syntetická geometrie ii - univerzita karlovazamboj/documents/sg2/sgi_7... · michal zamboj...
TRANSCRIPT
![Page 1: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/1.jpg)
Syntetická geometrie IIKruhová inverze
Michal Zamboj
Pedagogická fakulta
2019www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 2: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/2.jpg)
Kruhová inverze
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 3: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/3.jpg)
Kruhová inverze
Definice (Kruhová inverze)
Je dána kružnice z(S, r) v rovine ρ. Kruhová inverze jezobrazení v rovine ρ \ {S}, které každému bodu X 6= Sprirazuje bod X ′ poloprímky
−→SX tak, že platí
|SX | · |SX ′| = r2.
Kružnice z se nazývá rídicí kružnice.
Pozn. nekdy se definuje |SX | · |SX ′| = |λ|. Body se pro λ < 0 zobrazují na opacnýchpoloprímkach.Pozn. nekdy se bodu S prirazuje (práve jeden) bod v nekonecnu.
Samodružné body: body rídicí kružnice.Samodružné prímky: prímky procházející bodem S (bezbodu S).Vnitrní body kružnice z se zobrazují na vnejší a opacne.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 4: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/4.jpg)
Kruhová inverze
Konstrukce (Sestrojte z, je li dáno S,X ,X ′)
Z Eukleidovy vety o odvesne:
1 kt(S,X )
2 l ; l ⊥ SX ,X ′ ∈ l
3 Z ∈ l ∩ kt
4 z(S, |SZ |)
(resp. zamenit X ,X ′)
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 5: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/5.jpg)
Zobrazení prímky
Veta (Obrazem prímky S /∈ p je kružnice)
Obrazem prímky p, neprocházející stredem S rídicí kružnicez(S, r) kruhové inverze, je kružnice p′, procházející bodem S(ale bez bodu S).
DukazDokazujeme vlastne dve implikace:1) Najdeme kružnici, na které leží obrazy bodu prímky v inverzi:Sestrojíme patu P kolmice na prímku p vedené bodem S.Najdeme obraz P ′ bodu P a sestrojíme Thalétovu kružnici ktnad prumerem SP ′.Necht’ X ′ = kt ∩
−→SX, kde X je libovolný bod na prímce p.
Pravoúhlé trojúhelníky 4SPX ∼ 4SX ′P ′ jsou podobné dle(u,u) a pro každý bod X platí: r2 = |SP| · |SP ′| = |SX | · |SX ′|.Body X ′ jsou obrazy bodu X z definice kruhové inverze.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 6: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/6.jpg)
Zobrazení prímky
Veta (Obrazem prímky S ∈ p je kružnice)
Obrazem prímky p, neprocházející stredem S rídicí kružnicez(S, r) kruhové inverze je kružnice p′, procházející bodem S(ale bez bodu S).
Dukaz2) Dokážeme, že obraz každého bodu prímky p leží na nejakékružnici k ′:Z inverze máme |SX | · |SX ′| = |SP| · |SP ′| a platí rovnostpomeru |SX |
|SP| =|SP′||SX ′| .
Trojúhelníky 4SPX a 4SX ′P ′ mají spolecný úhel a jsou sipodobné dle (s,u, s).Úhel pri vrcholu X ′ v 4SX ′P ′ je tedy taky pravý a bod X ′ ležína Thalétove kružnici nad prumerem SP ′.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 7: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/7.jpg)
Zobrazení prímky
Dusledek: Kruhová inverze nezachovává kolineárnost bodu.Zachovává se incidence.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 8: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/8.jpg)
Zobrazení kružnice
Veta (Obrazem kružnice S ∈ k je prímka)
Obrazem kružnice k, procházející stredem S rídicí kružnicez(S, r) kruhové inverze, je prímka p, neprocházející bodem S.
DukazStací si uvedomit, že kruhová inverze je involuce. Potom je todusledek predešlé vety.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 9: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/9.jpg)
Zobrazení kružnice
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 10: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/10.jpg)
Veta (Obrazem kružnice S /∈ k je kružnice)
Obrazem kružnice k, neprocházející stredem S rídicí kružnicez(S, r) kruhové inverze, je kružnice k ′, neprocházejícíbodem S.
DukazZnovu dokazujeme dve implikace: 1) Najdeme kružnici, pro kterou to platí:Oznacme P,Q body kružnice k, které leží na jejím prumeru procházejícím stredem Srídicí kružnice a urceme jejich obrazy P′,Q′.Z inverze platí: |SP| · |SP′| = |SQ| · |SQ′| = r2 a sestrojíme kružnici k ′ nad prumeremP′Q′. Necht’ X ′ je libovolný bod kružnice k ′ a Y ′ druhý prusecík k ′ ∩
−−→SX ′, a prusecíky
k ∩−−→SX ′ jsou Y ,X.
Z mocnosti bodu S ke kružnici k platí: |SX | · |SY | = m = |SP| · |SQ|.
Platí, že kružnice k , k ′ jsou ve stejnolehlosti se stredem S. Platí tedy:|SP||SY |
=|SQ′||SX ′|
.
Dosazením napr. pro |SY | do vztahu pro mocnost:
|SX ||SP| · |SX ′||SQ′|
= |SP| · |SQ|→ |SX | · |SX ′| = |SQ| · |SQ′| = r2
A body X ′ ∈ k ′ jsou obrazy bodu X ∈ k.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 11: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/11.jpg)
Veta (Obrazem kružnice S /∈ k je kružnice)
Obrazem kružnice k, neprocházející stredem S rídicí kružnicez(S, r) kruhové inverze, je kružnice k ′, neprocházejícíbodem S.
Dukaz2) Dokážeme, že obrazy bodu kružnice k v inverzi leží na nejaké kružnici k ′.Stejne jako v 1) oznacme P,Q body kružnice k, které leží na jejím prumeruprocházejícím stredem S rídicí kružnice a urceme jejich obrazy P′,Q′.Necht’ X je libovolný bod kružnice k a Y druhý prusecík k ∩
−→SX, jejich obrazy jsou
X ′,Y ′.
Z inverze platí:|SP||SX |
=|SX ′||SP′|
a taky|SQ||SX |
=|SX ′||SQ′|
a dvojice trojúhelníku
4PSX ∼ 4X ′SP′′ a4QSX ∼ 4X ′SQ′ se spolecným úhlem ve vrcholu S jsou sipodobné.Platí tedy, že|^SX ′P′| − |^SX ′Q′| = |^SPX | − |^SQX | = π − |^QPX | − |^PQX | = π
2 .Bod X ′ tedy leží na Thalétove kružnici nad prumerem P′Q′.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 12: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/12.jpg)
Zobrazení kružnice
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 13: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/13.jpg)
Samodružné kružnice
Veta (Samodružné kružnice)
Rídicí kružnice a kružnice, které jsou kolmé na rídicí kružnici,jsou samodružné v kruhové inverzi.
DukazNecht’ T je prusecík kružnice k a rídicí kružnice z.−→ST je tecna kružnice k.Bodem S ved’me libovolnou secnu s kružnice k : X ,Y ∈ k ∩ s.Z mocnosti bodu S ke kružnici k platí |SX | · |SY | = |ST |2 = r2.Bod X je v inverzi obrazem bodu Y a opacne.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 14: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/14.jpg)
Samodružné kružnice
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 15: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/15.jpg)
Kruhová inverze
Veta (Konformita kruhové inverze)Kruhová inverze je konformní zobrazení, t.j. zachovává úhly.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 16: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/16.jpg)
Kruhová inverze
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 17: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/17.jpg)
Kruhová inverze
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 18: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/18.jpg)
Kruhová inverze
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 19: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/19.jpg)
Kruhová inverze
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 20: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/20.jpg)
Kruhová inverze
Príklad (1)
Je dána rídicí kružnice z(S, r), kružnice n(N, rn), která je uvnitrz a S ∈ n a kružnice m(M, rm), která má vnejší dotyk s kružnicín. Sestrojte obrazy kružnic m,n v kruhové inverzi.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
![Page 21: Syntetická geometrie II - Univerzita Karlovazamboj/documents/sg2/SGI_7... · Michal Zamboj Syntetická geometrie II. Veta (Obrazem kružniceˇ S 2=k je kružnice) Obrazem kružnice](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040107/5e49476a01c66e3cf53d9ccc/html5/thumbnails/21.jpg)
Kruhová inverze
Príklad (2 - cv.)Je dán 4ABC.
1 Sestrojte jeho obraz v kruhové inverzi, kde rídicí kružnice,je kružnice trojúhelníku vepsaná.
2 Sestrojte dále obraz kružnice opsané v dané kruhovéinverzi.
3 Urcete polomery kružnic, které jsou obrazy prímek←→AB,←→BC,←→AC a kružnice opsané 4ABC.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II