SUBPRESION EN LA BASE DE UNA PRESA, DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI Y

COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD VOLUMÉTRICA EN FUNCIÓN DEL COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD.

PRESENTADO POR:

LUIS MIGUEL GUTIERREZ RAMIREZ - 215083DANIEL FERNANDO LÓPEZ VARGAS - 214827

KEVIN CALDERON CASTAÑEDA - 215151JUAN DAVID QUIROGA CARDONA - 215084JUAN PABLO ROMERO BERMUDEZ - 215101

PRESENTADO A:ING. GUILLERMO EDUARDO AVILA

MECANICA DE SUELOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE BOGOTÁFACULTAD DE INGENIERÍA

Departamento de Ingeniería Civil y AgrícolaBOGOTÁ D. C.

2013

1. SUPRESIÓN EN LA BASE DE LA PRESA

La figura 2.1 muestra la sección transversal de una presa de concreto de gran longitud que esta cimentada en arena isotrópica con Kx=Kz=10-4 m/s y tiene una densidad saturada de 2 Mg/m3. Calcular la subpresión en la base de la presa y realizar equilibrio de momentos en F.

DESARROLLO

Las estructuras construidas sobre un suelo permeable deben ser sometidas a un detallado análisis que considere el flujo ascendente que se da bajo la misma, situación que representa un empuje dado por la presión intersticial en la base de la estructura, que para el caso actual es una presa. Dicha fuerza puede ser determinada mediante un procesamiento numérico acompañado de un esquema que permita visualizar la red de flujo del sistema, tal como se ilustra en la figura 2.2.

Figura 2.1. Sección transversal de una presa.

FIGURA 2.1. Red de flujo de la presa.

A partir de la figura anterior se obtienen los siguientes aspectos:

o ∆ hT=9m

o N f=Lf−1=7

o Nd=Le−1=18

o hT (AB )=he( AB)+hP (AB )=14+10=24

Datos con los cuales se calcula las pérdidas de energía entre líneas equipotenciales:

∆ h=∆hT

Nd=9m

18=0.5m

Se procede entonces a evaluar la carga de presión en cada uno de los puntos ubicados en la base de la presa, datos que conforman la distribución de carga de presión bajo esta (figura 2.1), y que al ser multiplicados por el peso especifico del agua permiten obtener la correspondiente distribución de presión intersticial.

La carga de presión, carga total y presión intersticial son calculadas por las siguientes expresiones:

hT (i)=hT (AB)−Nd (i )∗∆h

hp (i)=hT (i)−he(i)

u(i)=hp (i)∗γw

En donde:

o hT (i): carga total en el punto i (m)

o hT ( AB): carga total en la línea equipotencial AB (m)

o Nd (m ): numero de descargas que se presentan desde AB hasta el punto i

o ∆ h: perdida de energía entre líneas equipotenciales (m)

o hp (i): carga de presión en el punto i (m)

o he(i ): carga de elevación del punto i (m)

o u(i): presión intersticial (KN/m2)

o γw: peso especifico del agua (KN/m3)

El correspondiente análisis de cada punto se da a continuación:

Punto 1

hT (1)=hT (AB )−Nd (1)∗∆h=24m−3∗0.5m=22.5m

hp (1)=hT (1)−he (1)=22.5m−12m=10.5m

u(1)=hp (1)∗γw=10.5 m∗9.81KN

m3=103.0

KN

m2

Punto 2

hT (2)=hT (AB )−Nd (2)∗∆h=24m−4∗0.5m=22m

hp (2)=hT (2)−he (2)=22m−12m=10m

u(2)=hp (2)∗γw=10m∗9.81KN

m3=98.1

KN

m2

Punto 3

hT (3)=hT (AB)−Nd (3 )∗∆h=24m−5∗0.5m=21.5m

hp (3)=hT (3)−he (3 )=21.5m−12m=9.5m

u(3)=hp (3)∗γw=9.5m∗9.81KN

m3=93.2

KN

m2

Punto 4

hT (4 )=hT ( AB)−Nd ( 4 )∗∆h=24m−6∗0.5 m=21m

hp (4)=hT (4)−he (4 )=21m−12m=9m

u(4)=hp (4 )∗γw=9m∗9.81KN

m3=88.3

KN

m2

Punto 5

hT (5)=hT (AB)−Nd (5 )∗∆h=24m−7∗0.5m=20.5m

hp (5)=hT (5)−he (5 )=20.5m−12m=8.5m

u(5)=hp (5)∗γw=8.5m∗9.81KN

m3=83.4

KN

m2

Punto 6

hT (6)=hT (AB)−N d (6 )∗∆ h=24 m−8∗0.5m=20m

hp (6)=hT (6 )−he (6 )=20m−12m=8m

u(6)=h p(6)∗γw=8m∗9.81KN

m3=78.5

KN

m2

Punto 7

Para este caso se interpola el número de descargas que debe aplicarse en la ecuación.

hT (7)=hT ( AB)−N d (7 )∗∆h=24m−8.5∗0.5m=19.75m

hp (7)=hT (7 )−he (7 )=19.75m−12m=7.75m

u(7)=h p(7)∗γw=7.75m∗9.81KN

m3=76.0

KN

m2

Los datos anteriores son recopilados y consignados en la tabla 2.1.

Punto Carga Posición (m)

Carga Presión (m)

Carga Total (m)

Presión Intersticial (KN/m^3)

1 12,0 10,5 22,5 103,02 12,0 10,0 22,0 98,13 12,0 9,5 21,5 93,24 12,0 9,0 21,0 88,35 12,0 8,5 20,5 83,46 12,0 8,0 20,0 78,57 12,0 7,75 19,75 76,0

Tabla 2.1. Tabla resumen para datos de determinación de la supresión en la presa.

El paso siguiente es calcular la fuerza de empuje (E) resultante, para lo cual se exhiben dos metodologías similares. La primera de ellas consiste en determinar el área de la distribución de carga de presión, aproximando la estructura de esta a una serie de

trapecios cuyos límites están dados por los valores de hp; seguido de realizar el producto

entre el valor del área hallada y el peso especifico del agua.

A=( 0.85∗10.5+102 )+( 1.3∗10+9.5

2 )+( 1.4∗9.5+92 )+( 1.8∗9+8.5

2 )+( 2.25∗8.5+82 )+(2.4∗8+7.75

2 )

A=87.55m2

E=A∗γw=87.55m2∗9.81KN

m3

E=858.86 KNPor metro de longitud de presa

El método resultante se basa en calcular el área de la distribución de presión intersticial, bajo el mismo procedimiento descrito anteriormente, lo cual debe arrojar el mismo resultado.

Se demuestra entonces que las estructuras susceptibles a situaciones de flujo de carácter ascendente deben estudiarse desde el punto de vista de la estabilidad, puesto que la presión que genera el fluido actúa disminuyendo el esfuerzo efectivo del suelo, lo que implica una disgregación de las partículas del mismo y por tanto una reducción en su resistencia.

2. ECUACIÓN DE CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI:

Cv∂2U e

∂ z2 =∂U e

∂ t

Para la solución se consideran las siguientes condiciones de frontera:

1. Para un tiempo t=0, la presión de poros Ue es igual a la presión de poros inicial U e 0 entre 0≤z≤H; con H la mitad del espesor del estrato.

2. Para todo tiempo t, el cambio en la presión de poros con respecto a z es igual a 0 ∂U e

∂ z=0;

3. La presión de poros para z=H es 0 en un tiempo t.

Matemáticamente las condiciones son:

1. Para t=0; U e=U e0; en 0≤z≤H.

2. Para z=0;∂U e

∂ z=0 ; en t=t.

3. Para z=2H; U e=0; en t=t.

La ecuación diferencial de Terzaghi se puede resolver bajo el método de separación de variables. Para esto se supone una solución de modo u(z,t), donde esta se expresa como el producto de de dos funciones z y t.

4. u ( z ,t )=Z ( z )∗T (t )

Al sustituir la ecuación 4 en la ecuación de Terzaghi se obtiene:

5. C v Z' ' ( z )T (t )=Z (z )T '(t )

6.Z ' '(z )Z (z )

=T ' ( t )

C v T ( t )Al reordenar 5

La ecuación 6 se cumple para todo z y t solo si ambos lados de la igualdad son iguales a un factor λ, y a través de esta constante es posible separar la ecuación diferencial de la siguiente manera.

7. Z' ' (z )−λZ ( z )=0

8. T ' (t )−λC vT ( t )=0

Ahora se tienen dos ecuaciones lineales que se resuelven con sus ecuaciones auxiliares y raíces son:

9. m2−λ=0 m=±√ λ

Y la solución general para (7.) es:

10.Z ( z )=C1 e√ λ z+C2 e

−√λ z

Teniendo en cuenta la ecuación 4 tenemos:

0=Z(0)T(t)

0=Z(2H)T(t), para t=t;

Se obtiene:

11.Z (0 )=0Z (2 H )=0

Al sustituir el primer resultado 11 En la ecuación 10

C1+C2=0=¿c2=−c1

12. Z ( z )=c1(e√ λz−e−√ λz)

Recordando:

senhx= ekx−e−kx

2

La ecuación 12 se puede escribir:

13. Z ( z )=2c1 senh√ λz

Al sustituir el segundo resultado 11 En la ecuación 13:

14. Senh2H √ λ=0

Y la ecuación 14 es verdadera solo si:

15. λ=−n2π2

4 H 2 para todo n entero.

Al sustituir este valor de λ en la ecuación 13:

16.Z ( z )=2c1 sennπ2H

z

Por otro lado la solución general para (8.) es:

m−λC v=0=¿m= λC v

17.T (t)=c3 eλ c v t

Con el valor λ encontrado en 15 la ecuación 17 pasa a ser:

18.T (t )=c3 e−n2π 2

4H 2 t

Por tanto la solución para la ecuación 4 es:

19.u=Z ( z )T (t )=2C1C2 sennπ

2 Hz∗e

−n2π 2Cv t

4 H2

=An sennπ

2 Hz∗e

−n2 π2Cv t

4H 2

An es un factor que encierra las constantes y depende de la n que utilicemos.

Para considerar la familia completa de soluciones para la ecuación, es necesario considerar una suma infinita de funciones de la forma 19. Esto se debe a que cada combinación lineal de la misma también será solución.

Para un t=0 la parte exponencial de la ecuación es 1, y de allí se observa que la ecuación 25. Tiene forma senoidal:

20.u=An sennπ2H

z

Y la solución para u es:

21.u=∑n=0

n=∞

An sennπ

2 Hz∗e

−n2 π2Cv t

4H 2

Para hallar el valor de An que satisfaga las condiciones iníciales se procede a la realización de la serie de Fourier.

Para el tiempo t=0, la ecuación se reduce a:

u=Δ p=∑n=0

n=∞

An sennπ2 H

z

Y al multiplicar a ambos lados por senmπ2 H

zy al integral entre 0 y “H se llega a:

22. Δ p∫0

2H

senmπ2H

zdz=∑n=0

n=∞

An∫0

2 H

sennπ2 H

z senmπ2H

zdz

Δ p2Hmπ

[1−(−1 )m ]=Am H

al depejar Am setiene :

23. Δ p2mπ

[1−(−1 )m ]=Am con m=entero positivo.

Es evidente que para un m par el Am es igual a 0; mientras para un m impar el Ames 4 Δ pmπ

.

Entonces la solución 21 con el valor de Am y sustituyendo m=2n+1 tenemos:

24. u=Δ p∑n=0

n=∞4mπ

senmπ2 H

z∗e−−m2π 2C vt

4 H 2

La anterior es la solución requerida para u.

3. COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD VOLUMÉTRICA EN FUNCIÓN DEL COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD.

El coeficiente de compresibilidad, y el coeficiente de compresibilidad volumétrico se obtienen de realizar los siguientes análisis del suelo bajo un incremento de carga:

El coeficiente de compresibilidad ɑv se obtiene de considerar que el cabio de esfuerzo

vertical efectivo es proporcional al cambio de relación de vacíos, es decir, a medida que se aumenta la carga la relación de vacíos se reduce, por lo cual la expresión tendrá un signo negativo.

ɑv=−∂e

∂σ v'

El coeficiente de compresibilidad volumétrica es el resultado de observar cómo se comporta la deformación en el suelo al aumentar la carga aplicada a este, y por ende aumentar su esfuerzo efectivo.

mv= ∂e

∂σv' ∗(1+e)

Reemplazando la primera ecuación en la segunda obtenemos el coeficiente de compresibilidad volumétrica en términos de coeficiente de compresibilidad:

mv=¿ ɑv

1+e

BIBLIOGRAFÍA

http://www.ing.unlp.edu.ar/constr/g1/Capitulo%205%20Consolidacion%20de%20suelos.pdf

Mecánica de suelos- Peter Berry, Capitulo 4, Editorial Mc Graw Hill.