lipsa hrilor i a instrumentelor de navigaie, ghidarea se fcea prin observarea astrelor, iar naintarea, prin exploatarea fenomenelor naturale. Primul instrument de navigaie, folosit de egipteni, a fost o prajin lung, gradat; aceasta a fost urmat de o sond alctuit dintr-o sfoar cu o piatr la capt.

A urmat astrolabul, un instrument folosit pentru a masura miscarea astrilor pe bolta cereasc, mai exact, nlimea stelelor in raport cu linia orizontului, bastoanele lui Jacob, predecesorii sextantului, pentru msurarea nlimii astrelor. La sfritul evului mediu a aprut busola iar ncepnd cu secolul al XVI-lea se cunotea metoda de stabilire a latitudinii cu o eroare admisibil.

SEXTANT

n 1837, cpitanul american Th. Summer a inventat metoda latitudinii, singura metod astronomic aplicat pn n zilele noastre.Primul cronometru de marin

Pamantul face parte din categoria planetelor mijlocii, fiind a cincea ca marime intre planetele Sistemului Solar. Raza sa medie este de 6371 km. Circumferinta la Ecuator este de 40.076 km. Suprafata Pamantului este de 510 milioane km2.

Pentru a stabili poziia unui punct pe planet trebuie s pornim de la nite repere. Acestea sunt polii i Ecuatorul.Pentru a ti cu precizie poziia unui punct pe globul terestru nseamn a-i aflacoordonatele geografice,

adic latitudinea i longitudinea. Pentru aceasta avem nevoie de o reea de linii imaginare: paralelele i meridianele. Latitudineaeste distana, msurat n grade, de la Ecuator pn n punctul respectiv. Latitudinea poate fi nordic sau sudic i este indicat de paralel pe care se afla punctul (ex. 43 Nord). Longitudineaeste distana, msurat n grade, de la primul meridian pn la un anumit punct de pe scoara terestrProiecia cilindric Normal conform Mercator a fost imaginat n 1569 de Mercator si este o proiecie conforma dar deformeaz foarte mult suprafeele n sensul creterii latitudinii(de exemplu la latitudinea de 75N i S suprafeele sunt mrite de 16 ori), ceea ce face c regiunile polare situate mai la nord de 75N i S s nu se mai poat reprezenta.O caracteristic principal a acestei proiecii consta n faptul c loxodromele sunt reprezentate prin linii drepte.Este o proiecie folosit pentru hri de navigaie marin, hri ale reginunilor intertropicale i ale bazinelor oceanice.Pentru pstrarea conformitii, Mercator a mrit scrile pe meridian conform mririi scrilor pe paralele.

PROIECTIA MERCATOR

Loxodroma i ortodromaGuvernarea navei ntre dou puncte de pe suprafaa Pamntului, se asigur meninnd drumul compas corespunztor drumului adevrat ce leag cele dou puncte.Drumul compas este unghiul din planul orizontului adevrat msurat de la direcia nord compas pn la axul prova al navei;Considernd c drumul navei se menine constant, se deduce natura geometric a traiectoriei descrise de nav pe suprafaa Pmntului n deplasarea ei de la un punct la altul: o linie care taie toate meridianele sub acelai unghi.Curba de pe suprafaa Pmntului care taie toate meridianele sub acelai unghi se numete loxodrom. Fa de cele artate, drumul adevrat al navei mai poate fi definit deci ca unghiul constant format ntre loxodroma parcurs de nav i meridianele intersectate. De aceea, drumul urmat de nav n deplasarea ei de la un punct la altul pe sfera terestr mai este denumit i drum loxodromic.

Navigaia efectuat de nav de-a lungul unei loxodrome este denumit navigaie loxodromic.Lungimea loxodromei care leag dou puncte de pe suprafaa terestr nu reprezint distana cea mai scurt. Distana cea mai scurt ntre dou puncte pe sfera terestr este arcul de cerc mare.Arcul de cerc mare care unete dou puncte de pe suprafata sferei terestre se numete ortodrom. Studiul ortodromei, conduce la concluzia c ortodroma taie meridianele sub unghiuri diferite, cu excepia cazurilor cnd aceasta se confund cu ecuatorul sau cu meridianele.Dei loxodroma nu reprezint drumul cel mai scurt dintre dou puncte de pe suprafaa Pmntului, totui navigaia nu este posibil practic dect pe loxodrom, fapt impus de modul de guvernare a navei, care se face meninnd un drum constant cu ajutorul compasului.

NAVIGAIA ORTODROMIC PE ELIPSOID Ortodroma (Great Circle) este arcul de cerc mare 1 - 2 (Fig. 1.) care unete dou puncte de pe suprafaa terestr. Acest arc de cerc este situat la intersecia dintre sfera terestr i orice plan care trece prin centrul pmntului. Ortodroma este caracterizat de faptul c reprezint distana cea mai scurt ntre dou punctede pe glob i de faptul c taie meridianele sub unghiuri diferite.Prima caracteristic a ortodromei este un avantaj, dar ntruct n inerea navigaiei se folosesc cu precdere hrile n proiecie Mercator se prefer navigaia pe loxodroma (Rhumb Line).Pe o hart Mercator, loxodroma apare ca o linie dreapt care taie meridianele sub acelai unghi (drumul navei).

Ortodroma pe o hart Mercator apare ca un arc de cerc.Ea apare ns ca o linie dreapt pe hrile gnomonice, pe care se poate face navigaie ortodromic.Deplasarea navei de-a lungul ortodromei nu este ns practic posibil (excepia constituind-o deplasarea navei pe

Diferenta intre ortodroma (great circle) si loxodroma (rhumb line)

drumurile de 0, 180sau de-a lungul ecuatorului) deoarece, aa cum am precizat, aceasta taie meridianele sub unghiuri diferite, iar guvernarea navei se face prin meninerea unui unghi constant fa de direcia nord, egal cu drumul loxodromic D. n practic, navigaia ortodromic se realizeaz pe segmente de loxodroma, ct mai apropiate de ortodroma. Practic se calculeaz latitudinea unor puncte de pe ortodroma, fie la distane multiplu de 5sau 10de o parte i de alta a punctului de

latitudine maxim (punct numit Vertex) fie punctele de intersecie ale ortodromei cu meridianele multiplu de 5sau 10intre punctul de plecare i punctul de destinaie. ntre dou astfel de puncte consecutive, se traseaz segmentele de loxodroma corespunztoare pe harta Mercator. Segmentul de ortodroma dintre dou locuri situate de aceeai parte a ecuatorului, este n orice punct mai aproape de polul emisferei respective dect orice punct de pe loxodroma dintre cele dou locuri.Dac dou puncte sunt situate n emisfere diferite, ortodroma dintre ele schimba curbura n raport cu segmentul de loxodroma, la ecuator. Dac cele dou puncte sunt situate pe ortodroma la distane egale de o parte i de alta a ecuatorului, atunci ortodroma va intersecta loxodroma dintre ele pe ecuator.

n triunghiul sferic PNAB din Figura 2. observm elementele ortodromei:Distanta ortodromica M (lungimea arcului de cerc mare AB); se obine aplicnd n triunghiul sferic APNB formula cosinusului laturilor. Rezult: M rezulta n minute de arc de ortodroma care se considera egale cu o mile marine.Drumul iniial Diegal cu unghiul sferic PNAB. Drumul iniial se obine aplicnd formula cotangentelor n triunghiul sferic ABPN pentru: Di, (900-BA), (900-BB) obinndu-se: Aplicnd aceeai formul n triunghiul sferic BAPNse va obine:

Drumul iniial i cel final se vor calcula la precizie de zecime de minut (0'.1)Drumul final Dfegal cu unghiul sferic PNBA;

Vertexul V care este punctul de pe ortodroma care este cel mai apropiat de polul geografic (punctul cu cea mai mare latitudine); Latitudinea vertexului se obine din formula: Longitudinea vertexului se obine din: unde:

Punctele intermediare Z1, Z2, Z3. ntruct punctele intermediare se obin prin intersecia ortodromei cu meridianele separate de o diferen de longitudine constant, longitudinea punctelor intermediare este practic determinat.Pentru determinarea longitudinii se aplic formula:

Punctele intermediare astfel determinate se trec pe harta Mercator, i unite ntre ele printr-o curb cu extremitile n A i B determina ortodroma AB.Segmentele de dreapta AZ1, Z1Z2, Z2Z3, etc. ce unesc punctele intermediare ale ortodromei reprezint loxodrome pe care nav urmeaz s se deplaseze din A n B . Algoritmul pentru calculul n cele din urm a coordonatelor punctelor intermediare va cuprinde urmtoarele secvene:a)Calculul diferenei de longitudine diferenei de latitudine

i a diferenei de latitudine crescnd b)Calculul distanei ortodromice Mc)Calculul diferenei de distanta m MSe calculeaz drumul loxodromic ntre cele dou puncte: Se calculeaz distanta loxodromica ntre cele dou puncte:

Se calculeaz distanta m - Md)Calculul drumului iniial Di i a drumului final Df care se vor obine n sistem cuadrantal, trebuind convertite n sistem circulare)Se calculeaz coordonatele vertexuluif)Se calculeaz coordonatele punctelor intermediare Zi(Bi,Li) considerndu-le puncte de intersecie dintre ortodroma

i meridiane de longitudine multiplu den0(de exemplu multiplu de 50sau 100)Din analiza se deduc urmtoarele:distanta loxodromica pe sfera este mai mare dect distana loxodromica pe elipsoid;distanta ortodromica pe sfera este mai mic dect distana ortodromica pe elipsoid;diferena m M pe sfera este mai mare dect diferena pe elipsoid.