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Lycée Français de DOHA 1ère ES

Année 2017 – 2018 M. Evanno

Suites

A) Suites numériques.

1. Notion de suite.

Définition :

Une suite nu est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel, noté nu tel que :

nunu : . La suite se note u ou avec des parenthèses nu .

Le terme initial de la suite est 0u ou pu quand la suite commence à partir de l'indice p .

Notations et vocabulaire :

• nu ou )(nu est le terme général de la suite : c’est le terme de rang n .

• Attention à l’écriture indicielle : 1nu est le 1n ième terme c'est-à-dire le terme qui suit nu

alors que 1nu est la somme du n ième terme et de 1.

2. Mode de génération d’une suite.

Définition :

Une suite peut être définie par un procédé aléatoire, par une formule ou par un algorithme :

1) Formule explicite : Pour tout 0nn , )(nfun . Le terme général est fonction de l’indice n .

2) Formule de récurrence : Pour tout 0nn , )(1 nn ufu . Le terme général est fonction du terme

précédent. Dans ce cas il faut indiquer le terme initial.

3) Algorithme : Pour tout 0nn , l’algorithme renvoie un réel à partir d’un entier naturel.

Exemples :

Soit f la fonction définie sur ℝ par : 52)( xxf .

1) La suite u telle que pour tout entier n par : 52 nun .

La suite u est alors définie par une formule explicite, on peut calculer directement n’importe

lequel de ces termes comme par exemple : 15323 u .

2) La suite v telle que pour tout entier n par : 521 nn vv et 20 v .

La suite v est alors définie par une formule de récurrence, pour calculer un de ces termes on a

besoin de tous les précédents comme par exemple :

52 23 vv mais on connaît pas 2v .

52 12 vv mais on connaît pas 1v .

152252 01 vv .

On en déduit que : 351252 12 vv .

Et enfin : 153252 23 vv .

3) La suite w telle que pour tout entier n par : nw

impairestnsin

pairestnsin

13

2.

La suite w est alors définie par un algorithme qui permet de calculer directement n’importe

lequel de ces termes comme par exemple : 221737 u ou 4288 u .



3. Représentation graphique d’une suite définie de façon explicite.

Soit f une fonction définie sur ;0 et nu la suite définie sur ℕ par : )(nfun . Représenter

graphiquement la suite nu consiste à placer les points de coordonnées nun ; dans un repère.

Exemple :

Soit u la suite définie sur ℕ par : 62 nun .

On a pour tout entier naturel n , )(nfun où f est

la fonction définie sur ;3 par : 62)( xxf .

6)0(0 fu ; 8)1(1 fu ; 10)2(2 fu …

206)100(100 fu …

Graphiquement, les termes de la suite u sont les

ordonnées des points nn unA ; d'abscisses entières de

la courbe fC .

4. Représentation graphique d’une suite définie de par récurrence.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et nu la suite définie sur ℕ par :

)(1 nn ufu et 0u .

Représenter graphiquement la suite nu consiste à placer les points de coordonnées 0;nu de la façon

suivante, dans un repère.

1) On place un point 0;00 uA puis le point fCB 0 d’abscisse 0u .

2) On a alors )(; 000 ufuB d’où 100 ; uuB car )( 01 ufu .

3) On place ensuite le point 0C sur la droite d’équation xy ayant même ordonnée que 0B .

4) On a alors 110 ; uuC car 10uyB et 0C d’équation xy .

5) On projette le point 0C sur l’axe des abscisses pour obtenir le point 0;11 uA .

6) On recommence le procédé.

Exemple :

Soit u la suite définie sur ℕ par : 621 nn uu et 10 u . On a donc pour tout entier 0n ,

)(1 nn ufu où f est la fonction définie sur ;3 par : 62)( xxf .

24)1()( 01 fufu

10)2()( 12 fufu …

Graphiquement, fCuuB 100 ;

Pour déterminer 211 ; uuB il faut placer

1u , l’ordonnée de 0B en abscisse.

On « reporte » donc 1u sur l'axe Ox en

utilisant la droite : xy

On poursuit de même pour construire :

322 ; uuB , 433 ; uuB …



5. Sens de variation d’une suite.

Définition :

Une suite nu est croissante si et seulement si, pour tout entier n on a :

nn uu 1 ou 01 nn uu .

Une suite nu est décroissante si et seulement si, pour tout entier n on a :


Une suite nu est constante si et seulement si, pour tout entier n on a :


Exercice n°1 :

Calculer les termes 1u et 2u pour chacune des suites ci-dessous :

1) nnun 22 .

2) 121 nn uu et 10 u .

3) 1

1

nun .

4) n

nu 8,01045 .

5) nn uu 9,01 et 1000 u .

6) 12

1 nn uu et 20 u .

7) n

nu 02,1100 .

8) nu

un

n

11 et 30 u .

Exercice n°2 :

Une fonction f est représentée ci-dessous.

On considère les suites définies par pour tout entier n par :

)(

1

1

0

nn ufu

u et )(nfvn .

Donner, par lecture graphique, les 3 premiers termes des suites nu et nv .



Exercice n°3 :

Etudier les variations des suites nu à l’aide du signe de la différence : nn uu 1.

1) 2nun .

2) 24 nun.

3) 2

n

nun .

4) n

nu 9,1 .

5) n

nu 9,02 .

6) 2

1 1 nn uu et 50 u .

Exercice n°4 :

La suite u est définie sur ℕ* par : 1

1

nnun .

1) Vérifiez que pour tout entier 1n : 21

21

nnnuu nn .

2) En déduire les variations de la suite u .

3) Quelle autre méthode aurait-on pu utiliser pour étudier les variations de u ?

Exercice n°5 :

Soit nu la suite définie sur ℕ par 00 u et 431 nn uu

1) On donne ci-dessous la représentation de la fonction f définie par : 43 xxf .

Représenter graphiquement les trois premiers termes de la suite nu .

2) Quelle conjecture peut-on émettre sur la monotonie de la suite nu ?



B) Suites arithmétiques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive.

Une suite est arithmétique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en ajoutant toujours le même nombre a , appelé raison.

n ℕ : auu nn 1 avec 0u un réel donné.

Théorème : forme explicite.

La formule explicite du terme général en fonction de n est :

n ℕ : nauun 0 et k ℕ et n ℕ : aknuu kn )( .

Démonstration :

A l’aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction de

n :

n ℕ : nauun 0 et k ℕ et n ℕ : aknuu kn )( .

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété : algébrique

Une suite nu est arithmétique de raison a si et seulement si n ℕ : auu nn 1 .

Propriété : graphique

Si une suite nu est arithmétique de raison a alors n ℕ : )(0 nfnauun .

La suite nu est liée à la fonction affine baxxf )( avec 0ub donc sa représentation

graphique est une série de points situés sur la droite d’équation : baxy .

3. Sens de variation.

Propriété :

nu est une suite arithmétique de raison a .

• Si 0a , nu est strictement croissante.

• Si 0a , nu est strictement décroissante.

• Si 0a , nu est constante.

Démonstration :

Soit nu une suite est arithmétique de raison a .

On a alors : n ℕ : auu nn 1 et donc n ℕ : auu nn 1 .

D’où la variation de la suite nu dépend uniquement du signe de la raison a .



C) Suites géométriques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive

Une suite est géométrique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q , appelé raison :

n ℕ : n : nn uqu 1 avec 0u donné.

Théorème : forme explicite

La formule explicite du terme général en fonction de n est :

n ℕ : n

n quu 0 et k ℕ et n ℕ : kn

kn quu .

Démonstration :

A l’aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction de

n :

n ℕ : n

n quu 0 et k ℕ et n ℕ : kn

kn quu .

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété :

Une suite nu est géométrique de raison q si et seulement si n ℕ : qu

u

n

n 1 .

3. Sens de variation.

Propriétés :

nu , est une suite géométrique de raison q et de terme initial positif.

• Si 1q , nu est strictement croissante.

• Si 10 q , nu est strictement décroissante.

• Si 0q ou si 1q , nu est constante.

Démonstration :

Soit nu une suite est géométrique de raison q .

Alors n ℕ : 100

1

01

qquququuu nnn

nn .

Or 00 u et 0q .

D’où la variation de la suite nu dépend du signe de 1q .

On en déduit les conclusions de la propriété précédente.



Exercice n°6 :

Les suites suivantes, données par le terme initial et une formule de récurrence, sont-elles

arithmétiques ? géométriques ? Si tel est le cas, exprimer le terme général nu en fonction de n et

donner les variations de nu .

1) nn uu 21 et 10 u .

2) 421 nn vv et 10 v .

3) 21 nn ww et 30 w .

4) 1000 u et nn uu 9,01 .

5) 300 u et nn nuu 1 .

Exercice n°7 :

Déterminer parmi les suites suivantes, données par le terme général, les suites géométriques et

arithmétiques. Si tel est le cas, préciser la raison.

1) 34 nun

2) n

nu 23 .

3) n

nu 2,03 .

4) 26

5

nun .

5) n

nu 103,01 .

Exercice n°8 :

La suite nu est arithmétique de raison a .

Exprimer le terme général nu en fonction de n et donner les variations de nu .

1) 30 u et 4a .

2) 100 u et 2,0a .

3) 500 u et 451 u .

Exercice n°9 :

La suite nu est géométrique de raison 0q .

Exprimer le terme général nu en fonction de n et donner les variations de nu .

1) 30 u et 4q .

2) 500 u et 5,0q .

3) 500 u et 5,01 u .

Exercice n°10 : Avec Excel

1) On considère la suite nu dont on a calculé les

premiers termes à l’aide de la feuille de calculs

ci-contre :

a) Lire 0u et 1u .

b) En B3 on a tapé la formule : =3*B2+1.

En déduire une formule de récurrence liant

1nu et nu pour tout entier naturel n .

c) Compléter le tableau ci-contre à l’aide d’un

Tableur.

2) On pose 5,035,1 n

nv pour tout n ℕ.

a) Quelle formule faut-il taper en C2 ?

b) Calculer les 1er termes de nv à l’aide d’un

Tableur.

c) Que peut-on conjecturer pour les suites nu et nv ?



Exercice n°11 : Bac ES Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 0003 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note nC le capital du client au 1er janvier de l’année n2000 , où n est un entier naturel.

1) Calculer 1C et 2C . Arrondir les résultats au centime d’euro.

2) Exprimer 1nC en fonction de nC .

3) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n , on a : n

nC 025,10003 .

4) On donne l’algorithme suivant :

a) Pour la valeur 3003S saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau

suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3003 .

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie

de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3003 .

5) Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 0005 €. Montrer que le capital de

son placement n’est pas suffisant à cette date.

Exercice n°12 :

Dans un pays imaginaire noté I, il y a une capitale P et un ensemble de villages V. Au 1er Janvier

2002, P et V comptaient respectivement 200 000 et 300 000 habitants. Chaque année, la population

de P augmente de 10%, alors que celle de V diminue de 20 000 habitants.

1) Calculer la population de P, celle de V , puis celle de I au 1er Janvier 2003.

2) Compléter le tableau ci-dessous en arrondissant à l’unité près :

3) n désigne un nombre entier naturel et on note :

• np la population de P au 1er janvier (2002+n) ; ainsi : 0002000 p .

• nv la population de V au 1er janvier (2002+n) ; ainsi : 0003000 v .

a) Exprimer 1np en fonction de np et en déduire la nature de la suite np .

b) Exprimer 1nv en fonction de nv et en déduire la nature de la suite nv .

c) Exprimer np et nv en fonction de n .



Exercice n°13 :

On considère les deux suites nu et nv définies par récurrence par les relations :

• n ℕ 75,01 nn uu et 20 u .

• n ℕ nn vv 21 et 125,00 v .

1) Quelles sont les natures des suites nu et nv ?

2) Compléter le tableau suivant avec les valeurs de la suite arrondies au dixième près :

3) Placer les points nun ; et nvn ; représentant ces deux suites dans le repère ci-dessous :



Exercice n°14 : L'évolution de la population selon Thomas Malthus

Thomas Malthus (1766 – 1834) a émis une hypothèse stipulant que l'évolution de la population

suit une loi géométrique alors que la production agricole suit une loi arithmétique.

1) Une région comporte 100 000 d'habitants en l'an 2000, chaque année sa population augmente

de 10%. Soit nP , la population en milliers d’habitants du pays n années plus tard.

a) Justifier que 1000 P

b) Exprimer 1nP en fonction de nP .

c) En déduire nP en fonction de n .

2) Cette même région était capable de faire vivre 140 000 habitants en 2000 et chaque année sa

production lui permet d'en faire vivre 10 000 de plus. Soit nH le nombre d'habitants en milliers

que le pays est capable de faire vivre n années plus tard.

a) Justifier que 1400 H

b) Exprimer 1nH en fonction de nH .

c) En déduire nH en fonction de n .

3) On considère l’algorithme suivant :

Initialisation Affecter à P la valeur 100.

Affecter à H la valeur 140.

Affecter à n la valeur 0.

Traitement Tant que ........P .

Affecter à P la valeur .......................... .

Affecter à H la valeur 10H .

Affecter à n la valeur 1n .

Fin du Tant que.

Sortie Afficher à ..........2000 .

a) Compléter cet algorithme afin qu’il détermine l’année à partir de laquelle ce pays ne sera

plus capable de faire vivre sa population.

b) Faire tourner « manuellement » l’algorithme ci-dessus. On reportera les résultats dans le

tableau ci-dessous après l’avoir recopié dans votre cahier :

Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Affichage de P

Affichage de H

Condition

4) Quelle conclusion peut-on tirer de cette étude ?



Exercice n°15 : Bac ES Polynésie 2013

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la

Polynésie Française. Une étude a démontré que depuis 2011 la production baisse de 8% par an.

On admet que cette baisse de 8% se poursuit les années suivantes.

1) On considère l’algorithme suivant :

Si on saisit 00050P en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

2) Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation

par une suite nu . On note :

• 0u le montant en 2011, en milliers d’euros ;

• nu le montant en n2011 , en milliers d’euros.

On a donc 182630 u et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

a) Montrer que nu est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) Exprimer, pour tout entier naturel n , nu en fonction de n .

c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de

Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros.

Exercice n°16 : Bac ES Antilles Guyane 2014

Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8% de ses précédents

abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.

En 2013 le nombre d’abonnés est de 20 millions. On s’intéresse au nombre d’abonnés, en millions,

pour l’année n2013 .

En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée

par la suite nu définie pour tout entier naturel n , par :

392,0

20

1

0

nn uu

u.

Le terme nu donne une estimation du nombre d’abonnés pour l’année n2013 .

Partie A :

1) En utilisant cette modélisation, l’opérateur décide d’arrondir les résultats à 310 .

À quoi correspond ce choix d’arrondi ?

Déterminer le nombre d’abonnés en 2014 et en 2015.

2) On définit la suite nv par 5,37 nn uv pour tout entier naturel n .

Démontrer que nv est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme.

3) Exprimer nv en fonction de n .

4) En déduire que, pour tout entier naturel n , on a : 5,3792,05,17 n

nu .

5) Déterminer le nombre d’abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à 310 .



Partie B :

Compte tenu des investissements, l’opérateur considère qu’il réalisera des bénéfices lorsque le

nombre d’abonnés dépassera 25 millions.

1) Recopier et compléter l’algorithme suivant afin de déterminer le nombre d’années nécessaires

à partir de 2013 pour que l’opérateur fasse des bénéfices.

2) En quelle année l’opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ?

Exercice n°17 : Bac ES Métropole 2014

À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1 500𝑚2

entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée

par de la mousse.

Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50𝑚2 et la remplace par du

gazon.

Pour tout nombre entier naturel n , on note nu la surface en 𝑚2 de terrain engazonné au bout de n

années, c’est-à-dire à l’automne n2010 . On a donc 50010 u .

1) Calculer 1u .

2) Justifier que, pour tout nombre entier naturel n , on a : 508,01 nn uu .

3) On considère la suite nv définie pour tout nombre entier naturel n par : 250 nn uv .

a) Démontrer que la suite nv est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

b) Exprimer nv en fonction de n .

c) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n , : n

nu 8,01250250 .

d) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?

4) Déterminer, à l’aide de votre calculatrice, la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que :

5008,01250250 n . Interpréter le résultat obtenu.

5) Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il affiche la solution obtenue à la question

précédente.

6) Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-

il raison ? Justifier la réponse.



Exercice n°18 : Bac ES Asie 2013

Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est

constitué de 70% des abonnés de l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés.

Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600.

1) On définit la suite nu par : 6000 u et pour tout entier naturel n : 2107,01 nn uu .

On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite nu .

Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer 1u ; cette formule « tirée vers le bas » dans

la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite nu .

2) On pose, pour tout entier naturel n : 700 nn uv .

a) Démontrer que la suite nv est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.

b) Exprimer nv en fonction de n .

c) En déduire que pour tout entier naturel n : n

nu 7,0100700 .

3) Soit n un entier naturel. Démontrer que 697nu est équivalent à 03,07,0 n .

4) Afin de résoudre l’inéquation 03,07,0 n , on utilise l’algorithme suivant :

a) Faire tourner « manuellement » l’algorithme ci-dessus. On reportera les résultats dans le


Valeur de N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Affichage de U

03,0U

a) Quelle valeur de N obtient-on en sortie ?

b) En utilisant l’étude précédente de la suite nu , déterminer à partir de quelle année le

nombre d’abonnés atteindra au moins 697.



Exercice n°19 : Bac ES Liban 2014

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2500

inscriptions en 2013. Elle estime que, chaque année, 80% des anciens inscrits renouvelleront leur

inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents. On modélise cette situation

par une suite numérique na .

On note 25000 a le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et na représente le nombre

d’inscrits à la médiathèque pendant l’année n2013 .

1) Justifier que, pour tout entier naturel n , on a la relation : 4008,01 nn aa .

2) On pose, pour tout entier naturel n , on a : 2000 nn av .

a) Démontrer que nv est géométrique de premier terme 5000 v et de raison q = 0,8.

b) En déduire que le terme général de la suite na est : 20008,0500 n

na .

c) Calculer la limite de la suite na .

d) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma

d’inscription reste le même au cours des années à venir ?

3) On propose l’algorithme suivant :

a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.

b) Faire tourner « manuellement » l’algorithme ci-dessus. On reportera les résultats dans le


Valeur de N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Affichage de A

502000A

suites a) suites numériques. · déterminer parmi les suites suivantes, données par le terme...

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