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Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
SUDOKU
423981756
758463219
916257348
584319627
692875134
137624985
375146892
841792563
269538471
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269538471 • Jede Zeile und
• jede Spalte
enthalt jeder Ziffer genaueinmal.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
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269538471 • Jede Zeile und
• jede Spalte
enthalt jeder Ziffer genaueinmal.
• Jeder 3× 3-Block
enthalt jeder Ziffer genaueinmal.
Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
9 5 8123
17
846
1
5
48
43
2
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Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
Wo kann die 1 in diesem Block stehen?
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Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
Wo kann die 1 in diesem Block stehen?
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Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
Wo kann die 1 in diesem Block stehen?
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Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
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Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
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Welche Ziffer kann in diesem Feld stehen?
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Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
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Sudoku-Ratsel
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Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
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Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
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Welche Ziffer kann in diesem Feld stehen?
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Sudoku-Ratsel
Einige Felder sindvorgegeben.
Finde die ubrigen Felder!
Ein richtigesSudoku-Ratsel hat eineeindeutige Losung.
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5
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Keine Mathematik!
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Keine Mathematik!
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
• Was ist Sudoku?
• ein bisschen Geschichte
• lateinische Quadrate und Stundenplane
• Losung als lineares Ungleichungssystem
• Losung durch logisches Schließen
• Losung durch Probieren
• Wieviele Sudoku-Gitter gibt es?
Uberblick
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Geschichte
– Mai 1979: In Dell Pencil Puzzles & Word Gameserschienen die beiden ersten Sudoku-Ratsel unter demTitel Number Place.– Erfinder: Howard Garns, ein 74-jahriger ehemaligerArchitekt, gestorben 1989
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Geschichte
– Mai 1979: In Dell Pencil Puzzles & Word Gameserschienen die beiden ersten Sudoku-Ratsel unter demTitel Number Place.– Erfinder: Howard Garns, ein 74-jahriger ehemaligerArchitekt, gestorben 1989
– April 1984: Der japanische Ratsel-Verlag Nikoliverbreitet das Ratsel unter dem Namen suji wa dokushinni kagiru: Die Ziffern mussen einzeln stehen.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Geschichte
– Mai 1979: In Dell Pencil Puzzles & Word Gameserschienen die beiden ersten Sudoku-Ratsel unter demTitel Number Place.– Erfinder: Howard Garns, ein 74-jahriger ehemaligerArchitekt, gestorben 1989
– April 1984: Der japanische Ratsel-Verlag Nikoliverbreitet das Ratsel unter dem Namen suji wa dokushinni kagiru: Die Ziffern mussen einzeln stehen.
Der abgekurzte Name Sudoku ist in Japan eingeschutztes Markenzeichen von Nikoli.
In japanischen Zeitschriften wird Sudoku daher oft mitdem englischen Namen Number Place bezeichnet.→ nan-ba-pu-re-su → abgekurzt nanpureProf. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Geschichte
– Der Neuseelander Wayne Gould (ein pensionierterRichter aus Hongkong) entwickelt in mehrjahrigerArbeit ein Computerprogramm zur Erstellung vonSudoku-Ratseln.
– Ende 2004 erscheinen die ersten Sudokus vonWayne Gould in der Londoner Times. Wenig spaterzieht der Guardian mit Sudokus von Nikoli nach.
– Marz 2006: erste Soduko-Weltmeisterschaft inLucca
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Lateinische Quadrate
• Jede Zeile und
• jede Spalte
enthalt jeder Ziffer genaueinmal.
42
381756
75
863219
91
657348
58
419627
69
275134
13
724985
37
546892
84
192563
9 42 3 8 6 1 7
26
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53× 3-Blocke spielen keineRolle
erstmals 1783 vomMathematiker LeonhardEuler untersucht.
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84
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9
4
2 3 8 6 1 726
938471
5
123456789
9× 9× 9 Gitterwurfel
• Jede horizontale Zeile,
• jede horizontale Spalte, und
enthalt genau einen Knoten.
• jede senkrechte Saule
Lateinische Quadrate im Raum
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123456789
9× 9× 9 Gitterwurfel
Mo8
Mo9
Di 8Di 9
Mi 8
Mi 9
Do8
Do9
Fr8
• Jedes Fach in jeder Klassewird einmal unterrichtet.
• Zu jeder Stunde hat jedeKlasse Unterricht.
• Jedes Fach wird zu jederStunde in irgendeinerKlasse unterrichet.Deutsch
ErdkundeMathematik
EnglischMusikKunstPhysikSportBiologie
Stundenplane
Klasse:
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9× 9× 9 Gitterwurfel
Mo8
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Di 8Di 9
Mi 8
Mi 9
Do8
Do9
Fr8
• Jedes Fach in jeder Klassewird einmal unterrichtet.
• Zu jeder Stunde hat jedeKlasse Unterricht.
• Jedes Fach wird zu jederStunde in irgendeinerKlasse unterrichet.Deutsch
ErdkundeMathematik
EnglischMusikKunstPhysikSportBiologie
Stundenplane
Klasse:
• Varianten
• weitereNebenbedingungen
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69
275134
13
724985
37
546892
84
192563
9
4
2 3 8 6 1 726
938471
5
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9× 9× 9 Gitterwurfel
• Jede horizontale Zeile,
• jede horizontale Spalte, und
enthalt genau einen Knoten.
• jede senkrechte Saule
Sudokus
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69
275134
13
724985
37
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84
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9
4
2 3 8 6 1 726
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9× 9× 9 Gitterwurfel
• Jede horizontale Zeile,
• jede horizontale Spalte, und
enthalt genau einen Knoten.
• jede senkrechte Saule
enthalt genau einen Knoten.
• Auch jede waagrechte3×3-Scheibe
Sudokus
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Losung mit Variablen
xijk = 1, wenn Ziffer k in Zeile i, Spalte j stehtxijk = 0, sonst.
(i = 1, . . . , 9; j = 1, . . . , 9; k = 1, . . . , 9)
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Losung mit Variablen
xijk = 1, wenn Ziffer k in Zeile i, Spalte j stehtxijk = 0, sonst.
(i = 1, . . . , 9; j = 1, . . . , 9; k = 1, . . . , 9)
In jeder Zelle steht eine Ziffer:
9∑k=1
xijk = 1, fur alle i, j (1)
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Losung mit Variablen
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9∑k=1
xijk = 1, fur alle i, j (1)
In jeder Zeile i kommt jede Ziffer k einmal vor:9∑
j=1
xijk = 1, fur alle i, k (2)
In jeder Spalte j kommt jede Ziffer k einmal vor:9∑
i=1
xijk = 1, fur alle j, k (3)
Losung mit Variablen
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Im ersten 3× 3-Block kommt jede Ziffer k einmalvor:
3∑i=1
3∑j=1
xijk = 1, fur alle k, (4.1)
und analog in allen anderen 3× 3-Blocken.
Losung mit Variablen
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9∑k=1
xijk = 1, fur alle i, j (1)
9∑j=1
xijk = 1, fur alle i, k (2)
fur a, b = 0, 1, 2; k = 0, . . . , 9
9∑i=1
xijk = 1, fur alle j, k (3)
3∑i=1
3∑j=1
x3a+i,3b+j,k = 1 (4)
Losung mit Variablen
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9× 9× 9 = 729 Variablen xijk
4× (9× 9) = 324 Gleichungen
Losung mit Variablen
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xijk ∈ {0, 1}
ersetzen durch0 ≤ xijk ≤ 1
→ System von linearen Gleichungen undUngleichungen (lineares Optimierungsproblem)
9× 9× 9 = 729 Variablen xijk
4× (9× 9) = 324 Gleichungen
52
1
6
38
1
8
3
6
673
81
41
823
7
8
7
1
7
296
81
2613
854
9
768
213
38
12679
Losung mit Variablen
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
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1
6
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1
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3
6
673
81
41
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1
7
296
81
2613
854
9
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213
38
12679
9
6
4
7
4
4
9
5
4
7
9
2
5
9
6
9
6
5
4
2
5
3
4
3
7
9
5
4
4
5
Losung mit Variablen
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
xijk = 1/2
4
9
7
9
9
7
2 4
5 2
5
2
5
5
9
3
9
4
3
6
2
5
5
4
9
7
4
5
5
4
52
1
6
38
1
8
3
6
673
81
41
823
7
8
7
1
7
296
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2613
854
9
768
213
38
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9
6
4
7
4
4
9
5
4
7
9
2
5
9
6
9
6
5
4
2
5
3
4
3
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5
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Losung mit Variablen
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xijk = 1/2
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2
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9
3
9
4
3
6
2
5
5
4
9
7
4
5
5
4
Losen durch”logisches Schließen“
Ein gutes Sudoku soll durch durch direktes logischesSchließen, ohne Versuch und Irrtum, losbar sein.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Das Programm stammt hauptsachlich von David Eppstein(University of California at Irvine).
Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
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Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
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Ausgangsproblem
Ausfullen von Felderndurch Anwendung vonRegeln
An dieser Stelle kommt mandurch Regeln nicht weiter.Nehmen wir an, fur die Zellelinks oben gibt es zweimogliche Ziffern: 3 und 6
Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
3 6
Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
3 6
Ausfullen von Felderndurch weitere Anwendungvon Regeln
Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
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3 6
Ausfullen von Felderndurch weitere Anwendungvon Regeln
Sackgasse:An dieser Stelle geht esnicht mehr weiter.
Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
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2 3
Losen durch Probieren
Systematisches Durchsuchen des Losungsbaumes,backtracking, Verzweigen
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3 6
2 3
Losung
Die Anzahl der Sudokus
Die Anzahl der verschiedenen Sudoku-Gitter ist
6670903752021072936960 ≈ 6,671× 1021
(6,671 Trilliarden).
(berechnet im Jahr 2005 von Bertram Felgenhauer(Dresden), Frazer Jarvis (Sheffield) und Ed Russell)
Diese Zahl ist 9!× 722 × 27 × 27 704 267 971.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Die Anzahl der Sudokus
Die Anzahl der verschiedenen Sudoku-Gitter ist
6670903752021072936960 ≈ 6,671× 1021
(6,671 Trilliarden).
(berechnet im Jahr 2005 von Bertram Felgenhauer(Dresden), Frazer Jarvis (Sheffield) und Ed Russell)
Zum Vergleich:Die Anzahl der 9×9 lateinischen Quadrate ist
5524751496156892842531225600 ≈ 5,525× 1027.
Diese Zahl ist 9!× 722 × 27 × 27 704 267 971.
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Symmetrien
Umbenennung
1234...
↔ A↔ B↔ C↔ D
↔...
423981756
758463219
916257348
584319627
692875134
137624985
375146892
841792563
269538471
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
Umbenennung
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↔ ♥↔ ♣↔ ◦↔ �↔
...
↔ A↔ B↔ C↔ D
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692875134
137624985
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Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
Umbenennung
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↔ ♥↔ ♣↔ ◦↔ �↔
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↔↔↔↔↔
...
↔ A↔ B↔ C↔ D
↔...
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Umbenennung
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↔ ♥↔ ♣↔ ◦↔ �↔
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↔↔↔↔↔
...
↔ A↔ B↔ C↔ D
↔...
↔ 5↔ 8↔ 9↔ 6
↔...
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692875134
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Umbenennung
1234...
↔ ♥↔ ♣↔ ◦↔ �↔
...
↔↔↔↔↔
...
↔ A↔ B↔ C↔ D
↔...
↔ 5↔ 8↔ 9↔ 6
↔...
Durch Umbenennung kann man das ersteKastchen in sortierte Reihenfolge bringen.
423981756
758463219
916257348
584319627
692875134
137624985
375146892
841792563
269538471
7
14 5
2
869
3
Ersparnisfaktor:9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 9! = 362 880
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
423981756
758463219
916257348
584319627
692875134
137624985
375146892
841792563
269538471 Vertauschung von Zeilen
oder Spalten innerhalbeines Dreierblockes
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
423981756
758463219
916257348
584319627
692875134
137624985
375146892
841792563
269538471 Vertauschung von Zeilen
oder Spalten innerhalbeines Dreierblockes
Vertauschung von ganzenDreierblocken von Zeilenoder Spalten
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
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758463219
916257348
584319627
692875134
137624985
375146892
841792563
269538471 Vertauschung von Zeilen
oder Spalten innerhalbeines Dreierblockes
Vertauschung von ganzenDreierblocken von Zeilenoder Spalten
(Beliebige Zeilen oderSpalten durfen nichtvertauscht werden!)
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
7
14 5
2
869
3 7 45 8 6 9
Durch Vertauschen vonSpalten erreicht man, dassdie beiden Dreiergruppenin der ersten Zeile sortiertsind.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
7
14 5
2
869
3 7 45 8 6 9
Durch Vertauschen vonSpalten erreicht man, dassdie beiden Dreiergruppenin der ersten Zeile sortiertsind.
7
14 5
2
869
3 4 6 9 75 8Durch Vertauschen vonDreierblocken (falls notig)bringt man dann diekleinste Ziffer (4) ganznach links.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Symmetrien
7
14 5
2
869
3 7 45 8 6 9456 789457 689458 679459 678467 589468 579469 578478 569479 568489 567
Es gibt nur mehr 10 Moglichkeitenfur die erste Zeile.
Reduktion von6× 5× 4× 3× 2× 1 = 720auf 10 Moglichkeiten.Ersparnisfaktor 72
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
7
14 5
2
8
Es gibt 36.288Moglichkeiten, die erstendrei Reihen zu fullen.46
912
375
8213
4 6 9 75 869
3
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Die Anzahl der Sudokus
7
14 5
2
8
Es gibt 36.288Moglichkeiten, die erstendrei Reihen zu fullen.46
912
375
8213
4 6 9 75 869
3
7
14 5
2
8
Viele von diesenMoglichkeiten konnen aufgenau die gleiche Artvervollstandigt werden.
4691
2375
8 21
34 6 9 75 8
69
3
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Die Anzahl der Sudokus
7
14 5
2
8
Es gibt 36.288Moglichkeiten, die erstendrei Reihen zu fullen.46
912
375
8213
4 6 9 75 869
3
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Viele von diesenMoglichkeiten konnen aufgenau die gleiche Artvervollstandigt werden.
4691
2375
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34 6 9 75 8
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3
Die 32.666 Moglichkeiten lassen sich zu nur71 Klassen zusammenfassen. (eigentlich 44)
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Die Anzahl der Sudokus
7
14 5
2
8 469
12
375
8213
4 6 9 75 869
3 einer von 71 Fallen
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
7
14 5
2
8 469
12
375
8213
4 6 9 75 869
3 einer von 71 Fallen
Fur diese 6 Felder braucht manebenfalls nur 10 Moglichkeiten zubetrachten.
235 689236 589238 579239 568256 389258 369259 378268 359269 358289 356
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
7
14 5
2
8 469
12
375
8213
4 6 9 75 869
3 einer von 71 Fallen
6
9
35
2
8
einer von 10 Fallen
Diesen Bereich kannman mit Probierenabzahlen.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
7
14 5
2
8 469
12
375
8213
4 6 9 75 869
3 einer von 71 Fallen
6
9
35
2
8
einer von 10 Fallen
Diesen Bereich kannman mit Probierenabzahlen.
Insgesamt werden∼7 000 000 000 Losungenabgegrast (mit∼130 000 000 000Sackgassen)
Laufzeit: einige StundenProf. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Es gibt neuere Methoden, die die Anzahl der Sudoku-Gitter in Bruchteilen einer Sekunde berechnen.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006
Es gibt neuere Methoden, die die Anzahl der Sudoku-Gitter in Bruchteilen einer Sekunde berechnen.
Unter Berucksichtigung von allen Symmetrien gibt es5.472.730.538 verschiedene Sudoku-Gitter.
Prof. Gunter Rote, Institut fur Informatik. SUDOKU, Studentenkolloquium, 6. 7. 2006