suma y resta de polinomios

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Page 1: Suma y Resta de Polinomios
Page 2: Suma y Resta de Polinomios

Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial.

La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio:

2

2

1)( gttP =

t: tiempog: gravedad

La fórmula para calcular el volumen de un cubo en función de la longitud (l) de su lado viene dada por:

3)( llV =

Page 3: Suma y Resta de Polinomios

MonomiosMonomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que la únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de exponente natural.

Son monomios: NO son monomios:22x

2312 yzx−

154abc

22 −x

3

227 xyz−

Page 4: Suma y Resta de Polinomios

Partes de un monomioPartes de un monomio

Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.

La parte literal la forman las letras y sus exponentes.

El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.

2. =Gr 6213. =++=Gr 171511. =++=Gr

1 1 1

Page 5: Suma y Resta de Polinomios

Tipos de monomiosTipos de monomios

Monomios semejantessemejantes: tienen la misma parte literal.

Monomios opuestosopuestos: son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.

NO semejantes NO opuestos

2325 ba− 3225 bacba 323 32ba

3225 ba− 32ba

xy5 xy7

1−

3225 ba− 3225 ba

23

7

1yx−23

7

1yx

32ba 32ba

xy xy

Page 6: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con monomiosOperaciones con monomios

La suma (o resta)suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

2xy

222 35 yxxy + No son semejantes, luego no se pueden sumar.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2xy 2xy 2xy

2xy 2xy

5 3+ 5− 7+

10( )

=

=

5 3+ 5− 7+

Page 7: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con monomiosOperaciones con monomios

Para multiplicarmultiplicar por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales.

2415 yx=

Ejemplo 3: =⋅− yy 73 2

Ejemplo 4:

3− 7⋅2y y 321y−=( )

=⋅ 32 35 xxy ( )5 3⋅2xy 3x

Page 8: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con monomiosOperaciones con monomios

Para dividirdividir por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

=− 27 7:21 yy

=bba 4:25 23

21− 7: ( ) ( )7y 2y : 53y−=

25 4ba3 b 3

4

25a=

Page 9: Suma y Resta de Polinomios

PolinomiosPolinomios

Un polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y si no tiene parte literal se llama término término independienteindependiente.

21373 523 −+− xyzyxxy

Términos

Términoindependiente

Grado: 2 + 5 = 7Coeficiente principal

Page 10: Suma y Resta de Polinomios

PolinomiosPolinomios

El valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.

10437)( 34 −+−= xxxxP

=−⋅+⋅−⋅= 10242327)2( 34P

( ) ( ) ( ) =−−⋅+−⋅−−⋅=− 10141317)1( 34P

Ejemplo:

861082411210883167 =−+−=−+⋅−⋅=

( ) 4104371041317 −=−−+=−−−⋅−⋅=

Page 11: Suma y Resta de Polinomios

PolinomiosPolinomios

El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x).

10437)( 34 −+−= xxxxP

10437)( 34 +−+−=− xxxxP

Ejemplo:

Polinomio opuesto:

Page 12: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.

Ejemplo: 172)( 245 ++−= xxxxP87223)( 234 −+−−= xxxxxQ

)()( xQxP +

52x 4x− 27x+ 1+43x 32x− 22x− x7+ 8−

775222 2345 −++−+ xxxxx

+

Page 13: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

Para restarrestar polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo.

Ejemplo: 172)( 245 ++−= xxxxP87223)( 234 −+−−= xxxxxQ

)()( xQxP −

52x 4x− 27x+ 1+43x− 32x+ 22x+ x7− 8+

979242 2345 +−++− xxxxx

+

Page 14: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

Para multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:3245 2por 172)( xxxxxP ++−=

)(2 3 xPx ⋅

32x

3578 21424 xxxx ++−

×

172 245 ++− xxx

Page 15: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

El producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes.Ejemplo: 43)( 152)( 23 −=+−= xxQxxxP

)()( xQxP ⋅

43 2 −x

4203236 235 −++− xxxx

×

152 3 +− xx

4208 3 −+− xx235 3156 xxx +−

+

Page 16: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:

245 2796)( xxxxP +−=( ) ( ) ( )932

3 :273:93:63:)(23

2224252

+−==+−=

xx

xxxxxxxxP

xyyxxQ 57)( 3 −=

( ) yxx

xy

x

yxxxQ

2

5

2

7

2

5

2

72:)( 2

3

+−=−

−−

=−

Page 17: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

Para dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos:

1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.

xxxxxP 3011202)( 243 +−−+−=23)( 2 −+= xxxQ

32x−4x 211x− x30+ 20− 2x x3+ 2−

Page 18: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.

32x−4x 211x− x30+ 20− 2x x3+ 2−2x

3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

2x4x

234

2

2

23

23

xxx

x

xx

−+

×−+

234 23 xxx +−−

Page 19: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

32x−4x 211x− x30+ 20− 2x x3+ 2−4º) Se suman algebraicamente.

5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

2x234 23 xxx +−−

203095 23 −+−− xxxx5−

xxx

x

xx

10155

5

23

23

2

+−−

−×−+xxx 10155 23 −+

Page 20: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

32x−4x 211x− x30+ 20− 2x x3+ 2−2x

234 23 xxx +−−203095 23 −+−− xxx

x5−

xxx 10155 23 −+20206 2 −+ xx

6+

12186 2 +−− xx82 −x

Page 21: Suma y Resta de Polinomios

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

32x−4x 211x− x30+ 20− 2x x3+ 2−2x x5− 6+

82 −x

Polinomio dividendo=)(xD

32x−4x 211x− x30+ 20− 2x x3+ 2−

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

=)(xd

=)(xc

=)(xr

2x x5− 6+

82 −x

Page 22: Suma y Resta de Polinomios

Identidades notablesIdentidades notables

Las siguientes operaciones con binomios son simples multiplicaciones.

Es recomendable aprenderlas de memoria por su constante utilidad.

Uno de los errores mas frecuentes es considerar que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.

Page 23: Suma y Resta de Polinomios

(a+b)2

Identidades notablesIdentidades notables

Cuadrado de una suma:Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma es igual a:

• el cuadrado del primero,• más el doble del primero por el segundo,• más el cuadrado del segundo.

a + ba + b

ab + b2

a2 + ab

a2 + 2ab + b2

a2

ab

ab

b2

a

b

a b

a + b

a + b

Page 24: Suma y Resta de Polinomios

a2(a-b)2

Identidades notablesIdentidades notables

Cuadrado de una diferencia:Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una diferencia es igual a:

• el cuadrado del primero,• menos el doble del primero por el segundo,• más el cuadrado del segundo.

a - ba - b

- ab + b2

a2 - ab

a2 - 2ab + b2ab

ab

b2

Page 25: Suma y Resta de Polinomios

Identidades notablesIdentidades notables

Suma por diferencia:Suma por diferencia: una suma por una diferencia es igual a:

• el cuadrado del primero,• menos el cuadrado del segundo.

a + ba - b

- ab - b2

a2 + ab

a2 - b2

Page 26: Suma y Resta de Polinomios

Identidades notablesIdentidades notables