su dong bien nghich bien cua ham so

§ § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁCUÛA HAØM SOÁ

1. Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá ñoàng 1. Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá ñoàng bieán, nghòch bieánbieán, nghòch bieán

- Neáu - Neáu xx11, x, x22 (a; b) vaø x (a; b) vaø x11< x< x22 maø maø f(xf(x11)<f(x)<f(x22) thì haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi ) thì haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi laø ñoàng bieán (laø ñoàng bieán (taêngtaêng) treân khoaûng (a; ) treân khoaûng (a;

b).b).

Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b)treân khoaûng (a;b)

- Neáu - Neáu xx11, x, x22 (a; b) vaø x (a; b) vaø x11< x< x22 maø maø f(xf(x11)>f(x)>f(x22) thì haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi ) thì haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi

laø nghòch bieán (laø nghòch bieán (giaûmgiaûm) treân khoaûng (a; ) treân khoaûng (a; b).b).Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán hay Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán hay

nghòch bieán treân khoaûng (a; b) ñöôïc nghòch bieán treân khoaûng (a; b) ñöôïc goïi chung laø ñôn ñieäu treân khoaûng goïi chung laø ñôn ñieäu treân khoaûng ñoù.ñoù.

Neáu ta ñaët: Neáu ta ñaët: x= xx= x22 – x – x11 vaø vaø y= f(xy= f(x22) – f(x) – f(x11) neáu x) neáu x11< < xx22 vaø f(x vaø f(x11) < f(x) < f(x22) neân ) neân x > 0 vaø x > 0 vaø y > 0 vì vaäy: y > 0 vì vaäy:

0y

x

§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ

1. Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá ñoàng 1. Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá ñoàng bieán, nghòch bieánbieán, nghòch bieán

f(x) ñoàng bieán treân khoaûng (a; b)f(x) ñoàng bieán treân khoaûng (a; b)0y

x

f(x) nghòch bieán treân khoaûng (a; b)f(x) nghòch bieán treân khoaûng (a; b)

Hay:Hay:

f(x) bieán treân khoaûng (a; b) f(x) bieán treân khoaûng (a; b) neáu: neáu:

f’(x) = 0 treân khoaûng (a; b).f’(x) = 0 treân khoaûng (a; b).0

limx

y

x

nghòchnghòchñoàngñoàng

Neáu xNeáu x11 < x < x22 vaø f(x vaø f(x11) > f(x) > f(x22) neân ) neân x > 0 x > 0 vaø vaø y < 0 vì vaäy: y < 0 vì vaäy:

Ñònh lyù Lagrange sau ñöôïc thöøa nhaän:Ñònh lyù Lagrange sau ñöôïc thöøa nhaän:

Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø coù ñaïo haøm treân (a; b) thì toàn taïi moät vaø coù ñaïo haøm treân (a; b) thì toàn taïi moät ñieåm c ñieåm c (a; b) sao cho: (a; b) sao cho: f(b) – f(a) = f’(c)(b – f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)a) hay: hay:

( ) ( )f b f a

b a


2. Ñieàu kieän ñuû cuûa tính 2. Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu:ñôn ñieäu:

Goïi cung AB laø moät ñoaïn ñoà thò Goïi cung AB laø moät ñoaïn ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi A(a; f(a)) cuûa haøm soá y = f(x) vôùi A(a; f(a)) vaø B(b; f(b)) vaø B(b; f(b)) heä soá goùc cuûa caùt heä soá goùc cuûa caùt tuyeán AB laø: tuyeán AB laø:

( ) ( )'( )

f b f af c

b a



O a c b

f(b)

f(c)

f(a)

B C

A

Ñaúng thöùc: f’(c) = Ñaúng thöùc: f’(c) = laø heä soá goùc laø heä soá goùc

cuûa tieáp tuyeán cuûa cung AB taïi cuûa tieáp tuyeán cuûa cung AB taïi ñieåm (c; f(c))ñieåm (c; f(c))

( ) ( )f b f a

b a

Ñònh lyù 1:Ñònh lyù 1: Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b).haøm treân khoaûng (a; b).

a.a. Neáu f’(x) > 0 vôùi moïi x Neáu f’(x) > 0 vôùi moïi x (a; b) thì (a; b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân khoaûng ñoù.khoaûng ñoù.

b.b. Neáu f’(x) < 0 vôùi moïi x Neáu f’(x) < 0 vôùi moïi x (a; b) thì (a; b) thì haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân khoaûng ñoù.khoaûng ñoù.





Ñònh lyù 2:Ñònh lyù 2: Cho haøm soá y = f(x) coù Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b). Neáu ñaïo haøm treân khoaûng (a; b). Neáu f’(x) f’(x) 0 (hoaëc f’(x) 0 (hoaëc f’(x) 0) vaø ñaúng 0) vaø ñaúng thöùc chæ xaûy ra taïi moät soá höõu thöùc chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm treân khoaûng (a; b) thì haïn ñieåm treân khoaûng (a; b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (hoaëc haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) treân khoaûng ñoù.nghòch bieán) treân khoaûng ñoù.

Ví duï 1Ví duï 1: Tìm caùc khoaûng ñoàng bieán hay : Tìm caùc khoaûng ñoàng bieán hay nghòch bieán cuûa haøm soá: y = xnghòch bieán cuûa haøm soá: y = x22 – 2x + 3 – 2x + 3

-Taäp xaùc ñònh: D = R.Taäp xaùc ñònh: D = R.

-Ta thaáy: y’ = 2x – 2 Ta thaáy: y’ = 2x – 2 y’ < 0 khi x < 1 vaø y’ < 0 khi x < 1 vaø y’ > 0 khi x > 1 neân ta coù baûng bieán y’ > 0 khi x > 1 neân ta coù baûng bieán thieân nhö sau:thieân nhö sau:



-∞ +∞-∞ +∞

22yy

- 0 +- 0 +y’y’-∞ 1 +∞-∞ 1 +∞xx

Haøm soá Ñ/Bieán treân (1; +∞) vaø (1; +∞) vaø N/Bieán N/Bieán (-∞; 1)-∞; 1)

Ví duï 2Ví duï 2: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa : Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa h/s:h/s: 3

3 5y xx



- TXÑ: TXÑ: D = R\{x = 0}D = R\{x = 0}- Ñaïo haøm:Ñaïo haøm:

2

2 2

3 1' 3 3

xy

x x

Daáu cuûa y’ laø daáu cuûa xDaáu cuûa y’ laø daáu cuûa x22 – 1 maø x – 1 maø x22 – 1 = 0 – 1 = 0 x = x = 1 1 vôùi x = 1 thì y = 11, vôùi x = -1 thì y vôùi x = 1 thì y = 11, vôùi x = -1 thì y

= -1= -1Neân ta coù baûng bieán thieân nhö sau:Neân ta coù baûng bieán thieân nhö sau:



-1-1

1111yy

+ 0 – – 0 ++ 0 – – 0 +y’y’

-∞ -1 0 1 +∞-∞ -1 0 1 +∞xx

Vaäy haøm soá ñoàng bieán treân Vaäy haøm soá ñoàng bieán treân caùc khoaûng (caùc khoaûng (-∞; -1) -∞; -1) (1; +∞) vaø (1; +∞) vaø nghòch bieán treân (-1; 0) nghòch bieán treân (-1; 0) (0; 1). (0; 1).

Ñònh nghóaÑònh nghóa: cho haøm soá y = f(x) xaùc : cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân (a; b) vaø xñònh treân (a; b) vaø x00 (a; b). Ñieåm x (a; b). Ñieåm x00 ñöôïc goïi laø moät ñieåm tôùi haïn cuûa ñöôïc goïi laø moät ñieåm tôùi haïn cuûa haøm soá neáu taïi ñoù f’(x) khoâng xaùc haøm soá neáu taïi ñoù f’(x) khoâng xaùc ñònh hoaëc baèng 0.ñònh hoaëc baèng 0. 3

3 5y xx


3. Ñieåm tôùi haïn:3. Ñieåm tôùi haïn:

Ví duï 1: Xeùt haøm soá: Ví duï 1: Xeùt haøm soá:

Coù taäp xaùc ñònh laø: D = R\{x = 0}Coù taäp xaùc ñònh laø: D = R\{x = 0}

Coù ñaïo haøm laø: Coù ñaïo haøm laø: 2

2 2

3 1' 3 3

xy

x x

y’ trieät tieâu khi x = y’ trieät tieâu khi x = 1 vaø 1 vaø kxñkxñ taïi x = 0 nhöng do taïi x = 0 nhöng do 0 0 D neân h/s chæ coù 2 ñieåm tôùi haïn laø: x = D neân h/s chæ coù 2 ñieåm tôùi haïn laø: x = 1 1

Xeùt haøm soá: Xeùt haøm soá:


3. Ñieåm tôùi haïn:3. Ñieåm tôùi haïn:3 2( ) ( 5)f x x x

Taäp XÑ: D = R.Taäp XÑ: D = R.

Ñaïo haøm: Ñaïo haøm: 3 2

3 3

2( 5) 5( 2)'( )

3 3

x xf x x

x x

f’(x) khoâng xaùc ñònh taïi x = 0 vaø f’(x) khoâng xaùc ñònh taïi x = 0 vaø trieät tieâu taïi x = 2 trieät tieâu taïi x = 2 haøm soá coù haøm soá coù hai ñieåm tôùi haïn laø:hai ñieåm tôùi haïn laø:

x = 0 vaø x = 2.x = 0 vaø x = 2.

Ñoái vôùi caùc haøm soá f(x) thöôøng Ñoái vôùi caùc haøm soá f(x) thöôøng gaëp, f’(x) lieân tuïc treân khoaûng xaùc gaëp, f’(x) lieân tuïc treân khoaûng xaùc ñònh cuûa noù. Vì theá, giöõa hai ñieåm ñònh cuûa noù. Vì theá, giöõa hai ñieåm tôùi haïn keà nhau xtôùi haïn keà nhau x11vaø xvaø x22, f’(x) giöõ , f’(x) giöõ nguyeân moät daáu.nguyeân moät daáu.



Thaät vaäy, neáu trong khoaûng Thaät vaäy, neáu trong khoaûng (x(x11, x, x22) maø f’(x) ñoåi daáu thì f’(x) ) maø f’(x) ñoåi daáu thì f’(x) phaûi trieät tieâu taïi taïi moät phaûi trieät tieâu taïi taïi moät ñieåm naøo ñoù trong (xñieåm naøo ñoù trong (x11, x, x22) ) nhöng ñieàu naøy laø khoâng theå nhöng ñieàu naøy laø khoâng theå vì xvì x11, x, x22 laø hai ñieåm tôùi haïn keà laø hai ñieåm tôùi haïn keà nhau.nhau.

Quy taéc tìm caùc khoaûng bieán thieân Quy taéc tìm caùc khoaûng bieán thieân cuûa haøm soá:cuûa haøm soá:

1. Tìm caùc ñieåm tôùi haïn:1. Tìm caùc ñieåm tôùi haïn:a. Tìm ñaïo haøm cuûa f(x).a. Tìm ñaïo haøm cuûa f(x).b. Cho f’(x) = 0 giaûi phöông trình.b. Cho f’(x) = 0 giaûi phöông trình.c. Tìm caùc ñieåm tôùi haïn. c. Tìm caùc ñieåm tôùi haïn.

2. Xaùc ñònh daáu cuûa ñaïo haøm 2. Xaùc ñònh daáu cuûa ñaïo haøm trong caùc khoaûng xaùc ñònh bôõi trong caùc khoaûng xaùc ñònh bôõi ñieåm tôùi haïn.ñieåm tôùi haïn.

3. Suy ra chieàu bieán thieân cuûa 3. Suy ra chieàu bieán thieân cuûa haøm soá trong moãi khoaûnghaøm soá trong moãi khoaûng



Baûng bieán thieân cuûa haøm soá:Baûng bieán thieân cuûa haøm soá:3 2( ) ( 5)f x x x



Coù ñaïo haøm laø:Coù ñaïo haøm laø:

Baûng bieán thieân :Baûng bieán thieân :

3

5( 2)'( )

3

xf x

x

Coù 2 ñieåm tôùi haïn laø:Coù 2 ñieåm tôùi haïn laø:

x = 0 vaø x = 2x = 0 vaø x = 2

00

yy

+ – ++ – +y’y’

--∞∞ 0 2 + 0 2 +∞∞xx

33 4

- Caàn naém vöõng quy taéc ñeå tìm söï Caàn naém vöõng quy taéc ñeå tìm söï ñoàng bieán vaø nghòch bieán cuûa moät ñoàng bieán vaø nghòch bieán cuûa moät haøm soá.haøm soá.

- Caùch veõ baûng bieán thieân cuûa moät Caùch veõ baûng bieán thieân cuûa moät haøm soá.haøm soá.

- Laøm caùc baøi taäp: 1, 2, 3, 4 traøng 52, Laøm caùc baøi taäp: 1, 2, 3, 4 traøng 52, 53 saùch giaùo khoa.53 saùch giaùo khoa.


CHUÙC CAÙC EM SÖÙC CHUÙC CAÙC EM SÖÙC KHOÛE VAØ HOÏC TAÄP KHOÛE VAØ HOÏC TAÄP

TOÁT.TOÁT.

su dong bien nghich bien cua ham so

Documents

iem ti han

nghch bien tren

ao ham la

tren khoang

ao ham

ong bien

0 vi moi

cua tnh