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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA

UNIDAD CULHUACAN

“MÉTODOS DE SINTONIZACIÓN DE UN PID PARA

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE

TIEMPO”

T E S I S Q U E P R E S E N T A E L C.

MARCO ANTONIO GARCÍA TORRES PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y

E L E C T R Ó N I C A

ASESORES: Dr. Omar Jiménez Ramírez

Dr. Juan Francisco Márquez Rubio

México, D. F. Abril del 2012

MÉTODOS DE SINTONIZACIÓN DE UN PID PARA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 2

AGRADECIMIENTOS

A Dios Por brindarme la oportunidad de superarme día a día.

A mis padres Victoria y Juan por todo su amor, cariño, apoyo y dedicación para ser una persona de bien.

¡Muchas gracias!

A mi hermana Marlen por compartir muchos momentos amenos. ¡Gracias manita!

A mis abuelos Catalina, Matilde, Francisco y Juan por compartir sus vivencias y experiencia invaluable para

mí.

Al Instituto Politécnico Nacional. Por darme la oportunidad de tener una formación muy necesaria para mi país.

A mi novia. Wendy por estar siempre a mi lado e impulsarme en los proyectos y decisiones. ¡Gracias

amor!

A mis amigos Gracias a todos ustedes Jessica, Sandra, Alejandro, Cesar, David, Francisco, Sergio, Ñonthe

y todos los grandes amigos del XC3M por brindarme esa gran amistad única e incomparable.

A mis asesores Dr. Omar Jiménez Ramírez y el Dr. Juan Francisco Márquez Rubio por compartir sus

conocimientos en aras de seguir superándome, así como a mis sinodales por compartir el

tiempo para la revisión de este trabajo de antemano muchas gracias.

"¡Sean reconocidos sus logros, y públicamente alabadas sus obras!" Proverbios 31:31

Por y para ustedes con todo mi cariño.



DEFINICIÓN DEL PROBLEMA.

Dentro de las diferentes ramas de los procesos ya sean industriales, biológicos,

telecomunicaciones, etcétera, se encuentran los llamados procesos con retardo de

tiempo. Los controladores para éste tipo de sistemas requieren analizarse y estudiarse,

puesto que no se pueden sintonizar de la misma forma que los procesos que no

cuentan con el retardo.

Dado que la función de un controlador es detectar y corregir la señal de error

en el sistema a lazo cerrado, dichos procesos requieren métodos de sintonización para

poder diseñar e integrar una acción de control eficiente.

La principal problemática para controlar sistemas con retardo es que su

ecuación característica resulta con términos trascendentales. De esta manera, el

análisis de estabilidad debe realizarse de una forma cuidadosa. El presente trabajo

consiste en realizar un estudio comparativo de diferentes metodologías de

sintonización de control existentes en la literatura para sistemas con retardo; en

particular, se analiza el caso de los sistemas de primer orden estables con retardo.



JUSTIFICACIÓN

Dentro de los procesos industriales que existen, tales como el sistema térmico

o el sistema hidráulico presentan tiempo muerto. Estos sistemas pueden ser

modelados como sistemas de primer orden estables.

Se han desarrollado diferentes métodos de sintonización de los controladores

del tipo PID para controlar esta clase de sistemas. Sin embargo, la mayoría de estas

estructuras, presentan eficiencias y ventajas. Es por esa razón que en este trabajo

evaluamos las estrategias de control más utilizadas en la industria, con la finalidad de

resaltar las ventajas y desventajas que presentan cada una de ellas.

A continuación se presenta un breve análisis para mostrar la complejidad que

presenta el diseño de control para sistemas con retardo. Considere la clase de

sistemas lineales una entrada una-salida (UEUS) con retardo de tiempo a la entrada:

LsLs sGsD

sN

sU

sY )()(

)(

)(

)( (1)

Donde )(sU y )(sY son las señales de entrada y salida respectivamente;

0L es el retardo de tiempo que se supone conocido; )(sN y )(sD son polinomios

en la variable compleja “ s ”; y )(sG es la función de transferencia libre de retardo.

Nótese que en relación con la clase de sistemas de la ecuación (1), una estrategia de

control tradicional basada en una retroalimentación de salida de la forma:

)()]()([)( sGsYsRsU c (2)

Produce un sistema en lazo cerrado:

Ls

pc

Ls

pc

sGsG

sGsG

sU

sY

)()(1

)()(

)(

)( (3)

Donde el término Ls localizado en el denominador de la función de

transferencia en la ecuación (3), dificulta el análisis de estabilidad [6] debido al

número infinito de polos del sistema en lazo cerrado.



OBJETIVO GENERAL

El objetivo de este trabajo es el estudio o análisis de los procesos que tienen

retardos de tiempo, indicando ¿qué son?, ¿en dónde se pueden presentar?, ¿cuál es la

representación matemática o función de transferencia?, así como algunos de los

diferentes esquemas o métodos de control que pueden ser aplicados para éste tipo de

procesos.

Se propone estudiar una planta de primer orden estable con retardo de tiempo.

Posteriormente, se utilizan diferentes metodologías de control utilizando diversos

métodos de sintonización como: reglas de ajuste, iterativos, de predicción y estimación

de estados, para el diseño de los controladores del tipo PID.

Los métodos de control analizados son simulados mediante la herramienta

SimuLink del Software MatLab 8.0 para observar y evaluar las diferentes respuestas de

los controladores sintonizados. Se confrontan las respuestas y se dictamina cuales

métodos de sintonización son los más favorables para que en la práctica puedan ser

usados.

Las características tomadas en cuenta para la realización del análisis

comparativo de las diferentes respuestas son: pM máximo sobreimpulso, dt tiempo

de subida, rt tiempo de retardo, pt tiempo pico y st tiempo de establecimiento. Estos

parámetros de análisis nos dan una idea más acertada sobre la evaluación para cada

método. Es importante señalar que el fin de la sintonización de un controlador, es que

la respuesta de lazo cerrado con la acción de control integrada, sea eficiente al

responder casi inmediatamente a las señales de entrada, que no tenga oscilaciones y

que los sobreimpulsos no sean excesivos ya que, en la práctica, esto podría dañar al

proceso.



ORGANIZACIÓN DE LA TESIS.

En el Capítulo I se presentan algunos ejemplos de procesos con retardo de

tiempo, así como una reseña histórica de los controles de los procesos.

En el Capítulo II se presentan los temas relacionados al modelado de los

procesos. En primer lugar se muestra la representación matemática del retardo de

tiempo. Posteriormente, se proporciona la aproximación de Padé para el retardo,

mismo que es utilizada en algunos métodos de sintonización. Finalmente, se presenta

el modelo de la planta de primer orden estable con retardo de tiempo.

El Capítulo III presenta tres métodos de reglas de ajuste.

En el Capítulo IV se presenta el método de sintonización por el lugar

geométrico de las raíces, en donde es utilizada la aproximación de Padé de segundo

orden para poder trabajar con una función de trasferencia racional para el diseño.

El Capítulo V presenta el método de predicción por Smith proponiendo utilizar

un controlador PI en dicha estructura. También se presenta una de las muchas

modificaciones del predictor de Smith propuesta por Xiang-Lu, la cual está

especializada para procesos inestables. Sin embargo, dicha estructura se puede

aplicar a la planta estable propuesta.

En el Capítulo VI se proporciona el método de estimación de estados, el cual se

trabaja con la aproximación de Padé para el término de retardo, esto con la finalidad

de obtener una función de transferencia racional. Finalmente, basados en la

estimación de estados, se integra un control PI.

En el Capítulo VII se presentan algunas simulaciones de los distintos métodos

presentados en este trabajo y se realiza un análisis de los resultados.

Finalmente se presentan algunas conclusiones, las perspectivas del trabajo

realizado, así como la bibliografía consultada para este trabajo.



ÍNDICE GENERAL

AGRADECIMIENTOS .................................................................................. 2 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. ................................................................... 3 JUSTIFICACIÓN ......................................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL ................................................................................. 5 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS. .................................................................. 6 ÍNDICE GENERAL ...................................................................................... 7 ÍNDICE DE FIGURAS. ................................................................................. 9 ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................. 10 CAPÍTULO I RETARDOS DE TIEMPO EN LOS PROCESOS INDUSTRIALES. ................................................................................................................. 11

1.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ 11 1.2 VISUALIZACIÓN DE LOS RETARDOS DE TIEMPO. .......................................................... 12

1.2.1 MOLINO RODANTE FRÍO. .............................................................................. 12 1.2.2 SISTEMA TÉRMICO. ....................................................................................... 13 1.2.3 SISTEMA HIDRÁULICO. ................................................................................. 14 1.2.4 SISTEMA DE CONTROL DE VELOCIDAD. ...................................................... 14 1.2.5 SISTEMA CATALIZADOR. .............................................................................. 15 1.2.6 CONTROL DE UNA NAVE ESPACIAL. ............................................................ 16 1.2.7 OTROS SISTEMAS CON RETARDO DE TIEMPO. ........................................... 16

1.3 LOS CONTROLADORES........................................................................................................... 17 1.3.1 UN REPASO A LA HISTORIA DE LOS CONTROLADORES. ............................ 18

CAPÍTULO II DINÁMICA DE PROCESOS INDUSTRIALES. ........................ 20 2.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ 20 2.2 MODELADO DE LOS SITEMAS. .......................................................................................... 21 2.3 SISTEMA DE LAZO CERRADO. ............................................................................................. 23 2.4 PROCESO PROPUESTO PARA EL ANÁLISIS. ................................................................. 25 2.5 RETARDO DE TIEMPO. .......................................................................................................... 26

2.5.1 APROXIMACIÓN DEL RETARDO DE TIEMPO. ............................................... 27 2.6 ACCIÓN DE CONTROL PID. .................................................................................................... 28

CAPÍTULO III MÉTODOS HEURÍSTICOS DE SINTONIZACIÓN. ................ 31 3.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ 31

3.2.1 RESPUESTA AL ESCALÓN A LAZO ABIERTO DE LA PLANTA PROPUESTA. . 32 3.3 MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS. ..................................................................................... 35

3.3.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS. ................................. 36 3.4 MÉTODO DE CHIEN, HRONES Y RESWICK. ..................................................................... 39

3.4.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO 1 DE CHIEN HRONES Y RESWICK ................... 40 3.4.2 SIMULACIÓN DEL MÉTODO II DE CHIEN HRONES Y RESWICK. ................. 42

3.5 MÉTODO DE COHEN Y COON. .............................................................................................. 45 3.5.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE COHEN Y COON. ........................................ 45

3.6 ANÁLISIS DE RESPUESTAS DE LOS METODOS DE REGLAS DE AJUSTE. ............. 49

CAPÍTULO IV MÉTODO ITERATIVO DE SINTONIZACIÓN. ....................... 50 4.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ 50

4.2 MÉTODO DE SINTONIZACIÓN POR LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. .. 50 4.2.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE SINTONIZACIÓN POR EL LUGAR

GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. .............................................................................. 55

CAPÍTULO V. MÉTODOS DE PREDICCIÓN. ............................................. 66 5.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ 66 5.2 PREDICTOR DE SMITH. ........................................................................................................... 66

5.2.1 ESQUEMA PROPUESTO. ................................................................................ 67 5.2.2 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DEL PREDICTOR DE SMITH. ............................ 69

5.3 MÉTODO DE XIANG-LU. .......................................................................................................... 72 5.3.1 ESQUEMA PROPUESTO. ................................................................................ 73



5.3.1.1 DISEÑO DEL CONTROLADOR ..................................................................... 75 5.3.1.2 PROCESOS INTEGRAL CON RETARDO DE TIEMPO (IPDT). ....................... 75 5.3.1.3 PROCESOS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO (FOPDT). ..... 77 5.3.2 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE XIANG LU. ................................................... 80

CAPÍTULO VI. MÉTODO DE ESTIMACIÓN DE ESTADOS. ........................ 84 6.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ 84 6.2 REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO. ........................................................... 84 6.2.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE DISEÑO DE ESTIMADOR. ....................................... 93

CAPÍTULO VII. ANÁLISIS DE RESULTADOS. ......................................... 100 7.1 INTRODUCCIÓN. ...................................................................................................................... 100 7.2 COMPARACIÓN DE RESULTADOS REGLAS DE AJUSTE. ........................................... 101 7.3 COMPARACIÓN DE RESULTADOS MÉTODO ITERATIVO. ........................................... 108 7.4 COMPARACIÓN DE RESULTADOS MÉTODO DIAGRAMAS DE PREDICCIÓN. ....... 110

CONCLUSIONES. ................................................................................... 115 REFERENCIAS. ...................................................................................... 117



ÍNDICE DE FIGURAS.

Figura 1.1 Molino Rodante Frío 13 Figura 1.2 Sistema Térmico. 13

Figura 1.3 Sistema Hidráulico. 14

Figura 1.4 Sistema de Control de Velocidad. 15

Figura 1.5 Sistema Catalizador. 16

Figura 1.6 Control de una Nave Espacial. 16

Figura 2.1 Respuestas al escalón de lazo Abierto. 22 Figura 2.2 Diagrama funcional de un sistema de realimentación simple. 24

Figura 2.3 Respuesta al escalón unitario sty /1)( de lazo abierto de la planta. 25

Figura 2.4 Diagrama del controlador PID con señales. 28

Figura 2.5 Control PID de una planta. 30

Figura 3.1 Curva de Reacción del Proceso. 32

Figura 3.2 Punto de inflexión de la línea tangente. 32

Figura 3.3 Trazado de la línea tangente en el punto de inflexión. 34 Figura 3.4 Esquema de control para simulación. 37

Figura 3.5 Respuestas a escalón de método de sintonización de Ziegler y

Nichols. 37

Figura 3.6 Respuestas a escalón de método 1 de Chien, Hrones y Reswick. 40

Figura 3.7 Respuestas a escalón de método 2 de Chien, Hrones y Reswick. 43

Figura 3.8 Respuestas a escalón de método de sintonización de Cohen y Coon. 47 Figura 4.1 Sistema a lazo cerrado. 51

Figura 4.2 Diagrama que muestra la medición de los ángulos de los polos

y ceros en lazo abierto para el polo dominante “ s ”. 53

Figura 4.3 Diagrama que muestra la medición de los ángulos de los polos y ceros en lazo abierto con la adición del polo y los dos ceros del PID con respecto

al polo dominante “ s ”. 55

Figura 4.4 Ubicación de las Raíces del Sistema Compensado con una

Aproximación de Padé de primer Orden. 57 Figura 4.5 Ubicación de las Raíces del Sistema Compensado con una

Aproximación de Padé de Orden 2. 59

Figura 4.6 Respuesta de la Planta Propuesta y la Planta con Aproximación de

Padé de 2n . 60

Figura 4.7 Ubicación de las Raíces en el Plano “ s ”. 62

Figura 4.8 Lugar Geométrico de las Raíces del sistema compensado. 63

Figura 4.9 Respuesta al escalón de la planta con lazo abierto y con el

controlador PID. 64

Figura 4.10 Diagrama de procesos controlado. 65

Figura 5.1 Diagrama a bloque del proceso con retardo de tiempo y la acción de control en serie. 67

Figura 5.2 Diagrama mostrando la idea de Smith. 67

Figura 5.3 Diagrama ideal teóricamente pero no aplicable de Smith . 68

Figura 5.4 Esquema del predictor de Smith. 68

Figura 5.5 Lugar Geométrico de las Raíces de la planta 70

Figura 5.6 Esquema de predicción con los valores de la planta propuesta y controlador sintonizado. 70

Figura 5.7 Respuesta de la planta propuesta vs diagrama de predicción. 71

Figura 5.8 Esquema propuesto por Xiang-Lu. 73

Figura 5.9 Esquema de predictor propuesto por Xiang-Lu 80

Figura 5.10 Estructura del predictor propuesto por Xiang-Lu con ganancias en los controladores. 81

Figura 5.11 Respuesta de la planta propuesta vs diagrama de predicción de

Xiang-Lu. 82

Figura 6.1 El Estimador analógico del proceso con retardo de tiempo. 85

Figura 6.2 Diagrama a bloques para n -par y para n -impar. 88



Figura 6.3 Esquema de control con un predictor asintótico continuo. 88

Figura 6.4 Diagrama a bloques de un sistema y observador de estados. 91

Figura 6.5 El predictor propuesto de tiempo continuo. 92

Figura 6.6 Diagrama a bloques del estimador propuesto del sistema y la

aproximación del retardo. 96

Figura 6.7 Respuesta de Error de Estimación. 97 Figura 6.8 Respuesta de la planta propuesta vs esquema de estimación. 98

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Tabla de tipos de procesos, función de transferencia y respuestas al

escalón. 23

Tabla 2.2 Tabla de tipos de procesos, función de transferencia y respuestas al

escalón. 27

Tabla 3.1. Regla de sintonía de Ziegler y Nichols puesta escalón de la planta. 35 Tabla 3.2. Regla de sintonía de Ziegler y Nichols basada en la respuesta

escalón de la planta. 36

Tabla 3.3. Respuestas transitorias de la Regla aplicada de sintonización de

Ziegler y Nichols. 38

Tabla 3.4 Los parámetros para el controlador por Chien, Hrones y Reswick 39 Tabla 3.5 Los parámetros para el controlador por el método 1 de Chien, Hrones

y Reswick. 40

Tabla 3.6. Respuestas transitorias del método 1 de Chien, Hrones y Reswick. 41

Tabla 3.7 Parámetros para el controlador por el método 2 de Chien, Hrones y

Reswick. 42

Tabla 3.8. Respuestas transitorias del método 2 de Chien, Hrones y Reswick. 44 Tabla 3.9 Parámetros del controlador por el método de Cohen y Coon. 45

Tabla 3.10 Parámetros del controlador por el método de Cohen y Coon. 46

Tabla 3.11. Respuestas transitorias de la Regla aplicada de sintonización de

Cohen y Coon. 48

Tabla 4.1. Ordenes de aproximaciones de Padé. 56 Tabla 4.2. Respuestas transitorias Lugar Geométrico de las Raíces. 64

Tabla 5.1. Respuestas transitorias del diagrama de predicción de Smith. 72

Tabla 5.2. Respuestas transitorias del diagrama de predicción de Xiang-Lu. 83

Tabla 6.1. Respuestas transitorias del diagrama de predicción de Smith. 99

Tabla 7.1 Respuesta Método I de Sintonización por Reglas de Ajustes. 102

Tabla 7.2 Respuesta Método II de Sintonización por Reglas de Ajustes. 103 Tabla 7.3 Respuesta Método III de Sintonización por Reglas de Ajustes. 104

Tabla 7.4 Respuesta Método IV de Sintonización por Reglas de Ajustes. 105

Tabla 7.5 Respuesta Método V Lugar Geométrico de Sintonización. 109

Tabla 7.6 Respuesta Método VI Diagramas de Predicción. 111

Tabla 7.7 Respuesta Método VII Diagramas de Predicción. 112 Tabla 7.8 Respuesta Método VIII Diagramas de Predicción. 113



CAPÍTULO I

RETARDOS DE TIEMPO EN LOS PROCESOS INDUSTRIALES.

1.1 INTRODUCCIÓN.

Dentro de toda la gama de procesos, existen especialmente los que son

distinguidos como procesos con retardo de tiempo o tiempo muerto. Los sistemas con

retardos de tiempo son aquellos sistemas en los cuales existen tiempos muertos entre

la aplicación de la entrada o control del sistema y sus efectos resultantes en el mismo.

En otras palabras, el retardo de tiempo es el lapso que transcurre desde el instante en

que se produce un cambio de una variable de entrada al proceso hasta el instante en

que el efecto de dicha variación comienza a observarse en la variable de salida.

Entre los sistemas más observados podemos encontrar a los sistemas

industriales, ya sean: químicos, mecánicos y biológicos.

En este Capítulo se presentan algunos ejemplos de sistemas con retardo, una

breve reseña histórica sobre el control de procesos y finalmente se proporciona la

justificación de este trabajo.



1.2 VISUALIZACIÓN DE LOS RETARDOS DE TIEMPO.

Los retardos de tiempo se producen a causa de una señal de entrada, en la

cual, después de un cierto tiempo transcurrido comienza a observarse su respuesta.

Este fenómeno casi siempre involucra el transporte de material y/o energía. Nosotros

podemos observar el tiempo muerto en distintos procesos y la mayoría se encuentran

en una gran variedad de servomecanismos y controles. Por esta razón, estos sistemas

tienen funciones de transferencia que incluyen retardos de tiempo. A continuación se

presentan algunos ejemplos de procesos industriales que incluyen en su dinámica un

retardo de tiempo.

1.2.1 MOLINO RODANTE FRÍO.

Uno de los sistemas con tiempo muerto es el molino rodante frío [12] mostrado

en la Figura 1.1. Este sistema consiste en montar una placa de acero de

80 milímetros de espesor y pasarla por 5 rodillos para que ésta tenga al final

un espesor de 9 milímetros. Podemos decir que el primer rodillo fue diseñado

para aplanar las variaciones o las imperfecciones en el espesor de la hoja

entrante. Posteriormente, para calibrar el espesor de la hoja, ésta es pasada

por una radiografía, de la cual, su señal es mandada al controlador y,

posteriormente, este último ajusta la presión de los rodillos. El espacio que se

encuentra entre los rodillos y los sensores (los cuales miden su efecto en los

cambios de presión) es de 6 pies. Esto representa un retardo de tiempo de

entre 5.0 segundos y 5 segundos, dependiendo de la velocidad de la hoja de

acero. El primer rodillo se considera principalmente como un regulador y no

como un control fino. Podemos observar en la Figura 1.1, que la hoja de acero

continúa a través de cuatro rodillos hasta que llega al último rodillo. Después

de pasar por éste, otra radiografía mide el espesor final, en el cual el control es

más fino ya que si el espesor es muy grueso los rodillos actúan aumentando la

tensión entre ellos. De la misma forma, la distancia entre el controlador y el

sensor es también de 6 pies, teniendo un retardo de tiempo equivalente a 05.0

y 5.0 segundos, dependiendo la velocidad de la hoja de acero.



Figura 1.1 Molino Rodante Frío

1.2.2 SISTEMA TÉRMICO.

Este sistema consiste en hacer circular aire caliente, con un ventilador hacia

una habitación, y así mantenerla a una temperatura constante. Aquí el retardo

de tiempo que se observa es causado por la longitud que se encuentra entre el

horno y la habitación [10]. La lectura de la temperatura en la habitación es

tomada por un termómetro que funciona como sensor, la señal es llevada hacia

el controlador y éste acciona el actuador, el cual es una llave de paso para

regular la cantidad de combustible que alimenta el horno, como se muestra en

la Figura 1.2.

Figura 1.2 Sistema Térmico.

En general los retardos de tiempo se presentan en todos los sistemas térmicos,

ya sean para los procesos de destilación u otros de igual naturaleza [7].



1.2.3 SISTEMA HIDRÁULICO.

En un sistema hidráulico el objetivo es llenar un contenedor a un nivel como se

observa en la Figura 1.3. El contenedor está a un nivel h y se debe mantener

constante a ese nivel a través de un flotador, el cual actúa como un sensor

mandando la señal al controlador y así accionando la válvula [10]. El retardo

de tiempo se observa en la distancia d que se encuentra entre la válvula y el

depósito del líquido, tomando en cuenta que, si el sistema tiene una distancia

relativamente corta, el retardo de tiempo será casi imperceptible o muy

pequeño para observarlo, caso contrario que si estuviese a una distancia

considerable.

Figura 1.3 Sistema Hidráulico.

1.2.4 SISTEMA DE CONTROL DE VELOCIDAD.

Uno de los primeros sistemas de control fue el creado por James Watt en el

siglo diecinueve. Este rudimentario sistema consiste en un par de esferas que

rotan gracias al motor, los cuales se encuentran conectadas a una válvula de

vapor que alimenta al mismo motor; de esta forma se puede decir que cierra el

lazo del sistema, puesto que ésta actuará como regulador de velocidad del

motor. Las esferas giran a determinada velocidad y si éstas llegasen a girar con

mayor rapidez, por sus naturaleza, la fuerza centrífuga las elevaría

automáticamente, accionando la válvula de control del motor, ocasionando que

el motor tenga menor alimentación de vapor y, por consiguiente, bajaría su

velocidad tratando de mantenerse a una velocidad constante (dependiendo de

la calibración del sistema de control), como se muestra en la Figura 1.4. El

retardo de tiempo se puede observar cuando incrementa o decrementa su

velocidad, debido a la inercia del mismo sistema [10].



Figura 1.4 Sistema de Control de Velocidad.

1.2.5 SISTEMA CATALIZADOR.

Los retados de tiempo son vistos comúnmente en los procesos químico-

industriales, como es el caso de las refinerías. El sistema catalizador sirve para

producir gasolina a partir del petróleo [12]. La proporción de petróleo se

controla por el controlador de flujo, el cual hace también el intercambio de

calor. Éste es seguido por un horno que es regulado por un controlador de

temperatura de la salida del petróleo (es en esta parte del proceso en donde

podemos observar el retardo de tiempo). El petróleo entra después de haberse

mezclado con el catalizador por el regenerador, al fondo del reactor. Los

productos del reactor pasan a dos torres de separación de los que se obtienen

la gasolina, aceites pesados y otros sobrantes; esto puede ser visto en la Figura

1.5.



Figura 1.5 Sistema Catalizador.

1.2.6 CONTROL DE UNA NAVE ESPACIAL.

Los retardos de tiempo incluso se presentan también en las transmisiones de

señales de control y de comunicación de las naves o vehículos espaciales, ya

sean transbordadores, satélites, estaciones, etcétera [10]. Esto es debido a la

gran distancia que puede haber entre ellas, ya que la velocidad de transmisión

de las ondas electromagnéticas en el espacio libre es de sKm000,300 , este

retardo seria suficientemente considerable para tener efectos en la dinámica

del sistema. Tomando como ejemplo, una nave espacial que viaja a la luna, las

señales de control transmitidas de la tierra pudiera tomar tanto como un

segundo para alcanzar a la nave ver Figura 1.6.

Figura 1.6 Control de una Nave Espacial.

1.2.7 OTROS SISTEMAS CON RETARDO DE TIEMPO.

Existen innumerables sistemas con retardos de tiempo, los cuales no

solamente se encuentran en sistemas mecánicos, de ingeniería y químicos,

sino también en sistemas biológicos. Tales sistemas son generalmente mucho

más complejos y difíciles de modelar. Un artículo elaborado por Paul Rapp



(1976) habla precisamente del papel del retardo de tiempo en sistemas

biológicos aportando algunas referencias.

En este sentido, los retardos de tiempo resultan relevantes, por ejemplo, en el

estudio de las epidemias como el sarampión, en donde artículos como los de

Yorke (1972) y Maynard Smith (1974) hablan de los efectos de las demora en

sistemas biológicos desde un punto de vista elemental.

Otro caso en donde se manifiestan los retardos de tiempo es en los sistemas

políticos y económicos, en donde se ha intentado aplicar la teoría de control. La

referencia para estos sistemas se pueden encontrar en los trabajos de Bateman

(1945) y Tustin (1953), aunque más recientemente en las investigaciones de

Howarth (1973) y Parks (1972).

1.3 LOS CONTROLADORES.

Generalmente los controladores son previamente calculados y anexados a una

planta o sistema para regular su acción en lazo cerrado; esto permite que la planta

actué automáticamente y, en ocasiones, tales controladores dan como resultado

respuestas rápidas de salida, rechazo a perturbaciones y seguimiento de referencia.

En el inicio de la década de los 30´s, la mayoría los controladores de procesos

utilizados eran del tipo proporcional P. En el transcurso de varios años se

desarrollaron los controladores que comúnmente se les conoce como PI (Proporcional-

Integral). A finales de la década de los 30´s, se desarrolló el controlador que más auge

ha tenido desde entonces, el cual se le conoce como PID (Proporcional-Integral-

Derivativo). El controlador PID es la forma más común de realimentación. Los

términos del PID regulan el error actual de control P, errores pasados de control I y

predice el error que el sistema pueda tener en el futuro D. Nótese que actualmente el

control PID no ha dejado de ser utilizado, esto debido a su fácil manipulación y las

bondades que tiene para los distintos procesos que existen, asegurando que este tipo

de controlador tendrá todavía bastante uso en la industria, incluyendo los sistemas

con retardo de tiempo.

El controlador es un elemento crucial para el control de sistemas, ya que sin la

ayuda de éste no se podría hacer posible la automatización. De la misma forma, los

procesos con retardos de tiempo necesitan de controladores para obtener una

automatización, asegurando la estabilidad y que las respuestas satisfagan las

especificaciones de diseño. Sin embargo, el diseño de los controladores para sistemas

con retardo de tiempo no puede ser calculado directamente con análisis de control

clásico. Debemos notar que para los procesos de este tipo se tienen distintos métodos



de sintonización, entre los que se encuentran: métodos analíticos, reglas de ajuste y

diseños de diagramas.

1.3.1 UN REPASO A LA HISTORIA DE LOS CONTROLADORES.

Como ya se había mencionado, los retardos de tiempo se presentan en muchos

procesos, mismos que necesitan ser controlados para lograr su automatización.

Partiremos de uno de los primeros controles de procesos propuesto por James Watt en

el siglo XIX control de velocidad. Éste personaje hizo un control rudimentario para

una máquina de vapor, poniendo un peso muerto rotatorio en la flecha de velocidad de

la máquina y conectándola a una válvula de alimentación de la misma. Nótese que en

este sistema se tiene un retardo de tiempo por la misma inercia del sistema.

Obsérvese también que este control de velocidad no presenta ningún controlador PID,

ni mucho menos un método para la sintonización de la planta, y aunque este

controlador es muy rudimentario, es muy ingenioso ya que nos muestra uno de los

primero indicios del hombre por estudiar el control para los tantos sistemas que

existen.

Tomado como referencia este control de velocidad, se fueron desarrollando los

sistemas de control hasta obtener un control proporcional P, y así siguieron

desarrollándose hasta llegar al controlador PID. Era necesario desarrollar métodos y

técnicas para la sintonización de dichos controladores. En la época de la segunda

guerra mundial, el desarrollo tecnológico fue impresionante puesto que era de suma

importancia el avance de la tecnología para la determinación de las fuerzas en

conflicto de aquel entonces. En la década de los 40´s Ziegler y Nichols [14] presentaron

un manifiesto de reglas de sintonización de los controladores del tipo P, PI y PID. Éste

método es sencillo y eficaz para hacer cálculos rápidos para la obtención de los

parámetros de un controlador, ya sea P, PI o PID. Para poder utilizar esta regla, es

necesario obtener la respuesta de la salida entre una entrada escalón del proceso en

lazo abierto. La respuesta debe de ser en forma de “ s ” denominada curva de reacción

del proceso; esta regla utiliza la estimación de los parámetros del modelo usando un

método de tangente en el punto de inflexión de la curva de reacción, definiendo los

parámetros para los controladores.

Del método de sintonización de Ziegler y Nichols, se han generado varias

modificaciones o métodos, entre los cuales se pueden observar los trabajos de Cohen y

Coon [4]; el método propuesto por Chien, Hrones y Reswick [3], entre otros. Todos

estos métodos se les consideran como métodos por reglas de ajuste o en lenguaje

más coloquial métodos por tanteo. Algunos autores han utilizado estas reglas de



sintonización para controlar sistemas con retardo. En este trabajo se analiza ese

método para el caso de un sistema de primer orden estable con retardo.

De la misma manera existen los se llaman métodos iterativos, los cuales

pueden ser aplicados a los sistemas con retardos de tiempo. Los métodos iterativos

son los métodos analíticos y gráficos para ajustar un controlador en el dominio del

tiempo o la frecuencia; de entre los que se encuentran los métodos de sintonización

por lugar geométrico de las raíces y los de análisis de respuesta en frecuencia,

respectivamente. Técnicamente estos métodos proporcionan una primera

aproximación de los parámetros deseables del controlador y, aunque son mucho más

exactos que las reglas de ajustes, resultando ser más complejos para el cálculo de los

parámetros de controlador.

En este trabajo se analizará la sintonización de los controladores del tipo PID

por el lugar geométrico de las raíces. Cabe mencionar que antes de aplicar dicho

método se considera una aproximación del término del retardo para el diseño del

controlador.

En el año de 1957, O. J. Smith desarrolló un estudio de diagramas para el

control de los procesos estables con retardos de tiempo, el cual es llamado El

Predictor de Smith [12]. Este método consiste en un esquema que nos permite

eliminar el término de retardo de la ecuación característica en lazo cerrado. De esta

manera, es posible diseñar un controlador para el sistema libre de retardo. Este

diagrama es la punta de lanza para una nueva gama de métodos que se fueron

desarrollando a lo largo de los años para los procesos que necesitaban mayor robustez

y para procesos inestables con retardo de tiempo de distintos órdenes. Uno de los

trabajos más recientes sobre modificaciones al predictor de Smith es el que desarrolló

Xiang-Lu [13] en el año del 2005. En ese trabajo se propone un diagrama y un método

sencillo para los cálculos de dicho diagrama. También se considera el rechazo de

perturbaciones de tipo escalón.

Un método que puede ser aplicado a los procesos que tienen retardos de

tiempo son los Estimadores de Estados. Éste método consiste en el modelado y

control de sistemas basado en variables de estados. Éste método es muy similar al del

Predictor de Smith ya que se pretende estimar una señal intermedia entre la planta y

el retardo de tiempo. Para el diseño del estimador se considera una aproximación de

Padé [7] para el término de retardo.



CAPÍTULO II

DINÁMICA DE PROCESOS INDUSTRIALES.

2.1 INTRODUCCIÓN.

En el presente capítulo se revisan las diferentes respuestas de los procesos

industriales en lazo abierto a una entrada a escalón unitario y un modelo matemático

correspondiente al tipo de respuesta, la respuesta esta dada en segundos. Para poder

entender los procesos con retardo de tiempo, es necesario observar la dinámica del

retardo de tiempo puro, mostrando cómo es la respuesta al escalón de algunos

procesos que contengan el retardo. Ahora bien, para poder trabajar con el retardo de

tiempo puro en forma de una función de transferencia racional, se presenta el método

para aproximar los retardos propuesto por Padé, ya que en algunos métodos de

sintonización no es posible trabajar con el retardo de tiempo de forma que no sea

representado como función de transferencia.

También se muestra cómo se representa el controlador tipo PID, ya que es la

acción que gobierna el sistema cuando se cierra el lazo. Aunado a esto, es presentada

la planta propuesta en la cual recaen todos los métodos de sintonización.



2.2 MODELADO DE LOS SITEMAS.

En el presente trabajo se considera que el modelo del sistema es conocido,

como ya se había mencionado antes, se utiliza un sistema de primer orden estable con

retardo de tiempo para el análisis de los controladores. Sin embargo, en esta sección

se proporciona una forma simple y sencilla para obtener el modelo de un sistema en

caso de que éste no fuera conocido.

Cuando el diseñador de controladores no conoce el modelo de un sistema, la

dinámica de un proceso puede ser determinado a partir de la respuesta del proceso a

los pulsos, a los escalones, a las rampas u otras señales determinadas. La dinámica

de un sistema lineal es en principio, dada excepcionalmente de la respuesta

transitoria. Ésto requiere que el sistema este en reposo antes de que la entrada sea

aplicada y que no haya ningún error de medición. Sin embargo, en la práctica, es

difícil asegurar que el sistema no tenga errores de medición, en consecuencia el

método de la respuesta transitoria está limitado a la determinación de modelos

simples. Los modelos obtenidos de un experimento transitorio son a menudo

suficientes para la sintonización del controlador PID.

En la Figura 2.1 se presentan algunos ejemplos de respuestas al escalón de

algunos sistemas a lazo abierto. Muchas propiedades del sistema pueden ser leídas

directamente de la respuesta al escalón. En la Figura 2.1A, la salida del proceso es

cambiado a un nuevo valor estacionario. En la 2.1B, la salida del proceso oscila

alrededor de su valor estacionario final. Un caso donde ocurre ésta situación es en el

control de concentración de fluidos de recirculación. En diseños mecánicos los

procesos oscilatorios son comunes, por ejemplo en materiales elásticos. Los sistemas

en la Figura 2.1A y B son estables, mientras que los sistemas mostrados en las Figura

2.1C y 2.1D son inestables. El sistema en la Figura 2.1C indica la salida de un

proceso integrador. Los ejemplos de procesos integrales son: el control de nivel, el

control de presión en un depósito cerrado, el control de concentración y el control de

temperatura en cámaras aisladas. El factor común en todos estos procesos es que

algunos tipos de almacenamiento ocurren entre ellos. En el control de nivel, presión y

almacenamiento ocurre una concentración de masa; mientras que en control de

temperatura hay un almacenamiento de la energía. El sistema en la Figura 2.1E tiene

un tiempo muerto largo. El tiempo muerto ocurre cuando hay demora de transporte en

el proceso. El sistema en la Figura 2.1F es un sistema de fase no mínima, donde la

señal de medición inicialmente cambia con respecto a la dirección habitual. El nivele

de agua en las calderas a menudo reacciona de este modo después de un cambio al

escalón en la circulación de agua de la alimentación.



Si el sistema es lineal, todas las reacciones del escalón son proporcionales al

tamaño del escalón en la señal de entrada. Es conveniente normalizar las reacciones

dividiendo la señal de medición por el tamaño del escalón de la señal de control.

La respuesta al escalón es una manera conveniente de caracterizar una

dinámica de proceso debido a su interpretación física simple. Muchos métodos de

sintonización están basados en ello. Además, pueden utilizarse los métodos generales

para el diseño de sistemas de control. Para las perturbaciones pequeñas, el modelo del

proceso estático puede ser descrito por un parámetro llamado ganancia del proceso.

Ésta es sólo la proporción de los cambios de estado de un proceso de entrada y de

salida. La ganancia puede ser obtenida directamente de una respuesta al escalón

unitario. Para sistemas no lineales la ganancia del proceso dependerá de las

condiciones operativas. Para tales sistemas, un parámetro describe las propiedades

estáticas. Sin embargo, se requieren parámetros adicionales para captar la dinámica

del sistema. Los procesos estables con una respuesta al escalón uniforme, como se

muestra en la Figura 2.1A, son muy comunes en la industria. Muchos métodos para

obtener los parámetros de modelos de una respuesta al escalón han sido presentados

en la literatura con el paso de los años [2].

Figura 2.1 Respuestas al escalón de lazo Abierto.

Como se menciona, una forma de obtener la función de transferencia a través

de la respuesta escalón. Este análisis se usa en circunstancias en donde es difícil

aplicar las leyes físicas que describen al sistema en forma metódica. Para llevara



acabo dicho procedimiento, primero se realiza un registro experimental de la

respuesta escalón del sistema, es decir, se aplica una entrada de tipo escalón y

luego se miden los cambios provocados en la señal de salida en función del tiempo.

Para esto, se requiere tener a la mano un instrumento de medición y una impresora

conectada a la señal de salida o bien una memoria para almacenar los datos

obtenidos. Después de esto, con ayuda de la Tabla 2.1 (por ejemplo), se identifica la

función de transferencia que más se aproxima a la respuesta obtenida. La Tabla

2.1 muestra la relación que existe entre la función de transferencia y la respuesta

escalón para algunos sistemas comunes en la ingeniería de control.

Tipo de proceso Función de transferencia Respuesta al escalón

Constante ksG )(

Una constante de

tiempo Ts

ksG

1)(

Dos constantes de

tiempo )1)(1()(

21 sTsT

ksG

Integración s

ksG )(

Integración y una

constante de tiempo )1()(

Tss

ksG

Proceso de segundo

orden con

sobreimpulso 1

)(2

bsas

ksG

Tabla 2.1 Tabla de tipos de procesos, función de transferencia y respuestas al escalón.

2.3 SISTEMA DE LAZO CERRADO.

Podemos tomar en cuenta cualquiera de los sistemas mencionados en Capítulo

I como ejemplos de sistemas de primer orden con retardo. En la Figura 2.2 se muestra



un diagrama a bloques de un lazo de control simple. Todo sistema tiene dos

componentes muy importantes, el proceso y el controlador. Estos a su vez, son

representados como bloques funcionales que denotan la relación entre las entradas y

las salidas. El proceso tiene una entrada (la variable manipulada), también llamada

entrada de control, la cual se denota por u . La salida del proceso se llama variable del

proceso (VP) y se denota por y . Es importante mencionar que esta variable se mide

con un sensor. Por otro lado, el valor deseado de la variable del proceso se llama valor

de referencia (Set-Point) y se denota por spy . Se puede decir que el error de control es

la diferencia entre el valor de referencia y la variable del proceso, estos es yye sp .

Nótese que el controlador que se muestra en la Figura 2.1 tiene como entrada la señal

de error ( e ), posteriormente el controlador y el proceso son conectados en un lazo

cerrado de realimentación.

El propósito del sistema de control es llevar la variable del proceso cerca del

valor deseado. Esto se consigue con el lazo de realimentación, el cual trabaja de la

siguiente manera.

Suponiendo que por alguna razón la variable del proceso es más grande que el

valor de referencia, el error es entonces, negativo y la salida del controlador aumenta.

Este tipo de realimentación es llamado la reacción negativa, porque la variable

manipulada se mueve en la dirección opuesta a la variable del proceso.

El controlador tiene algunos parámetros que pueden ser ajustados. El lazo de

control funciona bien si los parámetros son calculados apropiadamente. El

procedimiento de encontrar los parámetros del controlador es llamado sintonización.

Figura 2.2 Diagrama funcional de un sistema de realimentación simple.

Para poder tener una sintonización adecuada, debemos llevar los procesos a

varias técnicas. Una de ellas es la técnica analítica, la cual consiste en desarrollar un

modelo matemático del proceso y diseñar un control dinámico (o estático),

considerando las características de dicho modelo matemático con métodos analíticos,

por ejemplo el lugar geométrico de las raíces.



Otra manera de sintonizar las acciones de control de los procesos, es escoger

algunos parámetros del controlador, observar el comportamiento del sistema de

realimentación, y modificar los parámetros hasta que el comportamiento deseado sea

obtenido.

2.4 PROCESO PROPUESTO PARA EL ANÁLISIS.

Para este trabajo se propone una planta de primer orden con retardo de tiempo

estable, dada por:

sLs

psTs

ksG 3.4

17.6

1

1)(

(2.1)

Esta planta es el punto de referencia para la confrontación de los distintos

métodos o técnicas de sintonización.

Como se puede observar, en la ecuación (2.1) se tiene una planta con un

retardo de tiempo de 3.4L segundos y una constante de tiempo de 7.6T

segundo. Estos dos parámetros son importantes ya que son utilizados para las

diferentes técnicas de control que son puestas a prueba.

Figura 2.3 Respuesta al escalón unitario sty /1)( de lazo abierto de la planta.



En la Figura 2.3 se muestra la respuesta al escalón unitario de la planta )(ty

dada por la ecuación (2.1). La planta o proceso es analizada con una estructura de

lazo cerrado con los controladores P, PI y PID para los métodos de reglas de ajuste,

iterativo, predicción y estimación de estados.

Es importante señalar que la presente tesis se basa en las respuestas

simuladas por el software “MATLAB SIMULINK”.

2.5 RETARDO DE TIEMPO.

Los retardos de tiempo se presentan en varios procesos industriales, de ahí su

importancia para su estudio y más para su entendimiento matemático.

Si una señal )(tx es aplicada a un elemento de retardo puro, el resultado de

salida será el desfasamiento de esa señal )(tx , L unidades de tiempo. La señal no

sufrirá distorsiones, todas las frecuencias que se presentan en la señal )(tx es pasada

sin atenuación. La salida es descrita por )( Ltx donde L es el retardo de tiempo.

Dejando que )(tx sea cero para los valores de 0t , así que )( Ltx es cero para los

valores de Lt .

Ahora bien aplicando la transforma de Laplace, la señal de salida mencionada,

tenemos:

0

)()exp()( dtLtxsLLtxL (2.2)

T

dtLtxsL )()exp( (2.3)

dxesL s )()exp(0

(2.4)

)()exp( sXsL (2.5)

Donde )()( txLsX , entonces,

sXsXsTLLtxL Ls )()()exp()( (2.6)

Donde *L

es igual a la transformada de Laplace *.



La ecuación (2.6) es representación del retardo puro de la variable compleja de

“ s ”. Es importante recordar que este resultado es de interés solo para funciones )(tx

que es cero para 0t o más generalmente para Lt donde L es mayor o igual a 0 .

La relación entre la función de transferencia y la respuesta al escalón para

algunos sistemas con retardo de tiempo se muestran en la Tabla 2.2.

Tipo de proceso Función de transferencia Respuesta al escalón

Una constante de

tiempo y un retardo

Ls

Ts

ksG

1)(

Integración y retardo Ls

s

ksG )(

Tabla 2.2 Tabla de tipos de procesos, función de transferencia y respuestas al escalón.

2.5.1 APROXIMACIÓN DEL RETARDO DE TIEMPO.

Para considerar una aproximación del retardo, se utiliza la aproximación de

Padé [7]. El trabajo original de Padé (Padé, H., 1899) fue inicialmente relacionado con

una expansión fraccionaria continua para la función exponencial. Existe una estrecha

relación entre la aproximación de Padé y algunas ramas del análisis numérico. La

aproximación de Padé dispone que la función exponencial está dada como el radio de

dos polinomios y puede representarse como )()( sDsN nn . El polinomio del

numerador )(sN n y el polinomio del denominador )(sDn tienen el mismo orden.

Existe una relación adicional para dichos polinomios, esto es )()( sDsN nn , la cual

es esencial para preservar las propiedades de un filtro pasa altas y bajas. La

aproximación de Padé para el término Ls está dado por:

)(

)(

sD

sN

n

nLs (2.7)

Donde n representa el orden de la aproximación de Padé y la constante k

toma los valores de nk ,...,2,1,0 . Las aproximaciones de Padé desde un primer orden

hasta un quinto orden se muestran a continuación:



sL

sL

sD

sNLs

2

2

)(

)(

1

1 (2.8)

2

2

2

2

2

2

612

612

)(

)(

ssLL

ssLL

sD

sNLs

(2.9)

32

23

32

23

3

3

1260120

1260120

)(

)(

ssL

sLL

ssL

sLL

sD

sNLs

(2.10)

432

234

432

234

4

4

201808401680

201808401680

)(

)(

ssL

sL

sLL

ssL

sL

sLL

sD

sNLs

(2.11)

543

2

2

345

543

2

2

345

5

5

3042033601512030240

3042033601512030240

)(

)(

ssL

sL

sL

sLL

ssL

sL

sL

sLL

sD

sNLs

(2.12)

2.6 ACCIÓN DE CONTROL PID.

En éste apartado se muestra el sistema de lazo cerrado con un control PID y se

describen las características generales de dicho controlador. Las acciones de control

PID, dicho de forma coloquial, actúan de la siguiente manera: Proporcional, “el cual

considera el error actual del control”; Integral, “considera el error del pasado”; y

Derivativo, “considera el error futuro”.

Figura 2.4 Diagrama del controlador PID con señales.

Un compensador o controlador del tipo PID está formado por las acciones

proporcional, integral y derivativa. De acuerdo a la estructura mostrada en la Figura



2.4, la señal )(tm es la acción del controlador PID, la cual actúa sobre la señal de

error )(te , como se muestra en la siguiente ecuación:

t

dp

i

p

pdt

tdeTKdtte

T

KteKtm

0

)()()()( (2.13)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (2.13), podemos obtener la

función de transferencia del compensador PID dada por:

sT

sTK

sE

sMsG d

i

pc

11

)(

)()( (2.14)

Las constantes pK , iT y dT son los parámetros del controlador, donde pK es

la ganancia proporcional, iT es el tiempo integral, y dT es el tiempo derivativo. Los

valores de ganancias grandes en pK y iT/1 reducen los errores del sistema, mientras

el factor iT/1 creciente reduce la estabilidad [8].

La ecuación (2.13) también se puede escribir como:

s

KsKsKsK

s

KKsG

ipd

d

i

pc

2

)( (2.15)

Dónde:

pK =Ganancia proporcional

iK = Ganancia integral

dK = Ganancia derivativa

En este caso pK , iK y dK son las ganancias del controlador. Como puede

notarse en la ecuación (2.15) la función de transferencia del controlador PID tiene dos

ceros y un polo, entonces al introducir un compensador PID en cascada con la planta

mostrada en la Figura 2.5, modifica la respuesta del sistema en lazo cerrado debido a

la inclusión de estos dos ceros y el polo. Con el control PID sintonizado



adecuadamente, las características de la respuesta de salida debe tener los valores de

las especificaciones de diseño.

Figura 2.5 Control PID de una planta.



CAPÍTULO III

MÉTODOS HEURÍSTICOS DE SINTONIZACIÓN.

3.1 INTRODUCCIÓN.

En este capítulo se presenta la respuesta de salida ante una entrada de tipo

escalón para la planta propuesta. Esta respuesta se utiliza posteriormente para la

aplicación de las reglas de ajuste citadas en este capítulo. En cada método de

sintonización se presentan resultados en simulación.

Considerando el modelo estable de primer orden con retardo de tiempo

propuesto, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los

parámetros del controlador que cumpla con las especificaciones; por ejemplo una

respuesta rápida o un sobreimpulso poco significativo. Nótese que los métodos

heurísticos fueron diseñados para procesos que generan una curva de reacción a la

salida en forma de “ s ” (como muestra la figura 3.1). Sin embargo, en este trabajo son

aplicados dichos métodos a la planta propuesta, la cual cuenta con un retardo de

tiempo. Los métodos utilizados en este capítulo para la sintonización de los

controladores del tipo P, PI y PID son los propuestos por: Ziegler y Nichols, Chien,

Hrones y Reswick, así como el propuesto por Cohen y Coon.



Las reglas de ajuste surgen en la década de los 40’s creadas originalmente por

Ziegler y Nichols para controladores de tipo P, PI y PID. Estas reglas se basan en tomar

la respuesta al escalón en lazo abierto de la planta que se pretenda sintonizar,

observando que la salida de la respuesta debe de ser en forma de “ s ” mostrada en la

Figura 3.1, esta respuesta se le denomina curva de reacción del proceso.

Figura 3.1 Curva de reacción del proceso.

Esta regla propone que en la salida de la respuesta al escalón del proceso se

debe trazar una línea tangente en el punto de inflexión de la curva de reacción,

obteniendo dos parámetros importantes para el cálculo de los valores de los

controladores. Estos dos puntos son llamados tL y a para el eje x así como el eje y ,

respectivamente. Esto se ilustra en la siguiente Figura 3.2.

Figura 3.2 Punto de inflexión de la línea tangente.

3.2.1 RESPUESTA AL ESCALÓN A LAZO ABIERTO DE LA PLANTA PROPUESTA.

Generalmente las reglas de ajuste son aplicadas a procesos que presentan la

curva de reacción del proceso. Sin embargo estas pueden ser aplicadas a los procesos

con retardo de tiempo como se propone en trabajo. Esto puede realizarse debido a la

similitud que tiene la respuesta de salida del sistema con retardo de tiempo respecto a

la respuesta en forma de “ s ”. En esta sección se aplica una entrada de tipo escalón a

la planta propuesta para obtener los parámetros de sintonización sL y a . Una vez



obtenidos los parámetros de sistemas en la sección, se aplican las reglas de

sintonización mencionadas anteriormente.

Considérese la planta propuesta en este trabajo, dada en el capítulo anterior y

escrita nuevamente en la ecuación (3.1).

sLs

psTs

ksG 3.4

17.6

1

1)(

(3.1)

Para los métodos de regla de ajuste es necesario tener la respuesta de lazo

abierto de la planta propuesta (ecuación 3.1), en la cual debe trazarse la línea

tangente en el punto de inflexión en la salida del proceso como se muestra en la

Figura 3.3. De esta forma se obtienen los parámetros necesarios para la sintonización

de los controladores proporcional, integral y proporcional integral derivativo.



Figura 3.3 Trazado de la línea tangente en el punto de inflexión.

De la Figura 3.3 se obtuvieron las siguientes constantes: 3.4tL y 438.0a .

Dichas constantes se utilizan en los métodos de las reglas de ajuste

proporcionadas anteriormente.



3.3 MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS.

Un método clásico para determinar los parámetros ( pK , iT y dT ) de los

controladores PID, fue presentado por Ziegler y Nichols [14] en el año de 1942. Este

método todavía es ampliamente aplicado en la industria, constituyendo la base para

ajustar el proceso de control en una planta, ya que sus respuestas pueden ser

mejoradas por otras técnicas. El método está basado en la determinación de las

características de la dinámica de proceso. Para calcular las ganancias del controlador,

como se muestra en la Tabla 3.1, se utilizan los parámetros a y tL . Para aplicar éste

método a la planta propuesta se sustituyen dichos parámetros en la tabla.

Tipo de

controlador

pK

iT

dT

P

1a

0

PI

0.9a

tL3

0

PID

1.2a

tL2

2tL

Tabla 3.1. Regla de sintonía de Ziegler y Nichols puesta escalón de la planta.

De las formulas observadas en la Tabla 3.1, las ganancias pk , iT y dT se

sustituyen en la función de transferencia del PID ecuación (3.2).

sTKsT

KKsG dp

i

p

pc )( (3.2)

Como se había mencionado anteriormente, el método de Ziegler y Nichols fue

diseñado para los sistemas que tienen su respuesta de salida a lazo abierto en forma

de “ s ”. Sin embargo, por la semejanza que presentan los sistemas de primer orden

estables con retardo FOPDT (por sus siglas en ingles First Order Plus Time Delay) a

éste tipo de respuesta, tal método puede ser aplicado a dichos sistemas, de igual

manera puede ser aplicado a los sistemas de una integración estable con retardo de

tiempo IPDT (por sus siglas en ingles Integrating Plus Time Delay). Es por ésta razón



que en éste trabajo se propone aplicar el método de Ziegler y Nichols al sistema de

primer orden estable con retardo de tiempo.

3.3.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS.

Los métodos de reglas de ajuste para la sintonización de los controladores

basados en la curva de reacción del proceso en forma de “ s ”, sin duda, pueden ser

aplicados para procesos con retardo de tiempo.

Como se observa, los valores que se obtienen de la respuesta al escalón Figura

3.3 del proceso, se sustituyen en la Tabla 3.2, la cual muestra los valores de las

constantes para las acciones de control.

Tipo de

controlador

pK

iT

dT

P

28.2

0

PI

05.2

9.12

0

PID

73.2

6.8

15.2

Tabla 3.2. Regla de sintonía de Ziegler y Nichols basada en la respuesta escalón de la planta.

Así, tenemos los valores de las constantes observadas en la Tabla 3.2, las

cuales, se sustituyen en la ecuación (3.2). Los controladores P, PI y PID están dados

por las ecuaciones (3.3), (3.4) y (3.5), respectivamente:

28.2)( sGP c (3.3)

ssGPI c

1589.005.2)( (3.4)

ss

sGPID c 8695.53174.0

73.2)( (3.5)

Una vez calculadas las ganancias del controlador, se utiliza el esquema de

control mostrado en la Figura 3.4. Dicho sistema se simula en el software SIMULINK

para observar el comportamiento de la señal de salida en el lazo cerrado.



Figura 3.4 Esquema de control para simulación.

La señal de salida se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5 Respuestas a escalón de método de sintonización de Ziegler y Nichols.

La Figura 3.5 muestra la respuesta de salida de la planta, considerando

una entrada escalón unitario y las tres acciones de control dadas por las ecuaciones

(3.3), (3.4) y (3.5) para observar cual puede ser la mejor opción para obtener una

respuesta de salida adecuada, en donde )(1 ty )(2 ty y )(3 ty representan la señal de

salida cuando se consideran los controles P, PI y PID respectivamente.

Para el análisis comparativo de los controladores utilizados se consideran los

siguientes parámetros de la respuesta de salida sse , pM , dt , rt , pt y st .

Los valores de los siguientes parámetros: sse Error en el estado estacionario,

pM Máximo sobreimpulso, dt Tiempo de retardo, rt Tiempo de subida, pt Tiempo

pico, st Tiempo de establecimiento y AN / (significa No Aplica), obtenidos de la



simulaciones de los controles P )(1 ty , PI )(2 ty y PID )(3 ty se muestran en la Tabla

3.3.

Señal

sse

pM

dt

rt

pt

st

)(1 ty

%30

%5.17

AN /

AN /

AN /

AN /

)(2 ty

AN /

%42

6

8

83.10

40

)(3 ty

AN /

%61

56.5

8.6

5.8

Tabla 3.3. Respuestas transitorias de la regla aplicada de sintonización de Ziegler y Nichols.

De la Tabla 3.3 podemos observar que la respuesta )(1 ty (cuando se considera

un control proporcional) no alcanza la referencia, por lo que existe un error en estado

estacionario “ sse ”, esto es debido a que el sistema es de tipo “ 0 ”. El error en el estado

estacionario es del %30 . Para eliminar este error es necesario aumentar el tipo de

sistema. La adición de un elemento integral elimina dicho error. La respuesta del

sistema de lazo cerrado, cuando se considera un control con una ganancia

proporcional, presenta un máximo sobreimpulso “ pM ” del 17.5%. Esto muestra que

la primera acción de control P para las reglas de ajuste, nos proporciona una

respuesta de salida estable; sin embargo, el “ pM ” es excesivo. La señal )(2 ty en la

Tabla 3.3 representa la respuesta del sistema utilizando un controlador (PI). De la

tabla 3.3 es posible ver que el controlador PI permite al sistema eliminar el error en el

estado estacionario “ sse ”, llegando siempre a la referencia. Esto puede observarse en

la Figura 3.5 donde el valor final de )(2 ty es el valor del escalón unitario. La

respuesta alcanza un máximo sobreimpulso “ pM ” del %42 , el cual, también resulta

excesiva para fines prácticos; y por último observamos un tiempo de establecimiento

“ st ” de 40 segundos. Esto indica que la respuesta de salida fue mejorada con respecto

al seguimiento de referencia, pero es conveniente mencionar que el sobreimpulso

obtenido con el control PI es un factor que puede dañar al sistema en un caso

práctico. La señal )(3 ty representa al PID observando que en esta respuesta de salida

se inestabiliza con los parámetros calculados por éste método.



3.4 MÉTODO DE CHIEN, HRONES Y RESWICK.

Han sido muchas las propuestas hechas para mejorar el método de

sintonización de Ziegler y Nichols (ZN). Entre ellos se encuentran los de Chien, Hrones

y Reswick (CHR) [3], quienes propusieron obtener una “respuesta con 0% de

sobreimpulso” o una "respuesta más rápida con 20 % de sobreimpulso" como criterios

de diseño, a los que son llamados método 1 y método 2, respectivamente.

De esta forma, al sintonizar el controlador de acuerdo con el método de CHR,

los parámetros a y tL del modelo de proceso (lazo abierto) es determinado del mismo

modo que para el método de Ziegler y Nichols. Los parámetros del controlador son

dados como funciones de estos dos parámetros, de manera similar a la Tabla

propuesta por (ZN).

La forma de calcular los parámetros del control con la propuesta (CHR) se

presenta en la Tabla 3.4.

Método 1 2

Controlador k iT dT k iT dT

P

a

3.0

0

a

7.0

0

PI

a

6.0

tL4 0

a

7.0

tL3.2 0

PID

a

95.0

tL4.2 tL42.0

a

2.1

tL2 tL42.0

Tabla 3.4 Los parámetros para el controlador propuesto por Chien, Hrones y Reswick.

Este método se presenta como una mejora al Método de Ziegler Nichols, puesto

que aporta dos alternativas de sintonización para el control de un proceso.

Básicamente el método 1 (criterio del 0% de sobreimpulso) indica que tendrá un

mínimo de oscilaciones y una respuesta rápida en comparación con el método visto

anteriormente (ZN). En el caso del método II (criterio del 20%), dará una respuesta

más rápida pero con la desventaja de que el sobreimpulso puede alcanzar el 20%. De

igual forma este método se puede aplicar a los procesos de primer orden con retardo

de tiempo. A continuación se aplica la sintonización el método de (CHR) para la planta

propuesta.



3.4.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO 1 DE CHIEN HRONES Y RESWICK

Utilizando los valores que se obtuvieron de la respuesta al escalón en la Figura

3.3 del proceso, se obtienen los parámetros de los controladores considerando dicho

método. Esto se muestra en la Tabla 3.5

Método 1

Controlador k iT dT

P 0.6849 0

PI 1.3699 17.20 0

PID 2.1689 10.32 1.806

Tabla 3.5 Parámetros para el controlador por el método 1 de Chien, Hrones y Reswik.

0.6849)( sGP c (3.6)

ssGPI c

0.07961.3699)( (3.7)

ss

sGPID c 3.91710.2102

2.1689)( (3.8)

Figura 3.6 Respuestas a escalón de método 1 de sintonización de Chien, Hrones y Reswick.



En la Figura 3.6 podemos observar las respuestas de salida de éste método,

utilizando los controles P señal )(1 ty , PI señal )(2 ty y PID señal )(3 ty sintonizados

por las ecuaciones (3.6), (3.7) y (3.8), respectivamente.

De la misma forma que la simulación del método de (ZN), se utiliza, para el

análisis comparativo de los controladores, los siguientes parámetros de la respuesta

de salida sse , pM , dt , rt , pt , st y AN / mostrados en la Tabla 3.6.

Donde:

sse : Error en el estado Estacionario

pM : Máximo Sobreimpulso.

dt : Tiempo de Retardo.

rt : Tiempo de Crecimiento de (100%)

pt : Tiempo Pico

st : Tiempo de Establecimiento (5%).

AN / No aplica

Señal

sse

pM

dt

rt

pt

st

)(1 ty

%60

N/A

AN /

AN /

AN /

AN /

)(2 ty

AN /

N/A

2.7

202

N/A

5.49

)(3 ty

AN /

%3.26

87.5

8

43.11

1.36

Tabla 3.6. Respuestas transitorias del método 1 de Chien, Hrones y Reswick.

De la Tabla 3.6 se puede observar que la respuesta )(1 ty (cuando se considera

un control proporcional), al igual que en el método de (ZN), no alcanza la referencia,

por lo que existe un error en estado estacionario “ sse ” del %60 . Esto muestra que la

primera acción de control P para el primer método de (CHR), proporciona una

respuesta de salida estable; sin embargo, al igual que el control proporcional de (ZN),



éste no logra alcanzar la referencia. La señal )(2 ty en la Tabla 3.6 representa la

respuesta del sistema utilizando un controlador PI. De la tabla 3.6 es posible ver que

el controlador PI permite al sistema eliminar el error en el estado estacionario “ sse ”,

llegando siempre a la referencia. Esto puede observarse en la Figura 3.6, donde el

valor final de la señal )(2 ty es el valor del escalón unitario. La respuesta no logra

alcanza un máximo sobreimpulso “ pM ”, no obstante, se logra visualizar una pequeña

oscilación que para casos prácticos no representa alguna afectación hacia la planta, y

es observado un tiempo de establecimiento “ tt ” de 5.49 segundos. Esto indica que la

respuesta de salida fue mejorada con respecto al seguimiento de referencia, pero es

conveniente mencionar que el tiempo de establecimiento es mas lento al alcanzar la

referencia que en el método de (ZN) para el control PI. La señal )(3 ty representa al

PID, constatando que ésta respuesta de salida, a diferencia del PID del método de (ZN),

no se inestabiliza, la señal alcanza la referencia teniendo un máximo sobreimpulso

“ pM ” de %3.26 , en donde el tiempo de establecimiento “ tt ” es de 1.36 segundos, lo

que indica que éste controlador puede ser factible para el control automático de la

planta propuesta.

3.4.2 SIMULACIÓN DEL MÉTODO II DE CHIEN HRONES Y RESWICK.

Chien, Hrones y Reswick propusieron 2 variantes de su método. La segunda

variante consiste en hacer más rápida la respuesta del lazo cerrado, pero teniendo un

sobreimpulso más alto. Utilizando los parámetros que previamente fueron obtenidos

( a y tL ) para la planta propuesta, se tiene como resultado los datos de la Tabla 3.7.

Método 2

Controlador k iT dT

P 1.5982 0

PI 1.5982 9.89 0

PID 2.7397 8.6 1.806

Tabla 3.7 Parámetros para el controlador por el método 2 Chien, Hrones y Reswik..

Donde se obtienen los parámetros para los controles P, PI y PID. De esta

manera, las ganancias de los controladores están dadas por:

1.5982)( sGP c (3.9)



ssGPI c

0.16161.5982)( (3.10)

ss

sGPID c 4.94790.3186

2.7397)( (3.11)

Figura 3.7 Respuestas a escalón de método 2 de sintonización de Chien, Hrones y Reswick..

En la Figura 3.7 podemos observar las respuestas de salida del segundo

método de (CHR), utilizando los controles P señal )(1 ty , PI señal )(2 ty y PID señal

)(3 ty , sintonizados por las ecuaciones (3.9), (3.10) y (3.11), respectivamente.

De la misma forma que las simulaciones de los métodos anteriores, se utiliza

para el análisis comparativo de los controladores los siguientes parámetros de la

respuesta de salida sse , pM , dt , rt , pt , st y AN / mostrados en la Tabla 3.8.

Donde:

sse : Error en el estado Estacionario

pM : Máximo Sobreimpulso.

dt : Tiempo de Retardo.



rt : Tiempo de Crecimiento de (100%)

pt : Tiempo Pico

st : Tiempo de Establecimiento (5%).

AN / No aplica

Señal

sse

pM

dt

rt

pt

st

)(1 ty

%38

N/A

AN /

AN /

AN /

AN /

)(2 ty

AN /

%25

56.6

17.9

14

87.26

)(3 ty

AN /

%72.58

8.5

05.7

9

Tabla 3.8. Respuestas transitorias del método 2 de Chien, Hrones y Reswick.

De la Tabla 3.8 podemos observar que la respuesta )(1 ty (que se considera un

control proporcional) no alcanza la referencia, por lo que existe nuevamente un error

en estado estacionario “ sse ”. El error en el estado estacionario es del %38 . La señal

)(2 ty en la Tabla 3.8 representa la respuesta del sistema utilizando un controlador

(PI). De la tabla 3.8 es posible ver que el controlador (PI) elimina el error en el estado

estacionario “ sse ” llegando a la referencia. Esto puede observarse en la Figura 3.7

donde el valor final de la señal )(2 ty es el valor del escalón unitario. La respuesta

alcanza un máximo sobreimpulso “ pM ” del %25 el cual resulta no tan excesivo para

fines prácticos y por último se observa un tiempo de establecimiento “ st ” de

87.26 segundos. Esto indica que la respuesta de salida mejora, con respecto a las

respuestas de salida del controlador PI del método de (ZN) y al controlador PID del

primer método de (CHR). La señal )(3 ty representa al PID, constatando que en esta

respuesta de salida, al igual que el controlador PID del método de (ZN), se inestabiliza

con los parámetros calculados por éste método.



3.5 MÉTODO DE COHEN Y COON.

El método de Cohen y Coon [4] está basado en el modelo del proceso, en este

caso se tiene:

sLsp

psTs

kG 3.4

17.6

1

1

(3.12)

El método de sintonización está basado en la caracterización de los tres

parámetros ( pk , L y T ). De esta manera, éste método sugiere dar fórmulas para

obtener los parámetros del controlador. Tales fórmulas fueron obtenidas por Cohen y

Coon (CC) basándose en cálculos analíticos y numéricos. Los resultados de éste

método pueden observarse en la Tabla 3.9 donde se utilizan los parámetros:

T

Lka pc (3.13)

TL

L

(3.14)

Controlador k iT dT

P

1

35.01

1

ca

0

PI

1

92.01

1

ca L

2.11

33.3

0

PID

1

18.01

35.1

ca L

39.01

25.2

L

81.01

37.037.0

Tabla 3.9 Parámetros del controlador por el método de Cohen y Coon.

3.5.1 SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE COHEN Y COON.

A continuación se aplicara el método a la planta propuesta ecuación (3.12). Los

valores de los parámetros son: 1pk , 3.4L y 7.6T . Estos valores se sustituyen

en las ecuaciones (3.15) y (3.16), obteniendo:

6418.07.6

3.41

T

Lka pc (3.15)



3909.0

3.63.4

3.4

TL

L (3.16)

Los valores obtenidos ca y son sustituidos en la Tabla 3.9 para obtener los

parámetros de los controladores. Un resume de esto se presenta en la Tabla 3.10.

Controlador k iT dT

P 1.9081 0

PI 2.4781 6.2265 0

PID 3465.2 7172.8 4181.1

Tabla 3.10 Parámetros del controlador por el método de Cohen y Coon.

Los controles obtenidos por éste método son:

1.9081)( sGP c (3.17)

ssGPI c

0.30652.4781)( (3.18)

ss

sGPID c 3.32750.2692

2.3465)( (3.19)

Se realiza una simulación del sistema en lazo cerrado como referencia a una

entrada de tipo escalón unitario como se muestra en la Figura 3.8.



Figura 3.8 Respuestas a escalón de método de sintonización de Cohen y Coon.

En la Figura 3.8 se puede observar las respuestas de salida del segundo

método de (CC), utilizando los controles P señal )(1 ty , PI señal )(2 ty y PID señal

)(3 ty , sintonizados por las ecuaciones (3.17), (3.18) y (3.19), respectivamente.

Las características de las respuestas de salida vistas en la Figura 3.8 están

dadas en la Tabla 3.11.

t e s i s...d(s) son polinomios en la variable compleja “ s ”; y g(s) es la función de...

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