SWAKALIBRASI MULTIVIEW KAMERA DENGAN MATRIK FUNDAMENTAL

ALGORITMA 8 TITIK

Seminar Tesis

EZA RAHMANITA2208205004

PROGRAM MAGISTER BIDANG KEAHLIAN JARINGAN CERDAS MULTIMEDIA

JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA 2010

Tujuan:

Permasalahan :

• Menentukan koordinat image dari 2 kamera.

• Menentukan koordinat image yang berpasangan.

• Menghitung matrik Fundamental

Solusi:

Normalisasi

Menghitung F

Mencari garis epipolar

Menghitung jarak koordinat

image dengan garis epipolar

Data Masukan

Koordinat Image

Data Masukan Koordinat Image

Normalisasi algoritma 8-point

1.Transformasi input ,

2.Ada 8-titik pada untuk

3.

ii Txx ˆ '

i

'

i Txx ˆ'

ii xx ˆ,ˆTFTF ˆΤ'

F̂

0Fxx'

0ˆ'ˆ 1 xFTTx'

F̂

Matik Fundamental FPersamaan Geometrik:

xHx' π

x'e'l' FxxHe' π

Mapping dari 2-D to 1-D (rank 2)

Estimasi F — Algoritma 8 Titik

• Matrik Fundamental didefinisikan:

0Fxx'

Untuk setiap pasang x and x’ pada 2 image.

• Jika x=(u,v,1)T and x’=(u’,v’,1)T,

333231

232221

131211

fff

fff

fff

F

Setiap pasang mempunyai persamaan linear:

0'''''' 333231232221131211 fvfuffvfvvfuvfufvufuu

Algoritma 8-titik

0

1´´´´´´

1´´´´´´1´´´´´´

33

32

31

23

22

21

13

12

11

222222222222

111111111111

f

f

f

f

f

f

f

f

f

vuvvvvuuuvuu

vuvvvvuuuvuu

vuvvvvuuuvuu

nnnnnnnnnnnn

• Untuk menyelesaikan , dicari solusi f

untuk minimal ,nilai eigenvector terkecil .

0Af

AfAA

Algoritma 8-titik• F diganti F’ yang meminimumkan

dengan 'FF

0'det F

• Diselesaiakan dg SVD. jika , dimana

, let

merupakan solusi.

VUF Σ

3

2

1

000000

Σ

0000000

Σ' 2

1

VUF Σ''

epipole e,e’= perpotongan antara baseline dg bidang image

= proyeksi dari pusat proyeksi dari image lain

bidang epipolar = bidang baseline (1-D family)

Garis epipolar = perpotongan bidang epipolar dengan image(terjadi pada pasangan yang berkoresponden)

Epipolar Geometri

Matrik Fundamental F

Repsesentasi aljabar dari epipolar geometri

l'x

kita akan lihat mappingnya adalah (singular) correlation (i.e. proyeksi mapping dari titik ke garis)

direpresenrasikan oleh matrik fundamental F

Matrik Fundamental F

Kondisi Korespondensi

0Fxx'T

Fundamental Matrik digunakan untuk merepresentasikan beberapa pasang titik yang

berkoresponden x↔x’ pada dua image 0l'x'T

Matrik Fundamental F

F adalah matrik 3x3 memenuhi persamaan x’TFx=0 untuk semua x↔x’

(i) Transpose: Jika F adalah matrik fundamental untuk (P,P’), maka FT adalah matrik fundamental untuk (P’,P)

(ii) Garis Epipolar : l’=Fx & l=FTx’(iii) Epipole: berada pada garis epipolar : e’TFx=0, x

e’TF=0, similarly Fe=0(iv) F adalah korelasi, proyeksi mapping dari titik x ke garis

l’=Fx

Perhitungan Epipolar Error

i

iiii dFd2T2 x'F,xx,x'

Hasil Penelitian:

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

1,4000

1,6000

1,8000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

err

or

pasangan kamera

Perbandingan Error

tanpa normalisasi

normalisasi

0

100

200

300

400

500

600

700

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Err

or

Koordinat Image

Grafik Perbandingan Error

View1

View2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Err

or

pasangan gambar

Perbandingan Error

View 1

view 2

Kesimpulan:

• Matriks Fundamental menyatakan hubungan 2image dari 2 view.

• Data masukan adalah koordinat image yangberpasangan, yang telah dinormalisasi.

• Proses penentuan 8 titik sebagai data masukanmatriks fundamental berpengaruh terhadaphasil.

Terima Kasih

Reference

• Carlo Tomasi, The Singular Value Decomposition, Mathematical Modeling of Continuous Systems course note, 2004.

• Richard Hartley, In Defense of the 8-point Algorithm, ICCV, 1995.

• Andrew W. Fitzgibbon and Andrew Zisserman, Automatic Camera Tracking, Video Registration, 2003.

• Carlo Tomasi and Takeo Kanade, Shape and Motion from Image Streams: A Factorization Method, Proceedings of

Natl. Acad. Sci., 1993.

Singular value decomposition (SVD)

Every matrix represents a transformation

http://www.uwlax.edu/faculty/will/svd/index.html

Singular value decomposition

Pseudoinverse