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Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos14ªAula
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Sumário e Objectivos
Sumário: Tensões Tangenciais Resultantes do Esforço Transverso em Secções Rectangulares, em I e em T.
Objectivos da Aula: Ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões tangenciais para algumas formas das secções. Ser capaz de utilizar a fórmula de Jouravsky.
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Distribuição de Tensões Resultantes do Esforço Transverso
TdxdM
=Equação de Equilíbrio de Momentos
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Forças Resultantes das Tensões Axiais
As tensões xσ distribuem-se na secção recta como se representa na figura 15.2 e variam entre xσ e x xd+σ σ no troço prismático da viga de comprimento infinitesimal dx, sendo os momentos resultantes das distribuições de tensões M eM+dM. Seccionando a viga pelo plano bdgh as forças axiais resultantes das tensõessão AF e A AdF F+ , no troço prismático abcdefgh, podem ser calculadas a partir dastensões do seguinte modo
z abeg abegzA x
abeg abeg z z z
MS SMMdA ydAFI I I
= = − = − = −σ∫ ∫
onde abegS representa o momento estático da área abeg em relação ao eixo dos zz
( ) cdfhz cdfhz z zA A xx
cdfh cdfh z z z
M dMd )(Md SSMM Md d )dA ydA(F FI I I
++++ = + =− =− =−σ σ∫ ∫
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Equilíbrio de Forças na Direcção Longitudinal
No troço prismático abcdefgh, de comprimento infinitesimal dx, actuam as forçasaxiais AF e A AdF F+ e um esforço interno, com a direcção do eixo dos xx, designado por esforço rasante ou de escorregamento, HF que resulta das tensões
yxτ distribuídas na secção de corte bdgh que fica a uma distância 1y do eixo dos zz, estas forças têm todas a direcção do eixo dos xx e devem estar em equilíbrio comoresulta da consideração da equação de equilíbrio estático de forças segundo xx, ouseja ( )∑ x A H A A
H A
= + - + d = 0F F F F Fou
= dF F
Az
dMd = SFI yx
z
dM S=τdx bI
y xz
T S=τb I
Fórmula de Jouravsky
(1855)
Sendo FH = τxy bdx
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Fórmula de Jouravsky
No caso de existirem esforços transversos segundo os eixos dos yy e dos zz a fórmula de Jouravsky pode ser escrita para cada um dos planos de solicitação com a seguinte forma
y zyx
z
STbI
=τz y
yxy
STh I
=τ
Nestas expressões os momentos de inércia zI e yI são momentos de inércia de toda a secção e os momentos estáticos zS e yS são momentos estáticos de uma das partes em que a secção ficou dividida pelo plano de corte, considerado ao nível e com a orientação em que se pretendem as tensões de corte na secção.
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Exemplo 14.1
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga pontual, P, na extremidade livre, como se representa na figura. A secção recta da viga é uma secção rectangular de dimensões b×h. Determine uma expressão para efeitos de cálculo das tensões de corte na secção recta A-A da viga. Faça um gráfico representativo do andamento das tensões de corte ao longo do eixo dos yy.
A
A
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Exemplo 14.1- Resolução
O esforço transverso, T, é constante e igual a P. Nestas condições a tensão de corte é definida pela fórmula
xyPSIb
=τ1
h 2
yS bydy= ∫com
1
h/2 222
xy 1y
P P hy y2 2I 2I
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = −τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
O valor da tensão de corte máximo ocorre para 1 0y = que corresponde ao eixo neutro da secção e é
2 2
m ax 3
P 12 P 3Ph h22 I 8b 2 Ah
⎛ ⎞= = =τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Correcção à Tensão de Corte
O valor da tensão máxima necessita em geral de sofrer uma correcção que depende do valor do coeficiente de Poisson, ν, pelo facto de não ser constante a tensão tangencial em toda a profundidade da secção, ou seja segundo o eixo dos zz para as tensões xyτ . Só no caso de ν ser igual a zero a que a fórmula acabada de deduzir para a tensão tangencial máxima se aplica sem correcção. A correcção a efectuar ao valor máximo obtido é dada pelo factor, α, ou seja
max3P2A
= ατ2
2 n 1 2
2 4 1h1hb1 3 cosh nn b
∞
=
⎡ ⎤⎢ ⎥ν ⎛ ⎞ ⎢ ⎥α = + − ∑⎜ ⎟+ ν ⎛ ⎞⎝ ⎠ π⎢ ⎥π⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Com
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Exemplo 14.2
b
L
P
x
y Secção Recta
h
e
y
z
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga pontual, P, na extremidade livre, como se representa na figura. A secção recta da viga é em I como se representa na referida figura, as espessura da alma e do banzo são iguais e designadas por e. Determine a forma como evolui a tensão de corte, na Secção da viga. Faça um esquema representativo da evolução das tensões na Secção.
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Exemplo 14.2-Resolução
O esforço Transverso é constante e igual P. Para valores de 1y compreendidos entre h/2 e h/2+e, ou seja no banzo, as tensões tangenciais xyτ são
xyPSIb
=τ sendo1
h 2 e
yS bydy
+
= ∫1
h/2 e 222
xy 1P P hy e y
2 2I 2Iy
+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + −τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Para valores de 1y compreendidos entre 0 e h/2, ou seja na alma, as tensões tangenciais xyτ são
xyPSIe
=τ sendo1
h 2S e yd y
y= ∫
1
h/2 h/2 e 2 2 22 22
xy 1h/2y
P Pb P Pbh h hy y ey2 2 2 2 2I Ie 2I 2Ie
+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + + −τ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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Exemplo 14.2-Resolução
b 2max
P he e2I
= +⎡ ⎤τ ⎣ ⎦No Banzo [ ]2
amax
P Pbh h e22I 2I
⎛ ⎞== + +τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
Na Alma
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Exemplo 14.3
Uma viga em madeira, com 6 m de comprimento, estásimplesmente apoiada nas extremidades e suporta uma carga de 15kN/m, incluindo o peso próprio. A secção recta da viga é constituída de vários elementos, conforme ilustrado na figura (dimensões em mm). O momento de Inércia da Secção é Iz=2.368×109 mm4. Determinar:
a) A tensão máxima de flexão ( Tensão Axial).
b) A tensão τxy ao nível do eixo dos zz.
c) A Tensão de corte horizontal sobre a secção a-a, da aba superior da viga
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Exemplo 14.3
d) O espaçamento máximo entre os “tacos” B supondo que cada um deles pode suportar um esforço de corte de 4kN.
e) Idem para os pregos c, supondo que cada um pode suportar um esforço de 6kN. z
y
50 50 100 50 50
5050
500
a
a
Bc
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Exemplo 14.2-Resoluçãoa)Tensão Axial ou de Flexão
15kN/m
A B
RA=45kN
6m
45kN
45kNMmax=67.5kNm
M(x)=45x-15x2/2
RB=45kN
3max
max 1 3
67.5 10 0.25 7.132.368 10z
M y MPaI −
× ×σ = − = ± = ±
×
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Exemplo 14.3-Resolução
b)Tensão de Corte ao nível do eixo dos zz
Momento Estático da área acima do eixo dos zz:
S=(100×200) ×100+2×(50×50) ×175+(300×50) ×225=
=6.25×106mm3=6.25×10-3m3
3 3
3
45 10 6.25 10 1.192.368 10 0.1z
T Sxy I b MPa
−×
−
× × ×τ = = =
× ×
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Exemplo 14. 3-Resolução
c) Tensão de Corte em a-a
z
S=(50×100) ×200=1×106mm3=1×10-3m3
3 3
3
45 10 1 10 0.382.368 10 0.05xz
z
T S MPaI b
−
−
× × × ×τ = = =
× ×
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Exemplo 13. 3-Resolução
d) Espaçamento dos Tacos
S=2×(50×50) ×175+(300×50) ×225=
=4,25×106mm3=4.25×10-3m3
O esforço Rasante na Secção é: R=T×S/Iz=(45×103×4.25×10-3)/2.368×10-3
=80760N/mO espaçamento é menor ou igual a 4000/R=0.05m ou seja o número de tacos por metro é 1/0.05= 20 tacos
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Problemas Propostos
1. Considere a viga AB representada na figura constituída por três peças coladas entre si, como se representa. Determine a tensão de corte média nas juntas coladas da secção c-c.
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Problemas Propostos
2. Considere uma viga cuja secção recta tem a forma representada na figura. No caso das tensões normais máximas admissíveis serem à tracção 150MPa e à compressão 300MPa e a tensão de corte admissível ser de 100MPa, determine o momento máximo que a viga pode suportar e o esforço de corte máximo que a viga pode suportar.
10cm
30cm
5cm
22.5cm
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Problemas Propostos
3. Considere a viga representada na figura e despreze o efeito do peso próprio. Determine a tensão de corte na ligação entre as duas componentes do T e comente o resultado obtido.
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Problemas Propostos (cont.)
Direcção da Solicitação
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Problemas Propostos
4. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura, cuja secção recta também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes.
Determine a Tensão de Corte a uma distância de y=0mm do eixo neutro no caso de θ ser 0º , na secção que em que o esforço transverso for máximo.