maj 2018

Matematisk formelsamling

stxA-niveau

Denne udgave af Matematisk formelsamling stx A-niveau er udgivet af Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk.

Formelsamlingen er udarbejdet i et samarbejde mellem Matematiklærerforeningenog Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, maj 2018

Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med Copy-Dan.

ISBN:978-87-603-3166-4

Forfattere: Gert Schomacker, Jesper Bang-Jensen, Bodil Bruun og Jørgen Dejgaard

3

Forord: ”Matematisk formelsamling stx A” er udarbejdet til brug for eksaminanderne ved den skriftlige prøve og i undervisningen på stx i matematik på A-niveau. Formelsamlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplanen for matematik på A-niveau på stx inden for både kernestof og supplerende stof. For overblikkets skyld er medtaget formler for areal og rumfang af en række elementærgeometriske figurer. Endvidere indeholder formelsamlingen en liste over matematiske standardsymboler. Hensigten hermed er dels at give eleverne et hurtigt overblik, dels at bidrage til, at undervisere og forfattere af undervisningsmaterialer kan anvende ensartet notation, symbolsprog og terminologi. Listen over matematiske standardsymboler går derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det matematiske univers i gymnasiet og på hf. En række af formlerne i formelsamlingen er kun anvendelige under visse forudsætninger (fx at nævneren i en brøk er forskellig fra 0). Sådanne forudsætninger er af hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtaget som illustration til formlerne, og den enkelte figur anskueliggør ofte ét blandt flere mulige tilfælde. Betydningen af de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke altid forklaret, men vil dog være det i tilfælde, hvor betydningen ikke følger umiddelbart af skik og brug i den matematiske litteratur.

Birte Iversen

Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet,

Kontor for Prøver, Eksamen og Test Maj 2018

4

Indhold Procent- og rentesregning 5 Indekstal 5 Proportionalitet 6 Brøkregler 6 Kvadratsætninger 7 Potensregneregler 7 Ensvinklede trekanter 8 Retvinklet trekant 8 Vilkårlig trekant 9 Vektorer i planen 10 Linjer, cirkler og parabler 13 Lineære funktioner 16 Andengradspolynomier 17 Logaritmefunktioner 18 Eksponentielt voksende funktioner 19 Eksponentielt aftagende funktioner 20 Potensfunktioner 21 Trigonometriske funktioner 22 Differentialregning 24 Afledede funktioner 25 Stamfunktion 26 Regneregler for integration 27 Areal og rumfung 28 Differentialligninger 29 Vektorfunktioner 31 Funktioner af to variable 32 Grupperede observationer 35 Ugrupperede observationer 36 Lineær regression 38 Kombinatorik 39 Sandsynlighedsregning 40 Binomialfordelingen 41 Normalfordelingen 43 Pascals trekant 45 Multiplikationstabel 46 Areal og omkreds, rumfang og overflade 47 Matematiske standardsymboler 48 Stikordsregister 54

5

Procent- og rentesregning

Begyndelsesværdi B Slutværdi S

(1) (1 )S B r

Vækstrate r (2) 1S

rB

Procentvis ændring p (3) % 100%p r= ⋅

Kapitalformel Startkapital K0

Rente p% pr. termin Kapital K efter n terminer

(4) 0 (1 ) nK K r= ⋅ + , hvor 100

pr

Annuitetsopsparing Terminsindbetaling b Rentefod r Antal indbetalinger n Kapital A efter sidste indbetaling

(5) (1 ) 1nr

A br

+ -= ⋅

Annuitetslån Hovedstol G Rentefod r Antal terminsydelser n Terminsydelse y

(6)

1 (1 ) n

ry G

r -= ⋅- +

Indekstal

Værdi B S

Indekstal BI SI

(7) S B

SI I

B= ⋅ S

B

IS B

I= ⋅

6

Proportionalitet

x og y er proportionale Proportionalitetsfaktor k

(8) y k x= ⋅ y

kx=

x og y er omvendt proportionale

(9) 1

y kx

= ⋅ x y k⋅ =

Brøkregler

(10) b a b

ac c

⋅⋅ =

(11) bc

a a c

b

⋅=

(12) ab a

c b c=

⋅

(13) abcd

a d

b c

⋅=

⋅

(14) a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

(1)

(2)

y k x = ·

(2)

(1)

1y k

x= ⋅

7

Kvadratsætninger

(15) 2 2 2( ) 2a b a b a b+ = + + ⋅

(16) 2 2 2( ) 2a b a b a b- = + - ⋅

(17) 2 2( )( )a b a b a b+ - = -

Potensregneregler

(18) r s r sa a a +⋅ =

(19) r

r ss

aa

a-=

(20) ( )r s r sa a ⋅=

(21) ( )r r ra b a b⋅ = ⋅

(22) r r

r

a a

b b

æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø

(23) 0 1a =

(24) 1r

ra

a- =

(25) 1 1a

a- =

(26) 1

r ra a=

(27) r

s sra a=

(28) a b a b⋅ = ⋅

(29) a a

b b=

(30) 12a a=

8

Ensvinklede trekanter

(31) 1 1 1a b ck

a b c= = =

(32) 1

1

1

a k a

b k b

c k c

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Retvinklet trekant

Pythagoras’ sætning (33) 2 2 2c a b= +

cosinus (34) cos( )b

Ac

=

sinus (35) sin( )a

Ac

=

tangens (36) tan( )a

Ab

=

B

A1

C

B1

A

C1

a1

c1

b1

b

c a

A

B

C

a

b

c

9

Vilkårlig trekant

Trekantens vinkelsum (37) 180A B C + + =

Trekantens areal T (38) 12

T h g= ⋅

cosinusrelation (39) 2 2 2 2 cos( )c a b a b C= + - ⋅ ⋅  

sinusrelation (40) sin( ) sin( ) sin( )

a b c

A B C= =  

Trekantens areal T (41) 12

sin( )T a b C= ⋅ ⋅  

g

h

A C

B

A

B

C

a

b

c

10

Vektorer i planen

(42)

1

1 22

aa a i a j

a

æ ö÷ç ÷= ⋅ + ⋅ =ç ÷ç ÷çè ø

Koordinatsættet for vektor a

,

hvor | | | | 1i j= =

cos( )

sin( )

ve

v

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

Enhedsvektor

(43)

Enhedsvektor e

ensrettet med a

(44) a

ea

=

| |a 1 2 2

1 22

aa a

a

æ ö÷ç ÷ç= = +÷ç ÷÷çè ø Længden af vektor a

(45)

k a⋅

1 1

2 2

a k ak

a k a

æ ö æ ö⋅÷ ÷ç ç÷ ÷= ⋅ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ç çè ø è ø Multiplikation af vektor a

med tallet k (46)

(2)

(1)i

j

i

a i1

a j2

a

(2)

(1)cos( )v

sin( )v

ev

a

a1

a2

a

k a∙

11

a b+ 1 1 11

2 2 22

b a ba

b a ba

æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= + =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ç ÷ ÷+ç çè ø è ø è ø Summen af to vektorer (47)

a b- 1 1 11

2 2 22

b a ba

b a ba

æ ö æ öæ ö -÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= - =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ç ÷ ÷-ç çè ø è ø è ø Differensen mellem to vektorer (48)

AB

2 1

2 1

x x

y y

æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷-çè ø Koordinatsættet for vektor AB

(49)

Skalarproduktet (prikproduktet) af a

og b

(50) 1 1 2 2a b a b a b⋅ = +

(51) | | | | cos( )a b a b v⋅ = ⋅ ⋅

(52) cos( )| | | |

a bv

a b

⋅=

⋅

Ortogonale vektorer (53) 0a b a b⋅ = ^

Kvadratet på en vektor (54) 2 2| |a a a a⋅ = =

a

b a b

a

b

a b

(1)

(2)

A x y( , )1 1

B x y( , )2 2

v

1

2

bb

b

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷çè ø

1

2

aa

a

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷çè ø

12

2| |a

a bb a

a

⋅= ⋅

Projektionen af b

på a

(55)

Længden af projektionen (56) | |

| || |

aa b

ba

⋅=

1 2

2 1

a aa

a a æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø Tværvektoren til a

(57)

1 2 2 1

1 1

2 2

det( , )a b a b a b a b

a b

a b

= ⋅ = -

=

Determinanten for

vektorparret ( , )a b

(58)

(59) det( , ) | | | | sin( )a b a b v= ⋅ ⋅

Parallelle vektorer (60) det( , ) 0a b a b=

| det( , ) |A a b=

Arealet af det parallelogram, som udspændes af a

og b

(61)

aba

b

(2)

(1)

+

1

2

aa

a=æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

2

1

ˆ aa

a

-=æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

v1

2

aa

a=æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

1

2

bb

b=æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

a

b

13

Linjer, cirkler og parabler

Ligning for linjen l gennem (0, )Q bmed hældningskoefficient a

(62) y a x b= ⋅ +

Hældningskoefficient (stigningstal) a for linjen l gennem 1 1( , )A x y og

2 2( , )B x y

(63) 2 1

2 1

y ya

x x-

=-

Skæring med y-aksen

(64) 1 1b y a x= - ⋅

Ligning for linjen l gennem 1 1( , )A x y med hældningskoefficient a

(65) 1 1( )y a x x y= ⋅ - +

Hældningsvinklen v er vinklen fra førsteaksen til l regnet med fortegn

(66) tan( )a v=

Ligning for linjen l gennem

0P med normalvektor

an

b æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

(67)

0 0( ) ( ) 0a x x b y y⋅ - + ⋅ - =

Parameterfremstilling for linjen l gennem 0P med

retningsvektor 1

2

rr

r æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

(68)

0 1

0 2

x rxt

y ry

æ ö æ öæ ö ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= +ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ç ççè ø è øè ø

(1)

(2)

A x y( , )1 1

B x y( , )2 2

l

Q b(0, )

v

(1)

(2)

P x y0 0 0( , )

l

n r

14

Afstand AB mellem to punkter

1 1( , )A x y og 2 2( , )B x y (69)

2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y= - + -

Midtpunkt M for linjestykke AB (70)

1 2 1 2,2 2

x x y yM

æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷çè ø

Afstand dist(P,l) fra punktet

1 1( , )P x y til linjen l med ligningen y a x b= ⋅ +

(71)

1 1

2

| |dist( , )

1

a x b yP l

a

⋅ + -=

+

Afstand dist(P,l) fra punktet

1 1( , )P x y til linjen l med ligningen 0a x b y c⋅ + ⋅ + =

(72) 1 1

2 2

| |dist( , )

a x b y cP l

a b

⋅ + ⋅ +=

+

Ligning for cirkel med centrum i( , )C a b og radius r

(73)

2 2 2( ) ( )x a y b r- + - =

(2)

(1)

M

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

(1)

(2)

l1 1( , )P x y

(2)

(1)

rC a b( , )

15

Ligning for parabel med symmetriakse parallel med andenaksen

(74)

2

2( )

y a x b x c

a x h k

= ⋅ + ⋅ +

= ⋅ - +

Toppunkt T (75)

2

( , ) , ,2 4

hvor 4

b dT h k T

a a

d b ac

æ ö- - ÷ç= ÷ç ÷çè ø

= -

Skæringspunkter 1S og 2S med førsteaksen

(76)

1 2,0 , ,02 2

b d b dS S

a a

æ ö æ ö- - - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

(1)

(2)

S1 S2

T h k( , )

x=h

16

Lineære funktioner

Førstegradspolynomium, lineær funktion f

(77) ( )f x a x b= ⋅ +

Hældningskoefficienten a (stigningstallet) ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(78) 2 1

2 1

y ya

x x-

=-

Skæring med y-aksen (79) 1 1b y a x= - ⋅

(1)

(2)

b 1

a

(1)

(2)

x1

y1

y2

x2

f

17

Andengradspolynomier

Andengradspolynomium p med nulpunkter (rødder)

1x og 2x

(80)

2

1 2

( )

( ) ( )

p x a x b x c

a x x x x

= ⋅ + ⋅ += ⋅ - ⋅ -

Nulpunkter (rødder) (81)

1 2

2

, ,2 2

hvor 4

b d b dx x

a a

d b ac

- - - += =

= -

Toppunkt T (82)

,2 4

b dT

a a

æ ö- - ÷ç ÷ç ÷çè ø

(1)

(2)

x1

p

x2

T

18

Logaritmefunktioner

Grafen for den naturlige logaritmefunktion

(83) ln( ) for 0x x-¥

(84) ln( ) forx x¥ ¥

(85) ln( ) eyy x x= =

(86) ln(e) 1=

(87) ln( ) ln( ) ln( )a b a b⋅ = +

(88) ln ln( ) ln( )a

a bb

æ ö÷ç = -÷ç ÷çè ø

(89) ln( ) ln( )ra r a= ⋅

Grafen for logaritme- funktionen med grundtal 10

(90) log( ) for 0x x-¥

(91) log( ) forx x¥ ¥

(92) log( ) 10yy x x= =

(93) log(10) 1=

(94) log( ) log( ) log( )a b a b⋅ = +

(95) log log( ) log( )a

a bb

æ ö÷ç = -÷ç ÷çè ø

(96) log( ) log( )ra r a= ⋅

(1)

(2)

ln ( )x

1 e

1

(1)

(2)

log( )x

1 101

19

Eksponentielt voksende funktioner

Grafen for en eksponentielt voksende funktion f

1a> vækstraten 0r>

0k>

(97) ( )

(1 )

e , hvor ln( )

x

x

k x

f x b a

b r

b k a⋅

= ⋅

= ⋅ +

= ⋅ =

(98) ( ) forf x x

(99) ( ) 0 forf x x

Fremskrivningsfaktoren a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(100)

2 12 1 2 2

1 1

1x xx x y y

ay y

-- æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè ø

Skæring med y-aksen (101) 1

1x

yb

a=

Fordoblingskonstanten 2T (102) 2 2 1T x x= -

(103) 2

log(2) ln(2) ln(2)

log( ) ln( )T

a a k= = =

(2)

(1)b

f

(2)

(1)

y1

x1 x2

2y1

T2

y b a= x

20

Eksponentielt aftagende funktioner

Grafen for en eksponentielt aftagende funktion f 0 1a< < vækstraten 0r<

0k<

(104) ( )

(1 )

e , hvor ln( )

x

x

k x

f x b a

b r

b k a⋅

= ⋅

= ⋅ +

= ⋅ =

(105) ( ) 0 forf x x

(106) ( ) forf x x

Fremskrivningsfaktoren a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(107)

2 12 1 2 2

1 1

1x xx x y y

ay y

-- æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè ø

Skæring med y-aksen (108) 1

1x

yb

a=

Halveringskonstanten 12

T (109) 12

2 1T x x= -

(110) ( )

12

1 1 12 2 2

log ln( ) ln( )

log( ) ln( )T

a a k= = =

(2)

(1)

b

(2)

(1)

y1

x1 x2

y1

12

T12

y b a= x

21

Potensfunktioner

Potensfunktion (111) ( ) af x b x= ⋅

Grafer for ( ) af x x

Bestemmelse af tallet a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(112) 2 1 2 1

2 1 2 1

log( ) log( ) ln( ) ln( )

log( ) log( ) ln( ) ln( )

y y y ya

x x x x

- -= =

- -

(113)

1

1a

yb

x=

Når x ganges med tallet 1 xr , så ganges ( )f x med tallet 1 yr

(114) 1 (1 )ay xr r+ = +

Når x ganges med tallet k, så ganges ( )f x med tallet ak

(115) ( ) ( )af k x k f x⋅ = ⋅

(2)

(1)

1

1

a < 0

a = 1

0 < < 1a

a > 1

22

Trigonometriske funktioner

Gradtal v omsat til radiantal x (116) 2π360

vx = ⋅ radian

Radiantal x omsat til gradtal v (117) 3602π

xv = ⋅ grader

Definition af cos(x) og sin(x)

(118) 2 2cos ( ) sin ( ) 1x x+ =

(119) cos( 2π) cos( )x x+ =

(120) cos( ) cos( )x x- =

Grafen for cosinus (121) cos(π ) cos( )x x- =-

(122) sin( 2π) = sin( )x x+

(123) sin( ) sin( )x x- =-

Grafen for sinus (124) sin(π ) sin( )x x- =

(2)

(1)1

xv

(2)

(1)1

x

cos( )x

sin( )x

(2)

(1)

1

–1 2

(2)

(1)

1

–1 2

23

Definition af tangens (125) sin( )

tan( )cos( )

xx

x=

Udvalgte funktionsværdier (126) grader 0 30 45 60 90

radiantal 0 6

4

3

2

sin 0 1

2

2

2

3

2 1

cos 1 3

2

2

2

1

2 0

tan 0 3

3 1 3 -

Harmonisk svingning f (127) ( ) sin( )f t A t d = ⋅ ⋅ + +

2 1

2πT t t= - =

Graf for harmonisk svingning f

med amplitude A og periode (svingningstid) T

(128)

(2)

(1)1

x

tan( )x

(2)

(1)

d

1t 2t

A f

T

24

Differentialregning

Differentialkvotienten 0( )f x¢ for funktionen f i tallet 0x

(129) 0

00

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

( ) ( )lim

x x

h

f x f xf x

x x

f x h f x

h

-¢ =-

+ -=

Ligning for tangenten t til grafen for f i 0 0( , ( ))P x f x

(130) 0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x¢= ⋅ - + eller y a x b= ⋅ + ,

hvor 0( )a f x¢= og 0 0b y a x= - ⋅

Regneregler for differentiation (131) ( ( )) ( )k f x k f x¢ ¢⋅ = ⋅

(132) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x¢ ¢ ¢+ = +

(133) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x¢ ¢ ¢- = -

(134) ( ( ) ( )) ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x¢ ¢ ¢⋅ = ⋅ + ⋅

(135) ( )( ) ( )f a x b a f a x b¢ ¢⋅ + = ⋅ ⋅ +

(136) (( ( )) ( ( )) ( )f g x f g x g x¢ ¢ ¢= ⋅

(2)

(1)

f

tP

x0

f x( )0

25

Afledede funktioner

Funktion Afledet funktion

( )y f x

( ) ( ( ))dy d

y f x f xdx dx

¢ ¢= = =

Lineær funktion (137) a x b⋅ + a

(138) k 0

Logaritmefunktion (139) ln( )x

11x

x-=

Eksponentialfunktioner (140) ex

ex

(141) ek x

ek xk

(142) xa

ln( )xa a⋅

Potensfunktioner (143) ax

1aa x

(144) 11x

x-=

22

1x

x-- =-

(145) 1

2x x=

121

21

2x

x

-=

Trigonometriske funktioner (146) cos( )x

sin( )x

(147) sin( )x

cos( )x

26

Stamfunktion

Funktion Stamfunktion

( )f x

( )f x dxò

Konstant funktion (148) a a x⋅

Logaritmefunktion (149) ln( )x

ln( )x x x⋅ -

Eksponentialfunktioner (150) ex

ex

(151) ek x 1 ek x

k

(152) xa

ln( )

xa

a

Potensfunktioner (153) ax 11

1a

a x +

+

(154) 11x

x-=

ln | |x

(155) 12x x=

322 2

3 3x x x=

Trigonometriske funktioner (156) cos( )x

sin( )x

(157) sin( )x

cos( )x

27

Regneregler for integration

Ubestemt integral (158) ( ) ( )f x dx F x k= +ò ,

hvor ( )F x er en stamfunktion til ( )f x

(159) ( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ = ⋅ò ò

(160) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +ò ò ò

(161) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx- = -ò ò ò

Integration ved substitution

(162) ( ( )) ( ) ( )f g x g x dx f t dt¢⋅ =ò ò , hvor ( )t g x=

Bestemt integral (163) [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = -ò ,

hvor ( )F x er en stamfunktion til ( )f x

(164) ( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +ò ò ò

(165) ( ) ( )b b

a ak f x dx k f x dx⋅ = ⋅ò ò

(166) ( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +ò ò ò

(167) ( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx- = -ò ò ò

Integration ved substitution

(168) [ ]( ) ( )

( )( )( ( )) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ( )) ,

hvor ( ) er en stamfunktion til ( )

b g b g b

g aa g af g x g x dx f t dt F t

F g b F g a

F x f x

¢⋅ = =

= -

ò ò

28

Areal og rumfang

Arealet A af det markerede område

(169) ( )b

aA f x dx= ò

Arealet A af det markerede område

(170) ( ( ) ( ))b

aA f x g x dx= -ò

Kurvelængden L af den markerede del af grafen

(171) 21 ( )b

aL f x dx¢= +ò

Rumfanget V af omdrejningslegemet

(172) 2π ( )b

aV f x dx= ò

(2)

(1)

f

a b

(2)

(1)

f

ga b

(2)

(1)

f

a b

(2)

(1)

f

ba

29

Rumfang V af hult omdrejningslegeme

(173) 2 2π ( ( ) ( ) )b

aV f x g x dx= -ò

Differentialligninger

Ligning Løsning

(174) ( )y h x¢= ( )y h x dx= ò

(175) ( ) ( )y h x g y¢= ⋅ 1

( )( )

dy h x dxg y

=ò ò

(176) y k y¢= ⋅ ek xy c= ⋅

(177) y b a y¢ = - ⋅ e a xby c

a-= + ⋅

(178) ( )y y b a y¢= ⋅ - ⋅ 1 e b x

bay

c -=+ ⋅

(179) ( )y a y M y¢= ⋅ ⋅ - 1 e a M x

My

c -=+ ⋅

(180) ( ) ( )y a x y b x¢+ ⋅ = ( ) ( ) ( )e ( ) e eA x A x A xy b x dx c- -= ⋅ + ⋅ò ,

hvor A(x) er stamfunktion til a(x)

(2)

(1)

f

ba

g

30

Linjeelement (181) 0 0 0( , , )x y y¢

Hældningsfelt, Linjeelementer

(182)

Løsningskurve (183)

(1)

(2)

P0

(1)

(2)

31

Vektorfunktioner

(184) ( )

( )( )

x ts t

y t

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

Vektorfunktion med koordinatfunktioner

( )x t og ( )y t

Hastighedsfunktion (185) ( )v t =

( )s t¢

Accelerationsfunktion (186) ( ) ( )a t v t¢= =

( )s t¢¢

Parameterfremstilling for banekurven, x(t) og y(t) er koordinatfunktioner

(187)

( )

( )

x tOP

y t

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

00 0

0

( )( ) ( )

( )

x tv t s t

y t

æ ö¢ ÷ç ÷¢= =ç ÷ç ÷ç ¢è ø

Retningsvektor v

for tangenten i punktet P0 svarende til parameterværdien t0

(188)

Parameterfremstilling for den rette linje l gennem 0 0 0( , )P x y

med retningsvektor 1

2

rr

r

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

(189) 0 1

0 2

( )

( )

x rx tt

y t y r

æ ö æ öæ ö ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= + ⋅ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ç ÷ ççè ø è øè ø

(2)

(1)( )s t

(2)

(1)v

0P

32

( ) cos( )

( ) sin( )

x t a r t

y t b r t

æ ö æ ö æ ö⋅÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç ⋅è ø è ø è ø Parameterfremstillingen for en

cirkel med centrum ( , )C a b og radius r

(190)

Funktioner af to variable

Grafen for en funktion af to variable

(191) ( , )z f x y=

Snitkurve for f i henholdsvis x-retningen og y-retningen

(192) ( ) ( , )z g x f x y= = , hvor y holdes fast (blå kurve)

( ) ( , )z h y f x y= = , hvor x holdes fast (rød kurve)

(2)

(1)

rC a b( , )

z

x

y

f

z

x

y

gh

f

33

Niveaukurve for f i xy-plan (193) ( , )f x y k=

De partielle afledede af ( , )f x y mht. x og y

(194) ( , )xf x y¢ ( ( , ))f x yx

¶=

¶

( , )yf x y¢ ( ( , ))f x yy

¶=

¶

Gradienten for f (195) ( , )f x y =( , )

( , )x

y

f x y

f x y

æ ö¢ ÷ç ÷ç ÷ç ÷¢ ÷çè ø

Tangentplanen z i punktet

0 0 0 0( , , )P x y z (196) 0 0 0( ) ( )z z p x x q y y= + ⋅ - + ⋅ - ,

hvor

0 0( , )xp f x y¢= og 0 0( , )yq f x y¢=

z

x

y

f

( , )f x y k�

k

34

Stationært punkt

0 0 0 0( , , )P x y z for f (197)

0 0

0( , ) 0

0f x y

æ ö÷ç ÷ = =ç ÷ç ÷çè ø

0 0( , ) 0xf x y¢ = og 0 0( , )yf x y¢ 0=

Arten af stationære punkter

for f , hvor 0 0( , )xxr f x y¢¢=

0 0 0 0( , ) ( , )xy yxs f x y f x y¢¢ ¢¢= = og

0 0( , )yyt f x y¢¢=

Lokalt maksimum i

0 0 0 0( , , )P x y z (198) 2 0r t s⋅ - > og 0r<

Lokalt minimum i

0 0 0 0( , , )Q x y z (199) 2 0r t s⋅ - > og 0r>

Saddelpunkt i 0 0 0 0( , , )P x y z (200) 2 0r t s⋅ - <

Arten ubestemt (201) 2 0r t s⋅ - =

z

x

y

f

0P

0Q

z

y

x

f

0P

35

Grupperede observationer

Histogram

(202) Arealet af en blok svarer til intervallets frekvens

Histogram med ens intervallængder

(203) Højden af en blok svarer til intervallets frekvens

Sumkurve (204) 1Q : nedre kvartil, 25% -fraktilen m : median, 50% -fraktilen

3Q : øvre kvartil, 75% -fraktilen

px

: p% -fraktilen

10%

10

2030

%

100%

Kumuleretfrekvens

Q1 m Q3

75

50

25

20

40

60

80

100%

Kumuleretfrekvens

xp

p

36

Ugrupperede observationer

(205) Observationerne afsat på en tallinje

Prikdiagram

(206) min: mindste observation

(207) max: største observation

Variationsbredde (208) max min-

(209) m: median (midterste observation, når antallet af observationer er ulige, ellers tallet midt mellem de to midterste observationer)

(210) 1Q : nedre kvartil

(medianen for den nederste halvdel af observationerne)

(211) 3Q : øvre kvartil

(medianen for den øverste halvdel af observationerne)

Kvartilbredde (212) 3 1Q Q-

(213) Boksplot, kassediagram

(boksens højde er uden betydning)

Kvartilsæt (214) 1 3( , , )Q m Q

Udvidet kvartilsæt (215) 1 3( , , , , )min Q m Q max

min

max

m

Q1

Q3

min Q1 m Q3 max

37

Outlier

(216) Observation, der ligger mere end halvanden kvartilbredde under nedre kvartil eller mere end halvanden kvartilbredde over øvre kvartil

Middeltal x for observations- sættet 1 2, , ... , nx x x

(217) 1 2 ... nx x xx

n

+ + +=

Spredning af en stikprøve

1 2, , ... , nx x x fra en population

(218)

2

1

( )

1

n

ii

x x

ns =

-=

-

å

2 2

1( ) ( )

1nx x x x

n

- + + -=

-

Venstreskæv fordeling (219) Middeltal mindre end medianen x m<

Ikke-skæv fordeling (220) Middeltal lig med medianen x m=

Højreskæv fordeling (221) Middeltal større end medianen x m>

x

x

x

38

Lineær regression

Tabel med observerede data

(222)

x 1x 2x 3x …

nx

y 1y 2y 3y … ny

Regressionslinje

(223) Bedste rette linje, graf for ( )f x a x b= ⋅ +

Punktplot og bedste rette linje

(224)

Residual (225) Forskel mellem observeret y-værdi og tilsvarende y-værdi i model

Residualtabel (226)

x 1x 2x …nx

Residual 1 1 1( )r y f x= - 2 2 2( )r y f x= - … ( )n n nr y f x= -

Residualplot (227)

Residualspredning (228) 2 2 2

1 2 ...

2nr r r

sn

+ + +=

-

(1)

(2)

modelpunkter observerede datapunkter

f

(2)

(1)x1

x2

x3

xn

r2

rn

r3

r1

39

Kombinatorik

Multiplikationsprincip Antal mulige måder at vælge både ét element fra N og et element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer

(229) n m⋅

Additionsprincip Antal mulige måder at vælge enten ét element fra N eller ét element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer

(230) n m+

Fakultet (231) ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n= ⋅ - ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅

Permutationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen har betydning

(232) !

( , )( )!

nP n r

n r=

-

Kombinationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen ikke har betydning

(233) !

( , )!( )!

nK n r

r n r=

-

40

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsfelt med udfaldsrum U og sandsynligheder p

(234) ( , )U p

Udfaldsrum U med n udfald (235) Mængden af alle udfald 1 2{ , , , }nu u u⋅⋅⋅

Summen af alle sandsynligheder

(236) 1 2 3 ... 1np p p p+ + + + =

Sandsynlighedstabel (237) Udfald 1u 2u 3u … nu Sandsynlighed 1p 2p 3p … np

Hændelse A med k udfald fra U

(238) Mængde af k udfald fra U

Sandsynlighed for hændelse A (239) Summen af de k udfalds sandsynligheder

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Alle sandsynligheder er lige store

(240) 1 2 3

1... np p p p

n= = = = =

Sandsynlighed for udvælgelse af et element fra A

(241) ( )k antal gunstige

P An antal mulige

= =

Sandsynlighed ved kombination af uafhængige hændelser A og B

(242) (både og ) ( ) ( )P A B P A P B= ⋅

Sandsynlighed ved kombination af hændelser A og B, som ikke har noget fælles udfald

(243) ( eller ) ( ) ( )P A B P A P B= +

41

Sandsynlighedsfordelings-tabel for en stokastisk variabel X

(244)

ix 1x 2x 3x … nx

( )iP X x= 1p 2p 3p … np

Søjlediagram. Højde af søjle svarer til sandsynlighed af udfald

(245)

Middelværdi af en stokastisk variabel X

(246)

1

1 1 2 2 3 3

( ) ( )n

i ii

n n

E X x P X x

x p x p x p x p

m=

= = ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

å

Varians af en stokastisk variabel X

(247) 2

1

Var( ) ( ) ( )n

i ii

X x P X xm=

= - ⋅ =å2 2

1 1( ) ( )n nx p x pm m= - ⋅ + + - ⋅

Spredning af en stokastisk variabel X

(248) ( ) Var( )X X= =s s

Binomialfordeling

Binomialfordelt stokastisk variabel X med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p

(249) ( , )X b n p

Binomialkoefficient ( , )K n r (250)( )

!( , )

! !

n nK n r

r r n r

æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç -è ø

(251) ( , ) ( , )K n r K n n r= -

Sandsynlighedsfunktion for binomialfordelt stokastisk variabel X

(252) ( ) ( , ) (1 )r n rP X r K n r p p -= = ⋅ ⋅ -

Middelværdi m (253) n pm= ⋅

Spredning s (254) (1 )n p ps= ⋅ ⋅ -

(1)

(2)

x1 x2 x3 xn.. .

42

Statistisk usikkerhed i stikprøver

Antal elementer i stikprøven n 95% konfidensinterval for populationens sandsynlighedsparameter p estimeret ud fra stikprøveandelen p

(255)

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ2 ; 2

p p p pp p

n n

é ù⋅ - ⋅ -ê ú- ⋅ + ⋅ê úê úë û

Normalfordelingsapproksimation til binomialfordelt stokastisk variabel X med middelværdi

n pm= ⋅

og spredning

(1 )n p ps= ⋅ ⋅ -

(256)

(1)

� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��

normale udfald

Exceptionelleudfald

Exceptionelleudfald

(1)

� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��

68,27%

95,45%

99,73%

43

Normalfordelingen

Standardnormalfordelt stokastisk variabel X

(257) (0,1)X N

Middelværdi (258) ( ) 0E Xm= =

Spredning (259) ( ) 1Xs s= =

Tæthedsfunktion (260) 21

21

φ( ) e2π

xx

- ⋅=

Fordelingsfunktion (261) ( ) φ( )a

a x dx-¥

F = ò

Sandsynligheden for, at X er større end eller lig med a

(262) ( ) 1 ( )X a aF ³ = -F

Sandsynligheden for, at X er større end eller lig med a og mindre end eller lig med b

(263) ( ) ( ) ( )a X b b aF £ £ =F -F

Normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi m og spredning s

(264) ( , )X N m s

Fordelingsfunktion

(265) ( )x

F x

æ ö- ÷ç= ÷ç ÷çè ø

Tæthedsfunktion

(266)

21

21( ) e

2π

x

f xæ ö- ÷ç- ⋅ ÷ç ÷÷çè ø=

⋅

ms

s

(1)

(2)

(1)

(2)

12

F1

(1)

(2)

f

m (1)

(2)

F

m

12

1

44

Sandsynligheden for, at X er mindre end eller lig med a

(267) ( ) ( )a

P X a f x dx-¥

£ = ò

( )a

P X aæ ö- ÷ç£ =F ÷ç ÷çè ø

ms

Sandsynligheden for, at X er større end eller lig med a

(268) ( ) 1 ( )P X a P X a³ = - £

( ) 1a

P X aæ ö- ÷ç³ = -F ÷ç ÷çè ø

ms

Sandsynligheden for, at X er større end eller lig med a og mindre end eller lig med b

(269) ( ) ( ) ( )P a X b P X b P X a£ £ = £ - £

( )b a

P a X bæ ö æ ö- -÷ ÷ç ç£ £ =F -F÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

m ms s

Fraktilplot QQ-plot

(270)

(2)

(1)a

f

0

1

2

� �� ��� �

2�

1�

1Φx

y � � �� ��� �� ���

�

�

x

45

Pascals trekant (271)

K(0,0)

K(1,0) K(1,1)

K(2,0) K(2,1) K(2,2)

K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3)

K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4)

K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)

K(6,0) K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6)

K(7,0) K(7,1) K(7,2) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7)

K(8,0) K(8,1) K(8,2) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

46

Multiplikationstabel (272)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240

13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260

14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280

15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300

16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320

17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340

18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360

19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380

20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Røde tal: Kvadrattal

47

Areal og omkreds, rumfang og overflade af geometriske figurer

Trekant

h højde g grundlinje

A areal 12A h g= ⋅

Parallelogram

h højde g grundlinje

A areal A h g

Trapez

h højde a, b parallelle sider

A areal 12 ( )A h a b= ⋅ +

Cirkel

r radius

A areal 2πA r=

O omkreds 2πO r= ⋅

Kugle

r radius

O overflade 24πO r= ⋅

V rumfang 34

3πV r= ⋅

Cylinder

h højde r grundfladeradius

O krum overflade 2πO r h= ⋅

V rumfang 2πV r h= ⋅

Kegle

h højde s sidelinje r grundfladeradius O krum overflade πO r s

V rumfang 213

πV r h= ⋅

g

h

A C

B

g

h

b

h

a

r

r

r

r

h

r

h s

48

Generaliseret cylinder

h højde

s omkreds af grundfladen

G grundfladen

O krum overflade s h⋅

V rumfang V h G= ⋅

overflade = 2s h G⋅ +

Matematiske standardsymboler Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

.,.,.,. mængde på listeform { }5,0,3,10- ,{ }2,4,6,... ,{ }..., 1,0,1,...-

mængden af naturlige tal 1,2,3,...

mængden af hele tal ..., 2, 1,0,1,2,...

mængden af rationale tal tal, der kan skrives pq , ,p q

mængden af reelle tal

tilhører / er element i 2

[ ];a b lukket interval [ ] { }1;3 |1 3x x= Î £ £

] ];a b halvåbent interval ] ] { }1;3 |1 3x x= Î < £

[ [;a b halvåbent interval [ [ { }1;3 |1 3x x= Î £ <

] [;a b åbent interval ] [ { }1;3 |1 3x x= Î < <

er en ægte delmængde af { }1,2,3 NÌ

fællesmængde A B

Foreningsmængde A B

\ mængdedifferens \A B

A komplementærmængde \U A

G

hh

A B

A B

A B

U A

49

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

Ø den tomme mængde

disjunkte mængder ØA B

mængdeprodukt [ ] [ ]10;10 10;10- ´-

”og” i betydningen ”både og” (konjunktion)

2 5x y

”eller” i betydningen ”og/eller” (disjunktion)

2 5x x

”medfører”, ”hvis … så” (implikation)

22 4x x= =

”ensbetydende”, ”hvis og kunhvis” (biimplikation)

2 4 2 2x x x= =- =

1

n

ii

a

1 2 ... na a a 4

2 2 2 2 2

1

1 2 3 4i

i

!n n fakultet, n udråbstegn ! 1 2 ... for 1n n n

0! 1=

( )f x funktionsværdi af x ved funktionen f

( ) 2 1f x x= + , så er (4) 3f = .

Dm( )f definitionsmængden for f

Vm( )f værdimængden for f

log( )x logaritmefunktionen med grundtal 10

log( ) 10yy x x

ln( )x den naturlige logaritme- funktion

ln( ) e yy x x

ex den naturlige eksponential- funktion ex betegnes også exp(x)

xa eksponentialfunktionen med grundtal a, 0a

xb a kaldes undertiden for en eksponentialfunktion eller en eksponentiel udvikling

ax potensfunktion

ab x kaldes undertiden for en potensfunktion eller en potens- udvikling

| |x numerisk (absolut) værdi af x |3| 3 , | 7 | 7

| |x betegnes også abs(x)

A B

50

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

sin( )x sinus

cos( )x cosinus

tan( )x tangens sin( )

tan( )cos( )

xx

x=

1sin ( )y- omvendt funktion til sinus1

1

1

sin ( ) sin( )

sin (0,5) 30

sin betegnes også Arcsin

y x x y-

-

-

= =

=

1cos ( )y- omvendt funktion til cosinus1

1

1

cos ( ) cos( )

cos (0,5) 60

cos betegnes også Arccos

y x x y-

-

-

= =

=

1tan ( )y- omvendt funktion til tangens 1

1

1

tan ( ) tan( )

tan (1) 45

tan betegnes også Arctan

y x x y-

-

-

= =

=

0

lim ( )x x

f x

grænseværdien af ( )f x

for x gående mod 0x 3lim 1 2x

x

+ =

lim ( )x

f x¥

grænseværdien af ( )f x for x gående mod ¥

1lim 0x x

0

( )

for

f x a

x x

( )f x går mod a

for x gående mod 0x 1 2 for 3x x+

( )

for

f x a

x

¥

( )f x går mod a

for x gående mod e 0 forx x- ¥

x x-tilvækst 0x x x

,y f funktionstilvækst for

( )y f x 0( ) ( )y f f x f x

,y f

x x

differenskvotient for

( )y f x 0

0

( ) ( )f x f xy f

x x x x

0)f x¢ differentialkvotienten for ( )y f x i 0x 0

00

0

0 0

( ) ( )) lim

lim lim

x x

x x

f x f xf x

x x

f y

x x

-¢ =-

= =

51

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

f ¢ afledet funktion af ( )y f x betegnes ( ), , ( ( )),d

f x y f xdx

¢ ¢

( )nf den n’te afledede funktion af ( )y f x

(2) ( )f x skrives ofte ( )f x¢¢ , y¢¢

eller 2

2

d y

dx

AB linjestykket AB

| |AB længden af linjestykket AB

AB cirkelbuen AB

| |AB længden af cirkelbuen AB

,a AB

vektor

| |, | |a AB

længden af vektoren

a tværvektor betegnelsen a kan også anvendes

a b skalarprodukt, prikprodukt betegnelsen a b

benyttes også

1 1

2 2

a b

a b determinanten for vektor-

parret ( , )a b

betegnelsen det( , )a b

benyttes

også

”er vinkelret på” l m^ læses også ”l og m er ortogonale”

A vinkel A 110A eller 110A=

ABD vinkel B i trekant ABD

( , )a b vinklen v mellem a

og b

,

hvor 0 180v

A

BC

D

a

b

v

52

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

vinklen fra a

til b

retvinklet trekant

midtnormalen n for linjestykket AB

bh højden fra B på siden b eller dens forlængelse

bm medianen fra B på siden b

Bv vinkelhalveringslinjen for vinkel B

a

b

–115°

245°

hosliggendekatete til v

modståendekatete til v

hypotenuse

v

A B

n

A

B

C

a

b

chb

A

B

C

a

b

cmb

A

B

C

a

b

cvB

53

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

trekant ABC’s omskrevne cirkel

trekant ABC’s indskrevne cirkel

A

B

C

A

B

C

vC

54

Stikordsregister A accelerationsfunktion 31 E eksponentiel funktion additionsprincip 39 - aftagende 20 afledet funktion 25, 51 - voksende 19 afstand mellem enhedsvektor 10 - punkt og linje 14 ensvinklede trekanter 8 - to punkter 14 exceptionelle udfald 42 amplitude 23 andengradspolynomium 17 F fakultet 39, 49 annuitetslån 5 fordoblingskonstant 19 annuitetsopsparing 5 fordelingsfunktion 43 areal fremskrivningsfaktor 19, 20 - cirkel 47 førstegradspolynomium 16 - generaliseret cylinder 48 - parallelogram 47 G generaliseret cylinder 48 - trapez 47 gradient 33 - trekant 47 gradtal 22 grupperede observationer 35 B banekurven 31 grænseværdi 50 bedste rette linje 38 begyndelsesværdi 5 H halveringskonstant 20 bestemt integral 27 harmonisk svingning 23 binomialfordeling 31 hastighedsfunktion 31 binomialkoefficient 31 histogram 35 boksplot 36, 37 hult omdrejningslegeme 29 brøkregler 6 hældningskoefficient 13, 16 hældningsvinklen 13 C cirkel 47 hændelse 40 cirklens ligning 14 højde 47, 52 cosinus 8, 50 højreskæv 37 cosinusrelation 9 cylinder 47 I ikke-skæv 37 indekstal 5 D determinant 12 indskreven cirkel 53 differensen mellem 11 integration 27 differenskvotient 50 differentialkvotient 24, 50 differentialligninger 29

55

K kapitalformel 5 O omkreds, cirkel 47kegle 47 omskreven cirkel 53kombinationer 39 omvendt proportionalitet 3konfidensinterval 42 ortogonal, vinkelret 39koordinatsæt 11 ortogonale linjer 14kugle 47 ortogonale vektorer 11kurvelængde 28 outlier 37kvadratsætninger 7 overflade kvartil 35, 36, 37 - cylinder 47kvartilbredde 36 - generaliseret cylinder 48kvartilsæt 36 - kegle 47

- kugle 47L lineær funktion 16

lineær regression 28 P p% -fraktil 35linjens ligning 13 parabel 15logaritmefunktioner 18 parallelle vektorer 12lokalt maksimum 34 parallelogram 47lokalt minimum 34 Pascals trekant 45længde af vektor 10 permutationer 39løsningkurve 30 potensfunktioner 21

potensregneregler 7M median (statistik) 36, 37 prikdiagram 36

median (trekant) 52 prikprodukt 11, 51middeltal 37 procent-procent tilvækst 21middelværdi 41 procentregning 5midtnormal 52 projektionen 12midtpunkt 14 proportionalitet 6multiplikation af vektor 10 punktplot 38multiplikationsprincip 39multiplikationstabel 46 Q QQ-plot 44

N nedre kvartil 35 R radiantal 22niveaukurve 33 regneregler for differentiation 24normale udfald 42 regneregler for integration 27normalfordeling 43 regression, lineær 38normalvektor 13 regressionslinje 38nulpunkter 17 residual 38

residualplot 38residualspredning 38retningsvektor 31

56

retvinklet trekant 8, 52 V varians 41 rod, rødder 17 variationsbredde 36 rumfang af vektorer i planen 10 - cylinder 47 venstreskæv fordeling 37 - generaliseret cylinder 48 vilkårlig trekant 9 - kegle 47 vinkelhalveringslinje 52 - kugle 47 vinkelret, ortogonal 51 vinkelsum i trekant 9 S saddelpunkt 34 vinkler 51, 52 sandsynlighed 40, 41 vækstrate 5, 19, 20 sinus 8, 50 sinusrelation 9 Ø øvre kvartil 35 skæringspunkt m. førsteaksen 15 skalafaktor 8 skalarprodukt 11, 39 spredning 37, 41 statistisk usikkerhed 42 stokastisk variabel 41, 42 sum af vektorer 11 sumkurve 35 symboler 48 symmetrisk sandsynlighedsfelt 40 søjlediagram 41 T tangens 8, 50 tangent til graf 24 toppunkt 15, 17 trapez 47 trigonometriske funktioner 22, 23 tværvektor 12 tæthedsfunktion 43 U uafhængige hændelser 30 ubestemt integral 27 udfaldsrum 40 udvidet kvartilsæt 36 ugrupperede observationer 36