SULLA S T I M A DELLA MEDIA E DEL S E C O N D O M O M E N T O DI UNA P O P O L A Z I O N E TRAMITE C A M P I O N I CON R I S P O S T A CASUALIZZATA

ELISABETTA D R A G O Istituto di Statistica Facolt~ di Economia e Commercio, Universit3 degli Studi di Genova

Versione defini t iva pervenuta il 12-1-81

I1 c a m p i o n a m e n t o con r isposta casual izzata, in t rodot to da S. L. Warne r per la s t ima di prot0orzioni ed in seguito appl icato dallo stesso autore e da altri al ia s t ima di quantit~t, ~ stato ogget to di un recente studio di D. Olivieri che, p ropos to un semplice metodo di casual izzazione, perviene ad una s t ima non dis tor ta della media della popolaz ione oggetto d ' indagine .

Nel presente lavoro si svi luppa lo s tudio di Olivieri fornendo una s t ima non dis tor ta del secondo momen to della popolazione e si p ropone un 'a l t ra s t ima della media e del la var ianza del la popolaz ione o t tenuta t ramite un metodo di casual izzazione di pifi semplice appl icazione.

1. Introduzione

I1 campionamento con risposta casualizzata, introdotto da S. L. Warner (1965), ha lo scopo di ovviare alla naturale reticenza degli intervistati per indagini che toccano argomenti di natura particolarmente delicata. Introdotto per la stima di proporzioni e successivamente applicato anche alla stima di quantitY. (conffon- ta, tra gli altri, Greenberg et al. (1971) e lo stesso Warner (1971)) il metodo con- siste essenzialmente nell'effettuazione di un esperimento aleatorio, che pub pro- durre un evento E con probabilit& 2(0 < it < 1), dal cui risultato dipende la ri- sposta dell'intervistato.

In tal modo la risposta dell'intervistato resta trincerata, agli occhi stessi del- l 'intervistatore, dall'esito dell'esperimeqto aleatorio effettuato, di cui solo il primo

a conoscenza. Per la stima di quantith, la maggior parte degli autori propone di affiancare

alla domanda << scabrosa >~ una domanda ~< innocua ~, restando all 'intervistato la possibilitb, di rispondere all 'una o all 'altra a seconda dell'esito dell 'esperimento casuale di cui si ~ detto.

Olivieri (1980) si ~ recentemente occupato dell 'argomento ed ha proposto un metodo di casualizzazione consistente nel sostituire alla v.c. X oggetto d'indagin~, una v.c. Y, assumente valore x con la medesima probabilit~t it con cui si verifica l 'evento casuale E e valore kx(k :#: 1) con probabilit~ 1 - - 2.

L'intervistatore pertanto ha la possibilit~t di indagare sulla popolazione X

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oggetto d'interesse tramite i risultati campionari relativi alla v.c. :

X con probabilith 2(0 < 2 < I) Y = kX con probabilitS~ ~ = 1 - - 2 ( k : ~ l )

Tramite tale metodo l'autore 6 pervenuto ad una stima non distorta della media della v.c. 2".

Nella presente nota ci si propone, utilizzando il metodo di Olivieri, di pervenire ad una stima campionaria del secondo momento /~2 della variabile casuale X, esaminando altresl le caratteristiche di tale stima.

Viene inoltre proposto un metodo di casualizzazione pifi semplice, che consiste nel sostituire alia v.c. X una v.c.:

Z = ~ X con probabilit/t 2 ( 0 < 2 < I)

t X + c con probabilith z~= 1 - -2 t (c:/=O)

dove l'uso della costante additiva in luogo di quella moltiplicativa sembra migliore a fini applicativi. Si perviene infine, tramite quest'ultimo metodo, ad una stima non distorta della media della v.c. X, esaminandone le caratteristiche e confron- tandone l'efficienza con la stima proposta da Olivieri, e a d una stima non distorta della varianza della medesima v.c.X.

In quanto segue, viene ammessa l'esistenza di tutti i momenti che saranno scritti. (Invero, questa avvertenza sarebbe superflua, poich6 si fa riferimento a popolazioni reali, per le quali esiste qualunque momento).

2. U n a s t i m a non dis torta di /z~

Sia, come si ~ detto, X la popolazione oggetto d'indagine, e siano /zl = / ~ ; /z2; . . . ;/z;.; . . . i momenti dall'origine che la caratterizzano. I momenti delia variabile casuale Y, caratterizzata dalla (1), si presentano nel modo seguente:

/~I(Y) = 2# + kz~# =/z( ; t + k~z)

~ ( r ) = ;t~,., + k ~ m = / ~ ( ~ + k ~ )

ed, in generale (per r > 1 intero):

/~(Y) = 2/~r + krzq~r = #r(;t + k':~) (2)

La stima della media /~ della v.c. X, proposta da Olivieri, ~ fornita dalla quantith:

ed ha varianza:

m' - - ~ i Y i (2 -q- kn)n (3)

Var(m') = /zz n

Posto W = bY con

;t -t- k2z~ #2

(2 + kn) ~ n

b = (2 + k2~) - I /2

(4)

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si ha :

# ~ ( w ) = b # ~ ( r ) = tzb(;~ + k:t)

#2(W) ---- b~tz2(Y) = #sbZ(2 H- k2:t) = / z s

ed in generale (per r >~ 1 intero):

# , . ( W ) = b ' / z r ( g ) = l~b'(2 q - k " : t )

In part icolare:

Var (W) = kTis)(W) = #2 - - ~2b2( 2 -~- k : t ) 2

(5)

U n a stima non distorta del secondo m o m e n t o #2 della v.c. X, basa ta su un campione con r isposta casualizzata d i n elementi indipendenti, ~ forni ta dalla quanti th:

. S i w i " S i b 2 y i ~ m s ' = - - - - = m s b z (6)

n n

dove ms 6 il secondo momen to dei risultati campionar i ottenuti t ramite il processo di casualizzazione.

Tenendo presenti le (5), i primi quat t ro momen t i dall 'origine di ms' r isultano:

# l ( m 2 ' ) = /z s (7)

1 [#4b4( 2 -k k4:t) q- (n - - 1)#22] (8) du2(ms') = T

1 /~3(mz') = - - ~ [#nb6(;t § k6:t) + 3(n - - 1)/~4/~sb4(2 + k4:t) § (n - - 1)(n - - 2)/~s 3]

(9) 1

~4(m2 t) = - - ~ [/zsbS(2 + kS:t) + 4(n - - 1)#~/z2bn(2 q- k6:t) +

+ 3 ( n - - 1)/~42bS(2 H- k4:t) s q- 6(n - - 1)(n - - 2)#4/zz2b4(2 q- k4:t) +

-+-(n - - 1)(n - - 2)(n - - 3)#24] (10)

Se si utilizzano le relazioni che legano i moment i dall 'origine ai momen t i cen- trali, possono ottenersi, con una certa laboriosith, i moment i dalla media che carat ter izzano la st ima ms' ; i moment i centrali dal secondo al quar to sono i se- guenti:

fi2(m2, ) = Var(m2, ) = /~4(W) - - #22 (11) n

1 fiz(m2') = ~ [/z6b6(2 q- k 6:t) - - 3/q/z2b'()l -]- k4:t) q- 2#s 3 ] (12)

1 ~sbS(2 + kS:t ) _ 4#6#sb6( 2 + k6:t ) -k- fi4(m2') = -n- U

q-3(n - - l)#42bS(J, -~- k4~) 2 - - 6(n - - 2)#4~zSb4(2 --~ k4y~) +

-}-3(n - - 2)/z24] (13)

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3. Una stima non distorta di /~r

I1 procedimento suesposto si pu6 generalizzare alia stima di /zr. Tenendo presenti le (2), se si pone: U = dY, con

si ha:

d = (2 + krzr) -1/r

2 + k~ :,t(u) = dt,~(r) =/~ (:. + ~:r~)a/r

/as(U ) = d*/a2( Y) = ~u2(2 + krzr) -~/"

ed in generale (per r ~ 1 intero):

2 + kr~r #r(u) = d%(r) = :,r ~ +/:~ = / z r (14)

Una stima non distorta dell'erresimo momento dall'origine della v.c. X, ba- sata su un campione con risposta casualizzata di n elementi indipendenti, ~ for- nita dalla quantit~t:

Ziu ( Xidryi r m r' = . . . . drmr (15)

n n

dove m r ~ l 'erresimo momento dei risultati campionari ottenuti tramite il processo di casualizzazione.

immediato notare che:

I~t(m, ') = ~ M [ U t r + Us" + " " + U,:] = /~ r (16) n

Var(mr') = d 2r Var(mr) = d 2r /~r(Y) --/zr2(Y) = ~ U 2 r ( U ) - - ~Ur 2 (17) n n

4. Caratteristiehe della stima m2'

Poich6, come si 6 dimostrato, risulta:

M(m2') = / ~

m2' 6 stima non distorta di/~2- Pertanto, la radice positiva della quantitY:

~/~(4) (W) - - # 2 2 M(m21 --/~2) 2 = V a t ( m 2 I ) _~

n

pu6 essere adottata come misura del grado di accuratezza della stima m2' di/*2- Dal fatto che:

lim M(m2' - - #2) 2 = lim Var(m2') = 0 (18) n-'l'<:O n ~

segue the m2' converge in media quadratica a #2.

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La convergenza in media quadrat ica implica, come 6 noto, la convergenza in probabilit~t, ossia:

lim P(] m2' - - / a s [ < e) = 1 V e > 0 7t -4-r

Dalla (6) si nota subito che m2' 6 s o m m a di n variabili casuali indipendenti ident icamente distribuite e per tanto m2', al crescere di n, tende a distribuirsi nor- malmente con media #2 e var ianza 1 / n [ / q ( W ) - / z 2 2 ] .

In conclusione, si pub affermare che m2' ~ s t ima non distorta, consistente ed as intot icamente normale di/~2-

5. Una stima non distorta della media della popolazione, conseguente all'appliea- zione di un altro metodo di casualizzazione

Un m o d o pifl semplice di affrontare il p rob l ema della st ima di quantit~t me- diante il campionamento casualizzato pub essere quello di sostituire alla v.c. X, oggetto dell ' indagine, una v.c. Z, assumente valore x con la medes ima probabit i t~ 2 con cui si verifica l 'evento casuale E e valore x + c (c 5~: 0) con probabilitb. 1 - - 2 ( 0 < 2 < 1 ) .

Con questo artificio resta al l ' intervistatore la possibilit~ di indagare sulla v.c. X t ramite i risultati campionar i relativi alia v.c. :

Z = ,~ X con probabilit~t 2(0 < ;t < 1) (19)

t X + c con probabi l i th z ~ = 1 - - 2 (c=7(:0)

I moment i della v.c. Z si presentano nel m o d o seguente:

/~l(Z) = ;t~ + ~t(/~ + c) = / ~ + :,rc

/~,(Z) = 2#2 + ~(#2 + 2#c + c z) = ,u2 + 2~c# + src 2

ed in generale (per r ~> 1 intero):

,u~(Z) = 2~u r + r e M ( x + c) r = )'#r + ~ #~c r - i = ,ur + 7r ~, # i c r - i i = 0 i ~ O

Se si pone : V = Z -- rtc, si ha:

(20)

,u2(V ) = M ( Z - - nc) 2 = 1~2 + 2nel~ + ~ c 2 - - 2 ~ c # - - 2~2e 2 + ~2c2 = #2 + n2e2

ed in generale (per r >~ 1 intero):

i - 1 / i x ] (21)

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In part icolare:

var V = var Z = f i z ( V ) = tz8 - - #8 + ~r2c ~ = fi2 + n2cZ (22)

La var ianza della v.c. V coincide per tanto con la var ianza della v.c. X oggetto d ' indagine a meno della costante addit iva zr2c 2.

La variabilit5, della v.c. V dipende quindi, oltre che dalla variabilit/t della po- polazione oggetto d ' indagine, da 2 e dal valore assoluto di c; pig precisamente , aumen ta col quadra to di c e, per quanto r iguarda 2, 6 mass ima per 2 = 1/2.

Se si vuole pervenire ad una stima non dis tor ta delia media della v.c. X oggetto d ' indagine, questa pub essere forni ta dalla quantitb.:

SiO i ~ i ( Z i - - 7ts n r m~ . . . . m z - - (23)

n n n

dove m z ~ la media dei risultati campionar i ottenuti t ramite il processo di casualiz- zazione.

Relat ivamente ai primi tre moment i della v.c., m~, si ha:

/z1(m~) = # (24)

1 #z(m") = --n-- [/78 q- n/z8 q- zr2cS] (25)

1 #3(my) ---= --n-7- [~z q- 3(n - - 1)/~ �9 #8 -t- 3nc2~2bt +

-q-(n - - 1)(n - - 2)# 3 q- :rc3(1 - - 3:r + 2:r~)] (26)

I moment i centrali di m,, sono ottenibili t rami te le relazioni che li legano ai moment i dall 'origine; si ritiene oppor tuno , in questa sede, fornire per esteso il solo calcolo della var ianza di m~, che assume il seguente aspet to:

Var(mv) = fi2 q- :r;tc 2 = var (V) (27) n n

6. Una stima non distorta della varianza della popolazione

U n a st ima non distorta della var ianza della v.c. X oggetto di indagine ~ for- nita dalla quantit~t:

n n [ Z,__r~ ( @ _ ) 2 ] s-o 2 - : r 2 c z, dove g z__= n - - 1 s ~ 8 = n ~ n

la var ianza corret ta dei risultati campionar i ottenuti t ramite il processo di ca- sualizzazione.

Infatti , poich6: M(5~ ~) = fi~. + n a c 2 = Var(V)

si ott iene: M(5~ 2 - - n 2 c ~) = fi~ = Var(X)

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Pertanto, per quanto sopra e per cose note, g2 _ zt2c 2 costituisce una stima non distorta e consistente di Var(X).

7. Caratteristiche della stima m0

Poich6, come si 6 dimostrato, risulta:

M(mv) = #

rnv 6 stima non distorta di # e la radice positiva della quantit/t:

M(mo -- /z)2 = Var(mo) = fi2 + :~).cZ n

pu6 essere adot ta ta come misura del grado di accuratezza della stima mo di /*. Poich4 il limite di Var(mo), al crescere di n, 6 uguale a 0, mo converge in media

quadrat ica a/*. Da ci6 consegue, come giA ~ stato osservato a proposi to della stima m 2' di/*2,

la consistenza della stima m~. Si pu6 notare infine che, essendo mo s o m m a d i n variabili casuali indipendenti

identicamente distribuite, essa tende, al crescere di n, a distribuirsi normalmente con media/* e varianza 1/n [fi2 + =2c2] �9

In conclusione, mo 6 stima non distorta, consistente ed asintoticamente nor- male di /*.

8. Eificienza della stima m o

Per misurare l'efficienza della stima rn v, ot tenuta tramite il processo di ca- sualizzazione, nei confronti dell 'usuale stima della media fornita dal campiona- mento tradizionale, occorre calcolare il rappor to E tra le rispettive varianze:

#~ + ~r2c 2

n yE~c 2 E = = 1 + - - > 1 (28)

n

Poich~ i l rapporto E non 6 mai inferiore all 'unit~, la stima m v 6 meno effi- ciente di quella ottenibile mediante il campionamento tradizionale, a parit~ di ampiezza campionaria. I1 rapporto E assume valore 1, e cio6 le,due stime sono ugualmente efficienti, nel caso in cui sia 2 = 1 oppure c = 0, casi in cui peraltro il campionamento casualizzato verrebbe di fatto a coincidere con quello tradizio- hale, e nel caso in cui sia 2 = 0, caso in cui si avrebbe una semplice traslazione dei valori della v.c. X, esattamente uguale al valore della costante c.

Si pub peraltro notare come il rappor to E si approssimi al valore 1 quando la costante c non si discosta molto dallo 0, in quanto cib implica una limitata de- viazione dalla realt~ delle risposte non veritiere; e quando la probabilitA ;t si ap- prossima al valore 1 o al valore 0, perch~ in tal caso si riduce la dispersione tra risposte veritiere e non veritiere.

A questo proposito si pub notare che, fissato c nella misura pifl oppor tuna in considerazione della natura del problema oggetto d'interesse, il rappor to E ri-

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sulta massimo per 2 = 1/2. Quanto pifl ci si discosta da tale valore, tanto minore sar/t l'inefficienza della stima ottenuta tramite il processo di casualizzazione nei confronti di quella ottenuta tramite il campionamento tradizionale.

Infine, si osserva che E differisce da 1 in maniera tanto meno sensibile quanto maggiore ~ Ia varianza fi2: pertanto t'efficienza della stima m~ nei confronti del- l'usuale stima di/z ottenuta tramite il campionamento tradizionale 6 pifl elevata se la popolazione oggetto d'indagine presenta una variabilit~ piuttosto alta.

9. Eff ie ienza della s t ima m~ rispetto al ia s t ima m'

La stima m~ proposta nel presente lavoro pub essere confrontata, per quanto riguarda la sua efficienza, con la stima m' proposta da Olivieri (confronta for- mule (3) e (4)).

Trattandosi di due stime non distorte di/z, l'efficienza E sarb. calcolata come" rapporto tra le due varianze.

Var (m') pub scriversi:

Var(m') = /~____s [ 1 4- 2zt(1 -- k) a ] /z___~_ z ~_- fi.......~2 4- ~._..3_~ 2.~(1 -- k) 2 (2 4- kz~) 2 ] n n n (2 4- kzt)*

e pertanto l'efficienza d i m ' rispetto ad m~ pub essere misurata dal rapporto E:

fi___3_~ + /z2 2z~(1 - - k*)

Var(m') n n (2 4- kr~) ~ (29) E = Var(m~) fi2 ~r2ca

- - 4 n n

Si osserva che tale rapporto risulta maggiore o minore di 1 a seconda che sia:

#2 2~r(l -- k z) ~r2c 2

n (2 4- kzr ~ ~

(a parit~ di ampiezza campionaria n e di 2). Ossia, la stima m~ 6 pi/l efficiente della stima rn' se

/.2(1 - - k) 2 c 2

(2 + kz0 z

mentre essa risulta meno efficiente della stima m' se:

/z2(l -- k)2 c 2

(2 + kz02

Pertanto, fissati n e 2, refficienza di m~ rispetto ad m' dipende dalla scelta delle costanti c e k.

In particolare, le due stime sono ugualmente efficienti quando il rappor to E uguale ad 1, cio6 quando le costanti c e k sono tali che:

(1 - - k ) z c2 =/z2 (2 + kz0 ~

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A B S T R A C T

The randomized response technique of sampling was proposed for the first time by S. L. Warner for the estimation of proportions and then applied, by Warner himself and other authors, to the estimation of quantities.

This technique has been recently the object of an approach by D. Olivieri who sug- gests an easy randomization method and obtains an unbiased estimate of the population mean.

In this paper the approach of D. Olivieri is implemented, reaching an unbiased estimate of the second moment of the population; moreover, an other estimate of the mean and of the variance of the population, obtained by an easier-to apply me- thod of randomization, is proposed.

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