systemes a temps discret commande numérique des procédés
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Avant-propos
Cedocumentestconcucommeunsupportdecoursdestine adeselevesingenieurs.Il a ete redigeenparticulierenvued’un enseignementde15heuresa l’ENSA (EcoleNationaledesSciencesAppliquees)situeesurle poletechnologiquedel’Uni versiteIbn Zohr, Agadir, Maroc.
L’objectif dececoursestd’abordercertainsaspectsdela commandenumeriquedessystemesetneseveutenaucuncasexhaustif.Lespre-requisconcernentdesaspectsmathematiquestelsquela manipulationdefonctionsetdesuites,le calculintegralet lesseries,la transformeedeLaplace;ainsiqu’unebonneconnaissancedel’Automatiquedessystemeslineairesa tempscontinu.Partantdeprocedesphysiquesmodeliseespardesfonctionsdetransferten p (variabledeLaplace)nousaborderonssuccessivementla modelisationdesystemesdiscretset echantillonnes,leur analyseet pourfinir la synthesedelois decommandenumeriques.
Le premierchapitreestentierementdedie a la modelisation.Il presentedansun premiertempsla modelisationdesi-gnauxa tempsdiscretavant d’introduire la notion de fonction de transferten z. Il porteuneattentionparticuliereauxsystemesdiscretsobtenusparechantillonnagedeprocedescontinuset qui sontaucentredela problematiquedela com-mandenumerique.
Lesdeuxchapitressuivantsportentsur la descriptionet l’analysedescomportementstemporelsd’un systemea tempsdiscret.Le chapitre2 commencepardecrireet calculerlesreponsesd’un systemea la donneed’uneentree.Le chapitre3 quanta lui, s’interessea la notion primordialeen Automatiquede stabilite. Il proposedesresultatstheoriquespouranalysercettepropriete.
Par la suite,deuxchapitressontconsacresa la synthesede lois decommande.Le chapitre4 considerele casle pluselementaired’une loi de commandestatiqueconstitueede simplesgains.Le chapitre5 abordeune techniquedite dediscretisation.Elle consistea transposerles methodesde synthesespecifiquesaux systemesa tempscontinu pour lacommandenumeriquedesystemesechantillonnes.
Il estimportantdepreciserquecedocumentdoit beaucoupaupolycopiedecoursrealise parBernardPradina l’INSAdeToulouse,[9]. Deplusil s’inspired’ouvragesprecedentstelsque[1] [3] [4] [6] [7] [2] [5] [8].
Toulouse,7 avril 2003
Dimitri Peaucelle
i
BIBLIOGRAPHIE iii
Bibliographie
[1] P. Borne,G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard,F. Rotella,and I. Zambettakis. Analyseet Regulation desProcessusIndustriels.Tome1: Regulationcontinue. Technip,France,1993.
[2] P. Borne,G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard,F. Rotella,and I. Zambettakis. Analyseet Regulation desProcessusIndustriels.Tome2: Regulationnumerique. Technip,France,1993.
[3] B. d’AndreaNovel andM. CohendeLara. CommandeLineaire desSystemesDynamiques. Masson,France,1994.
[4] E. DieulesaintandD. Royer. AutomatiqueAppliquee: 1. Systemeslineairesdecommandea signauxanalogiques.Masson,France,1987.
[5] E. DieulesaintandD. Royer. AutomatiqueAppliquee: 2. Systemeslineairesdecommandea signauxechantillonnes.Masson,France,1990.
[6] R.C.Dorf andR.H.Bishop.ModernControl Systems. Addison-Wesley PublishingCompany, Inc.,New-York, 1995.
[7] G.F. Franklin,J.D. Powell, andA. Emami-Naeini.Feedback Control of DynamicSystems. Addison-Wesley Publi-shingCompany, Inc.,New-York, 1994.
[8] D. Jaume,S.Thelliez,andM. Verge. CommandedesSystemesDynamiquespar Calculateur. Eyrolles,France,1991.
[9] B. Pradin.SYSTEMESA TEMPSDISCRET- Commandenumeriquedesprocedes. INSA Toulouse,France,1999.
Chapitre1
Modelesdessystemesa tempsdiscret
On examineici desmodelesqui peuvent etreutilisespourrepresenterdessystemesa tempsdiscret,monoen-treemono sortie.Dansun premiertemps,cesmodelessontpresentesdansleur generalite. Une attentionparti-culiereestensuiteporteeaux systemesa tempsdiscretsobtenusparechantillonnage,envuedela commandeparcalculateur, desystemesa tempscontinu.
1.1 Signal a tempsdiscret
1.1.1 Intr oduction
L’Automatiquedessystemesa tempscontinu reposesurunerepresentationmathematiquedesechangesd’ener-gies,de forces,d’informationsen tant que fonctionsdutempsa valeursreelles(eventuellementespacevectorielde
) : n
t x t Cetterepresentationne tient pascomptede l’ensembledesrealitesdesechangesde signauxrencontresen pra-tique. En particulier, l’emploi accrude calculateursnu-meriquesconduit a considererdessignaux,dit a tempsdiscret,qui n’admettentdesvaleursqu’acertainsinstantsregulierementespaces.Mathematiquementils sontrepre-sentespardessuites: n
k xk
Sansentrerdanslesdetails,notonsquelesoutils mathe-matiquesassocies aux suitessontaussirichesqueceuxemployesdansle casde fonctions.Un grandnombredenotionsprimordialesont leur equivalent tellesque l’in-tegration( T
t 0) qui corresponddansle casdesequencesdiscretesa l’operateursomme(∑N
k 0), et la transformeedeLaplace( x t X p ) dontl’ equivalentdiscretap-peleetransformeeenz ( xk X z ) estdecritedanscequi suit.
Il estpossiblesouscertaineshypothesesderepresenterlessignauxa tempsdiscretcommedessignauxa temps
continudont lesvaleurssontnullesa tout instantsaufacertainsinstantsperiodiquementrepartis.SoitT 0 cetteperiodequi peutetrequelconqueacestade.DanscertainscasT estappeleela cadencedusignal.Le signala tempsdiscretpeut etreconfondupar analogieavec le signal atempscontinusuivant: n
t x t xk si t kT : k x t 0 sinon
Nousverronsparla suitequecetterepresentationcor-respondalamodelisationduprocessusd’echantillonnage.
1.1.2 Definition de la transformeeenz
La transformeede Laplacepour les signauxcontinuss’ecrit:
X p x t !" ∞
0x t e# pt dt
Deslors, avec cequi precedeil estpossiblededefinir latransformeede Laplaced’un signaldiscreta la donneed’uneperiodeT :
X p$ x t ! " ∞
0x t e# ptdt
En ce cas,le signalX etantnonnul quepourcertainesvaleursdiscretesdu tempson trouve:
X p ∞
∑k 0
xke# pkT
C’est a partir de ce resultatquela transformeeen z dessignauxdiscretsa eteproposee.
On appelletransformeeenzdela sequence% xk & k ' N laserieentieredefiniepar:
X z (% xk & ! ∞
∑k 0
xkz# k
Desexemplesdetransformeesenz frequemmentutili-seessontdonneesdansle tableau1.1dela page5.
1
2 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
1.1.3 Propri etesde la transformeeenz
La transformeeenzestunesimplevariantedela trans-formeedeLaplaceetelleconservesesproprietesaquelquesmodificationspres.Voici lesprincipalesproprietes:
– Lin earitePourlessignauxa tempscontinuon rappelleque: α f t *) βg t + α f t +) β g t Dememe,ona pourla transformeeenz: α % fk & ) β % gk & α (% fk & +) β (% gk &
– Produit deconvolutionLa transformeede Laplacedu produit de convolu-tion f , g- t defini par: f , g- t . " t
0f τ g t / τ dτ " t
0f t / τ g τ dτ
estdonneepar : 0 f , g- t ! F p G pDansle casdessignauxa tempsdiscretla convolu-tion sedefinit par: f , g k k
∑l 0
fl gk # l k
∑l 0
fk # lgl
etsatransformeeenz est: (% f , g & k. F z G z– Theoremedu retard
On designepar f t / a le signal identiquea f t maisretardedela dureea. Ona: f t / a . e# ap f t e# apF pDememe,si fk # l estle signala tempsdiscret fk re-tardede l periodes: (% fk # l & z# l (% fk & ! z# l F zCe resultatpermetde signalerque l’operateurz# 1
s’apparentea l’operateur“retardd’uneperiode”.
– Theoremede l’avanceSi fk l correspondausignal fk avance del periodesettel que f j 0 pourtout j 1 0,alorsonala relationsuivante: (% fk l & ! zl 2 3% fk & 4/ ∑l # 1
i 0 fi z# i 5
– Theoremede la sommationPourlessignauxa tempscontinuon parlede theo-remedel’int egrationet il s’ecrit:76 " t
0f τ dτ89 1
pF p
Pourlessignauxa tempsdiscretona:;:=< k
∑l 0
fl >@? zz / 1
3% fk & zz / 1
F z– Theoremede la valeur initiale
La valeurinitiale d’un signala tempscontinusede-duit desatransformeedeLaplacecommesuit:
f 0 limt A 0B f t C lim
pA ∞pF p
La versiondiscretedecetheoremeestdonneepar:
f0 limzA ∞
F z– Theoremede la valeur finale
Si pF p estunefractionrationnelledontlesracinesdudenominateursontapartiereellenegativealorslesignal f t convergepourt
) ∞ etona:
limt A ∞
f t limpA 0
pF pDe meme,si z# 1
z F z est une fraction rationnelledontlesracinesdudenominateursontdansle cercleunitealorsle signal fk convergepourr
) ∞ et ona:
limk A ∞
fk limzA 1
z / 1z
F z1.1.4 Exemplesde transformeesen z
Exemple1.1
Soit le signaldiscrettel que:
δ0 1 D7E k F 0 δk 0
Le calculdesatransformeeen z estrelativementdirect.Enappliquantla definitionon trouve: 3% δk & ! ∞
∑k 0
δkz# k δ0z0 1
Remarque: Le signalδk definit ici estusuellementdesi-gne sousl’appellationde l’impulsion unitaireou encoredirac.Satransformeeenzvaut1. G
1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 3
Exemple1.2
A partir del’exempleprecedentet desproprietesdelatransformeeenz lesrelationssuivantessontobtenues.
Premierementconsideronsle diracretarde:
fh 1 DHE k F h fk 0
Onremarqueque fk δk # h, doncd’apresle theoremeduretard: (% fk & ! 3% δk # h & . z# h 3% δk & ! z# h
Consideronsmaintenantunsignaldu typeechelon:E k I 0 ek 1
Onremarquequeek ∑kj 0δk, doncd’apresle theoreme
dela sommation: (% ek & .J (% k
∑j 0
δk & zz / 1
(% δk & ! zz / 1
Prenonsensuivantle signaldu typerampe:E k I 0 rk k
Il estpossibledeconstaterquerk H/ ek ) ∑kj 0ek, donc
encombinantla linearitedela transformeeenzet le theo-remedela sommationon trouve: 3% rk & KL/M (% ek & )N (% k
∑j 0
ek & L/M (% ek & ) zz / 1
(% ek & HO/ 1 ) zz / 1
O (% ek & 1z / 1
(% ek & z z / 1 2 GExemple1.3 Consideronsle signalsuivant:E k I 0 fk ak
Pardefinition,satransformeeenzsecalculecommesuit: (% fk & ∞
∑k 0
fkz# k ∞
∑k 0
akz# k ∞
∑k 0
aP z k
Il s’agitd’uneseriegeometriqueconnue:
F z (% fk & . 11 / aP z
zz / a
La limite de la suiteak est tresbien connue.Elle existeuniquementsi Q a Q+1 1. Cetteconditioncorrespondbiena
l’ enoncedutheoremedelavaleurfinale.Eneffet, z# 1z F zR
z# 1z# a estunefraction rationnelledont la racineuniquedudenominateuresta. Direquecetteracineestdansledisqueunite reviens a Q a QS1 1. La limite de la suitese calculealorscommesuit:
limk A ∞
ak limzA 1
z / 1z / a
0 G1.2 Signal echantillonne
1.2.1 Intr oduction
Cecourss’intitule “CommandeNumeriquedesProce-des” car l’objet principalconcernel’utilisation decalcu-lateursnumeriquesutilisesen tempsreelpourcomman-der, piloter, guider... desprocedesphysiquesqui pares-sencesont le plus souvent a tempscontinu.La proble-matiqueestalorsderepresenterlesinteractionsentredessignauxphysiquesmodelisespardesfonctionsavec dessignauxassimilablespardescalculateursnumeriquesquisepresententsousformedesuites.
Sansentrerdanslesdetailsdu fonctionnementdesdif-ferentselements,la commandepar calculateur, ou pro-cesseur, d’un procede necessitela mise en œuvred’uncertainnombred’elements(figure1.1):
– un actionneur, ou organede commandequi recoitles ordresdu processeura traversun convertisseurnumerique-analogique,
– uncapteur, ouorganedemesurequi transmetaupro-cesseurlesinformationsrecueilliessurle procede,atraversunconvertisseuranalogique-numerique.
CNA CAN
Procedeu t y t uk
Processeur
yk
CapteurneurAction-
FIG. 1.1 – Structure generale d’une commandede pro-cede par calculateur
4 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
1.2.2 Conversionanalogiquenumerique
D’un point de vue modelisation,l’ensemblecapteurconvertisseuranalogique-numeriquepeutetreassimile auneprised’echantillonsde la sortiecontinuey t a pe-riodefixeT (perioded’echantillonnage). Si l’on fait l’hy-pothesequele tempsde codageestnegligeable(echan-tillonnageinstantane)et qu’il n’y apasd’erreurdequan-tification, on peut representerl’operationde conversionanalogique-numeriqueselonle leschemadela figure1.2.
CAN
T
t k0 0 1 2
yk
y t yk
y t FIG. 1.2– Convertisseuranalogique-numerique
Mathematiquement,l’operationd’echantillonnagepeutetreassimileea la modulationdu signalcontinuy t paruntraind’impulsionsunitairesdeperiodeT noteδT (par-fois appele egalementpeignedeDirac) :
y t y t δT t δT t ∞
∑k 0
δ t / kT Il vient:
y t ∞
∑k 0
y t δ t / kT ∞
∑k 0
ykδ t / kT ou y t est un signal a tempscontinu egal a y t auxinstantst kT et zero ailleurs et ou yk y kT est lavaleurde l’ echantillonde y t a l’instant kT . Le signalechantillonne estrepresente par la sequencedesvaleursy kT mesureesavecla periodeT :% y kT &UT % yk &
L’ echantillonnageconduitauneperted’informationauregard du signal continu.Cetteperted’information estd’autantplus grandeque la frequencef 1P T est pe-tite. Idealementil faudraitdoncechantillonnera unefre-quenceinfinie, cependant,le choixdela perioded’echan-tillonnagedependdu typede procede et despossibilitesoffertespar lesoutils numeriques.En tout etatdecause,l’ echantillonnagedoit respecterle theoremedeShannonqui precisequela frequenced’echantillonnagef 1P Tdoit etreau moins egale a deuxfois la plus grandefre-quencecontenuedansle spectredu signalquel’on veutechantillonner.
Le tableau1.1 de la page5 donneunecollection designauxcontinusclassiquesainsiqueleurstransformeesdeLaplaceetleursrepresentationsapresechantillonnage.
1.2.3 Conversionnumerique analogique
Le processeurcalculantla commandea appliquerauprocede travaille de manieresequentielleet generedesvaleursnumeriquesuk avec la memeperiodeT quecellequi a ete choisiepour l’ echantillonnage.L’operationdeconversionnumerique-analogiquelapluscouranteconsisteaproduireunsignaldecommandeu t enescalierapartirdesvaleursuk selonle schemadela figure1.3.
k0 0 1 2k1 2 CNA
u t uk
uk u t B0 p
FIG. 1.3– Convertisseurnumerique-analogique
Le modele mathematiqueque l’on associealors a laconversionnumeriqueanalogiqueestle bloqueurd’ordrezerodont la fonctionde transfertB0 p peutetrefacile-mentcalculee.En effet, c’est la transformeedeLaplacedesareponseimpulsionnellerepresenteesurlafigure1.4.
0 0CNAt tT
1 1
B0 pδ t FIG. 1.4– Bloqueurd’ordre zero
La reponseimpulsionnelledu bloqueurd’ordre zeroestdela forme:
Γ t ./ Γ t / T ou Γ t representel’ echelondepositionunitaire.Il vientdonc:
B0 p 1p
/ e# T p
p 1 / e# Tp
p
1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 5
TransformeedeLaplace Signalcontinu Signalechantillonne Transformeeenz
F p f t f t fk F zVJ fk 1 δ t f0 1 D7E k F 0 fk 0 1
e# ap δ t / ae# hTp δ t / hT fh 1 D7E k F h fk 0 z# h
1p
Γ t 1z
z / 1
1p2 t kT T
z z / 1 2
2p3 t2 k2T2 T2 z z ) 1 z / 1 3
1p ) a
e# at e# akT zz / e# aT
1 p ) a 2 te# at kTe# akT Tze# aT z / e# aT 2
b / a p ) a- p ) b e# at / e# bt e# akT / e# bkT z e# aT / e# bT z / e# aT W z / e# bT ak z
z / aO/ a k zz ) a
ap p ) a 1 / e# at 1 / e# akT z 1 / e# aT z / 1W z / e# aT
ωp2 ) ω2 sinωt sinωkT
zsinωTz2 / 2zcosωT ) 1
pp2 ) ω2 cosωt cosωkT
z z / cosωT z2 / 2zcosωT ) 1
TAB. 1.1– Signauxechantillonneset leurstransformeesdeLaplace
6 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
1.3 Systemea tempsdiscret
Un systemea tempsdiscretsedefinit commeun ope-rateurentredeuxsignauxa tempsdiscret.Consideronslesystemerepresente sur la figure1.5, ou uk representeletermegeneralde la sequenced’entreeet yk le termege-neralde la sequencede sortie.Un modele entree-sortie,appeleaussimodeleexterne,nefait intervenirquelesva-riablesd’entreeuk etdesortieyk.% uk & % yk &
Systeme
FIG. 1.5– Systemea tempsdiscret
Nousallonsaborderdanscecoursdeuxtypesdemo-delesexternes,complementairesl’un del’autre,quesontlesequationrecurrenteset lesfonctionsdetransfert.
1.3.1 Equation r ecurrente
La modelisationinitiale d’un systemea tempsdiscretconduitsouvental’ ecritured’uneequationrecurrenteentredifferentstermesdessequencesd’entreeet desortie.Laforme generaled’une equationrecurrentelineairepeutetredonneepar:
anyk n ) an# 1yk n# 1 )$XYXZX[) a1yk 1 ) a0yk bmuk m ) bm# 1uk m# 1 )$XYXYX\) b1uk 1 ) b0uk
(1.1)Par hypothesean F 0 et n estappele l’ordre du systeme.Le systemeestdit causalsi lessortiesdependentunique-mentdesevenementspasses.Pourcelail doit obligatoi-rementverifierm ] n. Danscecas,il estpossibled’ecrirel’algorithmequi determinela sortiedu systemea la don-needesentrees/sortiesprecedentes:
anyk 7/ an# 1yk # 1 /^XYXYX / a1yk # n# 1 / a0yk # n) bmuk m# n )_XZXYX[) b1uk # n# 1 ) b0uk # n
(1.2)
Cetteformulationdel’ equationrecurrenteestbienadap-teeaucalculnumerique.C’est la formesouslaquellese-ront presentesles algorithmesde commandedesproce-des.Le systemeest entierementdefini et l’ equationre-currentepeut etre resoluesi l’on preciseles conditions“initiales” : y0 D y1 DY`Z`Y`[D yn# 1 D u0 D u1 DY`Y`Y`\D um# 1.
1.3.2 Fonction de transfert enz
De la mememanierequel’on associea un systemeatempscontinu,unefonctionde transfert,parapplication
dela transformationdeLaplacea sonequationdifferen-tielle, onpeutassociera unsystemea tempsdiscret,unefonctionde transfertenz, parapplicationde la transfor-mation en z a son equationrecurrente(cf. Transforma-tion enz dansla section1.1.2).Sousl’hypothesequelesconditions“initiales” sontnulles(y0 y1 a`Y`Y`b yn# 1 u0 u1 7`Y`Y`Z um# 1 0) il vient la relationsuivante: a0 ) a1z )$`Y`Y`[) an# 1zn# 1 ) anzn Y z7 b0 ) b1z )$`Y`Y`\) bm# 1zm# 1 ) bmzm U zsoitencore:
Y z N zD z U z
avec:
N c zdD c zd G z b0 ) b1z )_`Z`Y`[) bm# 1zm# 1 ) bmzm
a0 ) a1z )$`Y`Y`[) an# 1zn# 1 ) anzn
qui estdefinie commela fonction de transfert en z dusysteme.
Dansle casgeneralou lesconditioninitialessontnonnullesla representationenzdusystemes’ecrit plusexac-tement:
Y z N zD z U z*) I z
D zou le polynome I z ne dependquedesconditionsini-tiales.Il influe sur la sortiedu systemesansmodifier lecomportementdu ausignald’entreeU z .
La factorisationdunumerateuretdudenominateurconduita la forme poles,zeros,gain suivante:
G z bm
an
z / z1 - z / z2 R`Y`Z` z / zm z / p1 - z / p2 R`Z`Y`O z / pn avec:
pi 1e f f fge n : poles zj 1e f f f e m : zeros k bm
an: gain
Par definition les poles du systemesont les racinesdupolynomedenominateuret leszeros du systemesontlesracinesdu polynomenumerateur. Les unset les autressontpardefautdesnombressoit reelssoit complexes.
Certainsauteurspreferentune formulation en z# 1 dela fonction de transfert.On peut l’obtenir a partir de laformulationenzcommesuit:
G z bm
anzm# n 1 ) bm# 1z# 1 )_XZXYX[) b0z# m
1 ) an# 1z# 1 )_XZXYX[) a0z# n (1.3)
aveclesnotationssuivantes:
b j b j
bmai ai
an
1.4. SYSTEME ECHANTILLONNE 7
Elle corresponda l’ equation(1.2)paroppositiona (1.1).Soninteret estde representerle systemeaupluspresdesarealite physiquedansle sensou z# 1 representel’ope-rateur“retard” qui estphysiquementrealistetandisquezsupposede prevoir les instantsfuturs.Bien entendu,lesformulationsenzetz# 1 sontequivalentes.L’ ecriture(1.3)fait apparaıtre nonseulementle gain,lespoles,leszerosmaisegalementunretardpurzm# n entreuneexcitationenentreedusystemeetsoneffet surla sortie.
Notons egalementque, commedansle casdes sys-temesa tempscontinu, le denominateurde la fonctionde transfertestappele egalementpolynome caracteris-tique du systeme.Sondegre n corresponda l’ ordre dusystemeetsesracinessontlespolesdusysteme:
anzn ) an# 1zn# 1 )$XYXYX\) a1z ) a0 an z / p1 W z / p2 R`Y`Z` z / pn 1.4 Systemeechantillonne
1.4.1 Intr oduction
Commenousl’avonsvu dansla section1.2, la com-mandepar calculateur, ou processeur, d’un procede ne-cessitelamiseenœuvredeconversionsnumerique-analogiqueet analogique-numerique(voir figure1.1). La modelisa-tionconduitdoncaconsiderersimultanementdanslaboucleun (ou plusieurs)organesa tempscontinuet un (ou plu-sieurs)elementsa tempsdiscret.Alors qu’il estmal aisedefairel’analysedessystemesatempsdiscretentantquesystemesatempscontinudontlesentreessortiessontnonnullesuniquementparinstants,la demarcheinversesere-veleetretresriche.
Ainsi, l’analysed’un systeme commande par calcu-lateurnumeriquepassepar la definition d’un systemeatempsdiscret,comprenantle procede commande de na-turegeneralementcontinue,etlesconvertisseursnumerique-analogiqueet analogique-numerique,que l’on peut res-pectivementassimileraubloqueurd’ordrezeroetal’ echan-tillonneur, selonle schemadela figure1.6.
TB0 p y t ykuk
Procedeu t
FIG. 1.6– Procede echantillonne
Lesmodelesentreuk etyk sontdutypedeceuxpresen-tesprecedemment.La suitedecettesections’interesseraautechniquesdedeterminationdu modeleechantillonne
a tempsdiscretobtenua la donneedu modelecontinuduprocede.
Avant cela il est importantde revenir sur le choix dela perioded’echantillonnage.Le theoremede Shannonprecisequela frequenced’echantillonnagef 1P T doitetreaumoinsegalea deuxfois la plusgrandefrequencecontenuedansle spectredu signalquel’on veut echan-tillonner. . Ce resultatest exploitable uniquementa ladonneed’un signal.Cependant,le signalde sortied’unsystemey t n’estpasconnudanslaproblematiqueconsi-deree.
Le veritableproblemeenvisage est celui de l’ echan-tillonnageen sortie d’un procede dont on connaıt, parexemple,sa fonction de transfertmais la sortiedu sys-temeestinconnuecarelledependdusignald’entreeu t qui n’estpasprecise.La methodeconsistealorsa analy-serlesfrequencestransmisesparlesysteme.EntracantlediagrammedeBodeil estpossiblededeterminerla fre-quencedecoupurefc du systemeet doncd’indiquerquetoutesles frequencessuperieuresa fc dansle spectredusignaldesortieserontattenuees.
Theoreme1.1 Enpratique,il estrecommande dechoi-sir la frequenced’echantillonnagedansunefourchettedel’ordrede6 a 24fois la frequencedecoupureduprocede.
Exemple1.4
Ainsi, pourunproceded’ordre1:
G p 11 ) τp
la frequencedecoupureest fc 1P. 2πτ . La frequenced’echantillonnagef 1P T serachoisietelleque:
62πτ
1 1T
1 242πτ
soitapproximativement:
τ4
1 T 1 τ GExemple1.5 Consideronscetautresysteme:
G p p / 1p3 ) 2p2 ) 10X 25p ) 9 X 25
Son diagrammede Bodeestdonne sur la figure 1.7.La frequencedecoupureestapproximativementdeωc 5rad P souencorefc ωc P 2π. Le criteredeShannonim-posedoncdechoisir:
2π P. 24 , 51 T 1 2π P. 6 , 5ih 0 X 05 1 T 1 0 X 2
8 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Mag
nitu
de (
dB)
10−2
10−1
100
101
102
−180
−90
0
90
180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
FIG. 1.7– DiagrammedeBodeduprocede
NouschoisissonsT 0 X 2s pour observer le comporte-mentquandl’ echantillonnageimpliquelaplusgrandeperted’information.L’effet decetteperioded’echantillonnageest observee sur desexemplesde signauxen sortie dusysteme.Nous avons trace deux telles reponsessur lafigure 1.8 pour uneentree impulsionnelleet uneentreeenechelon.On observe quela perioded’echantillonnagerendcorrectementcomptedela realite du signala tempscontinu.Il n’y a pasde pertesignificative de l’informa-tion contenuedansle signal.
0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
FIG. 1.8– Sortiesa tempscontinuet echantillonnees
Lesobservationspeuventegalementsefaire avecT 0 X 05s, quandl’ echantillonnagedevient eleve au regarddesfrequencesnon-attenueesparle systeme.Pourcecasnousavons fait un grossissementdespremiersinstantsdesreponsesdu systeme(voir figure 1.9). On constate
quel’ echantillonnageesttresdenseencomparaisondesdynamiquesobservees.Tout echantillonnageplusrapidedemanderaitdesvitessesde capacite de traitementnonnecessaires.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
FIG. 1.9– Sortiesa tempscontinuet echantillonneesG1.4.2 Fonction de transfert echantillonnee
Danscettesous-section,la methodedecalculqui per-meta la donneed’unefonctiondetransfertd’un systemea tempscontinude deduirele modele en z du systemea tempsdiscretobtenupar echantillonnageestexposee.Elle seresumeautheoremesuivant.
Theoreme1.2 Soit un procede continu modelise parunefonctiondetransfertGc p . Ceprocede,echantillonnesuivantle schemadela figure 1.6admetunefonctiondetransfertenz telleque:
G zj G p Bo p . z / 1z
6 Gc pp
8Avantdeprocedera la preuvedeceresultatil convient
dedetailler l’ ecriture H p ou H p estunefonctiondetransfertd’unsystemecontinu.Cettenotationrecouvrel’operationsuivante:
H pNkVl 1/ h t T/
hk m/ H z
A la donneed’unefonctiondetransfertH p il convientenpremierlieudecalculersareponseimpulsionnelleh t ,puisd’echantillonnercesignal, % hk &UT % h kT & , et enfin
1.4. SYSTEME ECHANTILLONNE 9
de calculersatransformeeen hk n H z . Cettepro-cedureestdetailleepar la suite sur desexempleset untableaudeconversionestfourni (tableau1.2page10).
Preuve dutheoreme1.2
Appelonsuo t le signala tempscontinuconstituedesechantillonsuk u kT du signalde commandeet quivautzeropartoutailleurs:
u t ∞
∑k 0
ukδ t / kT La transformeedeLaplacedecesignals’ecrit:
U p " ∞
0u t e# ptdt ∞
∑k 0
uke# kTp
Pardefinitiondesfonctionsdetransfertlessignauxconti-nusU p etY p verifient:
U p B0 p U p Y p Gc p U pAinsi enposantH p Gc p B0 p :
Y p H p U p ∞
∑k 0
H p uke# kTp
cequi enappliquantle theoremedu retarddonne:
y t pq # 1 Y p ∞
∑k 0
r# 1 s H p e# kTp t uk ∞
∑k 0
h t / kT uk
avech t .u # 1 H p .Apresechantillonnage,yl y lT ,le signala tempsdiscretdesortieverifiedonc:
yl ∞
∑k 0
hn# kuk
quiestlaconvolutiondiscretedessequences% uk & et % hk & .Il vientdoncY zV G z U z avec:
G z H p !J Gc p B0 p Enintroduisantl’expressiondela fonctiondetransfertdubloqueurd’ordrezero:
G z 6 1 / e# Tp
pGc p 8
LesproprietesdestransformationsdeLaplaceetenzper-mettentd’ecrire:
G z7 1 / z# 1 Ov6 Gc pp
8w z / 1z
v6 Gc pp
8
uk
T
ykB0 p 1
p p ) 1FIG. 1.10– Systemeechantillonne x
Exemple1.6
Consideronsle systemeechantillonnerepresentesurlafigure1.10et pour lequelon veutcalculerla fonctiondetransfertenz.
La fonctiondetransfertcontinueetant:
Gc p 1p p ) 1
la fonctiondetransfertechantillonneeestdonneepar:
G zJ B0 p Gc p z / 1z
v6 Gc pp
8avecla decompositionenelementssimplessuivante:
Gc pp
1p2 p ) 1 r / 1
p) 1
p2 ) 1p ) 1
Enutilisantle tableau1.1,il vient:
G z z / 1z
6 / zz / 1
) Tz z / 1 2 ) zz / e# T 8
soit:
G z K z / b z / 1- z / a yy yy K e# T / 1 ) T
a e# T
b 1 / T 1 / e# T e# T / 1 ) T
Applicationnumerique:
SoitT 1s. Il vient:
G z 0 X 3679z ) 0 X 7183 z / 1W z / 0 X 3679 G
1.4.3 Propri etesdu modeleechantillonne
Suite aux formulesdu tableau1.2 de la page10 quipermettentdedeterminerle modelea tempsdiscretd’unsystemecontinuechantillonne, nouspouvonsmettreenavant quelquesproprietesfondamentalesde cetteopera-tion:
– Unsystemelineairecontinurestelineaireapresechan-tillonnage.
10 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
Systemecontinu Decompositionenelt. simples Transformeeenz Systemeechantillonne
Gc p Gc pp
6 Gc pp
8 G z Gc p B0 p 1
1p
zz / 1
1
1p
1p2
Tz z / 1 2
Tz / 1
bp ) a
bP ap
/ bP ap ) a
ba
zz / 1
/ ba
zz / e# aT
ba
` 1 / e# aT
z / e# aT
b1p ) b0
τp ) 1b0
p) b1 / τb0
τp ) 1b0z
z / 1) b1 P τ / b0 z
z / e# T z τb1 P τ z / 1R/ b0 1 / e# T z τ
z / e# T z τ
1p τp ) 1 / τ
p) 1
p2 ) τ2
τp ) 1/ τzz / 1
) Tz z / 1 2 ) τz
z / e# T z τ τe# T z τ / τ ) T z ) τ /^ τ ) T e# T z τ z / 1- z / e# T z τ p1 / p2 p p / p1 - p / p2 1
p / p1/ 1
p / p2
zz / ep1T / z
z / ep2T
ep1T / ep2T - z / 1 z / ep1T W z / ep2T p1 / p2 p1p2 p / p1 - p / p2 p1 / p2
p) p2
p / p1/ p1
p / p2
p1 / p2 zz / 1
) p2zz / ep1T / p1z
z / ep2T
b1z ) b0 z / ep1T W z / ep2T b1 p2 / p1 )$ 2p2 / p1 ep1T)$ p2 / 2p1 ep2T
b0 H p1 / p2 ec p1 p2 d T) p1ep2T ) p2ep1T
TAB. 1.2– Calculdesfonctionsdetransfertdessystemesechantillonnes
1.5. EXERCICES 11
– L’ordredusystemeestconserve.
– Lespolesdusystemeechantillonnesededuisentdespolesdusystemecontinucommesuit:
pdi epciT E i 1 DYXYXYX[D nou pci sont les poles du systeme continu, pdi lespolesdusystemeechantillonneetT laperioded’echan-tillonnage.
– La perioded’echantillonnageT conditionneforte-mentle modeledusystemeechantillonne.
– L’ echantillonnagedu produit de deuxfonctionsdetransfertn’estpasegal auproduitde leursmodelesechantillonnes respectifs.Cette derniere remarqueest tres importante.Le calcul d’un systemeechan-tillonnen’a desensques’il correspondauntransfertentreunbloqueurd’ordrezeroetunechantillonneur(voir l’exercice1.3).
1.5 Exercices
Exercice1.1
Onsouhaitemodeliserl’ evolutionduchepteld’un ele-veurdebovins.Soit:
– x1k : le nombredevachesde1 an,
– x2k : le nombredevachesde2 ans,
– x3k : le nombredevachesde3 ansetplus,
cesvaleursrepresentantdesnombresmoyensaucoursdel’anneek.
Lesvachesde1 annesereproduisentpas.Lesvachesdedeuxansproduisentenmoyenne0 X 8veauparan,cellesde trois anset plus0 X 4 veauparan.D’autrepart,seulescellesde trois anset plus meurentde causesnaturellesavecun tauxmoyende30% paran.
Enfin l’ eleveurs’autorisea acheterou vendreunique-mentdesvachesde trois anset plus. Soit uk le nombredevachesachetees(uk 0) ou bienvendues(uk 1 0) aucoursdel’anneek.
1. Etablir les equationsrecurrentesde ce systemeenprenantpoursortieyk le nombretotal devachesaucoursdel’anneek.
2. En deduirela fonctiondetransfertY zU z .
3. En deduirel’ equationrecurrentequi relie unique-mentlesentreeset lessortiesdusysteme.
Solution
Pour commenceron peut remarquerque le systemeainsi decrit a une cadenceT de un an. Cettecadencepeutegalements’interpretercommeuneperioded’echan-tillonnagesi onconsiderequele procede (elevage)estenrealite continu(les vachesexistententredeuxmesures).Lanotiond’echantillonnagecorrespondauchoixdecomp-ter lesvachesunefois paran.
1. Lesequationscorrespondanta l’ enonces’ecrivent:
x1kB 1 0 X 8x2k ) 0 X 4x3k
x2kB 1 x1k
x3kB 1 x2k )$ 1 / 0 X 3 x3k ) uk
yk x1k ) x2k ) x3k
2. Pourobtenirla fonctiondetransfertonoperela trans-formeeenz surcesystemed’equationensupposantquelesconditionsinitialessontnulles:
zX1 z 0 X 8X2 z*) 0 X 4X3 zzX2 z X1 zzX3 z X2 z!) 0 X 7X3 z*) U zY zV X1 z*) X2 z*) X3 z
Si on remplacedanscesequationsX1 z parzX2 zon trouve:
z2X2 z 0 X 8X2 z!) 0 X 4X3 zzX3 z X2 z!) 0 X 7X3 z*) U zY zV zX2 z*) X2 z*) X3 z
OnendeduitequeX3 zVa 2 X 5z2 / 2 X2 z donc:
z 2 X 5z2 / 2 X2 z X2 z!)_ 1 X 75z2 / 1 X 4 X2 z!) U zY z zX2 z*) X2 z!)_ 2 X 5z2 / 2 X2 z
cequi conduitauxequationssuivantes: 2 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4 X2 z U zY zVa 2 X 5z2 ) z / 1 X2 z
La fonctiondetransfertdecesystemeestdoncdelaforme:
G z 2 X 5z2 ) z / 12 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4
3. L’ equationrecurrentedecrivantentierementl’ evolu-tion entree/sortiedu troupeauest doncobtenueenoperantla transformeeinverseenz:
2 X 5yk 3 / 1 X 75yk 2 / 2yk 1 ) 0 X 4yk 2 X 5uk 2 ) uk 1 / uk
12 CHAPITRE1. MODELESDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
TB0 p y t ykuk
Procedeu t
FIG. 1.11– Procede echantillonne
Exercice1.2
On considerele systemeechantillonne represente surla figure1.11.
Onsupposequela fonctiondetransfertduprocedeest:
G p H1 ) p
1. Etablirlesmodeles(equationrecurrente,fonctiondetransfertenz) decesysteme.
2. Memesquestionslorsquecesystemeestboucle parun retourunitaireuk yck / yk.
Solution
1. Modelesduprocede:
– Equationrecurrente:
yk 1 / e# Tyk 7 1 / e# T Huk
– Fonctiondetransfertenz:
G z H1 / e# T
z / e# T
2. Modelesdusystemeboucle:
– Equationrecurrente: 1 ) H yk 1 / e# T yk Hyck
– Fonctiondetransfertenz:
G z H1 / e# T
z ) H /^ 1 ) H e# T
Exercice1.3
Soit les systemesinterconnectesdonnespar la figure1.12.
1. Onposelesnotationssuivantes:
H1 z$j B0 p G1 pH2 z$j B0 p G2 pH3 z$j B0 p G3 pH5 z$j B0 p G1 p G2 p H6 z$j B0 p G1 p G2 p G3 p
G3 p| B0 p|B0 p| G1 p|H4 z| T
+
e3 t |G2 p| e4k
T
+-e1k
e2k
e7k e6k e5 t |FIG. 1.12 – Schemade trois systemesinterconnectesetregulespar H4 z
Donnerl’expressionde la fonction de transfertdecesysteme,F z , aveccommeentreee1k et commesortiemesureee4k .
2. La perioded’echantillonnageest de T 1s et lesfonctionsde transfertsont donnee par les expres-sionssuivantes:
G1 p 1p
G2 p 2ln 2- 1 / 2p*) 2pp ) ln 2
G3 p ln 2p ) ln 2
H4 z K
Donnerl’expressiondela fonctiondetransfertF zenfonctiondeK.
Solution
1. La premierechosea faire estd’identifier les trans-fert entreslesdifferentsbloqueurset lesechantillon-neurs.C’est uniquemententrecesdeuxoperateursquel’on peutdefinir dessystemesechantillonnes.Lepremiertransfertestdonnepar:
e4 ze2 z JJ B0 p G1 p G2 p H5 z
Ensuitedufait dela linearitedela transformeeenz,onpeutecrire:
e6 zqj B0 p G1 p e2 z*)Nj B0 p G3 p e4 z H1 z e2 z*) H3 z e4 zAinsi le systemesereecrit commeindiquesur la fi-gure1.13.Et la bouclefermeeestdonneepar:
e4 H5e2 D e2 e1 / H4H1e2 / H4H3H5e2
Cequi conduita la fonctiondetransfert:
e4
e1 F H5
1 ) H4 H1 ) H3H5
1.5. EXERCICES 13
+-
e7k e6k
+
e4k
H1 z|e2k
e1k
H4 z| H3 z|H5 z|
FIG. 1.13– Schemaequivalent
2. Le calcul de F z necessitele calcul prealabledesfonctionsde transfertechantillonneesH1 z , H3 zetH5 z . CommenconsparH1 z :
H1 z~qj B0 p G1 p z / 1z
6 G1 pp
8 z / 1z
6 1p2 8 z / 1
z` Tz z / 1 2 1
z / 1
PuismaintenantH5 z :
H5 z~qj B0 p G1 p G2 p z / 1z
6 G1 p G2 pp
8 z / 1z
6 2ln 2- 1 / 2p*) 2pp2 p ) ln 2b 8 z / 1
z 6 / 4
p) 2
p2 ) 4p ) ln 2 8 z / 1
z6 / 4zz / 1
) 2Tz z / 1 2 ) 4zz / 1P 2
8 1 z / 1- z / 1P 2etenfinH3 z qui donneavecla memedemarche:
H3 z~j B0 p G3 p z / 1z
6 ln 2p p ) ln 2 8 1P 2
z / 1P 2
Lesystemeenbouclefermeepeutdoncetrecalcule:
F z H5 z1 ) H4 zW H1 z!) H3 z H5 zbXYXYX 2 2z / 1 z / 1- 2z / 1 2 ) K 2z / 1 2 ) 2 4z / 24z3 )_ 4K / 8 z2 )$ 5 / 4K z )$ 3K / 1
Chapitre2
Reponsedessystemesa tempsdiscret
Cechapitrefait le lien entrelesdifferentsmodelesdessystemesatempsdiscretetleurcomportementdynamiqueenreponseadesentreesconnues.Dansunpremiertempsle calculdesreponsesensortieestaborde et dansun se-condtempsla notiondemodesestdefinieet etudiee.
2.1 Calcul de la r eponse
2.1.1 A partir de l’ equationr ecurrente
Unsystemeatempsdiscretpeutetrerepresenteparuneequationrecurrente:
anyk H/ an# 1yk # 1 /^XYXYX / a1yk # n# 1 / a0yk # n) bmuk m# n )$XYXZX[) b1uk # n# 1 ) b0uk # n
avecm ] n pourdesraisonsdecausalite.
Cettemodelisationestsousformealgorithmiquedirec-tementadaptableal’implantationdansle processeur. Elleestbienadapteea la formulationdeslois decommande.Lemodeleparequationrecurrenten’estpasceluiquel’onchoisitgeneralementpouruncalculmanueldereponse.Ilpeuttoutefoisetreutilisepourcalculerpoint parpoint lareponsecommele fait un calculateur. L’exemplesuivantillustrececalcul.
Exemple2.1
Soit le systemea tempsdiscretsuivant:
yk 2 / 3yk 1 ) 2yk uk
Il estsuppose initialementaurepos,soit:
yk 0 E k ] 0
etonappliqueuneentreeimpulsionnelletelleque
uk 0 E k F 0 et u0 1
L’applicationsuccessive del’algorithmeconduita:
y1 3y0 / 2y# 1 ) u# 1 0y2 3y1 / 2y0 ) u0 1y3 3y2 / 2y1 ) u1 3y4 3y3 / 2y2 ) u2 7
On peutici reconnaıtre (maiscen’estpastoujoursaussievident)la suite:
yk H/ 1 ) 2k # 1 E k 0
quidonnel’expressionanalytiquedela reponsecherchee.G2.1.2 A partir de la fonction de transfert
Theoreme2.1 Soit G z une fonction de transfertetU z uk la transformeeen d’unesequenced’en-tree,sousl’hypothesedeconditionsinitialesnullesla re-ponsedusystemeestdonneepar :
yk # 1 G z U z Commedansle casdessystemesa tempscontinu,la
fonction de transfertpermetun calcul aise desreponsesuniquementdansle casdessystemesinitialementau re-pos.La methodeestillustresurl’exempleduparagrapheprecedent.
Exemple2.2
La fonctiondetransfertdusystemes’ecrit:
G z 1z2 / 3z ) 2
La transformeeenz dusignalimpulsionneluk estici :
U z 1
Il vientdonc:
Y z G z U z 1z2 / 3z ) 2
Le calculde l’original peutsefaire a partir de tablesdetransformees,cequi necessitegeneralementunedecom-positionen elementssimples.Poursimplifier lescalculsil est recommande d’effectuerla decompositionen ele-mentssimplesde Y c zd
z et nonpascelledeY z . En effet,il vient ici :
Y zz
1z z2 / 3z ) 2 1
21z
) 12
1z / 2
/ 1z / 1
15
16 CHAPITRE2. REPONSEDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
Ainsi on obtientunedecompositiondeY z enelementsqui sonttousdestransformeesdetermesconnus(voir ta-bleau1.1page5) :
Y z 12
) 12
zz / 2
/ zz / 1
La transformeeinverses’obtientdirectementparapplica-tion destransformeesdela table:
yk Jw# 1 6 12
) 12
zz / 2
/ zz / 1
8 12
δk ) 12
2k / 1k
Cequi donne:
y0 12 ) 1
220 / 10 0
yk 0 122k / 1k 2k # 1 / 1 G
Exercice2.1
On considerele systemeregi parl’ equationrecurrentesuivante:
yk 2 / 5yk 1 ) 6yk uk
Calculersa reponseindicielle et sa reponseimpulsion-nelle.
Solution
Le calculdesareponseindicielle(reponseauneentreeentrain d’impulsionsunitairesuk 1 DE k I 0) peutsecalculerenpartantdesrepresentationenzdusignald’en-treeet dumodele:
U z zz / 1
D G z 1z2 / 5z ) 6
Ona donc:
Y zV G z U z z z / 1- z / 2- z / 3Par decompositionenelementssimples:
Y zz
1 z / 1- z / 2- z / 3 12
1z / 1
/ 1z / 2
) 12
1z / 3
d’ou:
Y z 12
zz / 1
/ zz / 2
) 12
zz / 3
Enutilisantle tableaudetransformees1.1page5, il vient:
yk 12
1k / 2k ) 12
3k
Le calcul de sa reponseimpulsionnelle(reponsea uneentreeu0 1 D uk 0 DE k F 0, i.e.U z 1) secalculedela memefacon:
Y z G z U z 1 z / 2W z / 3
Par decompositionenelementssimples:
Y zz
1z z / 2W z / 3 16
1z
/ 12
1z / 2
) 13
1z / 3
d’ou:
Y z 16
/ 12
zz / 2
) 13
zz / 3
Enutilisantle tableaudetransformees,il vient:
y0 0
yk / 12
2k ) 13
3k E k I 1
2.2 Reponsesechantillonnees
Commeevoque dansle chapitre1, l’ echantillonnaged’unsignalcontinuconduitaunperted’information.Sansentrerdansle detail nousallonsobserver cephenomenesur deuxexemplesde procedescontinusechantillonnesselonle modeledela figure2.1.
TB0 p y t ykuk
Procedeu t
FIG. 2.1– Procede echantillonne
On sait associera ce systemeun modele de type dis-cretentrelasequenced’entree % uk & etla sequencedesor-tie % yk & . Cemodele permetle calcul de % yk & pour % uk &donne,maisnepermetabsolumentpasderetrouver le si-gnalcontinuy t . La seuleutilisationdumodelea tempsdiscretne posegeneralementpasde problemepour uneetudeen boucleouverte,maispeuts’averer insuffisantepourcaracterisercompletementun systemefonctionnantenbouclefermee.Il estpreferabledanscecasd’utiliseraussile modele a tempscontinudu procede commandepourdeterminery t .
Lescalculsdevenantcomplexes,lescourbesquisuiventsontdetermineesa l’aide du logiciel Matlab.
Exemple2.3
Consideronsle procede continude fonction de trans-fert:
G p 11 ) p
Pourtrois periodesd’echantillonnagedifferentela figure2.2donnela reponseyk dusysteme.
2.3. NOTION DE MODES 17
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
FIG. 2.2– Trois echantillonnagesdifferents
Dansle premiercas,T 0 X 1s, l’ echantillonnageesttresrapidedevant la constantedetempsdu systemeτ 1s. La reponsedusystemeechantillonneseconfondavecla reponsedu systemecontinu.En premiereapproxima-tion on pourrait quasimentnegliger l’effet de l’ echan-tillonnage.
Dansle troisiemecas,T 2s, l’ echantillonnagen’estpasassezrapidepourrespecterla r egledeShannon. Lesignaldiscretnerendpascomptedela realitedu proces-sus.
Lesecondcas,T 0 X 5s, estdoncapreferercarl’ echan-tillonnagerendcomptefidelementdu comportementdusystemesansmultiplier desmesuresinutiles. GExemple2.4
Consideronsle systemeechantillonne boucle de la fi-gure2.3,avecuneperioded’echantillonnageT 0 X 5setunalgorithmedecommanderepresenteparla fonctiondetransfert:
5z / 3z ) 1
1p2
5z 3z 1 B0
y t yk
T
ek FIG. 2.3– Systemeechantillonneboucle
La figure 2.4 montred’une part la reponseindicielledecesystemeobtenueapartirdesseulsmodelesa tempsdiscret,d’autrepart la sortiey t du procede calculeeapartirdesonmodelea tempscontinu.
La constatationestquesi le capteurmesurey t avecla perioded’echantillonnageT 0 X 5s, la mesurenerendpascompteentierementdu comportementdu systemea
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5Sortie du systeme
Temps
Ampl
itude
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2Sortie du systeme
Temps
Ampl
itude
FIG. 2.4– Echantillonnagea la periodedel’oscillation
tempscontinu.Enparticulierici, l’ echantillonnagesefaitexactementala perioded’un phenomeneoscillantpourlesystemea tempscontinufaisantcroire a la convergencedusignal. G2.3 Notion demodes
Nous avons etabli quepour calculerla reponsed’unsystemea tempsdiscret,il estpossiblede procederpardecompositionen elementssimplesdeY zP z. Nousal-lonsmaintenantobservercettedecompositiondansle casgeneral.
SoitG z la fonctiondetransfertd’unsystemecompre-nantnp polesnotes p1 DYXYXZX D pnp. Chaquepole peuteven-tuellementapparaıtre plusieursfois dansle denomina-teur. On parlerademi, l’ordre demultiplicit edu pole pi
(i 1 DYXYXZXD np).
Identiquementon definit uneentreequelconqueU zpourle systeme.Satransformeeenzsecaracteriseparunpolynomeau denominateuravec un certainnombresderacinesr1 DYXYXZXD rq.
Apresavoir effectueladecompositionenelementssim-plesdeY zP z G z U zP z on trouve unerepresenta-tion dela formesuivante:
Y zV np
∑i 1
Gi zH) q
∑j 1
U j z (2.1)
Chacundestermesde cettesommes’exprime en fonc-tion soit d’un pole pi soit d’uneracinedu denominateurdeU z , r j . Nousnenousinteresseronspasacesdernierstermesdanscettepartiedu cours.Ils represententcequiestappele le r egime force du systemeet dependentes-sentiellementdu type d’entreeenvoyeeau systeme.Parcontre,nous allons detailler les premierstermesGi zqui, memes’ils dependentdu choix du signal d’entree,decriventdescaracteristiquesintrinsequesausystemeG z .
18 CHAPITRE2. REPONSEDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
Plusprecisement,les fonctionsGi z sedecomposentcommesuit:
Gi z mi
∑q 1
αiqz z / pi q
et leur transformeeenz inverses’ecrit generiquementdela formesuivante: # 1 Gi z 7 β0 ) β1k )$XYXYX) βmi # 1kmi # 1 pk
i Pi k pki
Cetermeainsi formule estcompose du produitd’un po-lynomeenk avec la suitegeometriquedespuissancesdupole pi . On va voir quel’ evolution de ce type de termedependessentiellementdela valeurde pi. On parlerademode associe au pole pi et nousallons decriredanslasuite descategoriesde comportementde cesmodesenfonctiondela valeur(reelleoucomplexe) de pi.
Parsuperposition,la reponsed’un systemeauneentreequelconquecomprendstoujoursune sommede termestelsque: # 1 np
∑i 1
Gi z . np
∑i 1
Pi k pki
dont d’evolution temporelleest caracterisee par chacundesmodes.Il y a autantde modesquele systemea depolesdistincts.
Nousallonsmaintenantenvisagertour a tour descassimplesdemodesassociesadifferentesvaleursdespolespuisnouscaracteriseronsla reponseglobaledu systemecomposeedela superpositiondetouslesmodes.
2.3.1 Mode r eel
Un modereel estassocie a un pole reel.Pourallegerles notations,soientp ce pole et % P k pk & la suitecor-respondanta la contribution de ce pole a la reponsedusysteme.
IndependemmentdecequepeutetrelepolynomeP k ,l’ etudedessuitesnousenseigneque:
– Si Q p Q1 1, alorsla suite % P k pk & converge vers0quandk
) ∞. On parlealorsdemodeconvergentdont la convergenceestporteepar la suitegeome-trique % pk & . La vitessede convergencedependes-sentiellementdela valeurde p. Plusla valeurde Q p Qestfaible, plus le modeconvergevite versl’origine(convergenceexponentielle).
– Si Q p Q 1, alors la suite % P k pk & diverge quandk
) ∞. On parlesalorsdemodedivergentdontladivergenceestporteeparla suitegeometrique % pk & .La vitessededivergencedependessentiellementdela valeurde p. Plusla valeurde Q p Q estgrande,plusle modedivergevite (divergenceexponentielle).
– Si Q p QY 1 et queP k P 0 estunpolynomecon-stant,alorsla contributiondecemodeestun signalqui ne diverge ni ne converge. On parle alors demodeentretenu. CecasestpossibleuniquementsiP k estunpolynomeconstant(i.e.dedegrezero)cequi estpossibleuniquementquandl’ordre demulti-plicit edupoleestegal a m 1.
– Si Q p Qb 1 etP k estdedegre nonnul, alorsla suite% P k pk & divergequandk ) ∞. Onparledemode
divergentdont la divergenceestporteepar la suite% km# 1 & (divergencepolynomiale).
– Si p 0,alorslasuite % P k pk & atendance(ausignedeP k pres)a etredu memesigne(modeaperio-dique).
– Si p 1 0, alorsla suite % P k pk 7O/ 1 kP kQ p Q k & atendance(ausignedeP k pres)a changerdesignea chaqueiteration(modeoscillatoire).
– Si p 0, alorsla suite % P k pk & convergevers0 enuneseuleiteration(r eponsepile).
Sansentrerplusdanslesdetails,voici quelquesexemplesqui illustrentcesdifferentesnotions.
Exemple2.5
Soientles deuxsystemessuivantscompose d’un seuletmemepole.
G1 z 1z / 2
G2 z / z2 ) 3z / 1 X 1 z / 2 3
Les reponsesa un echelonpourcesdeuxsystemessontdonneessur la figure2.5 ( pourG1 et o pourG2). Onconstatequela divergencememesi ellen’estpasexacte-mentidentiquesefait avec la memevitesseapproxima-tive. L’autre constatationestque le signede la reponsesuit la courbed’un polynome(modeaperiodique).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
FIG. 2.5– Reponsesdel’exemple2.5 G
2.3. NOTION DE MODES 19
Exemple2.6
Soientles deuxsystemessuivantscompose d’un seuletmemepole.
G1 zV 1z ) 0 X 5 G2 z z2 / 1z ) 1 z ) 0 X 5 2
Les reponsesa un echelonpourcesdeuxsystemessontdonneessur la figure2.6 (o pour G1 et pourG2). Onconstatequela convergenceestassezsimilaire memesielle n’estpasexactementidentique.L’autreconstatationestquele signedela reponsealterne(modeoscillatoire).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
FIG. 2.6– Reponsesdel’exemple2.6 GExemple2.7
Soientlesdeuxsystemessuivantscomposechacund’unseulet memepoledemoduleegal a un.
G1 z 1z ) 1
G2 zV 0 X 01 z / 1 2
Les reponsesa un echelonpourcesdeuxsystemessontdonneessur la figure2.6 (o pourG1 et pourG2). G1 aunereponseoscillanteni divergenteni convergente(modeentretenuoscillatoire)carlepole / 1 apparaıt dansla fonc-tion de transfertavec un ordredemultiplicit e egal a un.G2 parcontredivergesansoscillercar le pole ) 1 estpo-sitif et d’ordredemultiplicit eegal a deux.La divergencen’estpasexponentielle,maistendversuneasymptoteli-neaire. G2.3.2 Mode complexe
Lesracinesd’unpolynomeacoefficientsreelssontsoitreellessoit complexes.Dansle secondcas,pourchaquepole p telsqueIm pF 0 il existeunautrepole p com-plexeconjuguedep. cesdeuxpolesp et p interviennent
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
FIG. 2.7– Reponsesdel’exemple2.7
necessairementavec le memeordrede multiplicit e.Pardefinition un modecomplexe estassocie a un coupledepolescomplexesconjuguesl’un de l’autre. La contribu-tion decemodeestdela formesuivante:
Pa k pk ) Pb kW p k
ou Pa k etPb k sontdespolynomesa coefficientscom-plexesdumemedegre,maisil estpossibledemonterquela contributionconjointedespuissancesdepk et pY k estnecessairementreelle.Deslorsla contributiond’un modecomplexepeutegalements’ecriresousla formesuivante:
P k ρk sin kθ ) φ ou P k estun polynomea coefficientsreels,ou φ estundephasagedetermine par la situation,ou ρ estle moduledu pole et ou θ estl’argumentdu pole. D’apresles for-muled’Eulerona p ρejθ et p ρe# jθ.
Independemmentde ce peut etre le polynome P k ,l’ etudedessuitestellesqueP k ρk sin kθ ) φ nousen-seigneles caracteristiquessuivantessur la contributiond’un modecomplexe:
– Si Q p QY ρ 1 la reponsetransitoiredivergea la vi-tessedeρk (divergenceexponentielle),
– Si Q p QY ρ 1 1 la reponsetransitoireconvergevers0a la vitessedeρk (convergenceexponentielle),
– Si Q p QY ρ 1 la reponsetransitoiredivergea la vi-tessedu polynomeP k et si le poleestdemultipli-cite egalea 1 alorsP kV α et le modeneconvergeni nediverge(modeentretenu),
– Si arg p θ F 0 estl’argumentdep, la reponsedusystemeoscille a cettefrequence(oscillation“por-tee”parla convergencedeρk). Le modeestoscilla-toire.
Un resume decescomportementsdynamiquesestdonnesurla figure2.8page20.
20 CHAPITRE2. REPONSEDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
FIG. 2.8– Alluredesmodesselonleur emplacementdansle plan deLaplace
2.3. NOTION DE MODES 21
Remarque2.1 Enpratique,onretiendra qu’unsystemea tempsdiscretpeutavoir deuxsourcesd’oscillations: lapresencedemodescomplexeset/oula presencedemodesa partie reellenegative. Bien entendu,cesdeuxpheno-menesd’oscillationspeuventsesuperposer.
Exemple2.8
Consideronsle systemedefonctiondetransfert:
G z b0
z2 ) a1z ) a0 b0 z / λ1 W z / λ2
La reponseimpulsionnelledecesystemeestobtenueencalculantl’original desafonctiondetransfertenz:
G z. b0
λ1λ2) b0z z / λ1 λ1 λ1 / λ2 ) b0z z / λ2 λ2 λ2 / λ1
soit:
gk b0
λ1λ2δk ) b0
λ1 / λ2 λk # 1
1 / λk # 12
Si lesmodesdusystemesontreels(4a0 ] a21), le systeme
estcompose dedeuxmodesreelsdont le comportementdependrespectivementdesvaleursdeλ1 et λ2.
Si lesmodessontcomplexesconjugues(4a0 a21), il
vient:
gk 0 b0ρk # 2sin k / 1 θsinθ
avec:ρ a0 cosθ L/ a1
2 a0
A la donneedea0 et a1, la reponsetransitoired’un sys-temedusecondordreestsoit unesommededeuxmodesreelssoirunmodecomplexedontla convergenceestdon-neepar le moduledespoles(ρ Q λ Q ) et l’oscillation estdonneeparleurargument(θ arg λ ).
Pour illustration les reponsesimpulsionnelleet indi-ciellepourlesvaleursb0 0 X 5, a1 / 1 eta0 0 X 5 sontdonneessur la figure2.9. GExemple2.9
Consideronslessystemessuivants:
G1 z2 ) 2z ) 3z2 / 1 X 414z ) 1
D G2 1z2 ) 1 X 414z ) 1
G3 z2 ) 2z ) 3z4 / 2 X 828z3 ) 4z2 / 2 X 828z ) 1
Lepremiersystemeadmetdeuxpolescomplexesconju-gues 2P 2 ) j 2P 2 et 2P 2 / j 2P 2. Cespolescom-plexessontdemoduleegal aunet ils sontdemultiplicit esimpledoncla reponseindicielleestoscillanteentretenue(pasdeconvergenceni dedivergence).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2
0
0.2
0.4
0.6
No. of Samples
Ampl
itude
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
No. des echantillons
Ampl
itude
FIG. 2.9– Reponsesimpulsionnelleet indicielle
Le secondsystemeadmetlespoles / 2P 2 ) j 2P 2 et/ 2P 2 / j 2P 2.Le modeassocie acepolea lesmemescaracteristiquesquepour G1 si ce n’est queen plus del’oscillation li eea θ F 0, s’ajouteunealternancedueaufait quela partiereelleestnegative.
Le troisiemeexempleest tel que le couplede poles( 2P 2 ) j 2P 2, 2P 2 / j 2P 2)estd’ordredemultipli-cite egalea deux.Le systemeestdoncoscillantavec lesmemescaracteristiquesquepourG1 maisa la differencequ’il divergeavecunevitessepolynomiale. G
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.5
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−100
0
100
200
FIG. 2.10– Reponsesindiciellesdel’exemple2.9
2.3.3 Caracterisation desmodespar analo-gie aveclessystemescontinus
Onrappellequelespolesdessystemescontinuspeuventetredecritspar:
pc / ζωn jωn 1 / ζ2
Cetteecrituregeneriquepourlespolescomplexesdevientdansle casdepolesreels(ζ 1):
pc H/ 1P τ
22 CHAPITRE2. REPONSEDESSYSTEMESA TEMPSDISCRET
Et les polynomescaracteristiquesdessystemesa tempscontinusefactorisentavecdestermestelsque:
p2 ) 2ζωnp ) ω2n et p ) 1P τ
Les differentsparametresque nousvenonsde rappelercaracterisentlesreponsesdesmodesdessystemesconti-nus:
– τ 1PR ζωn : tempsde reponsedu mode(le modeconvergea95%desavaleurfinaleen3τ secondes).
– ωp ωn 1 / ζ2 : pulsationpropre(caracterise lapulsationdel’oscillationdanslecasd’unmodecom-plexe).
– ωn : pulsationproprenonamortie.
– ζ j 0 1 : coefficient d’amortissement(plusζ estfaibleplusle modeoscilleavantdeconverger).
Cesproprietessontmaintenantreprisespourcaracteriserlesmodesdessystemesdiscrets.
Nous avons etabli dansla section1.4.3 quepour lessystemescontinusechantillonnesque les polesdu sys-temesdiscretobtenuapresechantillonnagesededuisentdusystemecontinuoriginalsuivantla formule:
pd epcT
ou T estla perioded’echantillonnage,pc lespolesdusys-temecontinuet pd lespolesdusystemediscret.
Ainsi partantdu pole d’un systemecontinuayantcer-tainescaracteristiquesen termesde tempsde reponse,d’amortissementetdepulsationpropreontrouvele polesd’un systemediscret(fonctionnanta la periodeT) qui au-rait lesmemescaracteristiquesdynamiques:
pc a/ 1P τ pc L/ ζωn jωn 1 / ζ2 pd e# T z τ pd e# T z τ cos ωpT j sin ωpT b
Inversementunpolereeld’un systemediscret,pd zr secaracterisepar:
– un tempsdereponseτ L/ T P ln zr , ou T estla pe-riodedefonctionnementdusystemediscret,
– despulsationpropresnullesetunamortissementζ 1 (le modeestnonoscillant).
Un polecomplexe pd zr jzi secaracterisepar:
– un tempsdereponseτ L/ 2T P ln z2r ) z2
i ,– unepulsationpropreωp 1
T arctan zi P zr ,– unepulsationproprenonamortieωn ω2
p ) 1P τ2,
– unamortissementζ 1P 1 ) ω2pτ2.
Exemple2.10
En reprenantl’exemple2.8, le modecomplexe estca-racterise parle polynomecaracteristique:
z2 / z ) 0 X 5 h pd 12
1 j Cequi conduita:
– un tempsde reponseτ 2 X 89T (la convergencea95%sefait auboutde9 periodes),
– unepulsationpropreωp π4T (la periodedel’oscil-
lationesthuit fois superieurea la periodedesechan-tillons),
– unepulsationproprenonamortieωn 0 X 8585P T,
– un amortissementζ 0 X 4037(l’amortissementestindependantdela periodedesechantillons).
Le tempsdereponseet la pulsationpropreseretrouventsurla figure2.9. G2.3.4 Superpositiondesmodes
Pourlesprocedesrencontresenpratique,lespolespeu-ventetresmultiplesetleureffetss’additionnentsurlasor-tie mesureedusysteme.L’ensembledespossibilitesn’estpasdescriptible.Cependantil estparfoispossiblededis-cernerdesalluresduesauxdifferentspolesquandlesdy-namiques(vitessesdeconvergence/divergence)sonttresdifferentes.Quelquesexemplessontdonnessur la figure2.11.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
14
FIG. 2.11– Reponsesindicielle avecun modereelet unmodecomplexeayantdesdynamiquesdifferentes
La premieredecescourbesmontreun systemeayantun pole reel a convergencelente (plus de 30 iterationspourconverger)etunmodefortementoscillantquiconverge
2.3. NOTION DE MODES 23
rapidement(l’oscillation rejoint rapidementl’exponen-tielle convergentedumodereel).
Lasecondecourbemontrelasituationinverse.Unmodereel tresrapideconverge dansles tout premiersinstants(monteerapideversun voisinagedel’ equilibre).A cetteconvergencerapides’ajouteun modeoscillant dont laconvergenceestpluslente.
Danstouslescasil estimportantdenoterquelaconver-genceglobaled’un systemesefait avec la constantedetempsdu modele plus lent. C’est a dire a la vitessedumodedontle pole a le modulele plusgrand.
Chapitre3
Stabilit e dessystemesa tempsdiscret
Cechapitreportesur la stabilitedessystemesa tempsdiscret.Dansunpremiertempsnousreplacerontla notiondestabilitedansuncadregeneralpuisnousporteronsplusprecisementnotreattentionsurla stabilitedefinieausensd’un transfertborne. La suitedu chapitreporte sur destechniquesd’evaluationde la stabilite et concluesur lecasdessystemesechantillonnes.
3.1 Stabilit e internedessystemes
Danscecoursnousavonsvolontairementchoisidenepresenterlessystemesquesousla formedefonctionsdetransfertset d’equationsrecurrentes.Une autremodeli-sationtresfrequemmentrencontrees’ecrit souscertaineshypothesescommesuit:
xk 1 f xk D uk yk g xk D uk
Ou u representele signalenentreedusysteme,y la sortiemesureeet f et g sontdesfonction quelconquesdecri-vantle fonctionnementduprocessus.Cetterepresentationa l’avantagedemettreenevidenceunvecteurxk n ap-peleetatdusysteme.Cevecteurdecritexactemental’ins-tant k l’ etat (positions,vitesses,concentrationsde pro-duits, tensionselectriques...)du systeme.D’usagediffe-rentde la representationpresenteedanscecours,elle vaaudela d’unedependanceentrelesentreeset lessorties,pour representerles comportementsinternesdu proces-sus.
La stabilite internedessystemesestdefinie a la don-nee de ce type de modeles.Nous donnonsici unique-ment quelquesbrefs elementsde cettetheorie.Le pre-mier d’entreeux estla definition despointsd’equilibre.On supposequele systemeestplace enmodeautonome(uk ue estuneconstantele plussouventnulle)etonde-finit lesetatsd’equilibrexe commelessolutiondel’ equa-tion :
xe f xe D ueIls correspondentauxsituationsdanslesquellessi le sys-temeestdanscetetatalorsil nepeutpasevolueramoins
demodifierla commande.
Cespointsd’equilibresesontengeneralpasuniques.Par exemplesi l’on considereunpenduleconstitued’unebarrerigidepouvanttournerdansunplanvertical,cesys-temeadmetdeux points d’equilibre quandla barreestverticalesoit versle hautsoit versle bas.Ceciestillustresurla figure3.1.
Positions d’équilibre pour
θ = 0θ = π
θ
mg
FIG. 3.1– Positionsd’equilibredupendulerigide
Il estaise deremarquerquelesdeuxpointsd’equilibredu pendulen’ont pasle memestatut.On peutspontane-mentqualifier l’ equilibreθ π d’instableet la positioninversedestable.Mathematiquementla stabilitededefi-nit commesuit:
Definition 3.1 Un pointd’equilibrexe est:
simplementstablesi quelquesoit le voisinageΩ1 dexe,il existeunvoisinageΩ2 dexe tel que,pour tout etatinitial x0 Ω2, xk Ω1 E k I 0.
asymptotiquementstablesi il existeun voisinageΩ1 dexe tel que,pour tout etat initial x0 Ω1, xk
xe
quandk ) ∞.
globalementasymptotiquementstablesi pour tout etatinitial x0 n, xk
xe quandk
) ∞.
instables’il n’estpasstable.
25
26 CHAPITRE3. STABILIT E DESSYSTEMES A TEMPS DISCRET
Par definition la stabilite indiquequesi le systemeaun etatinitial suffisammentprochedel’ equilibrealorsilnes’enecartepas.La stabiliteasymptotiqueajouteacelaque l’ etat du systemerejoint asymptotiquementl’ equi-libre pourdesconditionsinitialessuffisammentproches.Lecaractereglobalindiquequelaconvergenceversl’ equi-libre sefait pourtoutconditioninitiale.Enfin l’instabilit eindiquequeaussipresquel’ etatsoitdel’ equilibreconsi-dere, il a tendancea s’enecarter.
La problematiqueestbien souvent pour les systemesnon-lineairesde determinerdesdomainesde conditioninitialespour lesquellesle systemeestassure deconver-ger vers un equilibre. Pour ce qui est dessystemesli-neairessur lesquelsporte ce cours,la stabilite ou l’in-stabilite sonttoujoursdesproprietesglobaleset le pointd’equilibreest,saufcasparticulier, unique.
Nousne detaillonspasplus la notion de stabilite in-terneni la theoriedeLyapunov qui lui estassociee.Ce-pendant,onpeutnoterqu’apeudedifferencespres,pourlessystemesenvisagesdansce cours,la stabilite interneet la stabiliteBIBO sontequivalentes.
3.2 Stabilit eBIBO dessystemes
BIBO vientdeladefinitionenanglais:“boundedinput,boundedoutput”. La caracterisationdessystemesstablessefait en prouvantquela sortiedu systemeesttoujoursnon divergentetant que le signal d’entree est contenudansun certaindomaine.La traductionde l’anglais dit“ a entreebornee,sortiebornee”. Mathematiquementladefinitionest:
Definition 3.2 Unsystemedefinitpartsesentrees/sortiestel que:
uk/ F
yk/ estBIBOstablesi pour touteentreebornee % uk &
∞ supk ' Q uk Q+1 ∞
la sortieesttoujoursbornee % yk & ∞ sup
k ' Q yk Qo1 ∞
Cettedefinitiontresgenerale,s’appliquea tout typedemodele.Dansle casdessystemeslineaires,nousallonsvoir qu’elleseparticulariseet revient a etudierlesmodesdusysteme.Eneffet,enreprenantlesnotationsdelapage17 la transformeeenz dela sortiedusystemepour touteentreeU z estdonneepar(2.1):
Y z np
∑i 1
Gi z) q
∑j 1
U j z
Lespremierstermesont ete etudiesdansle chapitrepre-cedent.Ils correspondenttousa dessignauxsoit conver-geantvers0 (modesconvergeantexponetiellement)soitentretenus,soitdivergeants.S’il existeaumoinsunmodedivergent,la sortieestnon bornee,le systemen’est passtable.Si parcontretouslesmodessontconvergentsalorsle premiertermeestconvergentetdoncborne.
Maintenant,enutilisantdesargumentssimilairessi touslesmodessonttelsque Q pi Q1 1 et sousl’hypothesequele signald’entreeestborne,il estpossibledemontrerquele secondtermedecritunsignalborne: # 1 : q
∑j 1
U j z ? ∞
1 ∞
Inversement,si il existeunmodetel que Q pi Qb 1 il estaisedeconstruireun signald’entreeborne tel quela sortieyk
diverge. Le resultatpour les systemeslineairesa tempsdiscretestdoncenonce parle theoremesuivant.
Theoreme3.1 SoitF z unsystemea tempsdiscret etsoientp1 D p2 DY`Y`Y`\D pr sesr polesdistincts.
1. Si i u% 1 DZ`Y`Y`[D r & tel que Q pi QSI 1, alors le systemeestBIBOinstable.
2. Si E j 1 DY`Y`Y`[D r, Q p j Q*1 1, alors le systemeverifiela propriete internedestabilite asymptotiqueet estBIBOstable.
3. Si E j 1 DY`Y`Y`[D r, Q p j QS] 1 et i ^% 1 DY`Y`Y`[D r & tel queQ pi Q 1, alors le systemepeut eeventuellementve-rifier la propriete internedestabilitemaisn’estpasBIBOstable.
Exemple3.1 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:
F z 0 X 25z z / 0 X 5W z / 0 X 25Les polessontde moduleinferieur a 1. Le systemeeststable.Par exemple,sareponsea uneentreeimpultion-nelle(U z 1) s’ecrit:
Y z F zR, 1 zz / 0 X 5 / z
z / 0 X 25 # 1
yk f1k ) f2k 0 X 5k / 0 X 25k
etconvergecommele montrel’ evolutionde f1k et f2k surla figure3.2. GExemple3.2 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:
F z z z ) 2- z / 0 X 5
3.2. STABILIT E BIBO DESSYSTEMES 27
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
FIG. 3.2– Systemeasymptotiquementstable
L’un despoleestdemodulesuperieura1 ( Q/ 2 QW 2). Lesystemeestinstable.Parexemple,sareponseauneentreeimpultionnelle(U z 1) s’ecrit:
Y zV F zR, 1 / zP 1 X 5z ) 2
) zP 2 X 5z / 0 X 5 # 1
yk f1k ) f2k L/ 11f 52k ) 1
2f 50 X 5k
et l’une descomposantesdela sommedivergecommelemontrel’ evolutionde f1k et f2k surla figure3.3. G
−50 0 50 100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
FIG. 3.3– Systemeinstable
Exemple3.3 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:
F zV z z ) 1- z / 1Lespolessontdemoduleegauxa1.Le systemeestBIBOinstable.Par exemple,sareponsea uneentreeindicielle
(U z zz# 1) s’ecrit:
Y z F zR, zz# 1 / zP 4
z ) 1) zP 4
z / 1) zP 2 z / 1 2 # 1
yk f1k ) f2k / 14 O/ 1 k )a 1
41k ) 12k
et l’une descomposantesdela sommedivergecommelemontrel’ evolutionde f1k et f2k surla figure3.4.
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k=0
k=1
k=7
FIG. 3.4–Systemedel’exemple3.3enreponsea uneche-lon
Parcontre,sareponseauneentreeimpultionnelle(U z.1) s’ecrit:
Y zV F z., 1 L/ zP 1 X 5z ) 2
) zP 2 X 5z / 0 X 5 # 1
yk f1k ) f2k L/ 12 O/ 1 k ) 1
21k 0 X 5 ) 0 X 5 O/ 1 ketellenedivergepasmaisalterneentredeuxvaleurs. GExemple3.4 Soit le systemecaracteriseparla fonctiondetransfert:
F z z z / 0 X 9cos π P 4bz2 / 2 ` 0 X 9cos π P 4 z ) 0 X 92) z z / 0 X 85cos π P 5
z2 / 2 ` 0 X 85cos π P 5 z ) 0 X 852
Lespolessontcomplexes(0 X 9ejπ z 4, 0 X 9e# jπ z 4, 0 X 85ejπ z 5et 0 X 85e# jπ z 5) de moduleinferieur a 1. Le systemeeststable.Par exemple,sareponsea uneentree impultion-nelleindicielle (U z 1) s’ecrit:
Y zV F z., 1 zP 2z / 0 X 9ejπ z 4 ) zP 2
z / 0 X 9e# jπ z 4) zz 2z# 0f 85ejπ 5 ) zz 2
z# 0f 85el jπ 5 # 1
yk f1k ) f2k 0 X 9kcos kπ P 4*) 0 X 85kcos kπ P 5
28 CHAPITRE3. STABILIT E DESSYSTEMES A TEMPS DISCRET
et lesdeuxcomposantesconvergentenoscillanta despe-riodesdifferentesetavecdesvitessesdeconvergencedif-ferentescommele montrel’ evolution de f1k et f2k sur lafigure3.5. G
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5
0
0.5
1
k=0
k=8k=20
FIG. 3.5 – Systemede l’exemple3.4 en reponsea uneimpulsion
3.3 Crit eredeJury
Le critere de Jury adressela stabilite a partir de laconnaissancedupolynomecaracteristique:
P z anzn ) an# 1zn# 1 )_`Z`Y` ) a1z ) a0
Il est ainsi possibled’evaluer la stabilite d’un systemepartantd’une fonction de transferten etudiantle poly-nomeaudenominateursansencalculerlesracines.
Theoreme3.2 Un systemelineaire a tempsdiscret estasymptotiquementstablesi etseulementsi lescoefficientsde son polynomecaracteristique verifient les relationsqui suivent.Lesconditionsdependentde l’ordre du sys-temenousne les donnonsque pour n 2 ,3 et 4. Lesordressuperieurspeuventetregeneressansdifficultemaissont fastidieux.Pour plus de simplicite on supposequean 0. Dansle cascontraire il suffit demultiplier touslescoefficientspar / 1.
n 2 :
a0 ) a1 ) a2 0a0 / a1 ) a2 0
a2 / a0 0
n 3 :
yy yy a0 ) a1 ) a2 ) a3 0/ a0 ) a1 / a2 ) a3 0a3 /$Q a0 Q 0
a0a2 / a1a3 / a20 ) a2
3 0
n 4 :yy yy a0 ) a1 ) a2 ) a3 ) a4 0a0 / a1 ) a2 / a3 ) a4 0a2
4 / a20 /JQ a0a3 / a1a4 Qo 0 a0 / a4 2 a0 / a2 ) a4 *)$ a1 / a3 - a0a3 / a1a4 0
Exemple3.5 Soit le systemedont le polynomecarac-teristiques’ecrit:
P z z3 )_ K / 0 X 75 z / 0 X 25
L’applicationducriteredeJuryconduital’ensembled’equa-tions:yy yy a0 ) a1 ) a2 ) a3 K 0/ a0 ) a1 / a2 ) a3 K ) 0 X 5 0
a3 /JQ a0 Qn 1 / 0 X 25 0a0a2 / a1a3 / a2
0 ) a23 / K ) 1 X 6875 0
dontl’intersectiondonne0 1 K 1 1 X 6875commecondi-tion destabilite. G3.4 Crit eredeRouth
Le criterede Jury donne dansla sous-sectionprece-denteestun criterequi attestequelesracinesd’un poly-nomeappartiennentaudisqueunite( Q λ QY1 1) sansavoir ales calculer. Le criterede Routhquanta lui attestequeles racinesd’un polynome appartiennentau demi-plangauche(ℜ λ @1 0). Il n’estdoncpasdirectementappli-cablepourlessystemesa tempsdiscret.
Lemme3.1 Soit P z un polynomede degre n et soitP w le polynomedu memedegre obtenupar la relationsuivante:
P w7 1 / w n P 1 ) w1 / w ¡
Le polynomeP z a toutessesracinesdans le disqueunite( Q zi Qo1 1) si etseulementsi lesracinesdeP w sontdansle demi-plangauche(ℜ wi V1 0).
Preuve
Soit la transformationbijectivesuivante:
z 1 ) w1 / w ¢ h w z / 1
z ) 1
elle transformela variablecomplexe z en unenouvellevariablew telleque:
z α ) jβ ¢ h w α2 ) β2 / 1 ) 2 jβ α ) 1 2 ) β2
d’ou:Q zQW1 1 ¢ h α2 ) β2 1 1 ¢ h ℜ wV1 0
3.5. SYSTEMESECHANTILLONNES 29
CeresultatappliqueauxracinesdeP z concluelapreuve.
xIl estimportantdenoterquela transformationenw des
polynomescaracteristiquesde systemesa tempsdiscretpermetuniquementd’appliquerle criterede Routh.Au-cuneautreutilisation de cettetransformationn’est con-seillee.Il nefautenaucuncasconfondreceresultatavecdestransformationsdonnantuneequivalenceentreunsys-temediscretet un systemecontinu.Le polynomeP wn’a aucuneinterpretationenAutomatique.
Theoreme3.3 Soitle polynomedonnepar:
P w αnwn ) αn# 1wn# 1 )_XZXYX ) α1w ) α0
sesracinesappartiennentaudemi-plangauche(ℜ wi 10) si etseulementsi toussescoefficientsαi sontdumemesigneet que les coefficientsde la premiere colonnedutableaudeRouthsontegalementdumemesigne.
Soit q l’arrondi versle basdenP 2 (par exemplepourn 5,ontrouveq 2).Le tableaudeRouthestcomposeden ) 1 lignesetq colonneset seconstruitcommesuit:
βne 0 βne 1 βne 2 XYXZX βne q# 1 βne q 0βn# 1e 0 βn# 1e 1 βn# 1e 2 XYXZX βn# 1e q# 1 βn# 1e q 0βn# 2e 0 βn# 2e 1 βn# 2e 2 XYXZX βn# 2e q# 1 0...
...β2e 0 β2e 1 0β1e 0 0β0e 0 0
avecpour i n et i n / 1 lescoefficientsdu polynomerangesdedeuxendeuxtelsque:
βne j αn# 2 j D βn# 1e j αn# 1# 2 j
etpour i ] n / 2 la relationsuivante:
βi e j βi 1e 0βi 2e j 1 / βi 1e j 1βi 2e 0βi 1e 0
symboliquementrepresenteeparle produitencroix:
βi 2e 0βi 1e 0 βi 2e j 1
βi 1e j 1
Exemple3.6 Reprenonsl’exempleprecedentdont lepolynomecaracteristiques’ecrit:
P z z3 )_ K / 0 X 75 z / 0 X 25
Par transformationbilineaire,il vient le polynome:
w3 K ) 0 X 5!) w2 3 / K !) w 4 X 5 / K *) K
La tabledeRouthcorrespondantes’ecrit:
K ) 0 X 5 4 X 5 / K 0
3 / K K 0# 8K 13f 53# K 0
K 0
Le polynomeenw auratoutessesracinesa partiereellenegative(etparconsequent,le polynomeP z aurasesra-cinesdemoduleinferieura1) si toussescoefficientssontdememesigneet si les elementsdela premierecolonnede la tablede Routhsontde memesigne.Ceci conduita la satisfactionsimultaneede l’ensemblede conditionssuivantes: yyyy yyyy K ) 0 X 5 0
3 / K 04 X 5 / K 0
K 0/ 8K ) 13X 5 0
soit la conditiondestabilite0 1 K 1 1 X 6875. G3.5 Systemesechantillonnes
3.5.1 Etude enboucleouverte
Consideronsle systemeechantillonne en boucleou-verterepresente surla figure3.6.
TB0 p y t ykuk
Procedeu t
FIG. 3.6– Procede echantillonne
Le procede continuestrepresente parunefonctiondetransfertFc p et sastabiliteestdetermineeparlespolesλi. La conditionnecessaireet suffisantede stabilite estdonneepar:
ℜ λi V1 0 E λi
Consideronsmaintenantle systemeechantillonnedontlafonctiondetransferts’ecritFd zJ B0 p Fc p etno-tonscespolesµi . La conditionnecessaireetsuffisantedestabiliteasymptotiqueestdonneepar:Q µi QW1 1 E µi
Enraisondela correspondance:
ℜ λi 1 0 £ Q µi QW¤Q eλiT Qo1 1
30 CHAPITRE3. STABILIT E DESSYSTEMES A TEMPS DISCRET
on constatequ’un systemecontinustableen boucleou-verteestegalementstableen echantillonne.Ceciestparailleurstout a fait trivial. Lessignauxbornesrestentbor-nesquandils sontechantillonneset quandils passentparunbloqueurd’ordrezero.
La stabilitedessystemespris defaconisoleen’estpasalterneeparl’ echantillonnage.Il enva autrementdanslecasdessystemesechantillonnesboucles,commeonva leconstaterdansle paragraphesuivant.
3.5.2 Etude enbouclefermee
Surunexemplenousmontronsquelaperioded’echan-tillonnageinflue la stabilite ou non d’une bouclede re-troaction.De manieregenerale,il peutetreobserve quele fait de remplacerune regulation analogiquepar uneregulation numeriquedemandede s’assurerque la pe-rioded’echantillonnagechoisien’entrainepasunepertedesproprietesinitiales.
Exemple3.7 Consideronsla regulation continuere-presentee sur la figure 3.7. La fonction de transfertdusystemeenboucleouverteestd’ordre2. Le systemeestasymptotiquementstablequelquesoit K 0.
y t yc t +/ Kp p ) 1
FIG. 3.7– Regulationcontinue
Consideronsle memesystemedansle casd’uneregu-lation echantillonneeselonle schemadela figure3.8.
TB0 p| yku t |uk y t |¥ ¦
yck Kp p ¥
1|FIG. 3.8– Regulationechantillonnee
La fonctiondetransfertenboucleouvertedu systeme
echantillonnea pourexpression:
G zq s B0 p Kpc p 1d t z# 1
z s Kp2 c p 1d t z / a Kb z / 1W z / e# T
avec a el T c T 1d # 1el T T # 1 et b e# T / 1 ) T . La fonctionde
transfertenbouclefermees’ecrit alorscommesuit:
G z1 ) G z z / a Kb
z2 )_ Kb / 1 / e# T z ) e# T / Kba
Enappliquantle criteredeJuryle systemeestasymptoti-quementstablesi etseulementsi : e# T / Kba ) Kb / 1 / e# T ) 1 0
e# T / Kba / Kb ) 1 ) e# T ) 1 01 / e# T ) Kba 0
Cesconditionssontfortementconditionneesparla valeurdel’ echantillonnage.ParexemplepourT 1setT 10son trouverespectivement:
T 1s T 10s K 012X 2 K2 X 4 K
K 00 X 25 K1 K
On constateainsi qu’uneaugmentationde K et/oudeTconduisenta l’instabilit edecesysteme. G3.6 Exercices
Exercice3.1
Soit le systemeF z del’exercice1.3dela page12;
F z 4z / 24z3 )$ 4K / 8 z2 )$ 5 / 4K z )$ 3K / 1
Etudierla stabilitedeF z enfonctiondu parametreK al’aide ducriteredeJury.
Solution On esten presenced’un systemedu troisiemeordre.LecriteredeJuryestdonccomposedequatrecondi-tions.La premiereest:
a0 ) a1 ) a2 ) a3 0
cequi corresponda la sommedetouslescoefficientsdupolynomedenominateurdela fonctiondetransfert.Pourla fonctionF z cetteconditiondonne:
3K 0 h K 0
3.6. EXERCICES 31
La secondeconditionducriteredeJurydonne:/ a0 ) a1 / a2 ) a3 0 h K 1 18P 11
La troisiemeconditions’ecrit:
a3 /JQ a0 Qo 0 h / 1 1 K 1 5P 3
Enfin la troisiemeconditionest:
a0a2 / a1a3 / a20 ) a2
3 0 h 3 K / 1 2 0
On endeduit quele systemeeststablepour toutevaleurdeK comprisedanslesintervallessuivants:§
stab. ¨ 0 D 1 ~©ª 1 D 1811
Les valeurs0, 1 et 18
11 conduisenta dessystemesa la li-mitedela stabilite.Par exemplepourK 1 on trouveunsystemeF z tel que:
F z 4z / 24z3 / 4z2 ) z ) 2
dont les polessontdonneessur la figure 3.9. Les deuxpolescomplexessontdemoduleegalaunetcorrespondenta un modeoscillantentretenu.Le systemeestBIBO in-stablemaisverifie la stabilite internedanscecas.
Re(z)
Im(z)
0.75 + 0.6614i
0.75 − 0.6614i
Mode convergent alterné
Mode oscillant entretenu
−0.5
FIG. 3.9– PolesdusystemepourK 1
Chapitre4
Synthese: Gain de r etroaction
A cestade,nousavonsetabliunensembledenotionsetd’outils mathematiquesqui permettentdedecrirele fonc-tionnementdessystemes.Les chapitresqui suivent sontdediesa la synthesede correcteurs.L’objectif estd’ob-tenir par le calculuneloi decommandequi connaissantlesmesuresen tempsreel realiseessur le systemeet lesconsignesimposeesparunutilisateur, agitsurlesentreesdusysteme.Globalement,l’objet a realiserfonctionneentempsreel en parallele du systemecommedecrit sur leschema4.1.
commande
aux actinneursappliquée
Consigne
Loi de commande Procédé
mesure réalisée par les capteurs
FIG. 4.1– Loi decommande
Danscecoursnousaborderonsuniquementdeslois decommandesousformedemodeleslineaires.Ellesserontrepresenteessoit par desequationsrecurrentes(c’est engeneral souscetteformequeles lois decommandesontrealiseesenpratique),soit pardesfonctionsdetransfert.
4.1 Intr oduction
Ce premierchapitres’interesseau casle plus simpledesynthese: la synthesed’un gainstatiquepour lessys-temesayantuneentreeetunesortie.Danscecasla loi decommandeseresumea deuxcoefficientsrepresentessurle schema4.2.
On note uk le signal de commande,yk le signal demesure,yck le signalde consigneet vk Kcyck. Partantd’un procede decrit parunefonctiondetransfertY z«G z U z on trouve:
Y z KG z1 ) KG z V z Y z KcKG z
1 ) KG z Yc z
Loi de commandeConsigne
KcK+
− Procédé
commande
mesure
FIG. 4.2 – Loi decommandepar un gain de retroactionetungaindepre-commande
et endetaillantlespolynomesaunumerateuret audeno-minateurdela fonctiondetransfertG z N zbP D z :
Y zC KN zD z*) KN z V z Y zC KcKN z
D z*) KN z Yc z4.2 Calcul du gain de r etroaction
Le gainderetroactionK permetessentiellementd’as-surerla stabilite de la bouclefermee.C’estce gain uni-quementqui agitsurle denominateurdela bouclefermeeet doncsur les poles.Au dela de la stabilite, l’objectifestd’imposerdesdynamiques.La premierespecificationimposeque les polesdu systemeboucle soienttous demoduleinferieura l’unit e, la seconderevient a imposerdescontraintesplus strictessur cesmemespoles (voirchapitre2 et la notiondemodes).
4.2.1 Crit eresdeJury et Routh
Les criteresde Jury et deRouthabordesdansle cha-pitre 3 permettentde donnerdesconditionspour la sta-bilit e dessystemesa la donneedescoefficients du po-lynome caracteristique.Des lors en appliquantcescri-teresaupolynomeD z.) KN z il estpossibled’ecrirelesconditionssurK pourquela bouclefermeesoitstable.
UneapplicationducriteredeJurydanscetobjectif estdonneedansl’exemple3.7.Deplusenchoisissant:
D z z3 / 0 X 75z / 0 X 25 N z¬ z
33
34 CHAPITRE4. SYNTHESE: GAIN DE RETROACTION
l’exemple3.6montreuneapplicationducriteredeRouthpourla synthesedugainderetroaction.
4.2.2 Lieu d’Evans
Definition 4.1 Le lieu d’Evansd’un systemeG zN zbP D z se definit commele lieu desracinesdu po-lynomeD z!) KN z pour touteslesvaleursdeK ®
.
Pardefinitionle lieud’Evansrepresentel’ensembledesconfigurationspossiblespour lespolesde la bouclefer-mee representee sur la figure 4.2. Nous choisissonsdedonneruniquementquelquesresultatsdeconstructiondulieu d’Evanssansen detailler les preuves.Le plus sou-vent le lieu d’Evansestde nos jours trace ł’aide de lo-gicielscommeparexempleMATLAB. Dansla CONTROL
TOOLBOX la fonctionquipermetdetracerle lieud’Evansestrlocus.
Notations:
Le denominateurdeG z estdonnepar
D zH z / p1 - z / p2 R`Z`Y` z / pn ou les pi sontlesn polesdu systeme.Le numerateurdeG z donnepar
N z Kg z / z1 - z / z2 R`Z`Y` z / zmou les zi sont lesm zerosdu systemeet Kg estun gain.Pourchaquepoleet zeroonnote:
θi zV arg z / pi φi zV arg z / zi lesarguments(ou phases)desvecteursde ¯ reliant res-pectivementlespoleset leszerosaupointz.
MethodedeconstructionpourKg 0
Le lieu d’Evans de G z est constitue de n courbescontinuesdansle plan complexe ¯ appeleesegalementbranchesdu lieu d’Evans.Globalementle lieu d’Evansestsymetriqueparrapporta l’axereel.
– Lespointsdedepartdupieud’Evanssontlesn polespi representesparunecroix.
– Le lieud’Evanscomportembranchesquiconvergentversleszeroszi quandK devientgrand.
– Le lieu d’Evanscomporten / m branchesqui di-vergentasymptotiquementversdesdroitescaracte-riseesparunpointd’intersectionreelunique:
σa 1n / m
: n
∑i 1
pi / m
∑i 1
zi ?etqui font desanglesavecl’axe reeltelsque:
Φa T πn / m
6 2πn / m
8
– Uneportiondel’axe reelappartientaulieu d’Evanssi le nombrede poleset zerosreelsa sadroite estimpaire.
– Les pointsde rencontreet d’eclatementsontparmilessolutionsreellesdel’ equation:
dD zdz
N zR/ dN zdz
D zV 0
Le lieu d’Evansadmetunetangenteverticaleencespoints.
– Les points d’intersectionavec le cercleunite sontobtenuscommesolutions k D θ de l’ equationcom-plexe:
D ejθ *) KN ejθ 0
– Au departd’un pole complexe pk, le lieu d’Evansaunetangented’angle:
π / ∑i ° k
θi pk *) ∑i
φi pk – A l’arriveesurunzerocomplexe zk, le lieu d’Evans
a unetangented’angle:
π / ∑i ° k
φi zk *) ∑i
θi zk MethodedeconstructionpourKg 1 0
Dansce casla constructionest quasimentidentique.Lesdifferencessontlessuivantes:
– Anglesdesasymptotesauxbranchesinfinies:
Φa T 0 6 2πn / m
8– Angleaudepartd’un polecomplexe pk :/ ∑
i ° k
θi pk *) ∑i
φi pk – Angled’arriveesurunzerocomplexe zk :/ ∑
i ° k
φi zk *) ∑i
θi zk Exemple4.1 Reprenonsl’exemple3.6qui corresponda l’analysedela stabilitedusysteme
G z zz3 / 0 X 75z / 0 X 25
boucleparuneretroactionK.
Le lieu d’Evansdecesystemeesttracesurlafigure4.3ainsiquesurla figure4.4(trace obtenuavecMatlab).
4.2. CALCUL DU GAIN DE RETROACTION 35
FIG. 4.3– Lieud’EvansdeG z zz3 # 0f 75z# 0f 25
Le lieu d’Evansa lescaracteristiquessuivantes:
– Il y aautantdebranchesquelesystemeG z contientde poles.Dansl’exemplele systemeestd’ordre 3,lestrois branchesrepresententlesvaleursprisesparlestroispolesdusystemebouclequandK croit de0a ) ∞.
– le lieu d’Evansest symetriquepar rapport a l’axereel.
– Chacunedes branchespart (K 0) d’un pole dusystemeen boucleouverte (polesde G z ) et tend(K
) ∞) soitversunzerodela boucleouverte(ra-cinedu numerateurdeG z ) soit versl’infini. Dansl’exemple,l’un despolesdela bouclefermeeestsi-tueenfonctiondela valeurdeK entrele pointz 1(poledela boucleouverte)et le pointz 0 (zerodela boucleouverte),lesdeuxautrespolessontcom-plexes conjugues et sont situes en z / 0 X 5 j0pour K 0 (polesde la boucleouverte)et suiventune asymptoted’angle de π P 2 quandK prenddegrandesvaleurs.
A partir de ce trace on notequequ’a partir de la va-leur K 1 X 6875lespolesdela bouclefermeesortentdudisqueunite.Onendeduitqueabouclefermeeeststableuniquementsi 0 1 K 1 1 X 6875.
Enplusdecesinformations,le lieu d’Evanspermetdeconclurequequellequesoit la valeurdeK le systemeest
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag
Axi
s
FIG. 4.4– Lieud’EvansobtenuavecMatlab
composededeuxmode.L’un reeldevientdeplusenplusrapidea mesureque K est grand(le pole se rapprochedel’origine). Le secondmodequanda lui estdeplusenplusoscillantet deplusenplus lent a mesurequeK estpris grand(partie imaginairedu pole et le moduleaug-mentent).
Root Locus
Real Axis
Ima
g A
xis
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.12.2
1.881.57
1.26 System: untitled1 Gain: 0.848 Pole: −0.292 + 0.592i Damping: 0.201 Overshoot (%): 52.5 Frequency (rad/sec): 2.07
FIG. 4.5– Zoomsur le lieu d’Evanset choixd’un gain
De cesconstations,il estpossibledefaire unchoix deK envued’assurerunerapiditeglobaleausystemeetevi-terdetropgrandesoscillations(voir section2.3.3pourladefinition decesproprietes).Si l’objectif du choix deKestd’avoir unamortissementdeζ 0 X 2 il estpossiblede
36 CHAPITRE4. SYNTHESE: GAIN DE RETROACTION
choisirdirectementsurla courbela valeurdeK associee.Ceciestfait sur le zoomdela figure4.5.Le point selec-tionneestsur la courbeiso-amortissementζ 0 X 2. Mat-lab renvoie la valeurdu gainK 0 X 848correspondantetindiquequela pulsationproprenonamortieassocieeestde 2 X 07rad P s (en ayantfait le choix de T 1s pour laperiodedesechantillons). GExemple4.2 Reprenonsl’exemple3.7.La stabilitedumodeleechantillonneboucledependduchoixdel’ echan-tillonnageT . Ce resultatseretrouve quandon traceleslieu d’Evansdesdeuxsystemes
G z$ 6 B0 p 1p p ) 1 8
obtenusaveclesdeuxechantillonnageT 1setT 10s.
T=10s
Real Axis
Imag
Axi
s
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1T=1s
Real Axis
Imag
Axi
s
−2 −1 0 1
−1
−0.5
0
0.5
1
FIG. 4.6– Lieud’EvanspourdifferentesvaleursdeT
Les courbes4.6 montrentque le choix de la perioded’echantillonnagemodifie fortementle type decompor-tementatteignableparla bouclefermee. G4.3 Calcul du gaindepr e-commande
Un gainde retroactionK etantchoisi, le gainde pre-commandeKc estutilise pour regler le gain statiquedusystemeenreponsea la consigne.
Definition 4.2 Le gain statiqued’un systemeestla va-leur a l’infini de la sortie du systemeen reponsea unechelon unite. Il caracterise egalementle rapport entrel’entreeet la sortiequandle systemeesta l’ equilibre.
Theoreme4.1 Legainstatiqued’un systemedecrit parsafonctiondetransfertF z estdonnepar:
Fs limzA 1
F z
Preuve Soit l’ echelonunite U z@ zz# 1, la reponse
dusystemeacetechelonestY z¬ F z U z . D’apresletheoremedela valeurfinalela sortiedusystemeconvergevers:
y∞ limzA 1
1 / z# 1 Y z. limzA 1
1 / z# 1 F z U z. limzA 1
F zCequi d’apresla definitioncorrespondaugainstatique.
xCommenousl’avonsindique,legaindepre-commande
permetderegler le gainstatiquedela boucleenreponsea la consigne.Eneffet, la reponsedusystemeregulepourunsignaldeconsigneyc s’ecrit:
Y zYc z KcKG z
1 ) KG zet songainstatiqueestdonnepar(la limite quandz tendvers1 estatteintedeslors quele systemeestasymptoti-quementstable):
Fs KcKG 11 ) KG 1
Onsouhaitegeneralementreglercegainstatiqueal’unit e.Ainsi, quandl’utilisateurenvoie uneconsigneconstante,yck yco, le systeme,stablepar le choix deK, converge
versla valeurdeconsigne,ykk A ∞/
yco.
Pourassurerungainstatiqueunitaireonprend:
Kc 1 ) KG 1KG 1
4.4 Exercices
Exercice4.1
On considere le systemede l’exercice1.1 de la page11. Il s’agit de l’ evolution du chepteld’un eleveur debovins ou l’action de commandeconsistea acheterouvendredesvacheset la mesureest la sommetotale debovins.Onrappellequele modeleestdonnepar:
G z 2 X 5z2 ) z / 12 X 5z3 / 1 X 75z2 / 2z ) 0 X 4
1. Etudierla stabilitedusystemeenboucleouverte.
2. On considere une loi de commandestatiquetelleque:
uk K Kcyc / yk Etudier la stabilite et le comportementen regimetransitoirede ce systeme en fonction de K. Illus-trer le comportementdecesystemepourdesvaleursremarquablesde K en considerantque la consignefixeepar l’ eleveur estd’avoir un cheptelde trentevaches(yc 30).
4.4. EXERCICES 37
Solution
1. LespolesdeG z sont:
λ1 H/ 0 X 72 λ2 1 X 24 λ3 0 X 18
Le systemeestdoncinstable.Il possededeuxmodesstableset un modeinstableaperiodique(λ2 1).Ceci signifie que toute initialisation non nulle dutroupeauconduit a une augmentationtendantversl’infini dela population.
2. Le trace du lieu d’Evansdu systemeestdonne surla figure 4.7. Il permetde voir que la stabilite estatteinteuniquementpour1 X 86 K 0 X 33.Onpeutalorsdistinguerplusieurstypesde choix de K quiassurela stabilite:
Root Locus
Real Axis
Ima
g A
xis
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: G Gain: 0.322
Pole: 1.01 Damping: −1
Overshoot (%): Inf Frequency (rad/sec): 0.0113
System: G Gain: 1.86 Pole: −0.874 − 0.464i Damping: 0.00375 Overshoot (%): 98.8 Frequency (rad/sec): 2.65
FIG. 4.7– Lieud’Evans
a - Si K estprisassezprochede0 X 33.Alors lestroispolessontreelsetstableset l’un despolesestoscil-lant carnegatif. Cequi dominedanscecasc’est lemodeassocie aupoleprochez 1. Il estdemoduleeleve cequi conduitaunsystemeboucle treslent.
A titre d’illustration, la reponsedu systemea l’ etatinitial x0 estrepresenteesur la figure4.8 avec K 0 X 4.Le traceestfait avecunchoixdeKc 0 X 15afind’assurerun gainstatiqueunitaireet lespolesdelabouclefermeesont:
λ1 0 X 96 λ2 H/ 0 X 66 λ3 0
Ce choix de regulation ne convient pasa l’ eleveurqui ne souhaitepas attendre100 anneesavant deconstituersontroupeau.
Pouraccelererle processusonpeutprendreK 0 X 7.CelaimpliquedeprendreKc 0 X 5143etlespolesde
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
5
10
15
20
25
30K=0.4
annees (sec)
Nom
bre
de v
ache
s
FIG. 4.8– Evolutiondu troupeaupourK 0 X 4la bouclefermeesontalors:
λ1 0 X 82 λ2 / 0 X 55 λ3 H/ 0 X 27
L’ evolution du troupeauestplus rapide(voir figure4.9).
0 5 10 15 20 250
5
10
15
20
25
30
K=0.7, Kc=0.5143
annees (sec)
Nom
bre
de v
ache
s
FIG. 4.9– Evolutiondu troupeaupourK 0 X 7b - Si K estpris superieur a 0 X 76 (valeurpour la-quelle un desmodesdevient complexe). Alors onpeuts’attendreadesphenomenesoscillantmaiseven-tuellementavecuneconvergencedunombredebetesassezrapide.
A titre d’illustration, la reponsedu systemea l’ etatinitial x0 estrepresenteesur la figure4.10avecK 1. Le trace estfait avec un choix deKc 0 X 66 afind’assurerun gainstatiqueunitaireet lespolesdelabouclefermeesont:
λ1 0 X 72 λ2e 3 / 0 X 51 j0 X 27
La figure4.11montreplusendetail l’ evolution ex-actedunombredevachesparcategories.Onconstateuneconvergencerapideversunequilibretel qu’il y aenviron 12vachesdemoinsd’un anet12vachesde
38 CHAPITRE4. SYNTHESE: GAIN DE RETROACTION
0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
K=1, Kc=0.66
annees (sec)
Nom
bre
de v
ache
s
FIG. 4.10– Evolutiondu troupeaupourK 1
0
5
10
Mo
ins d
e 1
an
0
5
10
2 a
ns
0
10
20
plu
s d
e 3
an
s
0 2 4 6 8 10 12
−10
0
10
20
ach
ats
K=1, Kc=0.66
annees
No
mb
re d
e v
ach
es
FIG. 4.11– Evolutiondu troupeaupourK 1
deuxans.Le nombredevachesde trois anset plusconvergevers6 et l’ eleveurvendpresde10 vacheschaqueannee. La strategie sembleetre de consti-tuerdesla premiereanneeuntroupeaude20vachesageeset ensuitetres vite l’ eleveur finit par vendrelesvachesenexces.
c - Si K estprisprochede1 X 86.Alors le systemeestprochede l’instabilit e et le modedominantestunmodeoscillant.
A titre d’illustration, la reponsedu systemea l’ etatinitial x0 estrepresenteesur la figure4.12avecK 1 X 86.Le trace estfait avecunchoixdeKc 0 X 8172afin d’assurerun gain statiqueunitaireet les polesdela bouclefermeesont:
λ1 0 X 59 λ2e 3 / 0 X 88 j0 X 46
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
K=1.86, Kc=0.8172
annees
Nom
bre
de v
ache
s
FIG. 4.12– EvolutiondutroupeauK 1 X 86
Cechoix deregulationneconvient evidementpasal’ eleveur.
Exercice4.2
Onconsiderele procededecritparla fonctiondetrans-fert continue:
G p 1p2 ) 1
1. Etudier la stabilite et le comportementen regimetransitoireduprocededefonctiondetransfertG p .
2. Calculerla fonctiondetransfertG z deceprocedeechantillonneselonle schemadela figure4.13,pouruneperioded’echantillonnageT π P 2s.
TB0 p y t ykuk
Procedeu t
FIG. 4.13– Procede echantillonne
3. Ce systemeestboucle par un retourunitaireselonle schemade la figure 4.14.Etudiersa stabilite enfonctiondeK 0.
+ ykykc / K G zFIG. 4.14– Systemeboucle
4.4. EXERCICES 39
Solution
1. Lesmodesdusystemesontp j . Le systemeestdoncenlimite destabiliteoscillatoireavecunepul-sationpropreω 1rad P s.
2. La fonctiondetransfertdusystemeechantillonneestdonneepar:
G z~ z# 1z s Gc pd
pt z# 1
z s 1pc p2 1d t z# 1
z s 1p / p
p2 1t z# 1
z zz# 1 / z2
z2 1 z 1
z2 1
3. L’applicationducriteredeJuryconduita:/ 1 1 K 1 0
quiestincompatibleaveclaconditionK 0.Lesys-temeboucleavecK 0 estdonctoujoursinstable.
Chapitre5
Synthese: Transpositiondesmethodesanalogiques
La synthesede correcteursnumeriquespar extensiondecorrecteursanalogiquesestuneapprochecourammentutiliseedansle domaineindustriel.Celas’explique parle fait queles techniquesd’etudedessystemescontinussont generalementbien maıtriseeset que les specifica-tionssontplusfacilementinterpretablessurdesmodelescontinusquesurdesmodelesechantillonnes.
On s’interessed’abord a desmethodesrelevant de ladiscretisationdirected’un correcteuranalogiquecalculea partir du modelecontinudu procede a commander. Onexamineensuitedesmethodesdesynthesedanslesquellesle correcteurestconcu a partir d’un modele prenantencomptedemaniereapprocheel’existencedubloqueurenamontdu procede. On examineensuitede manierede-taill eela discretisationdu correcteuranalogiquele plusrepandu,le regulateurP.I.D.
5.1 Discretisation
Cetteapprochesupposequel’on ait realise la synthesed’un correcteuranalogiqueparlesmethodesd’etudedessystemescontinus.On recherchealorsunalgorithmenu-meriquequi serapprochele pluspossibledu correcteuranalogique,en faisantdesapproximationsde la variablede Laplace p, ou sur les poles et zeros de la fonctionde transfertdu correcteuranalogique.Si on raisonneentermesde fonctionsde transfert,on cherchea obtenir lafonctiondetransfertR z d’un correcteurnumeriqueparapproximationdecelled’un correcteuranalogiqueR p ,commeillustresurla figure5.1.
5.1.1 Approximationsde la variable p
Le principede l’approcheconsistea deduireun cor-recteurRd z du correcteurRc p enchoisissantuneap-proximationdela variablep, selonle schemadela figure5.2.
¥ ¦uk
¥ ¦yck
T
yc t |G p|
B0 p| G p| y t | yk
y t |discretisation
Rd z|Rc p|
FIG. 5.1– Discretisationd’un correcteuranalogique
ukε t εku t p f zRc p Rd z
FIG. 5.2– Approximationdela variable p
Lesapproximationslesplusutiliseessontlessuivantes:
discretisation avant : p z# 1T
Elle resultedel’approximationdeladeriveed’unefonc-tion entredeuxinstantsd’echantillonnageparla methoded’Euler: # 1 pX p 4 dx t
dt ± x t ) T R/ x t T
² # 1 6 z / 1T
X z 8discretisation arri ere: p z# 1
zT
Elle resultede l’approximationsuivantede la derivee
41
42 CHAPITRE5. SYNTHESE: TRANSPOSITIONDESMETHODESANALOGIQUES
d’unefonctionentredeuxinstantsd’echantillonnage: # 1 pX p 4 dx t dt ± x t R/ x t / T
Tu # 1 6 z / 1
zTX z8
approximation deTustin : p 2T
z# 1z 1
Cetteapproximation,connueegalementsousle nomde transformationbilineaire,resultede l’approximationde l’int egrationnumeriquepar la methodedestrapezes.Eneffet, soit:
y t " x t dt / Y p 1
pX p
Par approximationentredeuxinstantsd’echantillonnage,il vient:
yk y kT yk # 1 ) xk l 1 xk
2 T³ 1 / z# 1 Y z T2 1 ) z# 1 X z
soit la formule:
Y z T2
z ) 1z / 1
X zUn inconvenientdesapprochespar approximationde
la variablede Laplacep est qu’elles peuvent modifierl’ echelledespulsationsdela reponsefrequentielleducor-recteurquel’on a discretise,cequi peutetregenantdansle casd’un filtre passe-bandeparexemple.Cet effet estconnusousle nomdedistorsionfrequentielle(frequencywarping).
Examinonssesconsequencesdansle casdel’approxi-mationdeTustin.Soit un correcteuranalogiquedefonc-tion de transfertRc p . Sareponsefrequentielleestde-termineeparla fonctioncomplexe Rc jω . Le regulateurdiscretobtenupar la methodedeTustin a pour fonctiondetransfert
Rd z Rc 2T
z / 1z ) 1
Enutilisantla relationz eTp e jTω (voir section1.4.3),sa reponsefrequentielleest determinee par la fonctioncomplexe:
Rd ´ ejTω µ¶ Rc ´ 2T
e jTω · 1e jTω ¸ 1
µ¶ Rc ´ j2T
tgωT2
µ¹¶ Rc ´ jω µManifestementla discretisationinduit deserreurssur lecomportementfrequentiel.Cecipeutetrecorrige auvoi-sinaged’une frequenceparticuliere.On peut mettreenœuvreuneadaptationpourquele gainenamplitudedesdeuxcorrecteurs(continuet equivalentdiscret)soit iden-tique a unepulsationparticuliereωc choisiepar l’utili-sateur, parexemplela pulsationdecoupureducorrecteur
continu.Eneffet,si l’on choisitcommeapproximationdeTustinadaptee(frequency prewarping):
p ¶ ωc
tgωcT2
z · 1z ¸ 1
il vient,pourla pulsationωc :
Rd ´ ejTωc µ¶ Rc ´ jωc
tgωcT2
tgωcT
2µ¶ Rc ´ jωc
µLes deux correcteurssont donc bien frequentiellementequivalentspourla pulsationωc.
5.1.2 Adaptation despoleset deszeros
Cetteapproche(matchedpole-zeromethod)consistea appliquerla transformationz ¶ eT p aux poleset auxzerosde la fonction de transfertdu correcteurcontinu,avec un facteurmultiplicatif permettantde conserver legainauxbassesfrequencesc’est-a-direpour p º 0 oubienz º 1.
Par exemple,le correcteuranalogique:
Rc ´ pµ¶ p ¸ ap ¸ b
estapproche parle correcteurdiscret:
Rd ´ zµV¶ ab
1 · e» bT
1 · e» aT
z · e» aT
z · e» bT
Une precautiona prendrelorsquele degre du nume-rateurest inferieur a celui du denominateur, consisteaintroduireaunumerateurducorrecteurdiscretdestermes´ z ¸ 1µ pourconserver ungainnul auxhautesfrequencesenretablissantdesdegresidentiques.Cecisejustifie parle fait quele theoremede Shannonlimite la pulsationaω ¶ π ¼ T, soit z ¶ ejTω ¶ · 1. La valeurz ¶ · 1 joueendiscretle memerolequeω ¶ ∞ encontinu.
Ainsi, le correcteuranalogique:
Rc ´ pµ¶ p ¸ a´ p ¸ bµ ´ p ¸ cµestapproche parle correcteurdiscret:
a2bc
´ 1 · e» bT µ ´ 1 · e» cT µ1 · e» aT
´ z ¸ 1µ ´ z · e» aT µ´ z · e» bT µ ´ z · e» cT µ5.1.3 Application
Position du probleme
On considerele procede represente par la fonctiondetransfert:
G ´ pµ¶ 5p ´ p ¸ 1µ
5.1. DISCRETISATION 43
Le gain de boucleayantete fixe a 5 pour satisfairedesconditionsde precision.On veut faire la synthesed’unreseaucorrecteurpermettantd’obtenir pour le systemeboucleunemargedephaseφm
¶ 45o.
10-1
100
101
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-1
100
101
-60
-90
-120
-150
-180
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
FIG. 5.3– ReponsefrequentielledeG ´ pµA partirdescourbesdereponseenfrequence(figure5.3)
dansle plandeBodedela fonctiondetransfertG ´ pµ , ondetermineun reseaucorrecteurparavancedephase:
Rc ´ pµ¶ 1 ¸ 0 ½ 53p1 ¸ 0 ½ 21p
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-1
100
101
102
-60
-90
-120
-150
-180
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
FIG. 5.4– ReponsefrequentielledeRc ´ pµ G ´ pµLescourbesdereponseenfrequencedeRc ´ pµ G ´ pµ (fi-
gure5.4) permettentde verifier quel’on obtientbien lamargedephasesouhaiteeφm
¶ 45o.
La commandeen sortiedu correcteurRc ´ pµ et la re-ponseen bouclefermee du systemeainsi corrige, pouruneconsigneenechelonunitaire,sontdonneesfigure5.5.
Ondesireetudierle comportementdecesystemedansle casd’un regulateurnumeriquecalcule par discretisa-tion duregulateuranalogiqueprecedent,pouruneperioded’echantillonnageT ¶ 0 ½ 3s.
Calcul descorrecteurs
Les correcteurs(sousforme de fonctionsde transfertenz) obtenusparlesdifferentesapproximationssontdon-nesci-apres:
– discretisationsdirectesdep.
Avec p ¶ z» 1T , il vient:
Rd ´ zµ¶ 0 ½ 53z · 0 ½ 230 ½ 21z ¸ 0 ½ 09
Avec p ¶ z» 1zT , il vient:
Rd ´ zµ¶ 0 ½ 83z · 0 ½ 530 ½ 51z · 0 ½ 21
– methodedeTustin
Rd ´ zµ¶ 1 ½ 89z · 1 ½ 06z · 0 ½ 17
– methodede Tustin avec elimination de distorsionfrequentielle(prewarp,enprenantwc
¶ 5rd ¼ s).
Rd ´ zµ¶ 1 ½ 81z · 0 ½ 87z · 0 ½ 06
– methodedeconversiondespoleset deszeros(mat-chedpole-zeromethod).
Rd ´ zµ¶ 1 ½ 76z · 0 ½ 99z · 0 ½ 24
Etude du systemeboucleaveccorrecteur numerique
Lesreponsesdessystemesobtenuespourlesdifferentscorrecteursnumeriquessontdonneessur lesfiguressui-vantes:
– discretisationsdirectesde p : figures5.6et 5.7.
– methodedeTustin: figure5.8.
– methodede Tustin avec elimination de distorsionfrequentielle(prewarp),enprenantwc ¶ 5rd ¼ s: fi-gure5.9.
– methodedeconversiondespoleset deszeros(mat-chedpole-zeromethod): figure5.10.
On notequelesdifferentesmethodesconduisenta descorrecteursrelativementsimilairesmemesidansl’ensembleles systemescorriges par des regulateursdiscretssontpluslentset plusoscillantsqueavecRc ´ pµ .
44 CHAPITRE5. SYNTHESE: TRANSPOSITIONDESMETHODESANALOGIQUES
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1
0
1
2
3
Time (secs)
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
Time (secs)
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.5– CommandeetreponseindicielledeRc ´ pµ G ´ pµ
0 1 2 3 4 5 6-1
0
1
2
3
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.6– Reponses(correcteurdiscretiseavecp ¶ z» 1T )
0 1 2 3 4 5 6-2
-1
0
1
2
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.7– Reponses(correcteurdiscretiseavecp ¶ z» 1zT )
0 1 2 3 4 5 6-2
-1
0
1
2
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.8– Reponses(methodedeTustin)
0 1 2 3 4 5 6-1
0
1
2
Temps
Am
plitu
deCommande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.9– Reponses(methodedeTustinavec“pr ewarp”)
0 1 2 3 4 5 6-2
-1
0
1
2
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.10– Reponses(matchedpole-zero method)
5.2. PRISEEN COMPTEDU BLOQUEURDANS LA SYNTHESE 45
5.2 Priseencomptedu bloqueur dansla synthese
Lesmethodespresenteesdansle paragrapheprecedentneprennentpasencomptela presencedansla boucledubloqueurd’ordrezero.Si l’on reprendla logiquedela fi-gure5.1,on notequ’ellesupposequeRd ´ zµ serauneap-proximationdeRc ´ pµ et devrait doncsatisfairela bouclerealiseeavec un operateurGd ´ zµ dont le comportementseraittresprochedeG ´ pµ . Danscettelogiquecelarevienta ignorerle comportementdubloqueur, B0 ´ pµ . Cecipeutdevenir tresprejudiciablesi l’ echantillonnageT et elevecardanscecasle comportementde ¾¿ Bo ´ pµ G ´ pµ À sedis-tinguefortementdecelui deG ´ pµ .
Nouspresentonsci-apresdesmethodesprenantencomptel’existencedu bloqueurd’ordrezero, demaniereexacteouapprochee.
5.2.1 Approximation du bloqueur par un re-tard pur eÁ T p
2
Dansce cas,la syntheseestrealiseecommedanslesmethodesduparagraphe5.1,maisla fonctiondetransfertduprocede estchoisieegalea:
e» T p2 G ´ pµ
Cequi revient a faire l’approximationle bloquerd’ordrezerocommeun retardpur d’unedemieperioded’echan-tillonnageet detenir comptedecetteapproximationlorsducalculinitial deRc ´ pµ .
Consideronsle procededela section5.1.3etla perioded’echantillonnage:
G ´ pµ¶ 5p ´ p ¸ 1µ T ¶ 0 ½ 3s
Lescourbesdereponseenfrequencedela fonctiondetransfert
e» T p2 G ´ pµ
sontrepresenteessur la figure 5.11.Sur la memefiguresontrepresenteesegalementles courbesde reponsefre-quentiellede G ´ pµ . On remarqueraque le gain en am-plitudeestidentique,maisquele retardpur introduit undephasageaux hautesfrequences(le dephasagedivergepourω croissant).
On calculepour e» T p2 G ´ pµ un reseaucorrecteurpar
avancedephase:
Rc ´ pµ¶ 1 ¸ 0 ½ 6p1 ¸ 0 ½ 1p
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
Mag
nitu
de (
dB)
−40
−20
0
20
40
10−1
100
101
−270
−225
−180
−135
−90
FIG. 5.11– DiagrammedeBodedeG ´ pµ et e» T p2 G ´ pµ
qui conduitaunemargedephasedeφm¶ 35o. Par la me-
thodedeTustin,la discretisationdececorrecteurdonne:
Rd ´ zµV¶ 3z · 1 ½ 8z ¸ 0 ½ 2
La reponsedu systemeechantillonneutilisantcecorrec-teurestdonneefigure5.12.
0 1 2 3 4 5 6-2
-1
0
1
2
3
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.12– Reponses(correcteurtenantcomptedu blo-queur)
5.2.2 Transformation en w
Cetteapprocheesttresdifferentedesprecedentes.Au-cuneapproximationn’est faite a aucunmoment.L’id eeestde faire la synthesea partir du modele exact G ´ zµ¶¾¿ B0 ´ pµ G ´ pµ À . Cependant,la syntheseutilise les tech-niquesdessystemescontinuau traversde l’astucepure-mentmathematiquede la transformationenw (voir sec-tion 3.4egalement).
46 CHAPITRE5. SYNTHESE: TRANSPOSITIONDESMETHODESANALOGIQUES
On commenceparcalculerle modele discretde l’en-semblebloqueur+ procede:
F ´ zµ¶ ¾¿ B0 ´ pµ G ´ pµ ÀOnutiliseensuitela transformationenw :
z ¶ 1 ¸ w1 · w  º w ¶ z · 1
z ¸ 1
pourdefinirensuiteunefonctiondetransfertdetypecontinu:
F ´ zµ · º Fc ´ wµ¶ F à 1 ¸ w1 · w Ä
La transformationmathematiquefait que si le systemecontinuFc ´ wµ eststable,alorsF ´ zµ eststable.CependantFc ´ wµ n’a pasd’autresignificationphysique.
LasynthesedureseaucorrecteurHc ´ wµ s’effectuealorsselonune methodeclassiquede synthesedessystemescontinusappliqueea Fc ´ wµ . De cecorrecteuril vient parla transformationinverseen w la fonction de transfertH ´ zµ ducorrecteurnumeriquea utiliser:
H ´ zµ¶ Hc à z · 1z ¸ 1 Ä
Appliquonscetteapprocheauproblemeduparagraphe5.1.3.On calcule le modele discretde l’ensembleblo-queur+ procede:
F ´ zµ¶ ¾¿ B0 ´ pµ G ´ pµ À.¶ 0 ½ 204z ¸ 0 ½ 185z2 · 1 ½ 74z ¸ 0 ½ 74
Onutiliseensuitela transformationenw pourdefinir unefonctiondetransfertfictivedetypecontinu:
Fc ´ wµ¶ F à 1 ¸ w1 · w Ä ¶ · 0 ½ 019w2 · 0 ½ 37w ¸ 0 ½ 389
3 ½ 58w2 ¸ 0 ½ 52w
On effectuela synthesed’un reseaucorrecteura avancede phaseHc ´ wµ a partir descourbesde reponseen fre-quencedeFc ´ wµ representeesfigure5.13.
Le choixd’un reseaucorrecteur:
Hc ´ wµ¶ 1 ¸ 3 ½ 73w1 ¸ 0 ½ 74w
conduita unemarge dephasede φm¶ 35o. La transfor-
mationinverseenw permetd’obtenirla fonctiondetrans-fert H ´ zµ ducorrecteurnumeriquea utiliser:
H ´ zµ¶ Hc à z · 1z ¸ 1 Ä ¶ 4 ½ 73z · 2 ½ 73
1 ½ 74z ¸ 0 ½ 26
La reponsedu systemeechantillonneutilisantcecorrec-teurestdonneefigure5.14.
10-2
10-1
100
101
102
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Gai
n dB
10-2
10-1
100
101
102
-90
-180
-270
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
FIG. 5.13– DiagrammedeBodedeFc ´ wµ0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.14– Systemecorrigepar H ´ zµ5.3 RegulateurP.I.D. numerique
Le regulateurP.I.D. est tresrepandudansle domaineindustriel. Il constituel’outil standardde la commandedenombreuxprocedesindustriels.Concuinitialemententechnologieanalogique(hydraulique,pneumatique,elec-tronique,...),il a etetransposeennumeriquepourpouvoiretreimplantesurcalculateur. Cettetranspositionn’estriend’autrequel’applicationdela methodedediscretisationdela section5.1.
5.3.1 Rappelssur le r egulateur P.I.D. ana-logique
La formulationdebasedu regulateurP.I.D. estdonneeparla relationsuivante:
u ´ t µC¶ kp Å ε ´ t µ ¸ 1τi Æ t
0 ε ´ t µ dt ¸ τddε Ç t È
dt ÉÊJËU ´ pµ¶ kp Å 1 ¸ 1
τi p¸ τdpÉ¬Ì ´ pµ
5.3. REGULATEUR P.I.D. NUMERIQUE 47
ou ε representel’ ecartentrele signaldeconsigneyc et lesignaldesortiemesure duprocede y.
En pratique,desadaptationssontrealiseesa partir dela formulationdebase.
Adaptations de la partie derivee.
L’effet derivepur nepeutpasetreimplemente carnonrealisablephysiquement.Deplus,l’effetderivateurappli-queadehautesfrequencesconduiraitauneamplificationtrop importantedesbruits de mesure.En approchantletermeτdp parla fonctiondetransfert:
τdp
1 ¸ τd
Np
on limite a N le gain aux hautesfrequencesde la par-tie derivee.LesvaleursdeN sontgeneralementchoisiesdansla fourchette3-20,voir N ¶ 10pardefaut.
Enregulation,oneviteaussisouventdederiverle termedeconsignepoureviterdesvariationsbrusquesdelacom-mandelors dediscontinuitessurla consigne.
Enconclusion,l’effet derive peutetrepris suivantl’undestroismodelessuivants:
D ´ pµ¶ kpτdpÌ ´ pµÊlimitationssurleshautesfrequences
D ´ pµ¶ kpτd p
1Í τdN p Ì ´ pµÊ
limitationssurla consigne
D ´ pµ¶ · kpτd p
1Í τdN p
Y ´ pµAdaptations de la partie proportionnelle.
Pourla memeraisonquepour l’effet derive, on peutetreamene a n’injecterqu’unepartiedela consignedansle termeproportionnel.La precisionestmalgretoutassu-reegraceautermeintegral.
L’effetproportionnelpeutetreprissuivantl’un desdeuxmodelessuivants:
P ´ pµ¶ kp Ì ´ pµÊlimitationssur la consigne
P ´ pµ¶ kp ´ bYc ´ pµ · Y ´ pµbµavec0 Î b Î 1.
Adaptations de la partie int egrale.
Lapartieintegralepeutentraınerdeseffetsindesirableslorsque,enraisond’un signald’erreurtrop grand,l’int e-grateursature.L’actionneurrestealorsen butee,memelorsquela sortieduprocedevarie.Uneapprochepossiblepour eliminerceteffet consistea introduireun bouclagesur l’int egrateur, ramenantl’ ecartentrel’entreevk et la
sortie uk de la saturation(reelle ou simulee),avec uneconstanted’integrationτt . Le principedecetteadaptationestmontresur la figure5.15.
u¸ ¸ε
es
kpτdp
kp ¸ ¸·1τt
1p
v¸¸kp
τi
· y
FIG. 5.15– Adaptationdela partie integrale
La variablev, qui est la sortiedu P.I.D. classiquege-nerela commandeu a traversunesaturationsimulantlasaturationreellede l’actionneur. L’ ecartentreu et v estreboucle sur la partieintegraledu correcteur. Le schemadusystemepeutetreramene a celuidela figure5.16.¸
¸ ·v
u
es
P.I.D.
1pτt
FIG. 5.16– Schemaequivalent
Lorsquela commandesature,alorsu ¶ Cteestdetypeechelon.La bouclecomportantuneintegration,l’ ecartes
tendverszeroetv tenddoncversu ¶ Cte, entraınantunede-saturationdel’int egrateur.
Cecisetraduit,pourla partieintegraleducorrecteur, al’un desdeuxmodelessuivants:
I ´ pµ¶ kp1
τi p Ì ´ pµÊanti-derivedel’int egrateur
I ´ pµ¶ kp1
τi p Ì ´ pµ ¸ kp1
τt p ´ U ´ pµ · V ´ pµbµ5.3.2 Reglagedu P.I.D.
Le reglagedu regulateurP.I.D. passepar le choix desparametreskp, τi , τd, τt , b et N. Les parametresfonda-mentauxsontkp, τi etτd. Le parametreN estsouventfixe
48 CHAPITRE5. SYNTHESE: TRANSPOSITIONDESMETHODESANALOGIQUES
a la valeurpardefautN ¶ 10. La constantede tempsτt
estchoisiedansla fourchette¿ 0 ½ 1τi Ï τiÀ .
Pourla determinationdesparametreskp, τi et τd, desmethodesexperimentalesd’analysedu procede ont eteproposeesparZiegleret Nichols(entreautres).
Methodedela reponseindicielle :
Pourunsystemecaracterise parun retardpurTr etunepentea en regime transitoire,lesvaleursdesparametressont:
Type kp τi τd
P 1¼ aTr
PI 0 ½ 9¼ aTr 3Tr
PID 1 ½ 2¼ aTr 2Tr 0 ½ 5Tr
Methodedel’oscillation limite enbouclefermee:
Onbouclele systemeavecunregulateurproportionneldegainK. Si Ko estle gainmettantle systemeenoscilla-tion limite deperiodeTo, lesvaleursdesparametressont:
Type kp τi τd
P 0 ½ 5Ko
PI 0 ½ 45Ko To ¼ 1 ½ 2PID 0 ½ 6Ko To ¼ 2 To ¼ 8
5.3.3 Equations d’un correcteur P.I.D. nu-merique
Ayantfait unchoixdemodelepourleP.I.D. etayantre-glelesparametresil estpossibled’appliquerceregulateurauxsystemeechantillonnesparla techniquedediscretisa-tion. Prenonsparexemplele choix d’uneapproximationarriere.
La partieproportionnelles’ecritdoncsuivantl’une desdeuxformules:
pk¶ kpεkÊ
limitationssurla consigne
pk¶ kp ´ byck
· ykµ
avec0 Î b Î 1.
La partieintegraleverifie l’une desdeuxequationsre-currentes:
ik¶ ik » 1
¸ kpTτi
εkÊanti-derivedel’int egrateur
ik¶ ik » 1
¸ kpTτi
εk¸ kpT
τt´ uk
· vkµ
La partiederiveeverifie l’une destrois equationsre-currentes:
dk¶ kpτd
T ´ εk· εk » 1
µÊlimitationssurleshautesfrequences
dk¶ τd
τd Í NT dk » 1¸ kpτdN
τd Í NT ´ εk· εk » 1
µÊlimitationssurla consigne
dk¶ τd
τd Í NT dk » 1· kpτdN
τd Í NT ´ yk· yk » 1
µL’algorithme general du P.I.D. numerique est donne
commela sommedestrois termes:
uk¶ pk
¸ ik ¸ dk
qui secalculententempsreel a la donneedu signalεk etdesvaleursprecedentes.
Adaptation predictivedel’err eur.
Lorsquelaperioded’echantillonnageesttroppetitepourquele tempsdecalculnepuisseplusetreneglige,l’hypo-thesedesynchronismeentreuk et εk peutconduirea desresultatserrones.OnmetalorsenœuvreunP.I.D. predic-teur. La valeurde εk estpreditepar la valeurεk obtenueparl’extrapolationlineaire:
εk· εk » 1
¶ εk » 1· εk » 2
c’estadire:εk
¶ 2εk » 1· εk » 2
qui estporteedansl’algorithmea la placedeεk.
5.3.4 Exemple d’application du P.I.D. nu-merique
Exemple5.1 A titre d’exemple,nouspresentonsici lesresultatsde simulationobtenusdansle casde la regula-tion parP.I. numeriqued’un procede continudefonctiondetransfert:
G ´ pµ¶ 1p ´ p ¸ 1µ
en presenced’un bloqueurd’ordre zero et avec unepe-riode d’echantillonnageT ¶ 1s. Les parametresdu cor-recteursontfixesa:
kp¶ 1 b ¶ 1 τi
¶ 5s τt¶ 5s
Lafigure5.17donnele resultat(commandeetsortie)dansle casou il n’y a pasde saturationde l’organedecom-mande.La figure5.18correspondaucasou l’amplitudede la commandeest saturee a 0,1 en valeur absolueetou il n’y a pasd’adaptationdu regulateur. La figure5.19montrel’effet ducorrecteurdesaturation. Ð
5.4. EXERCICES 49
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.17– Reponseindicielledusystemeboucle
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.18– Reponseavecsaturationdela commande
5.4 Exercices
Exercice5.1
On considerele systemecontinudefonctiondetrans-fert :
G ´ pµ¶ 1p
1. Etudierle comportementenfonctiondeK decesys-temelorsqu’onle boucleavecun regulateur:
Rc ´ pµ¶ Kp ¸ 1
2. On decidede mettreen œuvreune regulation nu-meriqueet onchoisituneperioded’echantillonnageT ¶ 1s. CalculerlesregulateursnumeriquesobtenuspardiscretisationdeR pµ enutilisantlesapproxima-tionssuivantes:
p ¶ z · 1T
p ¶ z · 1zT
p ¶ 2T
z · 1z ¸ 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Temps
Am
plitu
de
Commande du systeme
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
Temps
Am
plitu
de
Sortie du systeme
FIG. 5.19– Reponseindicielleavecanti-derive
3. Etudieren fonction de K le comportementdu sys-temeechantillonneboucleavecbloqueurd’ordrezero,enpresencedecesdifferentsregulateurset compa-rer avec la regulationcontinue(lieu d’Evans,limitedestabilite,comportementenregimetransitoire).
Solution
1. Le systemecontinuboucle a pourequationcaracte-ristique
1 ¸ Kp ´ p ¸ 1µ ¶ 0
soit l’ equationcaracteristique:
p2 ¸ p ¸ K ¶ 0
Le systemeestdoncasymptotiquementstable,quelquesoit K Ñ 0, avecle comportementsuivant
0 Î K Î 1¼ 4 aperiodique
K Ñ 1¼ 4 oscillatoire
2. Lesdifferentesapproximationsconduisentauxregu-lateursnumeriques
p ¶ z · 1 º Rd ´ zµ¶ Kz
p ¶ z · 1z
º Rd ´ zµ¶ Kz2z · 1
p ¶ 2z · 1z ¸ 1
º Rd ´ zµ¶ K ´ z ¸ 1µ3z · 1
3. Lestrois regulateursconduisentrespectivementauxresultatssuivants.
50 CHAPITRE5. SYNTHESE: TRANSPOSITIONDESMETHODESANALOGIQUES
Casno 1
Equationcaracteristique
z z · 1µ ¸ K ¶ 0
Le lieu d’Evansestrepresentesurla figure5.20.Lesconditionsdestabilitesont:
Stabiliteasymptotique 0 Î K Î 1
aperiodique 0 Î K Î 1¼ 4
oscillatoire 1¼ 4 Î K Î 1
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag
Axi
s
FIG. 5.20– Lieud’Evanscasn0 1
Casno 2
Equationcaracteristique´ z · 1µ ´ 2z · 1µ ¸ Kz ¶ 0
Le lieu d’Evansestrepresentesurla figure5.21.Lesconditionsdestabilitesont:
Stabiliteasymptotique 0 Î K Î 6
aperiodique 0 Î K Î 0 ½ 17
oscillatoire 0 ½ 17 Î K Î 3
doublementoscillatoire 3 Î K Î 5 ½ 82
oscillatoire 5 ½ 82 Î K Î 6
Casno 3
Equationcaracteristique´ z · 1µ ´ 3z · 1µ ¸ K ´ z ¸ 1µ¬¶ 0
Le lieu d’Evansestrepresentesurla figure5.22.Lesconditionsdestabilitesont:
Stabiliteasymptotique 0 Î K Î 2
aperiodique 0 Î K Î 0 Ï 63
oscillatoire 0 Ï 63 Î K Î 2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag
Axi
s
FIG. 5.21– Lieud’Evanscasn0 2
−4 −3 −2 −1 0 1 2−3
−2
−1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
FIG. 5.22– Lieud’Evanscasn0 3
INDEX 51
Index
amortissement,22,35
bloqueurd’ordrezero,4, 45branchesasymptotiques,34
cadence,1, 11causalite,6, 15convertisseur
analogique-numerique,4numerique-analogique,4
criteredeJury, 28,30,33criteredeRouth,28,33
decompositionenelementssimples,9, 17discrerisation,41
arriere,41avant,41matchedpole-zero,42Tustin,42
echantillonnagetabledeconversion,5
echantillonneur, 4equationrecurrente,6, 11,15
fonctiondetransfert,6echantillonnee,8formeenz» 1, 6formepole,zero,gain,6
gaindepre-commande,36gainderetroaction,33gainstatique,36
lieu d’Evans,34loi decommande,33
moded’un systeme,18modeaperiodique,18modecomplexe,19modeentrennu,19modeoscillatoire,18,19modereel,18
ordredusysteme,7, 11oscillations,21
P.I.D.
analogique,46numerique,48
perioded’echantillonnage,4, 7, 11,16,36polesd’un systeme,6, 11,26,34pointd’equilibre,25pointsderencontreetd’eclatement,34polynomecaracteristique,7, 28,29pulsationpropre,22,36
regimeforce,17reponsepile, 18retardpur, 45
signala tempscontinu,1a tempsdiscret,1echantillonne,3
signalborne,26stabilite,25,26
asymptotique,25,26BIBO, 26globale,25interne,25
systemeechantillonne,7, 10,29systemesinterconnectes,12
tempsdereponse,22theoremedeShannon,4, 7, 17transformeedeLaplace,1, 5transformeeenw, 29,45transformeeenz, 1, 5, 11
linearite,2produitdeconvolution,2theoremedel’avance,2theoremedela sommation,2, 3theoremedela valeurfinale,2, 3, 36theoremedela valeurinitiale, 2theoremedu retard,2, 3, 9
zerosd’un systeme,6, 34
TABLE DESMATIERES 53
Tabledesmatieres
1 Modelesdessystemesa tempsdiscret 11.1 Signala tempsdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Definitiondela transformeeenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Proprietesdela transformeeenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Exemplesdetransformeesenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Signalechantillonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Conversionanalogiquenumerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Conversionnumeriqueanalogique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Systemea tempsdiscret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Equationrecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Fonctiondetransfertenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Systemeechantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Fonctiondetransfertechantillonnee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Proprietesdumodeleechantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Reponsedessystemesa tempsdiscret 152.1 Calculdela reponse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 A partirdel’ equationrecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 A partirdela fonctiondetransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Reponsesechantillonnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Notiondemodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Modereel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Modecomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Caracterisationdesmodesparanalogieaveclessystemescontinus. . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Superpositiondesmodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Stabilit edessystemesa tempsdiscret 253.1 Stabilite internedessystemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 StabiliteBIBO dessystemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 CriteredeJury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 CriteredeRouth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Systemesechantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.1 Etudeenboucleouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5.2 Etudeenbouclefermee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Synthese: Gain de retroaction 334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Calculdugainderetroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
54 TABLE DESMATIERES
4.2.1 CriteresdeJuryetRouth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Calculdugaindepre-commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Synthese: Transpositiondesmethodesanalogiques 415.1 Discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Approximationsdela variablep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.2 Adaptationdespolesetdeszeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Priseencomptedubloqueurdansla synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1 Approximationdubloqueurparun retardpure» T p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2 Transformationenw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 RegulateurP.I.D. numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 Rappelssurle regulateurP.I.D. analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.2 ReglageduP.I.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.3 Equationsd’un correcteurP.I.D. numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.4 Exempled’applicationduP.I.D. numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Index 51