sulla teoria dei controlli lineari negli spazi di orlicz di funzioni a valori vettoriali

Sulla teoria dei controlli l ineari negli spazi di Orlicz di funzioni a valori vettoriali .

GIUSEPPE PULVIRENTI - GIUSEPPE SANTAGATI (Catania) (*)

Santo. - Come nell' introduzione.

I n t r o d u z i o n e .

Siano: U, X due spazi di Banach e ~ ( X , X) , ~(U, X ) r ispet t ivamente l ' ins ieme degli operatori l ineari (non necessar iamente continui) da X in X e lo spazio degli operatori l ineari e continui da U in X; T u n numero positivo ed A, B, c tre fun~ioni

A : t - ~ A(t), B : t ~ B(t), c : t ~ c(t)

definite q.o. in [0, T] a valori in ~ ( X , X), ~(U, X) ed X r ispet t ivamente; V e W due sottoinsiemi di X ed e~ un sottoinsieme di uno spazio l ineare di funzioni a valori in U definite q.o. in [0, T].

Conformemente a quanto fatto in casi analoghi (cfr. ad es. R. C o ~ I [9]. [10], G. PuLvIm~N~I-G. SAN~AGATI [21]) diremo ehe il Problema (P) ha soluzione (u, v) in ~ X V se esistono uEe'~, v e V in modo che vi sin almeno una soluzione (in un senso opportuno) x(t, u, v) del l 'equazione:

d ~ (E) dt ~ A(t)x = B(t)u(t) + c(t),

con x(o, u, v ) - - v , per la quate si abbia ,x(T, u, v )e W. I1 problema (P) 6 un problema di conlrollabil i t& Infatti , secondo la terminologia della teoria dei conlrolli dire che il problema (P) ha soluzioni in ~ X V vuol dire che esistono un controllo u ~ e ~ (controUo permanen te ) ed uno stato iniziale, v E V (controllo iniziale), del sistema materiale il eui stato x(t, u, v) si evolve al var iare del tempo t in [0~ T] secondo la legge descri t ta dal l 'equazione (E),

{*) L a v o r o esegu i to n e l l ' a m b i t o del l ' a t t iv i t /~ dei R a g g r u p p a m e n t i di r i ce rca M a t e m a t i c a del C. ~ . R.

I1 p a r a g r a f o 1 ed il n. 3.1 sono d o v u t i a G. PULVIRENTI, il § 2 ed i h u m e r i 3.2, 3.3, 3.4~ a @. SANTAGATI.

280 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sul[a teoria dei controIli tineari, ecc.

per i quali lo stato ~(t, u, v) raggiunge l ' ins ieme W (obiettivo) al tempo T (cio~ vi b eontrollabiliti~ in o~ ~< V).

I1 problema (P) b star% in particolare, studiato nel easo in cui e)~ b u n sottoinsieme di uno spazio di tipo LP (cfr. ad es. It. A. A~ToslEwIcz [1], R. Col~TI [7], [8], [9], [10])e nel caso in cui ~ ~ un sottoinsieme di uno spazio del tipo di Orliez di funzioni a valori nello spazio euclideo ad m dimensioni (cfr. G. PVLVlI~E~I-G. SA~AG_~I [21]).

Nel presente lavoro ci occupiamo delto studio del problema (P) nel caso in cui e~ ~ un sottoinsieme di uno spazio del tipo di Orlicz di funzioni a valori in U, supponendo U spazio di Itilbert.

La ~eoria degli spazi di 0rl icz di funzioni a valori in uno spazio astratto nora nelle linee generali (cfr. ad es. N. DINCULEAI~U [13]; per una tratta-

zione sistematica della teoria degli spazi di Orlicz di funzioni a valori reali cfr. M.A. KRAs~os]~L's]~II-Y. B. Ru~Ic];II [19]); m)i abbiamo, perb, preferito trattare, nel paragrafo 1, dopo aver r ichiamato alcune nozioni preliminari , tale teoria nel caso in cui lo spazio U dei valori ~ di Hilbert, dando un assetto opportuno ai r isultat i ottenuti e fornendo alcuni comptementi , utili allo studio della teoria dei controlli suecessivamente fatto. In tal modo abbiamo, altresi, evitato di dover fare ipotesi di separabilit& su U, dalla quale, o da qualcosa di analogo, non si prescinde in N. DI~CULEANV [13] h e l l o stabilire alcuni fondamental i risultati, come ad esempio il teorema di~rappresentazione dei funzionali l ineari e continui (cfr. anche N. DI~CUL]~A~U [14], S. BOCm~ER - A.E. TAYLOR [4]). 01tre ad una norma del tipo di Orlicz, abituale in questi spazi, abbiamo introdotto una norma del tipo di Luxemburg che ci ~ stata utile sia nelta vah taz ione della norma dei funzionali l ineari e continui, sia hello studio della teoria dei eontrolli.

Nel paragrafo 2 abbiamo, poi, tradotto il problema (P) in altri ad esso equivalenti ed abbiamo stabilito teoremi di eontrollabilit&, considerando come insieme ~ dei controlli permanent i sia - una sfera di uno spaz io d i Orlicz (ottenendo condizioni necessarie e sufficienti di control]abilit'h espresse da certe disuguaglianze involventi la norma di Luxemburg di certi dati, oppure condizioni necessarie o sufficienti espresse da disuguaglianze involventi la norma di Orlicz di~essi), sia F immagine inversa d i u n a sfera di uno spazio ad esso isomorfo (ottenendo in questo caso, condizioni carat ter is t iche di con- trollabiliti~ espresse da disuguaglianze involventi la norma di 0rlicz dei sud- detti dati). I~ stato preso in esame sia il caso di spazi di Orlicz riflessivi che il easo di spazi di Orlicz non riflessivi immergibili in spazi riflessivi (ottenendo, cosl, risultati di na tura un po' diversa rispetto agli analoghi di G. PULVIRENTI-G. SAI~TAG±TI [21]).

I~el paragrafo 3, infine, abbiamo studiato alcuni problemi di ottimizzazione (problema det tempo minimo, della minima distanza, iniziale e finale, problema del minimo sforzo) stabilendo teoremi di esistenza di controllo ottimo e relativi

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controIli lineari, ecc. 28i

pr ine ip i di massimo (in forme diverse a secondo de l l ' u se del la n o r m a di 0rl ic~ o di Luxemburg) . I p r ine ip i di mass imo sono staff ot tenuti , sv i luppando u n a reeente idea di R. CONTI (err. R. C o ~ I [11], [12]), in ipotesi su X pifi genera l i di quel le di solito adot ta te in casi analoghi (cfr. ad es. R. C o ~ I [10], G. P u L w R E ~ r - G . SAN~AGA~ [21]).

§ 1. - S p a z i d i O r l i c z d i f u n z i o n i a v a l o r i v e t t o r i a l i .

1 . 1 . - La elasse LM(0, T; U) e gli spazi L~(O, T; U) (di 0rliez), L(M)(0, T; U ) ( d i Luxemburg ) .

Deno ta t a con R la te t ra namer i ca , eons ider iamo le seguent i def in iz ioni :

D~FI~IZIO~E 1.1.1. - Una funzione M(r) definita in R (1) ~ delta N-funzione se ha la rappresentazione:

irl

--- I p(t)dt ~ r ~ R, M(r) i * ¢ 0

dove p(t) ~ una funzione positiva per t > O, continua a destra per t >_ O, non decrescente e soddisfacente te condizioni:

p(O) -- O, l im p(t) -- --}- ~ . t~-t-co

DEFINIZIONE 1.1.2. - Dicesi funzione complementare di una N-funzione M(r) la N-funzione:

Isl / ,

N(s) -- I q(t)dt ~ s e R, 0

dove: q(t) = sup {'~: p(z) ~ t} t E R +,

con R + = tz: z e R , z ~ 0 } . Nel seguito, con M(r) ed N(s) denote remo sempre N- funz ion i eomplemen.

tar i 1' una dell ' a l t ra .

DEFINIZIONE 1.i.3. - Si dice che ta N-funzione M(r) soddisfa la A~-

(i) Qui e nel seguito omettendo di indieare l'insieme dei valori di una funzione inten. diamo trattarsi di una funzione a valori reali.

Annali di Matematica 56

282 G. PULVIRENTI - Cv. SANTAGATI: Sutla teoria dei controlli lineari, ecc.

condizione se esistono k > 0, ro ~ 0 tali ehe

M(2r) <_ k M (r) r to.

DE~'IbTIZIONE 1.1.4. - Diremo che la N-funzione M(r) soddisfa l'ipolesi (~) se esislono c ~ 1 e ro ~ 0 tall the:

M(r) ~ ~ M(cr) ~ r ~ r o .

]~ noto che t ' ipotesi (~) sulla N-funzione M(r) ~ condizione caratteristica per la hs-condizione relafivamente alla N-funzione iV(s).

Sia ora U uno spazio di Hilbert reale (~) e (., ")v il prodotto scalare tra due e l eme~i di U. Poniamo la seguente:

DEI~IZ~IZlOZ~E 1.1.5. - Se M(r) ~ una N-funzione, denotiamo con L~(O, T; U) l' insieme (classe di Orlicz) di tutte le funzioni u(t) a valori in U, forlemenle misurabili in [0, T] tali che:

T

U; M) = ~ M(llu(t)tlv)dt < + c~(~). ~(u, q g

0

Per semplicit~ poniamo L~(0, T; R ) - -L~(0 , T) e ~(u, R; M ) " - ~ ( u ; M). Se u(t) ~ una funzione a valori in U, fortemente misura,bile in [0, T] ed

lul~ la funzione:

tuI : t llu(t)]l , t q.o. [0, T],

dalla Definizione 1.1.5 si ha, ovviamente, il

TEORE~A 1.1.1. - Condizione necessaria e sufficiente affinch~ sia u eL~(O, T; U) che sia Iul~eLM(O, T).

Si ha, Mlora, che ogni funzione u(t) a valori in U fortemente misurabile e limitata in [0, T] appartiene alla classe L~(0, T; U) e che ogni funzione di L~(0, T; U) b sommabile in [0, T].

(e) P e r semp]icith, tutti gl i spazi di Banaeh considerat i nel presente lavoro sono sup. post i l inear i r ispet to al corpo reale. Se X b uno spazio di Banach, denotiamo, come di con- sueto, con e z 1' e lemento null% con X p e X", r i spe t t ivamente , i l duale e il b iduale (forte) di X; se F b un funzionale l ineare e continuo su X~ con ItFII•, denot iamo la forma di F, ciob:

II~lrx" = ~up 1V < y, F > F : ti y tf~--< ~I.

(8) Ovv iamen te eonven iamo che due tal l funzioni che siano eqa iva len t i (la misura essendo quel la di Lebesgue) si consider ino come an unico elemento di LM(0, T; U). Osservazioni del gener% in easi analogh% saranno sot t intese nel seguito.

O. PULVIRENTI - O. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli lineari, ecc. 283

DEFI~IZIO~E 1.1.6. - Diciamo spazio di Orlicz (di funzioni a valori in U) e lo denotiamo con L~¢(O, T; U), lo spazio di Banach delle funzioni u(t) a valori in U, fortemente misurabili in [0, T], tali the

T

f ( u ( t ) , v(t) ~ dt <: c~ ~ v ~ LN(O, T; U') o

con la norma T

0

<__1 f •

Per semplicit~ poniamo L~(O, T; R ) = L~¢(O, T )e llU!lL M --I1~11L~,

Si ha :

TEOREM• 1.1.2. - ~!ondizione necessaria e sufficiente affinch~ sia u~L~(O, T; U) the sia I u iv ~ L~t( O, T).

DIZ~OS~RAZIO~E. - Pe r provare la necessit/~ della condizione, r i sul tando Pappl icaz ione lu tv misurabi le ia [0, T], basta dimostrare che per ogni w ~ w:t) e L~v(0, T) si ha :

T

f llu(t) t]~v(t)dt < ~ .

o

A tale scope, det ta $ la congruenza tra gli spazi U ed U' esistente in virtfi del note teorema di rappresentaz ione dei funzionali l ineari e cont inui sugli spazi di I t i lbert , r isul ta quasi ovunqne in [0, T]:

nonch6 < z, ~u(t) > = (z, u(t))~

II ~u( t) It~" = If u( t) II~ ;

V z e U

inoltre, essendo l ' appl icaz ione l ineare ~ for temente cont inua in U ed u(t) for temente misurabi le in [0, T], la funzione ~u(t) a valori in U' r isul ta forte. mente misurabi le in [0, T]. Posto:

(1.1.2) G , - - l t : ts[O, T], Ilu(t)llu=4:O}, G~--[O, T ] - - G ,

e

[ _ qv( t ) . (1.1.3) v(t) = ~tlu(t)[1 vgu(t) q.o. in G1

[ Ov, q.o. in G~,

284 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli lineari, ecc.

In faazione v(t) a valori in U' cosl def ini ta ~ for temente misarabi le in [0, T] e si ha

< u(t), v(t) > -- II u(t)I]~w(l) q.o. in [0, T]

noneh~

Da cib segue che:

II v(t)!Iv, ~ I to(t) I q.o. in [0, T].

(1.1.4) ~(v, U'; N) ~ pIw; N) < q- ~ ,

il che prova ehe v ~ v(t)~ LN(O, T; U') ed inol t re :

(1.1.5)

T T

o o

La suffieienza della condizione segue, poi, osservando che dalla relazione

] < u(t), v(t) :> l ~ l] u(t) [Ir]ll v(t) II~, q.o. in [0, T ] e ~Z v e LN(O, T; U'),

essendo ~< u(t), v ( t ) ~ una funzione misurabi le in [0, T], in virtfi del Teo rema 1.1.1, si ha

T

f < u(t), v(t) > d t < ~ .

o

I1 teorema ~, cosl, dimostrato. 0vviamente , se u(t) ~ una funzione a valori in U for iemente misurabi le

e l imitata in [0, T], u ~ u(t)eLM(O, T; U), e se u ~ u(t)~ L~(O, T; U), u(t) sommabile in [0, T].

TEORE~IA 1.t.3. - Se uELM(O, T; U) 8i ha:

1.1.6)

T

sop I o

: ~(v, U'; N ) ~ 1 t--I1]u]vllLM.

] : ) I 1 K O S T R A Z I O ~ E . - Cominciamo con l 'osservare che, essendo:

T T

o o

v e L~v(0, T; U'), ~(v, U'; 2/) ~ 1,

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIla teoria dei controlli Iineari, ecc. 285

e risultando lvlv, eLN(O, T) e ~(lvlv,; N)__~ 1, si ha:

T

supl f o

Per provare il teorema basra, allora, far vedere the r isulta:

T

o

Per dimostrare la (1.1.7) denotati con X e Y gli iasiemi numerici descritti , T

rispettivamente, da ] I~ < U(t), V(t)> dr] al variare d i v in L~r(O, T; U') con

o

T

O(v, U'; N ) ~ I e da [ f[lu(t),[uw(t)dtt al variare d i w in LN(O,T) con o

0(w; N ) ~ 1, sara sufficiente prora te the :

(1.l.8) I'- _ X.

T

A tale scopo, sia ] l 1[ u(t) lluw(tilt [e Y; de finita, quin di, mediante la (1 .1 .3) la I

o

funzione v(t) a valori in U' fortemente misurabile in [0, T], la (1.1.8) segue, allora, dalle (1.1.4) e (1.1.5).

It teorema ~ cosi dimostrato. In generale due spazi di Orliez LM~(O, T; U) e LM~(O, T; U) generati da

due differenti N-funzioni Ml(r) e M~(r) sono differeati ; come esempio basta considerare spazi LP(0, T; U) con p ~> 1 (che possono r iguardarsi come spazi

di Orlicz, di funzioni a valori in U, generati dalle N-funzioni I rtP)~ per valo- P

ri d i p distinti. Oondizioni di inclusione e coincidenza tra due spazi di 0rlicz, mediante

disuguaglianze involventi le N-franzioni generaat i gli spazi o le norme in essi, possono darsi con i seguenti teoremi:

TEOnEMA 1.1.4. - Se M~(r) ed M2(r) sono due N-funzioni, condizione he. cessaria e sufficiente affinch~ si abbia:

(1.1.9) L~tl(O, T; U)~ L~2(O, T; U)

286 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sutta teoria dei conttvlli tineari, ecc.

ehe esistano due costanti positive a, ro tall che

M2(r) ~ M~(ar) ~- r ~_ ro.

D I M O S T R A Z I O I , ~ E . - L a neeessith della eondizione sar/~ aequisita, in virtfi del Theorem 13.1 di M.A. KRASIqOSEL'SKII-Y. B. RUTICKII [19], una volta prora te che dalla (1.1.9) segue ehe:

(1.1.10) LM~(O, T) ~ L~(O, T).

A tale seopo sia w ~ w ( t ) eLM~(O, T) e sia ~ e U con I I ~ [ ! v - ' l ; la funzione a valori in U u(t)- 'gw(t) ~ fortemente misurabile in [0, T] e tale ehe t u!r:e LZg~(0, T). A_llora, faeendo uso del Teorema 1.1.2 si ha che u e L~(0, T; U) e, per la (1.t.9), u E LM~(0, T; U) per eui [u Iue L~r2(0, T) e quindi w=--w(t)e e L~(0, T).

La saffieienza della condizione segtte, poi, subito utilizzando aneora il Theorem 13.1 di 1~I. A. Km~S~OSEL'S~:~[-Y. B. RU~ICKH [19] e i l Teorema 1.1.2.

COROLLAmO 1.1.1. - Se M,(r) ed M2(r) sono due ~- funz ioni condizione neeessaria e sufficiente affinch~ si abbia :

LM~(O, T; U)--L~2(O, T; U)

che esistano ire costanti positive a, b, ro tall che:

(1.1.11) M~(ar) ~ M~(r) < M~(br) ~ r ~ to.

TEOI~EI~A 1.1.5. - Se L~(O, T; q ~ 0 tale che:

U) c_ LM~(O~ T; U), esiste una eostante

u ~ L~(O, T; U).

DI~IOSTRAZIONE. - L'asser to segue subito in virtfi dei Teoremi 1.1.2, 1.1.3 e del Theorem 13.3 di M.A. KRAS~OSE_~'SKII-Y. B. Ru~Ic~I~ [19], r icordando c h e s e L~I(0, T; U ) ~ LM2(0, T; U) vale la (I.1.10).

OSSERVAZlONE L I . 1 . - Dal Teorema 1.1.5 segue che se le due/V-funzioni Ml(r) ed M2(r) soddisfano la condizione espressa dalla (1.1.11), le norme degli spaT, i Live(0, T; U) e LM~(0, T; U) sono equivalenti.

Una norma equivalente a quella de[inita dalla (I.1.1), ehe ci sar~ utile appresso, b la seguente (del tipo di Luxemburg ; per il caso scalare cfr. 1~I. A. KRAS:NOSEL'SKII-Y. ]3. RUTICKII [19], § 9, n. 7):

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIla teoria dei controlli lineari, ecc. 287

Lo spazio di Banaeh che cosi si genera sar/~ denotato con L(~V)(0, T; U) (omettendo, come al solito, di indicare U nel caso part icolare in cui U--" R). Che la (1.1.12) definisca effet t ivamente una norma segue dal fatto che, in virtfi del Teorema 1.1.2, si ha

(1.1.13)

Inoltre, dal Teorema 1.1.3, dalla (1.1.13) e dalla (9.24) di M. A. K~AS2COSEL!SKII- ¥ . B . RU~rICKII [19] ne viene che

(1.1.14)

Utile, pure, ci sar~ la seguente:

DSF~NIZIONE 1.1.7. - Diciamo she una successione di funzioni iu,,(/)}, u~ ~ u,,(t) ~ LM~O, T'~ U), n --- 1, 2, ..., ~ ecnvergenle in media alla funzione u(t), U - ~ U(t)~LM(O, T; Y), 8e:

T f *

tM([ ] u~(t) - - u(t) Hu)dt -- lira 0. J

0

In virt~t del Teorema 1.1.3 e di ~ . A . KRAS~OSEL'SKH-Y.B. RUTICKII [19], § 9, n. 6, si ha:

T]~ORE~A 1.1.6. - La convergenza in norma di unce successione di elementi di Ltv(O, T; U) ne implica la convergenza in media (ma non viceversa). Se la N-funzione M(r) soddisfa la h,-condizione aUora convergenza in norma e con. vergenza in media sono equivalenti.

1.2. - Lo spazio Eu(O, T; U). Relazioni tra E~(O, T; U), L~(O, T; U), LM(O, T; U).

Poniamo la seguente:

D~,FIZ~I~IOZ~ 1.2.1. - Denotiamo con E~(O, T; U) la chiusura in Lu(O, T; U) dell'insieme eostituito dalle [unzioni e valori in U [ortemente misurabili e limitate in [0, T].

Evidentemente E~(O, T; U) b uno spazio di Banach (con la norma indotta da LM(O, T; U)). Poniamo, al solito, per semplicit/~ E~(0, T; R ) ~ EM(O, T).

Utile ei sar~ il seguente:

TEORE~A 1.2.1. - Condizione necessaria e su[fieienle affinch~ sia u e EEl(O, T; U) ~ che sia [u l v~Eu(O , T).

288 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SulIa teoria dei controIli Iineari, ecc.

DI~OSTRAZIO~E. - La condizione ~ necessaria. Infatti, essendo u ~ u{t)e e EM(0, T; U) esiste una successione {un(t)} di funzioni a valori in U fortemente misurabili e limitate in [0, T] per la quate si ha:

essendo :

nonchb:

si ha :

111 u(0 II~-- II u,(t)llu 1 ~ H u(t) - u , (0 l[u q.o. in [o, T]

lim ll[u Iv - - I u . IullLM = 0.

L'asser to segue, allora, osservando c h e l a successione t][u,~(t)llv } ~ costituita da funzioni misurabil i e l imitate in [0, T].

La condizione ~ sufficiente. Infatti , poichb [ u l v e E M ( 0 , T), esiste una successione Iw,~(t)} di funzioni misurabili e limitate in [0, T] per la quale r isulta

(1.2.1) l i m l tw. - - f u IVl]L M = O.

Posto, per ogni n intero positivo (utilizzando le notazioni (1.1.2)):

f ~ u ( t ) q.o. in G~

0v q.o. in G~,

la, successione {u,(/)/ ~ costituita da funzioni a valori in U, fortemente misurabili in [0, T ] e d ivi l imitate (quindi u~e LM(O, T; U}, n ~ 1, 2, ...)e risulta:

1l u,(t) - - u(O [tT7 _~ Iwn(t) --[I u(t)[Iu[ q.o. in [0, T], n -~ 1, 2, ....

Pertanto si ha :

da cui, per la (1.2.1):

lim [I u . - - u IIL~ = 0

n = l , 2, ...,

il che prova che u ~ EM(O, T; U).

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controIli tineari, ecc. 289

II t eo rema ~, cost, d imostra to . In base ai Teoremi 1.2.1, 1.1.1, 1.1.2 e a ~i. A. KRASNOSEL'SKII-Y.B.

RUTICKII [19] §§ 9 e 10 si ha il s eguen te :

TEO~EI~A 1.2.2. - Valgono le seguenti relazioni di inclusione:

EM(O, T; U)c_ L~(O, T; U ) ~ LM(O, 7'; U).

Se la N-funzione M(r) verifica la 52-condizione si ha:

EM(0, T; U)-~-L~(O, T; U)~--LM(O, T; U).

Dimost r iamo, inoltre, ehe:

TEORE~A 1 . 2 . 3 . - Se la N-funzione M(r) soddisfa la 5~-condizione e se ueEM(O, T; U)(~LM(O, T; U)), esisle una successione {u,~(/)t di funzioni a valori in U costanti a tratti in [0, T] (4) tale che:

l i ~ It u . - u l}~ = o.

DI~tos~}tazIo~]~. - P e r la def iniz ione s tessa di E~(0, T; U) basra, ovviamente , d imos t r a re il t eo rema nel case in cut u(t) ~ fo r t emente mi su rab i l e e l imi ta ta in [0, T]. A tale scope osse rv iamo che (efr. ad es. C. BxIOCCl~I [2], Teo rema 2.2) esiste, in tal case, una success ione {un(t)} di funzioni a valor i in U, costant i a t rat t i in [0~ T], ivi q.o. convergen te ad u.(t) e ta le che

l[ u,,(t)11~ ~ 11 u(t)[l~ ~ cos t . q.o. in [O, 7"~, n = 1, 2, . . . .

Si ha, allora,

M(llu,~(t)~u(t)[]u)~COSt. q.o. in [0, T], n----l, 2, ...;

quindi , pe r la continuit/~ di M(r):

T

l im / M([] u,~(t) - - u(t)[]u)dt --~ O, n*-s-~ov j

o

cio~ la success ione {u,(/)} converge in media ad u(t); l ' a s se r to segue, allora, da l T e o r e m a t.1.6.

(4) Una funzione u(t) a valori in U defini~a {quasi ovunque) in [0, T] la diremo ivi costante a tratti so si.pub decomporre [0, T] in un numero £inito di parti misurabili su ognuna delle quali ]a £unzione sia costante.

Annati di Matematica 37


1 . 3 . - Teoremi di rappresentazione dei funzionali l inear i e eontinui e r i su l ta t i di isomorfismo negli spazi di Orlicz. Riflessivit~ dello spazio L~(0, T; U)(e dello spazio L(M)(O, T; U)).

Essendo :

l < u(t), v(t)>l~[lU(t)[]~llv(t)[]~, q.o. in [0, T],

U e LM(O, T; U), ~ V e LY(O, T; U'),

per i Teoremi 1.1.2, 1.1.3, per lu (1.1.13) noneh~ per il Theorem 9.3 e le (9.26}, (9.27) di M. £. K~AS~OS~L'SKII-Y. B. Rv~ICKII [19], si ha:

TEOnE~A 1 .3 .1 . - Se u eL~(O, T; U)e v eLN(0, T; U'), si hanno le se- guenli disuguaglianze (del tipo di H61der):

T

,1.3,1, If < v(,)> ll4, o

(1.3.2 t

T

0

(1.3.3)

T

o

Si ha inoltre:

T~,OR~MA 1.3.2. - Se v ~ LN(O, T; U'), l'applicazione

T

(1.3.4) F: u ~ f < u(t), v(t) > d t , u ~ LM(O, T; U), o

un funzionale lineare e continuo su LM(O, T; U)(5). Valgono le seguenti relazioni:

(1.~.5)

(1.3.7) I! F U ( ~ , ) ' = tl ~ If~,~,,

(5) 0 c i b e h o ~ Io s t e s s o s u L(M'~(O~ T; U).

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SulIa teoria dei controlli lineari, ecc. 291

(1.3.S) 1

DIMOSTI~AZlONE. - Che l ' appl ieaz ione (1.3.4) sia un funzionale l ineare e eont inuo su LM(O, T; U) segue dal Teorema 1.3.1.

Dimostr iamo, allora, le (1.3.5}-{1.3.8). La p r ima disuguagl ianza della (1.3.5)segue subito dalla (1.3.1) e la se-

conda del fatto ehe se uE LM(0, T; U) si ha (err. 3I.A. KRAS~OSEI/SKII- Y.B. RU~ICKII [19], (9.12)):

II u tfr~ "~-il l u Irl IILM <-- ~(u, U; M) Jr- 1,

per eui, essendo U riflessivo, si ha ¢):

T

<

0

• ~(u, U; M } ~ I 1

T

o

Dimostr iamo, ora, la (1.3.6) ; per eib, in virtfi della (1.3.2), basra provare che:

F , (L3.9) It tI(= -> II v llL - A tale seopo, eominciamo col notare che, per il Teorema 1.1.2 e per M.A. KRASl~IOSEL'SKII-Y. B. RU~ICKII [19] Theorem 9.3 e (14.9), l ' appl ieaz ione

T

w ~ f It v(t)tlv' w(t)dt, w E L~I(0, T) o

(6) Pe r la r i f lessivi th di U 6 immediato consta¢are che lo spazio LN(O, T; U') ~ costituito dalle funzloni v(t) a valor i in U'~ for temente misurabi l i in [0~ T] tall che

T

< u(t), v{O > dt < ~ ~ u ~ L~(O, T; V) o

ed inol tre si ha : T

o

292 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIIa teoria dei controtIi lineari, ecc.

un funzionale l ineare e cont inuo su LM(O, T) per il quale r i su l ta :

T

0

T

Detto, allol'a, X' l ' ins ieme numer ico descrit to da ( < u(t), v(t) > dt] a l v a . 0

r iare di u in LM(O, T; U) con II U*.M ~ 1 ed Y' l ' i n s ieme numer ico deserit to z, U

T

0 0

ster/~ acquisi ta non appena provato ehe

(1.3.10) y' _c x'.

La (1.3.10) si d imostra con procedimento analogo a quello seguito in un caso del genere duran te la dimostrazione del Teorema 1.1.2. Infatti , util izzando le

T

If l stesse notazlom ivi usate, se II v(t)I[v, rv(t)dt E Y' (sicch~ w E LM(O, T) e 0

<~ Ilw IILM __ 1), posto:

G'~ = It" t e [0, ~'], ~ ~(~)fl~' 4: 0!, G ' , := [0, T ] - G'~,

w(t) 2_lv(t ) q.o.

0tz q.o. in G'2,

i l l Gr l

si ha the u E LM(O, T; U) ed inoltre

< u(t), v(t) > = :l v(t)I]~.w(t) q.o. in [o, T]

T

per oui l o

E i t.

La (1.3.7), per quanto osservato in (6), segue dal fargo ehe, per M.A. KRAs~osEL'sKII-Y.B. RU~ICKII [19] Theorem 9.5, l ' ins ieme dei punt i uE

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli tineari, ecc. 293

E LM(O, T; U) per cui [I u t ]L~)~ 1 6 uguale a l l ' ins ieme dei punt i ~E LM(O, T; U)

per eui ~(u, U; M ) ~ I . La (1.3.8), infine, segue daIle (1.3.5), (1.3.6) e (1.3.7). I1 teorema ~ cosi dimostrato. Dal Theorem 14.1 di M.A. KRASNOSEL'SKII-Y.B. RU~ICKI~ [19] segue

c h e l a (1.3.4) non ~ la forma generale dei funzionali l ineari e cont inui su LM(O, T; U); perchb cib aeeada supporremo, eonformemente a quanto fatto nel caso di fanzioni a valori in uno spazio euelideo ad una dimensione (efr. ~I.A. KR~S~OSEI?SKII-Y.B. RU~ICKII [19], § 14, n. 2) o a4 m dimensioni (err. G. P u ~ , w ~ n ~ I - G . S A ~ e x ~ [21], Teorema 1.4.2} e di fanzioni a valori in uno spazio ver i f icante ipotesi di separabil i t~ (err. N. D~OCLEA~U [13]), e h e l a N-funz ione M(r) verif iehi la 5~-eondizione.

Si ha, infatti, il seguente :

TEOREYI~ 1.3.3. - Se la ~-funzione M(r) verifica la 5~-condizione, per ogui funzionale lineare e contiauo F su Lzz(O, T; U) esiste uno ed un solo elemento v~ L~(O, T; U') tale che:

(1.3.11)

T

u, F 2> = f < u(t), v(t) > dt 0

~y~ U E LM(O, T; U)

ed inollre valgono le {1.3.5)-(1.3.8).

DI~OS~RAZlO~E. - Sia F u n funzionale l ineare e cont inuo su LM(O, T; U) e • la funzione, a valori in U', definita, ne l l ' ins ieme 2[0, r] delle part i misurabili di [0, T], ponendo per ogni E E~[0, rt:

.< ~c, ~(E) > - - < uE, F > ~ u E U,

dove uEm uE(t)~---u~((t; E), X(t; E) essendo la funzione carat ter is t ica del l ' insieme E. Che la • sia a valori in U' segue subito osservando che, per ogni EE ~lo, r], (I)(E) ~ un funz iona le su U ovviamente lineare, nonehi~ eont inuo poich~:

La (I) 5, ovviamente~ f in i tamente addit iva in ~[0, r]; si ha, inoltre, the per ogni ~ 0 esiste ~ > 0 tale ehe, per ogni E E ~[o, rl con m i s E < ~ , sisulta tt O(E) tlv"< e ; infatti , essendo :

1 < -, +(~) > 1<_ 11 F lt(~)" Ill uE IF: llL~ = II Ftt(Lg)" [I ~ l]~ I1 ~(" ; E ) I 1 ~

~ E e £Eo, r~, ~ u e U ,

294 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controIU lineari, ecc.

si ha

e qu ind i l ' a s se r to in virtfi del la propr ie th di assoluta cont inui th del la no rma di Orliez (cfr. M.A. KRASNOSEL'SKTI-Y. B. RUTICKH [19], § 10, n. 6). La r isul ta , allora, con rag ionamento abi tuale , n u m e r a b i l m e n t e addi t iva in ~[0. T]; essa ~ a l t res i nu l la sugli ins iemi di ~[o,r] di m i su ra nu l la ed b qu ind i asso- l u t amen te con t inua in £[o, r]. Proviamo, infin% che la (I)~ a var iazione f ini ta in £[o, r]t~); a tale scope basta (err. ad es. N. D~CULEA~U [14], § 4, Prop. 4) far vedere che • b a semi-variazione f ini ta in ~[0, Tl(S). Ques t ' u l t ima affer- mazione segue subito osservando che, assegnato c o m u n q u e E ~ ~o, r], per ogni decomposiz ione {Ei}i=z,z ..... . di E in un n u m e r o f ini te di par t i misurabi l i , due a due disgiunte, e per ogni famigl ia f ini ta {uih=~,~ ..... ~ di e lement i di U con [I u~ [Iv ~ 1, r i su l ta :

I y, < us, q)(E~) > 1 --= 1 y' < (u~)E~, /r > 1 =

P e r quanto p ro ra te , in virtfl di una general izzazione di un note t eo rema di Radon-Nikodym (cfr. C. BAIOCCHI [3], Teoremi 4.4 e 5.4), esiste v = v(t)E E L~(0, T; U') tale che:

; v(t)dt ~ EE £[o, r l . (b(E) a ]

Sia, poi, u(t) una funzione a valori in U, cos tante a t ra t t i in [0, T], as- sumen te i valori u~, u2, ..., u~ r i spe t t ivamente sugli ins iemi misurab i l i E~, E2, ..., Em cos t i tuent i u n a deeomposiz ione di [0, T], ta le ciob ehe :

u(l)-~ 'Z u~X(t; E~) q.o. in [0, T] ;

(7) Cio~ : v¢(E) = sup ~ I[ +(K~) [iv' < + ~ + E e ~[o, ~1,

i

l ' e s t r emo super iore essendo calcolato al var iare di IEi}i----~,2,...,n nel la elasse di tu t te le deeomposizioni di ~ in un numero f ini te di pa t t i misurabi l i , due a due clisgiunte.

(8) Cio~ : V¢(E) ----- sup t Z <u~, +(E, )> I < + ~ ~ ;¢ e £[o, rl,

i

l ' e s t r emo super iore essendo ealcolato al variare di IEil i=I, z,..., n nel la elasse di tut te le de. composizioni di E in un numero f ini te di par t i misurabi l i , due a due disgiunt% e al va r i a r e di {uili----~,2 ..... n ne l la classe di tut te le famigl ie f in i te di e lement i di U con t]uiI1u<<l.

G. PULVIRENTI - G. SANTAGAT[: Sulla teoria dei controlli lineari, ecc. 295

si ha, allora, tenendo anche presente un noto r isul tato sulle t rasformazioni l ineari chiuse (cfr. ad es. E. HILT.E-R. S. PmLLIPS [16], Theorem 3.7.t2):

m m f < u, F > = ~ < u~X(. ; Ed, F > = Z < u~, v(t)dt > = i=i i=l

E~

T

E i E i o

Quindi, per ogni u ~-- u(t), u(t) a valori in U, eostante a trat t i in [0, T], si ha:

(1.3.12)

T

< u, F > = f < u(t), v(l) > dr. o

Proviamo, era, che v ~ v(t)~ LN(O, T; U'), ciob, per la riflessivitit di U (err. ~)), ehe:

T

f o

< u(t), v(t) > d t < u ELM(O, T; U).

A tale seopo, osserviamo the se u =-- u(t) E LM(O, T; U), esiste (err. C. BAIOCOHI [2], Teorema 2.2) una successione {u,(/)} di funzioni a valori in U, costanti a tratt i in [0, T], ivi q.o. eonvergente ad u(t) e tale ehe:

(1.3.13) llu,~(t)l[v~Uu(t)[I~ q.o. in [0, T], n = 1, 2, ....

Risul tando, inoltre, la successione {I < u,(t), v ( t )> [} di funzioni misurabil i in [0, T] ivi q.o. eonvergente alla funzione 1 < u(t), v ( t ) > i, posto:

u,(t) ----- u,~(t) sign. < u,(t), v',t) > q.o. in [0, T],

per un teorema di~Fatou(°) nonch/~ per le (1.3.12) e (t.3.13) si ha che:

(9) Cio~ i l t e o r e m a : ¢ S e lfn(t)} b u n a s u c e e s s i o n e di f u n z i o n i m i s u r a b i l i n o n n e g a t i v e e o n v e r g e n t e q o. in [0~ T ] a l l a fUn z i o n e f(t) , si h a

T T

o o

296 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SulIa teoria dei controlli lineari, ecc.

T T T

f [ < u(t), v(t) > l dt ~_ sup f l < v(l) > l dt = sup f < 7~.(t), v(t) > dt = 0 O 0

= s~p < ~ , F > ~ s~ p [1 F I1 ( ~ ) ' 111 ~ l~ IILM ~ II F [I (LUg) ' [l U II~U~,

La (1.3.11) ~, cosl, acquisi ta per ogni u ~ u(t)ELM(O~ T; U), u(t) costante a tratt i in [0, T]; per il Teorema 1.2.3 essa ~, al]ora, va]ida per ogni u E E LM~O, T; U).

Assegnato il funzionale F, la v(t) ad esso corr ispondente ~ un ica ; infatti se, r isul tando :

T T

0 0

u E L~(O, T; U)

con vl, v~ E L~v(O, T; U'), fosse di misura posit iva l ' ins ieme G" --~ { t: t E [0, T], ]I vl(t) - - %(t)I]v" • 0 }, posto, usando, ancora, le stesse notazioni introdot te nella dimostra~ione del Teorema 1.1.2:

~-~(v~(t) - - v~(~)) (l v , ( t ) - %(t)l]v" q.o. in G"

Ov %0. in [0, T t - - G",

si avrebbe ~ ELM(O, T; U) e quindi

1 = f ll v#) - - v,(t)I]:'

T

0

< ~-'(v,(t) - v#)), v,(t) - - v,(t) > dt = f [1 ~,(t) - - v#)l lv,dt Gt*

eib ehe ~ assurdo. La validith delle (1.3.5)-(1.3.8) seguendo dal Teorema

in esame b dimostrato. 1.3.2, il teorema

OSSERVAZIO~E 1.3.1. - Dal teorema precedente segue che, se ]a N-funzione M(r)veri f ica la h~-condizione, gli spazi (LZZ(0, T; U))' e LiV(0, T; U') sono, per la (1.3.5), isomorfi a lgebr icamente e topologicamente; tale isomer- fismo non ~, in generale, una isometr ia (cfr. M.A. KI=tAS~OSEL'SKII-Y. B. RUTYCKII [19], § 14, n. 1). Lo stesso dicasi, in virtfi della (1.3.8), per gli spazi (L(M)(O, T; U))' e L(N)(O, T; U'). Dalle (1.3.6) e (1.3.7) segue, infine, che

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIIa teoria dei controtIi lineari, ecc. 297

vi 6 eongruenza tra gli spazi (LZ~(0, T; U))' e L(N)(0, T; U') noneh6 tra gli spazi (L(M)(O, T; U))'e LN(O, T; U').

Utile, pure, ei sar~ il seguente: TEOltE~tA 1.3.4 - Se la N-funzione M(r) soddisfa l'ipotesi (~), per ogni

funzionale lineare e continuo Z su LN(O, T; U') esiste uno ed un solo elemento u E LM(O, T; U) tale che :

T

(1.3.14) ~ v, Z > ----- I < u(t), v(t) ~ dt ~ v E LN~O, T; U') f .

0

ed inoltre si ha:

(1.3.15) tl z 11(4, )' -<If,, il~ ~ 2 Ii z lt(,~g,)',

(1.3.16) 1t Z [l(zg,)' -----1l u I1L~),

(1.3.i7)

(1.3.18)

iI z ll(~g,), = I1 ~, I1,.~,

1 II z I1(~>), _< ll u [1L~> <- ll z II(L~))'"

DIMOSTRAZIONE.- Poich6 la N-funzione M(r) soddisfa l ' ipotesi (:¢), la N-funzione N(s) verifica la h~-condizione; quindi, per il Teorema 1.33, esiste uno ed un solo elemento z E LM(O, T; U') tale ehe:

T

v, Z > ---- f < v(~), z(l) > dt 0

~7 t v E LN(O, T; U')

e si hanno le relazioni analoghe alle (1.3.5)-(1.3.8). Per la riflessivit~ di U, in corrispondenza di z esiste, allora, u E L-'~(0, T; U) tale che vale la. (1.3.14). La u 6, altresi, unica e si ha:

II ~ ]IL~M> = II ~+ I1L~> ;

quindi si hanno, pure, le (1.3.15)-(1.3.18).

0SSEnVAZIONE 1 .3 .2 . - Analogamente a quanto constatato nelFOsserva- zione 1.3.1, se la N-funzione M(r) soddisfa F ipotesi (a), risultano isomorfi algebricamente e topologicamente gli spazi (LN(O, T; U'))' e LM(O, T; U) non eh6 gli spazi (L(iV)(0, T; U'))' e L(M)(O, T; U). Risultano, inoltre, eongruenti

AnnaIi di Matematica ~8

298 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Su[[a teoria dei controlli lineari, ecc.

gli spazi (LN(O, T; U~)) ' e L(M)(O, T; U) noneh~ gli spazi (L(N)(O, T; U'))' e LM(O, T; Y),

Dai Teoremi 1.3.3, 1.3.4 e dall~0sservazione t.3.1 si ha, poi~ il seguente

TEOI~E~A 1.3.5. - Se la N-funzione M(r) verifica la A~-condizione e l'ipo. tesi (a), lo spazio LM(O, T; U) (nonch~ L(~)(0, T; U)) ~ riflessivo.

0SSERVAZIONE 1.3.3. - Esempi di /V-funzioni generant i spazi di Orlicz dei vari tipi da noi considerat i sono riportati , ad esempio, in :M. A. KnASNO- SEL'SKII-Y. B. RUTICKII [t9] ed in G. PUL~Ina~TI-G. SAN~,~GATI [21].

§ 2. - I1 p r o b l e m a d e l i a c o n t r o l l a b i l l t a .

2.1. - Traduzione del problema (P) in altri equivalenti.

Conformemente a quanto accade nella maggior parte delle applicazioni, noi considereremo controlli pe rmanen t i u(t) non necessar iamente cont inui e quindi r iguarderemo 1 ~ equazione (E) non in senso elassieo. Anzi, supposto che:

i) Esista l'operatore di evoluzione (o funzione di Green) assoeiato ad A, cio~ esista una funzione:

G:( t , z)--* G(t, ~)

definita per 0 ~ ": ~_ t ~ T, a valori nello spazio ~(X, X) degli operalori lineari e continui di X in s~, fortemente continua in (t, ~), forlemente assolulamente continua in t e tale ehe

G(t, ~)G(% ~) ~- G(t, ~) 0 ~ ~ ~ • ~ t ~ T,

G(t, t ) : I ~ ( x , x ) , O ~ t ~ T (I£(x,x) identiti~ di £(X, X)),

8G(t, ~) 8t ~ A(t)G(t, r.),

dove ~ denota la derivata forte e, per ogni • E [0, T], l" uguaglianza vale q.o.

in [~, T] (Io),

le ipotesi che noi faremo saranno atte ad assicurare, assegnati v E V e u E~ ,

(10) P e r condiziorti suff ic ient i che assicurano l ' i po t e s i i) err. T. KA'ro [17], J . K1SY2~SKI [J-8], ~E. T. POULSEN [20].

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIIa teoria dei controlli Iineari, ecc. 299

t'integrabilit/~ (secondo Bochner) per ogai t E [0, T] di G(t, z)B@)u(z), G(t, z)c(x) in [0, t] e diremo soluzione della (E), x(t, u, v), soddisfacente alla condizione iniziale ~(o, u, v)----v, la funzione definita in [0, T] a valori in X:

t t f *

(2.1.1) t ~ G(t, '~)o(~)d'g (11). ~ J I 1 "

o o

Denotate, allora, con Fr e Ar le applicazioni l ineari :

r~ : x - * G(T, 0)x,

T

u --~ j G(T, t)B(t)u(t)dt, AT o

t l

o

da X in se la prima e da ~ in X la seconda, la risolubilith del problema (P) b equivalente al verif icarsi della relazione:

T

O x ~ S : l l G(7, t)c(t)dt f - W -{-PTV~- Ar~3..~. (2.1.2) /

0

Se S ~ un insieme limitato e convesso, considerata la sua funzione supporto :

hs : ~' ~ hs@') = sup i < x, ~' > : x ~ S }, x' E X',

per il teorema di separazione in senso stretto (err. ad es. N. DUI~]~ORD-J. T. SCHWARTZ [15], Cap. V, n. 2, Theorem 10), si ha

(2.1.3) (OxE S) ¢~(hs(x') ~ 0 ~ ~' ~X').

Quindi, dalle (2.1.2) e (2.1.3), segue c h e s e S b anche ehiuso, la condizione

(2.1.4) hs(x') ~_ 0 ~ z' ~ x '

carat ter is t ica per la risolubitith det problema (P). La (2.1.4) /~ stata utilizzata come condizione di controllabilith in parecchi

lavori, net quali sono state poste delle ipotesi sui dati che assicurano la ehiusura dell' insieme S: per esempio considerando (cfr. H.A. AI~TOSIEWICZ [1],

(~i) ~ n o t e che, sot to o p p o r t u n e ipo tes i (cfr. ad es. i l a v o r i e i ta t i in (10)), l a (2.1.1) do t a t a di d e r i v a t a fo r t e e v e r i f i c a la (2~) %0. in [0, T].

300 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulta teoria dei controlli lineari, ecc.

R. C o ~ I [7], [8], [9], [10]) come insieme ~ una sfera dello spazio delle funzioni a w l o r i in U di p o t e n z a p (p > t) sommabile oppure (cfr. G. P17LVIREl~TI- G. SA~TA(~A~I [2I]) una sfera di uno spazio del tipo di 0rl icz di funzioni a valori in uno spazio euclideo ad m dimensioni . ~e l lo siesso ordine di idee consideriamo, ora, spazi del ripe di Orlicz di funzioni a valori in uno spazio di t t i lber t U, cio~ s tudiamo il caso ~ ~ L~U(0, T; U) (il caso ~ ~ LiM)(O, T; U) essendo per fe t tamente analogo).

2,2. - Aleune propr ie t~ delle applicazioni Pr e h r .

In aggiunta a l l ' ipotes i i), eonsider iamo le seguenti altre ipotesi sui daft:

ii) X sia uno spazio di Banach riflessivo,

iii) U sia uno spazio di Hilbert,

iv) B sia fortemente misurabile in [0, T] e tale che per l' applieazione:

I B 12(u, x) : t - ~ I] B(t)H2(v, x), t q.o. in [0, T]

risulti [ B [£(v, x) E LN(O, T),

v) si abbia c E D(O, T; X) ,

vi) V sia un sotloinsieme di X ehiuso, limitato e convesso,

vii) W sia un sottoinsieme di X chiuso, limilato e convesso.

Ci6 posto, cominciamo con l 'osservare che, se sono verif icate le ipotesi i), iii), iv) e v), come gi/~ accennato nel numero precedente, per ogni u6 E LM~O, T; U) e per ogni te l0 , T ] l e funzioni a valori in X:

(2.2,1) ~ eft, ~)B(~)u(~), ~: q.o. in [0, t]

(2.2.2) z - G(t, z)~(~), • q.o. in [0, t],

sono integrabil i (secondo Bochner) in [0, t]; invero, le applicazioni (2.2.1) e (2.2.2) sono for temente misurabi l i in [0, t](l~) e si ha:

fiG(6 ~:)B(~)u(x)!lx~ cost. t!B(~)il~(v,x)itu(~)Ilv, • q.o. in [0, t]

(i~) Infat~i, per la forte misurabi l i /h di B(t) ed u(t) in [0~ T], esistono duo sueeessioni IBn(t)l e tun(t)} di funzioni eostanti a t rat i i in [0, T] a valor i in ~(U~ X) e Uris .pet t ivamente convergent i q.o. in [0~ T], la pr ima verso B(t) e la seeonda verso u(t); si ha, inoltre, ehe

G. PULVIRENTI - Q. SANTAGATI: SulIa teoria dei controlli lineari, ecc. 301

][ G(t, z)c('c)[]x~ cost. I/c(~):Ix, z %0. in [0, t];

l ' a f f e rmaz ione fut ta segue, a l lora (cfr. E. HILLE-R. S. PHILLIPS [16], Theo rem 3.7.4), t enendo p reseu te che llB(~)II¢(~,x)Ilu(x)tlv r i su l ta sommabi le in [0, T]

essendo I B 12(~,x)E LN(O, T) e I u IrE LM(O, T) (Teorema 1.1:2 e M.A. KRAS=~O-

SEL'SKII-Y. B. RUTICKII [19], Theo rem 9.3). Si ha, inoltre, ovviamente che :

TEOREMA 2.2.1. - Se ~ verificata l'ipotesi i), l'applicazione lineare Pr, da X in s~, ~ fortemente continua.

Dal t eo rema p reeeden te segue (err. 57. BOURBAKI [6], Prop. 6, p. 103):

CO ROLLARIO 2.2 .1 . - Se ~ verificata l' ipotesi i) l' applicazione lineare Pr, da X in s~, ~ debolmente continua.

Proviamo, poi, il s eguen te :

TEORE)f& 2 . 2 . 2 . - Se sono verificate le ipotesi i), iii), iv), l'appticazione lineare At, da L~(O, T; U) in X, ~ fortemente continua.

DIY~OSTRAZIONE. - L ' a s s e r t o segue subiio dal fat to che la funzione a valori in X:

t ~ G(T, t)B(t)u(t), t q.o. in [0, T],

~, per quanto sopra osservato, in tegrabi le secondo B o c h n e r in [0, T] ed inol t re si ha (err. anche il T e o r e m a 1.1.3):

T

o

u E LM(O, T; U).

£ n a l o g a m e n t e al eorol lar io p r eceden te si ha :

COI~O~,LARIO 2.2.2. - Se sono verificate le ipotesi i), iii), iv), l'applicazione lineare At , da L~(O, T; U) in X, ~ debolmente continua.

{Bn(t)uu(t)f ~ una successione di funzioni a valori in X, eostanti a tratti in [0, T], e risulta:

[I B~(t)un(t)--B(t)u(t) ilx~ttBn(t) --B(t)II~(u, x)It u,(t)Iv-+ liB(t)[12< ~, x)ll u,(t) --u(t)liu q.o. in [0, T] ;

quindi B(t)u(t) ~ fortemente misurabile in [0, 2']. Analogamente segue che, per ogni t ~ [0, T], sono fortemente misurabili in [0~ t] G(t, z)B(~)u(~) e G(t, ~)c(~).

302 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIta teoria dei controlli tineari, ecc.

2.3. - Teoremi di eh iusura e di eontrollabilit '~.

Come osservato alia fine del n. 2.1 ci interessa stabilire dei teoremi di ch iusura per l ' ins ieme S (definito nella (2.1.2)). A tale scopo, per precisare 1' insieme e)~ ___ LM(O, T ; U), poniamo

'e(Lu(0, T; u'))', llv'II( g,)' e, > o},

~'(N),,~----- {V'' JE(L<N)(O/ T; U'))', [] vtO{r(N)]'~, ~ > O} ~U ' ]

e, supposto the la N-funzione M(r) verifichi l ' ipotesi (a) e det ta ~ 1' applicazione l ineare che (Osservazione 1.3.2) stabilisce isomorfismo algebrico e topologico tra L~(0, T; U) e (LN(0, T; U'))' e congruenza tra LM(0, T; U) e ( L(N)(O, T; U'))',

1~, ~ ----- ~-lY.'lv, ~.

Si hanno, allora, i seguent i teoremi:

T E O R E ~ 2.3.1. - Se sono verifieate le ipotesi i), ii), vi), l ' insieme FrV un sottoinsieme eonvesso e debolmenle compalto di X .

DI~OS~RAZIO~E.- Poich~ V /~ un sottoinsieme di X convesso e (forte. mente) chiuso, esso r isul ta (cfr. ad es. E. HILLE-R. S. PmLLIPS [16], Theorem 2.9.3) debolmente chiuso; d ' a l t ra parte V ~ l imitato ed X b riflessivo, quindi V ~ (efr. ad es. E. I-tILLE-R. S. PItILLIPS [16], Theorem 2.10.3) debolmente compatto. Essendo poi (Corolla.rio 2.2.1) t' applicazione rT debolmente continua, FrV i~ debolmente compatto. Risul tando FrV ovviamente convesso, l ' asser to

aequisito.

TEORE~A 2.3.2. - Se sono verificate le ipotesi i), iii), iv) e se inollre la N- funz ione M(r) soddisfa la h2-condizione e l 'ipotesi (a), l'insieme ArF, M, 0 un sottoinsieme convesso e debolmente compatto di X.

DDIOSTRAgIONE. - Poich~ lo spazio L~(0, T; U) /) (Teorema 1.3.5) riflessivo, la sfera ZM,~ r isul ta (cfr. ad es. E. HILLE-R. S. lPttILLIPS [16], Theorem 2.10.3) debolmente compatta. Essendo poi (Corollario 2.2.2) l 'applicazione hr debolmente continua, hrZM, e ~ debolmente compatto. La convessith di ATY, M,p i~ ovvia.

TEOnE~A 2 .3 .3 . - Se sono verifieate le ipotesi i), iii), iv) e se inoltre la N- funz ione M(r) soddisfa la h~-condizione e l 'ipotesi (~), l ' insieme ArIM, p un sottoinsieme convesso e debolmenle eompatto di X.

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulta teoria dei controlli lineari, ecc. 303

DI~OSTRAZIOHE. - La dimostrazione si eonsegue con ragionamento analogo a quello usato nella dimostrazione del teorema precedente, dope aver osser. r a t e ehe, r i sul tando Z'N,e un sot toinsieme di (LN(0, T; U'))' debolmente compatto e l 'appticazione ~-~ debotmente continua, l ' insieme IM, p b u n sot toinsieme debolmente compatto di LM(0, T; U).

Esaminato, cosl, nei Teoremi 2.3.2 e 2.3.3, il case in cui L~(O, T; U) ~3 riflessivo, vediamo, era, di dare qualehe risultato inerente a] case non rifles. sire. A tale scope cominciamo con l 'osservare che:

L~3~A 2.3.1. - Sia valida t'ipotesi iii) e siano M(r) e 31(r) due N-fun-

zioni, con 1~1(r) verificanle la 5~-condizione e l'ipolesi (o~), tali che esistano due costanti positive a ed re per eui risulti :

(2.3.1) ~Tl(r) ~ M(ar) ~ r _> re.

Allora ~I,c. e un sottoinsieme debolmente compatto di LM(O, T; U).

DIMOS~RAZlO~E. - Dalla (2.3.t), in virtfi del Teorema 1.1.4, segue che

L~(0, T; U ) C L~z(0, T; U)

e quindi ~'2u, p ~ un sot toinsieme l imitato (cfr. Teorema 1.1.5) di LM(O, T; U).

Esso ~ inoltre chiuso; infatti , detto v ELM(O, T; U) un sue punto di accumu. lazione, denot iamo con (u;~! una successione di punt i di ~M,,~ tale che:

l im 11 u ~ - - v t/LuM ----- 0 . k--~.-Oo

Risulta, allora (Teorema 1.1.3),

T

l im ~ u k ( t ) - -

o

v(t) ilrs 1 ~v(0I d~ = 0

per ogni w--w(l)ELlv(O, T )e tale che ~(w; N ) ~ I . Dunque la sueeessione I uk(l)} converge in media di ordine uno (13) e quindi (cfr. ad es. N. DITHFORD- J . T . SCHWARTZ [15], Theorem 6, p. 122) in misura in [0, T] a l lav( / ) ; per cui (cfr. ad es. E. t t lLLE-R. S. P m L H P s [16], Theorem 3.5.1) esiste una sueces. sione [u;~(t)l da essa estrat ta eonvergente q.o. in [0, T] a v(l). Avendosi, poi,

(i~) Infat t i , per la continuiti~ di N(s) o poich~ 5 ; (o )~0 , esistono funzioni w(t) cestanti in [0, T] per le quali o{w; N)< : : I .

304 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIla teoria dei controlli lineari, ecc.

per ogni n intero posit ivo:

r isul ta : T

f H (t)I!: ! n,(t) ! dt <_ o

~(w; N) ~< 1

e quindi , per un teorema di Fatou(~) :

T

o

~(w; N) ~ 1.

Da cib e da M.A. KI~ASI~OSEI?SI~II-Y. B. Ru~Icl~II [19], p. 7, formula (1.4), segue c h e v E L~(0, T; U); i n o l t r e s i ha [ l v I I L ~ e quindi vEF, M,~ cio~ ZM, p

chiuso. Essendo, poi, Y,~,e anehe convesso esso 6 pure un sot toinsieme de.

bolmente ehiuso di LM(0, T; U). Per la riflessiviti~ di LM(O, T; U), ~'M,p ~, quindi, un suo sot toinsieme debolmente compatto.

Proviamo, allora, il seguente

TEOI~E~rA 2.3.4. - Siano valide le ipotesi i), iii) e siano M(r) e ~7~1(r) due

5~funzioni, con iV(r) verificante la A2-condizione e l' ipolesi (a), tali che esistano due costanti positive a ed ro per le quali risulti valida la (2.3.1); inollre:

iv*) B sia fortemente misurabile in [0, T ] e lale the i B 12(rl, x)E LN(O, T).

Allora hrEM, p ~ un sotloinsieme convesso e debolmente compatto di X.

DI~OSTRAZlO~!E.- L ' asse r to segue dal fatto che l ' appl ieazione l ineare

At, da LM(0, T; U) in X, 6, per il Corollario 2.2.2, debolmente cont inua e

EM, e 6, per il L e m m a 2.3.1, un sot toinsieme di LM(0, T; U) debolmente compatto.

Poich6 la somma diret ta di un numero finito di insiemi, dello spazio di Banach riflessivo X, eonvessi, limi~ati e debolmente compat t i ~ un sottoinsieme di X convesso, l imitato e (debolmente chiuso e qu ind i )ch iuso , si hanno i seguenti r isul ta t i :

T~OI~EM~_ 2.3.5. - Siano M(r) e M(r) due N-funzioni, con t~l(r) verificante la 52-eondizione e l'ipotesi (o:), tall che esistano due oostanti positive a ed ro

('~) Ctr. (9).

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIIa teoria dei controIIi lineari, ecc. 305

per le quali risulti valida la (2.3.1); siano, inoltre, verificate le ipotesi i)-iii), iv*), v)-vii). Al lora l ' i n s i e m e :

T Se=l f G(T, t)e(t)dtl--W+FrV+ArY~M,p

0 un sottoinsieme chiuso, convesso e limitato di X.

COrtOLLAmO 2.3.1. - Se M (r) ~ una N-funzione soddisfacente la 5~-von. dizione e l' ipotesi (o~) e se sono verificate le ipotesi i)-vii), l' insieme Se ~ un sottoinsieme chiuso, convesso e limitato di X.

TEOREMA 2.3.6. - Se M(r) ~ una N-funzione soddisfacente la h~-condizione e l'ipotesi (~) e se sono verificale le ipolesi i)-vii), l 'insieme:

T

t f loI ,d I_ o

V + ArI~ , p

un sottoinsieme chiuso, convesso e limitato di X.

Inf ine , per quan to osservato nel n. 2.1, si hanno al lora i seguenf i t eoremi di controllabilit/~ :

TEOREM& 2.3.7. - Siano M(r) e ~I(r) due N-funzioni , con ~l(r) verificante la h2-condizione e t' ipotesi (~), tali che esistano due coslanli positive a ed ro per le quali risulti valida la (2.3.1); siano, inoltre, verificaie le ipotesi i)-iii), iv*), v)-vii). Condizione neeessaria e sufficiente per la controllabilil~t in EM,~ X V

the si abbia:

(2.3.2) hs/x') ~ 0 ~ ~' E X '.

COROLLARIO 2.3.2. - Se M(r) ~ una 5~[unzione soddisfacenle la h~-condi. zione e l'ipolesi (c¢) e se sono verificate le ipolesi i)-vii), condizione necessaria e sufficiente per !a controllabilit~ in E~,p X V ~ che sia valida la (2.3.2).

TEORE~A 2.3.8. - Se M(r) ~ una N-funzione soddisfacente la h2-eondizione e l'ipotesi (~) e se sono verificate le ipolesi i)-vii), condizione neeessaria e sufficiente per la controllabilit~ in IM,; X V ~ che si abbia:

(2.3.3) hs,/X') ~ 0 ~ x' E X ' .

OSSERVAZlO~E 2 . 3 . 1 . - Se M(r) e M(r) sono due N-funz ioni , con M(r) ve r i f i can te la 5z-condizione e l ' ipotes i (~), tall che esis tano duo costant i po-

Annali di Matematica ~9


sitive a ed ro per le quali risulti valida la (2.3.1), l ' ipotesi iv*) sulla B 6, in generale, pifi forte della iv); tale restrizione pub essere evitata ad esempio nel easo in eui U ed X sono spazi euelidei, facendo uso di un noto teorema di L. h laoglu (err. G. PULVlRE~I-G. S~S~AGA~I [21], Teorema 2.4.1).

2.4. - Funzioni supporto di hr~M,~ e ArlM~; eonseguenti teoremi di controllabilitY.

Osservato the :

hs/x/) = h r (x') + h_w(X/) + hrrT(x' ) + hArz~_e(x') 1 ]s(r, t)e(t)at } 0

hs,/~,') = h r (~') + h-w(X,') + hrTV(W') + hArI~,/$') {](~(r, ~)o¢0~t} 0

~v t ~' E X '

X' E X ',

allo scopo di pervenire a condizioni di controllabilit~t mediante la norma di B'G'x/--B'(t)G'(T, t)w', dove B ' e G' sono gli operatori coniugati di B e G rispettivamente, diamo delle espressioni esplicite o delle valutazioni di:

T

harXM, p ( ~ , ' ) - - ' s u p { ~ f G(T, t)B(t)u(t)dt, w ' > ' u E Z M , e t = 0

T

o

T

0

T

=supif < u(t), B'(t)G'(T, t ) ~ ' > d t ' u EIM, p 1 o

Dimostriamo, allora, i seguenti r isultati :

TEOREMA 2.4.1. - Siano M(r) e M(r) due N-funzioni verificanti l'ipotesi (~), con ~l(r) soddisfacente la A2-condizione, e tall che esistano due costanti positive a ed ro per le quali risulti valida la (2.3.1); siano, inoltre, verificate le ipotesi i), iii), iv*). Si ha allora:

(2.4.1) hArzM,/a~') = ~ I1B' G'~K ]I~N) ~ ~c' E X'. ' !~.,i ~ ? t

G. PULVIRENTI - G, SANTAGATI: SuIIa teoria dei controlli Iineari, ecc. 307

DIMOSTR&ZIOIqE.- Pe.r il Teorema 2.3.4 l ' i n s i e m e AT~.M,~ i~ un sottoinsieme chiuso, convesso e limitato di X; esso b inoltre simmetrico rispetto all 'origine. In virtfi dell 'Osservazione 1.3.2, lo spazio LM(O, T; U) b congruente allo spazio (L(X)(0, T; U'))'; dcnotato con v' l 'Memento corrispondente a4 u~LM(O, T; U) in tale congruenza, poniamo:

N

Arv' = ATu;

si b, cosl, definita una applicazione l ineare e continua Ar da (L(N)(O, T; U'))' in X per la quale si ha :

T

- S (2.4.2) < Arv', ~' > ---- < u(t), B'(t)G'(T, t)~' 2> dt 0

nonch~

Conseguentemente :

~t V'E (L(N)(O, T; U')) ' , ~ t ~ ' E X '

ArZ~, ~ ~ hrZ'(lv), p.

(2.4.3) h~,~(x') = hX~,(N),~(x') = ~ sup/] < ~ ' , ~' > i "11 v' II(~,)' ~ 1 t.

Posto, par ogni x' E X ' :

(2.4.4) N * V r Gx,(v') ----- < h r v , a~' ~ ~ E (LCv)(O, T ; U'))',

tenendo presente la (2.4.2) e risultando B'G'~'EL(N)(O, T; U')(I~), si ha che v'--.-G~,(v') ~ u n funzionale l ineare e confinuo su (L(lv)(0, T; U'))' e precisamente (Teorema 1.3.4) G~, E (L(N)(O, T ; U'))"o (~8) nonchb :

(2.4.5)

L'asser to segue, allora, dalle (2.4.3), (2.4.4) e (2.4.5). Dal teorema precedente e dalla (1.1.14) segue:

(15) ]~ facile, infatt i , ve r i f i ea re ehe B'(t)G'(T, t)x' ~ una funzione a ~¢alori in U r forte. mente misurabi le in [0, T] e che si h~ [B'G'x' ]U" e L(N)(O, T).

(16) Se X ~ uno spazio di ]3anach, l ' e sp ress ione < y , y' >~ fissato y in )% dK~ al va r i a re di y' in X% un fanz ionale l ineare e con t inuo su X' Mob un elemento y'J ~ X" per cui si ha

(.) <y' , y">__~<y, y ' > Y y ' e X ' .

L a var ie t~ l ineare degl i e lement i di X" ver i f icant i la (.) risulta, come ~ not% congruente a X e v iene , abi tualmente , denota ta con X0".

308 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATt: SulIa teoria dei controlli litzeari, ecc.

TEOREMA 2.4.2. - Siano M (r) e l~ (r) due N-funzioni verificanti l' ipotesi

(~), con l~l(r) soddisfacente la A~-condizione, e tali che esistano due eostanti positive a ed ro per le ffuali risulti valida la (2.3.1). Siano, inoltre, verificate le ipotesi i), iii), iv*). Si ha allora :

(2.4.6) t

Si ha, ovviamente , ino l t re :

CO]~OLLARIO 2.4.1. - Se sono verifieate le ipotesi i), iii), iv) e se inoltre la N-funzione M(r) verifica la 5~-condizione e l'ipolesi (~), si ha la (2.4.1).

COROLLA~IO 2.4.2. - Se sono verifieate le ipotesi i), iii), iv) e se inoltre la N-fu~zione M (r) verifiea ta A2-eondizione e t'ipotesi (a), si ha la (2.4.6).

Con p roced imento analogo a quello seguito nel la d imost raz ione del Teo- rema, 2.4,1, in virtfi del Teo rema 2.3.3 e de l l ' 0 s se rvaz ione 1.3.2, r i su l t ando

i n o l t r e h r I ~ , ~ = ArZ'lv, p si ha il s eguen te :

TEOnEMA 2 . 4 . 3 . - Se sono verificate le ipotesi i), iii), iv) e se inottre la N-funzione M (r) soddisfa la 52-condizione e 1 ~ ipotesi (~), si ha:

Si hanno, al lora, le seguent i condizioni di controllabilit~t:

TEO:aEM~ 2.4.4. - Siano M(rj e l~l(r) due N- funz ioni verificanli l'ipotesi

(~), con ll/~l(r) soddisfacente la 52-condizione, e tall che esistano due costanti posilive a ed ro per le quali risulti valida la (2.3.1); siano inoltre verificale le ipotesi i)-iii), iv*), v)-vii). Condizione necessaria e sufficiente per la controlla. bilit(~, in )3M, e X V ~ ehe si abbia:

T

(2.4.7) f < G(T, t)c(t), m'> dl + h-~v(m') + hrru(x')+ ~ [IB'G'x'[]L~,; ~N) > 0 ~ x 'EX' . o

COI~OLLAI~IO 2,4.3. - Se M(r) ~ una N-funzione soddisfacente la A2-condizione e l'ipotesi (~) e se sono verificate le ipotesi i)-vii), condizione necessaria e sufficiente per ta controllabitit& in v =M,e X V ~ the sia valida la (2.4.7).

TEOn:~A 2.4.5. - Siano M(r) e ~l(r) due i¥-funzioni verificanti l'ipotesi

(o:), con ill(r) soddisfacente la h~-condizione, e tali che esistano due costanti positive a ed ro per le guali risulli valida la (2.3.1); siano inoltre verificate

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli lineari, ecc. 309

le ipotesi i)-iii), iv*), v)-vii). Allora la relazione:

T

(2.4.8) ( < G(T, t)c(t), x' > dt ~- h_w(X') + hvrv(X') ~- ~ 1] B' G'm' Ilr~, ~ 0 ~ x; E X '

condizione necessaria per la conlrollabilit~ in ZM, e X V, mentre la relazione:

T

(2.4.9) f < G(T, t)c(t), x / > dt + h_w(X/)+ hv~v(X')~-~,, B'G'$'~,Lv'N,~O ~ x'E X ' o

ne ~ condizione sufficiente.

COROLI,A~IO 2.4.4. - Se M(r) ~ una N- funz ione soddisfacente la ha-condizione e l 'ipotesi (:~) e se svno verificate le ipotesi i)-vii), la (2.4.8) ~ condizione necessaria e la (2.4.9) condizione sufficienle per la conlrollabilit& in EM,~ X V.

TEOnEMA 2 .4 .6 . - Se M(r) ~ una N- funz ione soddisfacente la A~-condi. zione e l' ipotesi (~) e se sono verificate le ipotesi i)-vii), condizione necessaria e sufficiente per la controllabilit& in I~. p X V ~che si abbia:

T

f < G(T, t)c(t), x' > d t + h_w (x') + hv~v(X') + p t] B' e' x' {IL~, ~ 0__ ~4 ~' ~ X'. o

§ 3. - A l c u n i p r o b l e m i d i o t t i m i z z a z i o n e .

3.1. - II problema del tempo minimo.

In questo numero e nei suecessivi vengono studiati alcuni problemi di ottimizzazione: precisamente sono acquisiti teoremi di esistenza di controllo ottimo e relativi principi di massimo; le tecniche usate si ispirano sostan- zialmente a R. COI~TI [10], [11], [12] e a G. PULVIRENTI-G. SANTAGATI [2[].

Cominciamo, qui, col t rat tare il problema del tempo minimo. Se t G[O, T], diciamo che il Problema (Pt) ha soluzione (% v) (il sistema :materiale ~ con- trollabile at tempo t) in ~ X V se esistono u E ~ , v E V in modo ehe si abbia x(t, u, v)E W. Il problema del tempo minimo eonsiste nel vedere se, nel easo

ehe il problema (Pt) abbia soluzione per~qualehe t E ]0, T] e detto t l ' es t remo

inferiore di tali t, il problema (Pt-) ha soluzione (u, v); in easo affermativo,

la te rna (t, u, v) dieesi soluzione del problema del tempo minimo. Supponiamo e h e l a i~ funz ione M(r) verifichi l ' ipotesi (a) e che siano

310 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SuIla teoria dei controlli lineari, eee.

valide le ipotesi i), iii)-v); per ogni t E [0, T], introdotte le applicazioni l ineari :

t x G( t , 0)x, x E X,

poniamo :

t

At " u ~ ~ G(t, z)B(~,)u(z)d'~, 0

~ E LM(O, T; U),

Se, t---{ ( G(t , z)e(z)dz f - W-~ PtV-~ htZM, e, 0

t

st = 1 f G(t, z)e(z)& I W + Ft V -~- AtlM, ? ? , t ~ •

o

Poich~ l ' ins ieme delle restrizioni a [0, t] delle u(t) di Y'M,p coincide con la sfera di centre For ig ine e raggio ~ dello spazio LZ1(0, t; U) e l ' i n s i eme delle restrizioni a [0, t] delle u(t) di I~vi, e coincide con t ' immag ine inversa in LM(O~ l; U) (nello stesso sense del n. 2.3) della sfera con centre l 'o r ig ine e raggio ~ dello spazio (LN(0, t; U'))', per gli insiemi AtEM,~ e At][M ~ valgono teoremi analoghi ai Teoremi 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4; in def ini t iva si ha :

TEOREIVI± 3.1.1. - Siano M(r) e 1~1(r) due N-funzioni, con M(r) verificante la h2-condizione e l'ipotesi (o:), tall che esistano due costanti positive a ed re per le quali risulti valida la (2.3.1); siano, inoltre, verificate le ipotesi i)-iii), iv*), v)-vii). Atlora, per ogni rE[0, T], l 'insieme S>t ~ un sottoinsieme chiuso, convesso e limitato di X.

CO:aOLLARIO 3.1.l - Se M(r) 0 una N-funzione soddisfacenle la 5z-vondi- zione e l' ipotesi (c¢) e se sono verifieale le ipotesi i)-vii), per ogni t E [0, T], l 'insieme So,t ~ un sottoinsieme chiuso, eonvesso e limitato di X.

TEOREMA 3 . 1 . 2 . - Se M(r) ~ una N-funzion.e soddisfaeente la 52-eondizione e l'ipotesi (~) e se sono verificate le ipotesi i)-vii), per ogni t E [0, T], l 'insieme S'p,t ~ un sottoinsieme ehiuso, convesso e limitato di X.

Posto, allora : t

(3.1.1) h(t, m') ~ hs~.t(x') --- I * ]

0

+ s u p { < G(t, O)v, x / > "rE V, + s u p t ; / . d

0

< G(t, z)c(z), x' > d~ -4- sup { < - - re, x' > :w E W1 -t-

t

G(l, "c)B(~)u(z), x' > d~" UEZM,~ I <

<¢ (t, x')~ [0, T] × X'

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controtli lineari, ecc. 3 t l

e

t

(3.1.2) h'(t, x') ----- hs,p,t(x') ---- I < G(t~ ~)c(:), x/ > d'c "-k sup {< - - w, x'> " wE W] + o

t

+sup G(t, O)v, x ' > - v e + sup l f < G(t, ~)/~(~)~(~), x' > d'c " u E lM, I o

(t, x')E [0, T] X X',

s i h a :

LEMMA 3.1.1. - Se sono verificate le ipotesi del Teorema 3.1.1 e la N - f u n . zione M(r) verifica l 'ipotesi (~) (in particotare le ipotesi del Corollario 3.1.1) [risp. le ipotesi del Teorema 3.1.2], ogni termine della somma (3.1.1) [risp. (3.1.2)] che definisce la funzione h [risp. la funzione h'] gode delle seguenti proprietY:

a) per ogni t E [0, T] ~ una funzione posit ivamente omogenea e convessa in X ' nonch~ l imitata per []x'[1x, < 1 e quindi continua in X ' ;

b) per ogni t E [0, T] @ una funzione di x/ debolmente semicontinua in- feriormenle in X ' ;

e) per ogni x 'E X ' @ una funzione continua in [0, T] uniformemente rispetto ad ~' in ogni sottoinsieme limitato di X ' .

D I M O S T R A Z I O I q E . - La a ) s e g u e subito da una immediata verifiea e da N. BOIIRBA~:I [5], Prop. 2, p. 92.

La b) segue dalla a), da un teorema di Roekafellar(~) e da E. HILLE- R.S. I~I=[ILLIPS [16] Theorem 2.9.3.

La c), infine, si consegue con ragionamento analogo a quello usato in G. PULVlREN~I-G. SAN~AGATI [21]. n. 3.1, tenendo presente la uniforme continuit/~ (e quindi la limitatezza) della G per 0 ~ x ~ t ~ T, la limitatezza di V e di EM, p [risp. di I~,p(~s)] e l 'assoluta continuita della, norma di Orlicz.

Per i Teoremi 3.1.1, 3.1.2, 2.3.7, 2.3.8 e per il Lemma 3.1.1 si ha, con proeedimento abituale (efr. R. Co5¢I [10], G. PULVlI~EN~I-G. SANT_~GAWI [21]), il seguente teorema di esistenza:

(i7) Tale t e o r e m a di I~.T. Rockafe l l a r , la eui d imos t raz ione pub t r o v a r s i ad esempio in E . I:~. I~OTHE [~9.], ~ i l seguen t e :

S ia I u n so t to ins ieme non vuot% aper to e convesso di uno spazio l i nea re topologico di t I a u s d o r f f H dotato di una topologia ~ ; . sia f una funz ione de f in i t a e conves sa in 1 e l im i t a t a in u a so t to ins ieme aper to non vuo to di I ; sia ~ u n ' a l t r a tOlOOlogia di H tale che p e r ogn i so t to ins ieme convesso di H la ~ - c h i u s u r a co inc ida con ]a ~ i - c h i u s u r a Al lo ra f b s e m i c o n t i n u a i n f e r i o r m e n t e in I ne l l a topologia ~7~ ~).

(is) Si h a i n f a t t i : EM, p ~ IM, p C: EM, 2p.


TEORE)~A 3.1.3. - Se sono verificate le ipotesi del Teorema 3.1.1 e la N - funzione M(r) verifiea l 'ipotesi (:¢) (in particolare le ipotesi del Corollario 3.1.1) [risp. le ipotesi del Teorema 3.1.2] e s e i l problema (Pt) ~ risolubile in E~,p X V [risp. in IM, e X V] per qualche I E [O, T], allora l ' insieme dei suddett i t ~ do. taro di minimo.

Denotata, poi, con II(B'G'x')-t-ttL~t [risp. lt(B'G'~c')~-Itz("~-]u,t, la norma del punto

(B'G'x')i dello spazio LN(O," -[; U') [risp. L~N/(0, t ; U')] individuato dalla appli-

cazione t ~ B'(t)G'(t, t)x' da [0, t] in U', proviamo il seguente principio di massimo :

TEOR~fA 3 . 1 . 4 . - Siano verificate le ipotesi del Teorema 3.1.1 e la N - funzione M(r) verifichi l' ipotesi (~) (in particolare le ipolesi del Corollario 3.1.1) [risp. le ilJotesi del Teorema 3.1.2]; se (t, u, v) ~ soluzio~e del problema del

tempo minimo con (~-t, v)EEM,~ X V [risp. (u, v)EIM,~ }( V], [ > O, e se ~ veri. ficata una delle seguenti condizioni :

C~) X sia di dimensione f inita ;

C~) l 'applicazione At sia ~su>> X per ogni t ~[0, t];

C~) V abbia un punto inlerno v ° e l 'applieazione Ft sia ~su>> X per

ogni t e [0, t];

C~) W abbia un punto interno wo;

allora esiste X'o ~ X' , ~C'o ~ Ox, , tale ehe:

(3.1.3) <x ( t , ~t, v), - - x ' o > : s u p t < w , m O C ' o > . w E W i ,

(3.1.4) < ~, G'~, 0)x'o > ---- s u p ! < v, G'~, 0)X'o > " v E V } ,

(3.1.5) f < B(z)u(x), G'(t, x) ~'o > dx = ~ II (B' G'~'o)i- IIL(u~) T 0

?-

[risp. (3.1.5')f < B(~)~(z), O'), ~)x'0 > dx=~[l(B'G'~v'o)Fl'LNv,,]]. o

DI~IOSTRAZlO~E. - Dimostr iamo il teorema nel caso in cui (u, v) E EM, ~ X V la d imostrazione de l l ' a l t ro caso essendo perfe~tamente analoga (19).

(19} Avvertenze del genere saranno omess% nel seguito, in casi analoghi.

O. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sutta teoria dei controlli Iineari, ecc. 313

Cominciamo col provare che~ nelle ipotesi poste, esiste x' o E X', w' o 4= Ox,, tale ehe :

(3.1.6) h(~ x'o)----0.

Sia {tkl una suecessione di e lement i di [0, 7[ convergente a t ; per ogni t~ esiste (Teorema 2.3.7) x'k C X ' , x'~ ~ Oz, , tale ehe:

(3.1.7) h(&, x/k) < O.

Se 6 valida l ' ipotesi G), la (3.1.6) segue dalla (3.1.7) in virtfi delle a) e 8) L e m m a 3.1.1, con lo stesso ragionamento usato nel caso analogo in R. CoNTr [10].

Sia valida l ' ipotes i C2); allora (err. N. DUNFORD-J. T. SOHWAR~Z [15], p. 513 e E. HILLE-R. S. PHILLIPS [16] Theorem 2.11.6) esiste m > 0 tale che, per ogni m'E X', si ha:

A"-aY '"11 ~ ' l>-<t ] ' ll(Ly, T )'

(dove A'- 1' t 6 operatore conjugate di A?) e quindi (err. (*~) e Teorema 1.3.2):

, ,~ [1 m' llx, --< ~ LI (B '¢x ' ) r IpG{) ~ = sup < eli , ~)B(.c)u(~), x' > & " u ~ y,=, p . o

Cosicch G per ogni intero positivo k, r isul ta:

(3.1.8)

i-

0

Potendosi p rendere oc'~, per la a) del L e m m a 3.1.1, in guisa tale ehe:

(3.1.9) 0

si ha, allora, dalle (3.1.8) e (3.1.9):

1 Il x'z~ llx, ~ - - , k = 1, 2, . . . .

m~

1 Essendo X rif[essivo, la sfera []~'[[x, ~ - - 6 (err. E. HILr~E-R. S. PaILLIPs

mp [16], Theorem 2.10.3) debolmente eompatta, per tanto si put) supporre ehe la

AnnaU di Matematica 4o

314 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SulIa teoria dei controIli lineari, ecc.

sueeessione {a~'~} oonverga debolmente ad an punto x 'o~X' . Si ha allora:

i ~ ~-

o o

e quindi :

(3.1.10) s u p l f < G([, ~)B(z)u(x), X'o> d z ' u E E a I . ~ I ~ 1.

o

Posto :

(3.1.1~) ~(t, ~ ' )= s u p i < - - w , x ' > w E W i + s u p { < G ( t , O ) v , z ' > ' v E V } + t

+ f < G(t, ~)c(z), x' > d: ~- (t, x') E [0, T] X X', o

la (3.1.7) d iventa :

tk

(3.1.12) 1 +[sup{f< G(~k, ~)B(z)u(~), Wrk>dz 'UEZM, p l - -1]+8( t~: , ~ t k ) ~ O .

0

D' altra parte, r i su l tando:

~(t~, ~ ' ~ ) - ~(~, ~'o)----~(tk, x ' ~ ) - ~(t, ~',~)+ ~(~, x ' k ) - ~(~, ~'o), k----1, 2, ...,

per le b ) e c ) d e l L e m m a 3.1.1, per ogni ~ > 0 esiste un intero positivo v tale ehe:

per la (3.1.12) si ha al lora:

t k

1 + ~(t, x'o) < 1 - - sup < G(t~, ~)B(~)u(z), ~'~ :> d~" u E Y,•, ~ + o

~ k ~ v

e quindi , per la c) del L e m m a 3.1.1 e la (3.1.9):

ciob

1 - - s u p

I + ~(/, X'o) ~ o

F

{S > o,o o o

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATt: Sulla teoria dei controlti Iineari, ecc. 315

da eui, per la (3.1.10):

Risultando inoltre :

h([, X'o) ~ 0.

h(~ ' 0 ~' ~ ) : ~ V EX',

si ha la (3.1.6) (essendo $'o ~ Ox, in quanto

o

Se b valida 1' ipotesi Ca) o 1' ipotesi C4) 1' esistenza di x'o E X' con W'o ~ Ox, verifieante la (3.1.6)si dimostra in mode analogo al case preeedente sostituendo il ruolo della funzione 8 definita mediante la (3.1.11), rispettivamente, con quello delle funzioni ~1, 82 definite da:

t

81(t, ~') --~ sup t < - - w, x,' > " w E Wt T / < G(t, z)c(z), x /> dz 0

t

- k < G ( t , O)v 0, x ' > - b sup l f < G(t, ~:)B(T)u(~), x ' > d . : ' U E E M , p 1 o

V (t, ~')~ [o, ~1 x x '

t

82(t, o~') ~-- f < G(t, ~)c(z), w' > dz -b < -- w e, w' > -b sup [ < G(t, O)v, ~' > " v E V } --k o

t

+suplf < G(t, ~)B(-c)u(~), ~' > d': " u E ~.M, e 1 o

V (t, ~')e [o, T] × X'.

Aequisita, eosi, la (3.1.6), le relazioni (3.1.3), (3.1.4) e (3.1.5) seguono, allora, del la (3.1.1), dalla relazione

< x(t, u, v), - - ~'o > + < ~, G'(~, 0)~'o > +

-~- f .~ B(':)u(:), G'(-[, z)X.'o > dx ~ f <: G(t, x)o(':), x'o ~ dx --~ 0 o o

e dal Teorema 2.4.1.

316 G. PULVIRENTI = G. SANTAGATI: Sutla teoria dei controtli lineari, ecc.

3.2. - I l problema delia minima distanza iniziale,

Assegnato an punto Vo E X e t ' ins ieme W, il problema della min ima di- s tanza iniziale consiste nel vedere se, sotto l ' ipotesi che vi sia qualche insieme V per cui il problema (P) (relativo a V e W) abbia soluzione, esistono

~i Ee~ e v E X tall c h e l a distanza di v da vo sia minima. Equivalentemente, posto, per ogni z ~ 0 , V ~ = i%!--}-<;X~, X1 sfera unitaria di X, si trat ta di

indagare sull' esistenza del minimo c; dei ~ per eui il problema (P) con V----V~

risolubile; l ' eventuale teraa (~, u, v) dicesi so]uzione del problema della minima distanza iniziale.

Analogamente a quanto osservato per la dimostrazione del Teorema 3.t.3, con lo stesso procedimento usato in R,. C o ~ I [10], [12], in virtfi dei Teoremi 2.3.5-2.3.8~ si ha il seguente teorema di esistenza;

TEOREMA 3.2.l. - Se sono verifi~ate le ipotesi del Teorema 2.3.5 (in particolare le ipotesi del Corollario 2.3.1) [risp. le ipotesi del Teorema 2.3.6J ad esclusione della vi) e s e i l problema (P) ha soluzione per qualche coppia di insiemi V e ~ il problema della m i n i m a distanza iniziale ammetle soluzione in E~,p X V [risp. in IM,~ X V] per ogni roe X.

Proviamo, ora, il seguente principio di massi,mo:

TEOREMA 3.2.2. - La N- funz ione M(r) soddisfi l 'ipotesi (~) e siano verifi- care le ipotesi del Teorema 2.3.5 (in parlicolare siano valide le ipolesi del Corollario 2.3.1) [risp. siano valide le ipotesi del Teorema 2.3.6] ad esclusione della vi); l' applicazione Fr sia <( su >> X (in particolare sia X di dimensio~e finila).

Se (~, u, v) ~ soluzione del problema della min ima distanza iniziale con u E ZM,

[risp. U 6 IM, p]~ ~ > O, allora esiste x/oE X', con X'o ~ Ox, , tale che:

(3.2.1) <~v(T, ~, v), - - x'o > ----- sup {< w, -- x/o > " w6 W}

(3.2.2) < v - - Vo, G'(T, O)x'o > : ~ [[ G'(T, 0)X'o I[x'

T f ~

j < B(t)~(t), G'(T, t)X'o > dt : p [] B'G'x'o IlL,N) (3.2.3)

0

T

0

DINOSTR~k~IONE. - Oonsideriamo, per ogni ~ ~ 0, l ' ins ieme

T \

l)

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli lineari, ecc. 317

la cui ftlnzione supporto ~ data da

T

(3.2.4) h(~, x') -~ hso.(X' = f < G(T, t)c(t), x' > dt o

+ < G(T, O)v0, x ' > + s u p { < - - w , ~ ' > ' w E W i + ~ [ I G ' ( T , O)x'[Ix,- ~ T

+ s u p l f < G(T, t)B(t)a(t), w ' > d t ' ~ E E a, p I ~ w ' E X ' o

e poniamo :

(5.2.5) ~(x')---- f < G(T, t)c(t), x' > d t + < G(T, O)~o, x' > -~ 0

T

+ s u p { < - - w , x' > " w E W} -~ sup l f < G(T , t)B(t)u(t), x' > dt " uE ZM, e l 0

~ x ' E X ' .

Sia {a~} u n a s u c c e s s i o n e n u m e r i e a t a l e c h e O < v a < ~ , lira ~a-----¢~ e sia {x'~l k ~ o ~

una successione di elementi di X', distinti da Ox,, per cui:

(3.2.6) h ( ~ , x'~) < 0, k ~ 1, 2, ....

Poichb l 'applicazione Fr ~ <~ su>> X, esiste m > 0 tale che:

m II ~v' {Ix" ~ I1 G'(T, O)x' l]x" ~ x'E X ' ;

si pub, quindi, supporre che [I G'(T, O)x'k [Ix" = 1, k = 1, 2, ..., e risulta

1 k ---~- t, 2, ....

Per la rifiessivit~t di X possiamo supporre e h e l a suecessione {x'k} eonverga debolmente ad un punto w'oEX'; si ha quindi:

lim G'(T, O)x'k = G'(T, 0)~'o nella topologia debole di X'

ed allora (err. ad es. N. DU~FORD-J. T. SCttwAR~z [15], p. 68)

1t o'(T, o) 'ollx, lira' il G'(T, O)x' Ilx"

318 G. PULVIRENTI - Cy. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli Iineari, ecc.

da cui :

(3.2.7) II G'(T, O)x'o tli" ~ 1.

Per la b) del Lemma 3.1.1, la fuuzione ~ definita dalla (3.2.5) 6 debolmente semicontinua infer iormente in X ' ; quindi, per ogni e > 0 esiste un intero positivo v tale ehe

(3.2.8) h(<~,~'k)~[(~-~(X'o)]-{-(~)-{-[~(x '~)- ~ ( x / o ) ~ + ~ ( x ' o ) - - ~ ~ k ~ _ v.

Datle (3.2.8) e (3.2.6) segue allora:

F: + o

o eib ehe ~ lo stesso, per le (3.2.4) e (3.2.5):

-II G'(T, 0) 'o II ') + 0.

In virtfi della (3.2.7) e r isultando h(J, ~'o)~--.0, si ha:

(3.2.9) h(~, X'o) ~-- 0

e quindi [[ G'(T, O)x'ollx,----1, per eui X'o ~ (gx,. Le (3.2.1)-(3.2.3) seguono, al. lora, dalla (3.2.9), dalla (2.1.1) e dal Teorema 2.4.1.

3.3. - Ii problema della min ima dis tanza finale.

Simmetr icamente al problema della minima distanza iniziale, assegnato wo E X, it problema della minima distanza finale consiste nel vedere se esistono

u E ~ e vE V t a l i che il punto x(T, u, v) abbia distanza minima da wo. Equivalentemente, considerato, per ogni e ~ 0 , il problema (P) con W ~

{Wo}-{-~XI, si tratta di indagare sul l 'esis tenza del minimo e del l ' ins ieme numerieo degli s per cui il problema (P) con W~---{Wo}+ ~X1 ~ risolubile;

se tale minimo esiste, detta (~, v) una soluzione del problema (P) con W ~

two} + ~ X I , la terna (e, u, v) dieesi soluzione del problema della minima dis~anza finale.

In virtfi dei Teoremi 2.3.5-2.3.8, 2.4.1, 2.4.3 e del Lemma 3.1.1, con pro- cedimenti analoghi a quelli usati nel numero preeedente sostituendo, in particolare~ il ruolo della funzione ~ definita mediante la (3.2.5) con quello della

G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: Sulla teoria dei controlli Iineari, ecc. 319

fun~ione ~ def ini ta da

T

~(oc') ~ t < G(T, t)c(t), ~' > d t --k < - - wo, x' > q-- sup {< G(T, O)v, ~' > :rE V} -k

0

T

+ E X' , ¢

0

si ha :

TEOm~MA 3.3.1 (di esistenza). - Se sono verificate le iFotesi del Teorema 2.3.5 (in particolare le ipotesg del Corollario 2.3.1) [risp. le ipotesi del Teorema 2.3.6] ad esclusione della vii), il problema della min ima dislanza finale ammette soluzione in ~M,e X V [risp. in I~, e X V] per ogni wo E X.

TEOaE~A 3.3.2 (Principio di massimo). - La N-funzione M(r) soddisfi la ipotesi (a) e siano verificate le ipotesi del Teorema 2.3.5 (in particolare siano valide le ipotesi del Corollario 2.3.1) [risp. siano valide le ipotesi del Teorema

2.3.6] tranne la vii); se (~, u, v) ~ soluzione del problema della minima dislanza

finale con (u, v) E Zzz, e X V [risp. (u, v) E I~ ,e X V], ~ > 0, allora esiste ~C'oEX' con x' o ~: Oi , , tale the:

(3.3.1) < wo - - x(T, u, v), oc'o > ~

(3.3.2) < v, G'(T, O)x'o > = sup i< v, G'(T, O)x'o > " v E V}

(3.3.3)

T

f B'G'X'o H ~) < B(t)~(l), G'(T, l)x'o > dt ~ ~ I1 Lu. 0

T

0

3.4. - II prob lema del m i n i m o sforzo.

I1 problema del minimo sforzo consiste, infine, assegnati V e W, hello studio del l ' es is tenza di ~tELM(O, T; U) per cui il problema (P) sia r isolubile e U U[]rM sia minima, o cib che b lo stesso, posto el~ : Y'M,~, ~ ~ 0 , nel ve-

dere di garanfi re l ' es is tenza del min imo y dei numer i ~ per cui il corrispon-

dente problema (P) ha soluzione (~, v); Ia eventuale terna (~, u, v) dicesi soluzione del problema det min imo sforzo.

3-90 G. PULVIRENTI - G. SANTAGATI: SUHCI teoria dei controtli Iineari, ecc.

Ancora con proced iment i analoghi ai p recedent i ( in t rodueendo la funzione ~2 de[ in i ta da:

T / a

~(vc') ~ I < G(T, t)c(t), x' > dt -4- sup t< - - w, x' > " w E W} -{- 0

-} - sup l G<(T, O)v, x ' > " r E V} ~ x ' E X ' )

e a quel l i usat i in R. C o ~ I [10], per i Teoremi 2.3.5, 2.3.7, e per il L e m m a 3.1.1, si ha :

TEOREMA 3.4.1 (di csiste~za). - Se sono verificale le ipotesi del Teorema 2.3.5 (in particolare le il)otesi del Corollario 2.3.t) e se esiste ~ ~ 0 per cui il problema (P) ha soluzione in E~,p X V, allora esiste la svluzione del problema del minimo sforzo.

TEOnEMA 3.4.2 (Principio di massimo). - Siano verificate le ipotesi del Teorema 2.3.5 e la N- fu~z ivne M(r) verifichi l'ipolesi (a) (in particolare le ipotesi del Corollario 2.3.1); se ~ verificata una delle seguenti condizioni:

D~) l' applieazione AT sia (~ su )~ X;

D2) X sia di dimensione finita ;

e se (~, u, v) ~ soluzione del problema del minimo sforzo con (u, v)E ZM,~ X V,

> O, allora esiste x'o E X ' , vc'o ~ Oi , , tale che:

<x(T, u, v), - - ~'o > ---- sup l< w, - - x ' o > ' w E W t

< v, G'(T, 0)0c'o > ~ sup t< v, G'(T, O)x/o > • v E V}

T

f < B(t)~t(t), G'(T, l)X'o > dt ----- -~ I1B'G'x'o llr(g). ~ U r

0

B I B L I O G R A F I A

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Annali di Matematica 4t

sulla teoria dei controlli lineari negli spazi di orlicz di funzioni a valori vettoriali

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