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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 1
Termalgebren
Definition "Freie Algebra"
Die -Algebra = [A , F ] heißt frei mit dem freien Erzeugendensystem X (über der Klasse aller -Algebren) gdw. X Erzeugendensystem von ist, so daß für jede -Algebra = [B , G ] und jede eindeutige Abbildungsfamilie 0 von X in B genau einen -Homomorphismus von in existiert, der 0 fortsetzt.
Kapitel 4
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 2
0
X
frei über X:
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 3
Isomorphie freier Algebren: = [A , F ] und = [B , G ] seien zwei freie -Algebren mit den freien Erzeugendensystemen X bzw. Y Dann gilt: und sind isomorph, wenn ihre freien Erzeugendensysteme X bzw. Y sortenweise gleichmächtig sind.
Beweisidee: Wegen der Gleichmächtigkeit von X und Y gibt es eine 1-1-Abbildung von X auf Y, die man wegen der Freiheit von zu einem Homomorphismus '' von in fortsetzen kann. Die inverse Abbildung -1 kann analog wegen der Freiheit von zu einem Homomorphismus (-1)'' von in fortgesetzt
werden. Um zu sehen, überzeuge man sich davon, daß beides Epimorphismen sind und zueinander invers.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 4
Syntaxanalyse
(p (r q))
keine Variable, zu im(neg):
keine Variable, zu im(con):(p (r q))
(p (r q))
p (r q)
Variable keine Variable, zu im(alt)
(r q)
r q
Variable keine Variable, zu im(neg)
q Variable
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 5
Definition "PEANO-Algebra"
Eine -Algebra = [(Es)sS , (f) ] heißt -Ausdrucksalgebra (-Termalgebra) über dem Alphabet X oder auch -PEANO-Algebra über der PEANO-Basis X genau dann, wenn
X = (Xs)sS
und für alle sS ist Xs Es ,und die sogenannten verallgemeinerten PEANO-Axiome gelten.Die Elemente von Es heißen dann Terme oder Ausdrücke der Sorte s, die von Xs heißen Variablen der Sorte s.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 6
Definition "PEANO-Algebra"
Die verallgemeinerten PEANO-Axiome sind die folgenden Bedingungen:
(P1) s( o() = s Ei () f() X )
(P2) 12s(1,2 o(1)=o(2)= s Ei (1) Ei (2) f1
() = f2()
1 = 2 = )
(P3) [X] = E
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 7
Fallunterscheidungssatz für Termalgebren:Ist eine -Termalgebra über X, so gilt für alle e E:
Es gibt ein sS und es ist entweder e Xs oder es existiert genau ein mit o() = s und genau ein Ausdruckstupel (e1,e2 ,...,en) Ei () mit e = f (e1,e2 ,...,en) .
Beweis: Wegen (P3) und dem Darstellungssatz für die algebraische Hülle ergibt sich die Behauptung trivialerweise aus den Bedingungen (P1) und (P2).
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 8
Folgerung:Ist -Termalgebra über X, so gilt für alle sS :
Xs = Es \ im ( f ) .
Mit der Angabe einer -Termalgebra = [E , F ] ist damit zugleich ihr Alphabet X festgelegt.
o() = s
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 9
Definition "homomorphe Fortsetzung einer Belegung"
Es sei = [A , F] eine -Algebra und = [E , G] eine -Ausdrucksalgebra über dem Alphabet X. Jede eindeutige Abbildung : X A heißt -Belegung von X. Eine eindeutige Abbildung *: E A, die für alle sS
folgenden Gleichungen 1. s*(x) = s(x) für alle xXs und2. s*(g (e1,e2 ,...,en)) = f (*w(e1,e2 ,...,en)) alle mit () = (w,s) und alle (e1,e2 ,...,en)Ew
genügt, heißt homomorphe (oder natürliche) Fortsetzung der -Belegung von X. Die Voraussetzung = [E , F ] -Termalgebra ist wesentlich.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 10
Fortsetzungssatz für Termalgebren:Es sei = [A , F] eine -Algebra und = [E , G] eine -Ausdrucksalgebra über dem Alphabet X. Dann existiert zu jeder -Belegung von X genau ein Homomorphismus * von in , der über X mit übereinstimmt. Dieser ist die homomorphe Fortsetzung von .
Beweis: Die Existenz einer homomorphen Fortsetzung * ergibt sich aus
dem Fallunterscheidungssatz sofort. Außerdem ist * wegen 2. Gleichung Homomorphismus von in Die Eindeutigkeit folgt aus dem Satz von der Eindeutigkeit der homomorphen Fortsetzung.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 11
Folgerung:Jede -PEANO-Algebra über X ist also freie Algebra mit dem freien Erzeugendensystem X über der Klasse aller -Algebren.
*
X
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 12
Isomorphie von PEANO-Algebren:Zwei -PEANO-Algebren = [A , F] und = [B , G] sind isomorph genau dann, wenn ihre PEANO-Basen X bzw. Y sortenweise gleichmächtig sind.
Beweis: Einfach wegen dem vorigen Satz und dem Satz über die Isomorphie freier Algebren, die umgekehrte Richtung ergibt sich leicht aus der Folgerung zum Fallunterscheidungssatz für Termalgebren.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 13
Konstruktion von Ausdrucksalgebren Definition "Standardtermalgebra"
Sei = (S, , ) Signatur und sei X = (Xs)sS eine disjunkte Mengenfamilie, die auch zu disjunkt ist.Die Mengen Ti,s , iNz, sS seien folgende Mengen endlicher Folgen:T0,s = Xs { | () = (s) },Ti+1,s = Ti,s { t1t2 ,...tn | w(() = (w,s) (t1,t2 ,...,tn)Ti
w }.
Weiter bezeichne Ts = Ti,s i Nz
und T(X) = ( T(X)s )sS = ( Ts )sS .
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 14
Konstruktion von Ausdrucksalgebren noch zur Definition "Standardtermalgebra"
Bezeichnet nun f für jedes mit () = (w,s) die Funktion
f : T(X)w T(X)s vermöge
f (t1,t2 ,...,tn) = t1t2 ,...tn für alle (t1,t2 ,...,tn)T(X)w
mit w und f () = ,dann ist
T(X) = [ T(X) , ( f ) ] eine -Algebra und heißt Standardtermalgebra T(X)
der Signatur über dem Variablensystem (dem Alphabet) X.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 15
Rechtfertigung der Bezeichnung:Die Standardtermalgebra T(X) über X ist eine PEANO-Algebra über X.
Beweis: durch Nachweis der verallgemeinerten PEANO-Axiome
Folgerung:Jede -PEANO-Algebra über X ist isomorph zur Standardtermalgebra T(X).
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 16
Initialität:Für jede -Algebra gibt es genau einen Homomorphismus
h: T .
In der Definition von T(X) kann X auch als S-sortige Familie
leerer Mengen X = = ()s S gewählt werden. Definition "Grundterme"
Es wird gesetzt:T = T() und T = T() .
Die Elemente von T heißen (Standard-)Grundterme.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 17
"frei ist PEANOsch":Ist die -Algebra = [A , F] frei über der Klasse aller -Algebren mit dem freien Erzeugendensystem X, welches zu disjunkt ist, so ist eine -PEANO-Algebra über der PEANO-Basis X.
Beweis: durch Nachweis der verallgemeinerten PEANO-Axiome Folgerungen:1. Ist eine freie Algebra mit einem freien Erzeugendensystem X, so ist dieses eindeutig bestimmt. 2. Freie Algebren und sind isomorph genau dann, wenn ihre freien Erzeugendensysteme sortenweise gleichmächtig sind.
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 18
Jede freie -Algebra , frei über X, ist isomorph zur Standardtermalgebra T(X) vermöge eines X festlassenden Isomorphismus.
T(X) injektiv!
X X
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 19
Zusammenfassung Begriff Charakterisierungen
PEANO-Algebra innere analytisch
freie Algebra äußere algebraisch
Standard-termalgebra konstruktiv synthetisch
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 20
Äquivalenz der drei Charakterisierungen für Termalgebren:Für jede -Algebra = [A , F] und beliebige Teilfamilien X A sind folgende Aussagen äquivalent:1. ist -PEANO-Algebra über der PEANO-Basis X. 2. ist frei in der Klasse aller -Algebren mit dem freien Erzeugendensystem X. 3. ist isomorph zu T(X) vermöge eines X festlassenden Isomorphismus.
Beweis: (1) (2) : Folgerung zum Fortsetzungssatz (Folie 11)
(2) (1) : "frei ist PEANOsch" (Folie 17)
(1) (3) : Folgerung zu T(X) ist PEANO-Algebra (Folie 15)
(3) (2) : wird im folgenden noch gezeigt !
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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 / 21
* T(X)
X
(3) (2) :
= * Homomorphismus von in mit
|X = (* )|X = * |X = * X = *|X = ,
also ist homomorphe Fortsetzung von .