Szilárdságtani számítások

Gyakorlati példák

Dr. Gönczi Dávid

I. Bevezető ismeretek

I.1 Definíciók

I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek

I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba

I.4 A lineáris rugalmasságtan általános peremértékfeladata

1.1. Tenzoralgebrai alapműveletek

Adott an alábbi három vektor:

𝐚 = 8𝐞𝑥 + 6𝐞𝑦 , 𝐛 = −3𝐞𝑥 − 𝐞𝒛, 𝐜 = 𝐞𝑥 + 2𝐞𝑦 + 3𝐞𝒛.

Végezze el az alábbi műveleteket:

(a) 𝐚 vektor és 𝐛 vektor skalár szorzata: 𝐚 ∙ 𝐛;

(b) 𝐚 vektor és 𝐛 vektor vektoriális szorzata: 𝐚 × 𝐛;

(c) 𝐚 vektor és 𝐛 vektor diadikus szorzata: 𝐚 ∘ 𝐛 = 𝐀;

(d) 𝐀 tenzor transzponáltja, mint 𝐛 ∘ 𝐚 = 𝐁 = 𝐀 𝑇;

(e) jobb skalár szorzat: 𝐚 ∘ 𝐛 ∙ 𝐜;

(f) bal skalár szorzat: 𝐜 ∙ 𝐚 ∘ 𝐛 ;

(g) A tenzor additív felbontása.

I. Bevezető ismeretek 1. Feladat

1.2. Tenzoralgebrai alapműveletek

Tekintsük az alábbi három vektort:

𝐚 = 4𝐞𝑥 + 6𝐞𝑦 − 𝐞𝒛, 𝐛 = −3𝐞𝑥 + 𝐞𝑦 − 𝐞𝒛, 𝐜 = −2𝐞𝑦 − 5𝐞𝒛.

Számítsa ki az alábbi mennyiségeket:

(a) 𝐚 és 𝐛 vektorok skaláris és vektoriális szorzata: 𝐚 ∙ 𝐛 és 𝐚 × 𝐛;

(b) 𝐚 ∘ 𝐛 = 𝐀;

(c) A tenzor transzponáltja: 𝐛 ∘ 𝐚 = 𝐁 = 𝐀 𝑇;

(d) ellenőrizze, hogy a következő azonosság teljesül: 𝐚 ∘ 𝐛 ∙ 𝐜 = 𝐚 𝐛 ∙ 𝐜 ;

(e) ellenőrizze, hogy 𝐜 ∙ 𝐚 ∘ 𝐛 = 𝐜 ∙ 𝐚 𝐛;

(f) A tenzor additív felbontása;

(g) 𝐀𝑎𝑠𝑧𝑖𝑚 tenzor vektorinvariánsa.

I. Bevezető ismeretek 2. Feladat

1.3. Tenzoralgebrai alapműveletek

Adott az alábbi u vektormező𝐮 = 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐞𝑥 + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐞𝑦 + 𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐞𝒛

Állítsa elő az alábbi mennyiségeket:

(a) a vektor divergenciáját: 𝐮 ∙ 𝛁;

(b) a vektor gradiensét: 𝐮 ∘ 𝛁;

(c) 𝛁 ∘ 𝐮 mátrixát;

(d) 𝛁 ∘ 𝛁 és (𝛁 ∘ 𝛁) ∙ 𝐮 mátrixait;

(e) 𝐮 × 𝛁 rotációját!

(f) Mi a kapcsolat a 𝐮 ∙ 𝛁 ∘ 𝛁 és u divergenciája között?

I. Bevezető ismeretek 3. Feladat

1.4. Tenzorok

Azt az esetet vizsgáljuk, amikor az 𝐚 vektort z tengely körül (I.2/b pontjához hasonlóan) a pozitív irányba φ szöggelelforgatjuk (→ 𝐚𝑟𝑜𝑡). Az elmozdulásvektor 𝐛 ebben az esetben 𝐛 = 𝐚𝑟𝑜𝑡 − 𝐚.

(a) Határozza meg annak a leképezésnek (tenzornak) a 𝐐𝑑𝑖𝑠𝑝 mátrixát, amely a b elmozdulásvektort rendeli

egy tetszőleges a vektorhoz!(b) Mi a kapcsolat az I.2/b pontban tárgyalt forgatótenzor és az imént számított 𝐐𝑑𝑖𝑠𝑝 tenzorok között?

φ

x

y

a

ba rot

I. Bevezető ismeretek 4. Feladat

1.5. Elméleti kérdés, indexes jelölésmód

(a) Igazolja, hogy a forgatótenzor ortogonális tenzor! (Ajánlatos az I.2/b. pontban kiszámított tenzoralakot

használni)

(b) Indexes jelölésmód segítségével írja fel a lineáris rugalmasságtan következő alapegyenleteit:

- kinematikai egyenlet

- anyagegyenlet anizotrop esetre (negyedrendű tenzorral),

- egyensúlyi egyenlet,

- dinamikai peremfeltétel.

(c) Indexes jelölésmód segítségével bizonyítsa az alábbi azonosságokat:

𝐚 ∘ 𝐛 ∙ 𝐜 = 𝐚 𝐛 ∙ 𝐜 ;

𝐜 ∙ 𝐚 ∘ 𝐛 = 𝐜 ∙ 𝐚 𝐛.

(d) Indexes jelölésmód felhasználásával határozza meg a B and 𝐃 tenzorok 𝐵𝑖𝑗 és 𝐷𝑖𝑗 koordinátáit:

𝐁 = 𝐀 × 𝛁;

𝐃 = 𝛁 × 𝐀 × 𝛁.

I. Bevezető ismeretek 5. Feladat

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot

II.1 A deformáció kinematikája

II.2 Nyúlásmértékek

II.3 Alakváltozási tenzorok

II.4 Kis alakváltozás

II.5 Nyúlásmérés

2.1 Egy-dimenziós, nagy alakváltozás problémája:

Az x tengellyel párhuzamos, egyik végén befogott, 𝑙0 = 100 mm hosszúságú rugalmas szál koordinátáit 𝑥0 jelöli0 ≤ 𝑥0 ≤ 𝑙0. A szálat a háromszorosára nyújtjuk, az egyenletesen megnyúlt rugalmas szál pontjainak koordinátáitx jelöli, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, ahol l a szál megnyúlt hossza.

(a) Írja fel az alakváltozást leíró 𝑥 𝑥0 , 𝑥0(𝑥) függvényeket!

(b) Határozza meg a rugalmas szál végpontjának megnyúlását, majd írja fel az 𝑢 𝑥0 , 𝑢(𝑥) elmozdulásfüggvényeket!

(c) Határozza meg a𝑑𝑢

𝑑𝑥és

𝑑𝑢

𝑑𝑥0deriváltak értékeit, majd döntse el, hogy a szál alakváltozása kis vagy nagy mértékű!

(d) Adja meg a nyúlás (vonalelem arány) függvényét 𝑥0 és 𝑥 koordináták függvényében! Íja fel az elmozdulás és anyúlás kapcsolatát a rugalmas szál esetére!

(e) Számítsa ki a mérnöki nyúlást, valódi nyúlást, a Lagrange- és Euler-féle, valamint a logaritmikus fajlagos

nyúlásokat!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 1. Feladat

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 2. Feladat

2.2 Egy-dimenziós, kis alakváltozási probléma:

Az x tengellyel párhuzamos, egyik végén befogott, 𝑙0 = 100 mm hosszúságú rugalmas acélszál koordinátáit 𝑥0

jelöli 0 ≤ 𝑥0 ≤ 𝑙0 . Az acélszálat az 1.003-szorosára nyújtjuk, az egyenletesen megnyúlt szál pontjainakkoordinátáit x jelöli, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, ahol l a szál megnyúlt hossza.

(a) Írja fel az alakváltozást 𝑥 𝑥0 , 𝑥0(𝑥) függvényeket!

(b) Határozza meg az acélszál végpontjának megnyúlását, majd írja fel az 𝑢 𝑥0 , 𝑢(𝑥) elmozdulás függvényeket!

(c) Határozza meg a𝑑𝑢

𝑑𝑥és

𝑑𝑢

𝑑𝑥0deriváltak értékeit, majd döntse el, hogy a szál alakváltozása kis vagy nagy mértékű!

(d) Adja meg a nyúlás (vonalelem arány) függvényét 𝑥0 és 𝑥 koordináták függvényében! Íja fel az elmozdulás és anyúlás kapcsolatát a vizsgált acélszál esetére!

(e) Számítsa ki a mérnöki nyúlást, valódi nyúlást, a Lagrange- és Euler-féle, valamint a logaritmikus fajlagos

nyúlásokat!

2.3 Két-dimenziós, nagy alakváltozási probléma:

Egy szilárd test Q jelű pontjának alakváltozás előtti koordinátáit 𝑥0 és 𝑦0 jelöli (kezdeti konfiguráció), alakváltozásutáni (pillanatnyi konfigurációban vett) koordinátái x és y. A kezdeti konfigurációban az 𝐞𝑥 és 𝐞𝑦 bázisvektorok

egy egységnyi oldalú négyzetet feszítenek ki, amely az alakváltozás után a 𝐞𝑥 → 𝐠𝑥 = 3𝐞𝑥 és 𝐞𝑦 → 𝐠𝑦 = 0.5𝐞𝑦vektorok által kifeszített téglalappá deformálódik.

(a) Írja fel az alakváltozást jellemző alakváltozási gradiens tenzor mátrixát, és adja meg invariáns alakban is!

(b) Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzort, majd döntse el, hogy az adott pontban az alakváltozás kis vagy

nagy mértékű!

(c) Számítsa ki a Q jelű pontbeli x0 és y0 anyagi vonalak 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 nyúlásait, majd határozza meg a kezdeti hosszra

vonatkoztatott fajlagos nyúlásokat (𝜀𝑥0, 𝜀𝑦

0)! Határozza meg az x0 és y0 anyagi vonalak 𝛾𝑥𝑦 szögtorzulásának

értékét!

(d) Írja fel a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzort!

(e) Határozza meg a Q jelű pontbeli n0 és m0 anyagi vonalak 𝐞𝑛 = 0.6𝐞𝑥 + 0.8𝐞𝑦 és 𝐞𝑚 = −0.8𝐞𝑥 + 0.6𝐞𝑦iránykijelölő egységvektorainak képeit, azaz a Q pontbeli deformálódott anyagi vonalak 𝐠𝑛 és 𝐠𝑚 vektorait!(f) Számítsa ki az n0 és m0 anyagi vonalak 𝜀𝑛

0, 𝜀𝑚0 mérnöki nyúlásait, majd a 𝛾𝑚𝑛 szögtorzulás értékét!

(g) Ábrázolja az 𝐞𝑛 és 𝐞𝑚 irányú anyagi vonalak deformációját, jelölje be a 𝛾𝑚𝑛 szögtorzulást! Mi változott avizsgált anyagi vonal párok alakváltozási mértékei, tenzorai kapcsán?

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 3. Feladat

2.4. Három-dimenziós, nagy alakváltozási probléma:

Egy szilárd test az alábbi függvénnyel leírható alakváltozáson megy keresztül:

𝐫 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 = 4𝑦0 − 2𝑧0 𝐞𝑥 + −2𝑦0 𝐞𝑦 + 2𝑥

0 + 6𝑦0 + 2𝑧0 𝐞𝑧 ,

ahol 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 materiális koordináták (azaz a test pontjainak koordintái a kezdeti konfigurációban).

(a) Írja fel az alakváltozási gradiens tenzor mátrixát! Határozza meg a pillanatnyi konfiguráció anyagi vonalainak

𝐠𝑥, 𝐠𝑦, 𝐠𝑧 érintővektorait!

(b) Határozza meg az 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 anyagi vonalak nyúlásait, továbbá a valódi, mérnöki és Lagrange-féle fajlagosnyúlásait!

(c) Számítsa ki az n0 anyagi vonal nyúlását és Lagrang-féle fajlagos nyúlását, amennyiben az n0 anyagi vonaliránykijelölő egységvektora: 𝐞𝑛 = 0.6𝐞𝑥 + 0.4𝐞𝑦 + 0.6982𝐞𝑧.

(d) Írja fel a Cauchy-Green-féle deformációs tenzort, majd határozza meg a (b) és (c) feladatokban számított

nyúlásértékeket!

(e) Határozza meg a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor mátrixát!

(f) Számítsa ki a 𝑧0 és x0 anyagi vonalak szögtorzulását!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 4. Feladat

2.5 Két-dimenziós, kis alakváltozási probléma:

Egy rugalmas test Q jelű pontjának alakváltozását vizsgáljuk. A kezdeti konfigurációban az 𝐞𝑥 és 𝐞𝑦 bázisvektorok

egy egységnyi oldalú négyzetet feszítenek ki, amely az alakváltozás után az 𝐞𝑥 → 𝐠𝑥 = 1.0015𝐞𝑥 + 0.0005𝐞𝑦 és

𝐞𝑦 → 𝐠𝑦 = 0.0002𝐞𝑥 + 1.0004𝐞𝑦 vektorok által kifeszített paralelogrammává deformálódik.

(a) Írja fel az alakváltozást jellemző alakváltozási gradiens tenzor mátrixát! Homogén deformációt feltételezve írja

fel a 𝐫 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , 𝐫 𝑥, 𝑦, 𝑧 és az 𝐮 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 vektorokat!(b) Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzort, majd döntse el, hogy az adott pontban az alakváltozás kis vagy

nagy mértékű!

(c) Számítsa ki a Q jelű pontbeli x0 és y0 anyagi vonalak nyúlásait, majd határozza meg a kezdeti hosszravonatkoztatott fajlagos nyúlásokat (𝜀𝑥

0, 𝜀𝑦0)! Számítsa ki az x0 és y0 anyagi vonalak 𝛾𝑥𝑦 szögtorzulásának értékét!

(d) Írja fel a Cauchy-Green-féle deformációs és a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzorokat!

(e) Határozza meg a Q jelű pontbeli n0 és m0 anyagi vonalak 𝐞𝑛 = 0.6𝐞𝑥 + 0.8𝐞𝑦 és 𝐞𝑚 = −0.8𝐞𝑥 + 0.6𝐞𝑦iránykijelölő egységvektorainak 𝛾𝑚𝑛 szögtorzulását, majd az anyagi vonalak mérnöki nyúlásait!(f) Kis alakváltozást feltételezve határozza meg a 𝛙 forgató tenzort és az A alakváltozási tenzort! Számítsa ki aszögelfordulás-vektort (𝛗) a vizsgált pontban!(g) A kis alakváltozás során levezetett képletekkel ellenőrizze a 𝛾𝑚𝑛 szögtorzulás (c) pontban számított értékét!(h) Vesse össze a kapott eredményeket!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 5. Feladat

2.6 Három-dimenziós, kis alakváltozási probléma:

Egy Q jelű pont elemi környezetének deformációja az x0, y0 és z0 irányú anyagi vonalak deformálódótt, pillanatnyikonfigurációbeli érintő vektoraival adott:

𝐠𝑥 = 1.002𝐞𝑥 + 0.004𝐞𝑧, 𝐠𝑦 = 1.002𝐞𝑦 − 0.002𝐞𝑧, 𝐠𝑧 = −0.002𝐞𝑥 − 0.996𝐞𝑧.

(a) Határozza meg az alakváltozási gradiens tenzort!

(b) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzort és döntse el (indoklással), hogy az alakváltozás nagy vagy kis mértékű!

Szemléltesse a tenzor koordinátáit és oszlopvektorait az elemi triéderen!

(c) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát és nevezze meg a benne szereplő koordinátákat!

(d) Határozza meg a 𝛙 forgató tenzor mátrixát és adja meg a vektor invariánsát (𝛗)!

(e) Számítsa ki az 𝐞𝑛 =2

2𝐞𝑦 −

2

2𝐞𝑧 és 𝐞𝑚 =

2

2𝐞𝑦 +

2

2𝐞𝑧 irányú anyagi vonalak szögtorzulását, adja meg az 𝜀𝑛

fajlagos nyúlás értékét! (Megjegyzés: használja a (c) feladatban számított alakváltozási tenzort!)

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 6. Feladat

2.7 Három-dimenziós, nagy alakváltozási probléma:

Egy szilárd test elmozdulásmezője az alábbi függvény segítségével adott:

𝐮 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 = −𝑥0 + 4𝑦0 − 2𝑧0 𝐞𝑥 + −3𝑦0 𝐞𝑦 + 2𝑥

0 + 6𝑦0 + 𝑧0 𝐞𝑧

ahol 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 materiális koordináták.

(a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort!

(b) Mi az alakváltozás kapcsolata a 2.4 példában számolt deformációval (igazolja is)!

(c) Számítsa ki az elmozdulási gradiens tenzorból kiindulva a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor

koordinátáit!

(d) Írja fel a 𝐫 𝑥, 𝑦, 𝑧 leképezést, ahol x, y és z térbeli koordináták!

(e) Határozza meg az inverz alakváltozási gradiens tenzort!

(f) Ismert 𝐠𝑛 = 0.204𝐞𝑥 − 0.8𝐞𝑦 + 4.996𝐞𝑧 , ami a pillanatnyi konfiguráció egy deformálódott 𝑛0 anyagi

vonalának érintő vektora. Számítsa ki az 𝑛0 anyagi vonal érintő egységvektorát a kezdeti konfigurációban!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 7. Feladat

2.8 Három dimenziós alakváltozás, kinematikai egyenlet:

Egy gépalkatrész vizsgált tartományának elmozdulásmezője az 𝐮 vektorral adott:

𝐮 = 𝜗𝑧𝐞𝑧 × 𝐫,

ahol 𝐫 = 𝑥𝐞𝑥 + 𝑦𝐞𝑦 mm, 𝜗 = 2 ∙ 10−3 mm

_1. A vizsgált tartomány egyik kitüntett pontja P, amelynek helyvektora:

𝐫𝑃 = 2𝐞𝑥 mm.

(a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort a vizsgált

tartományon! Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát a P jelű pontban, majd döntse el, hogy a pont

környezetének alakváltozása kis vagy nagy mértékű!

(b) Határozza meg a test A alakváltozási gradiens tenzorát, majd számítsa ki azt a P jelű pontban!

(c) Írja fel a forgató tenzor mátrixát a P jelű pontban (𝛙𝑃), majd adja meg a szögelfordulás-vektort (vagy forgás-vektort)!

(d) Számítsa ki az 𝐞𝑛 = 0.6𝐞𝑦 + 0.8𝐞𝑧 irányba vett mérnöki nyúlást!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 8. Feladat

2.9 Három dimenziós alakváltozás, kinematikai egyenlet:

Egy szerkezeti elem vizsgált tartományának 𝐮 elmozdulásmezője ismert, amelyen a P és Q pontokat vizsgáljuk.𝐮 = 𝐶𝑥𝑦2𝐞𝑥 + 𝐶𝑦𝑧

2𝐞𝑦 + 𝐶𝑧𝑥2𝐞𝑧, 𝐫𝑃 = −2𝐞𝑥 + 3𝐞𝑦 + 4𝐞𝑧cm, 𝐫𝑄 = 𝐫𝑃 + 𝐞𝑥 = −19𝐞𝑥 + 30𝐞𝑦 + 40𝐞𝑧mm

és 𝐶 = 10−5mm.

(a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort a vizsgált

tartományon! Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát a P jelű pontban, majd döntse el, hogy a pont

környezetének alakváltozása kis vagy nagy mértékű!

(b) Határozza meg a vizsgált tartományon az A alakváltozási gradiens tenzort, majd számítsa ki azt a P jelű

pontban!

(c) Írja fel a forgató tenzor mátrixát a P jelű pontban (𝛙𝑃), majd adja meg a forgásvektort!

(d) Számítsa ki P és Q pontok pontos elmozdulásvektorait!

(e) Közelítse a Q pont elmozdulásvektorát az elmozdulási gradiens tenzor segítségével, majd számítsa ki aközelítés hibáját!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 9. Feladat

2.10 Nyúlásmérés nyúlásmérő bélyegekkel:

Egy szerkezeti elem kéttengelyű feszültségi állapotban van. A meg-

felelő pozícióba felhelyeztünk három nyúlásmérő bélyeget az ábrán

látható módon.

(a) Határozza meg az ábrán vázolt téglalap elrendezés esetén

az 𝜀𝑥, 𝜀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦 értékek számítására alkalmas képleteket!

(b) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát xy koordináta-rendszerben abban az esetben, ha a következő értékeketmértük a bélyegekkel:

𝜀1 = 0.005, 𝜀2 = 0.005, 𝜀3 = 0.008.

(c) Számítsa ki ebben az esetben az 𝐞𝑛 = −0.6𝐞𝑦 + 0.8𝐞𝑥 irányú anyagi vonal nyúlását!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 10. Feladat

(1)

(2)

(3)

φ2=45°

x

y

2.11 Nyúlásmérés nyúlásmérő bélyegekkel:

Egy szerkezeti elem kéttengelyű feszültségi állapotban van. A megfelelő pozícióba felhelyeztünk három nyúlás-

mérő bélyeget az ábrán látható módon.

(a) Határozza meg az ábrán vázolt elrendezés esetén

az 𝜀𝑥, 𝜀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦 értékek számítására alkalmas képleteket!

(b) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát xy koordináta-rendszerben abban az esetben, ha a következő értékeketmértük a bélyegekkel:

𝜀1 = 0.002, 𝜀2 = 0.009, 𝜀3 = 0.002.

(c) Számítsa ki ebben az esetben az 𝐞𝑛 = −0.6𝐞𝑥 + 0.8𝐞𝑦 és 𝐞𝑚 = 0.8𝐞𝑥 + 0.6𝐞𝑦 irányú anyagi vonalak

szögtorzulását!

II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 11. Feladat

(1)

(2)φ2=60°

x

y

(3)

φ3=120°

III. Feszültségi állapot és egyensúly

III.1 Feszültségi állapot

III.2 Feszültség tenzorok

III.3 Egyensúlyi egyenlet

3.1 Feszültségi állapot

Egy rugalmas szerkezeti elem varratát vizsgáljuk. A kritikus

pontban a feszültségi állapotot az ábrán látható elemi kocka

(értékek MPa-ban értendő) szemlélteti. A varrat belső felüle-tének normálisa 𝐞𝑛 = 0.6𝐞𝑥 + 0.8𝐞𝑧.

(a) Írja fel a feszültségi tenzor mátrixát a vázolt xyz koordináta-rendszerben, majd nevezze meg a feszültségitenzor koordinátáit!

(b) Határozza meg az 𝐞𝑛 normálisú felületen ébredő feszültségi vektort!

(c) Ellenőrizze a szerkezetet, ha a varrat belső felültének megengedett maximális normálfeszültsége 50 MPa!

(d) Ellenőrizze a megadott pontot, ha a megengedett maximális csúsztatófeszültség 99.5 MPa!

(e) Írja fel a feszültségi tenzor koordinátáit (paraméteresen) abban az esetben, amikor a koordináta-rendszert az ytengely körül, pozitív irányba, φ szögel elfordítjuk!

1. FeladatIII. Feszültségi állapot és egyensúly

x

y

z

30

20 4060

60

3.2 Feszültségi állapot

Az ábrán látható ragasztott szerkezeti elemeket vizsgáljuk

(a) Határozza meg a kötés terhelhetőségét, ha a ragasztásra megengedett csúsztatófeszültség maximális értéke

0.95 MPa!

(b) Számítsa ki a kötés l minimális hosszát, ha a kötés szélessége 𝑏 = 50mm, ℎ = 20mm, 𝑝 = 2250kPa, aragasztott kötésre megengedett átlagos nyírófeszültség 0.5 MPa!

2. FeladatIII. Feszültségi állapot és egyensúly

l

ph

h

90 mm

30 mm

30°

3.3 Egyensúlyi egyenlet

Egy rugalmas szerkezeti elem egyensúlyban van, térfogati terhelése zérus. Adott a 𝐓 feszültségi tenzoránakmátrixa derékszögű koordináta-rendszerben.

(a) Háromdimenziós eset:

[𝐓] =𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑐𝑧 𝑦2 − 𝑥𝑦 −𝑥𝑧

𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑦2 −𝑦𝑧−𝑥𝑧 −𝑦𝑧 𝑐𝑧

;

(b) Kétdimenziós eset:

[𝐓] =2𝑎2𝑦𝑥 + 𝑏𝑦 −2𝑐𝑥 − 𝑎2𝑦2

−2𝑐𝑥 − 𝑎2𝑦2 2(𝑥 − 𝑐2𝑦)

A megadott feszültségi tenzor kielégíti-e az egyensúlyi egyenletet? Ha nem, megadható olyan nemzérus c

paraméter, amellyel egyensúlyba kerül?

(c) Az alábbi kétdimenziós feszültségi tenzor kielégíti az egyensúlyi egyenletet?

[𝐓] =3𝑥 + 2𝑦 −2𝑥 − 3𝑦−2𝑥 − 3𝑦 𝑥 + 2𝑦

3. FeladatIII. Feszültségi állapot és egyensúly

3.4 Egyensúlyi egyenlet

Egy rugalmas test feszültségi állapota a 𝐓 feszültségi tenzorával adott. Határozza meg a q térfogati terhelést azalábbi esetekben:

(a)

[𝐓] =

𝑦2 − 𝑥3 3𝑧 + 2𝑦2 𝑦(3 − 4𝑧)

3𝑧 + 2𝑦2 𝛼2(2𝑦 + 𝑥) 0𝑦(3 − 4𝑧) 0 𝑔𝑧

ahol 𝑔 és 𝛼 terhelési paraméterek;

(b)

𝐓 =

2𝑧𝑥2 0 𝑥 𝑧2 + 2

0 4𝑦2 3𝑦2 − 𝑥𝑧

𝑥 𝑧2 + 2 3𝑦2 − 𝑥𝑧 0

.

4. FeladatIII. Feszültségi állapot és egyensúly

3.5 Feszültségi tenzorok kapcsolata

Az anyag az alábbi deformációt szenvedi el:

𝐫 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 = 3𝑎𝑥0 𝐞𝑥 + 𝑎𝑥0 + 𝑦0 𝐞𝑦 + 𝑧

0 𝐞𝑧 ,

továbbá a Cauchy-féle feszültségi tenzor mátrixa:

𝐓 =𝑏 −2𝑏 0

−2𝑏 𝑏 00 0 0

,

(a) Adja meg az y normálisú síkon ébredő csúsztatófeszültséget, majd az 𝐞𝑘 = 0.8𝐞𝑥 + 0.6𝐞𝑥 normálisú síkonébredő normál- és csúsztatófeszültség nagyságát!

(b) Határozza meg az első Piola-Kirchoff-féle feszültségi tenzor mátrixát!

(c) Írja fel a második Piola-Kirchoff-féle feszültségi tenzor mátrixát! Ellenőrizze a tenzor szimmetriáját!

5. FeladatIII. Feszültségi állapot és egyensúly