t-8 mengkonstruksi model distribusi kontak pada … · makalah dipresentasikan dalam seminar...
TRANSCRIPT
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ” KKoonnttrriibbuussii PPeennddiiddiikkaann MMaatteemmaattiikkaa ddaann MMaatteemmaattiikkaa ddaallaamm MMeemmbbaanngguunn
KKaarraakktteerr GGuurruu ddaann SSiisswwaa"" pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
T-8
MENGKONSTRUKSI MODEL DISTRIBUSI KONTAK PADA
TRANSMISI PENYEBARAN VIRUS PADA 2 LOKASI DENGAN
STRAIN YANG BERBEDA
Hariyanto1, Basuki Widodo
2, I.Nyoman Budiantara
3, C.A.Nidom
4.
1Mathematics Departement of ITS and Doctorte Student in Airlangga University,
2 Mathematics Departement in ITS,
3 Statistics Departement in ITS,
4 Airlangga University.
ABSTRAK
Transmisi penyebaran penyakit pada multi-lokasi dapat terjadi karena mobilitas
individual yang bergerak dinamis pada lokasi yang sama maupun pada lokasi yang
berbeda (antar lokasi) dan transmisi penyakit dapat terjadi karena kontak individual
pada masing-masing lokasi, Konstnstantin B.Blyyuss,2005 telah mengembangkan
model transmisi penyebaran penyakit pada 2 lokasi dengan strain yang sama dan
lebih menekankan pada model distribusi terinfeksi dengan fungsi transmisi linear
sebagai bentuk penyebaran penyakit.
Pada makalah ini mengembangkan model penyebaran penyakit pada 2 lokasi
dengan strain yang berbeda pada setiap lokasi, penyebaran pada setiap lokasi maupun
antar lokasi dikonstruksi dalam bentuk model distribusi kontak dan analisa model
dilakukan berkaitan dengan perubahan subpopulasi yang atrack terhadap sistem yang
kompak terbatas dan disipasif, persistensi dari virus terhadap bilangan reproduksi
dasar..
Kata Kunci : Pemodelan Epidemik, Model Spasial, Bilangan reproduksi dasar,
Persistensi.
PENDAHULUAN
Latarbelakang.
Pemodelan matematika dari penyebaran virus multistrain multi species dibangun oleh B.
J. Caburn dkk,2011 pada satu lokasi, model berbentuk sistem persamaan differensial
biasa dengan mengamati penyebaran virus pada babi diharapkan dapat berperan sebagai
tempat terjadinya koalisi dari virus H1N1dan H5N1, demikian pula yang dilakukan oleh
J. M. Hyman dkk,2004 telah membangun model penyebaran geografik dari virus H1N1
untuk 59 kota diseluruh dunia dengan hongkong sebagai pusat penyebaran, analisa yang
dilakukan dapat diketahui bahwa penyebaran virus di kota-kota lainnya berkorelasi
terhadap pusat penyebaran.
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 70
K.B. Blyuss dkk,2005 dalam penelitiannya menunjukkan bahwa pergerakan individual
dianggap sebagai partikel yang bergerak bebas,model dibangun berdasarkan individual
yang bergerak didalam lokasi maupun antar lokasi, model yang diperoleh berbentuk
sistem persamaan integro differensial parsial, S. Ruan dkk,2006 mengembangkan model
yang dibuat oleh K.B. Blyuss dkk dengan membagi bentuk model dalam 2 bagian yaitu
model distribusi kontak dan model distribusi terinfeksi.
Berdasarkan pada kenyataan bahwa penyebaran virus dapat terjadi pada lokasi yang
berbeda dengan strain yang berbeda, misalnya penyebaran virus influenza avian H5N1
secara global yang terjadi di Indonesia berpotensi terjadinya koalisi dengan virus
manusia, beberapa penelitian di laboratorium telah dilakukan antara lain koalisi antara
H5N1 unggas A/Chicken/South Kalimantan/UT6028/06(SK06 H5N1) dan H3N2
A/Tokyo/UT-SK-1/Tok07.H3N2 menghasilkan virus dengan patogen
tinggi(C.A.Nidom,2012).
Rumusan masalah
1. Bagaimana melakukan pengamatan terhadap penyebaran berbagai virus yang
terjadi pada wilayah yang lebih luas sehingga terjadi koalisi pada beberapa lokasi
jika wilayah dibagi dalam lokasi-lokasi ?.
2. Bagaimana mengetahui reproduksi dasar terhadap virus-virus tersebut pada
penyebaran lokal maupun global serta keterkaitannya dengan persistensi virus
terhadap sistem?
Tujuan dan Manfaat.
Tujuan dari kajian ini adalah:
1. Membangun Model Matematika dari penyebaran virus-virus yang berada pada 2
lokasi yang berbeda sebagai suatu model sistem distribusi kontak yang terdiri dari
subsistem-subsistem.
2. Melakukan analisis terhadap persistensi masing-masing model subsistem dari
model sistem dan keterkaitannya dengan bilangan reproduksi dasar.
Manfaat yang dapat diperoleh dari kajian ini adalah:
1. Dapat memberikan informasi lebih awal melalui kajian berbentuk analisis pada
Model Matematika yang dibangun terhadap peluang terjadinya koalisi.
2. Reproduksi dasar atau Reproduksi efektif pada penelitian ini berbentuk besaran
yang diukur berdasarkan pada transmisi virus untuk yang kedua dan berkorelasi
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 71
sangat signifikan terhadap phatogenitas atau virulence dari virus, analisis yang
dilakukan dapat memberikan informasi dalam pengambilan kebijakan terhadap
kesehatan masyarakat.
PEMBAHASAN
Pembahasan pada makalah ini dibagi dalam 2 tahap yaitu mengkonstruksi model
matematika berdasarkan model kompartemen pada gambar 1 dan melakukan analisa
terhadap model.
Mengkonstruksi Model Matematika.
Populasi berada dalam 2 lokasi yaitu lokasi 1 dengan ukuran 1L dan lokasi 2 dengan
ukuran 2L dan masing-masing lokasi populasi dibagi dalam subpopulasi-subpopulasi
antara lain Susceptible,Ekspose, Terinfeksi dan Recovered pada lokasi 1 dengan densitas
spasial ),(),,(),,( 111 txItxEtxS dan ),( txR serta Susceptible,Terinfeksi pada lokasi 2
dengan densitas spasial ).,(),,( 11 txItxS seperti pada gambar 1.
Diasumsikan bahwa transmisi virus terjadi setelah terjadinya kontak dengan individual
terinfeksi dan pergerakan spasial didalam lokasi dapat dilakukan oleh setiap individual
pada subpopulasi sedangkan pergerakan diantara lokasi hanya dilakukan oleh individual
subpopulasi Susceptible dan Ekspose. Parameter yang digunakan dalam bentuk konstan
antara lain :
: rate transmisi untuk virus dengan strain2 pada lokasi 2
: rate transmisi untuk virus dengan strain1 pada lokasi 1
: lama waktu terjadinya Ekspose atau periode Ekspose.
2S
2I 1S
1E 1I
1R
Lokasi 1: 1 Lokasi 2: 2
Ganbar 1: Transmisi penyebaran virus pada 2 lokasi
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 72
: lama waktu terjadinya infeksi setelah dilakukan treatmen atau periode infeksi.
Model Sistem Distribusi Kontak penyebaran virus pada 2 lokasi dengan strain berbeda
dapat dinyatakan sebagai berikut:
1
121
1
11 ),()(),()( dxtxSxyKIdxtxIxyKSt
S
1
112
2
211
1
11
),()(
),()(),()(
EdxtxExyKI
dytySyxKIdxtxIxyKSt
E
111 IEt
I
11 I
t
R
1
2212
2
22 ),()(),()( IdytySyxKIdytyIyxKSt
S
2
1
12
1
122
2
22 ),()(),()(),()(
I
dxtxExyKIdxtxSxyKIdytyIxyKSt
I
Dengan syarat awal
101 )0,( SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR
202 )0,( SxS , 202 )0,( IxI , ,
Syarat batas
,0)()0( 11
L
x
S
x
S,0)()0( 11
L
x
E
x
E
,0)()0( 11
L
x
I
x
I,0)()0( 11
L
x
R
x
R
,0)()0( 22
L
x
S
x
S,0)()0( 22
L
x
I
x
I
Total populasi pada lokasi 1: )()()()()( 11111 tRtItEtStN
Total populasi pada lokasi2: )()()( 222 tItStN
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 73
Analisa Model.
Perhatikan bentuk
dxtxIxyK ),()( 1menunjukkan populasi terinfeksi yang bergerak
dari posisi x menuju y sehingga terdapat 2 kemungkinan individual ),(1 txI bergerak
untuk melakukan kontak yaitu bergerak pada lokasi 1 atau bergerak melakukan kontak
dengan populasi pada lokasi 2,jika 1 dan 2 merupakan domain terbatas maka
pergerakan subpopulasi secara lokal maupun diantara lokasi bergantung pada status dari
masing-masing subpopulasi, misalkan fungsi densitas Kernel dinyatakan sebagai fungsi
Laplace xetxK ),( dan ),(1 txI bergerak pada lokasi 1 maka
dxtxIxyK ),()( 1=
1
1 ),( dxtxIxe = dx
t
txIxetxIxeL
),(
0),({
1 1
1
11
dxtxIxyK ),()( 1= )},,0(),({
10
),({1
11111
1 tItLIL
etxIxeL
diperoleh
0),0(),( 1111 tItLI
Le
,),(
),0(
11
11
tLI
tILe
),0(),( 111 tItLI
),0[ t
misalkan ktLI
tI
),(
),0(
11
1 bilangan pecah rasional maka kL
e
1
yang berarti fungsi
densitas Kernel sebagai fungsi bobot dari pergerakan lokasi maupun antar lokasi dapat
dinyatakan dalam bentuk proporsional yang mempunyai nilai diantara 1),(0 txK
x dan ),0[ t
Asumsi.
1.
1),( dxtxK
2. ),,(),()( 1
1
11 txIdytyIyxK
1, yx dan 10 1 menyatakan pergerakan
lokal, khusus untuk pergerakan antar lokasi dari individual ),(1 txI tidak dilakukan dan
hal tersebut berlaku juga pada lokasi 2.
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 74
3. ),,(),()( 1
2
22 txSdytySyxK
yaitu pergerakan antar lokasi ),(2 tyS dari posisi
2y menuju 1x maka individual ),(2 tyS akan menjadi bagian ),(1 txS pada
lokasi 1.
Demikian pula untuk ),(),()(
1
11 txGdytyEyxK
yaitu pergerakan antar lokasi
),(1 tyE dari posisi 1y menuju 2x maka individual ),(1 tyE akan berada pada
lokasi 2.yang hanya melakukan kontak dengan individual terinfeksi pada lokasi 2.
Dengan demikian model system dapat direduksi menjadi
2221111 SIISt
S
1221211111 EGISIIS
t
E
111 IEt
I
11 I
t
R
21212122 ISIISt
S
2222222122 IGISIISt
I
Dengan syarat awal
101 )0,( SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR
202 )0,( SxS , .)0,( 202 IxI
Syarat batas
,0)()0( 11
L
x
S
x
S,0)()0( 11
L
x
E
x
E
,0)()0( 11
L
x
I
x
I,0)()0( 11
L
x
R
x
R
,0)()0( 22
L
x
S
x
S,0)()0( 22
L
x
I
x
I
)()()()()( 11111 tRtItEtStN
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 75
)()()( 222 tItStN
Perhatikan )()()()()( 11111 tRtItEtStN dt
dR
dt
dI
dt
dE
dt
dS
dt
dN 11111 atau
dxt
Rdx
t
Idx
t
Edx
t
txS
dt
dN
1
1
1
1
1
1
1
11 ),(
dxt
txR
t
txI
t
txE
t
txS
dt
dN)
),(),(),(),(( 111
1
11
dxGISISIdt
dN)}({ 22222
1
1211
maka
dxdytySyxKILimdt
dNSupLim
tt}),()({)(
2
2
1
11
dxdytySyxKILimdt
dNSupLim
tt}),()({)(
2
2
1
11
atau
dxILimdt
dNSupLim
tt
1
11 )( dxIE
dt
dNSupLim
t)()(
1
111
Jika didefinisikan
),)(1
(111
111 dyRyxKExpSE dan terdapat
bilangan 0 sedemikian hingga MELimt
11 dan
1ILimt
maka
dxMdt
dNSupLim
t)1()(
1
1
atau )}(1{)( 1
1
MLdt
dNSupLim
t
Yang berarti bahwa .)( 11 L
dt
dNSupLim
t
Jadi dapat diperoleh bahwa subsistem dari
lokasi 1 atracks terhadap himpunan kompak terbatas 1111 ,,, RIES .Demikian pula dapat
ditunjukkan bahwa subsistem pada lokasi 2 atrack terhadap himpunan kompak terbatas
., 22 IS
Dari penjelasan tersebut diatas maka dapat disusun theorema sebagai berikut :
Theorema1.
Jika ),,,( 1111 RIES merupakan penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak
pada lokasi 1 dan terdapat bilangan 0 sedemikian hingga MELimt
11 dan
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 76
1ILimt
maka subsistem dari lokasi 1 atracks terhadap himpunan kompak terbatas
1111 ,,, RIES .
Untuk pembahasan berikutnya akan ditunjukkan bahwa masing-masing virus pada lokasi
1 maupun 2 persisten terhadap sistem, perhatikan definisi berikut ini
Dianggap bahwa pergerakan dari individual pada subpopulasi pada masing-masing lokasi
berbentuk semiflow maka dapat didefinisikan
Definisi 1(Horst R.Thieme,2005).
Virus dikatakan sangat persisten secara seragam jika terdapat 0 sedemikian hingga
),(( 1 txIInfLimt
untuk semua penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak
dengan .0)0,(1 xI
Definisi 1((Horst R.Thieme,2005).
Virus dikatakan kurang persisten secara seragam jika terdapat 0 sedemikian hingga
),(( 1 txISupLimt
untuk semua penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak
dengan .0)0,(1 xI
Jika perubahan pada setiap subpopulasi pada model hanya memperhatikan terjadinya
transmisi virus sebagai akibat dari kontak individual tanpa memperhatikan pergerakan
individual pada lokasi maupun diantara lokasi maka model sistem distribusi kontak dapat
direduksi menjadi model distribusi kontak pada lokasi 1terreduksi berbentuk
1111 ISt
S
11211111 ESIIS
t
E
111 IEt
I
11 I
t
R
dengan syarat awal
101 )0,( SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR
Syarat batas
,0)()0( 11
L
x
S
x
S,0)()0( 11
L
x
E
x
E
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 77
,0)()0( 11
L
x
I
x
I,0)()0( 11
L
x
R
x
R)()()()()( 11111 tRtItEtStN
Bilangan reproduksi dasar
0R maka dapat dikonstruksi
sedemikian
rupa sehingga model dapat direduksi menjadi
1111 ISt
S
11211111 ESIIS
t
E
111 IEt
I
11 I
t
R
Dengan syarat awal
1)0,( 101 SxS , 101 )0,( IxI , 101 )0,( ExE , 101 )0,( RxR
Syarat batas
,0)()0( 11
L
x
S
x
S,0)()0( 11
L
x
E
x
E
,0)()0( 11
L
x
I
x
I,0)()0( 11
L
x
R
x
R
),(),(),()(1 1111 txRtxItxEtS
Jika ),,,( 1111 RIES merupakan penyelesaian dari model tersebut diatas maka dapat
dikonstruksi secara epidemiologi bahwa subpopulasi terinfeksi terjadi karena :
1. Perubahan individual pada subpopulasi ekspose yang melampaui batas masa
latent ( periode perubahan ekspose menjadi terinfeksi ).
2. Perubahan individual pada subpopulasi terinfeksi berubah menjadi subpopulasi
recovered karena adanya treatment ( recovered dikonstruksi tetap ).
Dengan demikian subpopulasi –subpopulasi pada sistem dapat dinyatakan dalam bentuk
1
11 )),()(1
(),( dytyRyxKExptxS
),(1),( 11 txStxE
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 78
),()0,(),(),( !11 txExItxRtxI dan subpopulasi tersebut berlaku jika memenuhi
persamaan .11 I
t
R
Dari pembahasan tersebut diatas dapat disusun theorema sebagai berikut
Theorema2.
Jika 10 R maka virus pada lokasi 1 kurang persisten secara seragam terhadap sistem.
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa virus pada lokasi1 kurang persisten terhadap sistem, misalkan
vurus tersebut tidak persisten maka
),(1 txILimt
untuk bilangan 0
)),(),(),((1),( 1111 txStxEtxItxR
)),(),(),((1),( 1111 txStxEtxILimtxRLimtt
atau MtxR 1),(1
),(1),( 11 txStxE atau )),(1
(1),( 111 txRExptxE
),)1(
(1),( 11
MExptxE
),()0,(),(),( 1111 txExItxRtxILim
t
))1(
(1)0,(1),( 111
MExpxIMtxILim
t
Dari persamaan 4 pada model diperoleh
11
1 )()( IIInfLimt
RInfLim
tt atau
)( 1IInfLim
t )0,(1 xIM
)( 1IInfLimt
))0,((1
1 xIM
= ))0,(( 10 xIMR sehingga dapat diperoleh bahwa
untuk 10 R ternyata ),(1 txI untuk ,t pada hal
),(1 txILimt
Kontradiksi sehingga untuk 10 R virus pada lokasi 1 kurang persisten terhadap sistem.
Perhatikan model distribusi kontak pada lokasi2 terreduksi,
22122 IISt
S
2222222122 IGISIISt
I
Dengan syarat awal
202 )0,( SxS , .)0,( 202 IxI
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 79
Syarat batas
,0)()0( 22
L
x
S
x
S,0)()0( 22
L
x
I
x
I
),(),(1 22 txItxS
Pada model tersebut berlaku theorema beikut ini.
Theorema3.
Jika 10 R maka virus pada lokasi 2 kurang persisten secara seragam terhadap sistem.
Bukti.
Untuk menunjukkan bahwa virus pada lokasi 2 kurang persisten terhadap sistem
dimisalkan virus tidak persisten sehingga .2 I
Dari persamaan 1 diperoleh ),(),( 12 txILimtxSLimtt
atau ),(),( 22 txItxS
Dari persamaan 2 diperoleh
22
2 )( IIt
IInfLim
t atau ),(
2
2
I
t
I
InfLimt
jika
0R maka ),1( 0
2
2
R
I
t
I
InfLimt
artinya untuk t diperoleh
2I dan
kontradiksi bahwa ..2 I Jadi untuk 10 R virus pada lokasi 2 kurang persisten
terhadap sistem.
KESIMPULAN.
Dari kajian tersebut dapat disimpulkan bahwa penyebaran dari virus-virus pada lokasi
local maupun global tidak berpotensi terjadinya pendemik.
DAFTAR PUSTAKA
J. M. Hyman, T. LaForce.2004. Modelling The spread of Influenza Among Cities. in
Computational and Applied Mathematics Program. (Center for Nonlinear Studies,
Los Alamos National Laboratory ).Los Alamos Report. p. 215-240.
K.B. Blyuss.2005. On a model of spatial spread of epidemics with long - distance travel.
Physics Letters A 345. p. 129-136.
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT - 80
S. Ruan.2006. Spatial Temporal Dynamics in nonlocal Epidemiogical Models. Miami
University Press 2006.
B. J. Caburn, C. Cosner, S. Ruan.2011. Emergence and dynamics of influenza super
Strains. BMC Journal 11. p.1-10.
C.A.Nidom.2012. Berperang Melawan Flu Burung, Kompas.Com.