suplemen bab 1 statistika (wajib) · 2017. 9. 7. · 4 statistika tabel distribusi frekuensi skor...
TRANSCRIPT
1Matematika Kelas XI
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi dan histogram;2. mendeskripsikan dan menghitung berbagai ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran;3. menerapkan konsep ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran dalam menyelesaikan masalah.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa mampu bersikap cermat dalam menganalisis setiappermasalahan.
Statistika
• Membaca data dalam bentuktabel distribusi frekuensi danhistogram.
• Mendeskripsikan unsur-unsuryang terdapat dalam tabeldistribusi frekuensi dan histo-gram.
• Menyajikan data dalam bentuktabel distribusi frekuensi danhistogram.
• Mendeskripsikan pengertianmean, median, dan modus.
• Menghitung nilai mean, me-dian, dan modus data tunggal.
• Menghitung nilai mean, me-dian, dan modus data ber-kelompok.
Tabel Distribusi Frekuensi danHistogram
Ukuran Pemusatan Ukuran Letak dan UkuranPenyebaran
• Bersikap cermat dalam menganalisis setiap permasalahan.• Mampu membaca data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.• Mampu menjelaskan unsur-unsur yang terdapat dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.• Mampu menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.• Mampu menjelaskan pengertian mean, median, dan modus.• Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data tunggal.• Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data berkelompok.• Mampu menjelaskan pengertian kuartil, desil, dan persentil.• Mampu menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data tunggal.• Mampu menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data berkelompok.
• Mendeskripsikan pengertiankuartil, desil, dan persentil.
• Menghitung nilai kuartil, desil,dan persentil data tunggal.
• Menghitung nilai kuartil, desil,dan persentil data berkelompok.
2 Statistika
A, Pilihan Ganda
1. Jawaban: cTepi atas kelas interval = 12,5 + 8
= 20,5Batas atas kelas interval = 20,5 – 0,5
= 20Jadi, batas atas kelas interval tersebut 20.
2. Jawaban: bMisalkan batas bawah kelas interval = Bb, batasatas kelas interval = Ba, dan panjang kelas = p.
Titik tengah kelas interval = 12 ( Bb + Ba)
⇔ 44,5 = 12 ( Bb + Bb + p – 1)
⇔ 89 = 2Bb + 10 – 1⇔ 2Bb = 80⇔ Bb = 40
Jadi, batas bawah kelas interval tersebut 40.3. Jawaban: d
Titik tengah kelas interval IV
= 12 (61 + 67)
= 12 × 128
= 644. Jawaban: b
Kelas interval II adalah 47–53.Kelas interval III adalah 54–60.Tepi atas kelas interval 47–53 adalah 53 + 0,5= 53,5.Tepi bawah kelas interval 54–60 adalah 54 – 0,5= 53,5.Dengan demikian, tepi kelas 53,5 sebagai tepi ataskelas interval II dan sekaligus sebagai tepi bawahkelas interval III.
5. Jawaban: aJumlah siswa = 9 + 8 + 6 + 5 + 4 = 32Berat badan siswa lebih dari 60 kg berada di kelasinterval 61–67 dan 68–74.Frekuensi kelas interval 61–67 adalah 5.Frekuensi kelas interval 68–74 adalah 4.Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 60= 5 + 4 = 9.Persentase banyak siswa yang memiliki berat
badan lebih dari 60 kg = 932 × 100% = 28,125%.
6. Jawaban: cKelas interval yang memiliki batang tertinggimenunjukkan nilai yang paling banyak diperolehsiswa.
Batang tertinggi berada di kelas interval yangmemiliki tepi bawah 60,5 dan tepi atas 70,5, maka:batas bawah kelas interval = 60,5 + 0,5 = 61batas atas kelas interval = 70,5 – 0,5 = 70Dengan demikian, diperoleh kelas interval 61–70.Jadi, nilai yang paling banyak diperoleh siswaadalah 61–70.
7. Jawaban: ePerbandingan banyak benda yang berusia antara8–10 tahun dan 14–16 tahun adalah 1:5.Misalkan banyak benda yang berusia 8–10 tahun= x, maka banyak benda yang berusia 14–16 tahun= 5xBanyak benda seluruhnya = 10 + 20 + x + 15
+ 5x + 5x⇔ 100 = 45 + 11x ⇔ 11x = 55⇔ x = 5
Banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 5x= 5 × 5 = 25Banyak benda yang berusia 17–19 tahun = banyakbenda yang berusia 14–16 tahun = 25Jadi, benda yang berusia antara 17–19 tahunsebanyak 25 buah.
8. Jawaban: dNilai data yang kurang dari 15 berada di kelasinterval 7–10 dan 11–14.Frekuensi kelas interval 7–10 = p + 4Frekuensi kelas interval 11–14 = p + 6Nilai data yang kurang dari 15 sebanyak 34, maka:(p + 4) + (p + 6) = 34⇔ 2p + 10 = 34⇔ 2p = 24⇔ p = 12Nilai data yang lebih dari 18 berada di kelasinterval 19–22 dan 23–26.Frekuensi kelas interval 19–22 = 2p – 4Frekuensi kelas interval 23–26 = p – 3Nilai data yang lebih dari 18 = (2p – 4) + (p – 3)
= 3p – 7= 3 × 12 – 7= 36 – 7 = 29
Jadi, nilai data yang lebih dari 18 sebanyak 29. 9. Jawaban: e
Poligon frekuensi merupakan diagram yangmenyajikan titik-titik tengah nilai data.
Titik tengah kelas interval 152–157 = 12 (152 + 157)
= 154,5Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6.Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan152–157 cm ada 6 anak.
3Matematika Kelas XI
10. Jawaban: eTitik tengah kelas interval yang mempunyaifrekuensi 9 adalah 160,5.Titik tengah 160,5 berada pada kelas intervalkeempat.Titik tengah kelas 154,5 dan 160,5 salingberurutan, maka panjang kelas:p = 160,5 – 154,5 = 6.Letak tepi bawah, titik tengah, dan tepi atas kelasinterval keempat dapat digambarkan pada diagramberikut.
Dari diagram di atas diperoleh tepi bawah Tb4 =157,5 dan tepi atas Ta4 = 163,5, maka:batas bawah = Tb4 + 0,5 = 157,5 + 0,5 = 158batas atas = Ta4 – 0,5 = 163,5 – 0,5 = 163.Dengan demikian, diperoleh kelas interval keempatyaitu 157–163.Jadi, sebanyak 9 siswa mempunyai tinggi badan158–163 cm.
B. Uraian
1. a. Bambu yang panjangnya tidak kurang dari6,7 meter berada di kelas interval 6,7–8,0 dan8,1–9,4.Frekuensi kelas interval 6,7–8,0 = 15Frekuensi kelas interval 8,1–9,4 = 20Banyak bambu yang panjangnya tidak kurangdari 6,7 meter = 15 + 20 = 35Jadi, banyak bambu yang dapat digunakanPak Ahmad untuk membuat kepang 35 lonjor.
b. Bambu yang panjangnya tidak lebih dari 5,2meter berada di kelas interval 2,5–3,8 dan3,9–5,2.Frekuensi kelas interval 2,5–3,8 = 12Frekuensi kelas interval 3,9–5,2 = 16Banyak bambu yang panjangnya tidak lebihdari 5,2 meter = 12 + 26 = 28Jadi, banyak bambu yang dapat digunakanPak Ahmad untuk membuat pagar 28 lonjor.
2. Dari histogram diperoleh batas bawah, batas atas,dan kelas interval sebagai berikut.
Dari kelas interval pada tabel di atas diperoleh tabeldistribusi frekuensi relatif sebagai berikut.
3. Data setelah diurutkan sebagai berikut.41 41 42 42 43 43 44 45 46 4647 47 48 49 50 51 52 53 54 5656 57 58 59 60 61 62 63 66 67Banyak data = n = 30Nilai data terkecil = 41Nilai data terbesar = 67Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil
= 67 – 41 = 26Banyak kelas = k
= 1 + 3,3 log n= 1 + 3,3 log 30= 1 + 3,3 × 1,477= 1 + 4,8741= 5,8741≈ 6
Panjang kelas:
p = jangkauan
banyak kelas
= 266
= 4,33≈ 5
Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval pertama.Bb1 = nilai data terkecil = 41Ba1 = Bb1 + p –1 = 41 + 5 – 1 = 45Diperoleh kelas interval pertama : 41–45Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval kedua.Bb2 = Ba1 + 1 = 45 + 1 = 46Ba2 = Bb2 + p – 1 = 46 + 5 – 1 =50Diperoleh kelas interval kedua : 46–50Dengan cara yang sama diperoleh:Kelas interval ketiga : 51–55Kelas interval keempat : 56–60Kelas interval kelima : 61–65Kelas interval keenam : 66–70
3 3
p = 6Tb4 = 157,5 x4 = 160,5 Ta4 = 163,5
Batas Bawah
109,5 + 0,5 = 110116,5 + 0,5 = 117123,5 + 0,5 = 124130,5 + 0,5 = 131137,5 + 0,5 = 138144,5 + 0,5 = 145151,5 + 0,5 = 152
Batas Atas
116,5 – 0,5 = 116123,5 – 0,5 = 123130,5 – 0,5 = 130137,5 – 0,5 = 137144,5 – 0,5 = 144151,5 – 0,5 = 151158,5 – 0,5 = 158
Kelas Interval
110–116117–123124–130131–137138–144145–151152–158
FrekuensiRelatif
Tinggi Bibit Cabai(mm)
110–116117–123124–130131–137138–144145–151152–158
6,7%10%
16,7%20%25%
13,3%8,3%
4 Statistika
Tabel distribusi frekuensiskor ujian penerimaancalon karyawan PT SidoMakmur sebagai berikut.
4. Jumlah apel = 22, maka:n + (n + 2) + 3 + 2 + (n + 1) + 5 = 22⇔ 3n + 13 = 22⇔ 3n = 9⇔ n = 3Tabel distribusi frekuensi berat apel secaralengkap sebagai berikut.
Histogram berat apel sebagai berikut.
5. Titik tengah kelas interval ke-1 = 3Titik tengah kelas interval ke-2 = 4,1Panjang kelas = p = 4,1 – 3 = 1,1Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalsebagai berikut.
Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalpada tabel di atas diperoleh batas bawah dan batasatas sebagai berikut.
Dari batas bawah danbatas atas setiap kelasinterval pada tabel di atasdiperoleh tabel distribusifrekuensi berikut.
Skor
41–4546–5051–5556–6061–6566–70
Frekuensi
874632
Frekuensi
353245
Berat Apel (gram)
200–204205–209210–214215–219220–224225–229
6
5
4
3
2
1
0Berat Apel(gram)
200–
204
205–
209
210–
214
215–
219
220–
224
225–
229
Frekuensi
Kelasinterval
ke-i
TitikTengah
(xi)
Batas Bawah
(Tbi = xi – 12 p)
Tepi Atas
(Tai = xi + 12 p)
1234567
34,15,26,37,48,59,6
3 – 0,55 = 2,454,1 – 0,55 = 3,555,2 – 0,55 = 4,656,3 – 0,55 = 5,757,4 – 0,55 = 6,858,5 – 0,55 = 7,959,6 – 0,55 = 9,05
3 + 0,55 = 3,554,1 + 0,55 = 4,655,2 + 0,55 = 5,756,3 + 0,55 = 6,857,4 + 0,55 = 7,958,5 + 0,55 = 9,05
9,6 + 0,55 = 10,15
Frekuensi
8766543
Nilai
2,5–3,53,6–4,64,7–5,75,8–6,86,9–7,98,0–9,0
9,1–10,1
Batas Bawah(Tbi + 0,05)
Batas Atas(Tai – 0,05)
2,45 + 0,05 = 2,5 3,55 + 0,05 = 3,6 4,65 + 0,05 = 4,7 5,75 + 0,05 = 5,8 6,85 + 0,05 = 6,9 7,95 + 0,05 = 8,0 9,05 + 0,05 = 9,1
3,55 – 0,05 = 3,54,65 – 0,05 = 4,6 5,75 – 0,05 = 5,7 6,85 – 0,05 = 6,8 7,95 – 0,05 = 7,9 9,05 – 0,05 = 9,0
10,15 – 0,05 = 10,1
Kelasinterval
2,5–3,53,6–4,64,7–5,75,8–6,86,9–7,98,0–9,0
9,1–10,1
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: bModus pada diagram batang adalah nilai data yangmempunyai batang paling tinggi.Nilai 6 mempunyai batang paling tinggi, makamodus data = 6.
2. Jawaban: c
Banyak data = 30.Oleh karena banyak data genap maka:
Median = 12 (nilai data ke-
302 + nilai data ke-(
302 + 1))
= 12 (nilai data ke-15 + nilai data ke-16)
= 12 (6 + 7)
= 6,5 tahunJadi, median usia anak 6,5 tahun.
fi
783543
UsiaTahun
56789
10
fk
71518232730
5Matematika Kelas XI
3. Jawaban: cRata-rata usia
= i i
i
f xf
∑∑
= 7 5 8 6 3 7 5 8 4 9 3 10
30⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= 35 48 21 40 36 30
30+ + + + +
= 21030 = 7 tahun
Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis disanggar tersebut 7 tahun.
4. Jawaban: dRata-rata hasil panen teh = 75.000
⇔ (700 n 950 n 750 900) 1006
+ + + + + ⋅= 75.000
⇔ 3.300 2n6
+= 750
⇔ 3.300 + 2n = 4.500⇔ 2n = 1.200⇔ n = 600Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton.Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton.Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2007–2008
= 95.000 60.000
60.000−
× 100%
= 35.00060.000 × 100% ≈ 58,3%
5. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Me = nilai data ke- 32 12+
= nilai data ke-16,5
Median adalah nilai data ke-16,5 di kelas interval30–39.L = 30 – 0,5 = 29,5fkMe
= 10
fMe = 12
p = 39 – 30 + 1 = 10
Me = L + Me
1k2
Me
n f
f
⋅ −
· p
= 29,5 + 322
10
12
−
· 10
= 29,5 + 16 10
12−
· 10
6. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 20
Median = nilai data ke- 12
(20 + 1)
= nilai data ke-10 12
Median adalah nilai data ke-10 12
di kelas interval
61–70.L = 61 – 0,5 = 60,5
Mekf = 9fMe
= 3
p = 70 – 61 + 1 = 10
Median = L + −
Me
e
1k2
M
n f
f · p
= 60,5 + ⋅ −
12 20 9
3 · 10
= 60,5 + 103 ≈ 60,5 + 3,33 = 63,83
7. Jawaban: bKelas interval yang mempunyai frekuensi palingbanyak adalah kelas interval 25–29, berarti kelasmodus di kelas interval 25–29.Lo = 25 – 0,5 = 24,5d1 = 11 – 7 = 4d2 = 11 – 10 = 1p = 29 – 25 + 1 = 5
Modus = Mo = L + d
d d +
1
1 2 · p
= 24,5 + +
44 1 · 5
= 24,5 + 4= 28,5
Jadi, modus dari data tersebut 28,5.
8. Jawaban: dBatang tertinggi memiliki frekuensi 12, makafrekuensi kelas modus = 12.Frekuensi 12 dimiliki kelas interval yang mem-punyai tepi bawah 13,5 dan tepi atas 16,5.Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus= 3.
fi
28
12
73
fk
210
22
2932
Nilai
10–1920–29
30–39
40–4950–59
← Mekf
fkMe
←
Nilai
41–5051–6061–7071–8081–90
fi
45326
fk
49
121420
← Kelas Me
fkMe
←
6 Statistika
Frekuensi kelas interval setelah kelas modus= 6.Dengan demikian diperoleh:L = 13,5p = 16,5 – 13,5 = 3d1 = 12 – 3 = 9d2 = 12 – 6 = 6
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 13,5 + 9
9 6 +
· 3
= 13,5 + 95
= 13,5 + 1,8= 15,3
Jadi, modus panjang ikan lele 15,3 cm.
9. Jawaban: dRataan sementara ( sx ) = 37.
x = sx +
6
i ii 1
6
ii 1
f d
f
=
=
∑
∑
= 37 + 4270
= 37 + 0,6 = 37,6Jadi, rata-rata volume benda 37,6.
10. Jawaban: e
Rata-rata usia karyawan bagian produksi:
x =
6
i ii 1
6
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑ =
2.13060 = 35,5 tahun
B. Uraian
1. Misalkan banyak siswa yang memerlukan waktu5 menit = n, maka banyak siswa yang memerlukanwaktu 20 menit = n.Rata-rata waktu = 11,9
⇔ 5n 5 8 12 10 10 12 11 15 20nn 5 12 10 11 n
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ + + + + = 11,9
⇔ 25n 40 120 120 1652n 38
+ + + ++ = 11,9
⇔ 25n + 445 = 11,9(2n + 38)⇔ 25n + 445 = 23,8n + 452,2⇔ 1,2 n = 7,2⇔ n = 6Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Jumlah siswa = 50
Median = 12 (nilai data ke-
502 + nilai data ke-(
502 + 1))
= 12 (nilai data ke-25 + nilai data ke-26)
= 12 (12 + 12)
= 12 menitJadi, median waktu yang diperlukan siswa darirumah ke sekolah 12 menit.
2. Kelas modus adalah 82–98.L = 82 – 0,5 = 81,5
d1 = 22 – (3n + 1) = 21 – 3nd2 = 22 – (2n + 1) = 21 – 2np = 98 – 82 + 1 = 17
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
⇔ 85,75 = 81,5 + 21 3n21 3n 21 2n
− − + −
· 17
⇔ 4,25 = 21 3n42 5n
− −
· 17
⇔ 0,25 = 21 3n42 5n
−−
⇔ 0,25(42 – 5n) = 21 – 3n⇔ 10,5 – 1,25n = 21 – 3n⇔ 1,75n = 10,5⇔ n = 6
fi di
–72–45
0 24 3699
42
Titik Tengah(xi)
313437404346
Jumlah
Frekuensi(fi)
121518 8 611
70
Simpangandi = xi – sx
–6–3 0 3 6 9
fi
6
8
9
18
13
6
6
ii = 1
f = 60∑
fi xi
132
216
288
666
546
282
6
i ii = 1
fx = 2.130∑
Titik Tengah (xi)
12 (19,5 + 24,5) = 22
12 (24,5 + 29,5) = 27
12 (29,5 + 34,5) = 32
12 (34,5 + 39,5) = 37
12 (39,5 + 44,5) = 42
12 (44,5 + 49,5) = 47
fi fkWaktu(Menit)
← Letak median
58
10
12
1520
65
12
10
116
61123
33
4450
7Matematika Kelas XI
Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = 100
Median = nilai data ke-12 (100 + 1)
= nilai data ke-50,5Median adalan nilai data ke-50,5 di kelas interval82–98.L = 81,5
eMf = 22
Mekf = 20 + 19 = 39
Me = L + Me
e
1k2
M
n f
f
−
· p
= 81,5 + 12
100 39
22
⋅ −
· 17
= 81,5 + 1122 · 17
= 81,5 + 8,5= 90
Jadi, median tebal buku 90.3. Kelas modus pada histogram adalah kelas inter-
val yang mempunyai batang tertinggi.Kelas interval dengan tepi bawah 80,5 dan tepiatas 90,5 mempunyai batang tertinggi, maka kelasmodus adalah 81–90.
L = 80,5d1 = 10 – 2 = 8d2 = 10 – 6 = 4p = 90,5 – 80,5 = 10
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 80,5 + 88 4
+
· 10
= 80,5 + 23 · 10
≈ 80,5 + 6,67 = 87,17Jadi, modus data 87,17.
4. Titik tengah kelas interval ke-1 = 4Titik tengah kelas interval ke-2 = 7Panjang kelas = p = 7 – 4 = 3
Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalsebagai berikut.
Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalpada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensikumulatif berikut.
Jumlah balita = n = 30
Median = nilai data ke- 12
(30 + 1)
= nilai data ke-15 12
Median adalah nilai data ke-15 12
di kelas interval9–11.L = 9 – 0,5 = 8,5p = 11 – 9 + 1 = 3fkMe
= 9
fMe= 12
Me = L + Me
e
1k2
M
n f
f
−
· p
= 29,5 + 12
30 9
12
⋅ −
· 3
= 8,5 + 64
= 8,5 + 1,5= 10
Jadi, median berat badan balita 10 kg.5.
fi fkTebal Buku(Halaman)
← Kelas Me
48–6465–81
82–98
99–115116–132133–149
2019
22
131511
2039
61
7489
100
fkMe
←
TitikTengah
(xi)
Tepi Bawah
(Tbi = xi – 12 p)
Tepi Atas
(Tai = xi + 12 p)
47
101316
4 – 1,5 = 2,57 – 1,5 = 5,5
10 – 1,5 = 8,513 – 1,5 = 11,516 – 1,5 = 13,5
4 + 1,5 = 5,57 + 1,5 = 8,5
10 + 1,5 = 11,513 + 1,5 = 13,516 + 1,5 = 17,5
fi
27
1263
fk
29
212730
← Kelas Me
fkMe
←
Berat Balita (kg)
3–56–8
9–1112–1415–17
Frekuensi
Diameter pohon (cm)
1517
21 20
16
11
9,514,5
19,524,5
29,534,5
39,5
8 Statistika
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cData yang telah diurutkan sebagai berikut.60 65 66 68 72 78 80 83 86 88 90Jumlah data = n = 11
Q1 = nilai data ke-n 1
4+
= nilai data ke-11 1
4+
= nilai data ke-3Nilai data ke-3 = 66.Jadi, kuartil bawah data tersebut 66.
2. Jawaban: e
Jumlah data = n = 74
D9 = nilai data ke- 910
(74 + 1)
= nilai data ke-67,5= x67 + 0,5(x68 – x67)= 40 + 0,5 (41 – 40)= 40 + 0,5 = 40,5
Jadi, desil ke-9 data tersebut 40,5.
3. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 40
Kuartil atas (Q3) = nilai data ke- 34
(40 + 1)
= nilai data ke-30 34
Kuartil atas adalah nilai data ke-30 34
di kelas interval
61–70.L3 = 61 – 0,5 = 60,5fQ3
= 10
fkQ3
= 29
p = 70 – 61 + 1 = 10Kuartil atas:
Q3 = L3 + Qk
Q
n f
f
−
3
3
34
· p
= 60,5 + ⋅ −
34 40 29
10 · 10
= 60,5 + 1= 61,5
4. Jawaban: d
Banyak data = n = 47
Q1 = nilai data ke- 47 +14
= nilai data ke-12Q1 adalah nilai data ke-12 terletak di kelas interval88–91.L1 = 88 – 0,5 = 87,5
Q1kf = 11
1Qf = 4p = 91 – 88 + 1 = 4
Rata-rata diameter pohon:
x =
6
i ii 1
6
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑ =
2.390100 = 23,9 cm
Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kotatersebut 23,9 cm.
fi
3 710121619 7
Ukuran Sepatu
35363738394041
fk
3102032486774
← Kelas Q3
fkQ3
←
Nilai
31–4041–5051–6061–7071–80
fi
59
1510
1
fk
514293940
fk
5111523333747
Nilai
80–8384–8788–9192–9596–99
100–103104–107
fi
5 6 48
10 410
← Kelas Q1
← Kelas P45
← Kelas Q3
9Matematika Kelas XI
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
14
n f
f
−
· p
= 87,5 + 474 11
4
−
· 4
= 87,5 + 11,75 114
− · 4
= 87,5 + 0,75= 88,25
Q3 = nilai data ke- 3(47 +1)4
= nilai data ke-36Nilai data ke-36 terletak di kelas interval 100–103.L3 = 100 – 0,5 = 99,5
Q3kf = 33
3Qf = 4
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
−
· p
= 99,5 + 1414 33
4
−
· 4
= 99,5 + 35,25 334
− · 4
= 99,5 + 2,25= 101,75
Jangkauan antarkuartil:H = Q3 – Q1
= 101,75 – 88,25= 13,5
Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut 13,5.
5. Jawaban: e
P45 = nilai data ke-45
100 (47 + 1)
= nilai data ke-21,6P45 adalah nilai data ke-21,6 terletak di kelasinterval 92–95.L35 = 92 – 0,5 = 91,5
P45kf = 15
45Pf = 8
p = 4
P45 = L35 + P45
45
k
P
45100
n f
f
⋅ −
· p
= 91,5 + 45
10047 15
8
⋅ −
· 4
= 91,5 + 3,075= 94,575
Jadi, persentil ke-45 data tersebut 94,575.
6. Jawaban: a
D6 = nilai data ke-6
10 (39 + 1)
= nilai data ke-6
10 × 40
= nilai data ke-24Desil ke-6 adalah nilai data ke-24 terletak di kelasinterval 17–24.L6 = 17 – 0,5 = 16,5
D6kf = 14
6Df = 16p = 24 – 17 + 1 = 8
D6 = L6 + D6
6
k
D
6n
10f
f
⋅ −
· p
= 16,5 + 6
1039 14
16
⋅ −
· 8
= 16,5 + 9,416
· 8
= 16,5 + 4,7= 21,2
Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,2.
7. Jawaban: e
x =
8i
i = 1x
n
∑
= 9 10 11 8 7 6 5 88
+ + + + + + + =
648 = 8
8i
i 1(x x)
=∑ − 2 = (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (11 – 8)2 + (8 – 8)2
+ (7 – 8)2 + (6 – 8)2 + (5 – 8)2 + (8 – 8)2
= 12 + 22 + 32 + 02 + (–1)2 + (–2)2
+ (–3)2 + 02
= 1 + 4 + 9 + 0 + 1 + 4 + 9 + 0= 28
Simpangan baku:
S = 8 2
ii 1
(x x)
n=
−∑
= 2 88
= 144
= 12
14
fi
31116612
Banyak Pengunjung
1–89–16
17–2425–3233–4041–48
fk
31430363739
10 Statistika
8. Jawaban: c
Banyak data = n = 40
Q1 = nilai data ke-14 (40 + 1)
= nilai data ke-10,25Q1 adalah nilai data ke-10,25 terletak di kelasinterval yang memuat titik tengah 13.
L1 = 12 (8 + 13) = 10,5
Q1kf = 8
1Qf = 6p = 13 – 8 = 5
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
14
n f
f
−
· p
= 10,5 + 14
40 8
6
⋅ −
· 5
= 10,5 + 13 · 5 ≈ 10,5 + 1,67
= 12,17
Q3 = nilai data ke-34 (40 + 1)
= nilai data ke-30,75Q3 adalah nilai data ke-30,75 terletak di kelasinterval yang memuat titik tengah 28.
L3 = 12 (23 + 28) = 25,5
Q3kf = 8 + 6 + 5 + 4 = 23
3Qf = 9
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
−
· p
= 25,5 + 34
40 23
9
⋅ −
· 5
= 25,5 + 79 · 5 ≈ 25,5 + 3,89
= 29,39
Simpangan kuartil:
Qd = 12 (Q3 – Q1) =
12 (29,39 – 12,17)
= 12 (17,22)
= 8,619. Jawaban: a
x– =
6
i ir 1
6
ii 1
fx
f
=
=
∑
∑ =
84040 = 21
6i i
i 1f | x x |
=∑ − = 8|8 – 21| + 6|13 – 21| + 5|18 – 21| +
4|23 – 21| + 9|28 – 21| + 8|33 – 21|= 8 × 13 + 6 × 8 + 5 × 3 + 4 × 2
+ 9 × 7 + 8 × 12= 104 + 48 + 15 + 8 + 63 + 96= 334
SR =
6
i ir 1
6
ii 1
f | x x |
f
=
=
−∑
∑ =
33440
= 8,35
10.6
i ii 1
f(x x)=∑ − 2 = 8(8 – 21)2 + 6(13 – 21)2 + 5(18
– 21)2 + 4(23 – 21)2 + 9(28 – 21)2 + 8(33 – 21)2
= 8 × (–13)2 + 6 × (–8)2 + 5 × (–3)2
+ 4 × 22 + 9 × 72 + 8 × 122
= 1.352 + 384 + 45 + 16 + 441 + 1.152= 3.390
Ragam:
S2 =
6 2i i
i 16
ii 1
f(x x)
f
=
=
−∑
∑ =
3.39040
= 84,75
B. Uraian
1.
← Kelas Q1
← Kelas Q3
fk
8
14
1923
32
40
fi
8
6
54
9
8
xi
8
13
1823
28
33xi
81318232833
8
i 1=∑
fi
865498
40
fixi
64789092
252264
840
xk
710121317202123
Usia (Tahun)
1011121314151617
fi
73214312
11Matematika Kelas XI
Banyak data = n = 23.
Q1 = nilai data ke- n 14+
= nilai data ke- 244
= nilai data ke-6= 10
Q3 = nilai data ke- 3(n 1)4+
= nilai data ke- 3 × 244
= nilai data ke-18= 15
H = Q3 – Q1 = 15 – 10 = 5Jadi, jangkauan antarkuartil data 5.
2. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.
a. x– =
6
i ii 1
6
ii 1
fx
f
=
=
∑
∑ =
63030 = 21
6i i
i 1f | x x |
=∑ − = 8|15 – 21| + 5|18 – 21| + 3|20 – 21|
+ 5|24 – 21| + 6|25 – 21| + 3|30 – 21|= 8 × 6 + 5 × 3 + 3 × 1 + 5 × 3
+ 6 × 4 + 3 × 9= 48 + 15 + 3 + 15 + 24 + 27= 132
SR =
6
i ir 1
6
ii 1
f | x x |
f
=
=
−∑
∑ =
13240
= 3,3
Jadi, simpangan rata-rata data 3,3.
b.6 2
i ii 1
f(x x)=∑ − = 8(15 – 21)2 + 5(18 – 21)2
+ 3(20 – 21)2 + 5(24 – 21)2
+ 6(25 – 21)2 + 3(30 – 21)2
= 8 × (–6)2 + 5 × (–3)2 + 3 × (–1)2
+ 5 × 32 + 6 × 42 + 3 × 92
= 288 + 45 + 3 + 45 + 96 + 243= 720
S =
6 2i i
i 16
ii 1
f | x x |
f
=
=
−∑
∑ = 720
40
= 18 = 9 2× = 3 2Jadi, simpangan baku data 3 2 .
3. a. Tabel distribusi frekuensi kumulatif datasebagai berikut.
Banyak data n = 20
Q1 = nilai data ke-14 (20 + 1)
= nilai data ke-5,25Q1 adalah nilai data ke-5,25 terletak di kelasinterval 65–74.L1 = 65 –0,5 = 64,5
Q1kf = 4
1Qf = 3p = 74 – 65 + 1 = 10
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
14
n f
f
−
· p
= 64,5 + 14
20 4
3
⋅ −
· 5
= 64,5 + 13 · 5
≈ 64,5 + 1,67= 66,17
Q3 = nilai data ke-34 (20 + 1)
= nilai data ke-15,75Q3 adalah nilai data ke-30,75 terletak di kelasinterval 95–104.L3 = 95 – 0,5 = 94,5
Q3kf = 14
3Qf = 4
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
−
· p
= 94,5 + 34
20 14
4
⋅ −
· 10
= 94,5 + 14 · 10
= 94,5 + 2,5= 97
fi
853563
30
Banyak Pengunjung (xi)
151820242530
6
i 1=∑
fixi
1209060
12015090
630
← Kelas Q1
fi
2234342
Panjang (cm)
45–5455–6465–7475–8485–94
95–104105–114
fk
2 4 711141820
← Kelas Q3
12 Statistika
Simpangan kuartil:
Qd = 12 (Q3 – Q1) =
12 (97 – 66,17)
= 12 (30,83)
= 15,415Jadi, simpangan kuartil 15,415.
b.
x =
7
i ii 1
7
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑
= 1.630
20
= 81,5Simpangan rata-rata:
SR =
7
i ii 1
7
ii 1
f x x
f
=
=
−∑
∑
= 12220
= 6,1Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 6,1.
4. a. Tabel distribusi frekuensi kumulatif datasebagai berikut.
D8 = nilai data ke-8
10 (60 + 1)
= nilai data ke-48,8D8 adalah nilai data ke-48,8 terletak di kelasinterval 22–25.L8 = 22 – 0,5 = 21,5
D8kf = 43
8Df = 9p = 25 – 22 + 1 = 4
D8 = L8 + D8
8
k
D
810
60 f
f
⋅ −
· p
= 21,5 + 48 43
9−
· 4
= 21,5 + 59 · 4 ≈ 21,5 + 2,2 = 23,7
Jadi, desil kedelapan data tersebut 23,7 cm.
b. P39 = nilai data ke-39
100 (60 + 1)
= nilai data ke-23,79P39 adalah nilai data ke-23,79 terletak di kelasinterval 18–21.L39 = 18 – 0,5 = 17,5
P39kf = 22
39Pf = 21
P39 = L39 + P39
39
k
P
39100
n f
f
⋅ −
· p
= 17,5 + 39
10060 22
21
⋅ −
· 4
= 17,5 + 1,421 · 4 ≈ 17,5 + 0,27
= 17,77Jadi, nilai persentil ke-39 data tersebut 17,77.
5. a. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.
x =
6
i ii 1
6
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑ =
48020 = 24
Jadi, rata-rata data 24.
b.
S2 =
62
i ii 1
6
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑ =
1.57020 = 78,5
Jadi, variansi data tersebut 78,5.
fi
2234342
20
Panjang (cm)
45–5455–6465–7475–8485–94
95–104105–114
7
i 1=∑
xi
49,559,569,579,589,599,5
109,5
fi xi
99119
208,5318
268,5398219
1.630
−ix x32221228
1828
122
← Kelas P39
fi
9 6 7
21
9
8
fk
9 15 22
43
52
60
Tinggi (m)
6–910–1314–17
18–21
22–25
26–29
← Kelas D8
xi
1217222732376
i 1=∑
fi
362153
20
fi · xi
36102 44 27160111
480
fi
362153
20
xi
1217222732376
i 1=∑
xi – x
–12–7–2
38
13
fi(xi – x )2
432294
8 9320507
1.570
13Matematika Kelas XI
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cBatas atas = Ba = 32,5Panjang kelas = p = 6Batas bawah = Bb
Ba = Bb + p – 1⇔ 32,5 = Bb + 6 – 1⇔ Bb = 32,5 – 5 = 27,5
Titik tengah = 12 (Bb + Ba) =
12 (27,5 + 32,5) = 30
Jadi, titik tengah kelas interval tersebut 30.
2. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi relatif data sebagaiberikut.
Dari tabel frekuensi relatif di atas diperoleh:Sebanyak 26,25% siswa yang memiliki tinggibadan 150–154 cm.Sebanyak 18,75% siswa yang memiliki tinggibadan 155–159 cm.Dengan demikian, persentase banyak siswa yangmemiliki tinggi badan 150–159 cm adalah26,25% + 18,75% = 45%
3. Jawaban: cDari tabel frekuensi relatif di atas diperoleh,sebanyak 26,25% siswa memiliki tinggi badan150–154 cm.
4. Jawaban: eTinggi badan minimal 160 cm, maka kelas inter-val yang memenuhi 160–164, 165–169, dan170–174.Persentase siswa yang memiliki tinggi badan mini-mal 160 cm = 12,5% + 10% + 7,5% = 30%Jadi, siswa kelas XI yang bisa menjadi anggotapaskibraka ada 30%.
5. Jawaban: dKelas interval yang memiliki nilai kurang dari 61adalah 41–50 dan 51–60.Sebanyak 10% siswa memperoleh nilai 41–40 dansebanyak 20% siswa memperoleh nilai 51–60.Banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari61 = (10% + 20%) × 120 = 36
6. Jawaban: dBanyak siswa yang memperoleh nilai 41–50 =10% × 120 = 12Banyak siswa yang memperoleh nilai 51–60 =20% × 120 = 24Banyak siswa yang memperoleh nilai 71–80 =15% × 120 = 18Banyak siswa yang memperoleh nilai 81–90 =12,5% × 120 = 15Jadi, sebanyak 15 siswa memperoleh nilai 81–90.
7. Jawaban: c
Sepeda motor yang tidak tergolong irit mengguna-kan 1 liter bensin untuk menempuh jarak kurangdari 58 km.Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada40 unit.Persentase banyak sepeda motor yang tidak
tergolong irit = 4060 × 100% = 66,67%.
8. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi relatif data sebagaiberikut.
Dari tabel di atas diperoleh sebanyak 20% sepedamotor menggunakan 1 liter bensin untuk menempuhjarak 46–51 km.
9. Jawaban: cData tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagaiberikut.
Banyak tanaman yang mempunyai tinggi kurangdari 26 cm adalah 21.
Presentase = 2130 × 100% = 70%.
Tinggi Badan(cm)
145–149150–154155–159160–164165–169170–174
fi
2021151086
frelatif
25% 26,25%18,75%12,5%10%
7,5%
fi
81220
119
Jarak per Liter Bensin
40–4546–5152–57
58–6364–69
fk
82040
5160
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
�����
���
Tidak irit
Irit
fi
81220119
Jarak per Liter Bensin
40–4546–5152–5758–6364–69
frelatif
13,3%20%
33,3%18,3%15%
fi
3657
9
Tinggi Tanaman (cm)
10–1314–1718–2122–25
26–29
fk
3 91421
30– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
����� Tinggi
tanamankurangdari 26 cm
14 Statistika
10. Jawaban: dBanyak tanaman yang memiliki tinggi 10–17 =3 + 6 = 9Banyak tanaman yang memiliki tinggi 14–21 =6 + 5 = 11Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–21 = 5Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–25 =5 + 7 = 12Jadi, sebanyak 12 tanaman memiliki tinggi18–25 cm.
11. Jawaban: cTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Oleh karena banyak data genap, nilai median:
Me = data ke-50 data ke-51
2+
= 27 28
2+
= 27,5Jadi, median data tersebut 27,5.
12. Jawaban: c
x = 234 242 2503
+ +
= 7263
= 242Jadi, rata-rata hasil susu kambing etawa pada3 periode terakhir 242 liter.
13. Jawaban: cSumbangan kelompok I:x1 = 6 × Rp5.000,00
= Rp30.000,00Sumbangan kelompok II: x2 = 8 × Rp4.500,00
= Rp36.000,00Sumbangan kelompok III:x3 = 10 × Rp3.500,00
= Rp35.000,00Sumbangan kelompok IV:x4 = 11 × Rp4.000,00
= Rp44.000,00
Sumbangan kelompok V:x5 = 15 × Rp2.000,00
= Rp30.000,00
Rata-rata sumbangan setiap kelompok:
x = 1 2 3 4 5x x x x x6 8 10 11 15
+ + + ++ + + +
= 30.000 36.000 35.000 44.000 30.000
50+ + + +
= 175.000
50= 3.500
Jadi, rata-rata sumbangan setiap kelompokRp3.500,00.
14. Jawaban: aBanyak siswa di kelas A = nA = 15Banyak siswa di kelas B = nB = 10Banyak siswa di kelas C = nC = 25Rata-rata nilai gabungan = x = 58,6Rata-rata nilai di kelas A = xA = 62Rata-rata nilai di kelas C = xC = 60
x = A A B B C C
A B C
n x n x n xn n n
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
⇔ 58,6 = B15 62 10 x 25 6015 10 25
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
⇔ 58,6 = B10x 2 43050+ ⋅
⇔ 2.930 = B10x + 2.430
⇔ B10x = 500
⇔ xB = 50Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50.
15. Jawaban: e
x =
6
i ii 1
6
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑
= 37530
= 12,5Jadi, rata-rata poin pemain tersebut 12,5.
16. Jawaban: aTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 30
Me = nilai data ke- 30 12+
= nilai data ke-15,5Median adalah nilai data ke-15,5 terletak di kelasinterval 14–16.
fi
2014163569
Data
252627282930
fk
2034508591
100
← Kelas Me
fi
6 5 410 3 2
Poin
5–78–10
11–1314–1617–1920–22
fk
61115 25 28 30
15Matematika Kelas XI
L = 14 – 0,5 = 13,5fkMe
= 15
fMe= 10
p = 16 – 14 + 1 = 3
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
= 13,5 + 12
30 15
10
⋅ −
· 3
= 13,5 + 0 · 5= 13,5
Jadi, mediannya adalah 13,5.
17. Jawaban: cData dalam bentuk tabel distribusi frekuensisebagai berikut.
x =
6
i ii 1
5
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑
= 3.730
40= 93,25
Jadi, rata-rata berat pasir dalam karung 93,25 kg.
18. Jawaban: eMo terletak pada kelas interval yang memuat titiktengah 93–95.L = 93 – 0,5 = 92,5d1 = 10 – 7 = 3d2 = 10 – 5 = 5p = 95 – 93 + 1 = 3
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 92,5 + 33 5
+
· 3
= 92,5 + 98
= 92,5 + 1,125= 93,625
Jadi, modus berat pasir dalam karung 93,625 kg.
19. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.
Banyak data = n = 40
Median = nilai data ke- 40 + 12
= nilai data ke-20,5Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelasinterval 93–95.L = 93 – 0,5 = 92,5fkMe
= 17
fMe= 10
p = 3
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
= 92,5 + 20 1710
− · 3
= 92,5 + 0,9= 93,4
Jadi, median berat pasir dalam karung 93,4 kg.
20. Jawaban: cTabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.
Mo terletak di kelas interval 65–69.L = 65 – 0,5 = 64,5d1 = 10 – 8 = 2d2 = 10 – 8 = 2p = 69 – 65 + 1 = 5
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 64,5 + 22 2
+
· 5
= 64,5 + 2,5
= 67Jadi, modus berat berat badan siswa 67 kg.
Berat Pasir (kg)
84–8687–8990–9293–9596–98
99–101
6
i 1=∑
fi
467
1058
40
xi
8588919497
100
fi xi
340528637940485800
3.730
Berat Pasir (kg)
84–8687–8990–9293–9596–98
99–101
fi
467
1058
fk
41017273240
Berat Badan (kg)
50–5455–5960–6465–6970–7475–79
← Kelas Mo
fi
468
1084
fk
41018283640
16 Statistika
21. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.
Rata-rata berat badan siswa:
x– =
6
i ii 1
6
ii 1
fx
f
=
=
∑
∑ = 2.600
40 = 65 kg
Jadi, rata-rata berat badan siswa 65 kg.
22. Jawaban: eTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 44
Median = nilai data ke-12 (44 + 1)
= nilai data ke-2212
Median adalah nilai data ke-2212 di kelas interval
yang mempunyai titik tengah 8.
L = 5 82+ = 6,5; Mekf = 8; fMe
= 16; p = 8 – 5 = 3
Median = L + −
Me
e
1k2
M
n f
f · p
= 6,5 + 12 44 8
16
⋅ −
· 3
= 6,5 + 1416
· 3
≈ 6,5 + 2,63= 9,13
Jadi, median data 9,13.
23. Jawaban: aMo terletak di kelas interval yang memuat titiktengah 28,5.
L = 12 (24,5 + 28,5)
= 12 (53) = 26,5
d1 = 11 – 3 = 8d2 = 11 – 10 = 1p = 28,5 – 24,5 = 4
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 26,5 + 88 1
+
· 4
= 26,5 + 89 · 4
= 12
26 + 59
3
= 1
1830
Jadi, modus data 1
1830 .
24. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 40
Median = nilai data ke-12 (40 + 1)
= nilai data ke-20,5Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelasinterval 31–34.L = 31 – 0,5 = 30,5fkMe
= 5 + 11 = 16
eMf = 10p = 34 – 31 + 1 = 4
Me = L + Me
e
1k2
M
n f
f
−
· p
= 30,5 + 12
40 16
10
⋅ −
· 4
= 30,5 + 4
10 · 4
= 30,5 + 1,6 = 32,1Jadi, median data 32,1.
fi
4
6
8
10
8
4
40
fixi
208
342
496
670
576
308
2.600
xi
12 (49,5 + 54,5) = 52
12 (44,5 + 59,5) = 57
12 (59,5 + 64,5) = 62
12 (64,5 + 69,5) = 67
12 (69,5 + 74,5) = 72
12 (74,5 + 79,5) = 77
6
i = 1∑
fi
816 6 7 4 3
Titik Tengah
58
11141720
fk
8243037 41 44
← Kelas Me
fkMe
←fi
511
10
68
fk
516
26
3240
Nilai
23–2627–30
31–34
35–3839–42
← Kelas Me
17Matematika Kelas XI
25. Jawaban: cData setelah diurutkan:5 6 7 7 9 9 10 1011 12 12 15 18 18 21 21
Q1 = nilai data ke- 16 + 14
= nilai data ke-4,25= x4 + 0,25(x5 – x4) = 7 + 0,25(9 – 7)
= 7 + 0,5= 7,5
Q3 = nilai data ke- 3(16 + 1)4
= nilai data ke-12,75= x12 + 0,75(x13 – x12) = 15 + 0,75(18 – 15)
= 15 + 2,25= 17,25
Simpangan kuartil = 12
(Q3 – Q1)
= 12
(17,25 – 7,5)
= 12
(9,75) = 4,875
Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875.26. Jawaban: c
Jumlah siswa = n = 40
Kuartil bawah (Q1) = nilai data ke- 14
(40 + 1)
= nilai data ke-10 14
Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Kuartil bawah adalah data ke-10 14
pada kelasinterval 155–159.L1 = 155 – 0,5 = 154,5fQ1
= 10fkQ1
= 4p = 159 – 155 + 1 = 5Kuartil bawah:
Q1 = L1 +
−
k Q1
1
14
Q
n f
f · c
= 154,5 + ⋅ −
14
40 4
10 · 5
= 154,5 + 3 = 157,5
Jadi, kuartil bawah dari data tinggi badan adalah157,5 cm.
27. Jawaban: eTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
D7 = nilai data ke-7
10 (30 + 1)
= nilai data ke-21,7D7 adalah nilai data ke-21,7 terletak pada kelasinterval 36–39.L7 = 36 – 0,5 = 35,5fD7
= 3fkD7
= 21p = 4
D7 = L7 + D3
3
k
D
710
n f
f
⋅ −
· p
= 35,5 + 21 213−
· 4
= 35,5 + 4= 35,5
Jadi, desil ke-7 data tersebut 35,5.
28. Jawaban: a
P30 = nilai data ke-30
100 (30 + 1)
= nilai data ke-9,3P30 adalah nilai data ke-9,3 terletak di kelas inter-val 28–31.L30 = 28 – 0,5 = 27,5
P30kf = 7
30Pf = 4
P30 = L30 + P30
30
k
P
30100
n f
f
⋅ −
· p
= 27,5 + 900100
7
4
−
· 4
= 27,5 + 2= 29,5
Jadi, persentil ke-30 data tersebut 29,5.
Tinggi Badan(cm)
150–154155–159160–164165–169170–174175–179
fi
4106848
fk
41420283240
← Kelas Q1
fkQ1
←
← Kelas P30
← Kelas D7
Usia (Tahun)
20–2324–27
28–31
32–35
36–39
40–43
fi
3 4
4
10
3
6
fk
3 7
11
21
24
30
18 Statistika
29. Jawaban: d
x =
4
i ii 1
4
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑ =
46020 = 23
S2 =
42
i ii 1
4
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑ =
19820 = 9,9
Jadi, ragam data tersebut 9,9.
30. Jawaban: c
x– =
5
i ii 1
5
ii 1
fx
f
=
=
∑
∑ =
1.38060 = 23
5i i
i 1f | x x |
=∑ − = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23|
+ 12|27 – 23| + 18|32 – 23|= 15 × 11 + 6 × 6 + 9 × 1 + 12 × 4 +
18 × 9= 165 + 36 + 9 + 48 + 162= 420
Simpangan rata-rata:
SR =
5
i ii 1
5
ii 1
f | x x |
f
=
=
−∑
∑ =
42060 = 7
B. Uraian
1. Data setelah diurutkan sebagai berikut.1 2 3 4 6 6 6 7 7 78 8 8 9 9 10 10 11 11 1212 13 13 14 15 16 16 17 17 1819 20 21 22 23 24 25 26 27 28Banyak data = n = 40
Nilai data terkecil = 1Nilai data terbesar = 28Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil
= 28 – 1 = 27Banyak kelas = k
= 1 + 3,3 log n= 1 + 3,3 log 40= 1 + 3,3 × 1,602= 1 + 5,2866= 6,2866≈ 6
Panjang kelas (p) = jangkauan
banyak kelas
= 276
= 4,5≈ 5
Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval pertama.Bb1 = nilai data terkecil = 1Ba1 = Bb1 + p –1 = 1 + 5 – 1 = 5Diperoleh kelas interval pertama : 1–5Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval kedua.Bb2 = Ba1 + 1 = 5 + 1 = 6Ba2 = Bb2 + p – 1 = 6 + 5 – 1 = 10Diperoleh kelas interval kedua : 6–10Dengan cara yang sama diperoleh:Kelas interval ketiga : 11–15Kelas interval keempat : 16–20Kelas interval kelima : 21–25Kelas interval keenam : 26–30Tabel distribusi frekuensi data pemakaian air PAMper keluarga dalam sebulan di Kampung Palapasebagai berikut.
2.
fi
9452
20
Tinggi (meter)
19–2122–2425–2728–30
4
i 1=∑
xi
20232629
fi xi
18092
13058
460
xi – x–
–3036
fi(xi – x–)2
810
4572
198
fi
15
6
9
12
18
60
fixi
180
102
198
324
576
1.380
xi
12 (9,5 + 14,5) = 12
12 (14,5 + 19,5) = 17
12 (19,5 + 24,5) = 22
12 (24,5 + 29,5) = 27
12 (39,5 + 34,5) = 32
5
i = 1∑
Volume Air (m3)
1–56–1011–1516–2021–2526–30
fi
413
8753
xi
4 5 6 7 8 9107
i 1=∑
fi
2641548
30
fi xi
83024 7403680
225
|xi – x–|
3,52,51,50,50,51,52,5
12,5
19Matematika Kelas XI
a. Rata-rata berat benda:
x =
7
i ii 1
7
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑ =
22530 = 7,5
Benda yang mempunyai berat minimal 1 kgdi atas rata-rata berat benda adalah bendayang mempunyai berat minimal 7,5 kg.Banyak benda yang mempunyai berat minimal7,5 kg = 5 + 4 + 8 = 17.Jadi, terdapat 17 benda yang mempunyai beratminimal 1 kg di atas rata-rata berat benda.
b. Simpangan rata-rata berat benda:
SR =
5
i ii 1
7
ii 1
f | x x |
f
=
=
−∑
∑ =
12,530 ≈ 0,42
Jadi, simpangan rata-rata berat benda 0,42.
3. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 20
Q1 = nilai data ke- 14
(20 + 1)
= nilai data ke-5,25= x5 + 0,25(x6 – x5) = 2 + 0,25(4 – 2)
= 2 + 0,5= 2,5
Q3 = nilai data ke- 34
(20 + 1)
= nilai data ke-15,75= x15 + 0,75(x16 – x15) = 7 + 0,75(10 – 7)
= 7 + 2,25= 9,25
Simpangan kuartil = 12
(Q3 – Q1)
= 12
(9,25 – 2,5)
= 12
(6,75)
= 3,375Jadi, simpangan kuartil data tersebut 3,375.
4. a.
x =
5
i ii 1
5
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑
⇔ 168,4 = 10.340 174x62 x
++
⇔ 10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x⇔ 100,8 = 5,6x⇔ x = 18Jadi, banyak orang bertinggi badan antara171 cm dan 177 cm ada 18 orang.
b. Orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cmadalah orang yang bertinggi badan 164–170 cm,171–177 cm, dan 178–184 cm.Banyak orang yang bertinggi badan lebih dari163 cm = 16 + 18 + 20 = 54 orang.Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebihdari 163.
5. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Me = nilai data ke-34 1
2+
= nilai data ke-17,5Median adalah nilai data ke-17,5 terletak di kelasinterval 65–69.L = 65 – 0,5 = 64,5p = 69 – 65 + 1 = 5
Mekf = 16
eMf = 6
Nilai (xi)
247
1013
fi
52832
fk
57
151820
xi
153160167174181
Tinggi Badan (cm)
150–156157–163164–170171–177178–184
5
i 1=∑
fi xi
2.4481.6002.672174x3.620
10.340 + 174x
fi
161016x
20
62 + x
← Kelas Me
fk
3 716
22
242934
Tinggi BadanBalita (cm)
50–5455–5960–64
65–69
70–7475–7980–84
fi
4 3 9
6
2 55
20 Statistika
Me = L + Me
e
k
M
n2
f
f
−
· p
= 64,5 + 342
6
10
−
· 5
= 64,5 + 0,5 = 65Jadi, median data di atas adalah 65 cm.
6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyakadalah 28. Berarti modus data terletak di kelasinterval yang memuat titik tengah 28.
Tepi bawah kelas modus L = 12 (23 + 28) = 25,5
p = 28 – 23 = 5d1 = 13 – 4 = 9d2 = 13 – 7 = 6
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 25,5 + 9
9 6 +
· 5
= 25,5 + 3= 28,5
Jadi, modus data 28,5.
7. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Q1 = nilai data ke-14 (80 + 1)
= nilai data ke-20,25Q1 adalah nilai data ke-20,25 terletak di kelasinterval 149–152.L1 = 149 – 0,5 = 148,5fkQ1
= 15
1Qf = 20
Q1 = L1 + Q1
1
1k4
Q
n f
f
−
· p
= 148,5 + 14
80 15
20
⋅ −
· 4
= 148,5 + 520 · 4
= 148,5 + 1= 149,5
Q3 = nilai data ke-34 (80 + 1)
= nilai data ke-60,75Q3 adalah nilai data ke-60,75 terletak di kelasinterval 157–160.L3 = 157 – 0,5 = 156,5
Q3kf = 53
3Qf = 14
Q3 = L3 + Q3
3
3k4
Q
n f
f
−
· p
= 156,5 + 34
80 53
14
⋅ −
· 4
= 156,5 + 7
14 · 4
= 156,5 + 2 = 158,5Jangkauan antarkuartil:H = Q3 – Q1
= 158,5 – 149,5= 9
Jadi, jangkauan antarkuartil tinggi siswa putri 9 cm.
8. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.
Banyak data = n = 70
D7 = nilai data ke- 710
(70 + 1)
= nilai data ke-49,7D7 adalah nilai data ke-49,7 terletak di kelas interval37–41.L7 = 37 – 0,5 = 36,5fD7
= 10
fkD7= 47
p = 41 – 37 + 1 = 5
D7 = L7 + D7
7
k
D
710
n f
f
⋅ −
· p
= 36,5 + 7
1070 47
10
⋅ −
· 5
= 36,5 + 2
10
· 5
= 36,5 + 1= 37,5
Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5.
← Kelas Q1
← Kelas Q3
fi
15
20
18
14
85
Tinggi Badan (cm)
145–148
149–152
153–156
157–160
161–164165–168
fk
15
35
53
67
7580
← Kelas D7
fi
10 5 8 618
10
13
Nilai
12–1617–2122–2627–3132–36
37–41
42–46
fk
1015232947
57
70
21Matematika Kelas XI
9. Banyak data = n = 35 + pP30 terletak di kelas interval 105–109.L30 = 105 – 0,5 = 104,5fkMe
= 8
fMe= p
p = 109 – 105 + 1 = 5
P30 = L30 + P30
30
k
P
30100
n f
f
⋅ −
· p
⇔ 108,5 = 104,5 + ( )0,3 35 p 8p
+ −
· 5
⇔ 4 = 10,5 0,3p 8
p+ −
· 5
⇔ 0,8 = 2,5 0,3p
p+
⇔ 0,8p = 2,5 + 0,3p⇔ 0,5p = 2,5⇔ p = 5Banyak potongan logam yang beratnya kurang dari110 gram = 8 + p = 8 + 5 = 13.
10. a.
x =
7
i ii 1
7
ii 1
f x
f
=
=
∑
∑ =
1.96070 = 28
Jadi, rata-rata panjang potongan bambu28 cm.
b.7 2
i ii 1
f(x x)=∑ −
= 6(12 – 28)2 + 10(17 – 28)2 + 5(22 – 28)2 +15(27 – 28)2 + 20(32 – 28)2 + 5(37 – 28)2
+ 9(42 – 28)2
= 6(–16)2 + 10(–11)2 + 5(–6)2 + 15(–1)2 +20(4)2 + 5(9)2 + 9(14)2
= 1.536 + 1.210 + 180 + 15 + 320 + 405 +1.764
= 5.430Variansi:
S2 =
7 2i i
i 17
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑ =
5.43070 = 77
47
Jadi, variansi panjang potongan bambu
7747 cm.
fi
610 51520 5 9
70
Panjang (cm)
10–1415–1920–2425–2930–3435–3940–44
7
i 1=∑
xi
12172227323742
fi xi
72170110405640185378
1.960
22 Aturan Pencacahan dan Peluang
Setelah mempelajari bab ini peserta didik mampu:1. mendeskripsikan dan menerapkan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah;2. menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan;3. menghitung peluang suatu kejadian dan peluang kejadian majemuk.
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik jeli dalam menganalisis setiap permasalahan danmemilih cara yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Aturan Pencacahan dan Peluang
Aturan Pencacahan
• Mendeskripsikan konsep aturanperkalian, permutasi, dan kombinasi.
• Menerapkan konsep aturan per-kalian, permutasi, dan kombinasidalam pemecahan masalah nyata.
• Memilih dan menggunakan aturanpencacahan yang sesuai dalampemecahan masalah nyata sertamemberikan alasannya.
• Mengidentifikasi masalah nyatadan menerapkan aturan perkalian,permutasi, dan kombinasi dalampemecahan masalah tersebut.
• Bersikap jeli dalam menganalisis setiap permasalahan dan memilih cara yang tepat untuk menyelesaikanpermasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
• Mampu menjelaskan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.• Mampu mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam
pemecahan masalah tersebut.• Mampu menjelaskan pengertian ruang sampel suatu percobaan dan mampu menentukan ruang sampel suatu
percobaan.• Mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian serta mampu
menentukan peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian.• Mampu menjelaskan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dan mampu menentukan frekuensi harapan
suatu kejadian.• Mampu menjelaskan pengertian kejadian saling lepas dan tidak saling lepas.• Mampu menentukan peluang gabungan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas.• Mampu menjelaskan pengertian kejadian saling bebas dan tidak saling bebas.• Mampu menentukan peluang irisan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas.
Peluang Suatu Kejadian Peluang Kejadian Majemuk
• Mendefinisikan pengertian ruangsampel suatu percobaan.
• Menentukan ruang sampel suatupercobaan.
• Mendefinisikan pengertian peluangsuatu kejadian dan peluangkomplemen suatu kejadian.
• Menentukan peluang suatu kejadi-an dan peluang komplemen suatukejadian.
• Menjelaskan kisaran nilai peluang.• Mendefinisikan pengertian frekuensi
harapan suatu kejadian.• Menentukan frekuensi harapan
suatu kejadian.
• Mendefinisikan pengertian kejadiansaling lepas dan tidak saling lepas.
• Mendefinisikan pengertian peluanggabungan kejadian saling lepasdan tidak saling lepas.
• Menentukan peluang gabungankejadian saling lepas dan tidaksaling lepas.
• Mendefinisikan pengertian kejadiansaling bebas dan tidak saling bebas.
• Mendefinisikan pengertian peluangirisan kejadian saling bebas dantidak saling bebas.
• Menentukan peluang irisan kejadi-an saling bebas dan tidak salingbebas.
23Matematika Kelas XI
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: d
10!7!4! +
6!3!3! =
10 9 8 7!7! 4 3 2 1
× × ×× × × × +
6 5 4 3!3! × 3 2 1
× × ×× ×
= 10 × 3 + 5 × 4= 30 + 20= 50
2. Jawaban: bn + 1P3 = 9 × nP2
⇔(n 1)!
(n 1 3)!+
+ − = 9 × n!
(n 2)!−
⇔(n 1)!(n 2)!
+− = 9 ×
n!(n 2)!−
⇔ (n 1)!(n 2)!
+−
× (n 2)!−
n!= 9
⇔ (n 1)n!n!+
= 9
⇔ n + 1 = 9⇔ n = 8Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8.
3. Jawaban: dPerlengkapan skateboard:Papan ada 3 pilihan.Set roda ada 2 pilihan.Set sumbu ada 1 pilihan.Set perlengkapan kecil ada 2 pilihan.Jadi, banyak skateboard berbeda yang dapat dibuat= 3 × 2 × 1 × 2 = 12
4. Jawaban: cBilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan. Bilangan yang dibentuk nilai-nya lebih dari 200, maka angka yang menempatinilai tempat ratusan adalah 2, 3, 4, atau 5. Berartiterdapat 4 cara untuk menempati nilai tempatratusan.Angka yang dapat menempati nilai tempat puluhanadalah 1, 2, 3, 4, atau 5 ada 5 angka. Oleh karenaangka dalam setiap bilangan berbeda, terdapat(5–1) angka yang dapat menempati nilai tempatpuluhan.Berarti ada (5–1) = 4 cara untuk menempati nilaitempat puluhan. Begitu juga dengan nilai tempatsatuan, terdapat (4–1) = 3 cara untuk menempatinilai tempat satuan. Dengan demikian, banyakbilangan lebih dari 200 yang dapat dibentuk= 4 × 4 × 3 = 48.
5. Jawaban: bBilangan tiga angka mempunyai nilai tempatratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang
dibentuk genap, maka angka yang menempatitempat satuan adalah 2 dan 4. Berarti ada 2 carauntuk menempati nilai tempat satuan.Nilai tempat ratusan dapat ditempati 4 angka ter-sisa setelah 1 angka menempati nilai tempat satuan.Nilai tempat puluhan dapat ditempati 3 angkatersisa setelah 1 angka menempati nilai tempatsatuan dan 1 angka menempati tempat ratusan.Banyak cara menempati nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan disusun dalam tabel berikut.
Banyak bilangan genap yang terbentuk= 4 × 3 × 2 = 24.
6. Jawaban: cAkan dipilih 5 orang sebagai ketua, wakil ketua,sekretaris, bendahara, dan humas.Pemilihan ketua, wakil ketua, sekretaris,bendahara, dan humas merupakan pemilihan yangmemperhatikan urutan (permutasi).Banyak cara memilih 5 pengurus dari 7 pengurus= permutasi 5 unsur dari 7 unsur= 7P5
= 7!
(7 5)!−
= 7 6 5 4 3 2!
2!× × × × ×
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3= 2.520Jadi, banyak cara memilih pengurus 2.520 cara.
7. Jawaban: aResa dapat berdiri di ujung kanan atau kiri sehinggaada 2 cara Resa berdiri di salah satu ujung. Sisanyaada 4 anak yang dapat diatur dengan 4P4 cara.Dengan demikian, banyak urutannya= 2 × 4P4= 2 × 4!= 2 × 4 × 3 × 2 × 1= 48 urutan
8. Jawaban: aBanyak susunan kata yang dapat dibentuk darikata WIYATA= permutasi 6 elemen dengan 2 elemen sama
= 6!2!
= 6 5 4 3 2!
2!× × × ×
= 360Jadi, ada 360 kata yang dapat dibentuk.
Ratusan
4 cara
Puluhan
3 cara
Satuan
2 cara
24 Aturan Pencacahan dan Peluang
9. Jawaban: aB, C, dan D selalu berdampingan berarti dianggap1 kelompok atau 1 unsur yaitu BCD.Banyak unsur yang disusun ada 4 yaitu A, BCD,E, dan F, berarti banyak cara menyusun ke-4 unsur= 4P4 = 4!.Banyak cara menyusun B, C, dan D = 3P3 = 3!.Banyak cara berfoto = 4P4 × 3P3
= 4! × 3!= 24 × 6 = 144
Jadi, cara berfoto ada 144.10. Jawaban: b
Ketua, wakil ketua, sekretaris, dan 3 anggotadewan akan duduk melingkar.Ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipandangsebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadipermutasi siklis dari 1 + 3 = 4 unsur.Banyak susunan duduk ketua di antara wakil ketuadan sekretaris = 2!Banyak susunan duduk dari ketujuh anggota DPRD= (4 – 1)! × 2!= 3! × 2!= 6 × 2 = 12Jadi, banyak cara duduk dalam rapat tersebut ada12 cara.
11. Jawaban: eJumlah soal yang harus dikerjakan 5. Dua soal(nomor 1 dan 2) wajib dikerjakan, berarti ada 3 soalyang harus dipilih siswa.Tiga soal tersebut dapat dipilih dari 5 soal, yaitunomor 3, 4, 5, 6, dan 7. Banyak pilihan soal yangmungkin dikerjakan siswa= memilih 3 soal dari 5 soal= kombinasi 3 unsur dari 5 unsur= 5C3
= 5!
3!(5 3)!− = 5 4 3!3! 2 1
× ×× × = 10
Jadi, banyak pilihan soal yang mungkin dikerjakanada 10.
12. Jawaban: dBanyak cara menyusun ketiga merek motor = 3!Banyak cara menyusun motor Honda = 4!Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3!Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2!Banyak penyusunan barisan dengan setiap merektidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728
13. Jawaban: cJumlah buah yang dibeli Andi = 18Andi membeli paling sedikit 5 buah untuk setiapjenis buah, maka sebanyak 15 buah yang terdiriatas 5 apel, 5 jeruk, dan 5 mangga sudah pastidibeli Andi.Dengan demikian, sebanyak 3 buah belumdiketahui komposisi masing-masing jenis buahyang akan dibeli Andi.
Komposisi 3 jenis buah tersebut dapat dicarimenggunakan cara berikut.Jumlah 3 buah tersebut dapat diwakili denganangka 0, 1, 2, dan 3.Apel (a) Jeruk (j) Mangga (m) Komposisi Buah
(0a, 0j, 3m) berarti membeli 5 apel, 5 jeruk, dan8 mangga.(0a, 1j, 2m) berarti membeli 5 apel, 6 jeruk, dan7 mangga.(0a, 2j, 1m) berarti membeli 5 apel, 7 jeruk, dan6 mangga, dan seterusnya.Oleh karena terdapat 10 komposisi 3 buah yangakan dibeli, maka komposisi banyak buah yangmungkin dibeli Andi ada 10.
14. Jawaban: bKemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit 1putri yaitu terdiri atas (2 putra dan 1 putri),(1 putra dan 2 putri), atau (3 putri).n1 = banyak kemungkinan anggota tim 2 putra dan
1 putri= memilih 2 putra dari 5 putra dan memilih
1 putri dari 6 putri= 5C2 × 6C1
= 5!
2!3! × 6!
1!5!
= 10 × 6 = 60n2 = banyak kemungkinan anggota tim 1 putra dan
2 putri= memilih 1 putra dari 5 putra dan memilih
2 putri dari 6 putri= 5C1 × 6C2
= 5!
4!1! × 6!
4!2!
= 5 × 15 = 75n3 = banyak kemungkinan anggota tim 3 putri
= memlih 3 putri dari 6 putri= 6C3
= 6!
3!3! = 20
3210210100
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
0
1
(0a, 0j, 3m)(0a, 1j, 2m)(0a, 2j, 1m)(0a, 3j, 0m)(1a, 0j, 2m)(1a, 1j, 1m)(1a, 2j, 0m)(2a, 0j, 1m)(2a, 1j, 0m)(3a, 0j, 0m)
0123012010
2
3
25Matematika Kelas XI
Angka I Angka II Angka III Angka IV
5 cara 5 cara 5 cara 5 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
1 cara 5 cara 5 cara 1 cara
Banyak cara memilih anggota tim= n1 + n2 + n3= 60 + 75 + 20= 155
15. Jawaban: an1 = banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka
(boleh berulang) yang dapat dibuat dari5 angka
= 5 × 5 × 5 × 5= 625
n2 = banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka(boleh berulang) dengan angka terakhir 0 danangka pertama 0
= 1 × 5 × 5 × 1= 25
Banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angkadengan angka pertama atau terakhir tidak nol= n1 – n2= 625 – 25= 600
B. Uraian1. a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2
⇔2 (2n 1)!
2!(2n 1 2)!⋅ +
+ − = 3!n!
(n 2)!−
⇔ (2n 1)(2n 1 1)(2n 1 2)!
(2n 1 2)!+ + − + −
+ − = 6n(n 1)(n 2)!
(n 2)!− −
−
⇔ (2n + 1) · 2n = 6n(n –1)⇔ 2n + 1 = 3(n – 1)⇔ 2n + 1 = 3n – 3⇔ n = 4Jadi, nilai n = 4.
b. 9 n
10 n 1
CC +
= 3
10
⇔ 10 · 9Cn = 3 · 10Cn + 1
⇔10 9!
n!(9 n)!⋅− =
3 10!(n 1)!(10 n 1)!
⋅+ − −
⇔10!
n!(9 n)!− = 3 10!
(n 1)n!(9 n)!⋅
+ −
⇔ 11 =
3n 1+
⇔ n + 1 = 3⇔ n = 2Jadi, nilai n = 2.
c. n · 6P2 = nP3
⇔ n 6!4!⋅
= n!
(n 3)!−
⇔ n 6 5 4!4!
⋅ ⋅ ⋅=
n(n 1)(n 2)(n 3)!(n 3)!
− − −−
⇔ 30 = (n – 1)(n – 2)⇔ n2 – 3n + 2 = 30⇔ n2 – 3n – 28 = 0⇔ (n – 7)(n + 4) = 0⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 4⇔ n = 7 atau n = –4nP3 mempunyai syarat n ≥ 3.Jadi, nilai n yang memenuhi 7.
2. a. Bola merah ada 9 buah.Banyak cara pengambilan tiga bola merah= kombinasi 3 dari 9= 9C3
= 9!
3!(9 3)!−
= 9 8 7 6!3 2 1 6!
× × ×× × × = 84
Jadi, banyak cara pengambilan ketiganya bolamerah adalah 84.
b. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bolabiru. Artinya, bola yang terambil 2 bola birudan 1 bola merah.Banyak cara pengambilan 2 bola biru dan1 bola merah= 5C2 × 9C1
= 5!
2!3! × 9!
1!8!
= 5 4 3!2 1 3!
× ×× × ×
9 8!1 8!
××
= 10 × 9 = 90Jadi, banyak cara pengambilan 2 bola biruadalah 90.
3. Banyak cara memilih 3 huruf konsonan dari 5 hurufkonsonan= 5C3
= 5!
3!2! = 5 4 3!2 1 3!
× ×× × = 10 cara
Banyak cara memilih 2 huruf vokal dari 3 hurufvokal= 3C2
= 3!
2!1! = 3 2!2! 1
×× = 3 cara
Banyak cara menyusun 5 huruf= 5P5= 5! = 120 caraBanyak password yang terbentuk= 5C3 × 3C2 × 5P5= 10 × 3 × 120 = 3.600Jadi, banyak password yang terbentuk ada 3.600.
26 Aturan Pencacahan dan Peluang
4. Orang-orang dari 4 negara duduk secara melingkardengan (4 – 1)! = 3!.3 orang dari Amerika dapat duduk dengan 3! cara.2 orang dari Irlandia dapat duduk dengan 2! cara.4 orang dari Korea dapat duduk dengan 4! cara.2 orang dari Filipina dapat duduk dengan 2! cara.Banyak cara duduk 11 orang = 3! 3! 2! 4! 2!= 6 × 6 × 2 × 24 × 2= 3.456 caraJadi, banyak cara peserta duduk adalah 3.456.
5. Bilangan terdiri atas 3 angka akan disusun dariangka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 tanpa ada angkayang sama dalam setiap bilangan.Banyak bilangan 3 angka yang nilainya di antara520 dan 600 yang dapat disusun sebagai berikut.
Banyak bilangan yang tersusun = 1 × 5 × 6 = 30.Bilangan 520 tidak termasuk karena syaratnyalebih dari 520.
n1 = banyak bilangan yang lebih dari 520 dankurang dari 600
= 30 – 1= 29
Banyak bilangan 3 angka yang nilainya lebih besardari 599 yang dapat disusun sebagai berikut.
n2 = banyak bilangan 3 angka yang nilainya lebihbesar dari 599
= 2 × 7 × 6= 84
Banyak bilangan 3 angka yang bernilai lebih besardari 520 dan tidak boleh berulang= n1 + n2= 29 + 84= 113Jadi, ada 113 bilangan yang dapat disusun.
Dua angka sudah digunakan.Jadi, tersisa 6 cara.
Dapat ditempati angka selain 6 atau 7.Jadi, ada 7 cara.
Ratusan Puluhan Satuan
2 cara 7 cara 6 cara
Dapat ditempati angka 6 atau 7.Jadi, ada 2 cara.
Angka 5 dan sebuah angkasudah digunakan.Jadi, tersisa 8 – 2 = 6 cara.
Dapat ditempati angka 2, 3, 4, 6, atau 7.Jadi, ada 5 cara.
Ratusan Puluhan Satuan
1 cara 5 cara 6 cara
Ditempati angka 5.Jadi, ada 1 cara.
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: c
Jumlah bohlam = 3 × 12 = 36Banyak bohlam dalam kondisi baik = 36 – 5 = 31Ruang sampel S = kejadian pengambilan 2 bohlamdari 36 bohlam.n(S) = banyak cara mengambil 2 bohlam dari
36 bohlam= 36C2
=−
36!2!(36 2)!
= × ×× ×
36 35 34!2 1 34!
= 18× 35 = 630
Misalkan A = kejadian terambil dua bohlam dalamkondisi baik dari 31 bohlam dalam kondisi baikn(A) = banyak cara mengambil 2 bohlam dari
31 bohlam
= 31C2 = −
31!2!(31 2)!
= × ×× ×
31 30 29!2 1 29!
= 31× 15 = 465
Peluang terambil kedua bohlam dalam kondisi baik:
P(A) = n(A)n(S) =
465630 =
3142
Jadi, peluang terambil kedua bohlam dalam kondisi
baik adalah 3142
.
2. Jawaban: cJumlah kelereng = 5 + 3 + 2 = 10Ruang sampel S = kejadian terambil 3 bola dari10 bola.n(S) = banyak cara mengambil 3 bola dari 10 bola
= 10C3
= −10!
3!(10 3)!
= 10 × 9 × 8 × 7!3 × 2 ×1× 7! = 10 × 3 × 4 = 120
Misalkan A = kejadian terambil 2 bola merah dan1 bola kuning.
27Matematika Kelas XI
Ribuan Puluhan Satuan
1 ... 2, 4, 6 atau 8
2 ... 4, 6, atau 8
4 ... 2, 6, atau 8
n(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari5 bola merah dan 1 bola kuning dari 3 bolakuning
= 5C2 × 3C1
=!
!( )!−5
2 5 2 × −3!
1!(3 1)!
=5 × 4 × 3!2 ×1 3!× ×
3 × 2!1× 2! = 5 × 2 × 3 = 30
Peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola kuning:
P(A) = n(A)n(S) =
30120 =
312
Jadi, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola
kuning adalah 3
12 .
3. Jawaban: bRuang sampel S = kejadian terpilihnya 2 angkadari 12 angka.n(S) = banyak cara memilih 2 angka dari 12 angka
= 12C2 = −12!
2!(12 2)! = ⋅ ⋅
× ×12 11 10!2 1 10!
= 6 × 11 = 66
Faktor dari 12 ada 6, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.Misalkan A = kejadian terpilihnya 2 angka faktor
dari 12= kejadian terpilih 2 angka dari 6 angka
n(A) = banyak cara memilih 2 angka dari 6 angka
= 6C2 = −
6!2! (6 2)!
= 6 5 4!2 1 4!
× ×× ×
= 3 × 5 =15
Peluang terpilih dua angka faktor dari 12:
P(A) = n(A)n(S)
= 1566 =
522
Jadi, peluang terpilih dua angka faktor dari 12
adalah 5
22 .
4. Jawaban: bRuang sampel S = himpunan pasangan blus dan rok.n(S) = banyak pasangan blus dan rokBanyak pasangan blus bermotif batik dan rok panjang= 3 × 3 = 9Banyak pasangan blus bermotif batik dan rok pendek= 3 × 2 = 6Banyak pasangan blus bermotif garis dan rok panjang= 2 × 3 = 6Banyak pasangan blus bermotif garis dan rok pendek= 2 × 2 = 4Banyak pasangan blus bermotif kotak-kotak dan rokpanjang = 4 × 3 = 12Banyak pasangan blus bermotif kotak-kotak dan rokpendek = 4 × 2 = 8n(S) = 9 + 6 + 6 + 4 + 12 + 8 = 45Misalkan K = kejadian Leni memakai blus bermotifbatik dan rok pendek.
n(K) = banyak pasangan blus bermotif batik dan rokpendek
= 3 × 2 = 6Peluang Leni memakai blus bermotif batik dan rokpendek:
P(K) = n(K)n(S) =
645 =
215
5. Jawaban: eBilangan ratusan terdiri atas 3 angka.Ruang sampel S= himpunan bilangan ratusan yang
dibentuk dari angka-angka 1, 2,4, 6, 8, dan 9.
= himpunan bilangan yang terdiriatas 3 angka yang dibentukdari 6 angka
n(S) = banyak cara membentuk bilangan yangterdiri atas 3 angka dari 6 angka
= 6P3 =6!3! =
× × ×6 5 4 3!3! = 6 × 5 × 4 = 120
Misalkan A = kejadian terbentuknya bilangan genapkurang dari 500, maka n(A) = banyak bilangangenap kurang dari 500.Bilangan yang dibentuk nilainya kurang dari 500,maka angka-angka yang menempati nilai tempatratusan ada 3, yaitu 1, 2, dan 4.Bilangan yang dibentuk ratusan genap, makaangka-angka yang menempati nilai tempat satuanada 4, yaitu 2, 4, 6, dan 8.Oleh karena angka-angka dalam setiap bilanganberbeda, maka angka-angka yang dapat me-nempati nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuansebagai berikut.
Untuk bilangan dengan angka ribuan 1, angka-angka yang dapat menempati nilai tempat satuanada 4, yaitu 2, 4, 6, dan 8 sehingga ada 4 carauntuk menempati nilai tempat satuan.Untuk bilangan dengan angka ribuan 2, angka-angka yang dapat menempati nilai tempat satuanada 3, yaitu 4, 6, dan 8 sehingga ada 3 cara untukmenempati nilai tempat satuan.Untuk bilangan dengan angka ribuan 4, angka-angka yang dapat menempati nilai tempat satuanada 3, yaitu 2, 6, dan 8 sehingga ada 3 cara untukmenempati nilai tempat satuan.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatpuluha ada 6, yaitu 1, 2, 4, 6, 8, dan 9.
28 Aturan Pencacahan dan Peluang
Setelah 2 angka menempati nilai tempat ribuandan satuan, tersisa (6 – 2) = 4 angka sehinggaada 4 cara untuk menempati nilai tempat puluhan.Banyak bilangan genap kurang dari 500 denganangka ribuan 1 = 1 × 4 × 4 = 16Banyak bilangan genap kurang dari 500 denganangka ribuan 2 atau 4 = 2 × 4 × 3 = 24Dengan demikian, diperoleh n(A) = 16 + 24 = 40Peluang terambil bilangan genap kurang dari 500:
P(A) = n(A)n(S) =
40120 =
13
Jadi, peluang terambil bilangan genap kurang dari
500 adalah 13 .
6. Jawaban: aRuang sampel S = kejadian 6 anak dudukmelingkar.n(S) = permutasi siklis 6 unsur
= (6 – 1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120Misalkan A = kejadian Tera duduk bersebelahandengan Wisnu dan Lisa duduk bersebelahandengan RinaTera dan Wisnu dipandang sebagai 1 unsur, Lisadan Rina dipandang sebagai 1 unsur sehinggapermasalahan menjadi permutasi siklis 4 unsur.Cara duduk Tera dan Wisnu ada 2! dan cara dudukLisa dan Rina ada 2!.n(A) = 2! × 2! × permutasi siklis 4 unsur
= 2! × 2!(4 – 1)!= 2!2!3! = 2 × 1 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 24
Peluang Tera duduk bersebelahan dengan Wisnudan Lisa duduk bersebelahan dengan Rina:
P(A)= n(A)n(S)
= 24120
= 15
Jadi, peluang Tera duduk bersebelahan denganWisnu dan Lisa duduk bersebelahan dengan Rina
adalah 15 .
7. Jawaban: cBanyak angka ganjil = 5, yaitu 1, 3, 5, 7, dan 9.Banyak angka genap = 4, yaitu 2, 4, 6, dan 8.Ruang sampel S = himpunan dua angka berjumlahgenap.Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas duaangka ganjil atau dua angka genap.n(S) = banyak dua angka berjumlah genap
= banyak dua angka ganjil + banyak dua angkagenap
= 5C2 + 4C2
= −5!
2! (5 2)! + −4!
2! (4 2)!
= × ×× ×
5 4 3!2 1 3! +
× ×× ×
4 3 2!2 1 2!
= 5 × 2 + 2 × 3 = 10 + 6 = 16
Misalkan A = kejadian terpilih dua angka ganjiln(A) = banyak dua angka ganjil yang jika dijumlah
genap= 5C2 = 10
Peluang terpiling dua angka ganjil:
P(A) = n(A)n(S) =
1016 =
58
Jadi, peluang terpilih dua angka ganjil adalah 58 .
8. Jawaban: aJumlah kartu bridge = 52.Ruang sampel S = kejadian terambil 2 kartu bridge.Banyak anggota ruang sampel = n(S)n(S) = banyak cara megambil 2 kartu dari 52 kartu
= 52C2
= −
52!2!(52 2)!
= × ×× ×
52 51 50!2 1 50!
= 26× 51 = 1.326
Banyak kartu King = 4.Misalkan A = kejadian terambil dua kartu King.n(A) = banyak cara mengambil 2 kartu King dari
4 kartu King
= 4C2 = −
4!2!(4 2)!
= × ×× ×
4 3 2!2 1 2!
= 2× 3 = 6
Peluang terambil dua kartu King:
P(A) = n(A)n(S) =
61.326 =
1221
Peluang terambil bukan kartu King:
P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 1
221 = 220221
Jadi, peluang terambil bukan kartu King 220221 .
9. Jawaban: cJumlah koin = 2 + 4 + 6 = 12Ruang sampel S = kejadian terambil 6 koin dari12 koin.n(S) = banyak cara mengambil 6 koin dari 12 koin
= 12C6
= −
12!6!(12 6)!
= × × × × × ×× × × × × ×
12 11 10 9 8 7 6!6 5 4 3 2 1 6!
= 11× 2× 3 × 2 × 7 = 924Misalkan K = kejadian terambil 6 koin yang memilikijumlah minimal Rp5.000,00.Kemungkinan kejadian 6 koin yang terambilsebagai berikut.a. K1 = Kejadian terambil 4 koin Rp1.000,00 dan
2 koin Rp500,00.n(K1) = Banyak cara mengambil 4 koin
Rp1.000,00 dari 6 koin Rp1.000,00 dan2 koin Rp500,00 dari 4 koin Rp500,00
= 6C4×
4C2
29Matematika Kelas XI
= −6!
4! (6 4)! × −4!
2! (4 2!
= 6 5 4!4! 2 1
× ×× × ×
× ×× ×
4 3 2!2 1 2!
= 3 × 5× 2× 3 = 90b. K2 = kejadian terambil 5 koin Rp1.000,00
dan 1 koin Rp200,00.n(K2) = banyak cara mengambil 5 koin
Rp1.000,00 dari 6 koin Rp1.000,00 dan1 koin Rp200,00 dari 2 koin Rp200,00
= 6C5 × 2C1
= 6!
5! (6 5)!− × −2!
1! (2 1!
= 6 5!5! 1
×× ×
××
2 11 1
= 6 × 2 = 12c. K3 = Terambil 5 koin Rp1.000,00 dan 1 koin
Rp500,00.n(K3) = banyak cara mengambil 5 koin
Rp1.000,00 dari 6 koin Rp1.000,00 dan1 koin Rp500,00 dari 4 koin Rp500,00
= 6C5 × 4C1
= 6!
5! (6 5)!− × −4!
1! (4 1!
= 6 5!5! 1
×× ×
××
4 3!1 3! = 6 × 4 = 24
d. K4 = Terambil 6 koin Rp1.000,00n(K4) = banyak cara mengambil 6 koin
Rp1.000,00 dari 6 koin Rp1.000,00
= 6C6 = −6!
6! (6 6)! = 1
n(K) = n(K1) + n(K2) + n(K3) + n(K4)= 90 + 12 + 24 +1 = 127
Peluang enam koin yang terambil memiliki jumlahminimal Rp5.000,00:
P(K) = n(K)n(S) =
127924
10. Jawaban: dMisalkan pengambilan tiga huruf tersebut dilakukansebanyak n kali.Jumlah huruf = 8Ruang sampel S = kejadian pengambilan tiga hurufdari 8 huruf.n(S) = banyak cara mengambil 3 huruf dari 8 huruf
= 8C3
= −8!
3! (8 3)!
= × × ×× × ×
8 7 6 5!3 2 1 5! = 8 × 7 = 56
Banyak huruf vokal = 4Banyak huruf konsonan = 4
Misalkan K = kejadian terambilnya 2 huruf vokal= kejadian terambil 2 huruf vokal dan
1 huruf konsonann(K) = banyak cara mengambil 2 huruf vokal dari
4 huruf vokal dan 1 huruf konsonan dari4 huruf konsonan
= 4C2 × 4C1
= −4!
2! (4 2)! × −4!
1! (4 1)!
= × ×× ×
4 3 2!2 1 2! ×
××
4 3!1 3! = 6 × 4 = 24
Peluang terambil dua huruf vokal:
P(K) = n(K)n(S) =
2456 =
37
Frekuensi harapan terambil dua huruf vokal:
Fr(K) = n × P(K) ⇔ 90 = n × 37
⇔ n = 90 × 73 = 210
Jadi, pengambilan tiga huruf tersebut dilakukansebanyak 210 kali.
B. Uraian1. Jumlah ahli = 5 + 3 + 4 = 12
Ruang sampel S = kejadian terpilih 6 orang dari 12orang ahli.n(S) = banyak cara memilih 6 orang dari 12 orang
= 12C6
= −
12!6!(12 6)!
= × × × × × ×× × × × × ×
12 11 10 9 8 7 6!6 5 4 3 2 1 6!
= 11× 2× 3 × 2 × 7 = 924a. Misalkan A = kejadian terpilih 4 ahli
matematika dan 2 ahli ekonomi.n(A) =banyak cara memilih 4 ahli matematika
dari 5 ahli matematika dan 2 ahliekonomi dari 3 ahli ekonomi
= 5C4 × 3C2
= −5!
4! (5 4)! × −3!
2! (3 2)!
= 5 4!4! 1
×× ×
3 2!2! 1
×× = 5 × 3 = 15
Peluang terpilih 4 ahli matematika dan 2 ahliekonomi:
P(A) = n(A)n(S) =
15924 =
3308
Jadi, peluang terpilihnya 4 ahli matematika
dan 2 ahli ekonomi adalah 3
308 .
30 Aturan Pencacahan dan Peluang
b. Misalkan B = kejadian terpilih 2 orang daritiap-tiap kelompok
= kejadian terpilihnya 2 ahlimatematika, 2 ahli ekonomi,dan 2 ahli bahasa
n(B) = banyak cara memilih 2 ahli matematikadari 5 ahli matematika, 2 ahli ekonomidari 3 ahli ekonomi, dan 2 ahli bahasadari 4 ahli bahasa
= 5C2 × 3C2 × 4C2
= −5!
2! (5 2)! × −3!
2! (3 2)! × −4!
2! (4 2)!
= × ×× ×
5 4 3!2 1 3! ×
3 2!2! 1
×× ×
× ×× ×
4 3 2!2 1 2!
= 10 × 3 × 6 = 180Peluang terpilih dua orang dari tiap-tiapkelompok:
P(B) = 180924 =
1577
Jadi, peluang terpilih dua orang dari tiap-tiap
kelompok 1577 .
2. Ruang sampel = S = kejadian terambil 4 huruf dari13 hurufn(S) = banyak cara mengambil 4 huruf dari 13 huruf
= 13C4
= 13!4! (13 4)!−
= 13 12 11 10 9!4 3 2 1 9!× × × ×
× × × × = 715
a. Banyak huruf vokal = 7Banyak huruf konsonan = 6Misalkan:A = kejadian terambil 1 huruf vokal dan
3 huruf konsonann(A) = banyak cara mengambil 1 huruf vokal
dari 7 huruf vokal dan 3 huruf konsonandari 6 huruf konsonan
= 7C1 × 6C3
= 7!
1! (7 1)!− × 6!
3! (6 3!)−
= 7 6!1 6!
×× ×
6 5 4 3!3! 3 2 1
× × ×× × ×
= 7 × 20 = 140Peluang terambil 1 huruf vokal dan 3 hurufkonsonan:
P(A) = n(A)n(S) =
140715 =
28143
Jadi, peluang terambil 1 huruf vokal dan
3 huruf konsonan adalah 28
143 .
b. Banyak huruf vokal = 7MisalkanB = kejadian terambil keempatnya huruf vokalB′ = kejadian terambil keempatnya bukan
huruf vokal
n(B) = banyak cara mengambil 4 huruf vokaldari 7 huruf vokal
= 7C4
= 7!
4! (7 4)!−
= 7 6 5 4!4! 3 2 1
× × ×× × ×
= 35Peluang terambil keempatnya huruf vokal:
P(B) = n(B)n(S) =
35715
Peluang terambil keempatnya bukan hurufvokal.P(B′) = 1 – P(B)
= 1 – 35715
= 680715 =
136143
Jadi, peluang terambil keempatnya bukan
huruf vokal adalah 136143 .
3. a. Bilangan empat angka merupakan bilanganribuan.Bilangan ribuan memiliki nilai tempat ribuan,ratusan, puluhan, dan satuan.Ruang sampel S = himpunan bilangan ribuanyang terbentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4,dan boleh berulang.n(S) = banyak bilangan ribuan yang terbentukdari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan bolehberulang.Oleh karena angka-angka dalam setiapbilangan boleh diulang, maka angka-angkayang dapat menempati nilai tempat ribuan,ratusan, puluhan, dan satuan masing-masingada 4, yaitu 1, 2, 3, dan 4 sehingga ada 4cara untuk menempati nilai tempat ribuan,ratusan, puluhan, dan satuan.Dengan demikian, dapat disusun sebagaiberikut.
n(S) = 4 × 4 × 4 × 4 = 256Misalkan A = kejadian terbentuk bilanganribuan lebih dari 2.000 yang dibentuk dariangka-angka 1, 2, 3, 4 dan angka bolehberulang.n(A) = banyak bilangan ribuan lebih dari 2.000yang dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4 danangka boleh berulang.
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
4 cara 4 cara 4 cara 4 cara
31Matematika Kelas XI
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
3 cara 4 cara 4 cara 4 cara
Ribuan Ratusan Puluhan satuan
3 cara 3 cara 2 cara 1 cara
2cara
Bilangan yang dibentuk nilainya lebih dari2.000, maka angka-angka yang menempatinilai tempat ribuan ada 3, yaitu 2, 3, dan 4sehingga ada 3 cara untuk menempati nilaitempat ribuan.Angka-angka dalam setiap bilangan bolehdiulang, maka angka-angka yang dapatmenempati nilai tempat ratusan, puluhan, dansatuan masing-masing ada 4, yaitu 1, 2, 3,dan 4 sehingga ada 4 cara untuk menempatinilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan.Dengan demikian, dapat disusun sebagaiberikut.
n(A) = 3 × 4 × 4 × 4 = 192Peluang bilangan yang terbentuk lebih besardaripada 2.000 dan angka-angka dapatberulang:
P(A) = n(A)n(S) =
192256 =
34
Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebihbesar daripada 2.000 dan angka-angka dapat
berulang adalah 34 .
b. Ruang sampel S = himpunan bilangan ribuanyang dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4serta angka tidak boleh berulang.n(S) = banyak cara membentuk bilangan
4 angka dari 4 angka= 4P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Misalkan B = kejadian terbentuk bilangan ribuanlebih dari 2.000 yang dibentuk dari angka-angka1, 2, 3, 4 dan angka tidak boleh berulang.Bilangan yang dibentuk nilainya lebih dari2.000, maka angka-angka yang menempatinilai tempat ribuan ada 3, yaitu 2, 3, dan 4sehingga ada 3 cara untuk menempati nilaitempat ribuan.Angka-angka yang dapat menempati nilaitempat ratusan, puluhan, dan satuan ada 4,yaitu 1, 2, 3, dan 4.Setelah satu angka menempati nilai tempatribuan, tersisa (4 – 1) = 3 angka sehinggaada 3 cara untuk menempati nilai tempatratusan.Setelah dua angka menempati nilai tempatribuan dan ratusan, tersisa (4 – 2) = 2 angkasehingga ada 2 cara untuk menempati nilaitempat puluhan.Setelah tiga angka menempati nilai tempatribuan, ratusan, dan puluhan, tersisa (4 – 3)= 1 angka sehingga ada 1 cara untukmenempati nilai tempat satuan.
Dengan demikian, dapat disusun sebagaiberikut.
n(B) = 3 × 3 × 2 × 1 = 18Peluang bilangan yang terbentuk lebih besardaripada 2.000 dan angka-angka dapat berulang:
P(B) = n(B)n(S) =
1824 =
34
Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebihbesar daripada 2.000 dan angka-angka dapat
berulang adalah 34 .
4. Banyak huruf ada 5 dan banyak angka ada 5.Ruang sampel S = himpunan kode terdiri atas 3huruf berbeda dan 4 angka berbeda.
Huruf Angka
������� ���������5P3 5P4
n(S) = banyak cara membentuk kode terdiri atas3 huruf berbeda dari 5 huruf dan 4 angkaberbeda dari 5 angka
= 5P3 × 5P4
= −5!
(5 3)! × −5!
(5 4)!
= × × ×5 4 3 2!
2! × × × × ×5 4 3 2 1!
1!= 60 × 120 = 7.200
Misalkan A = kejadian terambil kode terdiri atas 2huruf vokal berbeda dan keempat angka mem-bentuk bilangan genap.Huruf vokal ada 2, yaitu A dan E.
����� �������2P2 4P3 Dapat ditempati
angka 2 dan 4n(A) = 2P2 × 4P3 × 2
= −2!
(2 2)! × −4!
(4 3)! × 2
= 2 × 4 × 3 × 2 × 2 = 96Peluang terambil kode terdiri atas 2 huruf vokalberbeda dan keempat angka membentuk bilangangenap:
P(A) = n(A)n(S) =
967.200 =
175
Jadi, peluang terambil kode terdiri atas 2 hurufvokal berbeda dan keempat angka membentuk
bilangan genap adalah 1
75 .
32 Aturan Pencacahan dan Peluang
5. Banyak percobaan = 680 kaliJumlah bendera = 7 + 4 + 6 = 17Ruang sampel S = kejadian terambil 3 benderadari 17 bendera.n(S) = banyak cara mengambil 3 bendera dari
17 bendera= 17C3
= −17!
3! (17 3)!
= × × ×× × ×
17 16 15 14!3 2 1 14! = 17 × 8 × 5 = 680
a. Misalkan A = kejadian terambil 3 benderakuning.n(A) = banyak cara mengambil 3 bendera
kuning dari 4 bendera kuning
= 4C3 = −4!
3! (4 3)! = ××
4 3!3! 1 = 4
Peluang terambil 3 bendera kuning:
P(A) = n(A)n(S) =
4680
Frekuensi harapan terambil 3 bendera kuning:
Fh(A) = P(A) × n = 4
680 × 680 = 4
Jadi, frekuensi harapan terambil 3 benderakuning adalah 4 kali.
b. Misalkan B = kejadian terambil benderaberbeda warna
= kejadian terambil 1 benderahijau, 1 bendera kuning, dan 1bendera merah.
n(B) = banyak cara mengambil 1 benderahijau dari 7 bendera hijau, 1 benderakuning dari 4 bendera kuning, dan1 bendera merah dari 6 bendera merah.
= 7C1 × 4C1 × 6C1
= −7!
1! (7 1)! × −4!
1! (4 1)! × −6!
1! (7 1)!
= ×7 6!
1! 6! × 4 3!
3!×
× ×6 5!
1! 5!
= 7 × 4 × 6 = 168
Peluang terambil bendera berbeda warna:
P(B) = n(C)n(S) =
168680
Frekuensi harapan terambil bendera berbedawarna:
Fh(B) = P(B) × n = 168680 × 680 = 168
Jadi, frekuensi harapan terambil benderaberbeda warna adalah 168 kali.
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: c
a. Misalkan A = kejadian terlihat mata daduberjumlah 7
= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),(6, 1)}
B = kejadian terlihat kedua matadadu hasil kalinya 12
= {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}A ∩ B = {(3, 4), (4, 3)}
Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, maka kejadian A danB tidak saling lepas.
b. Misalkan C = kejadian terlihat mata dadupertama 4
= {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6)}
D = kejadian terlihat kedua matamemiliki selisih 1
= {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4),(4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}
C ∩ D = {(4, 3), (4, 5)}Oleh karena C ∩ D ≠ ∅, maka kejadian C danD tidak saling lepas.
c. Misalkan E = kejadian terlihat kedua matadadu memiliki selisih 2
= {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2),(4, 6), (5, 3), (6, 4)}
F = kejadian terlihat kedua matadadu hasil kalinya 6
= {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)}Oleh karena E ∩ F = ∅, maka kejadian E danF saling lepas.
d. Misalkan G = kejadian terlihat mata dadupertama genap
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),(4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4), (6, 5), (6, 6)}
H = kejadian terlihat kedua matadadu berjumlah 6
= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}G ∩ H = {(2, 4), (4, 2)}
Oleh karena G ∩ H ≠ ∅, maka kejadian Gdan H tidak saling lepas.
33Matematika Kelas XI
e. Misalkan K = kejadian terlihat mata dadupertama genap
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),(4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4), (6, 5), (6, 6)}
L = kejadian terlihat mata dadukedua ganjil
= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1),(6, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3),(5, 3), (6, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 5),(4, 5), (5, 5), (6, 5)}
K ∩ L = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3),(4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}
Oleh karena K ∩ L ≠ ∅, maka kejadian K danL tidak saling lepas.
Jadi, pasangan kejadian yang saling lepas adalahpilihan c.
2. Jawaban: eJumlah bola = 5 + 4 + 3 = 12Ruang sampel S = kejadian terambil 2 bola dari 12bolan(S) = banyak cara mengambil 2 bola dari 12 bola
= 12C2 = 12!2!(12 2)!−
= 12 11 10!2 1 10!
× ×× ×
= 6 × 11 = 66
A = kejadian terambil 2 bola merah dari 5 bola merahn(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari
5 bola merah
= 5C2 = 5!2!(5 2)!−
= 5 4 3!2 1 3!
× ×× ×
= 5 × 2 = 10
P(A) =n(A)n(S) =
1066
B = kejadian terambil 2 bola hijau dari 3 bola hijaun(B) = banyak cara mengambil 2 bola hijau dari
3 bola hijau
= 3C2 = 3!2!(3 2)!−
= 3 2!2! 1
××
= 3
P(B) = n(B)n(S) =
366
A dan B merupakan kejadian saling asing.Peluang terambil dua bola merah atau dua bolahijau:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1066 +
366 =
1366
Jadi, peluang terambil dua bola merah atau dua
bola hijau adalah 1366 .
3. Jawaban: dSekeping uang logam dan sebuah dadudilambungkan bersama-sama.Banyak percobaan n = 240 kaliA = kejadian terlihat sisi angka pada uang logamB = kejadian terlihat mata dadu prima
P(A) = 12
dan P(B) = 12
Kejadian A dan B saling bebas.Peluang terlihat sisi angka pada uang logam danmata dadu prima:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 12
× 12
= 14
Frekuensi harapan terlihat sisi angka pada uanglogam dan mata dadu prima:
Fh(A ∩ B) = P(A ∩ B) × n = 14
× 240 = 60 kali
4. Jawaban: aBanyak kelereng merah n(m) = 5.Banyak kelereng hijau n(h) = 4.Ruang sampel S = himpunan kelereng di dalamkantong.Banyak anggota ruang sampel n(S) = jumlahkelereng = 5 + 4 = 9.Misalkan M1 = kejadian anak pertama mengambil1 kelereng merah dan M2 = kejadian anak keduamengambil 1 kelereng merah.Kelereng pertama yang telah terambil tidakdikembalikan ke kantong, maka kejadian M1 danM2 tidak saling bebas.Pada saat anak pertama mengambil kelerengtersedia 5 kelereng merah dan jumlah seluruhkelereng = 9.Peluang anak pertama mengambil 1 kelereng
merah = P(M1) = n(m)n(S) =
59 .
Kelereng pertama yang telah terambil tidakdikembalikan ke kantong. Pada saat anak keduamengambil kelereng, kelereng merah berkurangsatu dan jumlah seluruh kelereng berkurang satu.Peluang anak kedua mengambil 1 kelereng merahdengan syarat anak pertama telah mangambil 1kelereng merah:
P(M2|M1) = n(m) 1n(S) 1
−− =
48 =
12 .
Peluang kejadian anak pertama mengambil 1kelereng merah dan anak kedua juga mengambil1 kelereng merah:
P(M1 ∩ M2) = P(M1) × P(M2|M1) = 59 ×
12 =
518
5. Jawaban: cRuang sampel S = kejadian melambungkan duadadu sebanyak satu kalin(S) = 6 × 6 = 36A = kejadian terlihat mata dadu berjumlah 5
= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}n(A) = 4
P(A) = n(A)n(B) =
436
B = kejadian terlihat mata dadu berjumlah 9= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
n(B) = 4
34 Aturan Pencacahan dan Peluang
P(B) = n(B)n(S) =
436
Oleh karena A ∩ B = ∅, maka A dan B saling lepas.Peluang terlihat mata dadu berjumlah 5 atau 9:P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
= 436 +
436
= 836
Jadi, peluang terlihat mata dadu berjumlah 5 atau 9
adalah 836 .
6. Jawaban: eS = kejadian terambil 1 kartu bernomor
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}n(S) = 10A = kejadian terambil kartu bernomor bilangan
komposit= kejadian terambil kartu bernomor bilangan asli
lebih dari 1 yang bukan bilangan prima= {4, 6, 8, 9, 10}
n(A) = 5B = kejadian terambil kartu bernomor bilangan ganjil
= {1, 3, 5, 7, 9}n(B) = 5A ∩ B = {9}n(A ∩ B) = 1Peluang terambil kartu bernomor bilangan kompositatau bilangan ganjil:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) –
n(A B)n(S)
∩
= 5
10 + 5
10 – 1
10
= 9
10
= 0,9
Jadi, peluang terambil kartu bernomor bilangankomposit atau bilangan ganjil adalah 0,9.
7. Jawaban: e
S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 muridn(S) = 30C1 = 30A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid
laki-lakin(A) = 10C1 = 10
P(A) = n(A)n(S) =
1030
B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari15 murid berambut keriting
n(B) = 15C1 = 15
P(B) = n(B)n(S) =
1530
A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-lakiberambut keriting dari 5 murid laki-lakiberambut keriting
n(A ∩ B) = 5C1 = 5
P(A ∩ B) = n(A B)
n(S)∩
= 5
30
Peluang terpilih 1 murid itu laki-laki atau berambutkeriting:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 1030 +
1530 –
530
= 2030 =
23
Jadi, peluang terpilih murid itu laki-laki atau
berambut keriting adalah 23 .
8. Jawaban: bS1 = kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di
kotak AK = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola
merah di kotak A
P(K) = 1
n(K)n(S ) = 2 1
5 1
CC
= 25
S2 = kejadian terambil 1 bola dari 8 bola dikotak B
L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bola putihdi kotak B
P(L) = 2
n(K)n(S )
= 3 1
8 1
CC = 3
8
K dan L merupakan dua kejadian yang saling bebas.Peluang terambil 1 bola merah dari kotak A dan1 bola putih dari kotak B:
P(K ∩ L) = P(K) × P(L) = 25 ×
38 =
320
Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A
dan 1 bola putih dari kotak B adalah 3
20 .
9. Jawaban: eJumlah buku = 4 + 7 + 5 = 16Ruang sampel S = kejadian terambil 3 buku dari16 bukun(S) = banyak cara mengambil 3 buku dari 16 buku
= 16C3
= 16!
3!13!
= 16 15 14 13!
3 2 1 13!× × ×× × ×
= 560
Berambut keritingBerambut tidakkeriting
Jumlah
JumlahMurid
Laki-LakiMurid
Perempuan
1010
20
55
10
1515
30
35Matematika Kelas XI
Kemungkinan buku yang terambil adalah (2 bukukomik, 1buku novel) atau (2 buku komik, 1 bukudongeng, ).A = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku noveln(A) = banyak cara mengambil 2 buku komik dari
7 buku komik dan 1 buku novel dari 4 bukunovel
= 7C2 × 4C1
= 7!
2! 5! × 4!
1! 3!
= 7 6 5!2 1 5!
× ×× × ×
4 3!1 3!
××
= 21 × 4= 84
P(A) = n(A)n(S) =
84560
B = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 bukudongeng
n(B) = banyak cara mengambil 2 buku komik dari7 buku komik dan 1 buku dongeng dari 5buku dongeng
= 7C2 × 5C1
= 7!
2! 5! × 5!
1!4!
= 7 6 5!2 1 5!
× ×× × ×
5 4!1 4!
××
= 21 × 5= 105
P(B) = n(B)n(S) =
105560
Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil 2 buku komik= P(A) + P(B)
= 84560 +
105560
= 189560
Jadi, peluang terambil 2 buku komik adalah 189560 .
10. Jawaban: eJumlah kelereng = 3 + 4 = 7Ruang sampel S = kejadian terambil 3 kelereng
dari 7 kelerengn(S) = banyak cara mengambil
3 kelereng dari 7 kelereng= 7C3
= 7!
3!4!
= 7 6 5 4!3 2 1 4!
× × ×× × ×
= 35
Kemungkinan terambil paling sedikit 2 kelerengputih adalah (2 kelereng putih, 1 kelereng merah)atau (3 kelereng putih).A = kejadian terambil 2 kelereng putih dan
1 kelereng merahn(A) = banyaknya cara mengambil 2 kelereng putih
dari 4 kelereng putih dan 1 kelereng merahdari 3 kelereng merah
= 4C2 × 3C1
= 4!
2!2! × 3!
1!2!
= 4 3 2!2 1 2!
× ×× × ×
3 2!1 2!
××
= 6 × 3= 18
P(A)= n(A)n(B) =
1835
B = kejadian terambil 3 kelereng putihn(B) = banyak cara mengambil 3 kelereng putih
dari 4 kelereng putih
= 4C3
= 4!
3!1!
= 4 3!3! 1
××
= 4
P(B) = n(B)n(S) =
435
Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih= P(A) + P(B)
= 1835 +
435
= 2235
Jadi, peluang terambil paling sedikit 2 kelereng
putih adalah 2235 .
11. Jawaban: dRuang sampel S = kejadian pasangan suami istri
mempunyai 3 anak= {PPP, PPL, PLP, LPP, LLL,
LLP, LPL, PLL}n(S) = 8Kemungkinan 3 anak yang dimiliki pasangan suamiistri adalah (2 laki-laki dan 1 perempuan) atau (3laki-laki).A = kejadian pasangan suami istri memiliki dua
anak laki-laki dari 3 anak yang dimiliki= {LLP, LPL, PLL)}
n(A) = 3
36 Aturan Pencacahan dan Peluang
P(A) = n(A)n(S) =
38
B = Kejadian keluarga memiliki tiga anak laki-laki= {LLL}
n(B) = 1
P(B) = n(B)n(S) =
18
Kejadian A dan B saling bebas.
Peluang pasangan tersebut memiliki paling sedikitdua anak laki-laki= P(A) + P(B)
= 38 +
18
= 48 =
12
Jadi, peluang pasangan suami istri tersebut
memiliki paling sedikit dua anak laki-laki 12 .
12. Jawaban: d
P(G) = P(gol) = 35
P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – 35 =
25
A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penaltidengan 2 tendangan gol
= {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)}Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakankejadian saling bebas.
P(G, G, T) = 35 ×
35 ×
25 =
18125
P(G, T, G) = 35 ×
25 ×
35 =
18125
P(T, G, G) = 25 ×
35 ×
35 =
18125
Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol= P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G)
= 18125 +
18125 +
18125 =
54125
Jadi, peluang Ali untuk membuat 2 gol dalam
3 kali tendangan penalti adalah 54
125 .
13. Jawaban: bBanyak kartu kuning = n(K) = 2Banyak kartu merah = n(M) = 4Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 6Kemungkinan kartu yang terambil M1K2K3,K1M2K3, atau K1K2M3.M1K2K3 = kejadian terambil pertama kartu merah,
kedua kartu kuning, ketiga kartu kuningP(M1K2K3) = P(M1) × P(K2) × P(K3)
= n(M)n(S)
× n(K)n(S)
× n(K)n(S)
= 46 ×
26 ×
26 =
227
K1M2K3 = kejadian terambil pertama kartu kuning,kedua kartu merah, ketiga kartu kuning
P(K1M2K3) = P(K1) × P(M2) × P(K3)
= n(K)n(S)
× n(M)n(S)
× n(K)n(S)
= 26 ×
46 ×
26
= 227
K1K2M3 = kejadian terambil pertama kartu kuning,kedua kartu kuning, ketiga kartu merah
P(K1K2M3) = P(K1) × P(K2) × P(M3)
= n(K)n(S)
× n(K)n(S)
× n(M)n(S)
= 26 ×
26 ×
46
= 227
Peluang terambil satu kartu merah:P = P(M1K2K3) + P(K1M2K3) + P(K1K2M3)
= 227 +
227 +
227
= 6
27 = 29
Jadi, peluang terambil satu kartu merah adalah 29 .
14. Jawaban: cS = kejadian Ari, Beta, Cika, Devi, dan Erna duduk
secara acak pada 5 kursin(S) = 5P5 = 120Kemungkinan kejadian Ari atau Erna duduk di kursipaling pinggir adalah Ari duduk di kursi pinggir atauErna duduk di kursi pinggir atau Ari dan Erna dudukdi kursi pinggir.A = kejadian Ari duduk di pinggir
n(A) = 2 × 4P4 = 48B = kejadian Erna duduk di pinggir
���������������
4P4
↑Ari
���������������
4P4
↑Erna
���������������
4P4
↑Erna
���������������
4P4
↑Ari
37Matematika Kelas XI
n(B) = 2 × 4P4 = 48A ∩ B = kejadian Erna dan Ari duduk di pinggir
n(A ∩ B) = 2 × 3P3 = 12
Peluang Ari atau Erna duduk di pinggir:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) –
n(A B)n(S)
∩
= 48
120 + 48
120 – 12120
= 84
120 = 7
10Jadi, peluang Ari atau Erna duduk di kursi paling
pinggir adalah 7
10 .
15. Jawaban: dRuang sampel S = kejadian terpilih ketua, sekretaris,dan bendahara dari 10 orangn(S) = banyak cara memilih ketua, sekretaris, dan
bendahara dari 10 orang= 10P3
= 10!7! =
10 9 8 7!7!
× × × = 720
A = kejadian terpilih ketua laki-laki
n(A) = 6 × 9 × 8 = 432B = kejadian terpilih sekretaris wanita
2 orang telah terpilih.Sisa 8 orang.
Ketua Sekretaris Bendahara
6 cara 4 cara 8 cara
Dipilih dari 4 wanita
Dipilih dari 6 lelaki
n(B) = 9 × 4 × 8= 288
A ∩ B = kejadian terpilih ketua laki-laki dansekretaris wanita
n(A ∩ B) = 6 × 4 × 8 = 192A dan B merupakan dua kejadian tidak saling lepasPeluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris wanita:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) –
n(A B)n(S)
∩
= 432720 +
288720 –
192720
= 528720 =
1115
Jadi, peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris
wanita adalah 1115 .
B. Uraian1. a. Misalkan dadu pertama = dadu merah dan dadu
kedua = dadu putihA = kejadian terlihat mata dadu 3 pada dadu
merah= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
n(A) = 6
P(A) = n(A)n(S) =
636
B = kejadian terlihat mata dadu 5 pada daduputih
= {(1, 5), (2,5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}n(B) = 6
P(B) = n(B)n(S) =
636
A ∩ B = {(3, 5)}n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = n(A B)n(S)
∩ = 136
Peluang terlihat mata dadu 3 pada dadu merahatau mata dadu 5 pada dadu putih:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 636 +
636 –
136 =
1136
Jadi, peluang terlihat mata dadu 3 pada dadumerah atau mata dadu 5 pada dadu putih
adalah 1136 .
���������������
P3
↑Ari
↑Erna
���������������
P3
↑Erna
↑Ari
2 orang telah terpilih.Sisa 8 orang.
Ketua Sekretaris Bendahara
6 cara 9 cara 8 cara
1 orang telah terpilih sebagai ketua.Sisa 9 orang.
Dipilih dari 6 laki-laki
2 orang telah terpilih.Sisa 8 orang.
Ketua Sekretaris Bendahara
9 cara 4 cara 8 cara
Dipilih dari 4 wanita
1 orang telah terpilih sebagai sekretaris.Sisa 9 orang.
38 Aturan Pencacahan dan Peluang
b. Misalkan:A = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 6
= {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}n(A) = 5
P(A) = n(A)n(S) =
536
B = kejadian terlihat jumlah mata dadu 10= {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}
n(B) = 3
P(B) = n(B)n(S) =
336
Oleh karena A ∩ B = ∅, maka kejadianA dan B saling asing
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 536 +
336 =
836 =
29
Jadi, peluang terlihat jumlah kedua mata dadu
6 atau 10 adalah 29 .
c. Kejadian terlihat kedua mata dadu bilangangenap = kejadian terlihat mata dadu genappada dadu merah dan dadu putihMisalkan:A = terlihat mata dadu genap pada dadu
merahB = terlihat mata dadu genap pada dadu putih
P(A) = 12 dan P(B) =
12
Oleh karena A ∩ B ≠ ∅ maka kejadian A danB saling bebas.Peluang terlihat kedua mata dadu bilangangenap:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 12 ×
12 =
14
Jadi, peluang terlihat kedua mata dadu genap
adalah 14 .
2. a. Kejadian terambil 3 kubus = kejadian terambil1 kubus dari kotak A, 1 kubus dari kotak B,dan 1 kubus dari kotak C.P(A) = peluang terambil satu kubus dari kotak A
= 63
= 21
P(B) = peluang terambil satu kubus dari kotak B
= 26 =
31
P(C) = peluang terambil satu kubus dari kotak C
= 16
Kejadian A, B, dan C saling bebas.Peluang terambil ketiganya kubus:
P(A ∩ B ∩ C) = 21
× 31
× 61
= 361
Jadi, peluang terambil ketiganya kubus 361
.
b. Kejadian terambil 3 bangun sama = kejadianterambil 3 kubus, terambil 3 kerucut, atauterambil 3 limas.P(D) = peluang terambil ketiganya kubus
= 361
P(E) = peluang terambil ketiganya kerucut
= 61
× 63
× 62
= 361
P(F) = Peluang terambil ketiganya limas
= 62
× 61
× 63
= 361
Kejadian D, E, dan F saling lepas. Peluangterambil ketiganya bangun yang sama:P(D ∪ E ∪ F) = P(D) + P(E) + P(F)
= 361
+ 361
+ 361
= 336 =
112
Jadi, peluang terambil ketiganya bangun yang
sama 1
12 .
3. a. Pengambilan dilakukan secara acak duasekaligus.Banyak buah = 9 + 6 = 15 buahRuang sampel S = kejadian terambil 2 buahdari 15 buah.n(S) = 15C2
= −15!
2!(15 2)!
= × ×× ×
15 14 13!2 1 13!
= 15 × 7 = 105
Kemungkinan 2 buah yang terambil adalah 2jeruk atau 2 apel.Misalkan A = kejadian terambil 2 jeruk danB = kejadian terambil 2 apel.n(A) = banyak cara mengambil 2 jeruk dari 6 jeruk
= 6C2
= −6!
2!(6 2)! = × ×× ×
6 5 4!2 1 4! = 3 × 5 = 15
Peluang terambil 2 jeruk:
P(A) = n(A)n(S) =
15105
n(B) = banyak cara mengambil 2 apel dari 9 apel= 9C2
= −9!
2!(9 2)! = × ×× ×
9 8 7!2 1 7! = 9 × 4 = 36
Peluang terambil 2 apel:
P(B) = n(B)n(S) =
36105
39Matematika Kelas XI
Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama:
P = P(A) + P(B) = 15105 +
36105 =
51105
b. Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa pengembalian.Ruang sampel S = himpunan apel dan jeruk dalam kotak.n(S) = banyak apel dan jeruk dalam kotak
= 15Kemungkinan kejadiannya adalah terambil jeruk pada pengambilan pertama dan kedua atau terambilapel pada pengambilan pertama dan kedua.Misalkan Q1 = kejadian terambil 1 jeruk pada pengambilan pertama dan Q2 = kejadian terambil 1 jerukpada pengambilan kedua.
Diperoleh P(Q1) = 9
15 dan P(Q2|Q1) = 8
14
Peluang terambil 1 jeruk pada pengambilan pertama dan 1 jeruk pada pengambilan kedua:
P1= P(Q1) × P(Q2|Q1) = 9
15 × 8
14 = 72210
Misalkan R1 = kejadian terambil 1 apel pada pengambilan pertama dan R2 = kejadian terambil 1 apelpada pengambilan kedua.
Diperoleh P(R1) = 6
15 dan P(R2|R1) = 5
14 .
Peluang terambil 1 apel pada pengambilan pertama dan 1 apel pada pengambilan kedua:
P2= P(R1) × P(R2|R1) == 6
15 × 5
14 = 30210
Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama:
P = P1 + P2 = 30210 +
72210 =
102210 =
1735
4. Kemungkinan hasil pelambungan sebagai berikut.
Pelambungan I Pelambungan II Pelambungan III Pelambungan IV Pelambungan V
Gambar
Gambar
Angka
Gambar
Angka
Mata dadugenap
Mata daduganjil
Mata dadugenap
Mata daduganjil
Mata dadugenap
Mata daduganjil
Mata dadugenap
Mata daduganjilMata dadu
genap
Mata daduganjil
Angka Mata dadugenap
Mata daduganjil
40 Aturan Pencacahan dan Peluang
B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu= kejadian selalu muncul mata uang= {Gambar, Gambar, Gambar}
P(B) = 12 ×
12 ×
12 =
18
Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi
pelemparan dadu 18 .
5. Jumlah kamus = 5 + 3 + 2 = 10Ruang sampel S = kejadian terambilnya 3 kamusdari 10 kamus.n(S) = banyak cara mengambil 3 kamus dari 10 kamus
= 10C3
= −
10!3! (10 3)!
= × × ×× × ×
10 9 8 7!3 2 1 7!
= 10 × 3 × 4 = 120
Misalkan A = kejadian terambilnya ketiga kamusberbeda
= kejadian terambil 1 kamus BahasaInggris, 1 kamus Bahasa Mandarin,dan 1 kamus Bahasa Jepang
n(A) = banyak cara mengambil 1 kamus BahasaInggris dari 5 kamus Bahasa Inggris,1 kamus Bahasa Mandarin dari 3 kamusBahasa Mandarin, dan 1 kamus BahasaJepang dari 2 kamus Bahasa Jepang
= 5C1 × 3C1 × 2C1 = 5 × 3 × 2 = 30
P(A)= n(A)n(S) =
30120 =
14
Fh(A) = P(A) × n = 14 × 20 = 5 kali
Jadi, frekuensi harapan terambil ketiga kamusberbeda 5 kali.
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: b
Banyak warna = 7Banyak warna baru yang dapat dibuat = 7C2 = 21.
2. Jawaban: eBanyak cara menempatkan bendera-benderatersebut
= 8P5 = 8!
(8 5)!−
= 8!3!
= 8 7 6 5 4 3!
3!× × × × ×
= 6.720 cara
3. Jawaban: cAnggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3pemudi sebagai satu kelompok. Banyak caraduduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P4.Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satukelompok adalah 3P3.Banyak cara duduk berselang-seling pemuda danpemudi.= 4P4 × 3P3= 4! × 3!= 144
4. Jawaban: eBanyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari24 huruf = 24P2 = 552.Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari10 angka = 10P4.Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10P4.
5. Jawaban: c1) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah A
= 78nC2 = 78
⇔n!
2!(n 2)!− = 78
⇔n(n 1)(n 2)!
2(n 2)!− −
− = 78
⇔ n(n – 1) = 156⇔ n2 – n – 156 = 0⇔ (n + 12)(n – 13) = 0⇔ n = –12 atau n = 13Nilai n yang memenuhi adalah 13.Banyak siswa sekolah A = 13 orang.
2) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah B= 105nC2 = 105
⇔n!
2!(n 2)!− = 105
⇔n(n 1)(n 2)!
2(n 2)!− −
− = 105
⇔ n(n – 1) = 210⇔ n2 – n – 210 = 0⇔ (n – 15)(n + 14) = 0⇔ n = 15 atau n = –14Nilai n yang memenuhi adalah 15.Banyak siswa sekolah A = 15 orang.
Banyak siswa seluruhnya = 13 + 15 = 28 orangBanyak jabat tangan dari 28 orang
= 28C2 = 28!
2!26! = 28 27 26!
2 26!× ×
×
= 14 × 27 = 378 cara.
= pemuda = 4! cara
= pemudi = 3! cara
41Matematika Kelas XI
3210210100
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
0
1
(0a, 0j, 3m)(0a, 1j, 2m)(0a, 2j, 1m)(0a, 3j, 0m)(1a, 0j, 2m)(1a, 1j, 1m)(1a, 2j, 0m)(2a, 0j, 1m)(2a, 1j, 0m)(3a, 0j, 0m)
0123012010
2
3
6. Jawaban: cn1 = banyak bilangan 35xx
= 1 × 1 × 3P2= 1 × 1 × 6= 6
n2 = banyak bilangan di antara 3.600 dan 4.000
= 1 × 3 × 3P2= 1 × 3 × 6= 18
n3 = banyak bilangan lebih dari 4.000
= 4 × 4P3= 4 × 24 = 96
Banyak bilangan bernilai lebih dari 3.500= n1 + n2 + n3= 6 + 18 + 96 = 120
7. Jawaban: dBilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angkadengan urutan diperhatikan sehingga digunakanpermutasi.Banyak bilangan yang dapat disusun sebagaiberikut.
a. 0, 0, dan 6 ada 3!
2!1! = 3 bilangan
b. 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilanganc. 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan
d. 0, 3, dan 3 ada 3!
2!1! = 3 bilangan
e. 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan
f. 1, 4, dan 1 ada 3!
2!1! = 3 bilangan
g. 2, 2, dan 2 ada 3!3! = 1 bilangan
Banyak bilangan kurang dari 1.000 dengan jumlahangka penyusunnya 6= 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 28Jadi, ada 28 bilangan.
8. Jawaban: dBanyak cara mengambil 3 buku = 5C3Banyak cara meletakkan 3 buku secara berderet= 3P3
Banyak cara mengambil dan meletakkan buku= 5C3 × 3P3
= 10 × 6= 60Cara lain:Permasalahan tersebut merupakan permutasi 3 dari 5.Banyak cara mengambil dan meletakkan buku= 5P3 = 60Jadi, ada 60 cara.
9. Jawaban: bKata ANALISIS terdiri atas 8 huruf.Banyak huruf A = 2Banyak huruf I = 2Banyak huruf S = 2Banyak susunan huruf
= 8!
2!2!2!1!1! = 40.320
8 = 5.040
Jadi, ada 5.040 susunan huruf.
10. Jawaban: bTerdapat 3 kelas. Banyak susunan dudukberdasarkan kelasnya ada 3! cara.Wakil kelas XI IPA 1 dapat duduk dengan 4! cara.Wakil kelas XI IPA 2 dapat duduk dengan 2! cara.Wakil kelas XI IPA 3 dapat duduk dengan 3! cara.Banyak cara mereka duduk= 3! × 4! × 2! × 3!= 6 × 24 × 2 × 6 = 1.728
11. Jawaban: cJumlah buah yang dibeli Andi = 18Andi membeli paling sedikit 5 buah untuk setiapjenis buah, maka sebanyak 15 buah yang terdiriatas 5 apel, 5 jeruk, dan 5 mangga sudah pastidibeli Andi.Dengan demikian, sebanyak 3 buah belumdiketahui komposisi masing-masing jenis buahyang akan dibeli Andi.Komposisi 3 jenis buah tersebut dapat dicarimenggunakan cara berikut.Jumlah 3 buah tersebut dapat diwakili denganangka 0, 1, 2, dan 3.Apel(a) Jeruk(j) Mangga(m) Komposisi Buah
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
1 cara�����������
3P2 cara1 cara
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
1 cara�����������
3P2 cara3 cara
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
4 cara�����������������
4P3 cara
Dapat ditempati angka6, 7, atau 9
Dapat ditempati angka 5, 6, 7, atau 9
42 Aturan Pencacahan dan Peluang
Kode urutan ke-10 sampai ke-12.
Kode urutan ke-13 sampai ke-36.
Kode urutan ke-37 sampai ke-39.
Kode urutan ke-40 adalah 53238.Kode urutan ke-41 adalah 53283.Jadi, kode 53283 pada urutan ke-41.
16. Jawaban: dBilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan.Angka pertama menempati nilai tempat ratusandan angka terakhir nilai tempat satuan.Pasangan angka pertama dan terakhir yangmempunyai selisih 3 sebagai berikut.
Angka-angka yang menempati nilai tempat puluhanada 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Susunan angka pertama dan terakhir pada bilanganurutan ke-1 tidak dapat dipertukarkan sehingga ada10 cara untuk menyusun bilangan ratusan yangdiawali angka 3.Susunan angka pertama dan terakhir pada bilanganurutan ke-2 sampai ke-7 dapat dipertukarkansehingga ada 2 cara untuk menyusun angkapertama dan terakhir.Dengan demikian, diperoleh banyak bilangan yangterbentuk = 10 + 10 × 6 × 2 = 130Jadi, banyak bilangan ratusan dengan angka pertamadan terakhir mempunyai selisih 3 adalah 130.
(0a, 0j, 3m) berarti membeli 5 apel, 5 jeruk, dan 8mangga.(0a, 1j, 2m) berarti membeli 5 apel, 6 jeruk, dan 7mangga.(0a, 2j, 1m) berarti membeli 5 apel, 7 jeruk, dan 6mangga, dan seterusnya.Oleh karena terdapat 10 komposisi 3 buah yangakan dibeli, maka komposisi banyak buah yangmungkin dibeli Andi ada 10.
12. Jawaban: dJuara I dapat dipilih dari 10 finalis.Juara II dapat dipilih dari 9 finalis.Juara I dapat dipilih dari 8 finalis.Banyak susunan juara yang mungkin terjadi =10 × 9 × 8 = 720
13. Jawaban: dDari 6 angka yang tersedia akan dibuat bilangan 3angka berlainan yang nilainya antara 300 dan 700.Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatratusan adalah 3, 4, 5, atau 6, berarti ada 4 carauntuk menempati nilai tempat ratusan.Setelah satu angka menempati nilai tempatratusan, tersisa 5 angka sehingga ada 5 cara untukmenempati nilai tempat puluhan.Setelah dua angka menempati nilai tempat ratusandan puluhan, tersisa 4 angka sehingga ada 4 carauntuk menempati nilai tempat satuan.Banyak bilangan antara 300 dan 700 yang dapatdibentuk = 4 × 5 × 4 = 80.
14. Jawaban: dIsi martabak ada 2 pilihan, yaitu mentega dan keju.Dua isi tambahan dapat dipilih dari 4 pilihan, yaitukeju, cokelat, pisang, dan kacang.Banyak isi tambahan yang dapat dipilih merupakankombinasi 2 dari 4 (4C2).Banyak jenis martabak berbeda yang dapat dipilih
Pipit = 2 × 4C2 = 2 × 4!2! 2!
= 2 × 6 = 12.
15. Jawaban: dSusunan kode kupon sebagai berikut.Kode urutan ke-1 sampai ke-6.
Kode urutan ke-7 sampai ke-9.
Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V
2 3 �������������3P3 = 6
Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V
2 5 �������������3!2! = 3 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V
3 �����������������
4P4 = 24 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V
2 8 �������������3!2! = 3 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V
5 2 �������������3!2!
= 3 cara
No. Ribuan Puluhan Satuan
1. 3 10 cara 0
2. 4 10 cara 1
3. 5 10 cara 2
4. 6 10 cara 3
5. 7 10 cara 4
6. 8 10 cara 5
7. 9 10 cara 6
43Matematika Kelas XI
17. Jawaban: aA = kejadian terpilih dua orang merupakan
suami istri= kejadian terpilih 1 pasangan suami istri dari
6 pasang suami istrin(A) = 6C1 = 6n(S) = banyak cara memilih dua orang dari 6
pasangan suami istri (12 orang)= 12C2 = 66
P(A) = n(A)n(S) =
666 =
111
Peluang terpilih dua orang merupakan suami istri
adalah 111 .
18. Jawaban: bA = kejadian jumlah mata dadu yang terlihat
kurang dari 7= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2),(5, 1)}
P(A) =n(A)n(S) =
1536
B = kejadian jumlah mata dadu yang terlihatbilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11)
= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3),(2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2),(5, 6), (6, 1), (6, 5)}
P(B) =n(B)n(S) =
1536
A ∩ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
P(A ∩ B) =n(A B)
n(S)∩
= 7
36
Peluang jumlah mata dadu yang terlihat kurangdari 10 atau bilangan prima:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 1536 +
1536 –
736 =
2136 =
712
Jadi, peluang jumlah mata dadu yang terlihat
kurang dari 7 atau bilangan prima 7
12 .
19. Jawaban: cJumlah bola = 3 + 2 = 5.S = kejadian terambil 2 bola dari 5 bolan(S) = 5C2 = 10Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau2 hitam.A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putihn(A) = 3C2 = 3
P(A) = n(A)n(S) =
310
B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bolahitam
n(B) = 2C2 = 1
P(B) = n(B)n(S) =
110
Kejadian A dan B saling lepas.Peluang bola yang terambil berwarna sama= P (2 putih) + P (2 hitam)= P(A) + P(B)
= 3
10 + 1
10
= 4
10 = 25
Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama 25 .
20. Jawaban: dKemungkinan panitia yang terbentuk (2 putri,2 putra), (1 putri, 3 putra), atau 4 putra.Jumlah siswa = 5 + 5 = 10.Ruang sampel S = kejadian terpilih 4 siswa dari10 siswa.Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 10C4A = kejadian panitia yang terbentuk 2 putri dan
2 putra
P(A) = 5 2 5 2
10 4
C CC×
= 10 10
210×
= 1021
B = kejadian panitia yang terbentuk 1 putri dan3 putra
P(B) = 5 1 5 3
10 4
C CC×
= 5 10210×
= 521
C = kejadian panitia yang terbentuk 4 putra
P(C) = 5 4
10 4
CC
= 5
210 = 1
42Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang panitia yang terbentuk terdiri paling banyak2 siswa putri:
P = P(A) + P(B) + P(C) = 1021 +
521 +
142 =
3142
21. Jawaban: d
Peluang terpilih dompet I = 12 .
Dompet I berisi 5 keping uang logam lima ratusandan 2 keping dua ratusan rupiah.
Peluang terpilih uang logam dua ratusan = 27 .
A = kejadian terpilih dompet I dan terpilih uanglogam dua ratusan rupiah
44 Aturan Pencacahan dan Peluang
Berambut keriting
Berambut tidak keriting
Jumlah
JumlahWanitaPria
5
5
10
6
6
12
11
11
22
P(A) = 12 ×
27 =
17
Peluang terpilih dompet II = 12 .
Dompet II berisi 1 keping lima ratusan dan 3 kepingdua ratusan rupiah.
Peluang terpilih uang logam dua ratusan = 34 .
B = kejadian terpilih dompet II dan terpilih uanglogam dua ratusan
P(B) = 12 ×
34 =
38
Kejadian A dan B saling lepas.Peluang mendapatkan uang logam dua ratusanrupiah:P = P(A) + P(B)
= 17 +
38
= 856 +
2156 =
2956
Jadi, peluang terambil uang logam dua ratusan ru-
piah adalah 2956 .
22. Jawaban: aLisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 unsur,maka permasalahan menjadi permutasi siklisdari 4 unsur. Adapun cara duduk Lisa, Tera, danWisnu ada 3! cara.A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-
sebelahann(A) = 3! × permutasi siklis 4 unsur
= 3!(4 – 1)! = 36n(S) = permutasi siklis 6 unsur
= (6 – 1)! = 5! = 120
P(A) =n(A)n(S) =
36120 =
310
Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-
sebelahan 3
10 .
23. Jawaban: cDalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan16 bola lampu hidup.A = kejadian pengambilan pertama mendapat dua
bola lampu matiB = kejadian pengambilan kedua mendapat dua
bola lampu hidup
P(A) = n(A)n(S) = 4 2
20 2
CC
= 6
190 = 395
Dua bola lampu mati yang telah terambil tidakdikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup.
P(B|A) = peluang kejadian pengambilan keduamendapat dua bola lampu hidup dengansyarat telah terambil dua bola lampu matipada pengambilan pertama
= n(B)n(S) = 16 2
18 2
CC =
120153 =
4051
Peluang kejadian pengambilan pertama mendapatdua bola lampu mati dan pengambilan keduamendapat dua bola lampu hidup:P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
= 395 ×
4051 =
8323
Jadi, peluang pengambilan pertama mendapat duabola lampu mati dan pengambilan kedua mendapat
dua bola lampu hidup adalah 8
323 .
24. Jawaban: d
Ruang sampel S = kejadian terpilih 3 orang dari22 orang
n(S) = 22C3 = 22!
3!19! = 22 21 20 19!
3 2 1 19!× × ×× × ×
= 1.540
A = kejadian terpilih 3 pria dari 10 pria
n(A) = 10C3 = 10!3! 7! =
10 9 8 7!3 2 1 7!
× × ×× × × = 120
B = kejadian terpilih 3 orang berambut keritingdari 11 orang
n(B) = 11C3 = 11!
3! 8! = 11 10 9 8!
3 2 1 8!× × ×× × × = 165
A ∩ B = kejadian terpilih 3 orang pria dan berambutkeriting
n(A ∩ B) = 5C3 = 5!
3! 2! = 5 4 3!3! 2 1
× ×× × = 10
A ∪ B = kejadian terpilih ketiganya pria atauberambut keriting:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S)
+ n(B)n(S)
– n(A B)n(S)
∩
= 120
1.540 + 165
1.540 – 10
1.540 = 275
1.540Jadi, peluang terpilih ketiganya pria atau berambut
keriting adalah 275
1.540 .
25. Jawaban: aJumlah siswa dari tim A dan tim B = 13Ruang sampel S = kejadian terpilih 2 siswa dari13 siswa.
45Matematika Kelas XI
n(S) = 13C2
= −13!
2!(13 2)!
= × ×× ×
13 12 11!2 1 11! = 13 × 6 = 78
Kemungkinan siswa yang terpilih adalah 1 siswalaki-laki dari tim A dan 1 siswa perempuan daritim A, 1 siswa laki-laki dari tim A dan 1 siswa laki-laki dari tim B, atau 1 siswa laki-laki dari tim A dan1 siswa perempuan dari tim B.K1 = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dari tim A
dan 1 siswa perempuan dari tim An(K1) = 3C1 × 2C1 = 3 × 2 = 6
P(K1) = 1n(K )n(S) =
678
K2 = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dari tim Adan 1 siswa laki-laki dari tim B
n(K2) = 3C1 × 5C1 = 3 × 5 = 15
P(K2) = 2n(K )n(S) =
1578
K3 = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dari tim Adan 1 siswa perempuan dari tim B
n(K3) = 3C1 × 3C1 = 3 × 3 = 9
P(K3) = 3n(K )n(S) =
978
Kejadian K1, K2, dan K3 saling lepas.Peluang terpilih 1 siswa laki-laki dari tim A:P = P(K1) + P(K2) + P(K2)
= 6
78 + 1578 +
978
= 3078 =
513
Jadi, peluang terpilih satu siswa laki-laki dari tim
A adalah 5
13 .
26. Jawaban: bKemungkinan 6 anak duduk di kursi sebagai berikut
Kemungkinan Baris 1 Baris 2
I 4 anak 2 anakII 3 anak 3 anakIII 2 anak 4 anak
Ruang sampel S = kejadian 4 anak duduk di baris1dan 2 anak duduk di baris 2, kejadian 3 anak dudukdi baris1 dan 3 anak duduk di baris 2, ataukejadian 2 anak duduk di baris1 dan 4 anak dudukdi baris 2.A = kejadian 4 anak duduk di baris1 dan 2 anak
duduk di baris 2
n(A) = 4P4 × 4P2
= 4!
(4 4)!− × 4!
(4 2)!−
= 4 3 2 1!
1!× × ×
× 4 3 2!
2!× ×
= 24 × 12= 288
B = kejadian 3 anak duduk di baris1 dan 3 anakduduk di baris 2
n(B) = 4P3 × 4P3 × 2
= 4!
(4 3)!− × 4!
(4 3)!− × 2
= 4 3 2 1!
1!× × ×
× 4 3 2 1!
1!× × ×
× 2
= 24 × 24 × 2= 1.152
C = kejadian 2 anak duduk di baris1 dan 4 anakduduk di baris 2
n(C) = 4P2 × 4P4
= 4!
(4 2)!− × −4!
(4 4)!
= 4 3 2!
2!× ×
× × × ×4 3 2 1
1
= 12 × 24
= 288n(S) = n1 + n2 + n3
= 288 + 1.152 + 288= 1.728
Peluang 3 anak duduk dalam satu baris:
P(B) = n(B)n(S) =
1.1521.728 =
23
Jadi, peluang 3 anak duduk dalam satu baris 23 .
27. Jawaban: eRuang sampel S = kejadian terpilih 2 siswa dari 9siswa.n(S) = banyak cara memilih 2 siswa dari 9 siswa
= 9C2
= −9!
2!(9 2)!
= × ×× ×
9 8 7!2 1 7! = 9 × 4 = 36
Kemungkinan pasangan ketua dan sekretaris yangterpilih sebagai berikut.
Ketua Sekretaris
Asal Kelas XI X
XII X
XII XI
46 Aturan Pencacahan dan Peluang
Misalkan A = kejadian terpilih ketua dari kelas XIdan sekretaris dari kelas X
B = kejadian terpilih ketua dari kelas XIIdan sekretaris dari kelas X
C = kejadian terpilih ketua dari kelas XIIdan sekretaris dari kelas XI
n(A) = 4C1 × 3C1 = 4 × 3 = 12n(B) = 2C1 × 3C1 = 2 × 3 = 6n(B) = 2C1 × 4C1 = 2 × 4 = 8Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbedadan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggidari sekretaris:
P = n(A)n(S) +
n(B)n(S) +
n(C)n(S)
= 1236 +
636 +
836 =
2636
28. Jawaban: aJumlah bola = 5 + 4 = 9S = kejadian terambil 3 bola dari 9 bolan(S) = 9C3
= 9!
3!(9 3)!−
= 9 8 7 6!3 2 1 6!
× × ×× × ×
= 84Kemungkinan bola yang terambil adalah 2 bolaputih dan 1 bola hitam atau 3 bola putih.A1 = kejadian terambil 2 bola putih dan 1 bola hitam
n(A1) = 5C2 × 4C1
= 5!
2! 3! × 4!
1! 3!
= 5 4 3!
2 3!× ×
× ×4 3!1 3!
××
= 10 × 4= 40
P(A1) = 1n(A )n(S) =
4084
A2 = kejadian terambil 3 bola putihn(A2) = 5C3
= 5 4 3!
3! 2!× ×
= 10
P(A2) = n(A )n(S)
= 1084
Kejadian A1 dan A2 saling lepas.Peluang terambil sekurang-kurangnya 2 bola putih:P(A) = P(A1) + P(A2)
= 4084 +
1084
= 5084
Frekuensi harapan terambil sekurang-kurangnyadua bola putih:Fh(A) = n × P(A)
= 84 × 5084
= 50 kaliJadi, frekuensi harapan terambil sekurang-kurangnya 2 bola putih adalah 50 kali.
29. Jawaban: dBanyak percobaan = n.Ruang sampel S = himpunan pasangan mata dadupada pelambungan dua dadu.n(S) = 6 × 6 = 36A = kejadian terlihat mata dadu pertama 3
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}n(A) = 6B = kejadian terlihat mata dadu kedua 5
= {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}n(B) = 6A ∩ B = kejadian muncul mata dadu pertama 3
dan mata dadu kedua 5= {(3, 5)}
Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, kejadian A dan B tidaksaling lepas.peluang terlihat mata dadu pertama 3 atau matadadu kedua 5:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) –
P(A B)n(S)
∩
= 636 +
636 –
136 =
1136
Frekuensi harapan terlihat mata dadu pertama 3atau mata dadu kedua 5:Fr(A ∪ B)= P(A ∪ B) × n
⇔ 33 = 1136 × n ⇔ n = 33 × 36 = 1.188
Jadi, dua dadu dilambungkan sebanyak 108 kali.
30. Jawaban: bBanyak percobaan n = 165Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11Kemungkinan uang logam yang terambil adalahpertama uang logam seribuan dan kedua uanglogam seribuan atau pertama uang logam seribuandan kedua uang logam lima ratusan.A = kejadian terambil pertama uang logam
seribuan dan kedua uang logam seribuan
P(A) = 811×
710 =
56110
B = kejadian terambil pertama uang logamseribuan dan kedua uang logam limaratusan
P(B) =811×
310 =
24110
47Matematika Kelas XI
I
II II
II II
I II II I
Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil uang logam seribuan padapengambilan pertama:
P = P(A) + P(B) = 56
110 + 24
110 = 80
110 = 811
Frekuensi harapan terambil uang logam seribuanpada pengambilan pertama:
Fh = P × N = 811 × 165 = 120
Jadi, frekuensi harapan terambil uang logam seribuanpada pengambilan pertama adalah 120 kali.
B. Uraian1. Bilangan genap antara 2.000 dan 5.000 terdiri atas
nilai tempat ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatribuan adalah 2, 3, atau 4.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatsatuan adalah 2, 4, 6, atau 8.
Banyak bilangan genap antara 2.000 dan 5.000yang dapat dibentuk= 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3= 5P2(3 + 4 + 3)= 20 × 10 = 200
2. a. 2 foto yang disusun selalu bersama-samadianggap sebagai 1 unsur.Permasalahan menjadi permutasi dari 6 – 1 =5 unsur yaitu ada 5P5 cara.Penyusunan 2 foto yang selalu bersama-sama ada 2P2 cara.Banyak cara seluruhnya= 2P2 × 5P5= 2! × 5!= 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 240 caraJadi, banyak cara menyusun foto dengan2 foto selalu bersama-sama ada 240 cara.
b. Banyak 6 foto dipasang dengan tidak adabatasan cara = 6P6
= 6!= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 720 cara
Banyak foto dipasang dengan 2 foto selalubersama-sama = 2P2 × 5P5
= 2! × 5!= 2 · 1 × 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 240 cara
Jadi, banyak cara menyusun 6 fotodengan 2 foto tidak pernah bersama-sama= 720 – 240 = 480 cara.
3. a. Banyak cara membentuk kelompok= banyak cara memilih 7 siswa dari 12 siswa= 12C7
= 1!
7!(12 7)!−
= 12 11 10 9 8 7!
7! 5 4 3 2 1× × × × ×
× × × × ×
= 12 × 11 × 2 × 3 = 792b. Kemungkinan anggota tim yang terpilih adalah
6 siswa putra dan 1 siswa putri atau 7 siswaputra.n1 = banyak cara membentuk kelompok
beranggotakan 6 putra dan 1 putri= 8C6 × 4C1
= 8!
6!(8 6)!− × 4!
1!(4 1)!−
= 8 7 6!6! 2 1
× ×× × ×
4 3!1 3!
××
= 4 × 7 × 4 = 112n2 = banyak cara membentuk kelompok
beranggotakan 7 siswa putra= 8C7
= 8!
7!(8 7)!−
= 8 7!7 1!
×× = 8
Banyak cara membentuk kelompok dengananggota paling sedikit enam siswa putra= n1 + n2= 112 + 8= 120
4. Bentuk taman yang diinginkan
Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)!= 2!= 2
Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)!= 5!= 120
Banyak cara menanam pohon-pohon itu= 2 × 120 = 240 cara.
Ribuan
234
Ratusan
. . .
. . .
. . .
Puluhan
. . .
. . .
. . .
Satuan
4, 6, atau 82, 4, 6, atau 82, 6, atau 8
���������������5P2
48 Aturan Pencacahan dan Peluang
5. Password terdiri atas 4 huruf. Huruf pertama diawalidengan huruf s. Ketiga huruf lain dapat dipilih darihuruf p, q, r, t, u, dan v.Banyak cara memilih 4 huruf dari 6 huruf= 6C3
= 6!
3! 3!
= 6 5 4 3!3! 3 2 1
× × ×× × ×
= 20 caraAngka prima kurang dari 10 ada 4, yaitu 2, 3, 5,dan 7.Banyak cara memilih 2 angka dari 4 angka= 4C2
= 4!
2! 2!
= 4 3 2!
2! 2× ×
×= 6 caraBanyak susunan password yang dapat disusun= 5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara.Banyak password yang dapat disusun= 20 × 6 × 120= 14.400 caraJadi, banyak password yang dapat disusun ada14.400 cara.
6. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartun(S) = 52C13
R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack= kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan
9 kartu sembarang dari 48 kartu selain Jackn(R) = 4C4 × 48C9
P(R) = n(R)n(S) = 4 4 48 9
52 13
C CC×
= 48!
9! 39!52!
13! 39!
1×
= 48!9! ×
13!52!
= 48! 13 12 11 10 9!9! 52 51 50 49 48!
× × × × ×× × × × ×
= 11
17 5 49× ×
= 11
4.165
Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack 11
4.165 .
7. Kotak A berisi 4 + 3 = 7 kartuSA = kejadian terambil 2 kartu dari kotak An(SA) = 7C2
= 7!2! (7 2)!− = 7 6 5!
2 1 5!× ×× ×
= 7 × 3 = 21
A = kejadian terambil 2 kartu merah dari kotak A
n(A) = 4C2 = 4!2! (4 2)!− = 4 3 2!
2 1 2!× ×× ×
= 2 × 3 = 6
P(A) = A
n(A)n(S ) =
621 =
27
Kotak B berisi 6 + 2 = 8 kartuSB = kejadian terambil 2 kartu dari kotak Bn(SB) = 8C2
= 8!2! (8 2)!− = 8 7 6!
2 1 6!× ×× ×
= 4 × 7 = 28
B = kejadian terambil 2 kartu putih dari kotak Bn(B) = 2C2 = 1
P(B) = B
n(B)n(S ) =
128
Kejadian A dan B merupakan dua kejadian salingbebas.Peluang terambil dua kartu merah dari kotak A dandua kartu putih dari kotak B:P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 27 ×
128 =
198
Jadi, peluang terambil 2 kartu merah dari kotak A
dan 2 kartu putih dari kotak B adalah 1
98 .
8. Ruang sampel S = himpunan pasangan mata dadupada pelambungan dua mata dadu secarabersamaan.n(S) = 6 × 6 = 36A = kejadian terlihat mata dadu pertama 6
= {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}n(A) = 6
P(A) = n(A)n(S) =
636
B = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 8= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
n(B) = 5
P(B) = n(B)n(S) =
536
A ∩ B = kejadian terlihat mata dadu pertama 6dan jumlah kedua mata mata dadu 8
= {(6, 2)}n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = 1
36
Peluang terlihat mata dadu pertama 6 atau jumlahkedua mata dadu 8:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 636 +
536 –
136 =
1036 =
518
9. Ruang sampel S = kejadian terambil 2 kelerengdari 20 kelereng.n(S) = 20C2
= 20!2! (20 2)!− = 20 19 18!
2 1 18!× ×× ×
= 10 × 19 =190
49Matematika Kelas XI
Kemungkinan kelereng yang terambil adalah(1 putih, 1 kuning), (1 putih, 1 hijau), atau (1 hijau,1 kuning).A = kejadian terambil 1 kelereng putih dan
1 kelereng kuningn(A) = 5C1 × 8C1 = 5 × 8 = 40B =kejadian terambil 1 kelereng putih dan
1 kelereng hijaun(B) = 5C1 × 7C1 = 5 × 7 = 35C = kejadian terambil 1 kelereng hijau dan
1 kelereng kuningn(C) = 7C1 × 8C1 = 7 × 8 = 56Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang terambil 1 kelereng putih atau 1 kelerenghijau:P = P(A) + P(B) + P(C)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) +
n(C)n(S)
= 40
190 + 35
190 + 56
190
= 131190
Jadi, peluang terambil 1 kelereng putih dan
1 kelereng hijau adalah 131190 .
10. Jumlah bola = 6 + 4 + 8 = 18S = kejadian terambil 2 bola dari 18 bolan(S) = 18C2
= 18!
2!16! = 18 17 16!
2 1 16!× ×× × = 9 × 17 = 153
Kemungkinan bola yang terambil adalah(1P, 1H), (1P, 1K), dan (1K, 1H)
A = kejadian bola yang terambil 1 putih dan 1 hijaun(A) = 6C1 × 4C1
= 6 × 4= 24
B = kejadian bola yang terambil 1 putih dan1 kuning
n(B) = 6C1 × 8C1
= 6 × 8= 48
C = kejadian bola yang terambil 1 kuning dan1 hijau
n(C) = 8C1 × 4C1
= 8 × 4= 32
Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang terambil bola berbeda warna:P = P(A) + P(B) + P(C)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) +
n(C)n(S)
= 24
153 + 48
153 + 32
153
= 104153
Fh(P) = P × n
= 104153 × 306
= 208Jadi, frekuensi harapan terambil bola berbedawarna adalah 208.
50 Persamaan Lingkaran
Setelah mempelajari bab ini peserta didik mampu:1. menjelaskan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran;2. menjelaskan konsep kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menentukan persamaan umum lingkaran;3. membuat model matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaikan permasalahan tersebut;4. merancang dan menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran.
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku disiplin dan kritis menerapkannya dalamkehidupan sehari-hari.
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
• Mendeskripsikan lingkaran.• Menjelaskan persamaan lingkaran
yang berpusat di O(0, 0) danP(a, b).
• Menjelaskan bentuk umum per-samaan lingkaran.
• Menjelaskan kedudukan titik dangaris terhadap lingkaran.
• Berdiskusi menentukan jarak titikterhadap suatu garis.
• Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, sertamemiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah.
• Berperilaku jujur dan bertanggung jawab dalam berinteraksi denganlingkungan sosial.
• Menentukan persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgunglingkaran.
• Membuat model matematika berupa persamaan lingkaran daripermasalahan nyata dan menyelesaikannya.
• Merancang dan menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitandengan garis singgung lingkaran.
Persamaan GarisSinggung Lingkaran
• Mendeskripsikan garis singgunglingkaran.
• Menjelaskan cara menentukanpersamaan garis singgung lingkaranyang diketahui gradiennya.
• Menjelaskan cara menentukanpersamaan garis singgunglingkaran di suatu titik.
• Berdiskusi menentukan persama-an garis singgung lingkaran yangmelalui titik di luar lingkaran.
51Matematika Kelas XI
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: e
Lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari 9.Persamaan lingkaran:
x2 + y2 = r2
⇔ x2 + y2 = 92
⇔ x2 + y2 = 81Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 81.
2. Jawaban: dDari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaranP(10, –6) dan jari-jarinya 10. Persamaan lingkarannya:(x – 10)2 + (y – (–6))2 = 102
⇔ (x – 10)2 + (y + 6)2 = 100Jadi, persamaan lingkarannya (x – 10)2 + (y + 6)2
= 100.
3. Jawaban: dPersamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalahx2 + y2 = r2.Lingkaran melalui titik (4, –2):x2 + y2 = r2 ⇒ (4)2 + (–2)2 = r2
⇔ r2 = 16 + 4 = 20Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 20.
4. Jawaban: ax2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 3 + 9 + 4⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16Diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (3, 2) danjari-jarinya 4. Grafik lingkaran yang sesuai adapada pilihan a.
5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8)dan melalui titik N(1, 5) adalah . . . .a. x2 + y2 – 8x + 16y – 98 = 0b. x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0c. x2 + y2 – 4x + 8y – 62 = 0d. x2 + y2 + 4x – 8y + 10 = 0e. x2 + y2 – 8x + 4y – 38 = 0Jawaban: bPersamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8):(x – (–4))2 + (y – 8)2 = r2
⇔ (x + 4)2 + (y – 8)2 = r2
Lingkaran melalui titik N(1, 5) diperoleh:(x + 4)2 + (y – 8)2 = r2
⇔ (1 + 4)2 + (5 – 8)2 = r2
⇔ r2 = 52 + (–3)2
= 25 + 9 = 34Persamaan lingkarannya:
(x + 4)2 + (y – 8)2 = 34⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 – 34 = 0⇔ x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0
6. Jawaban: aTitik pusat lingkaran terletak di tengah diameter,koordinatnya:
4 + 62
− , 3 + 12
− = (1, –1)
Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2
Lingkaran melalui titik (6, 1), diperoleh:(6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2
⇔ r2 = 25 + 4 = 29Persamaan lingkaran:
(x – 1)2 + (y + 1)2 = r2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0
7. Jawaban: dLingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik(1, 4), diperoleh:
12 + 42 + 6 · 1 – 2 · 4 + a = 0⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0⇔ a = –15Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15= 0.Jari-jari lingkaran:
r = 1 12 22 2
( A) ( B) C− + − −
= 6 22 22 2
( ) ( ) ( 15)−− + − − −
= 9 1 15+ += 25 = 5
Jadi, panjang jari-jarinya 5 satuan.
8. Jawaban: eOleh karena titik A terletak pada lingkaran,substitusikan titik (p, 1) ke dalam persamaanlingkaran.
(x – 2)2 + (y + 4)2 = 26⇔ (p – 2)2 + (1 + 4)2 = 26⇔ p2 – 4p + 4 + 25 = 26⇔ p2 – 4p + 3 = 0⇔ (p – 3)(p – 1) = 0⇔ p – 3 = 0 atau p – 1 = 0⇔ p = 3 atau p = 1Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 1 atau 3.
9. Jawaban: bMisalkan titik P(24, 7) terletak pada lingkaran,diperoleh:
x2 + y2 = a2
⇔ 242 + 72 = a2
⇔ 576 + 49 = a2
⇔ a2 = 625⇔ a = 25
52 Persamaan Lingkaran
Oleh karena titik P harus di dalam lingkaran, jaraktitik P terhadap titik O(0, 0) harus kurang dari 25.Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 0 < a < 25.
10. Jawaban: aLingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di
titik
–21 p, –4
.
r = ( )2 212
p ( 4) – 9− + −
= 21
4p 16 – 9+
= 214
p 7+
Lingkaran menyinggung sumbu X makar = |ordinat pusat|Diperoleh:
214
p 7+ = |–4|
⇔2
214
p 7
+ = |–4|2
⇔41 p2 + 7 = 16
⇔41 p2 = 9
⇔ p2 = 36⇔ p = ± 6Jadi, pusat lingkarannya (3, –4) atau (–3, –4).
11. Jawaban: bx – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2ySubstitusikan x = 5 + 2y ke dalam persamaanlingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh:
(5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0⇔ y2 + 4y + 3 = 0⇔ (y + 3)(y + 1) = 0⇔ y1 = –3 atau y2 = –1y1 = –3 ⇒ x1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3)y2 = –1 ⇒ x2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1)
Panjang ruas garis AB
= 2 2(3 – (–1)) (–1– (–3))+
= 2 24 2+
= 16 4+
= 20
= 2 5 satuan
12. Jawaban: bPersamaan lingkaran L dengan pusat (–1, 3) danjari-jari r = 1:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 12
⇔ x2 + y2 + 2x – 6y + 9 = 0 . . . (1)Garis g: ax + y = 0 ⇔ y = –ax . . . (2)Substitusikan y = –ax ke dalam persamaan (1).x2 + (–ax) 2 + 2x – 6(–ax) + 9 = 0⇔ x2 + a2x2 + 2x + 6ax + 9 = 0⇔ (a2 + 1)x2 + (2 + 6a)x + 9 = 0Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0.
(2 + 6a)2 – 4(a2 + 1) · 9 = 0⇔ 4 + 24a + 36a2 – 36a2 – 36 = 0⇔ 24a = 32
⇔ a = 43
Jadi, syarat agar garis ax + y = 0 menyinggung
lingkaran L adalah nilai a = 43 .
13. Jawaban: eLingkaran L menying-gung sumbu Y di titik(0, 6) dan pusatnya digaris y = 2x.y = 6 ⇔ 2x = 6
⇔ x = 3Pusat lingkaran P(3, 6)dan jari-jari 3.Jadi, persamaan ling-karan L adalah
(x – 3)2 + (y – 6)2 = 32
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0
14. Jawaban: bLingkaran L: 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melaluititik (–2, 1), diperoleh:
2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0⇔ 2(–2)2 + 2(1)2 – 4(–2) + 3p(1) – 30 = 0⇔ 8 + 2 + 8 + 3p – 30 = 0⇔ 3p – 12 = 0⇔ p = 4Lingkaran L:
2x2 + 2y2 – 4x + 12y – 30 = 0⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0Pusat lingkaran L adalah (1, –3).
Jari-jari lingkaran L= 2 21 ( 3) ( 15)+ − − −
= 25= 5
Persamaan lingkaran M yang berpusat di (1, –3)dan jari-jarinya 2(5) = 10 sebagai berikut.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 1)2 + (y + 3)2 = 102
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 100
Y
X
y = 2x
6r
P
30
-------
----
----
----
53Matematika Kelas XI
⇔ x2 – 2x + y2 + 6y + 10 = 100⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0Jadi, persamaan lingkaran M adalah x2 + y2 – 2x+ 6y – 90 = 0.
15. Jawaban: cPerhatikan gambar berikut.
Misalkan titik pusat lingkaran L adalah (a, b).Titik (a, b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0,diperoleh:
2x – 4y – 4 = 0⇔ 2a – 4b – 4 = 0 . . . (1)Oleh karena lingkaran L menyinggung sumbu Xdan sumbu Y maka jari-jari lingkaran r = a = b.Substitusikan a = b ke dalam persamaan (1).
2a – 4b – 4 = 0⇔ 2b – 4b – 4 = 0⇔ –2b – 4 = 0⇔ b = –2Diperoleh titik pusat (a, b) = (–2, –2).Persamaan lingkaran L:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 22
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4⇔ x2 + 4x + y2 + 4y + 4 = 0⇔ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 4x + 4y + 4= 0.
B. Uraian1. a. x2 + y2 – 12x – 8y + 3 = 0
A = –12, B = –8, dan C = 3.
Pusat lingkaran = (–A2 , –
B2 ) = (6, 4)
Jari-jari = 2 26 4 3+ − = 49 = 7b. x2 + y2 = 6x – 18y + 6
⇔ x2 + y2 – 6x + 18y – 6 = 0A = –6, B = 18, dan C = –6.
Pusat lingkaran = (–A2 , –
B2 ) = (3, –9)
Jari-jari = 2 23 ( 9) ( 6)+ − − − = 96 = 4 6
2. a. Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0)adalah x2 + y2 = r2.
Oleh karena lingkaran melalui titik (3, –2),diperoleh:
x2 + y2 = r2
⇔ 32 + (–2)2 = r2
⇔ 9 + 4 = r2
⇔ r2 = 13Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 13.
b. Jari-jari = 12 · diameter =
12 · 12 = 6
Persamaan lingkaran yang berpusat di A(–3, 1)dengan jari-jari 6 satuan adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 62
⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 36⇔ x2 + 6x + y2 – 2y – 26 = 0⇔ x2 + y2 + 6x – 2y – 26 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 6x– 2y – 26 = 0.
3. a. L1 : x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = –15 + 4 + 16⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 5Lingkaran L1 berpusat di titik (2, –4) dan
berjari-jari r = 5 .
b. Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di
(2, –4) dan berjari-jari 2 5 adalah:(x – 2)2 + (y + 4)2 = (2 5 )2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20⇔ x2 + y2 – 4x + 8y = 0
4. x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0a. Lingkaran melalui titik (–1, 3), diperoleh:
(–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0⇔ n = 18
b. x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0
Pusat: –
21 (–8), –
21 (–12)
= (4, 6)
Jari-jari: r = 2 24 + 6 18−
= 16 + 36 18− = 34Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6).
d = 2 24 + 6 = 16 + 36 = 52
Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada diluar lingkaran.
c. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ketitik pusat lingkaran (4, 6) adalah:
s = 2 2
2(4) (6) 5
2 + ( 1)
− −−
= 8 6 54 + 1
− − = 35
− = 35
× 55
= 35
5
Y
X
2x – 4y – 4 = 0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
1
54 Persamaan Lingkaran
Oleh karena s = 35
5 ≈ 1,34 < r = 34 ≈ 5,83
maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran didua titik.
5. Perhatikan gambar berikut.
Lingkaran menyinggung sumbu X di titik (2, 0).Oleh karena jari-jari lingkaran 3 satuan, titik pusat-nya (2, 3).Persamaan lingkarannya adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 32
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9⇔ x2 – 4x + y2 – 6y + 4 = 0⇔ x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0Lingkaran memotong sumbu Y pada saat x = 0,diperoleh:
x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0⇔ 02 + y2 – 4(0) – 6y + 4 = 0⇔ y2 – 6y + 4 = 0Bentuk y2 – 6y + 4 = 0 merupakan persamaankuadrat dengan a = 1, b = –6, dan c = 4.Misalkan titik potong terhadap sumbu Y adalahy1 dan y2. Jarak antara y1 dan y2 dirumuskan:
y1 – y2 = Da =
2b 4aca−
= 36 16
1−
= 20 = 2 5
Jadi, panjang AB = y1 – y2 = 2 5 satuan panjang.
6. Titik pusat lingkaran: P(–2, 1).
Jari-jari lingkaran: r = 2 2( 2) 1 4− + + = 3
a. Jarak titik P(–2, 1) ke garis x + y – 8 = 0:
d = 2 2
2 1 8
1 1
− + −
+ = 9
2
Oleh karena d1 = 92
> r = 3 maka garisx + y – 8 = 0 tidak berpotongan denganlingkaran L.
b. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x – y + 1 = 0:
d = 2 2
2 ( 2) 1 1
2 ( 1)
⋅ − − +
+ − = 4
5
Oleh karena d = 45
< r = 3 maka garis
2x – y + 1 = 0 memotong lingkaran L.
c. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 3x – 4y – 5 = 0:
d = 2 2
3 ( 2) 4 1 5
3 ( 4)
⋅ − − ⋅ −
+ − = 15
5− = 3
Oleh karena d = r = 3 maka garis 3x – 4y – 5 = 0menyinggung lingkaran L.
d. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x + 2y – 1 = 0:
d = 2 2
2 ( 2) 2 1 1
2 2
⋅ − + ⋅ −
+ = 3
2 2
Oleh karena d = 32 2
< r = 3 maka garis
2x + 2y – 1 = 0 memotong lingkaran L.
7. l: 2x + y = k Û y = k – 2xSubstitusikan � ke dalam persamaan lingkaran L.
x2 + (k – 2x)2 = 4⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0Syarat garis � tidak memotong lingkaran L di duatitik yaitu D < 0.
(–4k)2 – 4 · 5 · (k2 – 4) < 0⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0⇔ –4k2 + 80 < 0⇔ k2 – 20 > 0⇔ (k – 20 )(k + 20 ) > 0⇔ (k – 2 5 )(k + 2 5 ) > 0
⇔ k < –2 5 atau k > 2 5Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 5 atauk > 2 5 .
8. Perhatikan gambar berikut.
Lingkaran menyinggung garis y = 10 di titik (5, 10)berarti koordinat titik pusatnya (5, b) dan jari-jarinyar = 10 – b. Persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2
+ (y – b)2 = (10 – b)2.
Y
X(2,0)
7
654321
01 1 3 4 5 6 7
+ – +
–2 5 2 5
Y
X
(5,10)
(5,b)
5
y = 10
0
55Matematika Kelas XI
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: b
Substitusikan y = 2x + p ke dalam persamaanlingkaran.
x2 + y2 = 20⇔ x2 + (2x + p)2 = 20⇔ x2 + 4x2 + 4px + p2 = 20⇔ 5x2 + 4px + p2 – 20 = 0Diperoleh a = 5, b = 4p, dan c = p2 – 20.Syarat garis menyinggung lingkaran yaitu D = 0.
D = 0⇔ b2 – 4ac = 0⇔ (4p)2 – 4(5)(p2 – 20) = 0
⇔ 16p2 – 20p2 + 400 = 0⇔ –4p2 + 400 = 0⇔ p2 = 100⇔ p = 10 atau –10Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 10 atau –10.
2. Jawaban: dGaris x + y = 4 mempunyai gradien m1 = –1.
y = 24 x−⇔ y2 = 4 – x2
⇔ x2 + y2 = 4Oleh karena garis singgung sejajar dengan garisx + y = 4 maka m = m1 = –1.
P1 P P2
r1r1
r2 r2
T2O
y = 13 3x
y = 3
Y
X
Lingkaran melalui titik (1, 2), diperoleh:(1 – 5)2 + (2 – b)2 = (10 – b)2
⇔ 16 + 4 – 4b + b2 = 100 – 20b + b2
⇔ 20 – 4b = 100 – 20b⇔ 16b = 80⇔ b = 5Jadi, persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2 + (y – 5)2= 25.
9. Segitiga ABC siku-siku di A, maka sisi BCmerupakan diameter lingkaran.Titik tengah diameter BC merupakan titik pusatlingkaran, yaitu titik (3, 6).Panjang diameter sama dengan panjang BC, yaitu:
d = BC = 2 2(6 0) (0 12)− + −
= 36 144+ = 180
Jari-jari: r = 12 d =
12 180 = 180
4 = 45
Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dan jari-
jari r = 45 :
(x – 3)2 + (y – 6)2 = ( 45 )2
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 45⇔ x2 + y2 – 6x – 12y = 0Jadi, persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalahx2 + y2 – 6x – 12y = 0.
10. Perhatikan gambar berikut.
Titik pusat kedua lingkaran pada garis y = 3
berarti ordinat titik pusat adalah 3 .Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0),maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).
Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, 3 ) dan per-samaannya:(x – r)2 + (y – 3 )2 = r2
Lingkaran juga menyinggung garis y = 13 x 3 .
Substitusikan y = 13 x 3 ke dalam persamaan
lingkaran.
(x – r)2 +
13 x 3 – 3
2= r2
⇔ x2 – 2rx + r2 + 13 x2 – 2x + 3 = r2
⇔ 43 x2 – (2r + 2)x + 3 = 0
Oleh karena lingkaran menyinggung garis, makadiskriminan (D) = 0, yaitu:
b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · 43 · 3 = 0
⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0⇔ r2 + 2r – 3 = 0⇔ (r + 3)(r – 1) = 0⇔ r = –3 atau r = 1
Diperoleh titik pusat P1(–3, 3) dan P2(1, 3).Jarak kedua titik pusat:
P1P2 = 2 2(1 ( 3)) ( 3 3)− − + −
= 2 24 0+= 4
56 Persamaan Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran:
y = mx ± r 2m 1+
⇔ y = –x ± 22( 1) 1− +
⇔ y = –x ± 2 2
⇔ x + y ± 2 2 = 0
Oleh karena kurva y = 24 x− berada di atassumbu X, persamaan garis singgung yang memenuhi
adalah x + y – 2 2 = 0.
3. Jawaban: a
Garis 5x – 12y + 8 = 0 mempunyai gradien m1 = 5
12 .Titik pusat lingkaran: (a, b) = (1, –2)
Jari-jari lingkaran: r = 2 21 ( 2) ( 4)+ − − − = 3
Oleh karena garis singgung sejajar dengan garis
5x – 12y + 8 = 0 maka m = m1 = 5
12 .Persamaan garis singgung lingkaran:
y – b = m(x – a) ± r 2m 1+
⇔ y + 2 = 5
12 (x –1) ± 3 5 212
( ) 1+
⇔ y + 2 = 5
12 (x – 1) ± 3 25144
1+
⇔ y + 2 = 5
12 (x – 1) ± 3 169144
⇔ y + 2 = 5
12 (x – 1) ± 3(1312 )
⇔ 12(y + 2) = 5(x – 1) ± 39⇔ 12y + 24 = 5x – 5 ± 39⇔ 5x – 12y – 29 ± 39 = 0⇔ 5x – 12y – 29 + 39 = 0 atau 5x – 12y – 29 – 39
= 0⇔ 5x – 12y + 10 = 0 atau 5x – 12y – 68 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkarannyaadalah 5x – 12y + 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0.
4. Jawaban: aGaris y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m1 = 2.Titik pusat lingkaran: P(3, –5).Jari-jari lingkaran: r = 80Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m.Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garisy – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2.Persamaan garis singgung lingkaran:
y – b = m(x – a) ± r 21 m+
⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± 80 · 21 2+
⇔ y + 5 = 2x – 6 ± 80 5⋅
⇔ y = 2x – 11 ± 400⇔ y = 2x – 11 ± 20
5. Jawaban: cx2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
⇔ x2 – 6x + y2 – 4y = 12⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 12 + 9 + 4⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25Diperoleh pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jari r = 5.Garis y = x + 4 bergradien 1, maka garis yangtegak lurus dengan garis tersebut bergradien –1.Persamaan garis singgung:
y – 2 = m(x – 3) ± 5 21 m+
⇔ y – 2 = –1(x – 3) ± 5 21 ( 1)+ −
⇔ y – 2 = –x + 3 ± 5 2
⇔ y = –x + 5 ± 5 2Jadi, salah satu persamaan garis singgungnyay = –x + 5 – 5 2 .
6. Jawaban: aL: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9y = 3 ⇒ (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9
⇔ (x + 1)2 = 9⇔ x + 1 = ±3⇔ x = –1 ± 3⇔ x = 2 atau x = –4
Diperoleh titik potong (2, 3) dan (–4, 3).Persamaan garis singgung di titik (2, 3):(2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9⇔ 3x + 3 + 0 = 9⇔ x = 2Persamaan garis singgung di titik (–4, 3):(–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9⇔ –3x – 3 + 0 = 9⇔ x = –4Jadi, persamaan garis singgungnya x = 2 danx = –4.
7. Jawaban: aPersamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalahx2 + y2 = r2.Lingkaran melalui titik A(3, 1):x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (1)2 = r2
⇔ r2 = 9 + 1 = 10Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 = 10.Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(3, 1):x1x + y1y = r2 ⇒ (3)x + (1)y = 10
⇔ 3x + y = 10Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik Aadalah 3x + y = 10.
8. Jawaban: bPada titik (x, y), x disebut absis dan y disebutordinat.
57Matematika Kelas XI
Substitusikan x = 5 ke dalam persamaan lingkaran.x2 + y2 – 2x + 6y – 7 = 0
⇔ 52 + y2 – 2(5) + 6y – 7 = 0⇔ 25 + y2 – 10 + 6y – 7 = 0⇔ y2 + 6y + 8 = 0⇔ (y + 2)(y + 4) = 0⇔ y + 2 = 0 atau y + 4 = 0⇔ y = –2 atau y = –4Diperoleh dua titik pada lingkaran, yaitu (5, –2) dan(5, –4).Persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, –2).
5x – 2y – (x + 5) + 3(y – 2) – 7 = 0⇔ 5x – 2y – x – 5 + 3y – 6 – 7 = 0⇔ 4x + y – 18 = 0Persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, –4).
5x – 4y – (x + 5) + 3(y – 4) – 7 = 0⇔ 5x – 4y – x – 5 + 3y – 12 – 7 = 0⇔ 4x – y – 24 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya adalah4x + y – 18 = 0 dan 4x – y – 24 = 0.
9. Jawaban: dx2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0Untuk x = 7 dan y = 1 diperoleh:72 + 12 – 6(7) + 4(1) – 12= 49 + 1 – 42 + 4 – 12= 0Titik (7, 1) terletak pada lingkaran sehingga per-samaan garis singgungnya:
7x + 1y – 62 (x + 7) +
42 (y + 1) – 12 = 0
⇔ 7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0⇔ 4x + 3y – 31 = 0
10. Jawaban: aLingkaran (x + 4)2 + (y – 2)2 = 20 memotong sumbu Xpada saat y = 0.(x + 4)2 + (0 – 2)2 = 20⇔ (x + 4)2 + 4 = 20⇔ (x + 4)2 = 16⇔ x + 4 = ± 4⇔ x = –4 ± 4⇔ x = –8 atau x = 0Diperoleh titik potong lingkaran terhadap sumbu Xadalah (–8, 0) dan (0, 0).Persamaan garis singgung di titik (–8, 0):(–8 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20⇔ –4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20⇔ –4x – 16 – 2y + 4 – 20 = 0⇔ –4x – 2y – 32 = 0⇔ 2x + y + 16 = 0Persamaan garis singgung di titik (0, 0):(0 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20⇔ 4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20⇔ 4x + 16 – 2y + 4 – 20 = 0
⇔ 4x – 2y = 0⇔ 2x – y = 0Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya2x + y + 16 = 0.
11. Jawaban: dCek kedudukan titik (3, –1) terhadap lingkaran.x2 + y2 = 32 + (–1)2 = 9 + 1 = 10Titik (3, –1) terletak pada lingkaran.Persamaan garis k: 3x – y = 10.Garis k mempunyai gradien m1 = 3. Oleh karenagaris yang melalui titik (4, –1) tegak lurus dengangaris m, diperoleh:
m · m1 = –1⇔ m · 3 = –1
⇔ m = –13
Persamaan garis yang melalui (4, –1) dengan
m = –13 adalah
y – (–1) = –13 (x – 4)
⇔ y + 1 = –13 (x – 4)
⇔ 3y + 3 = –x + 4⇔ x + 3y – 1 = 0
12. Jawaban: dDiketahui lingkaran x2 + y2 = 4 berpusat di titik (0, 0)dan berjari-jari r = 2.Untuk x = 0 dan y = 4 diperoleh:02 + 42 = 0 + 16 = 16 > 4Titik (0, 4) berada di luar lingkaran.Misalkan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4bergradien m, persamaannya:
y = mx + 2 21 m+Garis tersebut melalui titik (0, 4), maka:
4 = m · 0 + 2 21 m+
⇔ 4 = 2 21 m+
⇔ 21 m+ = 2⇔ 1 + m2 = 4⇔ m2 = 3
⇔ m = ± 3Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan
bergradien m = 3 adalah y = 3x + 4.Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan
bergradien m = – 3 adalah y = – 3x + 4.Jadi, salah satu persamaan garis singgungnyay = – 3 x + 4.
13. Jawaban: eTitik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena(0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4.
58 Persamaan Lingkaran
Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadaplingkaran L:(0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 4⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4⇔ –2x + 2y = –2⇔ x – y = 1⇔ y = x – 1Substitusikan y = x – 1 ke dalam persamaanlingkaran.
(x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0⇔ 2x2 – 4x = 0⇔ 2x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Untuk x1 = 0 maka y1 = 0 – 1 = –1.Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 1 = 1.Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1).
14. Jawaban: dTitik (0, 0) terletak di luar lingkaran x2 + y2 – 6x+ 2y + 5 = 0.Garis melalui O(0, 0): y = mx
Substitusikan y = mx ke dalam persamaan lingkaran.x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0
⇔ (1 + m2)x2 + (2m – 6)x + 5 = 0Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti:D = 0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0
⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0⇔ (2m – 1)(m + 2) = 0
⇔ m = 12 atau m = –2
Jadi, gradiennya 12 dan –2.
15. Jawaban: cMisalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0.
Titik pusat lingkaran L: P –
32 , 2
.
Jari-jari lingkaran L: r = 2
232
2 0 − + −
= 94
4+
= 254
= 52
Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis ABmerupakan garis singgung lingkaran L yang ditarikdari titik A.
Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran Ldi titik B1 dan B2.Panjang garis AB1= AB2 = s.
s = 2 2(AP) r−
= 2 2 2A P A P(x x ) (y y ) r− + − −
= 2 2
25 52 2
( 4)
+ − −
= 16= 4
Jadi, panjang garis AB adalah 4 satuan.
B. Uraian1. a. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2
= 80 yang bergradien m = –12 adalah:
y = –12 x ± 80
212
1 +
⇔ y = –12 x ± 80 5
4
⇔ y = –12 x ± 10
Diperoleh persamaan garis singgung
y = – 12
x + 10 dan y = – 12
x – 10.
b. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100
Garis singgung dengan m = 43
y + 3 = 43 (x – 5) ± 100
243
1
+
⇔ y + 3 = 43 (x – 5) ± 10 25
9
⇔ y + 3 = 43 x –
203 ±
503
⇔ 3y + 9 = 4x – 20 ± 50⇔ 4x – 3y – 29 ± 50 = 0
Y
X
A
B1
B2
P
r
r
4
3
21
0–1–2
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–6
59Matematika Kelas XI
Y
X
A 2
–5 –1 0
⇔ 4x – 3y – 29 + 50 = 0atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0
⇔ 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya 4x – 3y+ 21 = 0 dan 4x – 3y – 79 = 0.
2. x2 + y2 + 2x – 6y = 0⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 1 + 9⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 10Diperoleh koordinat titik pusat (–1, 3) dan jari-jari
r = 10 .g: 2x + 6y – 5 = 0
⇔ y = –13 x +
56
Diperoleh gradien garis g adalah –13 .
Garis singgung yang tegak lurus garis g bergradien 3.Persamaan garis singgung lingkaran L yangbergradien m = 3 adalah:
y – 3 = 3(x + 1) ± 10 21 3+
⇔ y – 3 = 3x + 3 ± 10 10⇔ 0 = 3x – y + 6 ± 10Jadi, persamaan garis singgungnya 3x – y + 16= 0 dan 3x – y – 4 = 0.
3. L: x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0⇔ x2 – 8x + y2 – 8y = –24⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 8y + 16 = –24 + 16 + 16⇔ (x – 4)2 + (y – 4)2 = 8Diperoleh titik pusat lingkaran P(4, 4) dan jari-jarir = 8 .Garis y = x melalui titik pusat lingkaran sehinggagaris singgung lingkaran yang melalui titik potongantara lingkaran L dan garis y = x tegak lurusdengan garis y = x.Oleh karena garis y = x bergradien 1, garis singgung-nya bergradien –1.Persamaan garis singgungnya:
y – 4 = –1(x – 4) ± 8 21 ( 1)+ −⇔ y – 4 = –x + 4 ± 8 2⇔ y = –x + 8 ± 4⇔ y = –x + 12 atau y = –x + 4Jadi, persamaan garis singgungnya y = –x + 12dan y = –x + 4.
4. a. Persamaan: x2 + y2 = 34Untuk x = –3 dan y = 5 diperoleh:(–3)2 + (5)2 = 9 + 25 = 34Titik (–3, 5) terletak pada lingkaran sehinggapersamaan garis singgungnya:x1x + y1y = 34 ⇒ –3x + 5y = 34
⇔ 3x – 5y + 34 = 0
b. Persamaan: x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0Untuk x = 1 dan y = 2 diperoleh:(1)2 + (2)2 + 4(1) – 2(2) – 5= 1 + 4 + 4 – 4 – 5 = 0Titik (1, 2) terletak pada lingkaran sehinggapersamaan garis singgungnya:
x1x + y1y + 42 (x + x1) +
22
−(y + y1) – 5 = 0
⇒ 1x + 2y + 2(x + 1) – 1(y + 2) – 5 = 0⇔ x + 2y + 2x + 2 – y – 2 – 5 = 0⇔ 3x + y – 5 = 0
5. Misalkan titik singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2= 13 adalah T(–1, b) diperoleh:
(–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0⇔ b2 + 2b – 3 = 0⇔ (b + 3)(b – 1) = 0⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0⇔ b = –3 atau b = 1Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T2(–1, 1).Persamaan garis singgung di titik T1(–1, –3) padalingkaran L:(–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13⇔ –3x – 2y – 9 = 0⇔ 3x + 2y + 9 = 0Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) padalingkaran L:(–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13⇔ –3x + 2y – 5 = 0⇔ 3x – 2y + 5 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya adalah3x + 2y + 9 = 0 dan 3x – 2y + 5 = 0.
6. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)adalah x2 + y2 = r2.Lingkaran melalui titik (–1, 2):x2 + y2 = r2 ⇒ (–1)2 + (2)2 = r2
⇔ r2 = 1 + 4 = 5Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 5.Persamaan garis singgung lingkaran di titikA(–1, 2):x1x + y1y = r2 ⇒ (–1)x + (2)y = 5
⇔ –x + 2y = 5Jadi, persamaan lingkaran x2 + y2 = 5 dangaris singgungnya di titik A adalah –x + 2y = 5.
b. Lingkaran dan garis singgungnya:
60 Persamaan Lingkaran
7. Titik T(–4, 1) terletak pada lingkaran L1 karena:(–4)2 + 12 + 10(–4) + 4(1) + 19= 16 + 1 – 40 + 4 + 19 = 0Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik T:g: –4x + y + 5(x – 4) + 2(y + 1) + 19 = 0⇔ –4x + y + 5x – 20 + 2y + 2 + 19 = 0⇔ x + 3y + 1 = 0Jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titikP(4, –1) ke garis singgung g.Jari-jari lingkaran L2:
r2 = 2 2
4 3 ( 1) 1
1 ( 3)
+ ⋅ − +
+ − =
210
Persamaan lingkaran L2:
(x – 4)2 + (y + 1)2 = 2
210
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 25
⇔ 5x2 + 5y2 – 40x + 10y + 83 = 0
8. Cek kedudukan titik (12, –5) terhadap lingkaranx2 + y2 = 169.122 + (–5)2 = 144 + 25 = 169Titik (12, –5) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgung lingkaran di titik(12, –5) adalah 12x – 5y = 169.Oleh karena garis 12x – 5y = 169 juga menyinggunglingkaran (x – 5)2 + (y – 12)2 = p, diperoleh:
d = 2 2
ap bq r
p q
+ +
+
⇔ d = 2 2
5(12) 12( 5) 169
12 ( 5)
+ − −
+ −
⇔ d = 169169
−
⇔ d = 13Jari-jari lingkaran (x – 5)2 + (y – 12)2 = p adalah13, diperoleh:
r2 = p⇔ 132 = p⇔ p = 169Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 169.
9. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2
dengan gradien m = –43 :
y = –43 x ± r
243
1 − +
⇔ y = –43 x ± r 16
91 +
⇔ y = –43 x ± r 25
9
⇔ y = –43 x ±
5r3
⇔ 3y = –4x ± 5r
Titik M(9, –4) terletak pada garis singgung, diperoleh:3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r⇔ –12 = –36 ± 5r⇔ 24 = ± 5r
⇔ r = ± 245
= ±4,8Oleh karena jari-jari (r) menyatakan panjang, r ber-nilai positif.Jadi, panjang jari-jari lingkaran adalah r = 4,8 satuan.
10. Titik pusat lingkaran L1: P1(–2, 2).
Jari-jari lingkaran: r1 = 2 2( 2) 2 17− + + = 25 = 5.Titik pusat lingkaran L2: P2(10, –7).
Jari-jari lingkaran: r2 = 2 210 ( 7) 49+ − − = 100= 10.
Lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di titik Q.Garis � adalah garis singgung persekutuanlingkaran L1 dan L2.Gradien garis P1P2.
m1 = 1 2
1 2
P P
P P
y y
x x
−−
= 2 ( 7)2 10− −
− − = – 9
12 = –
34
Misalkan gradien garis � adalah m.Garis � tegak lurus garis P1P2 maka
m1m = –1 ⇒ –34 m = –1 ⇔ m =
43
Menentukan koordinat titik Q.L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0
––––––––––––––––––––––––– –24x – 18y – 66 = 0
⇔ 4x – 3y – 11 = 0
⇔ y = 4x 11
3−
Substitusikan y = 4x 11
3−
ke dalam persamaan L1.
x2 +
4x 113−
2 + 4x – 4
4x 113−
– 17 = 0
⇔ x2 + 216x 88x 121
9− + + 4x –
163 x +
443 – 17 = 0
⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132– 153 = 0
⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0⇔ x2 – 4x + 4 = 0⇔ (x – 2)2 = 0⇔ x = 2
Y
X
�
P1
P2
Q
2
–2
–7
10
61Matematika Kelas XI
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: a
Lingkaran berpusat di titik (1, 0) dan melalui (3, 0).Lingkaran tersebut mempunyai persamaan (x – 1)2
+ (y – 0)2 = r2. Oleh karena lingkaran melalui titik(3, 0), diperoleh:
(x – 1)2 + (y – 0)2 = r2
⇔ (3 – 1)2 + (0 – 0)2 = r2
⇔ 4 + 0 = r2
⇔ 4 = r2
Persamaan lingkarannya:(x – 1)2 + (y – 0)2 = r2
⇔ (x – 1)2 + (y – 0)2 = 4⇔ x2 – 2x + 1 + y2 = 4⇔ x2 + y2 – 2x – 3 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 2x – 3 = 0.
2. Jawaban: bLingkaran berdiameter 12 berarti jari-jarinya r = 6.Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 7) dan jari-jari r = 6 adalah:
(x – 2)2 + (y – 7)2 = 62
⇔ (x – 2)2 + (y – 7)2 = 36
3. Jawaban: bLingkaran yang berpusat di titik (2, –3) danmenyinggung sumbu X sebagai berikut.
Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran(2, –3) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran:
(x – 2)2 + (y – (–3))2 = 32
⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 9 = 0⇔ x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
4. Jawaban: bPerhatikan gambar disamping.Oleh karena lingkaranmenyinggung garis x = 8,dapat ditarik jari-jari dari titik(–2, 6) ke garis singgungdiperoleh r = 8 – (–2) = 10.Persamaan lingkaran:
(x + 2)2 + (y – 6)2 = r2
⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 102
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 100⇔ x2 + 4x + y2 – 12y + 40 = 100⇔ x2 + y2 + 4x – 12y – 60 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 4x – 12y– 60 = 0.
5. Jawaban: ax2 + y2 – 6x + 2 = 0
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = –2 + 9⇔ (x – 3)2 + y2 = 7Diperoleh koordinat titik pusat (3, 0).Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 0)dan berjari-jari 1 adalah:
(x – 3)2 + y2 = 12
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = 1⇔ x2 + y2 – 6x + 8 = 0
6. Jawaban: dy = 2x – 3 ⇔ 2x – y – 3 = 0Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0)ke garis 2x – y – 3 = 0, yaitu:
r = 2 2
2(0) (0) 3
2 ( 1)
− −
+ − =
35
− ⇔ r2 =
95
Persamaan lingkaran L:
x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = 95
⇔ 5x2 + 5y2 = 9
7. Jawaban: e2x2 + 2y2 = 49
⇔ x2 + y2 = 492
Y
X0 2
–3
r = 3
Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan
y = 4x 11
3−
.
y = 4 2 11
3⋅ −
= –1
Diperoleh koordinat titik Q(2, –1).Persamaan garis yang bergradien m dan melaluititik (x1, y1):y – y1 = m(x – x1)
Garis � bergradien 43 dan melalui titik Q(2, –1)
maka persamaan garis �:
y + 1 = 43 (x – 2)
⇔ 3y + 3 = 4x – 8⇔ 4x – 3y – 11 = 0Jadi, persamaan garis singgung di titik singgunglingkaran L1 dan L2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.
Y
X
x = 8
(–2,6)
62 Persamaan Lingkaran
r2 = 492 ⇔ r = 49
2 = 7
2 =
72 2
Jadi, panjang jari-jari lingkaran r = 72 2 satuan.
8. Jawaban: cx2 + y2 + 4x – 12y – 9 = 0
⇔ x2 + 4x + y2 – 12y = 9⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 9 + 4 + 36⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 49⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 72
Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 6) dan jari-jari 7.
9. Jawaban: cSubstitusikan titik (2, –2) ke dalam persamaanlingkaran.
x2 + y2 + 2x – 4y + p = 0⇔ 22 + (–2)2 + 2(2) – 4(–2) + p = 0⇔ 4 + 4 + 4 + 8 + p = 0⇔ 20 + p = 0⇔ p = –20Diperoleh lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0.Jari-jari lingkaran:
r = 2 2( 1) 2 ( 20)− + − −
= 25 = 5Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut 5 satuan.
10. Jawaban: dLingkaran x2 + y2 + 8x – 2y + a = 0 berpusat di
titik (–82 , –
22
−) = (–4, 1).
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–4, 1)dan berjari-jari 6 adalah
(x + 4)2 + (y – 1)2 = 62
⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 2y + 1 = 36⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 16 + 1 – 36 = 0⇔ x2 + y2 + 8x – 2y – 19 = 0Jadi, nilai a = –19.
11. Jawaban: cJari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3)dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0.
r = 2 2
4( 2) 3(3) 7
4 ( 3)
− − +
+ − = 8 9 + 7
25− − = 10
5− = |–2| = 2
Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 · 2 = 4 satuan.
12. Jawaban: a
Titik pusat lingkaran: 2, –
12 p
.
Lingkaran menyinggung sumbu Y makar = |||||absis titik pusat|||||
⇒2
2 12
2 p 25 − + − = 2
⇔2p
44 25+ − = 2
⇔2p
4 – 21 = 22
⇔2p
4= 25
⇔ p2 = 100
⇔ p = ± 100 = ±10Jadi, nilai p adalah ±10.
13. Jawaban: cx2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0Titik (x1, y1) berada di dalam lingkaran, berartix1
2 + y12 – 8x1 + 5y1 – 17 < 0.
(0, 0) ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0(4, 1) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0(–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0(4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0(–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2)terletak di dalam lingkaran, sedangkan titik (–4, 2)terletak di luar lingkaran.
14. Jawaban: aLingkaran: x2 + y2 = 36Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = 36 = 63x + 4y + 20 = 0
⇔ y = –34 x – 5
Diperoleh gradien m = –34 .
Persamaan garis singgung:
y = –34 x ± 6
234
1 − +
⇔ y = –34 x ± 6 9 16
16 16+
⇔ y = –34 x ± 6 ·
54
⇔ 4y = –3x ± 30Salah satu persamaan garis singgungnya:
4y = –3x – 30⇔ 3x + 4y + 30 = 0
15. Jawaban: cPersamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 10Persamaan garis singgung yang bergradien m = –3:
y – b = m(x – a) ± r 21 m+
⇔ y + 4 = –3(x – 2) ± 10 21 ( 3)+ −
⇔ y + 4 = –3x + 6 ± 10 10⇔ 3x + y = 2 ± 10⇔ 3x + y = 2 + 10 atau 3x + y = 2 – 10⇔ 3x + y = 12 atau 3x + y = –8Jadi, persamaan garis singgungnya 3x + y = 12dan 3x + y = –8.
63Matematika Kelas XI
16. Jawaban: eGaris 5x + y = 10 mempunyai gradien m1 = –5.Oleh karena garis singgung tegak lurus dengangaris 5x + y = 10 diperoleh:
m · m1 = –1⇔ m · –5 = –1
⇔ m = 15
Lingkaran x2 + y2 + 10x – 6y + 8 = 0 dapatdisederhanakan menjadi:
x2 + y2 + 10x – 6y + 8 = 0⇔ x2 + 10x + y2 – 6y = –8⇔ x2 + 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = –8 + 25 + 9⇔ (x + 5)2 + (y – 3)2 = 26Persamaan garis singgung lingkaran dengan
gradien 15 adalah
y – b = m(x – a) ± r 21 m+
⇔ y – 3 = 15 (x + 5) ± 26 1 2
51 ( )+
⇔ y – 3 = 15 (x + 5) ± 26 26
25
⇔ y – 3 = 15 (x + 5) ±
265
⇔ 5(y – 3) = x + 5 ± 26⇔ 5y – 15 = x + 5 ± 26⇔ x – 5y + 20 ± 26 = 0⇔ x – 5y + 20 + 26 = 0 atau x – 5y + 20 – 26 = 0⇔ x – 5y + 46 = 0 atau x – 5y – 6 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya x – 5y + 46 = 0dan x – 5y – 6 = 0.
17. Jawaban: c(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26Untuk x = –3 dan y = 6 diperoleh:(–3 + 2)2 + (6 – 1)2
= 1 + 25 = 26Titik (–3, 6) terletak pada lingkaran sehingga per-samaan garis singgungnya:
(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 26⇔ (–3 + 2)(x + 2) + (6 – 1)(y – 1) = 26⇔ (–1)(x + 2) + (5)(y – 1) = 26⇔ –x – 2 + 5y – 5 – 26 = 0⇔ –x + 5y – 33 = 0⇔ x – 5y + 33 = 0
18. Jawaban: cMisalkan titik singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y+ 15 = 0 adalah T(a, –2), sehingga:a2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15 = 0⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0⇔ a2 – 4a + 3 = 0⇔ (a – 3)(a – 1) = 0
⇔ a – 3 = 0 atau a – 1 = 1⇔ a = 3 atau a = 1Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T2(3, –2).Persamaan garis singgung di T1 (1, –2):
x – 2y – 42 (x + 1) +
82 (y – 2) + 15 = 0
⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0⇔ –x + 2y + 5 = 0⇔ x – 2y – 5 = 0Persamaan garis singgung di T2 (3, –2):
3x – 2y – 42 (x + 3) +
82 (y – 2) + 15 = 0
⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0⇔ x + 2y + 1 = 0Jadi, salah satu persamaan garis singgungnyax – 2y – 5 = 0.
19. Jawaban: bx2 + y2 = 13Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh:(–3)2 + 22 = 9 + 4 = 13Titik (–3, 2) terletak pada lingkaran, sehinggapersamaan garis singgungnya:x1x + y1y = r2 ⇒ –3x + 2y = 13Garis singgung memotong sumbu Y, berarti:x = 0 ⇒ –3(0) + 2y = 13
⇔ 2y = 13
⇔ y = 132
Jadi, garis singgung memotong sumbu Y di titik
(0, 132 ).
20. Jawaban: aPersamaan: x2 + y2 + 3x + 4y – 12 = 0Untuk x = 0 dan y = 2 diperoleh:(0)2 + (2)2 + 3(0) + 4(2) – 4= 0 + 4 + 0 + 8 – 12 = 0Titik (0, 2) terletak pada lingkaran, sehinggapersamaan garis singgungnya:
x1x + y1y + 32 (x + x1) +
42 (y + y1) – 12= 0
⇒ 0x + 2y + 32 (x + 0) + 2(y + 2) – 12 = 0
⇔ 2y + 32 x + 2y + 4 – 12 = 0
⇔ 4y + 3x + 4y – 16 = 0⇔ 3x + 8y – 16 = 0y = 0 ⇒ 3x + 8(0) – 16 = 0
⇔ 3x = 16
⇔ x = 513
Jadi, garis singgung lingkaran berpotongan dengan
sumbu X di titik (513 , 0).
64 Persamaan Lingkaran
21. Jawaban: bLingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu:(x – 2)2 + (y + 2)2 = r2
Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti:(3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2
⇔ r2 = 12 + 12 = 2Persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 2.Persamaan garis singgung di titik (3, –1):(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 2)(y + 2) = 2⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2⇔ x – 2 + y + 2 – 2 = 0⇔ x + y – 2 = 0
22. Jawaban: dLingkaran berpusat di O(0, 0) mempunyaipersamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaranmelalui titik P(4, –2), diperoleh:
x2 + y2 = r2
⇔ 42 + (–2)2 = r2
⇔ 16 + 4 = r2
⇔ 20 = r2
Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 = 20.Persamaan garis singgung lingkaran di titikP(4, –2) adalah 4x – 2y = 20 ⇔ 2x – y = 10.
23. Jawaban: dDari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0diperoleh:Titik pusat lingkaran: P(–1, 3).
Jari-jari lingkaran: r = 2 2( 1) 3 6− + − = 2.
Garis yang sejajar sumbu Y mempunyaipersamaan x = a atau x – a = 0.Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3)ke garis x – a = 0.
r = 2
1 a
1
− −= |||||–1 – a |||||
⇔ r2 = |||||–1 – a |||||2
⇔ 22 = 1 + 2a + a2
⇔ a2 + 2a – 3 = 0⇔ (a + 3)(a – 1) = 0⇔ a + 3 = 0 atau a – 1 = 0⇔ a = –3 atau a = 1Jadi, persamaan garis singgungnya x = –3 ataux = 1.
24. Jawaban: dTitik pusat lingkaran: (3, –2).
Jari-jari lingkaran: r = 2 23 ( 2) ( 5)+ − − −
= 18 = 3 2 .Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0.02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0⇔ y2 + 4y – 5 = 0
⇔ (y + 5)(y – 1) = 0⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0⇔ y = –5 atau y = 1Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5).Persamaan garis singgung di titik A:0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0⇔ y – 3x + 2y + 2 – 5 = 0⇔ –3x + 3y – 3 = 0⇔ x – y + 1 = 0Persamaan garis singgung di titik B:0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0⇔ –3x – 3y – 15 = 0⇔ x + y + 5 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalahx – y + 1 = 0 dan x + y + 5 = 0.
25. Jawaban: cMisalkan koordinat titik P(x1, y1).Titik P di luar lingkaran L.Garis singgung di titik A melalui AP dan garissinggung di titik B melalui BP.Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub darititik P pada lingkaran L.Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaranL: x1x + y1y = 25. Sehingga diperoleh x1 = 7 dany1 = –1.Jadi, koordinat titik P(7, –1).
26. Jawaban: eL: (x + 5)2 + (y – 6)2 = 9Substitusikan x = –5 ke dalam lingkaran L.
(–5 + 5)2 + (y – 6)2 = 9⇔ (y – 6)2 = 9⇔ y – 6 = ±3⇔ y = 6 ± 3⇔ y = 9 atau y = 3Diperoleh titik potong (–5, 9) dan (–5, 3).Persamaan garis singgung di titik (–5, 9):(–5 + 5)(x + 5) + (9 – 6)(y – 6) = 9⇔ 0(x + 5) + 3(y – 6) = 9⇔ y – 6 = 3⇔ y = 9Persamaan garis singgung melalui (–5, 3):(–5 + 5)(x + 5) + (3 – 6)(y – 6) = 9⇔ 0(x + 5) – 3(y – 6) = 9⇔ y – 6 = –3⇔ y = 3Jadi, garis singgungnya y = 3 dan y = 9.
27. Jawaban: bMisalkan garis singgung lingkaran L di titik A
adalah g dan gradiennya mg = –12 .
OA merupakan jari-jari lingkaran L.
65Matematika Kelas XI
Persamaan garis yang melalui OA:
A
y 0y 0
−− =
A
x 0x 0
−−
⇔ y2
= xa
⇔ y = 2a
x
Gradien garis yang melalui OA: m = 2a
Garis g tegak lurus garis yang melalui OA makamg · m = –1
⇒ – 12
· 2a = –1
⇔ a = 1Jadi, nilai a = 1
28. Jawaban: dL: x2 + y2 – 24x – 12y + 168 = 0⇔ x2 – 24x + 144 + y2 – 12y + 36 = –168 + 144
+ 36⇔ (x – 12)2 + (y – 6)2 = 12Diperoleh koordinat titik pusat (2, 3) dan jari-jari r
= 12 = 2 3 .Titik A dan B merupakan titik singgung dari duagaris singgung yang sejajar sehingga panjang ABsama dengan panjang diameter.
Jadi, panjang AB = d = 2r = 4 3 satuan.
29. Jawaban: d
Garis singgung �1 tegak lurus PB1 dan garissinggung �2 tegak lurus PB2.
Jarak PQ = 2 21 1PB QB+
2 2Q P Q P(x x ) (y y )− + − = 2 24 7+
⇔ 2 2( 2 5) (5 b)− − + − = 65
⇔ (–7)2 + (5 – b)2 = 65⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65⇔ b2 – 10b + 9 = 0⇔ (b – 1)(b – 9) = 0⇔ b = 1 atau b = 9Jadi, nilai b = 1 atau b = 9.
Y
X
Q(–2,
5)
O
B1
B2
P(5, b)r
�1
�2
47
30. Jawaban: bPerhatikan gambar berikut.
Misalkan lingkaran M berpusat di Q(a, b) sehinggapersamaannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Oleh karenamelalui titik (4, 6) diperoleh:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (4 – a)2 + (6 – b)2 = b2
⇔ a2 – 8a + 16 + b2 – 12b + 36 = b2
⇔ a2 – 8a – 12b + 52 = 0 . . . (1)Perhatikan segitiga OPQ.
OQ2 = OP2 + PQ2
⇔ (2 + b)2 = a2 + b2
⇔ 4b + 4 = a2
⇔ 4b = a2 – 4
⇔ b = 2a 44−
Substitusikan b = 2a 44− ke dalam persamaan (1).
a2 – 8a – 12b + 52 = 0
⇔ a2 – 8a – 12(2a 44− ) + 52 = 0
⇔ a2 – 8a – 3(a2 – 4) + 52 = 0⇔ a2 – 8a – 3a2 + 12 + 52 = 0⇔ –2a2 – 8a + 64 = 0⇔ 2a2 + 8a – 64 = 0⇔ a2 + 4a – 32 = 0⇔ (a + 8)(a – 4) = 0⇔ a + 8 = 0 atau a – 4 = 0⇔ a = –8 atau a = 4Nilai a yang memenuhi adalah 4.Untuk a = 4 diperoleh:
b = 2a 44− =
24 44− = 3
Lingkaran M berpusat di titik (4, 3) dan berjari-jari 3.Persamaan lingkaran M:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 4)2 + (y – 3)2 = 32
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = 9⇔ x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0Jadi, persamaan lingkaran M adalah x2 + y2 – 8x– 6y + 16 = 0.
Y
X
(4,6)
a
bb
2
Q(a, b)
PO
O
Q
Pa
b2 + b
66 Persamaan Lingkaran
B. Uraian1. a. Lingkaran berpusat di O(0, 0) mempunyai
persamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaranmenyinggung garis y = 6 maka r = 6, diperoleh:
x2 + y2 = r2
⇔ x2 + y2 = 62
⇔ x2 + y2 = 36Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 36.
b. Lingkaran berpusat di A(2, 7) mempunyaipersamaan (x – 2)2 + (y – 7)2 = r2. Oleh karenalingkaran melalui titik (5, 2), diperoleh:
(x – 2)2 + (y – 7)2 = r2
⇔ (5 – 2)2 + (2 – 7)2 = r2
⇔ 32 + (–5)2 = r2
⇔ 9 + 25 = r2
⇔ 34 = r2
Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 7)2= 34.
2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0
a. Pusat: –
12 (6), – 1
2(–14)
= (–3, 7)
Jari-jari: r = − −2 2( 3) + 7 9
= −9 + 49 9
= 49 = 7Jadi, pusat lingkaran L(–3, 7) dan jari-jarinya 7.
b. Persamaan lingkaran dengan pusat (–3, 7)dan r = 5:
(x + 3)2 + (y – 7)2 = 52
⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 6x– 14y + 33 = 0.
3. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti:
22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12 = 0⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0⇔ 3p = –3⇔ p = –1Jadi, nilai p = –1.
b. L: x2 + y2 – 2x – y – 12 = 0B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12
= 16 + 0 + 8 – 12= 12 > 0
Titik B terletak di luar lingkaran.C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12
= 4 + 9 – 4 – 3 – 12= –6 < 0
Titik C terletak di dalam lingkaran.
4. a. Pusat lingkaran: P(–2, 3)Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titikpusat ke garis x + y = 0, yaitu:
r = 2 2
2 3 0
1 1
− + +
+ = 1
2
⇔ r2 = 12
Persamaan lingkaran:
(x – (–2))2 + (y – 3)2 = 12
⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 12
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 12
⇔ 2x2 + 8x + 8 + 2y2 – 12y + 18 = 1⇔ 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0
b. 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh:2(–3)2 + 2(2)2 + 8(–3) – 12(2) + 25= 18 + 8 – 24 – 24 + 25 = 3 > 0Oleh karena hasilnya positif, maka titik Qterletak di luar lingkaran L.
5. Titik pusat L1: P1(0, –4).
Jari-jari L1: r1 = 2 20 ( 4) 3+ − − = 13 .
Titik pusat L2: P2(4, 2).
Jari-jari L2: r2 = 2 24 2 7+ − = 13 .
Oleh karena jari-jari r1 = r2 maka titik P3 merupakantitik tengah garis P1P2.
Koordinat titik pusat: P3
1 2P Px x
2
+, 1 2P Py y
2
+
= P3
0 42+
, 4 22
− +
= P3(2, –1)
Jari-jari L3: r3 = 2r1 = 2r2 = 2 13 .
Persamaan lingkaran L3:(x – xP3
)2 + (y – yP3)2 = r3
2
⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 13 )2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0Jadi, persamaan lingkaran L3: x
2 + y2 – 4x + 2y– 47 = 0
6. a. Persamaan lingkaranLingkaran N berpusat di O(0, 0) mempunyaipersamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaranmelalui titik (2, 4), diperoleh:
x2 + y2= r2
⇔ 22 + 42= r2
⇔ 4 + 16 = r2
⇔ 20 = r2
Jadi, persamaan lingkaran N adalah x2 + y2
= 20.
67Matematika Kelas XI
b. Persamaan garis singgung dengan gradien –2
y = mx ± r21 m+
⇔ y = –2x ± 220 1 ( 2)+ −
⇔ y = –2x ± 20 5
⇔ y = –2x ± 100⇔ y = –2x ± 10⇔ y = –2x + 10 atau y = –2x – 10Jadi, persamaan garis singgungnyay = –2x + 10 dan y = –2x – 10.
7. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 15 + 4 + 1⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 20Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 1) dan jari-jari
r = 20 .g: 6x + 3y – 1 = 0
⇔ y = –2x + 16
Diperoleh gradien garis g adalah –2.a. Garis singgung yang sejajar dengan garis g
bergradien m = –2.Persamaan garis singgung lingkaran L yangbergradien m = –2 adalah:
y – 1 = –2(x + 2) ± 20 21+ ( 2)−
⇔ y – 1 = –2x – 4 ± 20 5⇔ y = –2x – 3 ± 10⇔ 2x + y = –3 ± 10Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y= –3 ± 10.
b. Garis singgung yang tegak lurus garis g
bergradien m = 12 .
Persamaan garis singgung lingkaran L yang
bergradien m = 12 adalah:
y – 1 = 12 (x + 2) ± 20 1 2
21 ( )+
⇔ y – 1 = x + 1 ± 2054
⇔ y = x + 2 ± 5⇔ 2y = x + 4 ± 10⇔ x – 2y = –4 ± 10Jadi, persamaan garis singgungnya x – 2y= –4 ± 10.
8. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25a. Untuk x = –2 dan y = –6 diperoleh:
(x – 2)2 + (y + 3)2 = (–2 – 2)2 + (–6 + 3)2
= 16 + 9 = 25Jadi, titik (–2, –6) terletak pada lingkaran.
b. Persamaan garis singgung lingkaran di titikP(–2, –6) yaitu:
(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 3)(y + 3) = 25⇔ (–2 – 2)(x – 2) + (–6 + 3)(y + 3) = 25⇔ –4(x – 2) – 3(y + 3) = 25⇔ –4x + 8 – 3y – 9 = 25⇔ 4x + 3y + 26 = 0
9. Ordinat titik pusat = 2.Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2).Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaranberarti titik P(a, 2) terletak pada garis g.Sehingga:a – 3 · 2 + 5 = 0 ⇔ a = 1Diperoleh titik pusat: P(1, 2).Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2)ke titik A(0, –1):
r = 2 2P A P A(x x ) (y y )− + −
= 2 2(1 0) (2 ( 1))− + − −
= 2 21 3+ = 1 9+ = 10
⇔ r2 = 10Persamaan lingkaran:(x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10Persamaan garis singgung di titik A(0, –1):(0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10⇔ –x – 3y – 3 = 0⇔ x + 3y + 3 = 0Jadi, persamaan garis singgung di titik Ax + 3y + 3 = 0.
10. L: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0Titik pusat: P(2, –4)a. �: x – 2y + 6 = 0
⇔ 2y = x + 6
⇔ y = 12 x + 3
Gradien garis �: m = 12
Garis g tegak lurus garis � maka gradien garis gadalah m1 = –2.Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0karena memotong sumbu Y positif.Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0.Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah
2 5 maka:
2 5 = 2 2
2 2 4 c
2 1
⋅ − −
+⇔ (2 5 )2 =
2c5
−
⇔ 20 = 2c5
⇔ c2 = 100⇔ c = ± 10
68 Persamaan Lingkaran
Oleh karena c > 0 maka c = 10.Persamaan garis g: 2x + y – 10 = 0
⇔ y = –2x + 10
b. Mencari koordinat titik potong M dan N.Substitusikan y = –2x + 10 ke dalam persama-an lingkaran L.
x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0⇔ x2 – 12x + 35 = 0⇔ (x – 7)(x – 5) = 0⇔ x = 7 atau x = 5
Untuk x1 = 7 maka y1 = –2 · 7 + 10 = –4Untuk x2 = 5 maka y2 = –2 · 5 + 10 = 0Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0).
c. Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4):7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0
⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0⇔ 5x – 35 = 0⇔ x = 7Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0):5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0⇔ 3x + 4y – 15 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya adalahx = 7 dan 3x + 4y – 15 = 0.
69Matematika Kelas XI
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jawaban: d
Data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi relatif
sebagai berikut.
Dari tabel di atas diperoleh 24% satwa mempunyai
berat 110–112 kg.
2. Jawaban: c
Nilai rata-rata ujian Matematika:
x–
= �� �� �� �� �� �� �� �� � � � ��
� � � �
× + × + × + × + × + ×+ + + + +
= � �� �� �� �
��
+ + + + +
= ��
��
= 7
Siswa yang lulus adalah siswa yang memperoleh
nilai 7, 8, 9, dan 10.
Banyak siswa yang lulus = 4 + 6 + 1 + 1= 12
Persentase banyak siswa yang lulus
= �
�� × 100%
= 60%
3. Jawaban: d
Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.
Banyak data = 30 (genap)
Me
=
�(data ke-
� + data ke-(
� + 1))
=
�(data ke-15 + data ke-16)
=
�(7 + 7)
= 7
Jadi, median data tersebut 7.
4. Jawaban: a
Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.
� =
∑=
Σ �
� �
�� �
� �
= �
�� = 5,99
Jadi, rata-rata dari data tersebut 5,99.
5. Jawaban: b
Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai
berikut.
Banyak data = n = 25
Median = nilai data ke-(+��
�)
= nilai data ke-13
Median adalah nilai data ke-13 terletak di kelas
interval 20–23.
L = 20 – 0,5 = 19,5
Nilai
5
6
7
8
9
fi
4
7
12
5
2
fk
4
11
23
28
30
Berat Satwa (kg)
98 – 100
101 – 103
104 – 106
107 – 109
110 – 112
113 – 115
frelatif
16%
32%
4%
8%
24%
16%
xi
2
5
8
11
14
17
20
Jumlah
fi
41
22
19
8
3
5
2
100
fi x
i
82
110
152
88
42
85
40
599
Pendapatan
(ribuan rupiahf
i
12–15
16–19
20–23
24–27
28–31
32–35
1
7
6
4
4
3
fk
1
8
14
18
22
25
70 Ulangan Tengah Semester
fMe
= 6
fkM
e
= 8
p = 23 – 20 + 1 = 4
Me
= L +
⋅ −
��
�
��
�
�
� · p
= 19,5 +
��� �
�
⋅ −
· 4
= 19,5 + 3 = 22,5
Jadi, median pendapatan harian pekerja
Rp22.500,00.
6. Jawaban: c
Rata-rata berat badan 8 orang anggota sebuah tim
olahraga adalah � = 94 kg, maka:
� =
�
��
�
�
=Σ
⇔�
��
�=Σ = 8 × � = 8 × 94
= 752 kg
Rata-rata beratnya berkurang menjadi �� = 92 kg
ketika seorang pemain cadangan digabungkan.
Misalkan berat pemain cadangan = x9, maka:
�� =
�
� �
� �
=Σ +
⇔ 92 = ��� �
+
⇔ x9
= 9 × 92 – 752
= 828 – 752
= 76
Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut
76 kg.
7. Jawaban: e
Modus di kelas interval 09.33–09.35.
L = 09.33 – 30'' = 09.32'.60'' – 30'' = 09.32'.30''
d1
= 32 – 20 = 12
d2
= 32 – 28 = 4
p = 09.35 – 09.33 + 1' = 3'
Mo
= L +
�
�
� �
+
· p
= 09.32'.30'' + �
� �
+
· 3'
= 09.32'.30'' + ���
�
= 09.32'.30'' + 2,25
= 09.32'.30'' + 2'.15''
= 09.34'.45''
Jadi, modus waktu kedatangan bus 09.34'.45''.
8. Jawaban: d
Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai
berikut.
Banyak data = n = 60
Q1 = nilai data ke-
��
�
+ = nilai data ke-15,25
Q1 adalah nilai data ke-15,25 terletak di kelas
interval 51– 55.
L1
= 51 – 0,5 = 50,5
fkQ
1
= 10
fQ1
= 10
p = 55 – 51 + 1 = 5
Q1
= L3 +
���
�
�
�
−
· p
= 50,5 +
��� �
�
⋅ −
· 5
= 50,5 + � �
�
−
= 50,5 + 2,5 = 52,5
Q3 = nilai data ke-
���� �
�
+ = nilai data ke-45,75
Q3 adalah nilai data ke-45,75 terletak di kelas
interval 61 – 65.
L3
= 61 – 0,5 = 60,5
fkQ
3
= 44
fQ3
= 10
Q3
= L3 + �
�
����
�
�
�
−
· p
= 60,5 +
�
��� ��
�
⋅ −
· 5
= 60,5 + �� ��
�
−
= 60,5 + 0,5 = 61
Jangkauan antarkuartil:
H = Q3 – Q
1
= 61 – 52,5
= 8,5
Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah 8,5.
← kelas Q1
← kelas Q3
Berat Badan (kg)
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
66 – 70
71 – 75
fi
3
7
10
24
10
4
2
fk
3
10
20
44
54
58
60
71Matematika Kelas XI
9. Jawaban: a
� = =
=
∑
∑
� ��
�
��
�� �
�
= × + × + × + × + × + ×
+ + + + +� � � � � � � � � � ��
� � � � � �
= + + + + +
+ + + + +� �� � �� �� ��
� � � � � �
= ���
��
= 17
Simpangan rata-rata
=
� � ��
��
� � � � �
�
=
=
−∑
∑
= � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �
� � � � � �
− + − + − + − + − + −+ + + + +
= � � � � � � � � � �
��
× + × + × + × + × + ×
= � � � � � �
��
+ + + + +
= ��
�� =
�
� = 1,5
10. Jawaban: d
��
� ��
� �� ��=
−∑ = 6(15 – 17)2 + 3(16 – 17)2 + 3(17 – 17)2
+ 3(18 – 17)2 + 3(19 – 17)2
+ 2(20 – 17)2
= 6 × 4 + 3 × 1 + 3 × 0 + 3 × 1 + 3 × 4
+ 2 × 9
= 24 + 3 + 0 + 3 + 12 + 18
= 60
Variansi: s2 =
��
��
�
��
� �� ���
�
=
=
−∑
∑ =
��
�� = 3
11. Jawaban: a
Jumlah huruf = 12
Banyak huruf N = 2
Banyak huruf A = 2
Banyak huruf I = 2
Banyak huruf S = 2
Banyak susunan huruf = ��
�� ������
= � �
�
×
= �
� × 11!
12. Jawaban: e
Tiga orang yang selalu duduk berdampingan
dianggap 1 unsur sehingga permasalahan menjadi
permutasi siklis dari 6 unsur.
Banyak cara duduk 3 orang yang berdampingan =
3P
3 = 3!
Banyak cara duduk delapan orang = 3! (6 – 1)!
= 3! 5!
= 6 × 120
= 720
13. Jawaban: d
Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dibentuk
bilangan ganjil lebih dari 2.000.
Bilangan lebih dari 2.000 memiliki nilai tempat
ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.
Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat
ribuan adalah 2, 3, 4, dan 5.
Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat
satuan adalah 1, 3, dan 5.
Banyak bilangan yang dapat dibentuk dapat di cari
menggunakan tabel berikut.
Banyak bilangan yang dapat dibentuk
= 10 × 3P
2 = 10 × 6 = 60
14. Jawaban: b
Kemungkinan 5 anak yang terpilih adalah 2 anak
laki-laki dan 3 anak perempuan, 1 anak laki-laki
dan 4 anak perempuan, atau 5 anak perempuan.
Banyak cara memilih 2 anak laki-laki dari 10 anak
laki-laki dan 3 anak perempuan dari 5 anak
perempuan = 10
C2 ×
5C
3
= ��
�� �� ×
��
�� ��
= × ×× ×
� ��
� �� ×
� � ��
�� �
× ×× ×
= 45 × 10 = 450
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1
3
5
1
5
1
3
5
1
3
3P
2
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
72 Ulangan Tengah Semester
Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dari 10 anak
laki-laki dan 4 anak perempuan dari 5 anak
perempuan = 10
C1 ×
5C
4
= ��
� � ×
��
���
= � �
�
× ×
� ��
��
××
= 10 × 5 = 50
Banyak cara memilih 5 anak perempuan dari 5 anak
perempuan = 5C
5 =
��
�� �� = 1
Jadi, banyaknya cara memilih paling banyak 2 anak
laki-laki disertakan adalah 450 + 50 + 1 = 501 cara.
15. Jawaban: a
Misalkan:
A = kejadian terlihat mata dadu genap pada dadu
pertama
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = kejadian terlihat mata dadu 4 pada dadu kedua
= {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)}
A ∩ B = {(2, 4), (4, 4), (6, 4)}
Diperoleh n(A) = 18, n(B) = 6, dan n(A ∩ B) = 3.
Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, kejadian A dan B tidak
saling lepas.
Peluang terlihat mata dadu genap pada dadu
pertama atau mata dadu 4 pada dadu kedua:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ���
��� +
���
��� –
�� ��
���
∩
= �
�� +
�
�� –
�
��
= �
��
= �
�
16. Jawaban: e
Banyak anggota ruang sampel:
n(S) = banyak cara mengambil 4 kelereng dari
12 kelereng
=12
C4
=��
�� ��
=× × × ×× × × ×
� � ��
� � � ��
= 11 × 5 × 9
= 495
Misalkan A = kejadian terambil 3 kelereng merah
dan 1 kelereng hijau.
n(A) = banyak cara mengambil 3 kelereng merah
dari 4 kelereng merah dan 1 kelereng hijau
dari 4 kelereng hijau
=4C
3 ×
4C
1
=��
��� ×
��
���
=� ��
��
× ×
� ��
���
×
= 4 × 4 = 16
P(A) = ���
��� =
�
��
Jadi, peluang terambilnya 3 kelereng merah dan 1
kelereng hijau adalah �
��.
17. Jawaban: b
Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama
sekali, maka banyak anggota ruang sampel adalah
n(S) = 6 × 6 = 36.
Jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan
prima adalah 2, 3, 5, 7, dan 11.
Misalkan:
A = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 2
= {(1, 1)}
B = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 3
= {(1, 2), (2, 1)}
C = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 5
= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
D = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 7
= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
E = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 11
= {(5, 6), (6, 5)}
Diperoleh n(A) = 1, n(B) = 2, n(C) = 4, n(D) = 6,
n(E) = 2.
Kejadian A, B, C, D, dan E saling lepas.
Peluang terlihat jumlah kedua mata dadu prima:
P = ���
��� +
���
��� +
���
��� +
���
��� +
���
���
=
�� +
�
�� +
�
�� +
�
�� +
�
��
= �
�� =
�
�
Jadi, peluang terlihat jumlah kedua mata dadu
merupakan bilangan prima adalah �
�.
18. Jawaban: a
Misalkan:
K1= kejadian terambil bola putih pada
pengambilan pertama
K2= kejadian terambil bola kuning pada
pengambilan kedua
Jumlah bola = 12, maka n(S) = 12.
Banyak bola putih = 4, maka n(K1) = 4.
Banyak bola kuning = 3, maka n(K2) = 3.
73Matematika Kelas XI
Dua bola diambil berurutan secara acak tanpa
pengembalian.
P(K1) =
�� �
��� =
�
� =
�
Satu bola yang telah terambil tidak dikembalikan.
Sekarang dalam kotak tersisa 11 bola dengan
banyak bola putih 3.
Peluang kejadian terambil bola kuning pada
pengambilan kedua dengan syarat telah terambil
bola putih pada pengambilan pertama:
P(K2|K
1) =
� �� �
��� − = �
Peluang terambil sebuah bola putih pada
pengambilan pertama dan sebuah bola kuning pada
pengambilan kedua:
P(K1 ∩ K
2) = P(K
1) × P(K
2|K
1)
=
� ×
�
=
Jadi, peluang terambil sebuah bola putih pada
pengambilan pertama dan sebuah bola kuning
pada pengambilan kedua adalah
.
19. Jawaban: c
Satu set kartu bridge berisi 52 kartu, maka banyak
anggota ruang sampel adalah n(S) = 52.
Satu set kartu bridge terdiri atas 4 jenis kartu, yaitu
13 kartu hati, 13 kartu wajik, 13 kartu sekop, dan
13 kartu keriting.
Kartu hati dan wajik berwarna merah, sedangkan
kartu sekop dan keriting berwarna hitam.
Setiap jenis kartu terdiri atas kartu bernomor 2
sampai dengan 10 dan 4 kartu bergambar.
Misalkan:
A = kejadian terambil kartu berwarna hitam
B = kejadian terambil kartu berangka 10
A ∩ B = kejadian terambil kartu berwarna hitam
dan berangka 10
= kejadian terambil kartu sekop bernomor
10 dan kartu keriting bernomor 10
Dengan demikian, diperoleh n(A) = 26, n(B) = 4,
dan n(A ∩ B) = 2.
Oleh karena n(A ∩ B) ≠ 0, maka kejadian A dan B
tidak saling lepas.
Peluang terambil kartu berwarna hitam atau kartu
berangka 10:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ���
��� +
���
��� –
�� ��
���
∩
= ��
�� +
�
�� –
�
��
= ��
�� =
�
�
20. Jawaban: b
Banyak percobaan = n = 108 kali.
Misalkan:
A = kejadian terlihat mata dadu bilangan prima
= {2, 3, 5}
B = kejadian terlihat mata dadu bilangan ganjil
= {1, 3, 5}
A ∩ B = {3, 5}
Diperoleh n(A) = 3, n(B) = 3, dan n(A ∩ B) = 2.
Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, maka kejadian A dan B
tidak saling lepas.
Peluang kejadian terlihat mata dadu bilangan prima
atau ganjil:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ���
��� +
���
��� –
�� ��
���
∩
= �
� +
�
� –
�
�
= �
� =
�
�
Frekuensi harapan terlihat mata dadu bilangan
prima atau ganjil:
Fh
= P(A ∪ B) × n = �
� × 108 = 72
21. Jawaban: e
Lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) mempunyai
persamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaran
melalui titik (4, 1) diperoleh:
x2 + y2 = r2
⇔ 42 + 12 = r2
⇔ 16 + 1 = r2
⇔ 17 = r2
Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 17.
22. Jawaban: b
Titik pusat lingkaran terletak di tengah diameter,
koordinatnya:
� � � �"#
� �
− −
= (–2, 1)
Lingkaran tersebut mempunyai persamaan (x + 2)2
+ (y – 1)2 = r2. Oleh karena melalui titik (2, 4)
diperoleh:
(x + 2)2 + (y – 1)2 = r2
⇔ (2 + 2)2 + (4 – 1)2 = r2
⇔ 42 + 32 = r2
⇔ 16 + 9 = r2
⇔ 25 = r2
Persamaan lingkaran:
(x + 2)2 + (y – 1)2 = r2
⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 25
⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0
74 Ulangan Tengah Semester
23. Jawaban: d
x2 + y2 – 4x + 10y + c = 0
Diperoleh A = –4, B = 10, dan C = c.
r = 3
⇔ ( ) ( )� �
� �� � $− + − − = 3
⇔ � �� � �� $+ − − = 3
⇔ � �� $+ − = 3
⇔ � $− = 3
⇔ 29 – c = 32
⇔ 29 – c = 9
⇔ c = 20
Jadi, nilai c yang memenuhi adalah 20.
24. Jawaban: c
Substitusikan x = a dan y = –2 ke dalam persamaan
lingkaran.
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
⇔ (a – 3)2 + (–2 + 2)2 = 25
⇔ (a – 3)2 + 0 = 25
⇔ (a – 3)2 = 25
⇔ a – 3 = 5 atau a – 3 = –5
⇔ a = 8 atau a = –2
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –2 atau 8.
25. Jawaban: b
2x – y + 1 = 0
⇔ y = 2x + 1
Substitusikan y = 2x + 1 ke dalam persamaan
lingkaran.
x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0
⇔ x2 + (2x + 1)2 – 8x + 2(2x + 1) – 8 = 0
⇔ x2 + 4x2 + 4x + 1 – 8x + 4x + 2 – 8 = 0
⇔ 5x2 – 5 = 0
⇔ 5(x2 – 1) = 0
⇔ 5(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0
⇔ x = 1 atau x = –1
Untuk x = 1 maka y = 2 · 1 – 1 = 1
Untuk x = –1 maka y = 2 · (–1) – 1 = –3
Diperoleh titik P(1, 1) dan Q(–1, –3).
Panjang PQ = � �� � � � �− − + − −
= � �+
= ��
= � �
Jadi, panjang ruas garis PW adalah � � .
26. Jawaban: e
x – y – 4 = 0
⇔ y = x – 4
Substitusikan y = x – 4 ke dalam persamaan
lingkaran.
x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0
⇔ x2 + (x – 4)2 – 8x – 8(x – 4) + 24 = 0
⇔ x2 + x2 – 8x + 16 – 8x – 8x + 32 + 24 = 0
⇔ 2x2 – 24x + 72 = 0
⇔ 2(x2 – 12x + 36) = 0
⇔ 2(x – 6)2 = 0
⇔ x – 6 = 0
⇔ x = 6
Substitusikan x = 6 ke dalam y = x – 4.
y = x – 4 = 6 – 4 = 2
Jadi, garis tersebut menyinggung lingkaran di titik
(6, 2).
27. Jawaban: b
Cara 1:
x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0
Titik pusat = (–3, 1)
Jari-jari = r = � �� �� � ���− + − − = �� = � �
Jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung sama
dengan jari-jari lingkaran.
y = –2x + n ⇔ 2x + y – n = 0
r = � �
⇔ � �
� �
�
− ⋅ + ⋅ −
+= � �
⇔�
�
− + −= � �
⇔�
�
− −= � �
⇔�
�
�
− −= ( � � )2
⇔��� �
�
+= 45
⇔ (5 + n)2 = 225
⇔ 5 + n = 15 atau 5 + n = –15
⇔ n = 10 atau n = –20
Cara 2:
Substitusikan y = –2x + n ke dalam persamaan
lingkaran.
x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0
⇔ x2 + (–2x + n)2 + 6x – 2(–2x + n) – 35 = 0
⇔ x2 + 4x2 – 4nx + n2 + 6x + 4x – 2n – 35 = 0
⇔ 5x2 – 4nx + n2 + 10x – 2n – 35 = 0
⇔ 5x2 + (10 – 4n)x + (n2 – 2n – 35) = 0
Oleh karena garis bersinggungan dengan lingkaran,
diperoleh:
D = 0
⇔ (10 – 4n)2 – 4 · 5 · (n2 – 2n – 35) = 0
⇔ (100 – 80n + 16n2) – 20 · (n2 – 2n – 35) = 0
⇔ 100 – 80n + 16n2 – 20n2 + 40n + 700 = 0
⇔ –4n2 – 40n + 800 = 0
⇔ –4(n2 + 10n – 200) = 0
75Matematika Kelas XI
⇔ –4(n + 20)(n – 10) = 0
⇔ n + 20 = 0 atau n – 10 = 0
⇔ n = –20 atau n = 10
Jadi, salah satu nilai n yang memenuhi adalah 10.
28. Jawaban: b
x2 + y2 – 2x – 44 = 0
⇔ x2 – 2x + y2 = 44
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 = 44 + 1
⇔ (x – 1)2 + y2 = 45
Garis 4x + 2y = 7 mempunyai gradien m1 = –2.
Oleh garis singgung sejajar dengan garis 4x + 2y
= 7 maka m = m1 = –2.
Persamaan garis singgung:
y – b = m(x – a) ± r� &+
⇔ y = –2(x – 1) ± ��� � ��+ −
⇔ y = –2x + 2 ± � � �
⇔ y = –2x + 2 ± 15
⇔ y = –2x + 2 + 15 atau y = –2x + 2 – 15
⇔ y = –2x + 17 atau y = –2x – 13
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y = –2x + 17 dan y = –2x – 13.
29. Jawaban: a
Lingkaran berpusat di titik P(2, 3) mempunyai
persamaan (x – 2)2 + (y – 3)2 = r2. Oleh karena
melalui titik Q(5, 0) diperoleh:
(x – 2)2 + (y – 3)2 = r2
⇔ (5 – 2)2 + (0 – 3)2 = r2
⇔ 32 + (–3)2 = r2
⇔ 9 + 9 = r2
⇔ 18 = r2
Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 18.
Persamaan garis singgung di titik Q(5, 0):
(x1 – 2)(x – 2) + (y
1 – 3)(y – 3) = 18
⇔ (5 – 2)(x – 2) + (0 – 3)(y – 3) = 18
⇔ (3)(x – 2) + (–3)(y – 3) = 18
⇔ 3x – 6 – 3y + 9 = 18
⇔ 3x – 3y – 15 = 0
⇔ x – y = 5
Jadi, persamaan garis singgungnya x – y = 5.
30. Jawaban: b
x2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0
⇔ x2 – 6x + y2 + 4y = –3
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = –3 + 9 + 4
⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 10
Garis x – 3y = 7 mempunyai gradien m1 =
�.
Oleh karena garis singgung tegak lurus dengan
garis x – 3y = 7 diperoleh:
m · m1
= –1
⇔ m ·
�= –1
⇔ m = –3
Persamaan garis singgung:
y – b = m(x – a) ± r � &+
⇔ y + 2 = –3(x – 3) ± �� � ��+ −
⇔ y + 2 = –3x + 9 ± � �
⇔ y = –3x + 7 ± 10
⇔ y = –3x + 7 + 10 atau y = –3x + 7 – 10
⇔ y = –3x + 17 atau y = –3x – 3
Jadi, persamaan garis singgungnya y = –3x + 17
dan y = –3x – 3.
1. Panjang kelas p = selisih dua titik tengah kelas
interval yang saling berurutan.
Titik tengah kelas interval ke-1 = 55,5
Titik tengah kelas interval ke-2 = 65,5
Panjang kelas = p = 65,5 – 55,5 = 10
Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval
sebagai berikut.
Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval
pada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensi
berikut.
2.
� = � �
�
��
�
ΣΣ
⇔ 20,5 = *��� ��
�� �
++
⇔ 1.332,5 + 143,5n = 1.450 + 120n
B. Kerjakan soal-soal berikut.
Nilai
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
Frekuensi
4
9
15
12
5
xi
5
10
15
20
25
30
Jumlah
5
2n
15
5n
30
15
65 + 7n
25
20n
225
100n
750
450
1.450 + 120n
fi
fix
i
Titik
Tengah
(xi)
Tepi Bawah
(Tbi = x
i –
�p)
Tepi Atas
(Tai = x
i +
�p)
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
55,5 – 5 = 50,5
65,5 – 5 = 60,5
75,5 – 5 = 70,5
85,5 – 5 = 80,5
95,5 – 5 = 90,5
55,5 + 5 = 60,5
65,5 + 5 = 70,5
75,5 + 5 = 80,5
85,5 + 5 = 90,5
95,5 + 5 = 100,5
fi
4
9
15
12
5
76 Ulangan Tengah Semester
⇔ 23,5 n = 117,5
⇔ n = 5
Banyak data = 65 + 7n = 65 + 7 × 5 = 65 + 35 = 100.
Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai
berikut.
Banyak data = n = 100
Median = nilai data ke-
�(100 + 1)
= nilai data ke-50,5
Median adalah nilai data ke-50,5 terletak di kelas
interval 18 – 22.
L = 18 – 0,5 = 17,5
fkM
e
= 30
fMe
= 25
Me
= L + −
��
�
��
�
�
� · p
= 17,5 +
⋅ −
��� ��
�� · 5
= 17,5 + ��
�
= 17,5 + 4 = 21,5
Jadi, median data tersebut 21,5.
3. Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.
Banyak data = n = 70
Kuarti atas (Q3) = nilai data ke-
�
� (70 + 1)
= nilai data ke-53,25
Kuartil atas (Q3) adalah nilai data ke-53,25 terletak
di kelas interval 150 – 154.
L3
= 150 – 0,5 = 149,5
fkQ
3
= 42
fQ3
= 15
p = 154 – 150 + 1 = 5
Q3
= L3 +
�
�
����
�
�
�
−
· p
= 149,5 +
�
��� ��
�
⋅ −
· 5
= 149,5 + ��"� ��
�
−
= 149,5 + �"�
�
= 149,5 + 3,5 = 153
P30
= nilai data ke-��
�� (70 + 1)
= nilai data ke-21,3
P30
adalah nilai data ke-21,3 terletak di kelas
interval 140–144.
L30
= 140 – 0,5 = 139,5
fkP
30
= 9
fP30
= 20
P30
= L30
+ ⋅ −
��
��
���/��
/
�
� · p
= 139,5 +
��
����
��
⋅ −
· 5
= 139,5 + �
�
= 139,5 + 3 = 142,5
Jadi, nilai Q3 = 153 dan P
30 = 142,5.
4. Komite yang terbentuk kemungkinan terdiri atas 5
guru laki-laki dan 1 guru perempuan atau 4 guru
laki-laki dan 2 guru perempuan.
Banyak cara memilih 5 guru laki-laki dari 7 guru
laki-laki dan 1 guru perempuan dari 5 guru
perempuan = 7C
5 ×
5C
1
= ��
���� ×
��
���
= � � ��
���
× ×× ×
� ��
��
××
= 21 × 5 = 105
Banyak cara memilih 4 guru laki-laki dari 7 guru
laki-laki dan 2 guru perempuan dari 5 guru
perempuan = 7C
4 ×
5C
2
= ��
���� ×
��
����
= � � � ��
� � �
× × ×× × × ×
� � ��
� ��
× ×× ×
= 35 × 10
= 350
Banyak cara membentuk komite = 105 + 350 = 455
← kelas Me
Nilai
3 – 7
8 – 12
13 – 17
18 – 22
23 – 27
28 – 32
fi
5
10
15
25
30
15
fk
5
15
30
55
85
100
Ukuran fk
fi
← kelas Q3
← kelas P30
135 – 139
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
9
22
42
57
61
70
9
20
13
15
4
9
77Matematika Kelas XI
5. Banyak kelereng kuning = 8
Banyak kelereng merah = 6
Banyak kelereng biru = 2
Banyak kelereng putih = 4
Jumlah kelereng dalam kotak = 20.
Pasangan kelereng yang mungkin terambil adalah
(putih, kuning), (putih, merah), (putih, biru), atau
(putih, putih).
A =kejadian terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua kuning
P(A) = �
�� ×
�
= ��
���
B =kejadian terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua merah
P(B) = �
�� ×
�
= ��
���
C =kejadian terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua biru
P(C) = �
�� ×
�
= �
���
D =kejadian terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua putih:
P(D) = �
�� ×
�
= �
���
Kejadian A, B, C, dan D saling lepas.
Peluang terambil kelereng pertama putih:
P = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
= ��
��� +
��
��� +
�
��� +
�
���
= ��
���
=
�
Jadi, peluang terambil kelereng pertama putih
adalah
�.
6. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama
sekali, sehingga banyak anggota ruang sampel
adalah n(S) = 6 × 6 = 36.
Misalkan:
Q = kejadian terlihat kedua mata dadu berjumlah 5
= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
R = kejadian terlihat kedua mata dadu berjumlah 8
= {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}
Diperoleh n(Q) = 4 dan n(R) = 5.
Oleh karena Q ∩ R = ∅, maka kejadian Q dan R
saling lepas.
Peluang terlihat kedua mata dadu berjumlah 5 atau 8:
P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R)
= ���
��� +
�;�
���
= �
�� +
�
��
=
�� =
�
Jadi, peluang terlihat kedua mata dadu berjumlah
5 atau 8 adalah
�.
7. Kotak I berisi 8 bola, terdiri atas 5 bola merah dan
3 bola biru.
Misalkan A = kejadian terambil 2 bola merah dari
kotak I.
n(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari
5 bola merah
= 5C
2
= ��
����
= � � ��
� ��
× ×× ×
= 10
n(SA) = banyak cara mengambil 2 bola dari 8 bola
= 8C
2
= ��
����
= � � ��
� ��
× ×× ×
= 28
Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I:
P(A) = �
���
�� �
= �
��
= �
�
Kotak II berisi 10, terdiri atas 6 bola merah dan 4
bola putih.
Misalkan B = kejadian terambil 1 bola putih dari
kotak II.
Diperoleh n(B) = 4 dan n(SB) = 10.
Peluang terambil 1 bola putih dari kotak II:
P(B) = �
���
�� �
= �
�
= �
�
Kejadian A dan B saling bebas.
78 Ulangan Tengah Semester
Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan
1 bola putih dari kotak II:
P = P(A) × P(B) = �
� ×
�
� =
�
Jadi, peluang terambil 2 bola merah dari kotak I
dan 1 bola putih dari kotak II adalah
�.
8. Lingkaran L: x2 + y2 + 2x – 8y – 8 = 0
Titik pusat = (–1, 4)
Jari-jari = rL
= � �� � � � ��− + − −
= ��
= 5
Lingkaran M mempunyai pusat (–1, 4) dan berjari-
jari rM
= 3 × rL = 3 × 5 = 15.
Persamaan lingkaran M:
(x + 1)2 + (y – 4)2 = rM
2
⇔ (x + 1)2 + (y – 4)2 = 152
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 225
⇔ x2 + 2x + y2 – 8y + 17 = 225
⇔ x2 + y2 + 2x – 8y – 208 = 0
Jadi, persamaan lingkaran M: x2 + y2 + 2x – 8y –
208 = 0.
9. Persamaan garis g:
�
< <
< <
−−
=
�
� �
� �
−−
⇔ < �
� �
++ =
� �
� �
−− −
⇔ < �
�
+=
� �
�
−−
⇔ –6(y + 4) = 4(x – 2)
⇔ –6y – 24 = 4x – 8
⇔ 4x + 6y + 16 = 0
⇔ 2x + 3y + 8 = 0
Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik
P(7, –3) ke garis g, diperoleh:
r = � �
� � � �� � �
� �
⋅ + − ⋅ +
+
= � �
�
− +
= �
�
= �
Persamaan lingkaran L:
(x – 7)2 + (y + 3)2 = r2
⇔ (x – 7)2 + (y + 3)2 = ( � )2
⇔ x2 – 14x + 49 + y2 + 6y + 9 = 13
⇔ x2 – 14x + y2 + 6y + 58 = 13
⇔ x2 + y2 – 14x + 6y + 45 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 14x + 6y
+ 45 = 0.
10. Cek kedudukan titik A(6, 2) terhadap lingkaran.
x2 + y2 = 62 + 22 = 36 + 4 = 40 > 20
Ternyata titik A(6, 2) terletak di luar lingkaran.
Persamaan garis kutub:
x1x + y
1y = 20
⇔ 6x + 2y = 20
⇔ 3x + y = 10
⇔ y = 10 – 3x
Substitusikan y = 10 – 3x ke dalam persamaan
lingkaran.
x2 + y2 = 20
⇔ x2 + (10 – 3x)2 = 20
⇔ x2 + (100 – 60x + 9x2) = 20
⇔ 10x2 – 60x + 100 = 20
⇔ 10x2 – 60x + 80 = 0
⇔ 10(x2 – 6x + 8) = 0
⇔ 10(x – 4)(x – 2) = 0
⇔ x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
⇔ x = 4 atau x = 2
Untuk x = 4 maka y = 10 – 3 · 4 = –2
Untuk x = 2 maka y = 10 – 3 · 2 = 4
Diperoleh titik pada lingkaran (4, –2) dan (2, 4).
Persamaan garis singgung di titik (4, –2):
x1x + y
1y = 20
⇔ 4x – 2y = 20
⇔ 2x – y = 10
Persamaan garis singgung di titik (2, 4):
x1x + y
1y = 20
⇔ 2x + 4y = 20
⇔ x + 2y = 10
Jadi, persamaan garis singgungnya 2x – y = 10
dan x + 2y = 10.
79Matematika Kelas XI
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. menjelaskan pengertian transformasi geometri meliputi translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi;2. menentukan bayangan titik oleh translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi;3. menentukan persamaan bayangan kurva oleh translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi;4. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu menunjukkan sikap motivasi internal,kemampuan bekerja sama, konsisten, disiplin, rasa percaya diri, jujur, tangguh, kritis, dan toleran dalam perbedaan strategiberpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
Transformasi Geometri
Translasi dan Refleksi Rotasi dan Dilatasi
• Memiliki sikap percaya diri, motivasi internal, serta sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan, bisnis, dan dalamkehidupan sehari-hari.
• Mampu menentukan koordinat titik bayangan oleh translasi, refleksi, rotasi, atau dilatasi.• Mampu menentukan persamaan bayangan kurva oleh translasi, refleksi, rotasi, atau dilatasi.
• Mendiskripsikan translasi.• Menjelaskan cara menentukan bayangan titik oleh
sebuah translasi.• Mendiskripsikan pengertian refleksi.• Menentukan bayangan titik oleh sebuah refleksi.• Menjelaskan cara menentukan persamaan
bayangan kurva oleh translasi.• Menjelaskan cara menentukan persamaan
bayangan kurva oleh refleksi.
• Mendiskripsikan rotasi.• Menjelaskan cara menentukan bayangan titik
oleh sebuah rotasi.• Mendiskripsikan pengertian dilatasi.• Menjelaskan cara menentukan bayangan titik
oleh sebuah dilatasi.• Menentukan persamaan bayangan kurva oleh
rotasi.• Menjelaskan cara menentukan persamaan
bayangan kurva oleh dilatasi.
80 Transformasi Geometri
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
A(6, –1) T ( 2, 5)= − −→ A′(6 – 2, –1 – 5) = A′(4, –6)Jadi, bayangan titik A adalah A′(4, –6).
2. Jawaban: bMisalkan translasi tersebut T = (a, b).
C(10, –8) T (a, b)=→ C′(10 + a, –8 + b) = C′(6, 2)Diperoleh:10 + a = 6 ⇔ a = 4–8 + b = 2 ⇔ b = 10Jadi, translasinya adalah T = (4, 10).
3. Jawaban: dMisalkan translasinya T = (a, b).
Q(–4, 2) T (a, b)=→ Q′(–4 + a, 2 + b) = Q′(–1, 6)Diperoleh:–4 + a = –1⇔ a = 3
2 + b = 6⇔ b = 4Diperoleh T = (3, 4).
R(3, –2) T (3, 4)=→ R′(3 + 3, –2 + 4) = R′(6, 2)Jadi, R′(6, 2).
4. Jawaban: dTitik C(2, 3) ditranslasikan oleh T = (a, b) menghasil-kan bayangan C′(0, 5).
C(2, 3) T (a, b)=→ C′(2 + a, 3 + b) = C′(0, 5)2 + a = 0 ⇔ a = –23 + b = 5 ⇔ b = 2Diperoleh T = (–2, 2)
A(–1, –2) T ( 2, 2)= −→ A′(–3, 0)
B(5, –1) T ( 2, 2)= −→ B′(3, 1)Jadi, koordinat A′(–3, 0) dan B′(3, 1).
5. Jawaban: a
Bayangan titik (x, y) oleh translasi T = 23
adalah
(x′, y′) = (x + 2, y + 3).x′ = x + 2 ⇔ x = x′ – 2y′ = y + 3 ⇔ y = y′ – 3Substitusikan x dan y ke persamaan garis g.2x – 3y + 4 = 0 ⇒ 2(x′ – 2) – 3(y′ – 3) + 4 = 0
⇔ 2x′ – 4 – 3y′ + 9 + 4 = 0⇔ 2x′ – 3y′ + 9 = 0
Jadi, persamaan garis g′ adalah 2x – 3y + 9 = 0.
6. Jawaban: b
A(x, y) y xM =→ A′(y, x) sehingga:
A(3, –5) y xM =→ A′(–5, 3)Jadi, bayangan titik A adalah A′(–5, 3).
7. Jawaban: a
B(x, y) y xM = −→ B′(–y, –x)
B(4, –2) y xM = −→ B′(a + 3, b – 2) = B′(2, –4)Diperoleh:a + 3 = 2 ⇔ a = –1b – 2 = –4 ⇔ b = –2Jadi, nilai a = –1 dan b = –2.
8. Jawaban: e
D(–1, –6) y 5T =→ D′(–1, 2 × 5 – (–6)) = D′(–1, 16)Jadi, hasil pencerminan titik D adalah D′(–1, 16).
9. Jawaban: eBayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –1 adalah (x′, y′) = (x, –2 – y).x′ = x ⇔ x = x′y′ = –2 – y ⇔ y = –2 – y′Substitusi x dan y ke persamaan garis diperoleh:y = 2x + 5 ⇒ –2 – y′ = 2(x′) + 5
⇔ –2 – y′ = 2x′ + 5⇔ y ′ = –2x′ – 7⇔ y = –2x – 7
Jadi, persamaan bayangannya y = –2x – 7.
10. Jawaban: ePuncak parabola dengan persamaan y = a(x – p)2 + qadalah (p, q).y = 2x2 – 8x + 11⇔ y = 2(x2 – 4x + 4) + 3⇔ y = 2(x – 2)2 + 3Diperoleh puncak parabola P adalah (2, 3).Puncak parabola tersebut dicerminkan terhadapgaris y = –1.Bayangan titik (2, 3) oleh pencerminan terhadapgaris y = –1 adalah (x′, y′) dengan:
(2, 3) y 1M = −→ (2, 2 · (–1) – 3) = (2, –5)Jadi, koordinat puncak parabola P′ adalah (2, –5).
B. Uraian
1. a. Diketahui lingkaran (x – 3)2 + (y + 10)2 = 25sehingga titik A(3, –10).
A(3, –10) T ( 6, 8)= −→ A′(3 – 6, –10 + 8)= A′(–3, –2)Jadi, bayangan titik A adalah A′(–3, –2).
81Matematika Kelas XI
b. Misalkan translasi tersebut T = (a, b).
A(3, –10) T (a, b)=→ A′(3 + a, –10 + b)= A′(9, 1)Diperoleh:3 + a = 9 ⇔ a = 6–10 + b = 1 ⇔ b = 11Jadi, translasinya adalah T = (6, 11).
2. a. Misalkan T = (a, b).
B(1, 2) T (a, b)=→ B′(1 + a, 2 + b) = B′(4, 2)Diperoleh:
1 + a = 4⇔ a = 3
2 + b = 2⇔ b = 0Jadi, translasinya T = (3, 0).
b. Bayangan titik A(–2, 2); C(–2, –1); dan D(1, –1)
A(–2, 2) T (3, 0)=→ A′(–2 + 3, 2 + 0)= A′(1, 2)C(–2, –1) T (3, 0)=→ C′(–2 + 3, –1 + 0)= C′(1, –1)D(1, –1) T (3, 0)=→ D′(1 + 3, –1 + 0)= D′(4, –1)Jadi, bayangan titik A, C dan D adalahA′(1, 2); C′(1, –1); dan D′(4, –1).
3. a. C(5, –6) y xM =→ D(–6, 5)Jadi, koordinat titik D(–6, 5).
b. D(–6, 5) xM→ D′(–6, –5)Jadi, koordinat titik D′(–6, –5).
4. a. Bayangan titik (x, y) oleh translasi T = 42
−
adalah (x′, y′) = (x + 4, y – 2).x′ = x + 4 ⇔ x = x′ – 4y′ = y – 2 ⇔ y = y′ + 2Substitusikan x = x′ – 4 dan y = y′ + 2 kepersamaan parabola.
y = x2 – 2x + 6⇔ y′ + 2 = (x′ – 4)2 – 2(x′ – 4) + 6⇔ y ′ = (x′)2 – 8x′ + 16 – 2x′ + 8 + 6 – 2⇔ y ′ = (x′)2 – 10x′ + 28⇔ y ′ = x2 – 10x + 28Jadi, persamaan bayangan parabola adalahy = x2 – 10x + 28.
b. Bayangan titik (x, y) oleh refleksi terhadapgaris x = 2 adalah (x′, y′) = (4 – x, y).x′ = 4 – x ⇔ x = 4 – x′y′ = y ⇔ y = y′Substitusikan x = 4 – x′ dan y = y′ ke per-samaan parabola.
y = x2 – 2x + 6⇔ y′ = (4 – x′)2 – 2(4 – x′) + 6⇔ y′ = 16 – 8x′ + (x′)2 – 8 + 2x′ + 6⇔ y′ = (x′)2 – 6x′ + 14⇔ y = x2 – 6x + 14Jadi, persamaan bayangan parabola adalahy = x2 – 6x + 14.
5. Misalkan titik (x, y) terletak pada elips 2(x 1)
6− +
2(y 2)4
+ = 1.
Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –x:
(x, y) y xM = −→ (x′, y′) = (–y, –x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = –x ⇔ x = –y′Substitusikan y = –x′ dan x = –y′ ke persamaan
2(x 1)6− +
2(y 2)4
+ = 1.2(x 1)
6− +
2(y 2)4
+ = 1
⇔2(( y ) 1)
6′− − +
2(( x ) 2)4
′− + = 1
⇔2( (y 1))
6′− + +
2( (x 2))4
′− − = 1
⇔2(y 1)
6′ + +
2(x 2)4
′ − = 1
⇔2(y 1)
6+ +
2(x 2)4
− = 1
⇔2(x 2)
4− +
2(y 1)6+ = 1
Jadi, persamaan bayangannya adalah 2(x 2)
4− +
2(y 1)6+ = 1.
82 Transformasi Geometri
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: a
A(6, –1) R[O(0,0), 45 ]°→ A′(x′, y′)x ′ = x · cos 45° – y · sin 45°
= 6 · 12
2 – (–1) · 12
2
= 3 2 + 12
2
= 72
2
y ′ = x · sin 45° + y · cos 45°
= 6 · 12
2 + (–1) · 12
2
= 3 2 – 12
2 = 52
2
Jadi, koordinat bayangannya adalah A′( 72
2 ,52
2 ).
2. Jawaban: c
B(4, 2) R[O(0,0), 90 ]°→ B′(x′, y′)x ′ = –2y ′ = 4Diperoleh B′(a, 2 + b) = B′(–2, 4)a = –22 + b = 4
⇔ b = 2a + b = –2 + 2
= 0Jadi, nilai a + b = 0.
3. Jawaban: e
C(8, 4) R[P(1, 2), 180 ]°→ C′(x′, y′)x ′ = (x – a) · cos 180° – (y – b) · sin 180° + a
= (8 – 1) · (–1) – (4 – 2) · 0 + 1= –7 + 1= –6
y ′ = (x – a) · sin 180° + (y – b) · cos 180° + b= (8 – 1) · 0 + (4 – 2) · (–1) + 2 = 0
Diperoleh C′(–6, 0)
D(–5, 6) R[P(1, 2), 180 ]°→ D′(x′, y′)x ′ = (x – a) · cos 180° – (y – b) · sin 180° + a
= (–5 – 1) · (–1) – (6 – 2) · 0 + 1= 6 + 1 7
y ′ = (x – a) · sin 180° + (y – b) · cos 180° + b= (–5 – 1) · 0 + (6 – 2) · (–1) + 2 = –2
Jadi, bayangan titik C dan D berturut-turutC′(–6, 0) dan D′(7, –2).
4. Jawaban: aDiketahui P′(–10, –2) dan P(a, b)
P(a, b) R[O(0, 0), ]
2π−
→ P′(b, –a) = P′(–10, –2)
Diperoleh:b = –10–a = –2⇔ a= 2Diperoleh a = 2, b = –10 sehinggaa + 2b = 2 + 2 · (–10) = –18Jadi, nilai a + 2b = –18.
5. Jawaban: bMisalkan pusat rotasi P(a, b).(4, –5) R[P(a, b), 90 ]°→ (10, 5)
x ′ = (x – a) · cos θ – (y – b) · sin θ + a⇔ 10 = (4 – a) · cos 90° – (–5 – b) · sin 90° + a⇔ 10 = (4 – a) · 0 – (–5 – b) · 1 + a⇔ 10 = 5 + b + a⇔ a + b = 5 . . . (1)
y ′ = (x – a) · sin 90° + (y – b) · cos 90° + b⇔ 5 = (4 – a) · sin 90° + (–5 – b) · cos 90° + b⇔ 5 = (4 – a)1 + 0 + b⇔ 5 = 4 – a + b⇔ –a + b = 1 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:a + b = 5
–a + b = 1–––––––– +
2b = 6⇔ b = 3Substitusikan nilai b = 3 ke a + b = 5.a + 3 = 5 ⇔ a = 2Diperoleh a = 2 dan b = 3.Jadi, koordinat pusat rotasi (2, 3).
6. Jawaban: eAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = 2x2 + 3x – 6.
(x, y) R[O(0, 0), 90 ]− °→ (x′, y′) = (y, –x)Diperoleh:y = x′–x = y′ ⇔ x = –y′Substitusikan x = –y′ dan y = x′ ke persamaany = 2x2 + 3x – 6.
y = 2x2 + 3x – 6⇔ x ′ = 2(–y′)2 + 3(–y′) – 6⇔ x ′ = 2(y′)2 – 3(y′) – 6⇔ x = 2y2 – 3y – 6Jadi, persamaan bayangan kurvanya adalahx = 2y2 – 3y – 6.
83Matematika Kelas XI
7. Jawaban: c
B(–9, 3) [O(0, 0), k]→ B(–9k, 3k) = (–18, 6)
–18 = –9k⇔ k = 2Jadi, faktor skalanya k = 2.
8. Jawaban: e
Luas KLMN= ML · LK= 5 · 8= 40 satuan luas
Luas persegi panjang KLMN setelah didilatasidengan faktor skala k = 3 adalah L.L = k2 · LKLMN = 32 · 40 = 360 satuan luas
9. Jawaban: eBayangan titik (x, y) oleh dilatasi [O(0, 0), –2]adalah (x′, y′) = (–2x, –2y).Diperoleh:
x′ = –2x ⇔ x = –12 x′
y′ = –2y ⇔ y = –12 y′
Substitusikan x = –12 x′ dan y = –
12 y′ ke
persamaan garis.
4x – y + 6 = 0 ⇔ 4(–12 x′) – (–
12 y′) + 6 = 0
⇔ –2x′ + 12 y′ + 6 = 0
⇔ 4x′ – y′ – 12 = 0⇔ 4x – y – 12 = 0
Jadi, persamaan bayangannya 4x – y – 12 = 0.
10. Jawaban: bAmbil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x – 5)2 + (y + 1)2 = 25.
(x, y) [P(1, 2), 2]→ (x′, y′)x ′ = kx – ka + a
= 2x – 2 · 1 + 1= 2x – 1
y ′ = kx – kb + b= 2y – 2 · 2 + 2= 2y – 2
Diperoleh:x′ = 2x – 1
⇔ x = x 1
2′ +
y′ = 2y – 2
⇔ y = y 2
2′ +
Substitusikan x = x 1
2′ +
dan y = y 2
2′ +
ke persamaan
(x – 5)2 + (y + 1)2 = 25.(x – 5)2 + (y + 1)2 = 25
⇔2x 1
25′ +
− +
2y 22
1′ +
+ = 25
⇔2x 1 10
2′ + −
+
2y 2 22
′ + +
= 25
⇔2(x 9)
4′ − +
2(y 4)4
′ + = 25
⇔ (x′ – 9)2 + (y′ + 4)2 = 100⇔ (x – 9)2 + (y + 4)2 = 100Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut(x – 9)2 + (y + 4)2 =100.
B. Uraian
1. a. A(–6, 2) R[O(0, 0), 45 ]°→ (x′, y′)x ′ = x · cos 45° – y · sin 45°
= –6 · 12
2 – 2 · 12
2
= –3 2 – 2
= –4 2y ′ = x · sin 45° + y · cos 45°
= –6 · 12
2 + 2 · 12
2
= –3 2 + 2
= –2 2Jadi, A′(–4 2 , –2 2 ).
b. A′(–4 2 , 2 2 ) R[O(0, 0), 90 ]− °→ B′(x′, y′)x ′ = x · cos (–90°) – y · sin (–90°)
= (–4 2 ) · 0 – (–2 2 ) · (–1)= –2 2
y ′ = x · sin (–90°) + y · cos (–90°)= (–4 2 ) · (–1) + (–2 2 ) · 0= 4 2
Jadi, B′(–2 2 , 4 2 ).
2. a. C(6, –8) 12[P(4, 2), ]−→ C¢(x¢, y¢)
x ′ = kx – ka + a
= 12 · 6 –
12 · 4 + 4
= 3 – 2 + 4= 5
y ′ = ky – kb + b
= 12 · (–8) –
12 · (–2) – 2
= –4 + 1 – 2= –5
Jadi, C′(5, –5).
K
L
Y
X–2 0 3
4
–4
8 sa
tuan
5 satuanM
84 Transformasi Geometri
b. C′(5, –5) R[O(0, 0), 90 ]°→ (x′, y′) = (–y, x)Diperoleh:x′ = 5y′ = 5Jadi, koordinat titik D(5, 5).
3. Akan dicari nilai a dan b pada pusat rotasi P(a, b).
A(–3, –3) R[P(a, b), ]−π→ A′(7, –5)Diperoleh:
x ′ = (x – a) · cos (–π) – (y – b) · sin (–π) + a⇔ 7 = (–3 – a) · (–1) – (–3 – b) · 0 + a⇔ 7 = 3 + a + a⇔ 2a = 4⇔ a = 2
y ′ = (x – a) · sin (–π) + (y – b) · cos (–π) + b⇔ –5 = (–3 – a) · 0 + (–3 – b) · (–1) + b⇔ –5 = 3 + b + b⇔ 2b = –8⇔ b = –4Diperoleh P(a, b) = P(2, –4).Bayangan titik B(6, –3), C(6, 1), dan D(–3, 1)sebagai berikut.
B(6, –3) R[P(2, 4), ]− −π→ B′(x′, y′)x ′ = (6 – 2) · cos (–π) – (–3 + 4) · sin (–π) + 2
= 4 · (–1) – 0 + 2= –2
y ′ = (6 – 2) · sin (–π) + (–3 + 4) · cos (–π) – 4= 0 – 1 – 4= –5
Diperoleh B′(–2, –5).
C(6, 1) R[P(2, 4), ]− −π→ C′(x′, y′)x ′ = (6 – 2) · cos (–π) – (1 + 4) · sin (–π) + 2
= –4 – 0 + 2= –2
y ′ = (6 – 2) · sin (–π) + (1 + 4) · cos (–π) – 4= 0 – 5 – 4= –9
Diperoleh C′(–2, –9).D(–3, 1) R[P(2, 4), ]− −π→ D′(x′, y′)x ′ = (–3 – 2) · cos (–π) – (1 + 4) · sin (–π) + 2
= 5 – 0 + 2 = 7y ′ = (–3 – 2) · sin (–π) + (1 + 4) · cos (–π) + 4
= 0 – 5 – 4 = –9Diperoleh D′(7, –9).Jadi, koordinat P(2, –4), B′(–2, –5), C′(–2, –9), danD′(7, –9).
4. a. C′(9, 2), C(5, 2), P(3, 2) sehingga:x ′ = kx – ka + a
⇔ 9 = k · 5 – k · 3 + 3⇔ 9 = 2k + 3⇔ 2k = 6⇔ k = 3Jadi, nilai k = 3.
b. A(0, –2) sehingga:x ′ = kx – ka + a
= 3 · 0 – 3 · 3 + 3= –6
y ′ = ky – kb + b= 3 · (–2) – 3 · 2 + 2= –10
Diperoleh A′(–6, –10).B(5, –4) sehingga:x ′ = kx – ka + a
= 3 · 5 – 3 · 3 + 3= 9
y ′ = ky – kb + b= 3 · (–4) – 3 · 2 + 2= –16
Diperoleh B′(9, –16).c.
Luas ∆ABC = 12 · alas · tinggi
= 12 · 6 · 5
= 15 satuan luasLuas ∆A′B′C′ = k2 · luas ∆ABC
= 32 · 15= 135 satuan luas
Jadi, luas ∆A′B′C′ = 135 satuan luas.
5. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan2(x 1)
6− –
2(y 3)4+ = 1.
(x, y) [P(2, 1), 3]→ (x′, y′)x ′ = kx – ka + a
= 3x – 3 · 2 + 2= 3x – 4
y ′ = ky – kb + b= 3y – 3 · 1 + 1= 3y – 2
Diperoleh:x ′ = 3x – 4
⇔ x = x 4
3′ +
y ′ = 3y – 2
⇔ y = y 2
3′ +
Y
X
2
–2
–4
5
A
B
C5 satuan
6 satuan0
85Matematika Kelas XI
Substitusikan x = x 4
3′ +
dan y = y 2
3′ +
ke per-
samaan 2(x 1)
6− –
2(y 3)4+ = 1.
2(x 1)6− –
2(y 3)4+ = 1
⇔ ( )2x + 43
1
6
′ − –
( )2y + 23
3
4
′ += 1
⇔ ( )2x + 4 33
6
′ −
– ( )2y + 2 9
3
4
′ +
= 1
⇔( )2x + 1
3
6
′
– ( )2y 11
3
4
′ +
= 1
⇔2(x 1)
9 6′ +
× – 2(y 11)
9 4′ +
× = 1
⇔2(x 1)
54′ + –
2(y 11)36
′ + = 1
⇔2(x 1)
54+ –
2(y 11)36+ = 1
Jadi, persamaan bayangannya adalah 2(x 1)
54+ –
2(y 11)36+ = 1.
1. Jawaban: bA(–10, 5) T (2, 8)=→ A′(–10 + 2, 5 + 8) = A′(–8, 13)Jadi, bayangan titik A adalah A′(–8, 13).
2. Jawaban: aB(6, –3) T (4, 9)= −→ B′(6 + 4, –3 – 9) = B′(10, –12)Diperoleh a = 10, b = –12 sehingga:a + 2b = 10 – 24 = –14Jadi, a + 2b = –14.
3. Jawaban: dKoordinat bayangan titik A(x, y) oleh translasi
T = 35
adalah A′(x + 3, y + 5).
Koordinat titik A′(–2, 1), sehingga:x + 3 = –2 ⇔ x = –5y + 5 = 1 ⇔ y = –4Jadi, koordinat titik A(–5, –4).
4. Jawaban: aC(–5, –4) T (a, b)=→ C′(–5 + a, –4 + b) = C′(3, 9)Diperoleh:–5 + a = 3 ⇔ a = 8–4 + b = 9 ⇔ b = 13Diperoleh T = (8, 13).Bayangan titik D(8, 10) sebagai berikut.
D(8, 10) T (8, 13)=→ D′(8 + 8, 10 + 13) = D′(16, 23)Jadi, bayangan titik D adalah D′(16, 23).
5. Jawaban: eMisalkan translasi tersebut T = (a, b).
B(5, 1) T (a, b)=→ B′(5 + a, 1 + b) = B′(–1, 3)Diperoleh :
5 + a = –1⇔ a = –6
1 + b = 3⇔ b = 2
Diperoleh T = (–6, 2)
A(13, –4) T ( 6, 2)= −→ A′(13 – 6, –4 + 2) = A′(7, –2)Jadi, bayangan titik adalah A′(7, –2).
6. Jawaban: dA(6, –8) T ( 4, 5)= −→ A′(6 – 4, –8 + 5) = A′(2, –3)
A′(2, –3) T (8,10)=→ A′′(2 + 8, –3 + 10) = A′′(10, 7)
7. Jawaban: b
Bayangan titik (x, y) oleh translasi T = 1
3−
adalah
(x′, y′) = (x – 1, y + 3).x′ = x – 1 ⇔ x = x′ + 1y′ = y + 3 ⇔ y = y′ – 3Substitusikan x = x′ + 1 dan y = y′ – 3 ke persama-an garis.5x + 2y – 8 = 0 ⇔ 5(x′ + 1) + 2(y' – 3) – 8 = 0
⇔ 5x′ + 5 + 2y′ – 6 – 8 = 0⇔ 5x′ + 2y′ – 9 = 0⇔ 5x + 2y – 9 = 0
Jadi, persamaan bayangannya 5x + 2y – 9 = 0.
8. Jawaban: ePusat lingkaran L: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4 adalahA(3, –1).Bayangan lingkaran L adalah L′.Pusat lingkaran L′: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 adalahA′(–2, 1).Akan dicari nilai a dan b pada T = (a, b) yangmentranslasikan A(3, –1) menjadi A′(–2, 1).
A(3, –1) T (a, b)=→ A′(–2, 1) = A′(3 + a, –1 + b)Diperoleh:
3 + a = –2⇔ a = –5
–1 + b = 1⇔ b = 2a + b = –5 + 2
= –3Jadi, nilai a + b = –3.
86 Transformasi Geometri
9. Jawaban: aD(10, 11) YM→ D′(–10, 11)Jadi, hasil pencerminannya adalah D′(–10, 11).
10. Jawaban: cBayangan (x, y) oleh refleksi terhadap titik O(0, 0)adalah (–x, –y) sehingga:P(–7, 9) 0M→ (7, –9)
11. Jawaban: dBayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadapsumbu Y adalah P′(2, 5).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadapsumbu X adalah P′(–2, –5).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadap garisy = x adalah (5, –2).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadap garisy = –x adalah P′(–5, 2).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadap titikasal adalah (2, –5).Jadi, P′(–5, 2) merupakan bayangan P(–2, 5) olehrefleksi terhadap garis y = –x.
12. Jawaban: e
(x, y) Mx k=→ (2k – x, y)
(2, –6) Mx k=→ (2k – 2, –6) = (–5, –6)
Diperoleh:2k – 2 = –5⇔ 2k = –3
⇔ k = –32
Jadi, nilai k = –32 .
13. Jawaban: dA(4, –11) XM→ A′(4, 11)
A′(4, 11) Y 3M =→ A′′(4, 2 · 3 – 11) = A′′(4, –5)Jadi, bayangannya adalah A′′(4, –5).
14. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada garis 2y – 5x = 15.Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapsumbu Y adalah (x′, y′) = (–x, y).Diperoleh:x′ = –x ⇔ x = –x′y′ = y ⇔ y = y′Substitusikan x = –x′ dan y = y′ ke persamaan2y – 5x = 15.
2y – 5x = 15⇔ 2y′ – 5(–x′) = 15⇔ 2y′ + 5x′ = 15⇔ 2y + 5x = 15Jadi, persamaan bayangan garis adalah 2y + 5x = 15.
15. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada persamaanx2 + y2 – 5x + 7y – 25 = 0.Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –x adalah (x′, y′) = (–y, –x).Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = –x ⇔ x = –y′Substitusikan x = –y′ dan y = –x′ ke persamaanx2 + y2 – 5x + 7y – 25 = 0.
x2 + y2 – 5x + 7y – 25 = 0⇔ (–y′)2 + (–x′)2 – 5(–y′) + 7(–x′) – 25 = 0⇔ (y′)2 + (x′)2 + 5y′ – 7x′ – 25 = 0⇔ y2 + x2 + 5y – 7x – 25 = 0⇔ x2+ y2 – 7x + 5y – 25 = 0Jadi, persamaan bayangannya adalah x2 + y2
– 7x + 5y – 25 = 0.
16. Jawaban: dBayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapsumbu Y adalah (x′, y′) = (–x, y).x′ = –x ⇔ x = –x′y′ = y ⇔ y = y′Substitusikan x = –x′ dan y = y′ ke persamaanparabola.y = x2 + 2x – 5⇔ y′ = (–x′)2 + 2(–x′) – 5⇔ y′ = (x′)2 – 2x′ – 5⇔ y = x2 – 2x – 5Jadi, persamaan bayangan parabola adalahy = x2 – 2x – 5.
17. Jawaban: eA(3, –9) R[O(0, 0), 90 ]°→ A′(x′, y′) = A′(9, 3)Jadi, koordinat titik bayangannya adalah A′(9, 3).
18. Jawaban: aDiketahui titik C′(–8, 10) sehingga diperoleh:
x ′ = x · cos α – y · sin α⇔ –8 = x · cos (–270°) – y · sin (–270°)⇔ –8 = 0 – y · 1⇔ y = 8
y ′ = x · sin α + y · cos α⇔ 10 = x · sin (–270°) + y · cos (–270°)⇔ 10 = x + 0⇔ x = 10Jadi, koordinat titik C(10, 8).
19. Jawaban: bB(6, 8) R[O(0, 0), 30 ]°→ B′(x′, y′) = B′(a, b + 1)x ′ = x cos α – y sin α
= 6 · cos (30°) – 8 · sin (30°)
= 6 · 12
3 – 8 · 12
= 3 3 – 4
87Matematika Kelas XI
y ′ = x sin α + y cos α= 6 · sin (30°) + 8 · cos (30°)
= 6 · 12 + 8 ·
12
3
= 3 + 4 3Diperoleh a = 3 3 – 4 dan b + 1 = 3 + 4 3 ataub = 2 + 4 3 .a + b = ( 3 3 – 4) + (2 + 4 3 )
= 7 3 – 2Jadi, nilai a + b = 7 3 – 2.
20. Jawaban: cUntuk rotasi pertama diperoleh:
D(7, 1) R[O(0, 0), 90 ]°→ D′(x′, y′) = D′(–1, 7)Bayangan titik D′ oleh rotasi kedua adalahD′′(x′′, y′′). Diperoleh:x′′ = x′ cos α – y′ sin α
= (–1) · cos (–45°) – 7 · sin (–45o)
= (–1) · 12
2 + 7 · 12
2 = 3 2
y′′ = x′ sin α + y′ cos α= (–1) · sin (–45°) + 7 · cos (–45°)
= 12
2 + 7 · 12
2 = 4 2
Jadi, koordinat titik D′′( 3 2 , 4 2 ).
21. Jawaban: c
Bayangan titik (x, y) oleh rotasi [O(0, 0), 23 π]
sebagai berikut.x ′ = x cos α – y sin α
= 8 · cos 23 π – (–6) · sin
23 π
= 8 · (–12) + 6 ·
12
3
= –4 + 3 3y ′ = x sin α + y cos α
= 8 · sin 23 π + (–6) · cos
23 π
= 8 · 12
3 – 6 · (–12)
= 4 3 + 3Jadi, bayangan titik B(8, –6) adalah (–4 + 3 3 ,4 3 + 3).
22. Jawaban: eBayangan (xQ, yQ) oleh rotasi [P(–1, 3), –90°]sebagai berikut.x ′ = (x – a) cos α – (y – b) sin α + a
= (6 + 1) · cos (–90°) – (–3 – 3) · sin (–90°) – 1= 0 + 6 · (–1) – 1 = –7
y ′ = (x – a) sin α + (y – b) cos α + b= (6 + 1) · sin (–90°) + (–3 – 3) · cos (–90°) + 3= 7 · (–1) + 0 + 3 = –4
Jadi, bayangan titik Q adalah Q′(–7, –4).
23. Jawaban: aAmbil titik (x, y) yang terletak pada garis 2y – 3x = 18.
(x, y) R[O(0, 0), 90 ]°→ (x′, y′) = (–y, x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = xSubstitusikan y = –x′ dan x = y′ ke persamaan2y – 3x = 18.
2y – 3x = 18⇔ 2 · (–x′) – 3y′ = 18⇔ –2x′ – 3y′ = 18⇔ 2x + 3y = –18Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah2x + 3y = –18.
24. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada garis 3x + 2y – 4= 0 dan (x′, y′) adalah bayangan titik (x, y) oleh
rotasi [O(0, 0), 2π
] .
(x, y) 2R[O(0, 0), ]π
→ (x′, y′) = (–y, x)
Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′x = y′Substitusikan y = –x′ dan x = y′ ke persamaan 3x +2y – 4 = 0.
3x + 2y – 4 = 0⇔ 3y′ + 2(–x′) – 4 = 0⇔ 3y′ – 2x′ – 4 = 0⇔ 2x′ – 3y′ + 4 = 0⇔ 2x – 3y + 4 = 0Jadi, bayangannya adalah 2x – 3y + 4 = 0.
25. Jawaban: d
Bayangan titik A(–4, 11) oleh dilatasi [P(2, –1), 12 ]
sebagai berikut.x ′ = kx – ka + a
= 12 · (–4) –
12 · 2 + 2
= –2 – 1 + 2= –1
y ′ = ky – kb + b
= 12 · 11 –
12 · (–1) – 1
= 112 +
12 – 1
= 5Jadi, bayangan titik A adalah (–1, 5).
26. Jawaban: eDiketahui P(4, 32) sehingga a = 4, b = 32.Dari titik B(16, –12) dan B′(7, 21) diperoleh x = 16,y = –12, x′ = 7, dan y′ = 21.
88 Transformasi Geometri
x ′ = kx – ka + a⇔ 7 = k · 16 – k · 4 + 4⇔ 7 = 12k + 4⇔ 12k = 3
⇔ k = 14
Jadi, nilai k = 14 .
27. Jawaban: dMisalkan P(a, b)
x ′ = kx – ka + a⇔ –11 = 3 · (–5) – 3a + a⇔ –11 = –15 – 2a⇔ –2a = 4⇔ a = –2
y ′ = ky – kb + b⇔ 4 = 3 · 2 – 3b + b⇔ 4 = 6 – 2b⇔ –2b = –2⇔ b = 1Jadi, koordinat titik P(–2, 1).
28. Jawaban: eDiketahui Q(–9, 12), pusat dilatasi O(0, 0), danQ′(3, –4).
x ′ = kx⇔ 3 = k · (–9)
⇔ k = – 13
k = – 13
sehingga 6k = –2.Bayangan P(–7, 5) oleh [O(0, 0), 6k] = [O(0, 0), –2]sebagai berikut.x ′ = kx
= –2 · (–7)= 14
y ′ = ky= –2 · 5= –10
Jadi, bayangan titik P adalah (14, –10).
29. Jawaban: dAmbil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran x2 +(y – 4)2 = 16.Bayangan titik (x, y) oleh dilatasi dengan pusatO(0, 0) dan faktor skala 3 sebagai berikut.x ′ = kx
= 3xy ′ = ky
= 3y
Diperoleh x = x3′ dan y = y
3′ .
Substitusikan x = x3′ dan y = y
3′ ke persamaan
x2 + (y – 4)2 = 16.
x2 + (y – 4)2 = 16
⇔2x
3′
+
2y4
3′ −
= 16
⇔2(x )
9′ +
2y 123
′ −
= 16
⇔2(x )
9′ +
2(y 12)9
′ − = 16
⇔ (x′)2 + (y′ – 12)2 = 144⇔ x2 + (y – 12)2 = 144Jadi, persamaan bayangannya adalahx2 + (y – 12)2 = 144.
30. Jawaban: bAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan
2(x 1)5− +
2(y 6)10− = 1.
Titik (x, y) didilatasi dengan pusat (2, 3) dan faktorskala 2 sehingga diperoleh:x ′ = kx – ka + a
= 2x – 2 · 2 + 2= 2x – 2
y ′ = ky – kb + b= 2y – 2 · 3 + 3= 2y – 3
Diperoleh:x ′ = 2x – 2
⇔ x = x 22
′ +
y′ = 2y – 3
⇔ y = y 32
′ +
Substitusikan x = x 22
′ + dan y = y 32
′ + ke persama-
an 2(x 1)
5− +
2(y 6)10− = 1.
2(x 1)5− +
2(y 6)10− = 1
⇔( )2
x + 22
1
5
′
− +
( )2y + 3
26
10
′
−= 1
⇔( )22x + 2
22
5
′
− +
( )212y + 322
10
′
−= 1
⇔( )2x
2
5
′
+ ( )2y 9
2
10
′ −
= 1
⇔2(x )
4
5
′
+ 2(y 9)
4
10
′ +
= 1
⇔2(x )
20′ +
2(y 9)40
′ + = 1
⇔2x
20 +
2(y 9)40+ = 1
Jadi, persamaan bayangan elips tersebut2x
20 +
2(y 9)40+ = 1.
89Matematika Kelas XI
B. Uraian
1. a. A(17, –7) T ( 10, 12)= −→ A′(17 – 10, –7 + 12)= A′(7, 5)Jadi, A′(7, 5)
b. B(8, 19) T ( 10, 12)= −→ B′(8 – 10, 19 + 12) =B′(–2, 31)Jadi, B′(–2, 31)
c. C(–18, 4) T ( 10, 12)= −→ C′(–18 – 10, 4 + 12)
= C′(–28, 16)Jadi, C′(–28, 16).
2. a. A(5, –9) T ( 8, 7)= − −→ A′(5 – 8, –9 – 7)= A′(–3, –16)Diperoleh A′(2a + 1, b – 5) = A′(–3, –16)sehingga:
2a + 1 = –3⇔ 2a = –4⇔ a = –2
b – 5 = –16⇔ b = –11Jadi, nilai a dan b berturut-turut –2 dan –11.
b. A′(–3, –16) T ( 8, 7)= − −→ A′′(–3 – 8, –16 – 7)= A′′(–11, –23)Jadi, A′′(–11, –23).
3. a. Misalkan translasi T = (a, b), maka:x ′ = x + a
⇔ 4 = 2 + a⇔ a = 2
y ′ = y + b⇔ 1 = 5 + b⇔ b = –4Jadi, translasi T = (2, –4).
b. Koordinat titik A(2, 1).A(2, 1) T (2, 4)= −→ A′(2 + 2, 1 – 4) = A′(4, –3)
Jadi, koordinat bayangan titik A adalahA′(4, –3).
c. Koordinat titik B′(–3, 4).B(x, y) T (2, 4)= −→ B′(x + 2, y – 4)
x + 2 = x + a⇔ x = 2 + a
y – 4 = 4⇔ y = 8Jadi, koordinat titik B(–5, 8).
4. a. A(16, –9) XM→ A′(16, 9)Jadi, A′(16, 9).
b. A(16, –9) y xM = −→ A′(9, –16)Jadi, A′(9, –16).
5. a. A(a + 1, 2b – 3) y xM =→ A′(2b – 3, a + 1) =A′(–9, –7)
Diperoleh:2b – 3 = –9
⇔ 2b = –6⇔ b = –3
a + 1 = –7⇔ a = –82a+ 3b= 2 · (–8) + 3 · (–3)
= –16 – 9= –25
Jadi, nilai 2a + 3b = –25b. Diketahui a = –8, b = –3, dan A(a + 1, 2b – 3)
sehingga A(–7, –9).
A(–7, –9) T ( 1, 5)= −→ A′(–7 – 1, –9 + 5)= A′(–8, –4)Jadi, bayangan titik A oleh translasiT = (–1, 5) adalah A′(–8, –4).
6. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis g ≡ x + y = 1a. Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan
terhadap titik A(1, 2):(x, y) (1, 2)M→ (x′, y′) = (2 × 1 – x, 2 × 2 – y)= (2 – x, 4 – y)Diperoleh:x′ = 2 – x ⇔ x = 2 – x′ . . . (1)y′ = 4 – y ⇔ y = 4 – y′ . . . (2)Substitusikan x = 2 – x′ dan y = 4 – y′ kepersamaan garis g ≡ x + y = 1.x + y = 1⇔ (2 – x′) + (4 – y′) = 1⇔ 6 – x′ – y′ = 1⇔ x′ + y′ = 5⇔ x + y = 5Jadi, bayangan garis g oleh pencerminanterhadap titik A(1, 2) adalah x + y = 5.
b. (x, y) (x, x 1)M +→ (x′, y′) = (2x – x, 2(x + 1) – y)Diperoleh:x ′ = 2x – x
= xy ′ = 2(x + 1) – y
⇔ y ′ = 2x + 2 – y⇔ y = 2x + 2 – y′⇔ y = 2x′ + 2 – y′Substitusikan x = x′ dan y = 2x′ + 2 – y′ kepersamaan x + y = 1.
x + y = 1⇔ x′ + (2x′ + 2 – y′) = 1⇔ 3x′ + 2 – y′ = 1⇔ 3x′ – y′ + 1 = 0⇔ 3x – y + 1 = 0Jadi, persamaan bayangan adalah 3x – y + 1= 0.
90 Transformasi Geometri
7. Diketahui titik D(–14, 1) sehingga diperoleh:x ′ = x cos α – y sin α
= (–14) · cos (60°) – 1 · sin (60°)
= (–14) · 12 – 1 ·
12
3
= –7 – 12
3
y ′ = x sin α + y cos α= (–14) · sin (60°) + 1 · cos (60°)
= (–14) · 12
3 + 1 · 12
= –7 3 + 12
Jadi, bayangan titik D adalah D′(–7 – 12
3 ,
–7 3 + 12 ).
8. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25.(x, y) R[O(0, 0), 90 ]°→ (x′, y′) = (–y, x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = xSubstitusikan y = –x′ dan x = y′ ke persamaan(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25.
(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25⇔ (y′ + 1)2 + ((–x′) + 3)2 = 25⇔ (y′ + 1)2 + (–(x′ – 3))2 = 25⇔ (y′ + 1)2 + (x′ – 3)2 = 25⇔ (y + 1)2 + (x – 3)2 = 25⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebutadalah (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25.
9. a. x ′ = kx – ka + a
= 13 · 6 –
13 · (–12) + (–12)
= 2 + 4 – 12 = –6y ′ = ky – kb + b
= 13 · (–15) –
13 · 3 + 3
= –5 – 1 + 3 = –3Jadi, bayangannya adalah A′(–6, –3).
b. x ′ = kx – ka + a= 2 · 6 – 2 · 6 + 6= 12 – 12 + 6 = 6
y ′ = ky – kb + b= 2 · (–15) – 2 · 7 + 7= –30 – 14 + 7 = –37
Jadi, bayangannya adalah A′(6, –37).
10. a. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x + 3)2 + (y + 7)2 = 16.Bayangan titik (x, y) oleh dilatasi dengan pusatO(0, 0) dan faktor skala 4 sebagai berikut.x ′ = kx = 4xy ′ = ky = 4y
Diperoleh x = x4′ dan y =
y4′.
Substitusikan x = x4′ dan y =
y4′ ke persama-
an (x + 3)2 + (y + 7)2 = 16.(x + 3)2 + (y + 7)2 = 16
⇔2x
43′
+ +
2y4
7′
+ = 16
⇔2x 12
4′ +
+
2y 284
′ +
= 16
⇔2(x 12)
16′ + +
2(y 28)16
′ + = 16
⇔ (x′ + 12)2 + (y′ + 28)2 = 256⇔ (x + 12)2 + (y + 28)2 = 256Jadi, persamaan bayangannya adalah(x + 12)2 + (y + 28)2 = 256.
b. Diketahui jari-jari bayangan lingkaran = 256= 16 sehingga luasnya:L = π r2
= 3,14 · 256= 803,84
Jadi, luas bayangan lingkaran tersebut803,84 satuan luas.
91Matematika Kelas XI
Turunan Fungsi
• Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri dalammenyelesaikan masalah.
• Berperilaku jujur dan bertanggung jawab dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial.• Menggunakan konsep turunan fungsi untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal.• Menggunakan konsep turunan fungsi untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi.• Menentukan biaya minimum produksi.• Menentukan luas atau volume maksimum suatu bangun.
• Menjelaskan konsep turunan fungsi.• Menjelaskan aturan turunan fungsi aljabar dari aturan
limit fungsi.• Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi.• Menjelaskan aturan rantai.• Berdiskusi menentukan turunan fungsi dengan aturan
rantai.
Turunan Fungsi Aljabar
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. mendeskripsikan konsep turunan dengan menggunakan konteks matematika;2. menjelaskan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi;3. menjelaskan gradien garis singgung, persamaan garis singgung, dan garis normal;4. menjelaskan fungsi naik dan fungsi turun;5. menjelaskan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum, dan titik belok);6. menerapkan permasalahan yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik:1. menampilkan sikap rasa ingin tahu dan kritis dalam mempelajari turunan fungsi;2. berperilaku disiplin dan bertanggung jawab menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.
Penggunaan Turunan Fungsi
• Menjelaskan gradien garis singgung.• Menjelaskan persamaan garis singgung dan garis
normal.• Menjelaskan fungsi naik dan fungsi turun.• Menjelaskan titik stasioner.• Menjelaskan nilai maksimum dan minimum.• Berdiskusi menentukan persamaan garis singgung
dan garis normal.
92 Turunan Fungsi
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: d
f(x) = 5x3 – 3x2 – 5x + 3f′(x) = 5 · 3x2 – 3 · 2x – 5
= 15x2 – 6x – 5Substitusikan x = 2 ke dalam f′(x).f′(x) = 15x2 – 6x – 5⇔ f′(2) = 15 · 22 – 6 · 2 – 5
= 60 – 12 – 5= 43
Jadi, nilai f′(2) = 43.
2. Jawaban: d
Misalkan: u = 2x – 5 maka u′ = 2
v = 3x – 4 maka v′ = 3
Turunan f(x) = uv adalah:
f′(x) = 2vu uv
v′ ′−
= 2(3x 4) · 2 (2x 5) · 3
(3x 4)− − −
−
= 2
6x 8 6x 15(3x 4)− − +
−
= 27
(3x 4)−
Nilai f′(1) = 27
(3 · 1 4)− = 71 = 7.
3. Jawaban: dy = 2x3 – 4x2 + 2y ′ = 2 · 3x2 – 4 · 2x = 6x2 – 8x
4. Jawaban: cf(x) = (3x2 – 7)4
Misalkan: u = 3x2 – 7 maka f(x) = u4
dudx = u′ = 6x dan
df(x)du = 4u3
f′(x) = df(x)dx
= df(x)du ·
dudx
= 4u3 · 6x= 24x(3x2 – 7)3
5. Jawaban: eMisalkan: u = 2x2 – 3x + 1 maka f(x) = u4
dudx = 4x – 3 dan
df(x)du = 4u3
f′(x) = df(x)dx
= df(x)du ·
dudx
= 4u3 · (4x – 3)= 4(2x2 – 3x + 1)3(4x – 3)= 4(4x – 3)(2x2 – 3x + 1)3
= (16x – 12)(2x2 – 3x + 1)3
6. Jawaban: dMisalkan: u = 2x – 1 maka u′ = 2
v = (1 – 4x)5 maka v′ = 5 · (1 – 4x)4 · (–4)= –20(1 – 4x)4
h′(x) = vu′ + uv′= (1 – 4x)5 · 2 + (2x – 1) · (–20(1 – 4x)4)= 2(1 – 4x)4((1 – 4x) – 10(2x – 1))= 2(1 – 4x)4(11 – 24x)= (22 – 48x)(1 – 4x)4
Jadi, turunan pertama fungsi h(x) adalah h′(x)= (22 – 48x)(1 – 4x)4.
7. Jawaban: c
f(x) = x + x = x 21
+ x
f′(x) = 12 x– 2
1
+ 1 = 12 x
+ 1
f′(4) = 12 4
+ 1 = 14 + 1 =
54
8. Jawaban: a
f(x) = 3 23 (2x 3x 3)+ + = (2x3 + 3x + 3)23
Misalkan: u = 2x3 + 3x + 3 maka f(u) = u23 .
f′(x) = df(x)dx
= df(x)du ·
dudx
= 23 u– 1
3 · (6x + 3)
= 13
2(2x 1)
u
+
= 133
2(2x 1)
(2x 3x 3)
+
+ +
= 33
2(2x 1)
(2x 3x 3)
+
+ +
93Matematika Kelas XI
f′(1) = 33
2(2 · 1 1)
2 · 1 3 · 1 3
+
+ +
= 2 · 3
2
= 3
Jadi, nilai f′(1) = 3.
9. Jawaban: eMisalkan: a = x + 1 ⇔ x = a – 1f(x + 1) = 3x2 + 5x + 7⇔ f(a) = 3(a – 1)2 + 5(a – 1) + 7
= 3(a2 – 2a + 1) + 5a – 5 + 7= 3a2 – 6a + 3 + 5a + 2= 3a2 – a + 5
f′(a) = 6a – 1f′(x – 1) = –x2
⇔ 6(x – 1) – 1 = –x2
⇔ 6x – 6 – 1 = –x2
⇔ x2 + 6x – 7 = 0⇔ (x + 7)(x – 1) = 0⇔ x + 7 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –7 atau x = 1Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 dan –7.
10. Jawaban: af′(x) = 3px2 – 2xf′′(x) = 6px – 2f′′(1) = 10 ⇔ 6p · 1 – 2 = 10
⇔ 6p = 12⇔ p = 2
Diperoleh f′(x) = 3 · 2x2 – 2x = 6x2 – 2x.f′(–1) = 6 · (–1)2 – 2 · (–1)
= 6 + 2= 8
Jadi, nilai f′(–1) = 8.
11. Jawaban: cf(x) = ax2 – (a + 1)x + 8f′(x) = 2ax – (a + 1)f′(a) = 14 ⇔ 2a · a – (a + 1) = 14
⇔ 2a2 – a – 1 = 14⇔ 2a2 – a – 15 = 0⇔ (2a + 5)(a – 3) = 0⇔ 2a + 5 = 0 atau a – 3 = 0
⇔ a = –52 atau a = 3
Oleh karena a > 0 maka a = 3.Jadi, nilai a = 3.
12. Jawaban: cf′(x) = 4x2 + 18x – 11
f′(a) = –1⇔ 4a2 + 18a – 11 = –1⇔ 4a2 + 18a – 10 = 0
⇔ (4a – 2)(a + 5) = 0⇔ 4a – 2 = 0 atau a + 5 = 0
⇔ a = 12 atau a = –5
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –5 atau 12 .
13. Jawaban: af(x) = 2x3 + nx2 + 4x + 3f′(x) = 6x2 + 2nx + 4f′′(x) = 12x + 2nf′′(–1) = –22 ⇔ 12 · (–1) + 2n = –22
⇔ 2n = –10⇔ n = –5
14. Jawaban: eCara 1:
Misalkan: a = 3 – 2x ⇔ x = 3 a
2−−−−
f(3 – 2x) = (1 + 3x)4
⇔ f(a) = (1 + 3(3 a
2−−−− ))4
= (2 9 3a
2+ −
)4
= (11 3a
2−−−− )4
f′(a) = 4 · (11 3a
2−−−− )3 · (–
32 )
= –6 · (11 3a
2−−−− )3
Substitusikan a = 3 ke dalam f′(a).
f′(3) = –6 · (11 3 · 3
2−−−− )3
= –6 · (11 9
2−−−− )3
= –6 · (1)3
= –6Cara 2:Misalkan: u = 3 – 2x, v = (1 + 3x)4, dan w = 1 + 3xmaka f(u) = v(w) dan v = w4.Jika kedua ruas persamaan f(u) = v(w) diturunkan,diperoleh:
f′(u) · u′ = v′(w) · w′⇔ f′(3 – 2x) · (–2) = 4w3 · 3⇔ f′(3 – 2x) = –6w3
⇔ f′(3 – 2x) = –6(1 + 3x)3
f′(3) = f′(3 – 2 · 0)= –6(1 + 3 · 0)3
= –6 · 1= –6
Jadi, nilai f′(3) = –6.
94 Turunan Fungsi
15. Jawaban: aMisalkan: u = 2x – 1 maka u′ = 2
v = x 1+ maka v′ = 1
2 x 1+
Turunan f(x) = uv adalah
f′(x) = 2vu uv
v′ ′−
= 1
2 x 12
x 1 · 2 (2x 1) ·
( x 1)+
+ − −
+
= 4(x 1) (2x 1)
2(x 1) x 1
+ − −+ +
= 3
4x 4 2x 1
2 (x 1)
+ − +
+
= 3
2x 5
2 (x 1)
+
+
f′(x – 1) = 3
2(x 1) 5
2 ((x 1) 1)
− +
− +
= 3
2x 2 5
2 x
− +
= 3
2x 3
2 x
+
16. Jawaban: bh(x) = (g f)(x)
= g(f(x))= g(2x2 + 4x)
= 22x 4x 3+ −
= (2x2 + 4x – 3) 21
Misalkan: u = 2x2 + 4x – 3 maka h(x) = u 21 .
h′(x) = dh(x)
dx
= dh(x)
du · dudx
= 12 u– 2
1 · (4x + 4)
= 12
2x 2
u
+
= 2
2x 2
2x 4x 3
+
+ −
Jadi, h′(x) = 2
2x 2
2x 4x 3
+
+ −.
17. Jawaban: a
Misalkan: h(x) = f(x)g(x) = 2x – x2
h(1) = f(1)g(1) = 2 · 1 – 12
⇔ f(1)2 = 1
⇔ f(1) = 2g′(1) = f′(1) = f(1) = 2Jadi, nilai g′(1) = 2.
18. Jawaban: d
t = x 1− ⇔ t2 = x – 1⇔ x = t2 + 1
dydt =
dydx ·
dxdt
= 1
2 x · 2t
= 2
t
t 1+
19. Jawaban: d
x = t + 1 ⇔ t = x – 1⇔ t = (x – 1)2
⇔ dtdx = 2(x – 1)
dydx =
dydt ·
dtdx
= (3t2 – 4t) · 2(x – 1)= (3(x – 1)4 – 4(x – 1)2) · 2(x – 1)= 2(x – 1)(x – 1)2(3(x – 1)2 – 4)= 2(x – 1)3(3(x2 – 2x + 1) – 4)= 2(x – 1)3(3x2 – 6x + 3 – 4)= 2(x – 1)3(3x2 – 6x – 1)= (x – 1)3(6x2 – 12x – 2)
20. Jawaban: c
g(x) = x x 1− + = 1 12 2(x (x 1) )− +
Misalkan: u = x – 12(x 1)+ maka g(x) =
12u .
dudx = 1 –
12
12(x 1)
−+ · 1
= 1 – 1
2 x 1++++
= 2 x 1 1
2 x 1+ −
++++
95Matematika Kelas XI
dg(x)dx =
dg(x)du ·
dudx =
12
12u
− ·
2 x 1 12 x 1
+ −++++
= 1
2 x x 1− + · 2 x 1 1
2 x 1+ −
++++
= 2 x 1 1
4 (x 1)(x x 1)
+ −
+ − +
Nilai turunan g(x) di x = 3 adalah
dg(3)dx
= 2 3 1 1
4 (3 1)(3 3 1)
+ −
+ − +
= 2 2 14 4(3 2)
⋅ −−−−−
= 34 4
= 34 2⋅⋅⋅⋅
= 38
B. Uraian1. f(t) = t3 – at2 + b
f′(t) = 3t2 – 2atf′(2) = –4
⇔ 3 · 22 – 2a · 2 = –4⇔ 12 – 4a = –4⇔ –4a = –16⇔ a = 4
f(1) = 2⇔ 13 – a · 12 + b = 2⇔ 1 – 4 · 1 + b = 2⇔ –3 + b = 2⇔ b = 5Nilai a + b = 4 + 5 = 9.Jadi, nilai a + b = 9.
2. f(x) = ax3 – 5x2 + (a + b)x – 4f′(x) = 3ax2 – 5 · 2x + (a + b)
= 3ax2 – 10x + a + bf′′(x) = 3a · 2x – 10f′′(a) = 14 ⇔ 3a · 2a – 10 = 14
⇔ 6a2 = 24⇔ a2 = 4
⇔ a = ± 4⇔ a = ± 2
Oleh karena a < 0 maka a = –2.f′(b) = 1 ⇔ 3ab2 – 10b + a + b = 1
⇔ 3 · (–2)b2 – 10b – 2 + b = 1⇔ –6b2 – 9b – 3 = 0⇔ 3(2b2 + 3b + 1) = 0⇔ (2b + 1)(b + 1) = 0⇔ 2b + 1 = 0 atau b + 1 = 0⇔ 2b = –1 atau b = –1
⇔ b = –12 atau b = –1
Oleh karena b bilangan bulat maka b = –1.Nilai a + b = –2 + (–1) = –3.Jadi, nilai a + b = –3.
3. g(x) = x x 1+ = 2x (x 1)+ = (x3 + x2)12
Misalkan: u = x3 + x2 maka g(x) = u12 .
dg(x)dx =
dg(x)du ·
dudx
= 12 u– 1
2 · (3x2 + 2x)
= x(3x 2)
2 u
+
= 3 2
x(3x 2)
2 x x
+
+
= 2
x(3x 2)
2 x (x 1)
+
+
= x(3x 2)
2x x 1
++
= 3x 2
2 x 1
++
ddx g(a + 1) = a 2+
⇔ 3(a 1) 2
2 a 1 1
+ ++ +
= a 2+
⇔ 3a + 3 + 2 = 2 a 2+ · a 2+⇔ 3a + 5 = 2(a + 2)⇔ 3a + 5 = 2a + 4⇔ a = –1Jadi, nilai a = –1.
4. y = 3t2 maka dydt = 6t
x = 2t2 + t – 1 maka dxdt = 4t + 1 ⇔
dtdx =
14t 1++++
dydx =
dydt ·
dtdx
= 6t · 1
4t 1++++
= 6t
4t 1++++
Substitusikan x = 2 ke dalam x = 2t2 + t – 1diperoleh:
2 = 2t2 + t – 1⇔ 2t2 + t – 3 = 0⇔ (2t + 3)(t – 1) = 0⇔ 2t + 3 = 0 atau t – 1 = 0
⇔ t = –32 atau t = 1
96 Turunan Fungsi
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:f′(x) = 2x + 1Kurva f(x) = x2 + x – 20 menyinggung garis dititik A(3, –8) maka gradien garis adalah m = f′(xA).m = f′(xA) = f′(3)
= 2 · 3 + 1= 7
Jadi, gradien garis adalah 7.
2. Jawaban: aKurva f(x) = 3x2 + 2x – 1 melalui titik P(a, 4) makaf(a) = 4.
f(a) = 3a2 + 2a – 1⇔ 4 = 3a2 + 2a – 1⇔ 3a2 + 2a – 5 = 0⇔ (3a + 5)(a – 1) = 0⇔ 3a + 5 = 0 atau a – 1 = 0
⇔ a = –53 atau a = 1
Oleh karena a < 0 maka a = –53 sehingga koordinat
titik P(–53 , 4).
Persamaan gradien kurva:m = f′(x) = 6x + 2
Gradien garis singgung kurva di titik P(–53 , 4):
m = f′(xP) = f′(– 53 ) = 6 · (–
53 ) + 2 = –8
Jadi, gradien garis singgung kurva di titik P(–53 , 4)
adalah –8.
3. Jawaban: dPersamaan gradien garis singgung kurva:m = y′ = 2x – 4Gradien garis singgung kurva di titik (1, –8):m = y′(1) = 2 · 1 – 4 = –2Persamaan garis singgung melalui titik (1, –8) danbergradien m = –2 sebagai berikut.
y + 8 = –2(x – 1)⇔ y = –2x + 2 – 8⇔ y = –2x – 6Jadi, persamaan garis singgung kurva yang melaluititik (1, –8) adalah y = –2x – 6.
4. Jawaban: dGradien garis yang sejajar garis y + 2x = 5 adalahm = –2.
Oleh karena t > 0 maka t = 1.
Substitusikan t = 1 ke dalam dydx =
6t4t 1++++ diperoleh:
dydx = 6 1
4 1 1⋅⋅⋅⋅
⋅ + = 6
5
Jadi, nilai dydx di x = 2 adalah 6
5.
5. Misalkan: u = at2 dan v = bt – 3 maka f(t) = uv .
f′(t) = 2vu uv
v′ ′−
= 2
2(bt 3) · 2at at · b
(bt 3)− −
−
= 2 2
22abt 6at abt
(bt 3)− −
−
= 2
2abt 6at(bt 3)
−−
f(1) = –1 ⇔2a · 1
b · 1 3− = –1
⇔ a = 3 – b
f′(1) = –4 ⇔2
2ab ·1 6a ·1
(b ·1 3)−− = –4
⇔ ab – 6a = –4(b – 3)2
⇔ (3 – b)b – 6(3 – b) = –4(b2 – 6b + 9)⇔ 3b – b2 – 18 + 6b = –4b2 + 24b – 36⇔ 3b2 – 15b + 18 = 0⇔ 3(b2 – 5b + 6) = 0⇔ 3(b – 3)(b – 2) = 0⇔ b – 3 = 0 atau b – 2 = 0⇔ b = 3 atau b = 2
Oleh karena b ≠ 3 maka b = 2.Dengan demikian, diperoleh:a = 3 – b = 3 – 2 = 1
f′(t) = 2
21· 2 · t 6 · 1· t
(2t 3)−
− = 2
22t 6t(2t 3)
−−
(f′ f)(1) = f′(f(1)) = f′(–1)
= 2
22 · ( 1) 6 · ( 1)
(2 · ( 1) 3)− − −
− −
= 22 · 1 6
( 2 3)+
− − = 28
( 5)− = 8
25
Jadi, nilai (f′ f)(1) = 8
25 .
97Matematika Kelas XI
Garis g sejajar garis y + 2x = 5 dan menyinggungkurva f(x) = 2x2 – 6x + 1 maka gradien garis g:
mg = f′(x) = –2⇔ 4x – 6 = –2⇔ 4x = 8⇔ x = 2Diperoleh absis titik P, xp = 2.Ordinat titik P:yp = f(2)
= 2 · 22 – 6 · 2 + 1= 8 – 12 + 1= –3
Jadi, koordinat titik P(2, –3).
5. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 6x – aGaris y = (a + 2)x – 2b mempunyai gradienm = a + 2.Oleh karena garis y = (a + 2)x – 2b menyinggungkurva di titik (1, a) maka m = f′(1).
m = f′(1)⇔ a + 2 = 6 · 1 – a⇔ 2a = 4⇔ a = 2Jadi, nilai a = 2.
6. Jawaban: bPersamaan parabola: y = f(x) = 4x – x2.Turunan pertamanya: y′ = f′(x) = 4 – 2x.Gradien garis singgung parabola di titik M(1, 3)adalah m = y′ = f′(xM) = f′(1).m = f′(1) = 4 – 2 · 1 = 2Persamaan garis singgung parabolay = 4x – x2 di titik M(1, 3) sebagai berikut.
y – yM = m(x – xM)⇔ y – 3 = 2(x – 1)⇔ y = 2x – 2 + 3⇔ y = 2x + 1Substitusikan y = 2x + 1 ke dalam y = x2 – 6x + kdiperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut.
2x + 1 = x2 – 6x + k⇔ x2 – 8x + (k – 1) = 0Garis menyinggung parabola maka nilaidiskriminan (D = b2 – 4ac) persamaan kuadratsama dengan nol.Persamaan kuadrat x2 – 8x + (k – 1) = 0 mem-punyai nilai a = 1, b = –8, dan c = k – 1.D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0
⇔ (–8)2 – 4 · 1 · (k – 1) = 0⇔ 64 – 4k + 4 = 0⇔ 4k = 68⇔ k = 17
Nilai 5 – k 1− = 5 – 17 1−
= 5 – 16= 5 – 4 = 1
7. Jawaban: ePersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 3 – 2xGradien garis singgung di x = 3 adalah m = f′(3) =3 – 2 · 3 = –3.
Gradien garis normal di x = 3 adalah mn = –1m =
13 .
Ordinat titik singgung sebagai berikut.y = f(3) = 1 + 3 · 3 – 32 = 1Dengan demikian, diperoleh titik singgung (3, 1).
Persamaan garis normal di titik (3, 1) sebagaiberikut.
y – 1 = mn(x – 3)
⇔ y – 1 = 13 (x – 3)
⇔ 3y – 3 = x – 3
⇔ 3y – x = 0Jadi, persamaan garis normal kurva f(x) = 1 + 3x – x2
di x = 3 adalah 3y – x = 0.
8. Jawaban: dPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 3x2 – 4x – 2.Gradien garis singgung kurva di titik T(2, 2):m = f′(xT) = f′(2) = 3 · 22 – 4 · 2 – 2 = 2Garis normal y = ax + b mempunyai gradienmn = a.
mn = –1
f (2)′ ⇔ a = –12
Persamaan garis normal menjadi y = –12 x + b.
Garis normal melalui titik T(2, 2) diperoleh:
2 = –12 · 2 + b ⇔ 2 = –1 + b
⇔ b = 3
Nilai a + b = –12 + 3 = 2
12 .
Jadi, nilai a + b = 212 .
9. Jawaban: dFungsi f(x) turun jika f′(x) < 0.⇔ 3x2 – 6x – 9 < 0⇔ 3(x2 – 2x – 3) < 0⇔ (x – 3)(x + 1) < 0Diagram tanda f′(x) sebagai berikut.
+ + + – – – + + +
–1 3
Dari diagram tanda di atas kelihatan bahwa grafikfungsi f(x) turun pada interval –1 < x < 3.Jadi, grafik fungsi f(x) turun pada interval –1 < x < 3.
▲ ▲
▲
98 Turunan Fungsi
10. Jawaban: dFungsi f(x) monoton turun maka f′(x) tidak positif(definit negatif).Grafik definit negatif di bawah sumbu X.Fungsi f(x) stasioner untuk x = 6 maka f′(6) = 0(menyinggung sumbu X).Jadi, grafik yang benar pilihan d.
11. Jawaban: e
f(x) = 23 x3 –
12 x2 – 3x +
16
g(x) = f(1 – x) = 23 (1 – x)3 –
12 (1 – x)2 – 3(1 – x) +
16
g′(x) = 23 · 3(1 – x)2(–1) +
12 · 2(1 – x) + 3
= –2(1 – x)2 + (1 – x) + 3
Fungsi g(x) naik jika g′(x) > 0.Misalkan: p = 1 – x, diperoleh:
–2p2 + p + 3 > 0⇔ 2p2 – p – 3 < 0⇔ (2p – 3)(p + 1) < 0
⇔ –1 < p < 32
⇔ –1 < 1 – x < 32
⇔ –2 < – x < 12
⇔ –12 < x < 2
12. Jawaban: bf(x) = g(2x – 1)
= 13 (2x – 1)3 – A2(2x – 1) + 1
f′(x) = 13 · 3(2x – 1)2 · 2 – 2A2
= 2(2x – 1)2 – 2A2
Substitusikan x = 1 ke dalam f′(x) = 0.2(2x – 1)2 – 2A2 = 0
⇔ 2(2 · 0 – 1)2 – 2A2 = 0⇔ 2(1)2 – 2A2 = 0⇔ A2 = 1Substitusikan A2 = 1 ke dalam g(x).
g(x) = 13 x3 – A2x + 1
⇔ g(x) = 13 x3 – x + 1
Nilai stasioner g(x) dicapai pada saat g′(x) = 0.
g′(x) = 13 · 3x2 – 1 = 0
⇔ x2 – 1 = 0⇔ (x – 1)(x + 1) = 0⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 1 atau x = –1
Nilai maksimum fungsi dapat ditentukan denganmenggunakan turunan kedua.g′′(x) = 2xUntuk x = 1 maka g′′(1) = 2 > 0 (minimum)Untuk x = –1 maka g′′(–1) = –2 < 0 (maksimum)Nilai maksimum g(x) dicapai pada saat x = –1,diperoleh:
g(–1) = 13 · (–1)3 – (–1) + 1
= –13 + 2
= 53
Jadi, nilai maksimum g(x) adalah 53 .
13. Jawaban: bFungsi f(x) = ax3 + bx2 + 12x + 1 naik padainterval –1 < x < 2 maka f(x) stasioner di x = –1dan x = 2.f(x) stasioner di x = –1 dan x = 2 maka f′(–1) = 0dan f′(2) = 0.f′(x) = 3ax2 + 2bx + 12f′(–1) = 0 ⇔ 3a · (–1)2 + 2b · (–1) + 12 = 0
⇔ 3a – 2b = –12⇔ 3a = 2b – 12
f′(2) = 0 ⇔ 3a · 22 + 2b · 2 + 12 = 0⇔ 12a + 4b + 12 = 0⇔ 3a + b = –3⇔ 2b – 12 + b = –3⇔ 3b = 9⇔ b = 3
Dengan demikian, diperoleh nilai a sebagai berikut.3a = 2b – 12 ⇔ 3a = 2 · 3 – 12
⇔ 3a = –6⇔ a = –2
Persamaan fungsi menjadi f(x) = –2x3 + 3x2 + 12x + 1.f(–1) = –2 · (–1)3 + 3 · (–1)2 + 12 · (–1) + 1
= 2 + 3 – 12 + 1 = –6f(2) = –2 · 23 + 3 · 22 + 12 · 2 + 1
= –16 + 12 + 24 + 1 = 21Oleh karena f(–1) < f(2), nilai maksimum fungsif(x) adalah f(2) = 21.Jadi, nilai maksimum fungsi f(x) adalah 21.
14. Jawaban: cFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0 f′(x) = 6x2 – 12x = 0⇔ 6x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Untuk x = 0 maka f(0)= 2 · 03 – 6 · 02 + 3
= 3 (maksimum)Untuk x = 2 maka f(2) = 2 · 23 – 6 · 22 + 3
= –5 (minimum)
Jadi, titik balik minimum fungsi (2, –5).
99Matematika Kelas XI
15. Jawaban: bFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.
f′(x) = 6x2 – 18x – 24 = 0⇔ 6(x2 – 3x – 4) = 0⇔ (x – 4)(x + 1) = 0⇔ x – 4 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 4 atau x = –1Untuk x = 4 tidak masuk dalam interval –2 ≤ x ≤ 2.Nilai f(x) di x = –1 sebagai berikut.f(–1) = 2 · (–1)3 – 9 · (–1)2 – 24 · (–1) + 10
= –2 – 9 + 24 + 10= 23
Nilai f(x) di ujung-ujung interval –2 ≤ x ≤ 2 sebagaiberikut.f(–2) = 2 · (–2)3 – 9 · (–2)2 – 24 · (–2) + 10
= –16 – 36 + 48 + 10 = 6f(2) = 2 · 23 – 9 · 22 – 24 · 2 + 10
= 16 – 36 – 48 + 10 = –58Fungsi f(x) pada interval –2 ≤ x ≤ 2 mempunyainilai terendah –58.Jadi, pada interval –2 ≤ x ≤ 2 fungsi f(x) =2x3– 9x2 – 24x + 10 mempunyai nilai minimum–58.
16. Jawaban: bLuas sisi-sisi balok = 2x2 + 4xt = 96⇔ 4xt = 96 – 2x2
⇔ t = 296 2x
4x−
⇔ t = 24x –
12 x
Volume balok:V = x2t
= x2(24x –
12 x)
= 24x – 12 x3
Fungsi V mencapai
stasioner jika dVdx = 0.
dVdx = 24 –
32 x2 = 0
⇔ 32 x2 = 24
⇔ x2 = 16⇔ x = ±4
Diagram tanda dVdx sebagai berikut.
Dari diagram tersebut tampak bahwa fungsi Vmencapai maksimum di x = 4.Volume balok terbesar adalah V(4).
V(4) = 24 · 4 – 12 · 43
= 96 – 32 = 64 cm3
Jadi, volume balok terbesar 64 cm3.
17. Jawaban: dBiaya proyek per hari:
b(p) = (4p + 100
p – 40) juta rupiah
Biaya proyek p hari:B(p) = p · B(p)
= p(4p + 100
p – 40)= 4p2 + 100 – 40p= 4p2 – 40p + 100
Biaya proyek akan minimum jika B′(p) = 0.B′(p) = 8p – 40= 0⇔ 8p = 40⇔ p = 5Diagram tanda B′(p) sebagai berikut.
Dari diagram tanda B′(p) di atas tampak bahwafungsi B(p) mencapai minimum di p = 5.Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalamwaktu 5 hari agar biaya proyek tersebut minimum.
18. Jawaban: cBiaya setiap pasang sandal:
B(x) = (2x – 60 + 600
x ) ribu
Biaya total:T(x) = x · B(x)
= x · (2x – 60 + 600
x ) ribu
= (2x2 – 60x + 600) ribuBiaya produksi minimum terjadi pada saatT′(x) = 0.
T′(x) = 0⇔ 2 · 2x – 60 = 0⇔ 4x – 60 = 0⇔ x = 15Biaya produksi minimum:
T(x) = (2x2 – 60x + 600) ribu⇔ T(15) = (2 · 152 – 60 · 15 + 600) · 1.000
= (2 · 225 – 900 + 600) · 1.000= (450 – 900 + 600) · 1.000= 150.000
Jadi, biaya produksi total minimum per jam sebesarRp150.000,00.
�������� �����
–4 4↑
Minimum ↑Maksimum
dVdx
xx
t
��������
5
100 Turunan Fungsi
–1 1
+ – – +
3
19. Jawaban: bBiaya produksi:B(x) = (2x2 – 180x + 2.500) ribu rupiahBiaya produksi akan minimum jika B′(x) = 0.
B′(x) = 4x – 180⇔ 0 = 4x – 180⇔ 4x = 180⇔ x = 45Diagram tanda B′(x) sebagai berikut.
Dari diagram tanda B′(x) di atas tampak bahwafungsi B(x) mencapai minimum di x = 45.Jadi, biaya produksi akan minimum jika diproduksi45 unit barang.
20. Jawaban: aUkuran kotak yang terbentuk sebagai berikut.
Volume kotak:V = (30 – 2x)2 · x
= (900 – 120x + 4x2) x= 900x – 120x2 + 4x3
Fungsi V mencapai stasioner jika dVdx = 0.
dVdx = 900 – 240x + 12x2 = 0
⇔ 12(x2 – 20x + 75) = 0⇔ (x – 15)(x – 5) = 0⇔ x – 15= 0 atau x – 5 = 0⇔ x = 15 atau x = 5
Diagram tanda dVdx sebagai berikut.
Dari diagram tersebut tampak bahwa fungsi V men-capai maksimum di x = 5. Dengan demikian,volume kotak terbesar diperoleh jika x = 5.Volume kotak terbesar:V = (30 – 2 · 5)2 · 5 = (30 – 10)2 · 5
= 202 · 5 = 400 · 5 = 2.000 cm3
B. Uraian1. a. f(x) = (2x – 1)2 – (2x – 3)
= 4x2 – 4x + 1 – 2x + 3= 4x2 – 6x + 4
Kurva f(x) memotong sumbu Y jika x = 0maka:f(0) = 4 · 02 – 6 · 0 + 4 = 4Kurva memotong sumbu Y di titik T(0, 4).Gradien kurva di titik T(0, 4) adalah m = f′(0).f′(x) = 8x – 6m = f′(0) = 8 · 0 – 6 = –6Jadi, gradien garis singgung kurva di titik Tadalah –6.
b. Persamaan garis singgung di titik T(0, 4)dengan gradien m = –4 sebagai berikut.
y – yT = m(x – xT)⇔ y – 4 = –6(x – 0)⇔ y – 4 = –6x⇔ y = –6x + 4Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik Tadalah y = –6x + 4.
2. Fungsi f(x) naik pada saat f′(x) > 0.
f(x) = 2x 3x 1
++++−−−−
Misalkan: u = x2 + 3 maka u′ = 2xv = x – 1 maka v′ = 1
Turunan f(x) = uv adalah
f′(x) = 2vu uv
v′ ′−
= 2
2(x 1)(2x) (x 3)(1)
(x 1)− − +
−−−−
= 2 2
2(2x 2x) (x 3)
(x 1)− − +
−−−−
= 2
2x 2x 3
(x 1)− −
−−−− = 2(x 3)(x 1)
(x 1)− +
−−−−
Fungsi f(x) naik:
2(x 3)(x 1)
(x 1)− +
−−−− > 0
Pembuat titik nol:• x – 3 = 0 maka x = 3• x + 1 = 0 maka x = –1• x – 1 = 0 maka x = 1Penyelesaian:
⇔ –1 < x < 1 atau 1 < x < 3Dapat juga dinyatakan dengan:⇔ –1 < x < 3; x ≠ 1
��������
45
x
(30 – 2x)
30 –
2x
5 15
+ + + – – – + + +▲
▲
▲
101Matematika Kelas XI
3. Fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3 mencapai stasionerjika f′(x) = 0.
f′(x) = 3x2 + 12x – 15 = 0⇔ 3(x2 + 4x – 5) = 0⇔ (x + 5)(x – 1) = 0⇔ x + 5 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –5 atau x = 1Diagram tanda fungsi f′(x) sebagai berikut.
Dari diagram tanda di atas terlihat fungsi f(x)mencapai maksimum di x = –5 dan minimum dix = 1 sehingga (–5, f(–5)) merupakan titik balikmaksimum dan (1, f(1)) merupakan titik balikminimum.f(–5) = (–5)3 + 6 · (–5)2 – 15 · (–5) + 3
= –125 + 150 + 75 + 3 = 103f(1) = 13 + 6 · 12 – 15 · 1 + 3
= 1 + 6 – 15 + 3 = –5Jadi, titik stasioner fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3adalah (–5, 103) sebagai titik balik maksimum dan(1, –5) sebagai titik balik minimum.
4. Biaya proyek per hari:
b(x) = (x2 – 75x + 1.800 – 5.000x
) ratus ribu rupiahBiaya proyek x hari:B(x) = x · b(x)
= x(x2 – 75x + 1.800 – 5.000x
)
= (x3 – 75x2 + 1.800x – 5.000) ratus ribu rupiahB′(x) = 3x2 – 150x + 1.800Fungsi B(x) mencapai stasioner jika B′(x) = 0.
3x2 –150x + 1.800 = 0⇔ 3(x2 – 50x + 600) = 0⇔ x2 – 50x + 600 = 0⇔ (x – 30)(x – 20) = 0⇔ x – 30 = 0 atau x – 20 = 0⇔ x = 30 atau x = 20
Sketsa grafik B′(x):
Dari sketsa grafik B′(x) tampak bahwa fungsi B(x)mencapai minimum di x = 30.Jadi, proyek harus diselesaikan dalam waktu30 hari agar biaya proyek minimum.
5. Harga per unit barang:
H(x) = 16 + 2.000x
– x4
Pendapatan total:TR = x · H(x)
= x(16 + 2.000x
– x4
)
= 16x + 2.000 – 2x
4
Pendapatan akan maksimum jika dTRdx = 0.
dTRdx =16 –
x2 = 0
⇔ x2 = 16
⇔ x = 32Pendapatan maksimum perusahaan:
TR(32) = (16 · 32 + 2.000 – 232
4) · 100.000
= 2.256 · 100.000= 225.600.000
Jadi, pendapatan maksimum perusahaanRp225.600.000,00.
+ + + – – – + + +
–5 1
▲ ▲
▲
+ + + – – – + + +
20 30
▲ ▲
▲
A. Pilihan Ganda1. Jawaban: d
x 0lim→→→→
f(a) f(a x)2x
− +=
12 ·
x 0lim→→→→
f(a) f(a x)x
− +
= 12 ·
x 0lim→→→→
(f(a x) f(a))x
− + −
= –12 ·
x 0lim→→→→
f(a x) f(a)x
+ −
= –12 · f′(a)
2. Jawaban: b
f(x) = 13 x3 + 3x2 + 4x + 5
f′(x) = 13 · 3x2 + 3 · 2x + 4
= x2 + 6x + 4
3. Jawaban: bf(x) = 2x3 + x2 – 10f′(x) = 2 · 3x2 + 2x
= 6x2 + 2x
102 Turunan Fungsi
Substitusikan x = 1 ke dalam f′(x).f′(x) = 6x2 + 2x
⇔ f′(1) = 6 · 12 + 2 · 1= 6 + 2= 8
4. Jawaban: bMisalkan: u = 20x – 2 dan v = 2x – 1 maka
f(x) = uv , diperoleh u′ = 20 dan v′ = 2.
f′(x) = 2vu uv
v′ ′−
= 2(2x 1) · 20 (20x 2) · 2
(2x 1)− − −
−
= 240x 20 40x 4
(2x 1)− − +
−
= – 216
(2x 1)−
f′(1) = – 216
(2 · 1 1)− = –
161 = –16
Jadi, nilai f′(1) = –16.
5. Jawaban: aMisalkan: u = 5x – 2x2 dan v = (3x – 1)3 makaf(x) = uv, diperoleh u′ = 5 – 4x.v′ = 3(3x – 1)2 · 3 = 9(3x – 1)2
f′(x) = vu′ + uv′= (3x – 1)3 · (5 – 4x) + (5x – 2x2) · 9(3x – 1)2
= (3x – 1)2((3x – 1)(5 – 4x) + 9(5x – 2x2))= (3x – 1)2(15x – 5 – 12x2 + 4x + 45x – 18x2)= (3x – 1)2(–30x2 + 64x – 5)= –(3x – 1)2(30x2 – 64x + 5)
6. Jawaban: efg
′
(x) = 2g(x)f (x) f(x)g (x)
(g(x))′ ′−
fg
′
(0)= 2g(0)f (0) f(0)g (0)
(g(0))′ ′−
= 24 ( 4) 2 2
( 4)− ⋅ − − ⋅
−
= 1216
= 34
7. Jawaban: dh′(x) = g(x)f′(x) + f(x)g′(x)
h′(x) – f′(x)g(x) – 5
= g(x)f′(x) + f(x)g′(x) – f′(x)g(x) – 5
= f(x)g′(x) – 5
= f(x)f(x) – 5
= f2(x) – 5
8. Jawaban: d
f(3x + 2) = x x +1 = 3 2x + x = 123 2(x x )+
Jika kedua ruas persamaan diturunkan diperoleh:
f′(3x + 2) · 3 = 123 21
2(x x )
−+ · (3x2 + 2x)
⇔ 3f′(3x + 2) = 2
3 2
3x 2x
2 x x
+
+
Ambil x = 2, diperoleh:
⇔ 3f′(8) = 2
3 2
3 2 2 2
2 2 2
⋅ + ⋅
+
⇔ 3f′(8) = 12 4
2 8 4++
⇔ 3f′(8) = 16
2 12
⇔ 3 · 3f′(8) = 3 82 3
⋅
⇔ 9f′(8) = 4 3
Jadi, nilai 9f′(8) = 4 3 .
9. Jawaban: c
y = (x + 1) x
= 2(x 1) x+
= 2(x 2x 1)x+ +
= (x3 + 2x2 + x)12
y′ = 0 ⇔ 12 (x3 + 2x2 + x)–
12 · (3x2 + 4x + 1) = 0
⇔ 12
2
3 2
3x 4x 1
2(x 2x x)−
+ +
+ += 0
⇔ 3x2 + 4x + 1 = 0⇔ (3x + 1)(x + 1) = 0⇔ 3x + 1= 0 atau x + 1 = 0
⇔ x = –13 atau x = –1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –13 dan –1.
10. Jawaban: eMisalkan: panjang rusuk kotak = s.Luas permukaan kotak = L = 6s2.
Panjang rusuk kotak bertambah dengan laju 0,02
mm/detik maka dsdt = 0,02 mm/detik.
103Matematika Kelas XI
Laju pertambahan luas permukaan kotak = dLdt .
dLdt =
dLds ·
dsdt
= 12s · 0,02= 0,24s
Laju pertambahan luas permukaan kotak pada saats = 3 cm = 30 mm sebagai berikut.dLdt = 0,24 · 30 = 7,2 mm2/detik
11. Jawaban: aVolume balon bertambah dengan laju 1,08π cm3/detik
maka dVdt = 1,08π cm3/detik.
Laju pertambahan panjang jari-jari balon = drdt .
Laju pertambahan volume balon = dVdt .
dVdt =
dVdr ·
drdt
⇔ 1,08π = 4πr2 · drdt
⇔ drdt = 2
0,27r
Pada saat r = 3 cm, nilai drdt = 2
0,273
= 0,03 cm/detikJadi, laju pertambahan panjang jari-jari balon padasaat r = 3 cm adalah 0,03 cm/detik.
12. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 2ax – 3Garis g mempunyai gradien 5 dan menyinggungkurva f(x) di x = a maka f′(a) = 5.
f′(a) = 2a · a – 3⇔ 5 = 2a2 – 3⇔ 2a2 – 8 = 0⇔ 2(a2 – 4) = 0⇔ (a – 2)(a + 2) = 0⇔ a – 2 = 0 atau a + 2 = 0⇔ a = 2 atau a = –2Jadi, nilai a = 2 atau a = –2.
13. Jawaban: cf′(x) = 3ax2 + 2(a + 1)x – 3Gradien garis singgung kurva di x = –2 adalah 1maka f′(–2) = 1.
f′(–2) = 3a · (–2)2 + 2(a + 1) · (–2) – 3= 1⇔ 12a – 4a – 4 – 3 = 1⇔ 8a = 8⇔ a = 1Jadi, nilai a = 1.
14. Jawaban: a
Garis x + 5y = 2 mempunyai gradien m1 = –15 .
Persamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 4x – 3.Garis singgung kurva tegak lurus dengan garisx + 5y = 2, diperoleh:
m · m1 = –1 ⇔ (4x – 3) · (–15 ) = –1
⇔ 4x – 3 = 5⇔ 4x = 8⇔ x = 2
Diperoleh absis titik singgung x = 2.Ordinat titik singgung:f(2) = 2 · 22 – 3 · 2 + 1 = 3Diperoleh koordinat titik singgung (2, 3).Gradien garis singgung di x = 2 adalah m = f′(1) =4 · 2 – 3 = 5.Persamaan garis singgung di titik (2, 3) dan ber-gradien 5 sebagai berikut.
y – 3 = 5(x – 2)⇔ y – 3 = 5x – 10⇔ y = 5x – 7Jadi, persamaan garis singgungnya y = 5x – 7.
15. Jawaban: b
Garis x + 3y + 12 = 0 mempunyai gradien m1 = –13 .
Garis tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0,diperoleh:
m1 · m = –1 ⇔ – 13 · m = –1
⇔ m = 3Garis menyinggung kurva f(x) = x2 – x – 6 di titik Tmaka:f′(xT) = m ⇔ 2xT – 1 = 3
⇔ xT = 2Untuk x = 2 nilai f(xT = 2) = 22 – 2 – 6 = –4.Jadi, ordinat titik T adalah –4.
16. Jawaban: aPersamaan gradien garis singgung kurva:f′(x) = 3x2 + 2bxTitik singgung garis dan kurva adalah (1, 2), diperoleh:
y(1) = 2⇔ a · 1 + 5 = 2⇔ a = –3Persamaan garis g menjadi y = –3x + 5.Garis g mempunyai gradien mg = –3.Gradien garis singgung kurva di x = 1 adalahmg = f′(1).mg = f′(1) ⇔ –3 = 3 · 12 + 2b · 1
⇔ 2b = –6⇔ b = –3
Jadi, nilai a + b = –3 – 3 = –6.
104 Turunan Fungsi
17. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 9x2 – 3Gradien garis normal di x = 1:
mn = – 1m
= – 1f (1)′ = – 2
19 · 1 3−
= –16
Persamaan garis normal kurva di x = 1 samadengan persamaan garis normal di titik (1, f(1)).f(1) = 3 · 13 – 3 · 1 + 2 = 2
Persamaan garis normal dengan gradien mn = –16
di titik (1, 2) sebagai berikut.y – 2 = mn(x – 1)
⇔ y – 2 = –16 (x – 1)
⇔ 6y – 12 = –x + 1⇔ x + 6y = 13
18. Jawaban: cFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.
f′(x) = 6x2 – 30x + 36 = 0⇔ 6(x2 – 5x + 6) = 0⇔ (x – 2)(x – 3) = 0⇔ x – 2= 0 atau x – 3 = 0⇔ x = 2 atau x = 3Diagram tanda f′(x) sebagai berikut.
Dari diagram tanda di atas tampak bahwa fungsif(x) turun pada interval 2 < x < 3.Jadi, fungsi f(x) turun pada interval 2 < x < 3.
19. Jawaban: eKurva f(x) = 3x4 – 8x3 + 6x2 + 3 mencapai stasionerjika f′(x) = 0.f′(x) = 12x3 – 24x2 + 12x = 0⇔ 12x(x2 – 2x + 1) = 0⇔ 12x(x – 1)2 = 0
⇔ x = 0 atau (x – 1)2 = 0
⇔ x = 0 atau x = 1Menentukan jenis titik stasioner menggunakan ujiturunan kedua.f′′(x) = 36x2 – 48x + 12f′′(0) = 12 > 0f′′(1) = 36 – 48 + 12 = 0Oleh karena f′′(0) > 0 maka titik (0, f(0)) merupakantitik balik minimum, sedangkan f′′(1) = 0 makatitik (1, f(1)) merupakan titik belok.f(1) = 3 · 14 – 8 · 13 + 6 · 12 + 3 = 4Diperoleh titik belok (1, 4).Jadi, titik belok kurva (1, 4).
20. Jawaban: eNilai minimum fungsi f(x) = ax3 – 3x5 + b dicapaidi x = 1 maka f′(1) = 0.f′(x) = 3ax2 – 15x4
f′(1) = 3a · 12 – 15 · 14 = 0⇔ 3a = 15⇔ a = 5Jadi, nilai a = 5.
21. Jawaban: dFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.
f′(x) = 12x – 3x2 = 0⇔ 3x(4 – x) = 0⇔ x = 0 atau x = 4Untuk x = –1 maka f(–1) = 6 · (–1)2 – (–1)3 = 7.Untuk x = 0 maka f(0) = 6 · 02 – 03 = 0 (minimum).Untuk x = 3 maka f(3) = 6 · 32 – 33 = 27 (maksimum).Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 27.
22. Jawaban: cf′(x) = 6x2 + 2(a + 6)x – 36Fungsi f(x) mencapai nilai maksimum di x = amaka f′(a) = 0.
f′(a) = 6a2 + 2(a + 6)a – 36 = 0⇔ 3a2 + a2 + 6a – 18 = 0⇔ 4a2 + 6a – 18 = 0⇔ 2a2 + 3a – 9 = 0⇔ (2a – 3)(a + 3) = 0⇔ 2a – 3 = 0 atau a + 3 = 0
⇔ a = 32 atau a = –3
Oleh karena a < 0 maka a = –3.
23. Jawaban: bn + 2m = 40 ⇔ n = 40 – 2mp = m2 + n2
= m2 + (40 – 2m)2
= m2 + 1.600 – 160m + 4m2
= 5m2 – 160m + 1.600
Nilai p akan minimum jika dpdm = 0.
dpdm = 10m – 160 = 0 ⇔ 10m = 160
⇔ m = 16Dengan demikian, diperoleh:n = 40 – 2 · 16 = 40 – 32 = 8Nilai minimum p dicapai jika m = 16 dan n = 8sehingga nilai minimum p:p = m2 + n2
= 162 + 82
= 256 + 64 = 320Jadi, nilai minimum p adalah 320.
24. Jawaban: bMisalkan: x = bilangan pertama dan y = bilangankedua diperoleh:x + y = 15 ⇔ x = 15 – y
+ + + – – – + + +
2 3
▲ ▲
▲
105Matematika Kelas XI
Perkalian bilangan pertama dengan kuadratbilangan kedua = p diperoleh:p = xy2 = (15 – y)y2 = 15y2 – y3
Nilai p akan maksimum jika p′ = 0.p′ = 0
⇔ 2 · 15y – 3y2 = 0⇔ 30y – 3y2 = 0⇔ 3y(10 – y) = 0⇔ 3y = 0 atau 10 – y= 0⇔ y = 0 atau y = 10Uji turunan kedua:p′′ = 30 – 6yUntuk y = 0 maka p′′ = 30 – 6 · 0 = 30 (minimum)Untuk y = 10 maka p′′ = 30 – 6 · 10 = –30(maksimum)Substitusikan y = 10 ke dalam persamaan x =15 – y.x = 15 – y = 15 – 10 = 5Nilai maksimum:p = xy2 = 5 · 102 = 5 · 100 = 500
25. Jawaban: cBiaya tiap unit:
B(x) = (2x – 1.200 + 3.000.000
x )
Biaya total:T(x) = x · B(x)
= x · (2x – 1.200 + 3.000.000
x )
= 2x2 – 1.200x + 3.000.000Biaya produksi minimum dicapai jika T′(x) = 0.
T′(x) = 0⇔ 2 · 2x – 1.200 = 0⇔ 4x – 1.200 = 0⇔ 4x = 1.200⇔ x = 300Jadi, banyak barang yang diproduksi adalah300 unit.
26. Jawaban: cBiaya total:
TC = B(x) = 13 x2 – 10x + 25
Penerimaan total: TR = 50x – 23 x2
Laba akan maksimum jika MP = 0.MP = MR – MC
⇔ 0 = dTRdx –
dTCdx
⇔ 0 = 50 – 43 x – (
23 x – 10)
⇔ 60 – 2x = 0⇔ x = 30Jadi, laba maksimum diperoleh jika diproduksi30 m kain batik.
27. Jawaban: c
Fungsi C(x) mencapai stasioner jika dC(x)
dx = 0.dC(x)
dx = 0,03x2 – 12x + 900 = 0⇔ 3x2 – 1.200x + 90.000 = 0⇔ 3(x2 – 400x + 30.000) = 0⇔ (x – 100)(x – 300) = 0⇔ x – 100 = 0 atau x – 300 = 0⇔ x = 100 atau x = 300
Diagram tanda dC(x)
dx sebagai berikut.
Dari diagram tanda dC(x)
dx di atas terlihat bahwa
fungsi C(x) mencapai minimum di x = 300.Jadi, banyak barang yang harus diproduksi300 unit per hari agar biaya produksi minimum.
28. Jawaban: bBiaya perakitan satu motor per hari:
b(x) = (3x + 600
x – 18) ribu rupiahSatu motor dapat dirakit dalam x hari sehinggabiaya perakitan satu motor.B(x) = x · b(x)
= (x(3x + 600
x – 18)) ribu rupiah= (3x2 + 600 – 18x) ribu rupiah
Biaya perakitan satu motor akan minimum jikaB′(x) = 0.B′(x) = 6x – 18 = 0⇔ 6x = 18⇔ x = 3Biaya minimum perakitan satu motor= B(3)= (3 · 32 + 600 – 18 · 3) ribu rupiah= (27 + 600 – 54) · 1.000 rupiah= 573.000 rupiahJadi, biaya minimum yang harus dikeluarkanperusahaan untuk merakit satu motor adalahRp573.000,00.
29. Jawaban: aPersamaan biaya marginal:C′(x) = 3x2 + 24x – 53Kenaikan biaya produksi jika produksi bertambah20 unit:C′(20) = (3 · 202 + 24 · 20 – 53) · 10.000
= (1.200 + 480 – 53) · 10.000= 16.270.000
Jadi, kenaikan biaya produksinya Rp16.270.000,00.
+ + + – – – + + +
100 300
▲ ▲
▲
106 Turunan Fungsi
30. Jawaban: dFungsi penerimaan total:TR = H(x)
= 2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000Fungsi biaya total:TC(x) = x · B(x)
= x(x2 + 110x – 500)= x3 + 110x2 – 500x
Fungsi laba:L(x) = TR(x) – TC(x)
= (2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000) – (x3 + 110x2 – 500x)
= x3 – 210x2 + 13.500x – 150.000Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0.L′(x) = 3x2 – 420x + 13.500 = 0⇔ 3(x2 – 140x + 4.500) = 0⇔ (x – 50)(x – 90) = 0⇔ x – 50 = 0 atau x – 90 = 0⇔ x = 50 atau x = 90Diagram tanda L′(x) sebagai berikut.
Dari diagram tanda L′(x) di atas tampak bahwafungsi L(x) mencapai maksimum di x = 50.Laba maksimum= L(50)= (503 – 210 · 502 + 13.500 · 50 – 150.000) ribu= (125.000 – 525.000 + 675.000 – 150.000) ribu= 125.000 ribu= 125.000.000Jadi, laba maksimum per hari yang akan diperolehperusahaan 125 juta rupiah.
B. Uraian1. a. f(x) = 3x3 – 4x2 + 6x – 8
f′(x) = 3 · 3x2 – 4 · 2x + 6= 9x2 – 8x + 6
b. f(x) = (2x2 – x + 1)8
Misalkan:u = 2x2 – x + 1 maka u′ = 4x – 1f′(x) = 8u7 · u′
= 8u7 · (4x – 1)= 8(2x2 – x + 1)7 · (4x – 1)= (32x – 8)(2x2 – x + 1)7
c. f(x) = 2x 5x 3
−−−−++++
Misalkan: u = 2x – 5 maka u′ = 2v = x + 3 maka v′ = 1
f′(x) = 2vu uv
v′ ′−
= 2(x 3)(2) (2x 5)(1)
(x 3)+ − −
++++
= 2(2x 6) (2x 5)
(x 3)+ − −
++++ = 211
(x 3)++++
2. Jika kedua ruas persamaan f(2x + 1) = 2x – 2xditurunkan, diperoleh:
2f′(2x + 1) = 2 + 2
2 2x ⇔ f′(2x + 1) = 1 + 1
2 2x
f′(5) = f′(2 · 2 + 1)
= 1 + 2
2 2 · 2
= 1 + 12 · 2
= 1 + 14 = 1
14
Jadi, nilai f′(5) = 114 .
3. x = 2t – 3 ⇔ 2t = x + 3
⇔ t = x 3
2+
⇔ dtdx =
12
dydx =
dydt ·
dtdx
= (2t – 2) · 12
= t – 1
= x 3
2+
– 1
= x 3 2
2+ −
= 12 (x + 1) =
12 x +
12
2
2d ydx
= ddx (
dydx ) =
12 + 0 =
12
Jadi, 2
2d ydx
= 12 .
4. Jari-jari benda bertambah dengan laju
0,02 mm/detik maka drdt = 0,02 mm/detik.
Luas permukaan benda = 0,8π cm2 = 8.000π mm2.A = 2πr2 + 2πrh
⇔ 8.000π = 2πr2 + 2πr · 60⇔ 2r2 + 120r – 8.000 = 0⇔ r2 + 60r – 4.000 = 0⇔ (r + 100)(r – 40) = 0⇔ r + 100 = 0 atau r – 40 = 0⇔ r = –100 atau r = 40Oleh karena r > 0 maka r = 40 mm.
��� ����� ���50 90↑
Maksimum ↑Minimum
107Matematika Kelas XI
f′(–1) = 0 ⇔3a · (–1)2 + 2b · (–1) – 9 = 0⇔ 3a – 2b = 9 . . . (1)
f(–1) = 7 ⇔ a · (–1)3 + b · (–1)2 – 9 · (–1) + 2 = 7⇔ –a + b + 9 + 2 = 7⇔ –a + b = –4 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).3a – 2b = 9 × 1 3a – 2b = 9–a + b = –4 × 2 –2a + 2b = –8
––––––––––––– +a = 1
Substitusikan a = 1 ke dalam –a + b = –4.–1 + b = –4 ⇔ b = –3Dengan demikian, diperoleh persamaan:f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 2f′(x) = 3x2 – 6x – 9Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.
f′(x) = 3x2 – 6x – 9 = 0⇔ 3(x2 – 2x – 3) = 0⇔ (x – 3)(x + 1) = 0⇔ x – 3 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 3 atau x = –1Diagram tanda f′(x) sebagai berikut.
Dari diagram tanda f′(x) di atas tampak bahwafungsi f(x) mencapai minimum di x = 3.Nilai minimum = f(3)
= 33 – 3 · 32 – 9 · 3 + 2= 27 – 27 – 27 + 2 = –25
Diperoleh titik balik minimum (3, f(3)) = (3, –25).Jadi, titik balik minimum fungsi adalah (3, –25).
8. a. Biaya produksi setiap unit barang:b(x) = (x2 + 250x – 15.000) ratus rupiahBiaya produksi x unit barang:B(x) = x · b(x)
= x(x2 + 250x – 15.000)= (x3 + 250x – 15.000x) ratus rupiah
Harga jual setiap unit barang:h(x) = (2x2 – 275x + 75.000)Harga jual x unit barang:H(x) = x · h(x) = (2x3 – 275x2 + 75.000x)Biaya total:TC(x) = biaya produksi x unit barang + biaya
tetap= (x3 + 250x2 – 15.000x + 150.000) ratus rupiah
Laba = penjualan – biaya total⇔ L(x) = H(x) – TC(x)
= (2x3 – 275x2 + 75.000x) – (x3 + 250x2 – 15.000x + 150.000)
= (x3 – 525x2 + 90.000x – 150.000) ratus rupiah
��� ����� ���–1 3
Maksimum Minimum
Laju pertambahan volume benda = dVdt .
dVdt =
dVdr ·
drdt
= 2πrh · 0,02= 0,04π · 40 · 60= 96π mm3/detik
Jadi, laju pertambahan volume benda pada saatluas permukaan 0,8π cm2 adalah 96π mm3/detik.
5. f′(x) = 2ax + bTitik P(2, 4) pada kurva f(x) = ax2 + bx + 2 makaf(2) = 4.f(2) = a · 22 + b · 2 + 2 = 4⇔ 4a + 2b = 2⇔ 2a + b = 1⇔ b = 1 – 2aGaris y = 5x – 6 mempunyai gradien m = 5.Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalahm1 = f′(2) = 2a · 2 + b = 4a + b.Garis singgung sejajar dengan garis y = 5x – 6maka m1 = m.
4a + b = 5⇔ 4a + 1 – 2a = 5⇔ 2a = 4⇔ a = 2Untuk a = 2 maka b = 1 – 2 · 2 = –3.Jadi, nilai a = 2 dan b = –3.
6. Titik A(1, (a + 2)) pada kurva f(x) = ax2 – (a + 1)x + 6maka f(1) = a + 2.f(1) = a · 12 – (a + 1) · 1 + 6 = a + 2⇔ a – a – 1 + 6 = a + 2⇔ 5 = a + 2⇔ a = 3Dengan demikian, diperoleh persamaan kurva f(x)= 3x2 – 4x + 6 dan koordinat titik A(1, 5).Persamaan gradien garis singgung kurva adalahm = f′(x) = 6x – 4.Gradien garis normal di titik A(1, 5) adalah
mn = – 1f (1)′
= – 16 ·1 4−
= –12 .
Persamaan garis normal kurva di titik A(1, 5)sebagai berikut.
y – 5 = mn(x – 1)
⇔ y – 5 = –12 (x – 1)
⇔ 2y – 10 = –x + 1⇔ x + 2y = 11Jadi, persamaan garis normal kurva di titik A adalahx + 2y = 11.
7. f(x) = ax3 + bx2 – 9x + 2f′(x) = 3ax2 + 2bx – 9Fungsi f(x) mempunyai titik balik maksimum(–1, 7) maka f′(–1) = 0 dan f(–1) = 7.
108 Turunan Fungsi
Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0.L′(x) = 3x2 – 1.050x + 90.000 = 0
⇔ 3(x2 – 350x + 30.000) = 0⇔ (x – 150)(x – 200) = 0⇔ x – 150 = 0 atau x – 200 = 0⇔ x = 150 atau x = 200
Diagram tanda L′(x) sebagai berikut.
Dari diagram tanda L′(x) di atas tampak bahwafungsi L(x) mencapai maksimum di x = 150.Jadi, banyak barang yang harus diproduksisetiap bulan 150 unit agar perusahaanmemperoleh laba maksimum.
b. Laba maksimum:L(150) = (1503 – 525 · 1502 + 90.000 · 150
– 150.000) ratus= 4.912.500 · 100= 491.250.000
Jadi, laba maksimum yang diperolehperusahaan Rp491.250.000,00 per bulan.
9. Perhatikan gambar berikut.
Misalkan: titik (a, b) terletak pada garis x + 2y = 4diperoleh:a + 2b = 4 ⇔ a = 4 – 2bLuas persegi panjang:L = p ·
= a · b= (4 – 2b) · b= 4b – 2b2
��� ����� ���150 200
Maksimum Minimum
Luas persegi panjang mencapai maksimum jikaL′ = 0.
L′ = 0⇔ 4 – 2 · 2b = 0⇔ 4 – 4b = 0⇔ 4 = 4b⇔ b = 1Substitusikan b = 1 ke dalam persamaana = 4 – 2b.a = 4 – 2b = 4 – 2 · 1 = 4 – 2 = 2Luas maksimum: L = ab = 2 · 1 = 2Jadi, luas maksimum persegi panjang tersebut2 satuan luas.
10. Perhatikan gambar berikut.
Misalkan: a = panjang rusuk alas kotakb = tinggi kotak
Volume kotak:V = luas alas · tinggi
⇔ 108 = a2 · b
⇔ b = 2108a
Luas permukaan kotak:L = luas alas + 4 · bidang tegak
= a2 + 4 · ab
= a2 + 4 · a · 2108a
= a2 + 432a
Luas permukaan mencapai maksimum jika L′ = 0.L′ = 0
⇔ 2a – 2432a
= 0
⇔ 2a3 – 432 = 0⇔ a3 = 216
⇔ a = 3 216 = 6
Jadi, panjang rusuk alas kotak adalah 6 cm.
3
2
1
X
Y
0
(a, b)
x + 2y = 4
a
b
1 2 3 4
aa
b
109Matematika Kelas XI
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:
1. menguraikan konsep integral tak tentu;
2. menentukan hasil integral tak tentu;
3. menentukan hasil integral menggunakan metode substitusi;
4. menggunakan integral untuk menentukan fungsi asal.
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku disiplin dan kritis dalam kehidupan sehari-
hari.
• Mengidentifikasi integral sebagai antiturunan.
• Menentukan integral fungsi aljabar.
• Menggunakan sifat-sifat integral tak tentu.
• Menggunakan integral untuk menentukan
fungsi asal.
• Mengidentifikasi konsep integral substitusi.
• Menentukan hasil pengintegralan fungsi ber-
pangkat menggunakan integral substitusi.
Integral Tak Tentu
Konsep Integral Tak Tentu Integral Substitusi
• Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri
dalam menyelesaikan masalah.
• Mampu menguraikan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan.
• Mampu menentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar.
• Mampu menggunakan integral untuk menentukan fungsi asal.
• Mampu menentukan hasil pengintegralan fungsi berpangkat menggunakan integral substitusi.
110 Integral Tak Tentu
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
Antiturunan dari f(x) = axn adalah:
F(x) = +�
� �xn + 1 + c.
f(x) = 10x � = 10�
��
F(x) = +�
�
��
�
+�
��
� + c = �
�
���
�� + c = 4x2 � + c
Jadi, antiturunan f(x) adalah F(x) = 4x2 � + c.
2. Jawaban: d
∫ �
� �
� dx = ∫
�
��
�−
dx
= ∫ �
��−
dx
= �
�
�
−
�
��−
+ c
= �
�− + c
3. Jawaban: b
∫ f(x) dx = ∫ � dx
= ∫ x�
� dx
= �
�
�
�+x
�
� + 1 + c1
= �
�
�x
�
� + c1
= �
�x � + c1
∫ g(x) dx = ∫ 2x3 dx
= 2 · �
� �+ x3 + 1 + c2
= �
x4 + c2
= �
�x4 + c2
∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = �
�x � +
�
�x4 + c
4. Jawaban: b
∫ (4x – �
�
�) dx = ∫ (4x – 3x–2) dx
= 4 · �
�x2 – 3 ·
�
�− x–1 + c
= 2x2 + �
� + c
5. Jawaban: b
∫ (4x3 – 6x2 + 2x + 3) dx
= 4 · +�
� �x3 + 1 – 6 · +
�
� �x2 + 1 + 2 · +
�
� �x1 + 1 + 3x + c
=
x4 –
�x3 +
�
�x2 + 3x + c
= x4 – 2x3 + x2 + 3x + c
6. Jawaban: c
f(x) = (3x – 1)(x + 3)
∫ f(x) dx = ∫ (3x – 1)(x + 3) dx
= ∫ (3x2 + 8x – 3) dx
= 3 · �
�x3 + 8 ·
�
�x2 – 3x + c
= x3 + 4x2 – 3x + c
7. Jawaban: d
∫ ��� � ��
�
− dx = ∫ � (2 � – x) dx
= ∫ (2x – �
�� ) dx
= 2 · �
�x2 –
�
�
�
�� + c
= x2 – �
�x2 � + c
8. Jawaban: a
∫ (2 – 3 � )2 dx = ∫ (4 – 12�
�� + 9x) dx
= 4x – 12 · �
�
�
�� + 9 · �
�x2 + c
= 4x – 8x � +
�x2 + c
9. Jawaban: c
f′(x) = 6x2 + 2x – 3
f(x) = ∫ (6x2 + 2x – 3) dx = 2x3 + x2 – 3x + c
Grafik fungsi f(x) melalui titik (1, 4), berarti:
f(1) = 4 ⇔ 4 = 2 + 1 – 3 + c
⇔ c = 4
Jadi, rumus fungsi f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 4.
10. Jawaban: c
Percepatan = a(t) = 5 – t�����
�� = a(t) ⇒ v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (5 – t) dt
= 5t – �
�t2 + c
Benda bergerak dari keadaan diam maka
v(0) = 0 ⇒ c = 0.
111Matematika Kelas XI
Kecepatan benda dirumuskan v(t) = 5t – �
�t2.
Pada saat benda berhenti berarti kecepatannya 0.
v(t) = 0 ⇔ 5t – �
�t2 = 0
⇔�
�t(10 – t) = 0
⇔ t = 0 atau t = 10
Jadi, benda berhenti setelah 10 detik.
B. Uraian
1. Antiturunan dari f(x) = xn adalah:
F(x) = +�
� �xn + 1 + c.
a. Antiturunan dari f(x) = x5 adalah:
F(x) = �
� �+ x5 + 1 + c = �
x6 + c
b. g(x) =
�
� = x–4
Antiturunan dari g(x) adalah:
G(x) = �
�− + x–4 + 1 + c
= �
�− x–3 + c
= – �
�
�� + c
c. h(x) = �
� � =
�
��−
Antiturunan dari h(x) adalah:
H(x) = �
�
�
�− +
�
��
�− +
+ c
= –2�
��−
+ c = –�
� + c
d. k(x) = ��
� =
�
��
�−
= �
��
Antiturunan dari k(x) adalah:
K(x) = �
�
�
�+
�
��
�+
+ c
= �
�
��
�� + c
= �
�x2 � + c
2. a. ∫ (2x2 – 10x) dx
= 2 · �
�x3 – 10 ·
�
�x2 + c
= �
�x3 – 5x2 + c
b. ∫ (6x2 + 8x + 3) dx
= 6 · �
�x3 + 8 ·
�
�x2 + 3x + c
= 2x3 + 4x2 + 3x + c
c. ∫ x2 (2x + 15) dx
= ∫ (2x3 + 15x2) dx
= 2 · �
x4 – 15 ·
�
�x3 + c
= �
�x4 – 5x3 + c
d. ∫ (2t – 5)2 dt
= ∫ (4t2 – 20t + 25) dt
= 4 · �
�t3 – 20 ·
�
�t2 + 25t + c
=
�t3 – 10t2 + 25t + c
3. a. ∫ f(x) dx = ∫ � �
�
+ dx
= ∫ (3�
��−
+ �
�� ) dx
= 3 · 2�
�� + �
�
�
�� + c
= 6 � + �
�x � + c
b. ∫ f(x) dx = ∫ (2 � – �
�)2 dx
= ∫ (4x – 12�
��−
+ 9x–2) dx
= 4 · �
�x2 – 12 ·
�
�
�
�� + 9 · �
�− x–1 + c
= 2x2 – 24 � –
� + c
c. ∫ f(x) dx = ∫ (3 – � )(4 + 2 � ) dx
= ∫ (12 + 2 � – 2x) dx
= ∫ (12 + 2�
�� – 2x) dx
= 12x + 2 · �
�
�
�� – 2 · �
�x2 + c
= 12x +
�x � – x2 + c
d. ∫ f(x) dx = ∫ (2x + �
�)(4 – � ) dx
= ∫ (8x – 2�
�� + 4�
��−
– 1) dx
= 8 · �
�x2 – 2 ·
�
�
�
�� + 4 · �
�
�
�� – x + c
= 4x2 –
�x2 � + 8 � – x + c
4. a. f′(x) = mx – 4
f′(1) = 6 ⇔ m(1) – 4 = 2
⇔ m = 6
Diperoleh: f′(x) = 6x – 4
f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (6x – 4) dx
= 3x2 – 4x + c
112 Integral Tak Tentu
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Misalkan: u = x – 3
��
�� = 1 ⇔ du = dx
∫ � � �− dx = ∫ (x – 3)�
� dx
= ∫ �
�� du
=
�
�
�� + c
= �
u � � + c
= �
(x – 3) � � �− + c
2. Jawaban: d
Misalkan: u = 4 – x
��
�� = –1 ⇔ –du = dx
∫ (4 – x)3 dx = ∫ u3 (–du)
= – ∫ u3 du
= –�
u4 + c
= –�
(4 – x)4 + c
3. Jawaban: e
Misalkan: u = 2x + 9
��
�� = 2 ⇔ �
�du = dx
∫ �
��� �+ dx = ∫ �
� ·
�
�du
= 2 ∫ u–2 du
= 2 · �
�− u–1 + c
= –�
� + c =
�
�� +− + c
4. Jawaban: a
∫ (x2 – 4x + 4)2 dx = ∫ ((x – 2)2)2 dx
= ∫ (x – 2)4 dx
Misalkan: u = x – 2
��
�� = 1 ⇔ du = dx
∫ (x – 2)4 dx = ∫ u4 du
= �
�u5 + c =
�
�(x – 2)5 + c
Jadi, ∫ (x2 – 4x + 4)2 dx = �
�(x – 2)5 + c.
5. Jawaban: e
Misalkan: u = x2 – 2
��
�� = 2x ⇔ du = 2x dx
∫ 2x �� �− dx = ∫ �� �− · 2x dx
= ∫ � du
= ∫ �
�� du
= �
�
�
�� + c
= �
�u � + c
= �
�(x2 – 2) �� �− + c
f(–1) = 3 ⇔ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3
⇔ 3 + 4 + c = 3
⇔ c = –4
Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.
b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx
= x3 – 2x2 – 4x + c
5. a. v(t) = 24 – 10t
v(t) = �����
��, maka:
h(t) = ∫ v(t) dt
= ∫ (24 – 10t) dt
= 24t – 5t2 + c
Diketahui ketinggian bola mula-mula 8 meter,
berarti h(0) = 8.
h(0) = 8 ⇔ 24(0) – 5(0)2 + c = 8
⇔ 0 – 0 + c = 8
⇔ c = 8
Jadi, ketinggian bola setelah t detik dinyata-
kan dengan fungsi h(t) = 6t – 5t2 + 8.
b. Untuk t = 2:
h(2) = 24(2) – 5(2)2 + 8
= 24 – 20 + 8
= 12
Jadi, ketinggian bola pada detik kedua adalah
12 meter.
113Matematika Kelas XI
6. Jawaban: b
Misalkan: u = 9 – x3
��
�� = –3x2 ⇔ du = –3x2 dx
⇔ –�
�du = x2 dx
�
�
�
�
�
� � �−∫ dx = ∫ (9 – x3)
�
�−
· x2 dx
= �
��−
∫ · (–�
�) du
= –�
�
�
��−
∫ du
= –�
�(–2)u
�
�−
+ c
= �
� � + c
= �
�
� �− + c
7. Jawaban: c
Misalkan: u = x2 – 6x + 2��
�� = 2x – 6 ⇔ ��
��= 2(x – 3)
⇔ �
�du = (x – 3) dx
∫ (x – 3)(x2 – 6x + 2) dx = ∫ (x2 – 6x + 2)(x – 3) dx
= ∫ u · �
� du
= �
�∫ u du
= �
� ·
�
�u2 + c
= �
u2 + c
= �
(x2 – 6x + 2)2 + c
8. Jawaban: b
Misalkan: u = x2 – 2x
��
�� = 2x – 2 = 2(x – 1)
⇔ (x – 1) dx = ��
�
Sehingga diperoleh:
∫ �
�� ��
� ��
−
− dx = ∫ (x2 – 2x)
�
�−
(x – 1) dx
= ∫ �
��−
· ��
�
= �
� ∫
�
��−
du
= �
� · 2
�
�� + c
= �� ��− + c
9. Jawaban: a
Misalkan: u = x3 + 6x + 1 maka:
��
�� = 3x2 + 6 = 3(x2 + 2) ⇔ (x2 + 2) dx =
��
�
Sehingga diperoleh:
∫ (x2 + 2)(x3 + 6x + 1)�
� dx
= ∫ (x3 + 6x + 1)�
� (x2 + 2) dx
= ∫ �
�� · ��
�
= �
� ∫
�
�� du
= �
� ·
�
�
�
�� + c
= �
u � + c
= �
(x3 + 6x + 1) �� � � �� + c
10. Jawaban: e
Misalkan: u = � �
�
+ = 1 +
�
� = 1 + x–1
��
�� = –x–2 ⇔ –du = x–2 dx
∫ ( � �
�
+)–4 ( �
�) dx = 6 ∫ ( � �
�
+)–4 (x–2 dx)
= 6 ∫ (u)–4 (–du)
= –6 ∫ u–4 du
= –6 · �
�− u–3 + c
= 2u–3 + c
= (� �
�
+)–3 + c = 2(
�
� �+ )3 + c
B. Uraian
1. a. ∫ f(x) dx = ∫ (x + 7)3 dx
Misalkan: u = x + 7
��
�� = 1 ⇔ du = dx
Sehingga diperoleh:
∫ (x + 7)3 dx = ∫ u3 du
= �
u4 + c
= �
(x + 7)4 + c
Jadi, hasil pengintegralan f(x) adalah
�
(x + 7)4 + c.
b. ∫ f(x) dx = ∫ �
�− dx
Misalkan: u = 4 – x
��
�� = –1 ⇔ dx = –du
114 Integral Tak Tentu
= ∫ �
�� du
= �
�
�
�� + c
= �
�(2x – 3)2 �� �− + c
4. Misalkan: u = x2 – 4x + 8 maka:
��
�� = 2x – 4 = –2(2 – x)
⇔ (2 – x) dx = ��
�−
Sehingga diperoleh:
∫ �
� �
� � �
−
− + dx = ∫ (x2 – 4x + 8)
�
�−
(2 – x) dx
= ∫ �
��−
· ��
�−
= –�
� ∫
�
��−
du
= –�
� · 2
�
�� + c
= –�� � � �− + c
5. Diketahui f′(x) = ��− , maka f(x) = ∫ ��− dx.
Misalkan: u = 4 – 3x maka:
��
�� = –3
⇔ dx = ��
�−
Sehingga diperoleh:
f(x) = ∫ ��− dx
= ∫ � · ��
�−
= –�
� ∫
�
�� du
= –�
� ·
�
�
�
�� + c
= –�
u � + c
= –�
(4 – 3x) ��− + c
Diketahui f(1) = 12, maka:
–�
(4 – 3) − � + c = 12
⇔ –�
+ c = 12
⇔ c = 12�
Jadi, fungsi f(x) = �
(4 – 3x) ��− + 12
�
.
Sehingga diperoleh:
∫ −�
� dx = ∫ �
�(–du)
= – ∫ �
��−
du
= –2�
�� + c
= –2 �− + c
Jadi, hasil pengintegralan f(x) adalah
–2 �− + c.
2. a. Misalkan: u = x2 – 3
��
�� = 2x ⇔ 2x dx = du
∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3 · 2x dx
= ∫ u3 du
= �
u4 + c
= �
(x2 – 3)4 + c
b. Misalkan: u = 4 – 3x2
��
�� = –6x ⇔ x dx =
��
−
∫ � �
��
� �� �− dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 · x dx
= 3 ∫ u–2 · ��
−
= �
− ∫ u–2 du
= –�
� ·
�
�− u–1 + c
= �
�� + c
= �
�
�� �� �− + c
= �
�
� �− + c
3. g(x) = (4x – 6) �� �−
= 2(2x – 3)(2x – 3)�
�
= 2(2x – 3)�
�
Misalkan: u = 2x – 3 maka:
��
�� = 2
⇔ 2 dx = du
Sehingga diperoleh:
∫ g(x) dx = ∫ 2(2x – 3)�
� dx
= ∫ (2x – 3)�
� · 2 dx
115Matematika Kelas XI
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
f(x) = x3
Antiturunan f(x) adalah:
F(x) = �
� �+ x3 + 1 + c = �
x4 + c
2. Jawaban: c
∫ ��
� dx = ∫ x2 � dx
= ∫ x�
� dx
= �
�x
�
� + c
= �
�x3 � + c
3. Jawaban: e
∫ �
� dx = 4 ∫ x–5 dx
= 4 · �
− x-4 + c = –
�
� + c
4. Jawaban: c
∫ 3x3 � dx = 3 ∫ x�
� dx
= 3 · �
x
� + c = �
�x4 � + c
5. Jawaban: a
∫ (2x + 3) dx = �
� �+ x1 + 1 + 3x + c
= �
�x2 + 3x + c = x2 + 3x + c
6. Jawaban: d
∫ (8x3 + 2x + 3) dx = 8 · �
x4 + 2 ·
�
�x2 + 3x + c
= 2x4 + x2 + 3x + c
7. Jawaban: a
∫ 2x(1 – 3x) dx = ∫ (2x – 6x2) dx
= 2 · �
�x2 – 6 ·
�
�x3 + c
= x2 – 2x3 + c
8. Jawaban: b
∫ (x + 3)(3x – 5) dx
= ∫ (3x2 + 4x – 15) dx
= 3 ∫ x2 dx + 4 ∫ x1 dx – 15 ∫ x0 dx
= �
� �+ x2 + 1 + +
� �x1 + 1 – +
��
� �x0 + 1 + c
= x3 + 2x2 – 15x + c
9. Jawaban: c
∫ 3 � (2 � + 1) dx = ∫ (6x + 3 � ) dx
= ∫ (6x + 3x�
� ) dx
= 6 · �
�x2 + 3 ·
�
�x
�
� + c
= 3x2 + 2x � + c
10. Jawaban: a
Antiturunan sama dengan integral, maka antiturunan
dari f(x) adalah:
F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (3x – �
�
�)2 dx
= ∫ (3x – 2x�
�−
)2 dx
= ∫ (9x2 – 12x�
� + 4x�
�−
) dx
= 9 · �
�x3 – 12 ·
�
�x
�
� + 4 · 3x�
� + c
= 3x3 – �
�x
� �� + 12 � � + c
11. Jawaban: d
∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ ((4x – 5) + (6x2 + 3)) dx
= ∫ (6x2 + 4x – 2) dx
= 2x3 + 2x2 – 2x + c
12. Jawaban: c
f′(x) = 4x – 3
f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (4x – 3) dx
= 2x2 – 3x + c
f(–1) = 9
⇔ 2(–1)2 – 3(–1) + c = 9
⇔ 2 + 3 + c = 9
⇔ c = 4
Jadi, f(x) = 2x2 – 3x + 4.
13. Jawaban: a
f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (x2 + 3x – 1) dx = �
�x3 +
�
�x2 – x + c
f(1) =
�⇔
�
� · 13 +
�
� · 12 – 1 + c =
�
⇔�
� +
�
� – 1 + c =
�
⇔
� + c =
�
⇔ c = 0
Jadi, f(x) = �
�x3 +
�
�x2 – x.
116 Integral Tak Tentu
14. Jawaban: d
��
�� = 3x2 + 4x – 2
y = ∫ ��
�� dx
= ∫ (3x2 + 4x – 2) dx
= x3 + 2x2 – 2x + c
Kurva melalui titik (–1, 5) berarti:
5 = (–1)3 + 2(–1)2 – 2(–1) + c
⇔ 5 = –1 + 2 + 2 + c
⇔ 5 = 3 + c
⇔ c = 2
Jadi, persamaan kurva: y = x3 + 2x2 – 2x + 2.
15. Jawaban: c
f(x) = ∫ (2ax2 + (a – 1)x) dx
= �
�ax3 +
�
�(a – 1)x2 + c
f(2) = 24
⇔ �
�a(2)3 +
�
�(a – 1)(2)2 + c = 24
⇔ �
�a + 2(a – 1) + c = 24
⇔ 16a + 6a – 6 + 3c = 72
⇔ 22a + 3c = 78 . . . . (1)
f(1) = 7
⇔ �
�a +
�
�(a – 1) + c = 7
⇔ 4a + 3a – 3 + 6c = 42
⇔ 7a + 6c = 45 . . . . (2)
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2).
22a + 3c = 78 × 2 44a + 6c = 156
7a + 6c = 45 × 1 7a + 6c = 45–––––––––––– –
37a = 111
⇔ a = 3
Jadi, nilai a = 3.
16. Jawaban: d
MC = 8x – 5
C = ∫ MC dx
= ∫ (8x – 5) dx
= 4x2 – 5x + c
C(5) = 80
⇔ 4(52) – 5(5) + c = 80
⇔ 100 – 25 + c = 80
⇔ 75 + c = 80
⇔ c = 5
Jadi, fungsi biaya total adalah C = 4x2 – 5x + 5.
17. Jawaban: d
Misalkan: u = 1 – x
��
�� = –1 ⇔ –du = dx
∫ (1 – x)5 dx = ∫ u5 (–du)
= – ∫ u5 du
= –�
u6 + c = –
�
(1 – x)6 + c
18. Jawaban: c
Misalkan: u = x + 2
��
�� = 1 ⇔ du = dx
∫ � �+ dx = ∫ (x + 2)�
� dx
= ∫ �
�� du
= �
�
��
�� + c
= �
�u � + c
= �
�(x + 2) � �+ + c
19. Jawaban: e
Misalkan: u = 2x + 5
��
�� = 2 ⇔ �
�du = dx
∫ �
�������� dx = ∫ �
� ·
�
� du
= 3∫ u–2 du
= 3 · �
�− u–1 + c
= –�
� + c = –
�
�� �+ + c
20. Jawaban: e
Misalkan: u = 4 – 3x maka:
��
�� = –3 ⇔ dx =
��
�−
Sehingga diperoleh:
∫ 2(4 – 3x)4 dx = 2 ∫ u4 · ��
�−
= �
�− ∫ u4 du
= –�
� ·
�
�u5 + c
= –�
��(4 – 3x)5 + c
21. Jawaban: c
Misalkan u = x2 – 12
��
�� = 2x ⇔ 2x dx = du
∫ 2x(x2 – 12)4 dx = ∫ (x2 – 12)4 · 2x dx
= ∫ u4 du
= �
�u5 + c
= �
�(x2 – 12)5 + c
117Matematika Kelas XI
22. Jawaban: c
Misalkan: u = 3x2 + 1 maka:
��
�� = 6x ⇔ 3x dx =
��
�
Sehingga diperoleh:
∫ 3x ��� �+ dx = ∫ (3x2 + x)�
� · (3x) dx
= ∫ �
�� · ��
�
= �
� ∫
�
�� du
= �
� ·
�
�
�
�� + c
= �
�(3x2 + 1) ��� �+ + c
23. Jawaban: b
Misalkan u = 1 – 2x2
��
�� = –4x ⇔ du = –4x dx
∫ �
�
� ��− dx = – ∫ (1 – 2x2)
–�
� (–4x dx)
= – ∫ u–�
� du
= – �
�
�u
�
� + c
= –2 � + c
= –2�� ��− + c
24. Jawaban: e
Misalkan: u = 3 – 2x3
��
�� = –6x2 ⇔ du = –6x2 dx
∫ �
� �
�
�� �� �− dx = – ∫ (3 – 2x3)�
�−
(–6x2 dx)
= – ∫ �
��−
du
= – �
�
�
−
�
��−
+ c
= �
� + c =
�
�
� ��− + c
25. Jawaban: d
Misalkan: u = 1 + 2x – x2
��
�� = 2 – 2x = –2(x – 1) ⇔ (x – 1) dx =
��
�−
∫ � �
� �
�� �� � �
−+ − dx = ∫ (1 + 2x – x2)–3 · (x – 1) dx
= ∫ u–3 · ��
�−
= �
�− ∫ u–3 du
= –�
� ·
�
�− u–2 + c
= �
(1 + 2x – x2)–2 + c
= � �
�
�� �� � �+ − + c
26. Jawaban: c
Misalkan: u = x2 – 3x + 8
��
�� = 2x – 3 ⇔ du = (2x – 3) dx
∫�
�
� ������
−
−dx = ∫ (x2 – 3x +
�
���−
· 2(2x – 3) dx
= ∫�
��−
· 2 du
= 2 ∫ − �
�� du
= 2 · 2�
�� + c
= 4 � + c
= 4 �� ������− + c
27. Jawaban: d
Misalkan: u = x2 + 5x – 11 maka:
��
�� = 2x + 5 ⇔ du = (2x + 5) dx
Sehingga diperoleh:
∫ (6x + 15)(x2 + 5x – 11)5 dx
= ∫ 3(2x + 5)(x2 + 5x – 11)5 dx
= 3 ∫ (x2 + 5x – 11)5 · (2x + 5) dx
= 3 ∫ u5 du
= 3 · �
u6 + c
= �
�(x2 + 5x – 11)6 + c
28. Jawaban: a
Misalkan: u = x + 1
��
�� = 1 ⇔ du = dx
∫ (x2 + 2x + 1) ����� dx
= ∫ (x + 1)2 (x + 1)�
� dx
= ∫ (x + 1)�
� dx
= ∫ �
�� du
= �
�
� �
�� + c
= �
��� + c
= �
��������� + c
118 Integral Tak Tentu
29. Jawaban: c
Misalkan f(x) = 4x dan g(x) = � �− , maka:
∫ (4x – � �− ) dx = ∫ (f(x) – g(x)) dx
= ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
= 2x2 + c1
∫ g(x) dx = ∫ � �− dx
Misalkan: u = 6x – 1
��
�� = 6 ⇔ �
du = dx
∫ g(x) dx = ∫ � · �
du
= �
∫
�
�� du
= �
·
�
�
�
�� + c2
= �
�� + c2
= �
��� ��− + c2
Jadi, ∫ (4x – � �− ) dx = 2x2 – �
��� ��− + c.
30. Jawaban: d
∫ f(x) dx = 6x2 + c
Misalkan: u = 2x + 15
��
�� = 2 ⇔ ��
� = dx
∫ f(2x + 15) dx = ∫ f(u) ��
�
= �
� ∫ f(u) du
= �
� (6u2 + c)
= 3u2 + �
�c
= 3(2x + 15)2 + k
B. Uraian
1. a. ∫ ���
� � dx = ∫ 3
�
��
�−
dx
= 3 ∫ �
�� dx
= 3 · �
�� + c
= �
�x4 � + c
b. ∫ �
�
�� �
� �
+ dx = ∫ (
�
�
��
� � + �
�
� �) dx
= ∫ (5 � + �
�) dx
= ∫ (5�
�� + 4x–2) dx
= 5 · �
�
�
�� + 4 · �
�− x–1 + c
= ��
�x � –
� + c
2. Antiturunan sama dengan integral, berarti
antiturunan dari f(x) adalah F(x) = ∫ f(x)dx.
a. F(x) = ∫ (2x + 3)(3x – 2) dx
= ∫ (6x2 + 5x – 6) dx
= 6 · �
�x3 + 5 ·
�
�x2 – 6x + c
= 2x3 + �
�x2 – 6x + c
b. F(x) = ∫ (3 – 2 � )2 dx
= ∫ (9 – 12x�
� + 4x) dx
= 9x – 12 · �
�x
�
� + 4 · �
�x2 + c
= 9x – 8x � + 2x2 + c
3. a. ∫ y dx = ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + c
b. ∫ (y2 – y) dx = ∫ ((2x + 1)2 – (2x + 1)) dx
= ∫ (4x2 + 4x + 1 – 2x – 1) dx
= ∫ (4x2 + 2x) dx
=
�x3 + x2 + c
4. a. f′(x) = mx – 4
f′(1) = 2 ⇔ m – 4 = 2
⇔ m = 6
Diperoleh f′(x) = 6x – 4
f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (6x – 4) dx
= 3x2 – 4x + c
f(–1) = 3 ⇔ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3
⇔ 3 + 4 + c = 3
⇔ c = –4
Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.
b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx
= x3 – 2x2 – 4x + c
119Matematika Kelas XI
5. a. Misalkan: u = 2x – 7 maka:
��
�� = 2 ⇔ dx =
��
�
Sehingga diperoleh:
∫
�� �− dx = ∫
� ·
��
�
= 2 ∫ �
��−
du
= 2 · 2�
�� + c
= 4 �� �− + c
b. Misalkan: u = x2 + 9 maka:
��
�� = 2x ⇔ 2x dx = du
Sehingga diperoleh:
∫ 6x (x2 + 9)5 dx = 3 ∫ (x2 + 9)5 · 2x dx
= 3 ∫ u5 du
= 3 · �
u6 + c
= �
�(x2 + 9)6 + c
6. f’(x) = � ��−
f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ � ��− dx
Misalkan: u = 5 – 2x
��
�� = –2 ⇔ −
��
� = dx
Sehingga diperoleh:
f(x) = ∫ � · −��
�
= –�
� ∫
�
�� du
= –�
� ·
�
�
�
�� + c
= –�
��� + c
= –�
�
��� ���− + c
Diketahui f(2) = 8, maka:
–�
�
��� �− + c = 8
⇔ –�
� + c = 8
⇔ c = 8�
�
Diperoleh:
f(x) = –�
�
��� ���− + 8�
�
f(–2) = –�
�
��� �+ + 8�
�
= –�
�(27) + 8
�
�
= –9 + 8�
� = –
�
�
Jadi, nilai f(–2) = –�
�.
7. Misalkan: u = x2 – x + 8
��
�� = 2x – 1 ⇔ du = (2x – 1) dx
∫ (6x – 3) �� � �− + dx
= 3 ∫ �� � �− + (2x – 1) dx
= 3 ∫ � du
= 3 ∫ u�
� du
= 3 · �
�u
�
� + c
= 2 �� + c
= 2u � + c
= 2(x2 – x + 8) �� � �− + + c
8. Misalkan: u = x2 – 4x + 2
��
�� = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx
∫� �
�� �
�� ������
−−
dx = ∫ (x2 – 4x + 2)–2 · 4(2x – 4) dx
= 4 ∫ u–2 du
= 4 · �
�− u–1 + c
= –
� + c
= – �
� � �− + + c
9. a. ∫ y3 dx = ∫ (3 – 4x)3 dx
Misalkan: u = 3 – 4x
��
�� = –4 ⇔ ��
− = dx
Sehingga diperoleh:
∫ y3 dx = ∫ u3 · ��
−
= –�
∫ u3 du
= –�
·
�
u4 + c
= –�
�(3 – 4x)4 + c
120 Integral Tak Tentu
b. ∫ y3 dy = �
y4 + c
= �
(3 – 4x)4 + c
10. a. ∫ (8 – 3f(x)) dx = ∫ 8 dx – ∫ 3f(x) dx
= 8 ∫ dx – 3 ∫ f(x) dx
= 8x – 3( �� − ) + c
= 8x – 3 �� − + c
b. ∫ f(8 – 3x) dx
Misalkan: u = 8 – 3x
��
�� = –3 ⇔ ��
�− = dx
Sehingga diperoleh:
∫ f(8 – 3x) dx = ∫ f(u) dx
= –�
� ∫ f(u) du
= –�
��� − + c
= –�
���� ��� − − + c
= –�
�� �− + c
121Matematika Kelas XI
heru
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.
Dari tabel diperoleh sebanyak 15 siswa memper-
oleh nilai 76–80.
2. Jawaban: b
Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.
x– = ∑=
∑=
�� �� �
� ��
��� �
⇔ 67 = ����� �
���
++
⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n
⇔ 10n = 140
⇔ n = 14
Mobi l yang berkecepatan kurang dar i
60 km/jam adalah mobil yang berkecepatan
50–54 km/jam dan 55–59 km/jam.
Banyak mobil yang berkecepatan 50–54 km/jam = 2
Banyak mobil yang berkecepatan 55–59 km/jam = 14
Jadi, banyak mobil yang berkecepatan kurang dari
60 km/jam = 14 + 2 = 16.
3. Jawaban: c
Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.
Modus terletak di kelas interval 155–159.
Lo = 155 – 0,5 = 154,5
d1 = 8 – 6 = 2
d2 = 8 – 6 = 2
p = 159 – 155 + 1 = 5
Mo = Lo + �
� �
+
· p
= 154,5 + �
� �
+
· 5
= 154,5 + 2,5
= 157
Jadi, modus data adalah 157.
4. Jawaban: a
Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai
berikut.
Banyak data = 30
Q1
= nilai data ke-�
�(30 + 1)
= nilai data ke-7,75
= x7 + 0,75(x
8 – x
7)
= 20 + 0,75(20 – 10)
= 20 + 0,75 × 10
= 20 + 7,5 = 27,5
Nilai Frekuensi
61–65
66–70
71–75
76–80
81–85
86–90
91–95
2,5% × 40 = 1
12,5% × 40 = 5
12,5% × 40 = 5
37,5% × 40 = 15
20% × 40 = 8
10% × 40 = 4
5% × 40 = 2
fi
2
n
30
36
18
14
6
106 + n
fix
i
104
57n
1.860
2.412
1.296
1.078
492
7.242 + 57n
xi
52
57
62
67
72
77
82
Kecepatan
(km/jam)
50–54
55–59
60–64
65–69
70–74
75–79
80–84
∑=
�
� �
← Kelas Mo
Tinggi Badan (cm)
145–149
150–154
155–159
160–164
165–169
170–174
175–179
Banyak Siswa
7
13 – 7 = 6
21 – 13 = 8
27 – 21 = 6
32 – 27 = 5
38 – 32 = 6
41 – 38 = 3
fi
7
8
8
3
4
Skor
10
20
30
40
50
fk
7
15
23
26
30
122 Ulangan Akhir Semester
Q3
= nilai data ke-�
�(30 + 1)
= nilai data ke-23,25
= x23
+ 0,25(x24
– x23
)
= 30 + 0,25(40 – 30)
= 30 + 0,25 × 10
= 30 + 2,5 = 32,5
Jangkauan antarkuartil = Q3 – Q
1
= 32,5 – 27,5 = 5
Jadi, jangkauan antarkuarti data adalah 5.
5. Jawaban: d
Σfi = 25
Σfi xi = 145
� = Σ
Σ� �
�
� �
�
= ��
� = 5,8
Σfi |xi – � | = 4|3 – 5,8| + 3|4 – 5,8| + 3|5 – 5,8|
+ 5|6 – 5,8| + 5|7 – 5,8| + 4|8 – 5,8|
+ 1|9 – 5,8|
= 4 × 2,8 + 3 × 1,8 + 3 × 0,8 + 5 × 0,2
+ 5 × 1,2 + 4 × 2,2 + 1 × 3,2
= 11,2 + 5,4 + 2,4 + 1 + 6 + 8,8 + 3,2
= 38
Simpangan rata-rata:
SR = Σ −
Σ� �
�
� � �
�
= ��
� = 1,52
Jadi, simpangan rata-rata data 1,52.
6. Jawaban: b
Σfi = 30
Σfixi = 1.920
� = � �
�
��
�
ΣΣ
= �����
�� = 64
Σfi (xi – � )2 = 4(53 – 64)2 + 5(58 – 64)2 + 9(63 – 64)2
+ 5(68 – 64)2 + 7(73 – 64)2
= 4 × (–11)2 + 5 × (–6)2 + 9 × (–1)2
+ 5 × (4)2 + 7 × (9)2
= 4 × 121 + 5 × 36 + 9 × 1 + 5 × 16
+ 7 × 81
= 484 + 180 + 9 + 80 + 567
= 1.320
S = ( )�
� �
�
� � �
�
Σ −Σ
= �����
��
= �� = ×� �� = � × �� = 2 ��
Jadi, simpangan baku data tersebut 2 �� .
7. Jawaban: d
Bilangan ratusan kurang dari 400 akan dibentuk
dari angka-angka 0, 1, 2, 4, dan 5.
Bilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan,
puluhan, dan satuan.
Bilangan ratusan kurang dari 400 dapat dibentuk
dengan cara berikut.
Ratusan Puluhan Satuan
2 cara 5 cara 5 cara
dapat diisi
angka 0, 1, 2, 4, 5
dapat diisi angka 0, 1, 2, 4, 5
dapat diisi angka 1, 2
Banyak bilangan ratusan kurang dari 400 yang
dapat dibentuk = 2 × 5 × 5 = 50.
8. Jawaban: c
Susunan benda yang mungkin sebagai berikut.
A x x x x x F
F x x x x x A
5! cara
Bendera yang terletak di antara A dan F dapat
diatur dengan 5! cara.
Banyak cara mengatur bendera
= 2 × 5!
= 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 2 × 120
= 240
9. Jawaban: a
Banyak anak yang masih harus dipilih
= 5 – (1 + 2) = 2 anak
Kemungkinan 2 anak yang terpilih adalah 2 anak
laki-laki atau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan
atau 2 anak perempuan.
Nilai (xi)
Frekuensi (fi)
fi x
i
3
4
12
4
3
12
5
3
15
6
5
30
7
5
35
8
4
32
9
1
9
fi
fix
ix
iBerat Badan (kg)
51–55
56–60
61–65
66–70
71–75
4
5
9
5
7
53
58
63
68
73
212
290
567
340
511
123Matematika Kelas XI
heru
Misalkan:
A = kejadian terpilih 2 anak laki-laki
B = kejadian terpilih 1 anak laki-laki dan 1 anak
perempuan
C = kejadian terpilih 2 anak perempuan
n(A) = banyak cara memilih 2 anak laki-laki dari 7
anak laki-laki
= 7C2 = ��
�� � =
× ×× ×
� � �
� � � = 21
n(B) = banyak cara memilih 1 anak laki-laki dari 7
anak laki-laki dan 1 anak perempuan dari 4
anak perempuan
= 7C1 × 4C1
= ��
�� �� ×
��
�� ��
= ××
� ��
� �� ×
××
� ��
� ��
= 7 × 4 = 28
n(C) = banyak cara memilih 2 anak perempuan dari
4 anak perempuan
= 4C2 = ��
�� �� =
× ×× ×
� � ��
� � �� = 6
Banyak cara memilih 2 anak lainnya = n(A) + n(B)
+ n(C) = 21 + 28 + 6 = 55 cara.
Jadi, banyak cara memilih 5 anak tersebut apabila
satu anak laki-laki dan dua anak perempuan harus
disertakan adalah 55.
10. Jawaban: e
Banyak soal yang harus dikerjakan = 5.
Sisa soal yang dapat dipilih siswa untuk dikerjakan
ada 3. Tiga soal tersebut dapat dipilih dari 5 soal.
Banyak pilihan soal = 5C3
= �
����
= × ×× ×
� ��
� � ��
= 10
Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dikerjakan
siswa ada 10.
11. Jawaban: e
Dua kartu diambil dari 20 kartu, maka banyak
anggota ruang sampel:
n(S) = 20C2 = ���
�� ��� =
× ×× ×
�� �� ���
� � ��� = 10 × 19 = 190
Kartu bernomor prima ada 4, yaitu 53, 59, 61, dan 67.
Misalkan A = kejadian terambil kedua kartu
bernomor prima, maka A′ = kejadian terambil kedua
kartu tidak bernomor prima.
n(A) = banyak cara mengambil 2 kartu bernomor
prima dari 4 kartu bernomor prima
= 4C2 = ��
�� �� =
× ×× ×
� � ��
� � �� = 2 × 3 = 6
Peluang terambil kedua kartu bernomor prima:
P(A) = ���
��� =
�
���
Peluang kedua kartu yang terambil tidak bernomor
prima:
P(A′) = 1 – P(A)
= 1 – �
��� =
���
��� =
��
�
Jadi, peluang kedua kartu yang terambil tidak
bernomor prima ��
�.
12. Jawaban: b
Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12.
Tiga kelereng diambil dari 12 kelereng, maka
banyak anggota ruang sampel:
n(S) = 12C3
= ���
�� �� =
× × ×× × ×
�� �� �� ��
� � � �� = 2 × 11 × 10 = 220
Kemungkinan kelereng yang terambil (2 biru,
1 kuning) atau (2 biru, 1 merah).
Misalkan:
A = kejadian terambil 2 kelereng biru dan 1 kelereng
kuning
B = kejadian terambil 2 kelereng biru dan 1 kelereng
merah
n(A) = banyak cara mengambil 2 kelereng biru dari
4 kelereng biru dan 1 kelereng kuning dari 3
kelereng kuning
= 4C2 × 3C
1
=
��
���� ×
��
����
= × ×× ×
� � ��
� � �� ×
××
� ��
� �� = 6 × 3 = 18
n(B) = banyak cara mengambil 2 kelereng biru dari
4 kelereng biru dan 1 kelereng merah dari 5
kelereng merah
= 4C2 × 5C
1
=
��
���� ×
�
����
= × ×× ×
� � ��
� � �� ×
××
��
� �� = 6 × 5 = 30
Kejadian A dan B saling lepas.
Peluang terambil 2 kelereng biru
= P(A) + P(B)
= ���
��� +
���
���
= ��
��� +
��
���
= ��
��� =
��
124 Ulangan Akhir Semester
13. Jawaban: a
Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama
sekali, maka banyak anggota ruang sampel adalah
n(S) = 6 × 6.
Misalkan:
A = kejadian terlihat kedua mata dadu sama
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
B = kejadian terlihat hasil kali kedua mata dadu
lebih dari 20
= {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A ∩ B = {(6, 6)}
Diperoleh n(A) = 6, n(B) = 6, dan n(A ∩ B) = 1.
Oleh karena A ∩ B = ∅, maka kejadian A dan B
tidak saling lepas.
Peluang terlihat kedua mata dadu sama atau hasil
kali kedua mata dadu tersebut lebih dari 20:
P = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ���
��� +
���
��� –
�� ��
���
∩
= �
�� +
�
�� –
�
��
= ��
��
14. Jawaban: c
Banyak percobaan = n = 132 kali
S = kejadian terambil 2 bola dari 12 bola
n(S) = banyak cara mengambil 2 bola dari 12 bola
= 12
C2
= ���
�� ��� =
× ×× ×
�� �� ���
� � ��� = 6 × 11= 66
Kemungkinan bola yang terambil adalah 2 bola
merah atau 1 bola merah dan 1 bola kuning.
Misalkan:
A = kejadian terambil 2 bola merah
B = kejadian terambil 1 bola merah dan 1 bola
kuning
n(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari
7 bola merah
= 7C
2 =
��
�� � =
× ×× ×
� � �
� � � = 7 × 3 = 21
n(B) = banyak cara mengambil 1 bola merah dari
7 bola merah dan 1 bola kuning dari 5 bola
kuning
= 7C
1 ×
5C
1
=
��
���� ×
�
����
= ××
� ��
� �� ×
××
��
� ��
= 7 × 5 = 35
Kejadian A dan B saling lepas.
Peluang terambil bola merah:
P = P(A) + P(B)
= ���
��� +
���
���
= ��
�� +
�
��
= �
��
= ��
��
Frekuensi harapan terambil 2 bola merah:
Fh
= P × n
= ��
�� × 132
= 112
15. Jawaban: b
Lingkaran yang berpusat di titik P(2, –5) mem-
punyai persamaan (x – 2)2 + (y + 5)2 = r2. Oleh
karena diameter lingkaran 18 maka jari-jarinya 9,
diperoleh:
(x – 2)2 + (y + 5)2 = r2
⇔ (x – 2)2 + (y + 5)2 = 92
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 81
⇔ x2 – 4x + y2 + 10y + 29 = 81
⇔ x2 – 4x + y2 + 10y – 52 = 0
⇔ x2 + y2 – 4x + 10y – 52 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 4x + 10y
– 52 = 0.
16. Jawaban: a
Jari-jari lingkaran M sama dengan jarak titik pusat
P(2, 5) terhadap garis 2x + 3y – 6 = 0.
r = � �
������������ �
� ����
−
= ����� �
��
−
= ��
��
= ��
Persamaan lingkaran M:
(x – 2)2 + (y – 5)2 = r2
⇔ (x – 2)2 + (y – 5)2 = ( �� )2
⇔ (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13
Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13.
17. Jawaban: e
x2 + y2 + ax – 8y + 4 = 0
Titik pusat = (–�
�a, 4).
125Matematika Kelas XI
heru
Oleh karena lingkaran menyinggung sumbu X,
diperoleh:
r = |ordinat pusat|
⇔ r = 4
⇔ � � �
�� �� � �+ −− = 4
⇔ � �
�� �� �+ − = 4
⇔ � �
�� ��+ = 4
⇔ �
�a2 + 12 = 16
⇔ �
�a2 = 4
⇔ a2 = 16
⇔ a = 4 atau –4
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –4 atau 4.
18. Jawaban: b
x2 + y2 – 4x + 8y = 0
⇔ x2 – 4x + y2 + 8y = 0
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 0 + 4 + 16
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20
Persamaan garis singgung yang bergradien 2:
y + 4 = 2(x – 2) ± r ������
⇔ y + 4 = 2x – 4 ± �� ������
⇔ y + 4 = 2x – 4 ± ��
⇔ y = 2x – 8 ± 10
⇔ y = 2x – 8 + 10 atau y = 2x – 8 – 10
⇔ y = 2x + 2 atau y = 2x – 18
Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2x + 2
dan y = 2x – 18.
19. Jawaban: b
Garis 3x – 4y = 12 mempunyai gradien m1 = �
�.
Oleh karena garis singgung tegak lurus dengan
garis 3x – 4y = 12, diperoleh:
m · m1 = –1
⇔ m · �
�= –1
⇔ m = –�
�
Persamaan garis singgung:
y = mx ± r ������
⇔ y = –�
�x ± 3
� �
������ �−
⇔ y = –�
�x ± 3
��
�����
⇔ y = –�
�x ± 3
�
�
⇔ y = –�
�x ± 5
⇔ 3y = –4x ± 15
⇔ 4x + 3y ± 15 = 0
⇔ 4x + 3y + 15 = 0 atau 4x + 3y – 15 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya 4x + 3y + 15
= 0 atau 4x + 3y – 15 = 0.
20. Jawaban: a
Lingkaran memotong sumbu X positif ketika
y = 0, diperoleh:
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 20
⇔ (x – 3)2 + (0 + 2)2 = 20
⇔ (x – 3)2 + 4 = 20
⇔ (x – 3)2 = 16
⇔ x – 3 = 4 atau x – 3 = –4
⇔ x = 7 atau x = –1
Oleh karena memotong sumbu X positif, maka titik
singgungnya (7, 0).
Persamaan garis singgung di titik (7, 0):
(x1 – 3)(x – 3) + (y1 + 2)(y + 2) = 20
⇔ (7 – 3)(x – 3) + (0 + 2)(y + 2) = 20
⇔ (4)(x – 3) + (2)(y + 2) = 20
⇔ 4x – 12 + 2y + 4 = 20
⇔ 4x + 2y – 8 = 20
⇔ 4x + 2y = 28
⇔ 2x + y = 14
Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y = 14.
21. Jawaban: a
Cek kedudukan titik (2, 3) terhadap lingkaran.
(x + 2)2 + (y – 1)2
= (2 + 2)2 + (3 – 1)2
= 42 + 22
= 16 + 4
= 20 > 16
Ternyata titik (2, 3) terletak di luar lingkaran.
Persamaan garis kutub:
(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 16
⇔ (2 + 2)(x + 2) + (3 – 1)(y – 1) = 16
⇔ (4)(x + 2) + (2)(y – 1) = 16
⇔ 4x + 8 + 2y – 2 = 16
⇔ 4x + 2y + 6 = 16
⇔ 4x + 2y = 10
⇔ 2x + y = 5
⇔ y = 5 – 2x
Substitusikan y = 5 – 2x ke dalam persamaan
lingkaran.
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 16
⇔ (x + 2)2 + (5 – 2x – 1)2 = 16
⇔ (x + 2)2 + (4 – 2x)2 = 16
⇔ x2 + 4x + 4 + 16 – 16x + 4x2 = 16
⇔ 5x2 – 12x + 20 = 16
⇔ 5x2 – 12x + 4 = 0
⇔ (5x – 2)(x – 2) = 0
⇔ 5x – 2 = 0 atau x – 2 = 0
⇔ x = �
atau x = 2
126 Ulangan Akhir Semester
Untuk x = �
maka y = 5 – 2 ·
�
=
��
Untuk x = 2 maka y = 5 – 2 · 2 = 1
Diperoleh titik pada lingkaran, yaitu (�
,
��
) dan
(2, 1).
Persamaan garis singgung di titik (�
,
��
):
(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 16
⇔ (�
+ 2)(x + 2) + (
��
– 1)(y – 1) = 16
⇔ (��
)(x + 2) + (
��
)(y – 1) = 16
⇔ (12)(x + 2) + (16)(y – 1) = 80
⇔ 12x + 24 + 16y – 16 = 80
⇔ 12x + 16y + 8 = 80
⇔ 12x + 16y – 72 = 0
⇔ 3x + 4y – 18 = 0
Persamaan garis singgung di titik (2, 1):
(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 16
⇔ (2 + 2)(x + 2) + (1 – 1)(y – 1) = 16
⇔ (4)(x + 2) + (0)(y – 1) = 16
⇔ 4x + 8 + 0 = 16
⇔ 4x = 8
⇔ x = 2
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
3x + 4y – 18 = 0 dan x = 2.
22. Jawaban: d
Diketahui A′(–8, 5)
A(4, –12) ������ ���������−→A′(4 + (a – 1), –12 + (b + 2)
Diperoleh:
4 + (a – 1) = –8
⇔ a + 3 = –8
⇔ a = –11
–12 + (b + 2) = 5
⇔ b – 10 = 5
⇔ b = 15
a + b = –11 + 15 = 4
Jadi, nilai a + b = 4.
23. Jawaban: a
Misalkan titik (x, y) terletak pada garis 5x + 3y = 20.
(x, y) �������� ��−→ (x′, y′) = (x + 1, y – 7)
Diperoleh:
x′ = x + 1
⇔ x = x′ – 1
y′ = y – 7
⇔ y = y′ + 7
Substitusikan x = x′ – 1 dan y = y′ + 7 ke
persamaan 5x + 3y = 20.
5x + 3y = 20
⇔ 5(x′ – 1) + 3(y′ + 7) = 20
⇔ 5x′ – 5 + 3y′ + 21 = 20
⇔ 5x′ + 3y′ = 4
⇔ 5x + 3y = 4
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah
5x + 3y = 4.
24. Jawaban: b
A(–9, a + 3) �����"�����→ A′(x′, y′) = A′(y, x)
= A′(2a, b + 2)
Diperoleh:
a + 3 = 2a
⇔ a = 3
b + 2 = –9
⇔ b = –11
a + b = 3 – 11 = –8
Jadi, nilai a + b = –8.
25. Jawaban: b
Misalkan titik (x, y) terletak pada lingkaran
(x + 1)2 + (y + 6)2 = 9.
(x, y) "����#→ (x′, y′) = (x, 2 · 4 – y)
Diperoleh:
x′ = x
y′ = 2 · 4 – y
⇔ y = 8 – y′Substitusikan x = x′ dan y = 8 – y′ ke persamaan
(x + 1)2 + (y + 6)2 = 9.
(x + 1)2 + (y + 6)2 = 9
⇔ (x′ + 1)2 + ((8 – y′) + 6)2 = 9
⇔ (x′ + 1)2 + (14 – y′)2 = 9
⇔ (x′ + 1)2 + (–(y′ – 14))2 = 9
⇔ (x′ + 1)2 + (y′ – 14)2 = 9
⇔ (x + 1)2 + (y – 14)2 = 9
Jadi, persamaan bayangannya adalah (x + 1)2 +
(y – 14)2 = 9.
26. Jawaban: b
A(a + 2, b – 1) $&'���������� *°→ A′(–b + 1, a + 2)
Diketahui pula A′(–2b, 2a – 1) sehingga diperoleh:
–2b = –b + 1
⇔ b = –1
2a – 1 = a + 2
⇔ a = 3
Koordinat titik A(a + 2, b – 1) sehingga A(3 + 2, –1 – 1)
= A(5, –2).
Jadi, koordinat titik A(5, –2).
27. Jawaban: a
Misalkan titik (x, y) terletak pada persamaan��������
� +
��" ��
�
− = 1.
(x, y) $&'�������� �� *− °→ (x′, y′) = (y, –x)
127Matematika Kelas XI
heru
Diperoleh:
–x = y′⇔ x = –y′y = x′Substitusikan x = –y′ dan y = x′ ke persamaan
��������
� +
��" ��
�
− = 1.
��������
� +
��" ��
�
− = 1
⇔�� " �����
�
′− +
��� ��
�
′ − = 1
⇔�� �" ���
�
′− − +
��� ��
�
′ − = 1
⇔��" ��
�
′ − +
��� ��
�
′ − = 1
⇔��" ��
�
− +
��� ��
�
− = 1
⇔��� ��
�
− +
��" ��
�
− = 1
Jadi, persamaan bayangannya adalah ��� ��
�
− +
��" ��
�
− = 1.
28. Jawaban: d
Dilatasi oleh faktor skala –2 dan titik pusat (3, 6)
sebagai berikut.
x′ = kx – ka + a
= (–2) · 2 – (–2) · 3 + 3
= –4 + 6 + 3
= 5
y′ = ky – kb + b
= (–2) · (–1) – (–2) · 6 + 6
= 2 + 12 + 6
= 20
Jadi, bayangan titik B adalah B′(5, 20).
29. Jawaban: b
; �<��→
�
�;(f(x + h) – f(x))
= �
� ·
; �<��→
�
;(f(x + h) – f(x))
= �
� ·
; �<��→
�������;� �����
;
−
= �
� · f′(x)
= �
� · (2 · 4x3 – 4 · 2x + 0)
= �
� · (8x3 – 8x)
= 2x3 – 2x
30. Jawaban: e
f(x) = (2x3 – 2x2 + x + 4)5
Misalkan:
u = 2x3 – 2x2 + x + 4 maka u′ = 6x2 – 4x + 1.
Turunan f(x) = u5 adalah
f′(x) = 5u4 · u′= 5u4 · (6x2 – 4x + 1)
= 5(2x3 – 2x2 + x + 4)4 · (6x2 – 4x + 1)
= 5(6x2 – 4x + 1)(2x3 – 2x2 + x + 4)4
Nilai f′(–1)
= 5(6 · (–1)2 – 4 · (–1) + 1)(2 · (–1)3 – 2 · (–1)2
– 1 + 4)4
= 5(6 + 4 + 1)(–2 – 2 – 1 + 4)4
= 5(11)(–1)4
= 55
31. Jawaban: d
Misalkan:
a = 2x – 1
⇔ 2x = a + 1
⇔ x = �����
�
f(2x – 1) = 8x2 – 2
⇔ f(a) = 8�
�����
�
– 2
= 2(a2 + 2a + 1) – 2
= 2a2 + 4a + 2 – 2
= 2a2 + 4a
f′(a) = 2 · 2a + 4
= 4a + 4
Nilai f′(–2) = 4 · (–2) + 4 = –8 + 4 = –4.
32. Jawaban: e
Gradien garis singgung kurva:
m = f′(x) = 3x – a
Substitusikan x = a – 1 ke dalam m = 3x – a,
diperoleh:
m = 3x – a
= 3(a – 1) – a
= 3a – 3 – a
= 2a – 3
Garis normal x + ay – 5 = 0 mempunyai gradien
mn = –�
�.
Oleh karena garis singgung dan garis normal saling
tegak lurus, diperoleh:
m · mn = –1
⇔ (2a – 3) · (–�
�) = –1
⇔ 2a – 3 = a
⇔ 2a – a = 3
⇔ a = 3
Diperoleh koordinat titik T(3 – 1, b) = T(2, b).
Substitusikan x = 2 dan a = 3 ke dalam persamaan
kurva.
128 Ulangan Akhir Semester
f(x) = �
�x2 – ax + 1
⇔ b = �
� · 22 – 3 · 2 + 1
= 6 – 6 + 1
= 1
Jadi, koordinat titik T(2, 1).
33. Jawaban: a
Fungsi f(x) turun ketika f′(x) < 0.
f′(x) < 0
⇔ 3 · 4x3 – 16 · 3x2 + 24 · 2x < 0
⇔ 12x3 – 48x2 + 48x < 0
⇔ 12x(x2 – 4x + 4) < 0
⇔ 12x(x – 2)2 < 0
Pembuat titik nol:
12x = 0 dan x – 2 = 0
⇔ x = 0 atau x = 2
⇔ x < 0
Jadi, grafik fungsi f(x) turun pada interval x < 0.
34. Jawaban: d
Perhatikan kotak berikut.
Alas kotak berukuran a cm dan tingginya t cm.
Luas permukaan = 432
⇔ luas alas + 4 · luas bidang tegak = 432
⇔ a2 + 4 · at = 432
⇔ a2 + 4at = 432
⇔ 4at = 432 – a2
⇔ t = ���� �
��
−
Volume kotak:
V = luas alas · tinggi
= a2 · t
= a2 · ���� �
��
−
= ������ � �
�
−
= ����� �
�
−
Volume kotak maksimum ketika V′(a) = 0.
V′(a) = 0
⇔ ���
� –
���
�= 0
⇔ ���
�=
���
�
⇔ 3a2 = 432
⇔ a2 = 144
⇔ a = ±12
Oleh karena ukuran panjang harus positif, nilai a
yang memenuhi adalah 12.
Volume maksimum:
V = ����� �
�
−
= �������� ��
�
−
= ���� �����
�
−
= 864
Jadi, volume maksimum kotak tersebut 864 cm3.
35. Jawaban: e
Banyak barang yang diproduksi x unit.
Biaya total produksi:
B(x) = (25x2 – 2.000x + 50.000) ribu
Harga penjualan per unit:
H(x) = (0,1x2 – 20x + 4.000) ribu
Harga total penjualan:
T(x) = x · H(x)
= x · (0,1x2 – 20x + 4.000) ribu
= (0,1x3 – 20x2 + 4.000x) ribu
Keuntungan:
U(x) = T(x) – B(x)
= (0,1x3 – 20x2 + 4.000x) – (25x2 – 2.000x
+ 50.000) ribu
= (0,1x3 – 45x2 + 6.000x – 50.000) ribu
Keuntungan maksimum dicapai ketika U′(x) = 0.
U′(x) = 0
⇔ 0,1 · 3x2 – 45 · 2x + 6.000 = 0
⇔ 0,3x2 – 90x + 6.000 = 0
⇔ 0,3(x2 – 300x + 20.000) = 0
⇔ 0,3(x – 100)(x – 200) = 0
⇔ x – 100 = 0 atau x – 200 = 0
⇔ x = 100 atau x = 200
Cek turunan kedua U(x).
U′′(x) = 0,6x – 90
Untuk x = 100 diperoleh
U′′(100) = 0,6 · 100 – 90 = –30 (maksimum)
Untuk x = 200 diperoleh
U’’(200) = 0,6 · 200 – 90 = 30 (minimum)
Jadi, keuntungan maksimum dicapai pada saat
banyak produksi 100 unit.
36. Jawaban: d
∫ �
�
� dx = 4 ∫ x–3 dx
= 4 · �
�− x–2 + c
= – �
�
� + c
0 2
– + +
aa
t
129Matematika Kelas XI
heru
37. Jawaban: e
∫ x(3x – 8) dx = ∫ (3x2 – 8x) dx
= 3 · �
�x3 – 8 ·
�
�x2 + c
= x3 – 4x2 + c
38. Jawaban: a
f′(x) = 6x + 5
Persamaan kurva:
f(x) = ∫ (6x + 5) dx
= 6 · �
�x2 + 5x + c = 3x2 + 5x + c
Grafik fungsi f(x) melalui titik (2, –3), berarti:
f(2) = –3 ⇔ 3(2)2 + 5(2) + c = –3
⇔ 12 + 10 + c = –3
⇔ 22 + c = –3
⇔ c = –25
Jadi, rumus fungsi f(x) = 3x2 + 5x – 25.
39. Jawaban: c
Misalkan: u = x – 3
@
�= 1 ⇔ du = dx
Sehingga diperoleh:
∫ (x – 3)5 dx = ∫ u5 du
= �
�u6 + c
= �
�(x – 3)6 + c
40. Jawaban: b
Misalkan: u = 2x + 1 maka:
@
�= 2
⇔ dx = @
�
Sehingga diperoleh:
∫ �
�� �+dx = ∫ �
@ ·
@
�
= ∫ 2�
�@−
du
= 2 ∫ �
�@−
du
= 2 · 2�
�@ + c = 4 ������ + c
B. Uraian
1. a.
Mean:
� = =
=
∑
∑
�
� �� �
�
�� �
��
�
= ����
� = 59,7
Jadi, rata-rata berat badan siswa 59,7 kg.
b. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data
sebagai berikut.
Banyak data = n = 50
Median = nilai data ke-�
�(50 + 1)
= nilai data ke-25,5
Median adalah nilai data ke-25,5 terletak di
kelas interval 56–62.
L = 56 – 0,5 = 55,5
fMe= 20
fkMe
= 13
p = 62 – 56 + 1 = 7.
Me = L + −
#E
E
�I�
#
�
� · p
= 55,5 + �
�� ��
��
⋅ −
· 7
= 55,5 + � ��
��
−
· 7
= 55,5 + ��
�� · 7
= 55,5 + 4,2
= 59,7
Jadi, median berat badan siswa 59,7 kg.
2. a. Sajian data dalam bentuk tabel distribusi
frekuensi kumulatif sebagai berikut.
Banyak data = n = 60
Berat Badan (kg)
42–48
49–55
56–62
63–69
70–76
∑=
�
� �
fi
3
10
20
13
4
50
xi
45
52
59
66
73
fix
i
135
520
1.180
858
292
2.985
42–48
49–55
56–62
63–69
70–76
fi
3
10
20
13
4
fk
3
13
33
46
50
Berat
Badan (kg)
← Kelas Me
22–26
27–31
32–36
37–41
42–46
47–51
fi
18
13
11
5
7
6
fk
18
31
42
47
54
60
Usia
(tahun)
← Kelas Q1
← Kelas Q3
130 Ulangan Akhir Semester
Q1 = nilai data ke-�
�(60 + 1)
= nilai data ke-15,25
Q1 adalah nilai data ke-15,25 terletak di kelas
interval 22–26.
L1 = 22 – 0,5 = 21,5
fQ1 = 18
fkQ1 = 0
p = 26 – 22 +1 = 5
Q1 = L1 + W�
�
�I�
W
�
�
⋅ −
· p
= 21,5 + �
��� �
��
⋅ −
· 5
= 21�
� + 4
�
� = 25
�
�
Q3 = nilai data ke-�
�(60 + 1)
= nilai data ke-45,75
Q3 adalah nilai data ke-45,75 terletak di kelas
interval 37 – 41.
L3 = 37 – 0,5 = 36,5
fQ3 = 5
fkQ3= 42
Q3 = L3 + W�
�
�I�
W
�
�
⋅ −
· p
= 36,5 + �
��� ��
⋅ −
· 5
= 36,5 + 3 = 39,5
Jangkauan antarkuartil
= Q3 – Q1
= 39�
� – 25
�
� = 13
�
Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah 13
�
tahun.
b.
� = =
=
∑
∑
�
� �� �
�
�� �
� �
� =
�����
�� = 33
Ragam: S2 = =
=
−∑
∑
��
� �� �
�
�� �
� �� ��
� =
�����
�� = 70
�
�
Jadi, ragam data 70�
�.
3. Tim beranggotakan 3 orang, terdiri atas sekurang-
kurangnya 1 orang wanita.
Kemungkinan anggota tim terdiri atas 1 wanita dan
2 pria, 2 wanita dan 1 pria, atau 3 wanita.
Banyak cara memilih 1 wanita dari 4 wanita dan
2 pria dari 6 pria = 4C1 × 6C2
=
��
���� ×
��
����
= ××
� ��
� �� ×
× ×× ×
� ��
� � ��
= 4 × 15 = 60
Banyak cara memilih 2 wanita dari 4 wanita dan
1 pria dari 6 pria = 4C2 × 6C1
=
��
���� ×
��
���
= × ×× ×
� � ��
� � �� ×
××
� �
� �
= 6 × 6 = 36
Banyak cara memilih 3 wanita dari 4 wanita = 4C3
=
��
�� �� =
××
� ��
�� �= 4
Jadi, banyak cara memilih anggota tim sekurang-
kurangnya terdiri atas 1 wanita = 60 + 36 + 4 = 100.
4. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A
kemudian dimasukkan ke kotak B.
Kemungkinan bola yang terambil dari kotak A
adalah 1 bola merah atau 1 bola kuning.
Kotak A berisi 7 bola, terdiri atas 3 bola merah
(3M) dan 4 bola kuning (3K).
Kotak B berisi 7 bola, terdiri atas 2 bola merah
(2M) dan 5 bola kuning (5K).
Misalkan:
A = kejadian terambil 1 bola merah dari kotak A
dan 1 bola kuning dari kotak B
B = kejadian terambil 1 bola kuning dari kotak A
dan 1 bola kuning dari kotak B
Proses pengambilan bola dan peluang kejadian A
dan B dapat digambarkan seperti skema berikut.fi
xi
fix
i(x
i – � )2 f
i (x
i – � )2
18 24 432 81 1.458
13 29 377 16 208
11 34 374 1 11
5 39 195 36 180
7 44 308 121 847
6 49 294 256 1.536
60 1.980 4.240�
�
Kotak A
3 M
4 K
Kotak B
3 M
5 K
Kotak B
2 M
6 K
K – (MK)
M – (KM)
M
K
�
�
�
�
�
Peluang pengambilan
bola dari kotak A
Peluang pengambilan
bola dari kotak B
P(MA)
P(KA)
P1(KB)
P2(KB)
131Matematika Kelas XI
heru
Peluang terambil 1 bola merah dari kotak A = P(MA)
= �
�.
Peluang terambil 1 bola kuning dari kotak B setelah
1 bola merah dimasukkan = P1(KB) =
�.
P(A) = P(MA) × P
1(K
B) =
�
� ×
� =
�
�
Peluang terambil 1 bola kuning dari kotak A =
P(KA) = �
�.
Peluang terambil 1 bola kuning dari kotak B setelah
1 bola kuning dimasukkan = P2(KB) = �
�.
P(B) = P(KA) × P
2(K
B) =
�
� ×
�
� =
��
�
Kejadian A dan B saling lepas.
Jadi, peluang terambil satu bola kuning
= P(A) + P(B) = �
� +
��
� =
��
�.
5. a. Kedudukan titik B
x2 + y2 + 8x – 6y + 20
= (–3)2 + 02 + 8 · (–3) – 6 · 0 + 20
= 9 + 0 – 24 – 0 + 20
= 5 > 0
Jadi, titik B(–3, 0) terletak di luar lingkaran.
b. Persamaan garis singgung
Oleh karena titik B terletak di luar lingkaran,
persamaan garis singgung dapat ditentukan
dengan menggunakan persamaan garis kutub.
Persamaan garis kutub:
x1x + y1y + 4(x + x1) – 3(y + y1) + 20 = 0
⇔ –3x + 0y + 4(x – 3) – 3(y + 0) + 20 = 0
⇔ –3x + 4x – 12 – 3y + 20 = 0
⇔ x – 3y + 8 = 0
⇔ x = 3y – 8
Substitusikan x = 3y – 8 ke dalam persamaan
lingkaran.
x2 + y2 + 8x – 6y + 20 = 0
⇔ (3y – 8)2 + y2 + 8(3y – 8) – 6y + 20 = 0
⇔9y2 – 48y + 64 + y2 + 24y – 64 – 6y + 20 = 0
⇔ 10y2 – 30y + 20 = 0
⇔ 10(y2 – 3y + 2) = 0
⇔ 10(y – 2)(y – 1) = 0
⇔ y – 2 = 0 atau y – 1 = 0
⇔ y = 2 atau y = 1
Untuk y = 2 maka x = 3 · 2 – 8 = –2
Untuk y = 1 maka x = 3 · 1 – 8 = –5
Diperoleh titik pada lingkaran, yaitu (–2, 2) dan
(–5, 1).
Persamaan garis singgung di titik (–2, 2):
x1x + y1y + 4(x + x1) – 3(y + y1) + 20 = 0
⇔ –2x + 2y + 4(x – 2) – 3(y + 2) + 20 = 0
⇔ –2x + 2y + 4x – 8 – 3y – 6 + 20 = 0
⇔ 2x – y + 6 = 0
Persamaan garis singgung di titik (–5, 1):
x1x + y1y + 4(x + x1) – 3(y + y1) + 20 = 0
⇔ –5x + y + 4(x – 5) – 3(y + 1) + 20 = 0
⇔ –5x + y + 4x – 20 – 3y – 3 + 20 = 0
⇔ –x – 2y – 3 = 0
⇔ x + 2y + 3 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya 2x – y + 6
= 0 dan x + 2y + 3 = 0.
6. a. A(9, 4) ����� ��� ��− −→ A′(9 – 3, 4 – 7)
= A′(6, –3)
Jadi, bayangan titik A adalah A′(6, –3).
b. A(9, 4) �����#→ A′(2 · 3 – 9, 4) = A′(–3, 4)
Jadi, bayangannnya adalah A′(–3, 4).
7. Misalkan titik (x, y) terletak pada elips ��� �
�
− +
��"�����
� = 1.
(x, y) didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat
(1, 6) sehingga diperoleh:
x′ = kx – ka + a
⇔ x′ = 2x – 2 · 1 + 1
⇔ x′ = 2x – 1
⇔ x = " ����
�
′
y′ = ky – kb + b
⇔ y′ = 2y – 2 · 6 + 6
⇔ y′ = 2y – 6
⇔ y = " ����
�
′
Substitusikan x = � ����
�
′ dan y =
" ����
�
′ ke
persamaan ��� �
�
− +
��"�����
� = 1.
��� �
�
− +
��"�����
� = 1
⇔( )�
� ����
�
�
′
− +
( )�" ����
��
���
�
′
= 1
⇔�
�� ����� ��
�
�
′ − +
��" ���������
�
�
′ = 1
⇔�
� �
�
�
− +
�" ����
�
�
′ = 1
⇔��� ��
� ��
�
′ −
+
��" � ��� �
�
�
′
= 1
132 Ulangan Akhir Semester
⇔��� ��
��
′ − +
��" ���
��
′= 1
⇔��� ��
��
− +
��" ���
��= 1
Jadi, persamaan bayangannya adalah ��� ��
��
− +
��" ���
�� = 1.
8. Titik stasioner kurva dicapai ketika f′(x) = 0.
f′(x) = 0
⇔ 2 · 3x2 – 3 · 2x – 12 = 0
⇔ 6x2 – 6x – 12 = 0
⇔ 6(x2 – x – 2) = 0
⇔ 6(x – 2)(x + 1) = 0
⇔ x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
⇔ x = 2 atau x = –1
Cek turunan kedua f(x).
f′′(x) = 6 · 2x – 6
= 12x – 6
Untuk x = 2
f′′(2) = 12 · 2 – 6 = 24 > 0 (minimum)
f(2) = 2 · 23 – 3 · 22 – 12 · 2 + 2
= 16 – 12 – 24 + 2
= –18
Diperoleh titik stasioner minimum (2, –18).
Untuk x = –1
f′′(–1) = 12 · –1 – 6 = –18 < 0 (maksimum)
f(–1) = 2 · (–1)3 – 3 · (–1)2 – 12 · (–1) + 2
= –2 – 3 + 12 + 2
= 9
Diperoleh titik stasioner minimum (–1, 9).
Jadi, titik stasioner minimum (2, –18) dan titik
stasioner maksimum (–1, 9).
9. Fungsi f(x) mempunyai titik stasioner ketika f’(x) = 0.
f′(x) = 0
⇔ 2x + b = 0
⇔ 2a + b = 0
⇔ b = –2a . . . (1)
f(a) = –3
⇔ a2 + ab + 1 = –3
⇔ a2 + a(–2a) + 1 = –3
⇔ a2 – 2a2 = –4
⇔ –a2 = –4
⇔ a = 2 atau a = –2
Untuk a = 2 maka b = –2 · 2 = –4
Untuk a = –2 maka b = –2 · (–2) = 4
Nilai ab = 2 · (–4) = –8.
Jadi, nilai ab = –8.
10. f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x + 2
a. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ (2x – 3 + x + 2) dx
= ∫ (3x – 1) dx
= 3 · �
�x2 – x + c
= �
�x2 – x + c
b. ∫ (f(x) × g(x)) dx = ∫ ((2x – 3) × (x + 2)) dx
= ∫ (2x2 + x – 6) dx
= 2 · �
�x3 +
�
�x2 – 6x + c
= �
�x3 +
�
�x2 – 6x + c
255Matematika Kelas XI
SIL
AB
US
Sta
tis
tik
a
Mata
Pela
jaran
:M
ate
matika
Satu
an
Pen
did
ikan
:S
MA
/MA
Kela
s/S
em
este
r:
XI/
2
Ko
mp
ete
nsi In
ti:
1.
Menghayati d
an m
engam
alk
an a
jara
n a
gam
a y
ang d
ianutn
ya.
2.
Menghayati d
an m
engam
alk
an p
erila
ku juju
r, d
isip
lin, ta
nggung jaw
ab, peduli (
goto
ng r
oyong, kerja s
am
a, to
lera
n, dam
ai),
santu
n, re
sponsif d
an p
roaktif dan m
enunju
kkan s
ikap s
ebagai bagia
n d
ari s
olu
si ata
s b
erb
agai perm
asala
han d
ala
m b
erinte
raksi
secara
efe
ktif dengan lin
gkungan s
osia
l dan a
lam
sert
a d
ala
m m
enem
patk
an d
iri sebagai cerm
inan b
angsa d
ala
m p
erg
aula
n
dunia
.
3.
Mem
aham
i, m
enera
pkan, dan m
enganalisis
pengeta
huan faktu
al, k
onseptu
al, p
rosedura
l, d
an m
eta
kognitif b
erd
asark
an rasa
ingin
tahunya tenta
ng ilm
u p
engeta
huan, te
knolo
gi, s
eni, b
udaya, dan h
um
anio
ra d
engan w
aw
asan k
em
anusia
an, k
ebangsaan,
kenegara
an, dan p
era
daban terk
ait p
enyebab fenom
ena d
an k
eja
dia
n, sert
a m
enera
pkan p
engeta
huan p
rosedura
l pada b
idang
kajian y
ang s
pesifik
sesuai dengan b
akat dan m
inatn
ya u
ntu
k m
em
ecahkan m
asala
h.
4.
Mengola
h, m
enala
r, d
an m
enyaji d
ala
m ranah k
onkre
t dan ranah a
bstr
ak terk
ait d
engan p
engem
bangan d
ari y
ang d
ipela
jarinya
di sekola
h s
ecara
mandiri, b
ert
indak s
ecara
efe
ktif dan k
reatif, s
ert
a m
am
pu m
enggunakan m
eto
de s
esuai kaid
ah k
eilm
uan.
1.1
Menghayati dan m
engam
al-
ka
n
aja
ra
n
ag
am
a
ya
ng
dia
nu
tnya
.
2.1
Me
milik
i m
oti
va
si
inte
rn
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sa
ma
,
ko
ns
iste
n,
sik
ap
d
isip
lin
,
rasa perc
aya diri, dan sik
ap
tole
ran
si
da
lam
p
erb
ed
aa
n
str
ate
gi
be
rp
ikir
d
ala
m
me
milih
d
an
m
en
era
pka
n
str
ate
gi
me
ny
ele
sa
ika
n
ma
sa
lah
.
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
15 jp
•M
engagum
i pengertia
n
da
n m
akn
a sta
tistika
sert
a penggunaannya
dala
m keseharian.
•M
em
ilik
i sik
ap k
onsis
-
ten
, te
liti d
an
ce
rma
t,
dis
iplin, dan r
asa ingin
tahu d
ala
m m
enghadapi
da
n m
en
ye
les
aik
an
pe
rma
sa
lah
an
.
•M
em
ilik
i s
ika
p
da
n
be
rpe
rila
ku
ju
jur
da
n
tan
gg
uh
m
en
gh
ad
ap
i
masala
h dala
m m
em
-
pela
jari sta
tistika.
1.
Bu
ku
M
ate
ma
tika
SM
A/M
A K
ela
s X
I,
Ke
me
nte
ria
n P
en
-
did
ika
n d
an
K
eb
u-
da
ya
an
R
ep
ub
lik
Ind
on
esia
2.
Bu
ku
G
uru
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Kela
s X
I, K
em
ente
-
rian P
endid
ikan d
an
Ke
bu
da
ya
an
R
e-
publik In
donesia
3.
Bu
ku
P
R M
ate
ma
-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
4.
Buku P
G M
ate
ma-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Sta
tis
tik
a
•T
ab
el
Dis
trib
us
i
Fre
ku
en
si
da
n H
is-
tog
ram
•U
ku
ran
P
em
usa
tan
•U
ku
ra
n L
eta
k d
an
Uku
ran
P
en
ye
ba
ran
•M
en
ga
ma
ti p
en
gg
un
aa
n
sta
tistika d
ala
m k
ehid
upan
se
ha
ri-h
ari
.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
dan r
um
us m
ean, m
edia
n,
dan m
odus.
•M
en
gh
itu
ng
n
ila
i m
ea
n,
me
dia
n,
da
n m
od
us d
ata
tun
gg
al.
•M
en
gh
itu
ng
n
ila
i m
ea
n,
me
dia
n,
da
n m
od
us d
ata
berk
elo
mpok d
ala
m b
entu
k
tab
el
dis
trib
usi
fre
ku
en
si
bia
sa
, ta
be
l d
istr
ibu
si
fre
ku
en
si
re
lati
f,
tab
el
dis
trib
us
i fr
ek
ue
ns
i
ku
mu
latif,
h
isto
gra
m,
da
n
po
lig
on
fr
eku
en
si.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
da
n ru
mu
s ku
art
il,
de
sil,
dan pers
entil.
256 Silabus
•M
en
gh
itu
ng
n
ila
i ku
arti
l,
de
sil,
da
n p
erse
ntil
da
ta
tunggal.
•M
en
gh
itu
ng
n
ila
i ku
arti
l,
desil, dan p
ers
entil data
ber-
ke
lom
po
k d
ala
m b
en
tuk
tab
el
dis
trib
usi
fre
ku
en
si
bia
sa
, t
ab
el
dis
trib
usi fr
e-
kuensi
rela
tif,
ta
be
l d
istr
i-
bu
si
fre
ku
en
si
ku
mu
lati
f,
his
tog
ra
m,
da
n p
oli
go
n
fre
ku
en
si.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
jan
gka
ua
n,
jan
gka
ua
n
an
tarku
arti
l,
sim
pa
ng
an
kuartil, sim
pangan r
ata
-rata
,
ra
ga
m,
da
n
sim
pa
ng
an
baku.
•M
enghitung nilai ja
ngkauan,
jangkauan anta
rkuartil,
sim
-
pangan kuart
il,
sim
pangan
rata
-rata
, ra
gam
, dan sim
-
pangan b
aku d
ata
tunggal.
•M
enghitung n
ilai ja
ngkauan,
jan
gka
ua
n
an
tarku
arti
l,
sim
pa
ng
an
ku
arti
l, sim
-
pa
ng
an
ra
ta-r
ata
, ra
ga
m,
dan sim
pangan baku data
berk
elo
mpok d
ala
m b
entu
k
tab
el
dis
trib
usi
fre
ku
en
si
bia
sa
, ta
be
l d
istr
ibu
si
fre
ku
en
si
re
lati
f,
tab
el
dis
trib
usi
frekuensi
ku
mu
-
latif, h
isto
gra
m, dan p
oligon
fre
ku
en
si.
•M
en
ce
rm
ati
sa
jia
n d
ata
da
lam
b
en
tuk ta
be
l dis
tri-
busi fr
ekuensi b
iasa
, ta
be
l
dis
trib
usi
frekuensi
rela
tif,
tab
el
dis
trib
usi
fre
ku
en
si
ku
mu
latif,
h
isto
gra
m,
da
n
po
lig
on
fr
eku
en
si.
•M
em
ilik
i ra
sa kein
gin
-
tah
ua
n m
em
pe
laja
ri
sta
tis
tik
a s
erta
k
e-
ma
nfa
ata
nn
ya
.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
pengert
ian d
an r
um
us
me
an
, m
ed
ian
, d
an
mo
du
s.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
nila
i m
ea
n,
me
dia
n,
da
n
mo
du
s
da
ta
tun
gg
al
da
n
da
ta
be
rke
lom
po
k.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
pengert
ian d
an r
um
us
ku
arti
l,
de
sil
, d
an
pe
rse
ntil.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
nilai
kuart
il,
desil,
dan
pers
entil
data
tu
nggal
da
n
da
ta
berk
elo
mpok.
•M
am
pu m
en
jela
ska
n
pengert
ian jangkauan,
jangkauan anta
rkuartil,
sim
pa
ng
an
ku
arti
l,
sim
pa
ng
an
ra
ta-r
ata
,
ragam
, dan s
impangan
baku.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
nilai
jangkauan,
jang-
ka
ua
n
an
tarku
arti
l,
sim
pa
ng
an
ku
arti
l,
sim
pa
ng
an
ra
ta-r
ata
,
ragam
, dan s
impangan
baku d
ata
tunggal dan
data
berk
elo
mpok.
2.2
Mam
pu m
entransfo
rmasi diri
da
lam
b
erp
eri
laku
ju
jur,
tangguh m
engadapi m
asala
h,
kri
tis
da
n
dis
iplin
d
ala
m
me
laku
ka
n tu
ga
s b
ela
jar
mate
matika.
2.3
Me
nu
nju
kka
n sik
ap
b
er-
tanggung jaw
ab, ra
sa ingin
tah
u,
juju
r,
da
n p
erila
ku
peduli lingkungan.
3.1
2M
en
de
skrip
sik
an
d
an
me
ng
gu
na
ka
n
be
rb
ag
ai
ukura
n p
em
usata
n, le
tak d
an
pe
nye
ba
ra
n d
ata
se
su
ai
de
ng
an
ka
rakte
ristik d
ata
me
lalu
i a
tura
n d
an
ru
mu
s
se
rta
m
en
afs
irka
n
da
n
mengom
unik
asik
annya.
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
257Matematika Kelas XI
4.9
Menyajikan dan m
engola
h
da
ta sta
tistik d
eskri
ptif
ke
da
lam
ta
be
l d
istr
ibu
si
da
n
his
tog
ram
u
ntu
k m
em
pe
r-
jela
s d
an
m
en
ye
lesa
ika
n
ma
sa
lah
ya
ng
b
erka
ita
n
dengan kehid
upan nyata
.
•M
am
pu m
em
baca d
ata
da
lam
b
en
tuk
tab
el
dis
trib
us
i fr
ek
ue
ns
i
dan his
togra
m.
•M
am
pu m
endeskripsi-
kan unsur-
unsur
yang
terd
ap
at
da
lam
ta
be
l
dis
trib
usi fr
ekuensi dan
his
togra
m.
•M
am
pu
m
en
ya
jik
an
data
dala
m b
entu
k tabel
dis
trib
us
i fr
ek
ue
ns
i
dan his
togra
m.
•M
en
de
skrip
sik
an
u
nsu
r-
unsur
yang t
erd
apat
dala
m
tab
el
dis
trib
usi
fre
ku
en
si
bia
sa
, t
ab
el d
istr
ibusi fr
e-
kuensi
rela
tif,
ta
be
l dis
tri-
bu
si
fre
ku
en
si
ku
mu
latif,
his
tog
ra
m,
da
n p
olig
on
fre
ku
en
si.
•M
en
ya
jika
n d
ata
d
ala
m
be
ntu
k ta
be
l d
istr
ibu
si
fre
ku
en
si
bia
sa
, ta
be
l
dis
trib
usi
frekuensi
rela
tif,
tab
el
dis
trib
usi
fre
ku
en
si
ku
mu
latif,
h
isto
gra
m,
da
n
po
lig
on
fr
eku
en
si.
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
258 Silabus
SIL
AB
US
Atu
ra
n P
en
ca
ca
ha
n d
an
P
elu
an
g
Mata
Pela
jaran
:M
ate
matika
Satu
an
Pen
did
ikan
:S
MA
/MA
Kela
s/S
em
este
r:
XI/
2
Ko
mp
ete
nsi In
ti:
1.
Menghayati d
an m
engam
alk
an a
jara
n a
gam
a y
ang d
ianutn
ya.
2.
Menghayati d
an m
engam
alk
an p
erila
ku juju
r, d
isip
lin, ta
nggung jaw
ab, peduli (
goto
ng r
oyong, kerja s
am
a, to
lera
n, dam
ai),
santu
n, re
sponsif d
an p
roaktif dan m
enunju
kkan s
ikap s
ebagai bagia
n d
ari s
olu
si ata
s b
erb
agai perm
asala
han d
ala
m b
erinte
raksi
secara
efe
ktif dengan lin
gkungan s
osia
l dan a
lam
sert
a d
ala
m m
enem
patk
an d
iri sebagai cerm
inan b
angsa d
ala
m p
erg
aula
n
dunia
.
3.
Mem
aham
i, m
enera
pkan, dan m
enganalisis
pengeta
huan faktu
al, k
onseptu
al, p
rosedura
l, d
an m
eta
kognitif b
erd
asark
an rasa
ingin
tahunya tenta
ng ilm
u p
engeta
huan, te
knolo
gi, s
eni, b
udaya, dan h
um
anio
ra d
engan w
aw
asan k
em
anusia
an, k
ebangsaan,
kenegara
an, dan p
era
daban terk
ait p
enyebab fenom
ena d
an k
eja
dia
n, sert
a m
enera
pkan p
engeta
huan p
rosedura
l pada b
idang
kajian y
ang s
pesifik
sesuai dengan b
akat dan m
inatn
ya u
ntu
k m
em
ecahkan m
asala
h.
4.
Mengola
h, m
enala
r, d
an m
enyaji d
ala
m ranah k
onkre
t dan ranah a
bstr
ak terk
ait d
engan p
engem
bangan d
ari y
ang d
ipela
jarinya
di sekola
h s
ecara
mandiri, b
ert
indak s
ecara
efe
ktif dan k
reatif, s
ert
a m
am
pu m
enggunakan m
eto
de s
esuai kaid
ah k
eilm
uan.
1.1
Menghayati dan m
engam
al-
ka
n
aja
ra
n
ag
am
a
ya
ng
dia
nu
tnya
.
2.1
Me
milik
i m
oti
va
si
inte
rn
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sa
ma
,
ko
ns
iste
n,
sik
ap
d
isip
lin
,
rasa perc
aya diri, dan sik
ap
tole
ran
si
da
lam
p
erb
ed
aa
n
str
ate
gi
be
rp
ikir
d
ala
m
me
milih
, d
an
m
en
era
pka
n
str
ate
gi
me
ny
ele
sa
ika
n
ma
sa
lah
.
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
15 jp
•M
en
ga
gu
mi
pe
ng
ert
i-
an dan m
akna a
tura
n
pe
nc
ac
ah
an
d
an
pe
lua
ng
se
rta
p
en
g-
gunaannya dala
m ke-
seharian.
•M
em
ilik
i sik
ap k
onsis
-
ten
, te
liti d
an
ce
rma
t,
dis
iplin, dan r
asa ingin
tahu d
ala
m m
enghadapi
da
n m
en
ye
les
aik
an
pe
rma
sa
lah
an
.
1.
Bu
ku
M
ate
ma
tika
SM
A/M
A K
ela
s X
I,
Ke
me
nte
ria
n P
en
-
did
ika
n d
an
K
eb
u-
da
ya
an
R
ep
ub
lik
Ind
on
esia
2.
Bu
ku
G
uru
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Kela
s X
I, K
em
ente
-
rian P
endid
ikan d
an
Ke
bu
da
ya
an
R
e-
publik In
donesia
3.
Bu
ku
P
R M
ate
ma
-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
4.
Buku P
G M
ate
ma-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Pe
lua
ng
•A
tura
n P
en
ca
ca
ha
n
•P
elu
an
g S
ua
tu K
e-
jadia
n
•P
elu
an
g
Ke
jad
ian
Ma
jem
uk
•M
en
ga
ma
ti p
en
gg
un
aa
n
atu
ra
n p
en
ca
ca
ha
n d
an
pelu
ang dala
m kehid
upan
se
ha
ri-h
ari
.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
atu
ran
p
erk
alia
n.
•M
en
ce
rm
ati
k
on
str
uk
si
atu
ran
p
erk
alia
n.
•M
en
ye
lesa
ika
n p
erm
asa
-
lahan te
nta
ng atu
ran per-
ka
lia
n.
•M
en
jela
sk
an
k
on
se
p
fakto
ria
l.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
pe
rmu
tasi.
•M
en
ce
rm
ati
k
on
str
uk
si
rum
us p
erm
uta
si.
•M
en
ye
lesa
ika
n p
erm
asa
-
lahan te
nta
ng perm
uta
si.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
pe
rmu
tasi
de
ng
an
b
eb
e-
rapa unsur
yang sam
a.
259Matematika Kelas XI
2.2
Mam
pu m
entransfo
rmasi diri
da
lam
b
erp
eri
laku
ju
jur,
tangguh m
engadapi m
asala
h,
kri
tis d
an
d
isip
lin
d
ala
m
me
laku
ka
n tu
ga
s b
ela
jar
mate
matika.
2.3
Me
nu
nju
kka
n sik
ap
b
er-
tanggung jaw
ab, ra
sa ingin
tah
u,
juju
r,
da
n p
erila
ku
peduli lingkungan.
3.1
3M
en
de
skri
psik
an
da
n m
e-
ne
rap
ka
n b
erb
ag
ai
atu
ran
pe
nca
ca
ha
n m
ela
lui b
eb
e-
ra
pa
co
nto
h n
ya
ta se
rta
me
nya
jika
n a
lur
pe
rum
us-
an
a
tura
n p
en
ca
ca
ha
n
(pe
rka
lia
n,
pe
rmu
tasi
da
n
ko
mb
ina
si)
m
ela
lui
dia
-
gra
m a
tau
ca
ra la
inn
ya
.
3.1
4M
en
era
pka
n
be
rb
ag
ai
ko
nse
p d
an
p
rin
sip
p
er-
muta
si dan k
om
bin
asi dala
m
pem
ecahan m
asala
h n
yata
.
3.1
5M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
rua
ng
sa
mp
el d
an
me
ne
n-
tuk
an
p
elu
an
g
su
atu
ke
jad
ian
d
ala
m
su
atu
pe
rco
ba
an
.
3.1
6M
en
de
sk
rip
sik
an
d
an
menera
pkan a
tura
n/r
um
us
pe
lua
ng
d
ala
m
me
m-
pre
dik
si
terja
din
ya
su
atu
ke
jad
ian
du
nia
nya
ta s
ert
a
me
nje
las
ka
n
ala
sa
n-
ala
sa
nn
ya
.
3.1
7M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
pe
lua
ng
d
an
h
ara
pa
n
su
atu
k
eja
dia
n
da
n
me
ng
gu
na
ka
nn
ya
d
ala
m
pe
me
ca
ha
n m
asa
lah
.
•M
em
ilik
i s
ika
p d
an
be
rpe
rila
ku
ju
jur
da
n
tan
gg
uh
m
en
gh
ad
ap
i
masala
h d
ala
m m
em
-
pe
laja
ri
atu
ra
n p
en
-
cacahan d
an p
elu
ang.
•M
em
ilik
i ra
sa kein
gin
-
tah
ua
n m
em
pe
laja
ri
atu
ra
n p
en
ca
ca
ha
n
dan p
elu
ang, sert
a k
e-
manfa
ata
nnya.
•M
am
pu
m
en
de
skri
p-
sik
an
ko
nse
p a
tura
n
pe
rka
lia
n,
pe
rmu
tasi
dan kom
bin
asi.
•M
am
pu m
en
era
pka
n
ko
nse
p a
tura
n p
er-
kalian,
perm
uta
si
dan
kom
bin
asi
da
lam
p
e-
me
ca
ha
n m
asa
lah
.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
pengert
ian p
erc
obaan
sta
tis
tik
a,
ru
an
g
sa
mp
el, titik sa
mp
el,
ke
jad
ian
, d
an
kom
ple
men keja
dia
n.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
ru
an
g sa
mp
el
su
atu
perc
obaan.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
pe
ng
erti
an
p
elu
an
g
su
atu
ke
jad
ian
,
pe
lua
ng
ko
mp
lem
en
su
atu
ke
jad
ian
d
an
kis
ara
n nilai
pelu
ang.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
pelu
ang s
uatu
keja
dia
n.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
pe
lua
ng
ko
mp
lem
en
suatu
keja
dia
n.
•M
am
pu m
endeskripsi-
kan konsep fr
ekue
nsi
ha
ra
pa
n
su
atu
k
e-
jadia
n.
•M
en
ce
rm
ati
k
on
str
uk
si
rum
us p
erm
uta
si
de
ng
an
be
be
ra
pa
u
ns
ur
ya
ng
sa
ma
.
•M
en
ye
lesa
ika
n p
erm
asa
-
lah
an
te
nta
ng
p
erm
uta
si
de
ng
an
b
eb
era
pa
u
nsu
r
ya
ng
sa
ma
.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
perm
uta
si
sik
lis.
•M
en
ce
rm
ati
k
on
str
uk
si
rum
us p
erm
uta
si
sik
lis.
•M
en
ye
lesa
ika
n p
erm
asa
l-
ah
an
te
nta
ng
p
erm
uta
si
sik
lis.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
ko
mb
ina
si.
•M
en
ce
rm
ati
k
on
str
uk
si
rum
us ko
mb
ina
si.
•M
en
ye
lesa
ika
n p
erm
asa
-
lahan te
nta
ng kom
bin
asi.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
pe
rc
ob
aa
n
sta
tis
tik
a,
ruang s
am
pel, titik
sam
pel,
keja
dia
n,
dan kom
ple
men
ke
jad
ian
.
•M
enentu
kan r
uang s
am
pel
su
atu
p
erc
ob
aa
n.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
pelu
ang s
uatu
keja
dia
n.
•M
en
jela
ska
n kis
ara
n n
ila
i
pe
lua
ng
.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
pelu
ang k
om
ple
men s
uatu
ke
jad
ian
.
•M
enghitung p
elu
ang s
uatu
ke
jad
ian
.
•M
enghitung pelu
ang kom
-
ple
men suatu
keja
dia
n.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
fre
ku
en
si
h
ara
pa
n su
atu
ke
jad
ian
.
•M
en
en
tuka
n
fre
ku
en
si
hara
pan suatu
keja
dia
n.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
keja
dia
n s
aling le
pas.
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
260 Silabus
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Po
rto
fo
lio
•L
ap
ora
n T
ug
as
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Po
rto
fo
lio
•L
ap
ora
n T
ug
as
•M
en
gh
itu
ng
p
elu
an
g
keja
dia
n s
aling le
pas.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
keja
dia
n saling bebas.
•M
en
gh
itu
ng
p
elu
an
g ke
-
jadia
n s
aling b
ebas.
•M
en
de
skri
psik
an
ko
nse
p
keja
dia
n bers
yara
t.
•M
en
gh
itu
ng
p
elu
an
g ke
-
jadia
n bers
yara
t.
•M
em
ilih
d
an
m
en
gg
un
a-
ka
n a
tura
n p
en
ca
ca
ha
n
yang s
esuai dala
m p
em
e-
ca
ha
n
ma
sa
lah
n
ya
ta
sert
a m
em
berikan a
lasan-
nya
.
•M
en
ye
lesa
ika
n
ma
sa
lah
nya
ta
ya
ng
b
erka
ita
n
dengan atu
ran pencacah-
an
.
•M
en
ye
lesa
ika
n
ma
sa
lah
nya
ta
ya
ng
b
erka
ita
n
dengan pelu
ang.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
fre
ku
en
si
ha
ra
pa
n
suatu
keja
dia
n.
•M
am
pu m
endeskripsi-
ka
n ko
nse
p ke
jad
ian
saling le
pas.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
pelu
ang k
eja
dia
n s
aling
lep
as.
•M
am
pu m
endeskripsi-
ka
n ko
nse
p ke
jad
ian
saling bebas.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
pelu
ang k
eja
dia
n s
aling
bebas.
•M
am
pu m
endeskripsi-
ka
n ko
nse
p ke
jad
ian
be
rsya
rat.
•M
am
pu
m
en
gh
itu
ng
pelu
ang keja
dia
n ber-
sya
rat.
•M
am
pu
m
em
ilih
d
an
me
ng
gu
na
ka
n a
tura
n
pencacahan yang se-
suai dala
m pem
ecahan
ma
sa
lah
n
ya
ta se
rta
mem
berikan ala
sannya.
•M
am
pu
m
en
ye
lesa
i-
kan m
asala
h n
yata
yang
berk
aitan d
engan a
tura
n
pe
nca
ca
ha
n.
•M
am
pu
m
en
ye
lesa
i-
kan m
asala
h n
yata
yang
be
rka
ita
n
de
ng
an
pelu
ang.
4.1
0M
em
ilih
dan m
enggunakan
atu
ran
p
en
ca
ca
ha
n ya
ng
se
su
ai
da
lam
p
em
eca
ha
n
ma
sa
lah
n
ya
ta
se
rta
me
mb
eri
ka
n a
lasa
nn
ya
.
4.1
1M
en
gid
en
tifika
si
ma
sa
lah
nya
ta
da
n
me
ne
ra
pka
n
atu
ran p
erk
alian, perm
uta
si,
da
n
ko
mb
ina
si
da
lam
pe
me
ca
ha
n
ma
sa
lah
ters
eb
ut.
4.1
2M
en
gid
en
tifika
si, m
en
ya
ji-
kan m
odel m
ate
matika d
an
me
ne
ntu
ka
n p
elu
an
g d
an
ha
ra
pa
n su
atu
ke
jad
ian
dari m
asala
h konte
ktu
al.
261Matematika Kelas XI
SIL
AB
US
Pe
rs
am
aa
n L
ing
ka
ra
n
Mata
Pela
jaran
:M
ate
matika
Satu
an
Pen
did
ikan
:S
MA
/MA
Kela
s/S
em
este
r:
XI/
2
Ko
mp
ete
nsi In
ti:
1.
Menghayati d
an m
engam
alk
an a
jara
n a
gam
a y
ang d
ianutn
ya.
2.
Menghayati d
an m
engam
alk
an p
erila
ku juju
r, d
isip
lin, ta
nggung jaw
ab, peduli (
goto
ng r
oyong, kerja s
am
a, to
lera
n, dam
ai),
santu
n, re
sponsif d
an p
roaktif dan m
enunju
kkan s
ikap s
ebagai bagia
n d
ari s
olu
si ata
s b
erb
agai perm
asala
han d
ala
m b
erinte
raksi
secara
efe
ktif dengan lin
gkungan s
osia
l dan a
lam
sert
a d
ala
m m
enem
patk
an d
iri sebagai cerm
inan b
angsa d
ala
m p
erg
aula
n
dunia
.
3.
Mem
aham
i, m
enera
pkan, dan m
enganalisis
pengeta
huan faktu
al, k
onseptu
al, p
rosedura
l, d
an m
eta
kognitif b
erd
asark
an rasa
ingin
tahunya tenta
ng ilm
u p
engeta
huan, te
knolo
gi, s
eni, b
udaya, dan h
um
anio
ra d
engan w
aw
asan k
em
anusia
an, k
ebangsaan,
kenegara
an, dan p
era
daban terk
ait p
enyebab fenom
ena d
an k
eja
dia
n, sert
a m
enera
pkan p
engeta
huan p
rosedura
l pada b
idang
kajian y
ang s
pesifik
sesuai dengan b
akat dan m
inatn
ya u
ntu
k m
em
ecahkan m
asala
h.
4.
Mengola
h, m
enala
r, d
an m
enyaji d
ala
m ranah k
onkre
t dan ranah a
bstr
ak terk
ait d
engan p
engem
bangan d
ari y
ang d
ipela
jarinya
di sekola
h s
ecara
mandiri, b
ert
indak s
ecara
efe
ktif dan k
reatif, s
ert
a m
am
pu m
enggunakan m
eto
de s
esuai kaid
ah k
eilm
uan.
1.1
Menghayati dan m
engam
al-
kan agam
a yang dia
nutn
ya.
2.1
Me
milik
i m
oti
va
si
inte
rn
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sa
ma
,
ko
ns
iste
n,
sik
ap
d
isip
lin
,
rasa perc
aya diri, dan sik
ap
tole
ran
si
da
lam
p
erb
ed
aa
n
str
ate
gi
be
rp
ikir
d
ala
m
me
milih
d
an
m
en
era
pka
n
str
ate
gi
me
ny
ele
sa
ika
n
ma
sa
lah
.
2.2
Mam
pu m
entr
ansfo
rmasi diri
dala
m b
erp
erila
ku juju
r, tang-
gu
h m
en
gh
ad
ap
i m
asa
lah
,
krit
is
da
n
dis
ipli
n
da
lam
me
lak
uk
an
tu
ga
s b
ela
jar
ma
tem
atika
.
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
12 jp
•M
en
ga
gu
mi
ko
nse
p
pe
rsa
ma
an
lin
gka
ran
da
lam
p
era
na
nn
ya
me
mb
an
tu m
en
ye
le-
saik
an m
asala
h k
ese-
ha
ria
n.
•M
em
ilik
i sik
ap k
onsis
-
ten
, te
liti d
an
ce
rma
t,
dis
iplin, dan r
asa ingin
tah
u d
ala
m m
en
gh
a-
da
pi
da
n
me
ny
ele
-
saik
an p
erm
asala
han.
•M
em
ilik
i ra
sa kein
gin
-
tah
ua
n m
em
pe
laja
ri
pers
am
aan lingkara
n,
se
rta
ke
ma
nfa
ata
n-
nya
.
1.
Bu
ku
M
ate
ma
tika
SM
A/M
A K
ela
s X
I,
Ke
me
nte
ria
n P
en
-
did
ika
n d
an
K
eb
u-
da
ya
an
R
ep
ub
lik
Ind
on
esia
2.
Bu
ku
G
uru
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Kela
s X
I, K
em
ente
-
rian P
endid
ikan d
an
Ke
bu
da
ya
an
R
e-
publik In
donesia
3.
Bu
ku
P
R M
ate
ma
-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
4.
Buku P
G M
ate
ma-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Pe
rs
am
aa
n L
ing
ka
ra
n
•P
ers
am
aan Lin
gkara
n
•P
ers
am
aa
n
Ga
ris
Sin
ggung Lin
gkara
n
•M
engin
gat kem
bali d
efinis
i
lin
gka
ran
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
lin
gka
ra
n ya
ng
b
erp
usa
t
di O
(0,
0)
dan b
erjari-jari r
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
lin
gka
ra
n ya
ng
b
erp
usa
t
di P
(a, b)
dan b
erjari-jari r
.
•M
enentu
kan b
entu
k u
mum
pe
rsa
ma
an
lin
gka
ran
.
•M
en
en
tuk
an
ti
tik
p
us
at
da
n ja
ri-j
ari
lin
gka
ran
jika
dik
eta
hui
pers
am
aan ling-
ka
ra
n.
•M
en
ye
bu
tka
n
sy
ara
t
suatu
titik
terleta
k d
i dala
m
lingkara
n,
pada lingkara
n,
ata
u d
i lu
ar
lingkara
n.
•M
en
gh
itu
ng
ja
ra
k su
atu
titi
k te
rh
ad
ap
ti
tik p
usa
t
lin
gka
ran
.
262 Silabus
2.3
Me
nu
nju
kka
n sik
ap
b
er-
tanggung jaw
ab, ra
sa ingin
tah
u,
juju
r d
an
p
eril
ak
u
peduli lingkungan.
3.1
8M
en
de
skrip
sik
an
ko
nse
p
pe
rsa
ma
an
lin
gka
ran
d
an
me
ng
an
alisis
sif
at
ga
ris
sin
ggung lin
gkara
n d
engan
me
ng
gu
na
ka
n
me
tod
e
ko
ord
ina
t.
3.1
9M
en
de
skrip
sik
an
ko
nse
p
dan k
urv
a lin
gkara
n d
engan
titi
k p
us
at
terte
ntu
d
an
me
nu
ru
nka
n p
ersa
ma
an
um
um
lin
gka
ra
n d
en
ga
n
me
tod
e ko
ord
ina
t.
4.1
3M
en
go
lah
in
form
asi
da
ri
su
atu
m
as
ala
h
ny
ata
,
me
ng
ide
nti
fika
si
se
bu
ah
titi
k se
ba
ga
i p
usa
t lin
g-
ka
ran
ya
ng
m
ela
lui
su
atu
titi
k
terte
ntu
, m
em
bu
at
mo
de
l m
ate
ma
tika
b
eru
pa
pe
rsa
ma
an
lin
gka
ran
d
an
me
nye
lesa
ika
n m
asa
lah
ters
eb
ut.
4.1
4M
era
nca
ng
d
an
m
en
ga
ju-
ka
n m
asa
lah
n
ya
ta te
rka
it
ga
ris
sin
gg
un
g lin
gka
ra
n
se
rta
m
en
ye
lesa
ika
nn
ya
dengan m
ela
kukan m
anip
u-
lasi
alja
ba
r d
an
m
en
era
p-
kan berb
agai
konsep ling-
ka
ra
n.
•M
em
ilik
i sik
ap
te
rbu
-
ka,
berp
erila
ku p
eduli,
da
n to
lera
nsi
d
ala
m
me
ng
ha
da
pi
ma
sa
lah
da
lam
m
em
pe
laja
ri
pers
am
aan lingkara
n.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
pe
rsa
ma
an
lin
gka
ran
ya
ng
d
ike
tah
ui
titi
k
pusat
dan ja
ri-jarinya.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
ke
du
du
ka
n ti
tik te
r-
hadap lingkara
n.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
ke
du
du
ka
n g
ari
s te
r-
hadap lingkara
n.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
pers
am
aan garis sin
g-
gung lingkara
n dengan
gra
die
n te
rtentu
.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
pers
am
aan g
aris s
ing-
gung lin
gkara
n d
i suatu
titik pada lingkara
n.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
pers
am
aan g
aris s
ing-
gung lin
gkara
n d
i suatu
titik d
i lu
ar
lingkara
n.
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
•M
enyebutk
an s
yara
t suatu
garis m
em
oto
ng, m
enyin
g-
gung, ata
u tid
ak m
em
oto
ng
lin
gka
ran
.
•M
en
gh
itu
ng
ja
ra
k su
atu
ga
ris te
rha
da
p titik p
usa
t
lin
gka
ran
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
ga
ris
sin
gg
un
g lin
gka
ra
n
ya
ng
b
erp
us
at
di
titi
k
O(0
, 0)
dan b
erg
radie
n m
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
ga
ris
sin
gg
un
g lin
gka
ra
n
yang b
erp
usat di titik P
(a, b)
dan berg
radie
n m
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
ga
ris
sin
gg
un
g lin
gka
ra
n
ya
ng
se
jaja
r a
tau
te
ga
k
luru
s dengan suatu
garis.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
garis s
inggung lin
gkara
n di
su
atu
titik p
ad
a lin
gka
ran
yang b
erp
usat di titik O
(0, 0).
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
garis s
inggung lin
gkara
n di
su
atu
titik p
ad
a lin
gka
ran
yang b
erp
usat di titik P
(a, b).
•M
en
en
tuka
n ti
tik p
oto
ng
anta
ra g
aris k
utu
b d
engan
lin
gka
ran
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
garis s
inggung lin
gkara
n d
i
titi
k p
oto
ng
g
aris
ku
tub
dengan lingkara
n.
263Matematika Kelas XI
SIL
AB
US
Tra
ns
form
as
i G
eo
me
tri
Mata
Pela
jaran
:M
ate
matika
Satu
an
Pen
did
ikan
:S
MA
/MA
Kela
s/S
em
este
r:
XI/
2
Ko
mp
ete
nsi In
ti:
1.
Menghayati d
an m
engam
alk
an a
jara
n a
gam
a y
ang d
ianutn
ya.
2.
Menghayati d
an m
engam
alk
an p
erila
ku juju
r, d
isip
lin, ta
nggung jaw
ab, peduli (
goto
ng r
oyong, kerja s
am
a, to
lera
n, dam
ai),
santu
n, re
sponsif d
an p
roaktif dan m
enunju
kkan s
ikap s
ebagai bagia
n d
ari s
olu
si ata
s b
erb
agai perm
asala
han d
ala
m b
erinte
raksi
secara
efe
ktif dengan lin
gkungan s
osia
l dan a
lam
sert
a d
ala
m m
enem
patk
an d
iri sebagai cerm
inan b
angsa d
ala
m p
erg
aula
n
dunia
.
3.
Mem
aham
i, m
enera
pkan, dan m
enganalisis
pengeta
huan faktu
al, k
onseptu
al, p
rosedura
l, d
an m
eta
kognitif b
erd
asark
an rasa
ingin
tahunya tenta
ng ilm
u p
engeta
huan, te
knolo
gi, s
eni, b
udaya, dan h
um
anio
ra d
engan w
aw
asan k
em
anusia
an, k
ebangsaan,
kenegara
an, dan p
era
daban terk
ait p
enyebab fenom
ena d
an k
eja
dia
n, sert
a m
enera
pkan p
engeta
huan p
rosedura
l pada b
idang
kajian y
ang s
pesifik
sesuai dengan b
akat dan m
inatn
ya u
ntu
k m
em
ecahkan m
asala
h.
4.
Mengola
h, m
enala
r, d
an m
enyaji d
ala
m ranah k
onkre
t dan ranah a
bstr
ak terk
ait d
engan p
engem
bangan d
ari y
ang d
ipela
jarinya
di sekola
h s
ecara
mandiri, b
ert
indak s
ecara
efe
ktif dan k
reatif, s
ert
a m
am
pu m
enggunakan m
eto
de s
esuai kaid
ah k
eilm
uan.
1.1
Menghayati d
an m
engam
al-
ka
n
aja
ra
n
ag
am
a
ya
ng
dia
nu
tnya
2.1
Me
milik
i m
oti
va
si
inte
rn
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sa
ma
,
ko
ns
iste
n,
sik
ap
d
isip
lin
,
rasa p
erc
aya d
iri, d
an
sik
ap
tole
ran
si
da
lam
p
erb
ed
aa
n
str
ate
gi
be
rpik
ir d
ala
m m
e-
milih
dan
menera
pkan s
tra-
tegi m
enyele
saik
an m
asala
h.
8 jp
•M
am
pu
m
en
gh
aya
ti
da
n
me
ng
am
alk
an
ko
nse
p tr
an
sfo
rm
asi
geom
etr
i dala
m p
era
n-
nya
m
em
ba
ntu
m
e-
nyele
saik
an m
asala
h.
•M
am
pu
m
en
un
jukka
n
sik
ap m
otivasi in
tern
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sam
a,
konsis
ten,
sik
ap
dis
iplin
, ra
sa
p
erc
aya
diri, d
an s
ikap tole
ransi
dala
m p
erb
edaan s
tra-
tegi berp
ikir d
ala
m m
e-
milih
dan m
enera
pkan
str
ate
gi
me
nye
lesa
i-
kan m
asala
h.
1.
Bu
ku
M
ate
ma
tika
SM
A/ M
A K
ela
s X
I,
Ke
me
nte
ria
n P
en
-
did
ikan dan K
ebu-
da
ya
an
R
ep
ub
lik
Ind
on
esia
2.
Bu
ku
G
uru
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Ke
las X
I, K
em
en
-
teria
n P
en
did
ika
n
da
n K
eb
ud
ay
aa
n
Republik In
donesia
3.
Bu
ku
P
R M
ate
ma
-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
4.
Buku
PG
Mate
ma-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Tran
sfo
rm
asi
Geo
metr
i
•S
ifa
t tr
an
sfo
rm
asi
ge
om
etr
i
•T
ra
ns
fom
as
i g
eo
-
metr
i te
rhadap k
urv
a
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
•M
en
ga
ma
ti p
eri
stiw
a a
tau
fen
om
en
a ya
ng
b
erk
aita
n
de
ng
an
tr
an
sla
si, re
fle
ksi,
dilata
si, dan ro
tasi.
•M
en
ye
lid
iki
cir
i-cir
i tr
an
-
sla
si, r
efleksi, d
ilata
si, d
an
rota
si.
•M
en
en
tuk
an
b
ay
an
ga
n
sebuah titik ole
h tr
ansla
si,
refleksi, d
ilata
si, d
an r
ota
si.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
ba
ya
ng
an
se
bu
ah
ku
rva
ole
h tr
an
sla
si,
re
fle
ks
i,
dilata
si, dan ro
tasi.
•M
en
gg
un
aka
n sifa
t tr
an
s-
form
as
i g
eo
me
tri
un
tuk
me
nye
lesa
ika
n m
asa
lah
.
264 Silabus
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
•M
am
pu m
enunju
kkan
sik
ap b
erp
erila
ku juju
r,
tan
gg
uh
m
en
ga
da
pi
ma
sa
lah
, k
rit
is d
an
dis
iplin
d
ala
m m
ela
-
ku
ka
n tu
ga
s b
ela
jar
ma
tem
atika
.
•M
am
pu
m
em
ah
am
i
ko
nse
p d
asa
r tr
an
s-
form
asi geom
etr
i yang
me
lip
uti
tr
an
sla
si,
refle
ksi, d
ila
tasi, d
an
ro
tasi
me
ng
gu
na
ka
n
su
du
t p
an
da
ng
ko
or-
din
at.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
sifat-
sifat tr
ansfo
rmasi
ge
om
etr
i.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
ba
ya
ng
an
ti
tik
o
leh
tra
ns
las
i,
re
fle
ks
i,
dilata
si, dan ro
tasi.
•M
am
pu
m
en
de
skrip
-
sik
an c
ara
mengguna-
kan sifat
transfo
rmasi
geom
etr
i untu
k m
enen-
tuk
an
p
ers
am
aa
n
ba
ya
ng
an
ku
rva
o
leh
se
bu
ah
tr
an
sfo
rm
asi
ge
om
etr
i.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
pers
am
aan bayangan
ku
rv
a
ole
h
se
bu
ah
transfo
rmasi geom
etr
i.
•M
am
pu
m
en
era
pka
n
atu
ra
n tr
an
sfo
rm
asi
ge
om
etr
i d
an
s
ifa
t
obje
k untu
k m
enyele
-
sa
ika
n tr
an
sfo
rm
asi
ge
om
etr
i te
rh
ad
ap
ku
rva
.
2.2
Ma
mp
u m
en
tra
nsfo
rm
asi
diri
dala
m b
erp
erila
ku juju
r,
tangguh m
engadapi m
asa-
lah, kritis d
an d
isip
lin d
ala
m
me
laku
ka
n tu
ga
s b
ela
jar
ma
tem
atika
.
2.3
Me
nu
nju
kka
n sik
ap
b
er-
tanggung ja
wab, ra
sa ingin
tah
u,
juju
r d
an
p
eril
ak
u
peduli lingkungan.
3.2
0 M
en
ga
na
lis
is s
ifa
t-s
ifa
t
transfo
rmasi geom
etr
i (t
ran-
sla
si, r
efleksi garis, dilata
si,
da
n ro
tasi)
d
en
ga
n p
en
-
de
ka
tan
k
oo
rd
ina
t d
an
me
ne
ra
pk
an
ny
a
da
lam
me
nye
lesa
ika
n m
asa
lah
.
4.1
5M
enyajikan obje
k konte
ks-
tual, m
enganalisis
info
rmasi
terk
ait sifat-
sifat
obje
k dan
me
ne
rap
ka
n a
tura
n tr
an
s-
form
asi
ge
om
etr
i (r
efle
ksi,
tra
ns
las
i,
dil
ata
si,
d
an
rota
si) d
ala
m m
em
ecahkan
ma
sa
lah
.
265Matematika Kelas XI
SIL
AB
US
Tu
ru
na
n F
un
gs
i
Mata
Pela
jaran
:M
ate
matika
Satu
an
Pen
did
ikan
:S
MA
/MA
Kela
s/S
em
este
r:
XI/
2
Ko
mp
ete
nsi In
ti:
1.
Menghayati d
an m
engam
alk
an a
jara
n a
gam
a y
ang d
ianutn
ya.
2.
Menghayati d
an m
engam
alk
an p
erila
ku juju
r, d
isip
lin, ta
nggung jaw
ab, peduli (
goto
ng r
oyong, kerja s
am
a, to
lera
n, dam
ai),
santu
n, re
sponsif d
an p
roaktif dan m
enunju
kkan s
ikap s
ebagai bagia
n d
ari s
olu
si ata
s b
erb
agai perm
asala
han d
ala
m b
erinte
raksi
secara
efe
ktif dengan lin
gkungan s
osia
l dan a
lam
sert
a d
ala
m m
enem
patk
an d
iri sebagai cerm
inan b
angsa d
ala
m p
erg
aula
n
dunia
.
3.
Mem
aham
i, m
enera
pkan, dan m
enganalisis
pengeta
huan faktu
al, k
onseptu
al, p
rosedura
l, d
an m
eta
kognitif b
erd
asark
an rasa
ingin
tahunya tenta
ng ilm
u p
engeta
huan, te
knolo
gi, s
eni, b
udaya, dan h
um
anio
ra d
engan w
aw
asan k
em
anusia
an, k
ebangsaan,
kenegara
an, dan p
era
daban terk
ait p
enyebab fenom
ena d
an k
eja
dia
n, sert
a m
enera
pkan p
engeta
huan p
rosedura
l pada b
idang
kajian y
ang s
pesifik
sesuai dengan b
akat dan m
inatn
ya u
ntu
k m
em
ecahkan m
asala
h.
4.
Mengola
h, m
enala
r, d
an m
enyaji d
ala
m ranah k
onkre
t dan ranah a
bstr
ak terk
ait d
engan p
engem
bangan d
ari y
ang d
ipela
jarinya
di sekola
h s
ecara
mandiri, b
ert
indak s
ecara
efe
ktif dan k
reatif, s
ert
a m
am
pu m
enggunakan m
eto
de s
esuai kaid
ah k
eilm
uan.
1.1
Menghayati dan m
engam
al-
kan agam
a yang dia
nutn
ya.
2.1
Me
milik
i m
oti
va
si
inte
rn
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sa
ma
,
ko
ns
iste
n,
sik
ap
d
isip
lin
,
rasa perc
aya diri, dan sik
ap
tole
ran
si
da
lam
p
erb
ed
aa
n
str
ate
gi
be
rpik
ir d
ala
m m
e-
milih
dan m
enera
pkan s
trate
gi
me
nye
lesa
ika
n m
asa
lah
.
2.2
Mam
pu m
entr
ansfo
rmasi diri
dala
m b
erp
erila
ku juju
r, tang-
gu
h m
en
gh
ad
ap
i m
asa
lah
,
kritis d
an d
isip
lin d
ala
m m
ela
ku-
kan tugas b
ela
jar m
ate
matika.
2.3
Me
nu
nju
kk
an
s
ika
p
be
r-
tan
gg
un
g ja
wa
b,
rasa
in
gin
tahu, ju
jur dan p
erila
ku p
eduli
lin
gku
ng
an
.
12jp
•M
en
ga
gu
mi
ko
nse
p
turu
na
n fu
ng
si
da
lam
pera
nannya m
em
bantu
menyele
saik
an m
asa-
lah
ke
se
ha
ria
n.
•M
em
ilik
i sik
ap k
onsis
-
ten
, te
liti d
an
ce
rma
t,
dis
iplin, dan r
asa ingin
tahu d
ala
m m
enghadapi
da
n m
en
ye
les
aik
an
pe
rma
sa
lah
an
.
•M
em
ilik
i ra
sa kein
gin
-
tah
ua
n m
em
pe
laja
ri
turu
na
n fu
ng
si, se
rta
ke
ma
nfa
ata
nn
ya
.
•M
em
ilik
i sik
ap terb
uka,
be
rp
eril
ak
u
pe
du
li,
da
n to
lera
nsi
d
ala
m
me
ng
ha
da
pi
ma
sa
lah
da
lam
m
em
pe
laja
ri
turu
nan fu
ngsi.
1.
Bu
ku
M
ate
ma
tika
SM
A/M
A K
ela
s X
I,
Ke
me
nte
ria
n P
en
-
did
ika
n d
an
K
eb
u-
da
ya
an
R
ep
ub
lik
Ind
on
esia
2.
Bu
ku
G
uru
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Ke
las X
I, K
em
en
-
teria
n P
en
did
ika
n
da
n K
eb
ud
ay
aa
n
Republik In
donesia
3.
Bu
ku
P
R M
ate
ma
-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
Inta
n P
ariw
ara
4.
Buku P
G M
ate
ma-
tika
K
ela
s X
IB,
PT
inta
n P
ariw
ara
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Tu
ru
na
n F
un
gs
i
•T
uru
na
n
Fu
ng
si
Aljabar
•P
enggunaan T
uru
nan
Fu
ng
si
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
•M
enentu
kan laju
peru
bahan
su
atu
fu
ng
si.
•M
enentu
kan atu
ran fu
ngsi
alja
ba
r.
•M
enje
laskan n
ota
si tu
runan
me
ng
gu
na
ka
n
no
tas
i
Le
ibn
itz.
•M
em
bu
kti
ka
n b
eb
era
pa
sifat-
sifat
turu
nan fu
ngsi.
•M
enentu
kan turu
nan fungsi
menggunakan a
tura
n ranta
i.
•M
en
en
tuka
n n
ila
i tu
run
an
fungsi
di
suatu
titik
.
•M
en
en
tuka
n tu
ru
na
n ke
-
dua f
ungsi
aljabar.
•M
enentu
kan gra
die
n garis
sin
gg
un
g ku
rva
.
•M
en
en
tuka
n p
ersa
ma
an
ga
ris sin
gg
un
g d
an
g
ari
s
no
rma
l.
266 Silabus
3.2
1M
en
de
skrip
sik
an
ko
nse
p
turu
na
n
de
ng
an
m
en
g-
gu
na
ka
n k
on
tek
s m
ate
-
ma
tika
a
tau
ko
nte
ks la
in
da
n m
en
era
pka
nn
ya
.
3.2
2M
en
uru
nka
n a
tura
n d
an
sifat
turu
nan fu
ngsi
aljabar
da
ri a
tura
n d
an
sifa
t lim
it
fun
gsi.
3.2
3M
em
ilih
d
an
m
en
era
pka
n
str
ate
gi
me
ny
ele
sa
ika
n
ma
sa
lah
d
un
ia n
ya
ta d
an
ma
tem
atika
ya
ng
m
elib
at-
kan turu
nan d
an m
em
eriksa
ke
be
na
ra
n
lan
gk
ah
-
lan
gka
hn
ya
.
3.2
4M
en
de
skrip
sik
an
ko
nse
p
turu
na
n d
an
m
en
gg
un
a-
kannya u
ntu
k m
enganalisis
gra
fik fu
ng
si
da
n m
en
gu
ji
sif
at-
sif
at
ya
ng
d
imil
iki
un
tuk m
en
ge
tah
ui
fun
gsi
naik
dan fu
ngsi
turu
n.
3.2
5M
en
era
pka
n ko
nse
p d
an
sifa
t tu
run
an
fu
ng
si
un
tuk
me
ne
ntu
ka
n g
rad
ien
g
ari
s
sin
gg
un
g
ku
rv
a,
ga
ris
tangen,
dan garis norm
al.
3.2
6M
en
de
skrip
sik
an
ko
nse
p
da
n sif
at
turu
na
n fu
ng
si
terka
it d
an
m
en
era
pka
n-
nya u
ntu
k m
enentu
kan t
itik
sta
sio
ne
r (t
itik
m
aksim
um
,
titi
k m
inim
um
, d
an
ti
tik
be
lok).
3.2
7M
enganalisis
bentu
k m
odel
ma
tem
ati
ka
b
eru
pa
p
er-
sa
ma
an
fu
ng
si, se
rta
m
e-
nera
pkan konsep dan sifat
turu
na
n fu
ng
si
da
lam
m
e-
me
ca
hka
n m
asa
lah
m
ak-
sim
um
dan m
inim
um
.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
turu
nan fungsi aljabar.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
sif
at-
sif
at
turu
na
n
fun
gsi.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
turu
nan fu
ngsi
aljabar
me
ng
gu
na
ka
n a
tura
n
ran
tai.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
nil
ai
turu
na
n fu
ng
si
aljabar
di suatu
titik
.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
turu
na
n ke
du
a fu
ng
si
alja
ba
r.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
gra
die
n g
aris s
inggung.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
pers
am
aan g
aris s
ing-
gung d
an g
aris n
orm
al.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
fungsi naik
dan f
ungsi
turu
n.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
inte
rva
l su
atu
fu
ng
si
naik
ata
u tu
run.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
titi
k
sta
sio
ne
r
da
n
jen
isn
ya
.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
nil
ai
ek
str
em
s
ua
tu
fun
gsi
da
lam
in
terv
al
tert
utu
p.
•M
am
pu
m
era
nc
an
g
mo
de
l m
ate
ma
tik
a
da
ri
pe
rm
as
ala
ha
n
yang b
erk
aitan d
engan
nila
i m
aksim
um
d
an
min
imum
.
•M
am
pu
m
en
ye
lesa
i-
ka
n m
od
el
ma
tem
a-
tika
d
ari
p
erm
asa
lah
-
an
y
an
g
be
rk
ait
an
de
ng
an
n
ila
i m
aksi-
mum
dan m
inim
um
.
•M
en
jela
ska
n p
en
ge
rti
an
fun
gs
i n
aik
d
an
fu
ng
si
turu
n.
•M
enyebutk
an s
yara
t suatu
fungsi
naik
ata
u tu
run.
•M
enentu
kan inte
rval suatu
fungsi
naik
dan tu
run.
•M
enje
laskan c
ara
menentu
-
ka
n ti
tik
s
tas
ion
er d
an
jen
isn
ya
.
•M
en
en
tuka
n n
ila
i m
aksi-
mu
m d
an
m
inim
um
su
atu
fun
gsi
da
lam
in
terv
al
ter-
tutu
p.
•M
en
jela
ska
n ca
ra m
era
n-
ca
ng
m
od
el
ma
tem
ati
ka
yang b
erk
aitan d
engan n
ilai
maksim
um
dan m
inim
um
.
•M
en
uliska
n m
od
el
ma
te-
ma
tik
a
ya
ng
b
erk
ait
an
de
ng
an
n
ila
i m
aksim
um
dan m
inim
um
.
•M
en
ye
les
aik
an
m
od
el
mate
matika y
ang b
erk
aitan
de
ng
an
n
ila
i m
aksim
um
dan m
inim
um
.
•M
enafs
irkan penyele
saia
n
mo
de
l m
ate
ma
tika
ya
ng
be
rk
ait
an
d
en
ga
n
nil
ai
maksim
um
dan m
inim
um
.
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
267Matematika Kelas XI
•M
am
pu
m
en
afs
irka
n
pe
nye
lesa
ian
m
od
el
ma
tem
atika
d
ari
p
er-
ma
sa
lah
an
ya
ng
b
er-
ka
ita
n d
en
ga
n n
ila
i
ma
ksim
um
d
an
m
ini-
mu
m.
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
4.1
6M
em
ilih
s
tra
teg
i y
an
g
efe
kti
f d
an
m
en
ya
jik
an
mo
de
l m
ate
ma
tika
d
ala
m
me
me
ca
hk
an
m
as
ala
h
ny
ata
te
nta
ng
tu
ru
na
n
fungsi
aljabar.
4.1
7M
em
ilih
s
tra
teg
i y
an
g
efe
kti
f d
an
m
en
ya
jik
an
mo
de
l m
ate
ma
tika
d
ala
m
me
me
ca
hk
an
m
as
ala
h
nya
ta te
nta
ng
fu
ng
si
na
ik
dan fu
ngsi
turu
n.
4.1
8M
era
nca
ng
d
an
m
en
ga
ju-
ka
n m
asa
lah
n
ya
ta se
rta
menggunakan konsep dan
sifa
t tu
run
an
fu
ng
si
terk
ait
da
lam
titik sta
sio
ne
r (t
itik
ma
ksim
um
, titik m
inim
um
,
dan titik belo
k).
4.1
9M
enyajikan d
ata
dari s
ituasi
nyata
, m
em
ilih
variabel dan
me
ng
om
un
ika
sik
an
ny
a
dala
m b
entu
k m
odel m
ate
-
matika beru
pa pers
am
aan
fun
gsi, se
rta
m
en
era
pka
n
ko
nse
p d
an
sifa
t tu
run
an
fungsi dala
m m
em
ecahkan
ma
sa
lah
m
aksim
um
d
an
min
imum
.
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
268 Silabus
SIL
AB
US
Inte
gra
l T
ak
T
en
tu
Mata
Pela
jaran
:M
ate
matika
Satu
an
Pen
did
ikan
:S
MA
/MA
Kela
s/S
em
este
r:
XI/
2
Ko
mp
ete
nsi In
ti:
1.
Menghayati d
an m
engam
alk
an a
jara
n a
gam
a y
ang d
ianutn
ya.
2.
Menghayati d
an m
engam
alk
an p
erila
ku juju
r, d
isip
lin, ta
nggung jaw
ab, peduli (
goto
ng r
oyong, kerja s
am
a, to
lera
n, dam
ai),
santu
n, re
sponsif d
an p
roaktif dan m
enunju
kkan s
ikap s
ebagai bagia
n d
ari s
olu
si ata
s b
erb
agai perm
asala
han d
ala
m b
erinte
raksi
secara
efe
ktif dengan lin
gkungan s
osia
l dan a
lam
sert
a d
ala
m m
enem
patk
an d
iri sebagai cerm
inan b
angsa d
ala
m p
erg
aula
n
dunia
.
3.
Mem
aham
i, m
enera
pkan, dan m
enganalisis
pengeta
huan faktu
al, k
onseptu
al, p
rosedura
l, d
an m
eta
kognitif b
erd
asark
an rasa
ingin
tahunya tenta
ng ilm
u p
engeta
huan, te
knolo
gi, s
eni, b
udaya, dan h
um
anio
ra d
engan w
aw
asan k
em
anusia
an, k
ebangsaan,
kenegara
an, dan p
era
daban terk
ait p
enyebab fenom
ena d
an k
eja
dia
n, sert
a m
enera
pkan p
engeta
huan p
rosedura
l pada b
idang
kajian y
ang s
pesifik
sesuai dengan b
akat dan m
inatn
ya u
ntu
k m
em
ecahkan m
asala
h.
4.
Mengola
h, m
enala
r, d
an m
enyaji d
ala
m ranah k
onkre
t dan ranah a
bstr
ak terk
ait d
engan p
engem
bangan d
ari y
ang d
ipela
jarinya
di sekola
h s
ecara
mandiri, b
ert
indak s
ecara
efe
ktif dan k
reatif, s
ert
a m
am
pu m
enggunakan m
eto
de s
esuai kaid
ah k
eilm
uan.
1.1
Menghayati dan m
engam
al-
kan agam
a yang dia
nutn
ya.
2.1
Me
milik
i m
oti
va
si
inte
rn
al,
ke
ma
mp
ua
n b
eke
rja
sa
ma
,
ko
ns
iste
n,
sik
ap
d
isip
lin
,
rasa perc
aya diri, dan sik
ap
tole
ran
si
da
lam
p
erb
ed
aa
n
str
ate
gi
be
rpik
ir d
ala
m m
e-
milih
dan m
enera
pkan str
a-
tegi m
enyele
saik
an m
asala
h.
2.2
Mam
pu m
entr
ansfo
rmasi diri
dala
m b
erp
erila
ku juju
r, tang-
gu
h m
en
gh
ad
ap
i m
asa
lah
,
krit
is
da
n
dis
ipli
n
da
lam
me
lak
uka
n
tug
as
be
laja
r
mate
matika.
12 jp
•M
am
pu
m
en
gh
aya
ti
da
n
me
ng
am
alk
an
ko
ns
ep
in
teg
ra
l ta
k
tentu
dala
m p
era
nnya
mem
bantu
menyele
sai-
kan m
asala
h
•M
am
pu
m
en
un
jukka
n
sik
ap
lo
gis
, k
rit
is,
analitik,
teliti,
bert
ang-
gung jaw
ab, re
sponsif,
dan tidak m
udah m
e-
nye
rah
d
ala
m m
en
g-
ha
da
pi
da
n m
en
ye
le-
sa
ika
n p
erm
asa
lah
an
ten
tan
g in
teg
ra
l ta
k
ten
tu.
•M
am
pu
m
en
un
jukka
n
rasa ingin
tahu d
an k
e-
tert
arikan p
ada k
onsep
inte
gra
l ta
k te
ntu
.
1.
Bu
ku
M
ate
ma
tika
SM
A/M
A K
ela
s X
I,
Ke
me
nte
ria
n P
en
-
did
ika
n d
an
K
eb
u-
da
ya
an
R
ep
ub
lik
Ind
on
esia
2.
Bu
ku
G
uru
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Ke
las X
I, K
em
en
-
teria
n P
en
did
ika
n
da
n K
eb
ud
ay
aa
n
Republik In
donesia
3.
Bu
ku
PR
M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Kela
s X
I, P
T
Inta
n
Pa
riw
ara
4.
Bu
ku
P
G M
ate
-
ma
tik
a
SM
A/M
A
Kela
s X
I, P
T
Inta
n
Pa
riw
ara
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Inte
gra
l T
ak
T
en
tu
•K
onsep Inte
gra
l T
ak
Te
ntu
•In
tegra
l S
ubstitu
si
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
Pe
ng
am
ata
n S
ika
p
•S
aa
t b
erl
an
gsu
ng
pe
mb
ela
jara
n
•M
engin
gat kem
bali turu
nan
fungsi
dan aplikasin
ya.
•M
engin
gat
kem
bali ru
mus
turu
nan fu
ngsi.
•M
engam
ati tu
runan fu
ngsi
f(x)
= x
n +
c d
en
ga
n b
er-
bagai nilai c.
•M
en
jela
ska
n ko
nse
p in
te-
gra
l se
ba
ga
i la
wa
n d
ari
turu
na
n.
•M
enje
laskan penulisan in
-
teg
ral
da
n ca
ra m
en
en
tu-
ka
n
ha
sil
ny
a
de
ng
an
ko
nse
p a
ntitu
run
an
.
•M
en
uru
nka
n ru
mu
s in
te-
gra
l fu
ngsi
f(x)
= x
n.
•M
en
jela
sk
an
s
ifa
t-s
ifa
t
dasar
inte
gra
l fu
ngsi.
•B
ers
am
a-s
am
a m
en
co
ba
me
ne
ntu
ka
n fu
ng
si
asa
l
dari suatu
tu
runan fu
ngsi.
269Matematika Kelas XI
2.3
Me
nu
nju
kka
n sik
ap
b
er-
tanggung jaw
ab,
rasa ingin
tah
u,
juju
r d
an
p
eril
ak
u
peduli lingkungan.
3.2
8 M
en
de
skrip
sik
an
ko
nse
p
inte
gra
l ta
k te
ntu
s
ua
tu
fun
gsi
se
ba
ga
i ke
ba
lika
n
dari tu
runan fu
ngsi.
3.2
9M
en
uru
nka
n a
tura
n d
an
sifat
inte
gra
l ta
k te
ntu
dari
atu
ra
n d
an
sif
at
turu
na
n
fun
gsi.
4.2
0M
em
ilih
s
tra
teg
i y
an
g
efe
kti
f d
an
m
en
ya
jik
an
mo
de
l m
ate
ma
tika
d
ala
m
me
me
ca
hk
an
m
as
ala
h
nya
ta te
nta
ng
in
teg
ral
tak
tentu
dari f
ungsi
aljabar.
•M
am
pu
m
en
un
jukka
n
sik
ap santu
n, obje
ktif,
mengharg
ai
pendapat
dan k
ary
a tem
an d
ala
m
me
mp
ela
jari
inte
gra
l
tak te
ntu
.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
an
titu
run
an
(i
nte
gra
l)
su
atu
fu
ng
si
alja
ba
r
se
de
rha
na
.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
konsep in
tegra
l seba-
gai
antitu
runan.
•M
am
pu
m
en
uru
nka
n
rum
us in
teg
ral
fun
gsi
f(x)
= x
n.
•M
am
pu
m
en
jela
ska
n
sifa
t-sifa
t d
asa
r in
te-
gra
l.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
ha
sil p
en
gin
teg
ra
lan
menggunakan m
eto
de
inte
gra
l su
bstitu
si.
•M
am
pu
m
en
en
tuka
n
fungsi asal dari r
um
us
turu
nan suatu
fu
ngsi.
•M
am
pu
m
en
ye
lesa
i-
ka
n
pe
ma
sa
lah
an
menggunakan inte
gra
l
tak te
ntu
.
•M
en
ye
lesa
ika
n so
al-
so
al
inte
gra
l ta
k te
ntu
.
•M
engin
gat
kem
bali atu
ran
ranta
i pada turu
nan fungsi.
•M
en
jela
ska
n ko
nse
p in
te-
gra
l s
ub
sti
tus
i s
eb
ag
ai
law
an dari tu
runan m
eng-
gunakan atu
ran ra
nta
i.
•M
en
uru
nka
n ru
mu
s in
te-
gra
l fu
ngsi
berp
angkat.
•B
ersa
ma
-sa
ma
m
en
gin
-
tegra
lkan f
ungsi m
engguna-
ka
n m
eto
de
in
teg
ral
su
b-
stitu
si.
•M
en
ye
lesa
ika
n so
al-
so
al
inte
gra
l fu
ngsi
mengguna-
ka
n m
eto
de
in
teg
ral
su
b-
stitu
si.
Ko
mp
ete
ns
i D
as
ar
Ind
ika
tor
Ma
teri
Pe
mb
ela
jara
nP
em
be
laja
ra
nP
en
ila
ian
Alo
ka
si
Wa
ktu
Su
mb
er B
ela
jar
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
•T
ug
as
Te
s T
ertu
lis
•P
ilih
an G
anda
•U
raia
n
•T
ug
as
270 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
A. Kompetensi Dasar dan Indikator1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
Indikator:Mengagumi konsep persamaan lingkaran dalam peranannya membantu menyelesaikan masalahkeseharian.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dansikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikanmasalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplindalam melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.Indikator:• Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan
menyelesaikan permasalahan.• Memiliki rasa keingintahuan mempelajari persamaan lingkaran, serta kemanfaatannya.• Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam
mempelajari persamaan lingkaran.3.18 Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran dengan
menggunakan metode koordinat.3.19 Mendeskripsikan konsep dan kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan
umum lingkaran dengan metode koordinat.Indikator:• Mampu menentukan persamaan lingkaran yang diketahui titik pusat dan jari-jarinya.• Mampu menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran.• Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran.
4.13 Mengolah informasi dari suatu masalah nyata, mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat lingkaranyang melalui suatu titik tertentu, membuat model matematika berupa persamaan lingkaran danmenyelesaikan masalah tersebut.
4.14 Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannyadengan melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran.Indikator:• Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu.• Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran.• Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran.
B. Tujuan Pembelajaran1. menjelaskan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran;2. menjelaskan konsep kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menentukan persamaan umum
lingkaran;3. membuat model matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaiakan permasalahan tersebut;4. merancang dan menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Sekolah : SMA/MAMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XI/2Materi/Submateri Pokok : Persamaan LingkaranAlokasi Waktu : 12 × 45 menit (5 kali pertemuan)
271Matematika Kelas XI
C. Materi Pembelajaran• Pengertian Lingkaran• Persamaan Lingkaran• Kedudukan Titik terhadap Lingkaran• Kedudukan Garis terhadap Lingkaran• Pengertian Garis Singgung Lingkaran• Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya• Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik pada Lingkaran• Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar Lingkaran
D. Metode PembelajaranPendekatan : Scientific ApproachModel : Siklus Belajar (Learning Cycle)Metode : Problem Solving dan Diskusi
E. Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran
1. MediaKertas berpetak
2. Alat dan Bahana. Jangkab. Penggaris
3. Sumber Belajara. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik
Indonesiab. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik
Indonesiac. Buku PR Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwarad. Buku PG Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwara
F. Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan I (2 jp)1. Pendahuluan (10 menit)
a. Guru mengajak siswa mengingat kembali pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya.b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.
2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru menggambar lingkaran dengan pusat O(0, 0), kemudian guru memilih sembarang titik pada
lingkaran, misalkan titik T(x, y).b. Guru membimbing siswa menentukan jarak antara titik O(0, 0) dan titik T(x, y).c. Guru menjelaskan bahwa jarak antara kedua titik tersebut merupakan jari-jari lingkaran. Selanjutnya
guru mengajak siswa merumuskan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0).d. Guru menggambar lingkaran dengan titik pusat tidak di titik O(0, 0) melainkan P(a, b), kemudian
guru memilih sembarang titik pada lingkaran, misalkan titik T(x, y).e. Guru membimbing siswa menentukan jarak antara titik P(a, b) dan titik T(x, y).f. Guru mengajak siswa merumuskan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).g. Guru memberikan tugas kepada siswa untuk membuktikan titik pusat dan jari-jari lingkaran.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa agar dapat mampu
merumuskan persamaan lingkaran.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.
272 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Pertemuan II (3 jp)
1. Pendahuluan (10 menit)a. Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali pelajaran pada pertemuan sebelumnya.b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.
2. Kegiatan Inti (115 menit)a. Guru menggambarkan sebuah lingkaran sembarang. Guru juga membuat beberapa titik sembarang
di sekitar lingkaran.b. Guru mengajak siswa memahami posisi (kedudukan) titik terhadap lingkaran.c. Siswa mampu memahami konsep kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu di dalam lingkaran,
pada lingkaran, dan di luar lingkaran.d. Guru mengajak siswa menentukan aturan atau sifat kedudukan titik terhadap lingkaran.e. Siswa memahami contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran.f. Guru menggambarkan sebuah lingkaran sembarang. Guru juga membuat beberapa garis di sekitar
lingkaran.g. Guru mengajak siswa memahami posisi (kedudukan) garis terhadap lingkaran.h. Siswa mampu memahami konsep kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu memotong lingkaran,
menyinggung lingkaran, dan tidak memotong lingkaran.i. Guru mengajak siswa menentukan aturan atau sifat kedudukan garis terhadap lingkaran.j. Guru mengajak siswa diskusi menentukan jarak sebuah titik terhadap sebuah garis.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa untuk dapat mampu
merumuskan aturan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran.b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa.
Pertemuan III (2 jp)1. Pendahuluan (10 menit)
a Guru mengingatkan kembali materi pada pertemuan sebelumnya tentang kedudukan sebuah garisterhadap lingkaran.
b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.
2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru memberikan gambaran tentang garis singgung lingkaran.b. Guru menjelaskan hubungan antara garis singgung lingkaran dengan jari-jari lingkaran.c. Guru mengajak siswa mengingat kembali syarat kedua garis saling sejajar dan tegak lurus.d. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan garis singgung y = mx + c.e. Guru mengajak siswa diskusi menentukan persamaan garis singgung dengan cara mensubstitusikan
persamaan y = mx + c ke dalam persamaan lingkaran.f. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan garis singgung y = mx + c.g. Guru mengajak siswa diskusi menentukan persamaan garis singgung dengan cara mensubstitusikan
persamaan y = mx + c ke dalam persamaan lingkaran.h. Siswa menemukan konsep dan rumusan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui
gradiennya.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa untuk dapat mampu
merumuskan persamaan garis singgung lingkaran.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.
273Matematika Kelas XI
Teknik
Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik
Tes Pilihan Ganda dan Uraian
Kumpulan Laporan dan Produk
Bentuk Instrumen
Pengamatan Sikap
Tes Tertulis
Portofolio
Pertemuan IV (3 jp)
1. Pendahuluan (10 menit)a Guru mengingatkan kembali materi pada pertemuan sebelumnya tentang persamaan garis singgung
lingkaran yang diketahui gradiennya.b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.
2. Kegiatan Inti (115 menit)a. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan memilih sembarang titik pada
lingkaran, misalkan T(x1, y1).b. Guru mengajak siswa menentukan gradien antara titik T(x1, y1) dan O(0, 0).c. Guru mengajak siswa untuk menggunakan sifat dua garis yang saling tegak lurus, untuk memperoleh
gradien garis singgung.d. Siswa merumuskan persamaan garis singgung lingkaran di titik T(x1, y1).e. Guru membimbing siswa menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di P(a, b)
dan titik singgung T(x1, y1).f. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan memilih sembarang titik di luar
lingkaran, misalkan Q(x1, y1).g. Guru menjelaskan pengertian garis kutub dan kegunaannya.h. Guru mengajak siswa berlatih menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar
lingkaran.i. Siswa mampu menemukan konsep dan rumusan persamaan garis singgung di titik tertentu.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa untuk dapat mampu
merumuskan persamaan garis singgung lingkaran di titik tertentu.b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa.c. Guru menyampaikan informasi bahwa pertemuan berikutnya diadakan ulangan harian bab persamaan
lingkaran.
Pertemuan V (2 jp)
1. Pendahuluan (10 menit)a. Guru meminta siswa memasukkan semua barang yang di atas meja ke laci atau tas dan siswa
menyiapkan bolpoin dan penggaris.b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.
2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru memimpin siswa untuk berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian.b. Siswa mengerjakan soal evaluasi dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru meminta siswa untuk mengumpulkan hasil ulangan, kemudian memberikan penjelasan bahwa
hasil ulangan merupakan indikator tingkat penguasaan siswa terhadap materi persamaan lingkaran.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.
G. Penilaian1. Teknik dan Bentuk Instrumen
274 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
2. Contoh Instrumena. Lembar Pengamatan Sikap
b. Rubrik Penilaian Sikap
1.
2.
3.
Aspek yang Dinilai Keterangan
Mengagumi konsep persamaan lingkarandalam perannya membantu menyelesaikanmasalah keseharian.
Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat,disiplin, dan percaya diri dalam menghadapidan menyelesaikan permasalahan tentangpersamaan lingkaran.
Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.
No.
3 : Menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayatiterhadap peluang serta sepenuhnya mengetahui perananpersamaan lingkaran dalam membantu menyelesaikanmasalah nyata.
2 : Kurang menunjukkan ekspresi kekaguman danmenghayati terhadap persamaan lingkaran dan belumsepenuhnya mengetahui peranan peluang dalammembantu menyelesaikan masalah nyata.
1 : Tidak menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayatiterhadap peluang dan tidak mengetahui perananpersamaan lingkaran dalam membantu menyelesaikanmasalah nyata.
3 : Menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalammengerjakan soal. Bersikap disiplin dan percaya diridalam menghadapi tantangan tanpa ada rasa takut.Justru merasa yakin bisa menyelesaikan permasalahan-nya.
2 : Kurang menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermatdalam mengerjakan soal. Kurang bersikap disiplin dankurang percaya diri dalam menghadapi tantangan.
1 : Tidak menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermatdalam mengerjakan soal. Tidak bersikap disiplin dan tidakpercaya diri dalam menghadapi tantangan. Seringmerasa takut salah sehingga tidak bertindak menyelesai-kannya.
3 : Menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalammenghadapi permasalahan sehari-hari.
2 : Kurang menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.
1 : Tidak menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.
Aspek yang Dinilai3 2 1
KeteranganSkor
Mengagumi konsep persamaan lingkarandalam perannya membantu menyelesaikanmasalah keseharian.
Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat,disiplin, dan percaya diri dalam menghadapidan menyelesaikan permasalahan tentangpersamaan lingkaran.
Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.
Memiliki rasa keingintahuan kegunaanmempelajari persamaan lingkaran.
No.
1.
2.
3.
4.
275Matematika Kelas XI
Aspek yang Dinilai KeteranganNo.
3 : Menunjukkan sikap rasa keingintahuan yang tinggitentang kegunaan mempelajari persamaan lingkaran. Halini ditunjukkan dengan sering bertanya hal-hal yangbelum diketahui. Memiliki pola pikir yang kritis terhadapsesuatu yang baru.
2 : Kurang menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentangkegunaan mempelajari persamaan lingkaran. Hal iniditunjukkan dengan kurang aktif dalam bertanya jawab.Kurang kritis terhadap sesuatu yang baru diketahui.
1 : Tidak menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentangkegunaan mempelajari persamaan lingkaran. Hal iniditunjukkan dengan tidak aktif dalam bertanya jawab.Tidak peduli terhadap sesuatu yang baru diketahui.
MengetahuiKepala SMA/MA . . . . Guru Bidang
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .NIP__________________ NIP__________________
Memiliki rasa keingintahuan kegunaanmempelajari persamaan lingkaran.
4.
276 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Sekolah : SMA/MAMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XI/2Materi/Submateri Pokok : Transformasi GeometriAlokasi Waktu : 8 × 45 menit
A. Kompetensi Dasar dan Indikator1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
Indikator:Menghayati dan mengamalkan konsep transformasi geometri dalam perannya membantu menyelesaikanmasalah
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dansikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikanmasalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplindalam melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.Indikator:• Mampu menunjukkan sikap motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin,
rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkanstrategi menyelesaikan masalah.
• Mampu menunjukkan sikap berperilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalammelakukan tugas belajar matematika.
3.20 Menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi, dan rotasi) denganpendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah.Indikator:• Mampu memahami konsep dasar transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, dilatasi,
dan rotasi menggunakan sudut pandang koordinat• Mampu menjelaskan sifat-sifat transformasi geometri• Mampu menentukan bayangan titik oleh translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi
4.15 Menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkait sifat-sifat objek dan menerapkan aturantransformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkan masalah.Indikator:• Mampu mendeskripsikan cara menggunakan sifat transformasi geometri untuk menentukan
persamaan bayangan kurva oleh sebuah transformasi geometri• Mampu menentukan persamaan bayangan kurva oleh sebuah transformasi geometri• Mampu menerapkan aturan transformasi geometri dan sifat objek untuk menyelesaikan transformasi
geometri terhadap kurva
B. Tujuan Pembelajaran1. Siswa mampu menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi)
dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah;2. Siswa mampu menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkait sifat-sifat objek dan
menerapkan aturan transformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkanmasalah.
C. Materi Pembelajaran• Translasi dan refleksi terhadap titik• Translasi dan refleksi terhadap kurva• Rotasi dan dilatasi terhadap titik• Rotasi dan dilatasi terhadap kurva
277Matematika Kelas XI
D. Metode PembelajaranPendekatan : Scientific ApproachModel : Siklus Belajar (Learning Cycle)Metode : Problem Solving dan Diskusi
E. Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran
1. Alat dan Bahana. Kertasb. Alat tulisc. Komputer
2. Sumber Belajara. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesiab. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik
Indonesiac. Buku PR Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwarad. Buku PG Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwara
F. Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan I (3 jp)
1. Pendahuluan (15 menit)Guru mengajak siswa mengamati peristiwa atau fenomena dalam keseharian yang berhubungan dengantranslasi dan refleksi. Sebagai contoh, siswa mengamati fenomena bayangan saat bercermin danperpindahan manusia saat manusia bepergian.
2. Kegiatan Inti (110 menit)a. Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali materi tentang translasi. Sebagai contoh, guru
mengingatkan kembali prinsip perpindahan dalam translasi. Guru juga mengingatkan kembali materimengenai refleksi.
b. Guru melanjutkan pelajaran dengan menjelaskan notasi translasi pada sebuah titik, yaitu
A(x, y) aTb
= → A′(x + a, y + b).
c. Guru memberikan contoh permasalahan tentang translasi.d. Guru menjelaskan rotasi dan notasinya. Setelah itu guru memberikan gambar-gambar posisi sebuah
titik yang direfleksikan terhadap sumbu-sumbu tertentu. Guru juga memberikan tabel tentang hasilrefleksi sebuah titik terhadap sumbu-sumbu tertentu.
e. Guru menjelaskan konsep translasi dan refleksi yang diterapkan pada kurva. Guru memberikanlangkah-langkah yang dapat digunakan siswa untuk menentukan persamaan bayangan kurva.
f. Guru membimbing siswa untuk mengerjakan tugas Pemantapan.g. Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang translasi dan refleksi. Guru dapat
menggunakan soal-soal pada bagian Contoh Soal, Latihan 1, mengambil dari sumber lain (misalnyadari internet), atau guru dapat membuat soal sendiri.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran yang berkaitan dengan translasi dan refleksi.
Guru juga dapat memberikan siswa soal-soal pekerjaan rumah yang diambil dari Latihan 1.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.
Pertemuan II (3 jp)
1. Pendahuluan (15 menit)Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali materi mengenai rotasi dan dilatasi. Materi tersebutpernah dipelajari saat siswa duduk di bangku SMP. Sebagai contoh guru mengajak siswa mengamatiperistiwa atau fenomena dalam keseharian yang berhubungan dengan rotasi dan dilatasi.
278 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
2. Kegiatan Inti (110 menit)a. Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali materi tentang rotasi. Sebagai contoh guru
mengingatkan kembali hubungan antara tanda negatif sudut dan arah putaran dalam rotasi.b. Guru menjelaskan rotasi dan notasinya. Setelah itu guru memberikan tabel mengenai posisi sebuah
titik yang dirotasi terhadap titik O(0, 0) dan titik (a, b) serta dengan sudut rotasi tertentu.c. Guru memberikan contoh permasalahan tentang rotasi.d. Guru juga mengingatkan kembali materi mengenai dilatasi. Selanjutnya guru menjelaskan konsep
dilatasi dan notasinya.e. Guru melanjutkan pembelajaran dengan memberikan konsep luas benda yang dihasilkan setelah
benda tersebut dikenakan dilatasi.f. Guru menjelaskan konsep rotasi dan dilatasi yang diterapkan pada kurva. Guru memberikan langkah-
langkah yang dapat digunakan siswa untuk menentukan persamaan bayangan kurva. Guru memberi-kan contoh permasalahan mengenai persamaan bayangan lingkaran oleh sebuah rotasi.
g. Guru membimbing siswa untuk mengerjakan tugas Pemantapan.h. Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang rotasi dan dilatasi. Guru dapat
menggunakan soal-soal pada bagian Contoh Soal, Latihan 2, mengambil dari sumber lain (misalnyadari internet), atau guru dapat membuat soal sendiri.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran yang berkaitan dengan rotasi dan dilatasi.
Guru dapat memberikan pekerjaan rumah kepada siswa untuk mengerjakan permasalahan dalamMari Berselancar di Internet.
b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.
Pertemuan III (2 jp)
1. Pendahuluan (10 menit)a. Guru meminta siswa untuk menyiapkan bolpoin dan alat tulis lain guna menghadapi ulangan harian.b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.
2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian.b. Siswa mengerjakan soal ulangan harian dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan.c. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya tentang soal-soal ulangan harian yang
belum dimengerti atau kurang jelas maksudnya.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru menginstruksikan kepada siswa untuk mengumpulkan pekerjaannya jika sudah selesai.
G. Penilaian
1. Teknik dan Bentuk Instrumen
Teknik
Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik
Tes Pilihan Ganda dan Uraian
Kumpulan Laporan dan Produk
Bentuk Instrumen
Pengamatan Sikap
Tes Tertulis
Portofolio
279Matematika Kelas XI
2. Contoh Instrumena. Lembar Penilaian Sikap
b. Rubrik Penilaian Sikap
Aspek yang Dinilai3 2 1
KeteranganSkor
Mengagumi dan menyadari manfaat ilmutransformasi geometri dalam keseharian danbersyukur atas nikmat tersebut.
Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi.
Bersikap kritis, disiplin, dan teliti dalammelakukan kegiatan baik secara individumaupun kelompok.
Memiliki sikap menghargai dan bekerja samadalam melakukan sesuatu hal denganorang lain.
No.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
Aspek yang Dinilai Keterangan
Mengagumi dan menyadari manfaat ilmutransformasi geometri dalam keseharian danbersyukur atas nikmat tersebut.
Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi.
Bersikap kritis, disiplin, dan teliti dalammelakukan kegiatan baik secara individumaupun kelompok.
No.
3 : menunjukkan ekspresi kekaguman terhadap transformasigeometri dan manfaatnya sehingga merasa sangat pentingdan perlu mempelajari transformasi geometri.
2 : belum menunjukkan ekspresi kekaguman terhadaptransformasi geometri dan manfaatnya sehingga kurangbersemangat dalam mempelajari transformasi geometri.
1 : tidak menunjukkan ekspresi kekaguman terhadaptransformasi geometri dan manfaatnya sehingga tidakbersemangat dalam mempelajari transformasi geometri.
3 : menunjukkan rasa ingin tahu yang tinggi dengan banyakbertanya, antusias, terlibat aktif dalam kegiatan belajar,berani mengemukakan pendapat, dan tidak takut salah.
2 : menunjukkan rasa ingin tahu, tetapi tidak terlalu antusias,terlibat aktif dalam kegiatan belajar ketika disuruh, danmasih takut atau ragu dalam mengungkapkan pertanyaanatau pendapat.
1 : tidak menunjukkan antusias dalam pengamatan, sulitterlibat aktif dalam kegiatan belajar meskipun telah didoronguntuk terlibat, dan tidak pernah mengemukakan pertanya-an atau pendapat.
3 : menunjukkan sikap kritis, disiplin, dan teliti dalam melaku-kan kegiatan baik secara individu maupun kelompokmisalnya sering bertanya hal-hal yang kurang jelas, disiplindan teliti dalam menghitung dan menyelesaikan masalah.
2 : kurang menunjukkan sikap kritis, disiplin, dan teliti dalammelakukan kegiatan baik secara individu maupunkelompok misalnya masih malu/takut bertanya hal-halyang kurang jelas, kurang disiplin dan kurang teliti dalammenghitung dan menyelesaikan masalah.
1 : tidak mempunyai sikap kritis, disiplin, dan teliti dalamkegiatan belajar maupun dalam menyelesaikan masalah.
280 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Aspek yang Dinilai KeteranganNo.
MengetahuiKepala SMA/MA . . . . Guru Bidang
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .NIP.___________________ NIP.___________________
3 : Mempunyai sikap suka bekerja sama dan menghargaiyang tinggi kepada orang lain dan teman dalam berdiskusiatau melakukan tugas bersama. Meskipun ada beberapaperbedaan pendapat atau pemikiran.
2 : Kurang dalam bersikap bekerja sama dan menghargaiorang lain dan teman dalam berdiskusi atau melakukantugas bersama. Di sini bisa ditunjukkan dengan sikap agaksungkan kepada orang lain.
1 : Tidak mempunyai sikap bekerja sama dan tidak meng-hargai orang lain dan teman dalam berdiskusi atau melaku-kan tugas bersama. Segala sesuatu dikerjakan sendiripadahal membutuhkan pemikiran banyak teman. Tidakrespon terhadap pendapat orang lain.
Memiliki sikap menghargai dan bekerja samadalam melakukan sesuatu hal denganorang lain.
4.