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O20 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA == 4

DE MEXICO 2 Se

FACULTAD DE INGENIERIA

DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO

LOCALIZACION DE FUGAS EN TUBERIAS USANDO

REDUNDANCIA ANALITICA

T E S I Ss

PRESENTADA POR:

FAUSTO MANUEL IBINARRIAGA CELIS

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN INGENIERIA (ELECTRICA)

Directora de tesis: Dra. Ma. Cristina Verde Rodarte

CIUDAD UNIVERSITARIA 1999

TESTS CON L aw

FALLA DE ORiokN 1

UNAM – Dirección General de Bibliotecas

Tesis Digitales

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SOCOHOHSHOOHSOHSOCOHOHOSHESCOSESSHS

SESE

E

Contenido

1 Introduccién

1. Motivacion 20. 6 ee ee .

1.2 Redundancia Analftica 0.6 ee et

1.3 Cronologfa, . 6. ee ee

1.4 Aportacion 2. ee es

1.5 Distribucién dela Tesis 2... ee ee es

2 Espacio de Paridad

2.1 Redundancia Analitica. 2... ee es

2.2 Ydea Fundamental 2... 0.0. ce ee eee ee ees

2.2.1 Espacio de Paridad. ©... 2 ee ees

2.3 Esquema FDI en Malla Cerrada... 0-2-0 ee eee ees

83 Modelo Genérico de un Fluido en una Tuberia

3.1 Modelado . 2... 0. ce ee te ee ee ee

3.1.1 Ecuacién de Movimiento. 2... ee

3.1.2 Ecuacién de Continuidad . 2... 6. ee ee ee es

3.1.3 Ecuacién Constitutiva ©... es

3.1.4 Modelo del Fluido en la Tuberia .... 2... 22 ee eee

3.1.5 Simplificaciones al Modelo... . 6.6 ee ee eee ee

3.1.6 Condiciones de Frontera... 0-6 6. ee ee ee

3.2 Acondicionamiento del Modelo para Deteccién de Fallas

3.2.1 Modelo de la Tuberfa en Condiciones de Falla. ........-

13

15

17

18

19

19

21

22

26

3.2.2 Walidacién del Modelo del Fluido en la Tuberia .. 2-6. 6-2 ee eee

3.3 Linealizacién del Modelo de la Tuberfa . 2... ee ee

3.4 Observabilidad 2.00. ee eee eee ns

Aplicacién del Espacio de Paridad al PDLFT

4.1 Introduccién. 2... ee

4.2 Detectabilidad de Pallas... 00.0 anes

4.3 Formulacién del Problema de Deteccién de Fugas Multiples ......-.--->-

43.1 Planteamiento 2... ee ee es

4.3.2 Banco de Observadores 2.6 6 6 ee ee es

4.3.3 Solucién al Problema de Fugas Milltiples .. 6.2... eee eee

4.3.4 Construccién del Observador 0 Filtro. . 6... ee ee

4.4 Proceso de Aislamiento 2... 6 ee ee ee tes

Resultados

Bl Resultados en Simulacin «2... eee ees eee.

5.2 Resultados Experimentales ©... ee es

Conclusiones

Apéndice.. 2.0... te et nee

Bibliografia. ©0000 ee ee ee te ee tes

Nomenclatura

A matriz que representa la dinémica del sistema

Aa matriz que representa la dind4mica del sistema con desviacién de su valor nominal

Ao matriz que representa la dind4mica del sistema linealizado

Ar 4rea de la seccién transversal de la tuberfa

An. submatriz del sistema transformado para construir observador

Aine submatriz del sistema transformado

a1 coeficiente de la ecuacién de gasto

ag coeficiente de la ecuacién de presién

a* a/2

B matriz de distribucién de entradas al sistema dindémico

Ba matriz de distribucién de entradas al sistema dinémico con desviacién de su valor nominal

B(ax(t)) matriz de entradas no lineal

Bo matriz de entrada linealizada

b velocidad de la onda de choque

Cc , matriz de mediciones

Cy matriz de ponderacién del criterio éptimo fallas

Ca matriz de ponderacién del criterio 6ptimo entradas desconocidas

D didmetro de la seccién transversal de la tuberfa

EB; matriz iésima. de distribucién de entradas desconocidas en la dindmica. del sistema

Emi matriz iésima de distribucién de entradas desconocidas en los sensores

e(t) error de estimacién

F matriz de la dinémica del observador

F, fuerza de friccién que se ejerce sobre la pared del ducto

Fy fuerzas debidas a la presién en el ducto

H(a,t)

i,

Hz

Ty

i

i

Hy

nlf

factor de friccién

matriz de distribucidn de salidas del sistema al observador

ganancia del observador

altura de la columna de la presién

matriz de subespacios observables asociados a las condiciones iniciales

matriz de subespacios observables asociados a las entradas conocidas

matriz de subespacios observables asociados a las entradas desconocidas

matriz de subespacios observables asociados a las fallas

presién en la seccién iésima de la tuberfa

cota de altura de la tuberfa sobre el nivel de referencia

sub{indice de variacién iésimo

funcién de deteccién

matriz de distribucién de entradas conocidas del observador

matriz de distribucién de fallas en la din4mica del sistema

matriz de distribucién de fallas en los sensores

matriz de distribucién de salida del observador

matriz de distribucién de salidas del sistema al observador

niimero total de posibles fugas

longitud total de la tuberfa

vector transformado de fallas

peso del elemento de flufdo

mimero de secciones

término no lineal del modelo del fiuido en la tuberfa

término no lineal de fuga

Pi

Pe

Q(z, t)

Qi Qf

Q?

Qe

Qr Q*

r()

u(t),

uu (2)

ua(t) yr

v

u;(z,t)

operador derivada

presién

miméro total de columnas que representan las fallas

mimero total de columnas que representan las entradas desconocidas

gasto en la tuberfa

gasto i ésimo

gasto de fuga

gasto en el punto b de la condicién de frontera

gasto en el punto a de la condicién de frontera

flujo en el punto r

gasto en el punto a de la condicién de frontera

inversa de la matriz de transformacién

residuo

orden de la ventana de tiempo o espacio de paridad

coordenada de tiempo

vector de entradas conocidas al sistema

entrada lineal al sistema

entrada no lineal al sistema

generador de paridad

componente del vector generador de paridad

volumen

velocidad del flujo

generador de paridad no 6ptimo

vector de seleccién

a(t)

xf

(Lo; to)

ty

Xe

y(t)

Yai(t)

AA

Ag .

Af)

Ap(t)

Amf(t)

Amp(t)

rR

vector de estados

coordenada espacial

punto de fuga

punto de operacién

subespacio robusto a una falla y sensible a otras

subespacio sensible a todas las fallas

vector de estados transformados

vector de salida del sistema

vector de salida auxiliar del sistema transformado

salida estimada

Angulo de inclinacién del ducto

factor de olvido

peso especifico

maximo entero que cumple CAK! = 0

desviacién de la matriz nominal A

tamaiio de la celda en que se discretiza la tuberia

méximo entero que cumple CAE? = 0

vector iésimo de fallas en la dindmica del sistema

vector iésimo de entradas desconocidas la dindmica del sistema

vector iésimo de fallas en los sensores

vector iésimo de entradas desconocidas en los sensores

fuga

DA ~2A

eeeooeen@eoa2eoenoeeoanneoeeendgesdeeoee

ee 888008

@ ¢

6 valor propio

p(x, t) densidad

T apertura de la vdlvula

5 724100)

7 H74100)

¢ factor de ajuste

Fi numero de permutaciénes (posibles fallas)

9 flujo masico

Abreviaturas

FDI Deteccidn y aislamiento de fallas. (fault detection and isolation)

PDLFT Problema de deteccién y localizacién de fugas en tuberias

Capitulo 1

Introduccién

En este capitulo se presenta el contexto del problema de Deteccién y Aislamiento de Fallas

denotado por sus siglas en inglés como FDI. Adicionalmente se introduce la motivacién para

resolver el problema de deteccién de fugas en tuberfas y las aportaciones que genera esta tesis.

1.1 Motivacién

Una gran preocupacién en todas las ramas de la ingenierfa es incrementar Ja rentabilidad,

disponibilidad y seguridad en los procesos técnicos, por lo que escenarios de fallas y contingencias

dominan el disefio de sistemas. Tradicionalmente, los criterios de disefio manejan Ja filosofia

del “peor caso”, sobredimensionando los sistemas para incrementar su seguridad, o creando

esquemas tolerantes a fallas que pueden seguir funcionando después de una contingencia. Sin

embargo en procesos a gran escala un monitoreo automético continuo es necesario para poder

detectar y ubicar una falla.

Un caso concreto de lo anterior son las redes de distribucién de fluidos donde aumenta

la demanda de sistemas de supervisién y monitoreo automético para la deteccién de fallas,

entendiendo el término falla dentro de este contexto como la anomalia que provoca un mal

funcionamiento de la red.

Especfficamente las fallas mds frecuentes en las redes de distribucién de fluidos son fugas,

obstrucciones y rupturas de tubos. Estas deben ser localizadas y detectadas lo mas rdépido posi-

ble para activar sefiales de alarma que permitan a los operadores 0 a los sistemas autométicos

de control tomar medidas correctivas, evitando con ello e] mayor dafio posible a los usuarios

del servicio al no producirse la cafda completa de la red, o accidentes de grandes dimensiones

con catéstrofes ecolégicas y pérdidas econémicas. La Figura 1-1 presenta un diagrama de blo- _

ques del esquema de supervisién y control de un ducto. El proposito de este trabajo consiste

tinicamente en el desarrollo del bloque que detecta y localiza la fuga en la tuberfa.

Control -<

vélvulos

Py toanque > Sensorest Tuberio >,|Sensores

banbos

Detector

de Fallas

si existe falla A

N

Accién Correctiva

(control, operador>

Figura 1-1: Esquema de monitoreo continuo

El Problema de Deteccién y Localizacién de Fugas en Tuberfas ,PDLFT, puede ser resuelto

utilizando una gran variedad de técnicas que estén disponibles industrialmente o bajo desarrollo.

Estas abarcan métodos apoyados en el balance de masas, dispositivos conocidos como “diablos”

o “cerdos” instrumentados, aparatos de medicién con instrumentacion altamente sofisticada y

otros mas avanzados fundamentados en algoritmos altamente especializados cuya descripcién

se detalla en los siguientes parrafos. La Figura 1-2 muestra un 4rbol de las técnicas mas usadas

para el PDLFT.

Balance de Masas. Es el esquema tradicional de deteccién de fugas. Consiste en verificar

que la diferencia entre el gasto que entra y sale de la tuberfa sea diferente de cero en el caso

10

@eee0e@aenoe0e020dee8eeeoee

eee ee 8 e 8 8

Beteccion y Localizacién de Fugas am

Batfance de Mesas wv ° \ Medidores con Instrumentacion Algoritmos

Especiolizada J. \

Detecta pero no Lacoliza Sistemas de Instrunentacos Efecto Doppler Efecto Piel Correlaciones Respueste

Radio y Novegocién Inpulso

Figura 1-2: Métodos de deteccién de fugas en tuberfas

de la pérdida de fluido. Si existen fenémenos de compresibilidad, el balance de gastos no es

tan sencillo y requiere agregar términos empfricos de compensacién tal como lo reportan en

el poliducto Bonito en el Golfo de México [R. Mactaggart 1996] con su aproximacién practica

de balance de masas. Este método no detecta fugas simultaneas ademas de no localizarlas.

Diablos o Cerdos Instrumentados. Este método de deteccién de fugas surge de la idea de

aprovechar los dispositivos de limpieza de ductos y separacién de fluidos conocidos popularmente

como diablos o cerdos.

Estos son elementos esféricos o en forma de bala que en toda su superficie poseen picos o

protuberancias que limpian en la medida de lo posible las paredes de la tuberfa y separan los

fluidos A y B en su recorrido dentro del conducto como se aprecia en la Figura 1-3.

Equipando estas esferas con sensores ¢s posible detectar y localizar fugas. Regularmente

la informacién de la existencia y la ubicacién de la falla no est4 disponible al operador hasta

que el diablo terminé con todo su recorrido, Algunas versiones sofisticadas, de menor tamafio,

poseen sistemas de navegacién y radio que transmiten informacién en tiempo real. Por su

instrumentacién altamente especializada son excesivamente costosos. Ademés le mayoria de

11

Fl

Figura 1-3: Diablo o cerdo recorriendo una tuberia

ellos, producen transitorios considerables en el comportamiento del fluido debido a su tamaiio,

por lo que muchas veces su uso continuo no es posible. La deteccién de fugas simultdneas solo

se produce si las fallas estan alrededor de le ubicacién del diablo, pudiendo existir pequefios

errores en la localizacién. ;

Instrumentacién Especializada. Esta vertiente de los métodos de deteccién de fugas

se basa en la medicién de Ja velocidad de la onda de choque del fluido y el efecto Doppler.

Al encontrar la magnitud de la diferencia entre la onda de choque y su reflejo, un software

inteligente es capaz de detectar y localizar fugas, inclusive de magnitud muy pequefia. Se

reporta su aplicacién exitosa especfficamente con instrumentos de la compafifa Controlotron

[J. Bauomel 1994]. Sin embargo su costo tan elevado es una fuerte restriccién en su implantacién

en grandes redes que transportan fluidos, ademés, ante la aparicién de fugas simultaneas infiere

ubicaciones equivocadas de la misma.

Algoritmos. El desarrollo de algoritmos es la. concepcién més reciente de métodos de

deteccién de fugas. Dos de los esquemas mds conocidos son Jos de Billman e Isermann que

proponen un esquema basado en identificacién de pardémetros del fluido de manera continua y en

tiempo real, junto con un observador estdtico [L. Billman & R. Isermann 1984]. Otro esquema

es el recientemente propuesto por Liou en la Conferencia Internacional de Tuberfas ASME 1996

[J. Liou 1996] donde el fluido es perturbado por una secuencia binaria pseudoaleatoria que

12

permite identificar de manera periédica la respuesta dinémica del flufdo y detectar una fuga

cuando ésta se modifica. Adicionalmente esta misma informacién permite inferir la posicién de

la fuga dentro de la red. Sin embargo, ambos métodos no pueden localizar correctamente fugas

simultaneas dando un promedio de su ubicacién como resultado. Su costo es menor que el de

otros métodos al emplear instrumentacién convencional.

Fundamentados en los comentarios anteriores, surge la motivacién de crear wn método que

pueda resolver los defectos o carencias de los esquemas antes mencionados, es decir, crear un

procedimiento para deteccién de fugas en tuberfas que emplee instrumentacién ordinaria y que

sea capaz de llevar a cabo Ja deteccién de fugas simultaneas para permitir su ubicacién correcta

-a costos accesibles. Como se verd en las secciones siguientes esto se puede lograr bajo el entorno

de la redundancia analitica.

1.2 Redundancia Analitica

La explotacién de la redundancia de un proceso para la deteccion de fallas se considera actual-

mente un arte dentro de la ingenierfa de sistemas automatizados de control. Su aplicacién en el

campo de sistemas complejos la convierten en una gran herramienta en la toma de decisiones,

ya que ayudan al mejoramiento del desempefio y la seguridad de éstos.

Dentro de este campo no existe una técnica universal de supervisién que resuelva todos

los problemas de deteccién y localizacién de fallas. Para cada sistema integrado por sensores,

actuadores, controladores y proceso, debe estudiarse que tipo de fallas y anomalias se desean

detectar, y cuales son consideradas como perturbaciones o simplemente entradas al sistema que

no se desean identificar para saber que vertiente o metodologfa de disefio es la adecuada.

Estas vertientes o métodos de deteccién de fallas y aislamiento FDI se ilustran en la Figura

1-4.

En ella se distinguen dos opciones dentro de los métodos de deteccién de fallas: aquellos

que trabajan con modelo matemético, y los que no lo hacen explicitamente.

Los métodos sin modelo matematico pueden en ocasiones detectar y aislar fallas en forma

no redundante. Una manera muy sencilla es la comparacién del espectro en frecuencia de un

proceso en condiciones normales con el que se produce en condiciones de falla, pudiendo existir

13

seT[@q ep

UpTooazeq] ep

odureo [a

Ua sazUalyeA,

Sd}OYss

ep 0, U

SWOS BDO

4g sajoucunen

sepay

\

asén /

(B61) (S661-1461)

(uow4asy) (4a)p4eg“yuUDs

4) (aakads“sauor

“ps0ag)

UOIDDdIBIpUAaP] sauv0pvAsasag

SOUS

oduguig 503120353

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seuolrend3

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. opuaqosiy

A ugid2e,ag

seuosues

youzoeds3

sisnpuy

031; 042} OH OpepoR

UIS SOPOLSK

/4

un espectro tipico para cada uno de ellos. Otra forma que permite vnicamente la deteccién es

ja, comparacién de mediciones con umbrales, infiriendo un comportamiento inadecuado cuando

se traspasan estos. Un ejemplo muy claro es el indicador de temperatura del motor de un

coche. La cardtula del indicador ademds de tener una escala de temperatura, est4 dividida en

tres zonas 0 niveles de referencia que sefialan la operacién en frio, normal o caliente del motor.

Cuando se compara la medicién con los niveles de referencia se infiere la existencia de una falla

del motor, si esta en las zonas de caliente o frio.

Existen métodos mds elaborados en el proceso de FDI sin modelo, que se apoyan en la

redundancia de sensores. Si se tiene un par de sensores trabajando en paralelo, una discrepancia

-entre sus mediciones indica la presencia de una falla en un sensor; cuando existe un tercero se

puede aislar mediante votacién

El esquema més sofisticado sin modelo matemético dinémico se aplica a fellas en sensores.

Se fundamenta en espacios de paridad que generan relaciones de redundancia entre entradas

y salidas del sistema, asf como del modelo transformado de éste, construido fisicamente por

la manera especial de ubicar los sensores (no ortogonalmente) y la variable que deberé medir

cada uno de ellos. Un caso evidente es de los giréscopos en arreglo piramidal empleado en la

navegacion de aviones satélites y barcos [R. Shevell 1989]. Esta idea que implanta las relaciones

de paridad mediante hardware dio origen al concepto de redundancia analftica.

Especfficamente los métodos de redundancia analftica explotan el conocimiento del fun-

cionamiento del proceso vfa un modelo matemético, infiriendo, cuando hay discrepancia entre

variables del modelo y del proceso. Esta técnica es més econémica que las apoyadas en redun-

dancia fisica, debido a la sustitucién de instrumentacién por algoritmos, facilitando ademés el

procesamiento de informacion [J. Gertler 1998]. Los conceptos en los que se basan los algorit-

mos de FDI son la redundancia analitica de las salidas de los procesos y el conocimiento de los

modelos dindémicos internos de estos.

1.3. Cronologia

Dentro del desarrollo del campo de Deteccién de Fallas y Aislamiento en el campo del Control

Automético ban existido inumerables esfuerzos. Sin embargo, jas contribuciones de ciertos

15

autores han logrado marcar, y en algunos casos cambiar el rumbo del desarrollo de los esquemas

FDI. De manera sucinta se presentan, los autores y las contribuciones que han influido en la

elaboracién de este trabajo.

La generacién de residuos mediante el espacio de paridad fue planteada por Willsky

[A. Willsky 1976]. En su trabajo proporciona una explicacidn clara para el aislamiento de fallas.

Sin embargo, él nunca plantea alguna condicién bajo la cual pueda existir la deteccién, y el

aislamiento de fallas.

En 1986 Maussomia [M. A. Maussoumia & A. Willsky 1989] son los primeros en ofrecer

condiciones reales para la deteccién por medio de la definicién de entrada observable y el

aislamiento trat4ndolo por medio de la inverse izquierda de Ja matriz que representa la dindmica

del sistema. Todo dentro del entorno geométrico de sistemas dinémicos.

Ge y Fang [C. Fang & W. Ge 1988] plantean el problema de deteccién y aislamiento de

fallas como un problema de robustez y generan la construccién de una matriz de transformacién

mediante un algoritmo que le permite construir un conjunto de observadores para el aislamiento

de fallas.

En su tesis doctoral de Wiinnenberg [J. Wtinnenberg 1990] propone, apoy4ndose en los tra-

bajos de Maussomia, Ge y Fang, condiciones de detectabilidad en términos de las ecuaciones

de paridad, encontrando relaciones de equivalencia entre las ecuaciones de paridad, un filtro y

un observador. Tambien se proponen métodos para la ubicacién de los polos del observador, ha-

ciendo posible tener diferentes respuestas dindmicas para el residuo. Wiinnenberg es el primero

en proponer una solucién subdptima al problema por medio de la asignacién de la estructura

principal.

Gertler en el afio de 1991 [J. Gertler 1991] resuelve el problema de deteccién de fallas

enfocéndolo como un problema de desacoplamiento de perturbaciones. Trabaja un camino

polinomial, y verifica el rango por columna de las matrices de transferencia de cada una de las

fallas y perturbaciones que afectan al sistema, para depués proceder al problema de aislamiento.

En este mismo trabajo, Gertler propone un postfiltrado para los residuos cuando existen prob-

lemas de ruido, haciendo independientes los disefios de aislamiento y el comportamiento que se

desea tener en el generador de residuos o errores.

El problema del aislamiento del subespacio de fallas y perturbaciones via un observador es

16

resuelto por Miiller [P. Miller & M. Hou 1994] dando Jas condiciones bajo las cuales existe

una matriz de transformacién que separe el subespacio de fallas y perturbaciones.

Existe otra vertiente originada en 1971 dentro del campo de Deteccién de Fallas y Ais-

lamiento por Beard y Jones. Estos autores construyeron filtros sensibles a fallas. Posteri-

ormente, Chung y Speyer, [W. Chung & J. Speyer 1998] continuan con estos trabajos, pro-

porcionando una condicién compacta para la existencia de un observador o filtro sensible a

fallas.Chung y Speyer resuelven el problema del filtro como un problema de optimizacién,

dando tambien una solucién para. los sistemas variantes en el tiempo. El problema subdptimo

no es tratado. Lo valioso del trabajo es el eslabén entre las condiciones de observabilidad a

Ja entrada y separabilidad a la salida. Otra contribucién importante de Chung y Speyer es

el empleo de la transformacién de Gelbs, para poder reflejar fallas de sensor y contemplarlas

como fallas aditivas, tanto en el caso invariante como variante en el tiempo.

Gertler, encuentra. las ligas o eslabones entre los diferentes métodos, sobresaliendo como

relaciona los procesos de identificacién (que en apariencia hacfan ver los trabajos de Iserman

{L. Billman & R. Isermann 1984] como un camino solitario) con el espacio de paridad. Adi-

cionalmente pone en evidencia las limitaciones de los métodos que se apoyan en redes neuronales

al relacionarlos con identificacién y por consiguiente con el espacio de paridad, dermostrando

que son aplicables tnicamente en fallas de sensores y actuadores.

Cabe hacer notar que todos los trabajos nacen de la preocupacién de detectar fallas en

sensores y actuadores, teniendo como opcidén extra aquellas fallas que se manifiestan dentro de

la dindmica del sistema de indole aditivas, aparentando ser las més sencillas. Sin embargo, las

condiciones para aislar fallas en sensores, actuadores o dindémicas del proceso no son iguales y

cada uno de los tipos de fallas requieren condiciones especificas.

1.4 Aportacién

La principal contribucién de esta tesis es el desarrollo del esquema de deteccién y localizacién

de fugas muiltiples.

El esquema se basa en Jas ideas propuestas por Wiinnenberg [J. Wannenberg 1990]. A

diferencia de esta proposicién , teniendo en cuenta el caso particular del problema de deteccién

17

y localizacién de fugas en tuberfas, se demuestran las condiciones necesarias de existencia de

la matriz de transformacién la cual permite resolver en forma independiente y transparente el

problema de deteccién de fallas y el disefio del observador.

Se obtiene también el modelo genérico del fluido dentro de la tuberia. En este modelo se

incluye la caracterizacién de fugas propuesta por [M. Zhidkova 1973], asf como una vdlvula

al final del ducto. El modelo generado, permite construir un simulador més cercano a la

redalidad del fenémeno ya que en otros trabajos reportados (L. Billman & R. Isermann 1984]

solo consideran las fugas como porcentaje de pérdida del valor nominal o instantaneo del gasto

que no reflejan por completo el comportamiento transitorio.

Se documentan los resultados obtenidos por simulacién y experimentalmente con el esquema

propuesto FDI, dejando de manifiesto que puede detectar y aislar mds de una falla aunque

estas ocurran al mismo tiempo, gracias a un conjunto o banco de filtros que sean robustos a

una sola fuga y sensible al resto.

1.5 Distribucién de la Tesis

El resto de la tesis tiene el siguiente orden: En el Capftulo 2 se introduce el espacio de paridad,

mientras que en el Capitulo 3 se modela el comportamiento dindmico del fiuido en una tuberfa,

estableciendo las condiciones de frontera debidas a la vdlvula y al tanque, ademas de la carac-

terizacién de la fuga y el modelo linealizado. El Capitulo 4 establece el criterio para deteccién

de fugas muiltiples que permite seleccionar las ecuaciones con las caracteristicas de sensibilidad

y robustez requeridas. Dentro del Capitulo 5 se analiza el desempefio del esquema FDI inclu-

sive cuando se presenta el caso de dos fugas simultaneas. Para finalizar, en el Capftulo 6 se

establecen conclusiones y trabajos futuros.

18

Capitulo 2

Espacio de Paridad

Este capitulo presenta una semblanza del espacio de paridad, su relacién con la redundancia

analftica, asi como su aplicacién en un esquema de estimador en malla cerrada con el fin de

poder detectar fallas.

2.1 Redundancia Analitica

Estimulado por la necesidad de tener sistemas confiables y por los avances en la teorfa de

control, surge una nueva filosofia, para resolver el problema de deteccién y aislamiento de fallas

FDI. Esta se puede describir a partir del esquema de la Figura 2-1 que cuenta con cuatro

bloques que desempefian diversas funciones (los primeros tres bloques son los que se desarrollan

en este trabajo para la solucién del problema PDLFT). La tarea del primer bloque, “generador

de residuos” involucra la produccién de sefiales que contienen informacién de la textura o

caracterfstica de la falla usando las entradas y salidas del sistema. El segundo “bloque funciones

de deteccién”, esta formado por relaciones dependientes de los residuos que ayudan a inferir

la ocurrencia de una falla especifica, mientras que el tercer bloque “generador de decisiones”,

define los umbrales de existencia de una falla para que finalmente el bloque de recuperacién

tome todas las acciones que reestablecen el sistema dinémico a su forma de operacién original.

La clave del esquema radica fundamentalmente en la manera de conformar el generador

de residuos. Este podré ser un observador, filtro 0 identificador el cual funcionaré en malla

cerrada o abierta segiin sea el caso. Sin embargo, todos los esquemas se basan en la redundancia

19

Entradas

Fallos

Entrodas

Perturbaciones| |

—/

Entrodos vélvulas tanques

>| Sensores

bonbas

Control

Proceso Actual

Tuberia

| Sensores

NG \

Generodor de Residuos

TN Funciones de Detecci6n

W

Generacor de Decisiones \

¢ control,

Funcién de Recuperacién

o restableciniento

operador)

Figura 2-1: Proceso FDI con Reconfiguracién

analitica o funcional alredor de las variables medidas del sistema.

Esta concepcién se fundamenta en el, espacio de paridad ideado por Willsky [A.

Willsky 1976]. Este espacio define las ecuaciones o relaciones de paridad estdéticas y dindmicas

que describen el modelo matemético del sistema.

Las funciones de paridad estéticas son relaciones algebraicas que crean redundancia entre

los sensores cuando una medicién puede expresarse como wna combinacién de otras. En este

caso es posible generar un indicador de falla o residuo, que es la diferencia entre la cantidad

real medida y la inferida por medio de otras mediciones. Asi, si el residuo es diferente de cero

es un indicador de mal funcionamiento.

Otra cuestién mas elaborada es la relacién de paridad dindmica, que también generan un

residuo r(é) igual a cero en condicién normal y diferente de este en presencia de una falla.

2.2 Idea Fundamental

La idea fundamental para deteccién de fallas de procesos dinémicos parte de la generacién de

un espacio de paridad dinémico que infiere por medio de residuos, la existencia de fallas de

actuador; fallas de sensor y fallas en la dinémica del sistema.

Pero jcémo obtener esa funcién de paridad dinémica? La respuesta a la pregunta ante-

rior demanda tener un modelo que describa adecuadamente el comportamiento del proceso,

guardando una cierta redundancia, la cual en términos mateméticos para sistemas lineales se

describe a continuacién.

El modelo en variables de estado del sistema con fallas aditivas se representa como

& (t) = Ax(t) + Bu(t) + KA;(t) + BAp() (2.1)

y(t) = Cx(t) + EmAmp(t) + KmAms(®) (2.2)

cuyo diagrama a bloques se presenta en la Figura 2.2, donde x(t) representa el vector de

estados, A es la matriz que refleja la dindmica del sistema, C es la matriz de mediciones, B

es la matriz de distribucién de entradas al sistema o actuadores, E y Emp son las matrices de

21

Figura 2-2: Diagrama a bloques del sistema (2.1) y (2.2)

distribucién de perturbaciones en la dinémica del sistema. y en las mediciones y K ,Km son las

matrices de distribucidn de fallas en la dindmica y los sensores respectivamente, con u(t) como

entradas conocidas o actuadas. Ay(t) y Am 7(t) son los vectores de fallas del sistema y sensores.

Adicionalmente Ap(t) y Amp(é) son los vectores de perturbaciones o entradas desconocidas en

la dindmica del proceso y en las mediciones respectivamente, cuyo comportamiento también es

desconocido.

A partir de la descripcién del sistema dinamico con la estructura 2.1 y 2.2, el problema

de generacién de residuos a través del espacio de paridad, consiste en encontrar un algoritmo

que genere una sefial r(t) tal que refleje el efecto de los vectores de fallas desconocido A;(é) 0

Ams(t) suponiendo que los vectores A,(t), Amp(t) son desconocidos.

2.2.1 Espacio de Paridad

El sistema 2.1 y 2.2 se puede transformar derivando la ecuacién de salida 2.2 s veces y susti-

tuyendo en el conjunto, asi obtenido, a la derivada de estado por la expresién 2.1. Este proce-

dimiento permite escribir la relacién

22

y u Age Ape

A ~

U) _ neen| ™ loa] A eae] Om (28)

py peu peAge P* Ape

con p el operador derivada p = 4, las sefiales Apt = [ Ay Agm y Ap = Ap Apm asi

como las matrices

C

CA

CAs

0 0 o 0

CB 0 0 0

Hu=| CAB CB 0 0 (2.5)

CAS 1B .-- +--+ CB

[KS 0 0 0 CK* Kr 0 0

H=| CAK* CK* Kz, 0 (2.6)

CAS"1K* see cee KR,

[ BY 0 0 0 CE* Et 0 0

fi= | CAE* CE" Et, 0 (2.7)

CAS 1B* «.. oe EM

28

K=|K 0] :Kn=[0 Km |

B=l|p o|:zn=[0 En |

donde ¢ es igual al orden del sistema y representa el ntimero de veces que debe derivarse la

salida y(t) para garantizar que las entradas u(t), las fallas Ay o perturbaciones Ap aparezcan

explicitamente. A este par4metro se le conoce como el generador de memoria. (“memory span”)

o dimensién del espacio de paridad.

La ecuacién (2.3) proporciona informacién de como actiian la entrada al sistema, las condi-

ciones iniciales y las perturbaciones o fallas en las salidas del sistema y sus derivadas.

Las matrices Hy, Hu, i , y H conforman los subespacios observables cuando se consideran

como entradas las condiciones iniciales, actuadores, fallas y perturbaciones respectivamente.

El complemento ortogonal [Y. Chow & A. Willsky 1984] de estos subespacios es la parte no

observable que se puede obtener con el vector VT que confina en el subespacio nulo al tipo de

sefiales que se desee, es decir:

VT H, = 0 para condiciones iniciales (2.8)

VT = 0 para perturbaciones (2.9)

VTH £0 para fallas. (2.10)

Retomando la expresién 2.3, si existe un vector VT que satisfaga las condiciones anteriores

se obtiene el generador de residuos en malla abierta

y u Af

roave| |! |—m| | lavte | AF (2.11)

py peu pags

en donde el término

y uU

vr ° Y | “ (2.12)

py peu

se conoce como funcién de paridad y caracteriza todas las relaciones posibles entre las fallas y

salidas del sistema . Al vector V7 se le conoce como generador de paridad.

A la combinacién lineal de los renglones de (2.11) se le denota como ecuaciones 0 relaciones

de paridad.

La ecuacién (2.11) y las condiciones (2.8), (2.9) y (2.10) impuestas al generador de paridad

VT son de gran importancia teérica, ya que proporcionan herramientas para obtener con los

diversos tipos de esquemas, las condiciones necesarias para la generacion de residuos tanto en

malla abierta como cerrada.

Tambien pone en claro, que el problema de deteccién de fallas es equivalente a un problema

de robustez ante perturbaciones, condiciones iniciales y sensibilidad ante fallas. Si no existe una

solucién simultanea a estas ecuaciones, se recomienda buscar una solucién subdptima a través

de la definicién de cierto fndice de desempefio el cual debe minizar el efecto de las perturbaciones

con respecto a las fallas como el reportado por Wiinnenberg (J. Witonenberg 1990].

Asumiendo que el vector de paridad se puede expresar como

vr=w'V, (2.13)

y eligiendo V, como la base del espacio que satisface (2.8). El indice de desempefio puede

escribirse como

25

T ~ _ ~

Yo a _ w!V, HC, HT VI w Je = min “oH Cpe 8 (2.14) aa wT VHC; HPV w donde las matrices de ponderacién C, y Cy ayudan a confinar las perturbaciones y las fallas en

las direcciones donde se atemie y amplifique respectivamente, su efecto.

Para encontrar el vector w? que satisface el indice de desempefio J, es necesario solucionar

el problema del valor propio generalizado

~ _T

w'(V, H Cp H Viw -0V,HC;HTVS w) =0 (2.15)

“donde el valor propio mds pequefio de @ esta asociado a la solucién buscada. -

2.3. Esquema FDI en Malla Cerrada

La idea bdsica, en la generacién de residuos en malla cerrada, se basa en la estimacién de

estados ya sea con observadores o filtros de Kalman.

Considerando el sistema (2.1) y (2.2), asf como el modelo genérico de un observador (Figura

2-8)

& (t) = Fe(t) + Gy(t) + Jpu(t) + Hr(t) (2.16)

r(t} = Lz) + Ley) (2.17)

x(t) = Ta(t) . (2.18)

es posible definir el error de estimacién como

é(t) =4() -T2(. (2.19)

Sustituyendo (2.1), (2.2), (2.16) y (2.17) en (2.19) el error puede expresarse como

26

Figura 2-3: Sistema dindmico con observador

é (t) = F2(t) + Gy(t) + Jpu(t) ~ TAx(t) — TBu(t) — TKA;(@) - TEA,(t) + Hr(t) (2.20)

r(t) = Ly2(t) + LaCx(t) + Lo(EmAp(t) + KmAms() (2.21)

suponiendo F = A; Ly = C; Lg = -I; T =I; Jg = B; y G = H las ecuaciones (2.20) y (2.21)

se convierten en

é(t) =(A+AC)e+ Hy(t) — Ho(EmAp() + KmAms(t)) — KAs(t) ~ EA,(E) (2.22)

r(t) = Ce — (EmAp(t) + KmAms(t))- (2.23)

Las dos igualdades anteriores representan la ecuacién del error yel residuo en su forma més

27

simple, incluyendo términos de fallas y perturbaciones. Es decir se tiene un modelo paralelo

del proceso, con retroalimentacién del error y ganancia H que permite compensar diferencias

provocadas por difentes condiciones iniciales y estabilizar el modelo si asi se requiriera.

Las expresiones (2.22) y (2.23) son suficientes para detectar una falla si el error de estimacién

fuera cero, y ademés se conociera la proporcién en que afectan las perturbaciones la magnitud

del residuo. De esta forma al presentarse una falla el residuo modificarfa su valor normal de

operacién. Desafortunadamente, un observador bajo esta filosofia es poco robusto debido a que

no siempre se conoce el efecto de las incertidumbres y perturbaciones sobre el modelo. Ademéds

la ganancia H, como Unico pardémetro de disefio es una limitante, debido a que tinicamente

-tiene influencia sobre las perturbaciones y fallas en los sensores. Sin embargo, omitiendo las

suposiciones anteriores (2.20) y (2.21) pueden escribirse como

é = ((F+HLy)T -TA+GCC + HIg0)2(t) + GEmmbp(t) +GKmAms(t)) (2-24)

4HLo(EmMp(t) + Krams (t)) + (Jp — TB)u(t) ~ TKA,s(t) — TEA,(t)

r(t) = (nT + LoC)ax(t) + Lo(EmAp(t) + KmAms(t))- (2.25)

De las igualdades (2.24) y (2.25) se obtienen condiciones bajo las cuales es posible tener en

el observador un error de estimacién cero y estable (condiciones de Luenberger). Pero tambien

es factible inferir los requisistos que se deben satisfacer para que el observador sea sensible a

fallas e insensible a perturbaciones.

Condiciones de Luenberger

(F +H)? -TA=~—(G+HI2)C (2.26)

Jp =TB (2.27)

MF+HIL) — estable. (2.28)

28

Condiciones de insensibilidad ante perturbaciones en los sensores

GEm = 9

LoEm = 0.

Condiciones de sensibilidad ante fallas en los sensores

GR #0

IgK ms # 0

HL2 Kini # 9.

Condicién de insensibilidad ante perturbaciones en la planta

TE; =0.

Condicién de sensibilidad ante fallas en la planta

TK; £0.

(2.29)

(2.30)

(2.81)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

A diferencia de (2.20) y (2.21), las ecuaciones (2.24) y (2.25) permiten tener residuos sen-

sibles a fallas e insensibles a perturbaciones, por lo que se le considera un esquema robusto.

Para que esto suceda se deben de satisfacer las condiciones (2.26) a (2.35) con la libertad que

permite la matriz de transformacién T.

El desarrollo anterior puede mirarse desde el punto de vista de funciones de transferencia.

Tomando en cuenta las ecuaciones (2.1), (2.2), (2.16) y (2.17) estas podrén expresarse en forma

conjunta mediante el sistema aumentado

29

+ Bu(t)+ KAj(t) +B Ap(t)+ Km Amy(t)+ Em Ams(t) (2.36)

a (t) =A a(t)

z(t) z(t)

— | x(t

r(t) =C o + LoKmAm#(t) + LeEmMmp() ; (2.37) z

con

- A 0 = B - A= ;B= ;c= Int Ly |

GC+HLC F+Hh; Jp

~ K - EB ~ 0 . - 0 K= | E= ;Km= 3 Em=

0 0 GKy,+ HLoKm GEm + HlokEm

Esta forma de representacién permite visualizar en términos de la transformada de Laplace

el residuo

r(s) = Gyu(s) + GrA p(s) + GpAp(s) + GmpAms(s) + GrapAmp(s) (2.38)

donde

G, 2% (sI- A) B (2.39)

Gs 2e(sI- A) K (2.40)

Gp 8e(sI- AB (2.41)

Ging 80 (sT- A)! Kn (2.42)

30

Gp Xt (sI- A)"! Em - (2.43)

Si se desea que el residuo sea insensible a perturbaciones, las matrices de transferencia

(2.39),(2.41) y (2.42) deben ser cero, Para ser sensible a fallas las ecuaciones (2.40) a (2.42)

deben ser diferente de cero.

Para encontrar las matrices que cumplen los requerimientos (2.26) a (2.35) o en forma

equivalente (2.39) a (2.43), existen diferentes procedimientos. Ejemplo de ello son los algoritmos

desarrollados por Patton y Chen [R. Patton & J. Chen 1991] quienes emplean las formas

canénicas de Kronecker. Wtnnenberg [J. Wiinnenberg 1990] aprovechan la libertad de eleccién

‘de la matriz de realimentacién H del observador , para asignar los polos de este. Gertler,

[J. Gertler 1998] hace este mismo tratamiento pero en el dominio de la transformada de Laplace.

El pérrafo anterior permite inferir que una de las tareas mas importantes para resolver el

problema FDI, empleando observadores, es el ajuste de la matriz de transformacién T en forma

sistematizada. Ademés se busca que esta transformacién conserve relacidn con el espacio de

paridad. Esto hace posible establecer las condiciones necesarias de existencia del observador

sensible a fallas y robusto ante perturbaciones. Si se satisfacen esas condiciones, los estimadores

o filtros resuelven el problema de deteccién de fallas via desacoplamiento de perturbaciones,

por lo que el problema de seleccién de funciones de deteccién se vuelve sencillo.

31

Capitulo 3

Modelo Genérico de un Fluido en

‘una Tuberia

En este capitulo se desarrolla el modelo genérico de un fluido en una tuberfa con fugas, con-

siderando como condiciones de frontera la conexién de un tanque en un extremo y una vélvula

en el otro. Adicionalmente, se presenta la versién lineal del modelo dinémico definido en condi-

ciones de-falla y las propiedades de la matriz dindémica del sistema.

3.1 Modelado

La obtencién del modelo de la tuberfa se realiza empleando las ecuaciones de movimiento y

balance de masas [M. H. Chaudry 1979] sobre un tramo de ducto como el mostrado en las

Figuras 3.1 y 3.2 donde se suponen las siguientes condiciones de flujo.

-Flujo unidimensional

-Distribucion uniforme de la velocidad en la seccién

-Pérdida por friccién en flujo permanente igual que en el transitorio

-Temperatura constante del flujo a lo largo de la tuberfa

-Seccién transversal constante

-La tuberfa esta colocada con una pendiente constante

Las variables involucradas en las Figura 3.1 y 3.2 son

32

Pris Po

p(z,t)

Area de la tuberia

velocidad de la onda de choque

didmetro del ducto

diferencial de masa

fuerza de fricccién en las paredes del ducto

fuerza debida a la presién

fuerza de friccién.

acelaracién de la gravedad

altura de la columna de presién

cota de la altura sobre el nivel de referencia

peso del elemento del flufdo

gasto

velocidad del fluido

volumen

direccién del flujo

Angulo de inclinacién del ducto

flujo médsico

peso especifico

densidad del fluido

33

ao

; Esquema y diagrama de cuerpo libre de un segmento de tuberfa

[mj

[4] frm]

{ieg]

IN]

[N] {a dim ensional]

[2] [m]

3.1.1 Ecuacién de Movimiento

Con base en la figura 3.1 el balance de fuerzas en direccién del movimiento es

F, — (Arp(a, t) — Arp(x + da, t)) — F, = dmgsena 8.1)

donde la fuerza de friccién F, que ejercen las paredes del ducto sobre el flufdo esté definido por

la expresién de D’Arcy-Weisbach [M. H. Chaudry 1979].

fv} Dads i= (3.2)

Auxiliéndose de la informacién anterior se obtiene la ecuacién de movimiento en estado

transitorio

dm #1@) — (App(x,t) — Arole +de,t)) +dmgsena — pla!) LPF a (x,t) u¢(2,2)| de, (8.3)

Considerando que la derivada total se puede expresar como

dvu;(x,t) _ Ovg(x,t) de | Ov;(a, 2)

a (edt SCO (3-4)

teniendo en cuenta que

Op(a,t p(e,t) ~ p(w + dx, t) = — 2089) (3.5)

asf como la definicién de flujo volumétrico dada por Q = vy(x,t)Ar ; definiendo el coeficiente

BL 4 shay y ademés dm = Arp(zx,t)dz; vj = % entonces la ecuacién (3.3) puede escribirse

como

20,9) , OE.) 90D 5 PCED _ Apgsena + uQla,t)IQ,1)|=0. (3.8)

Tomando en cuenta la carga piezométrica como el producto de funciones

7

Figura 3-2: Ecuacién de continuidad

p(x,t) = g(x, t)H (2, t) (3.7)

la igualdad (3.6) puede escribirse como

dQ, t) Q(z, t) dQ(z,t) | gA dp(a, t} oH (a, t) _ Moe be ie (MOO ae tHe ge )—Aromnnnnctn eo =0

3.1.2 Ecuacién de Continuidad

Aplicando la ley de la conservacién de la masa [M. H. Chaudry 1979] al segmento de tuberia

ilustrado en la Figura 3.2 se tiene

< (am) = 91 -¢ (3.9)

donde, el flujo mdésico puede expresarse como

#1 = Qe, )p(2, t) (3.10)

35

Yo >= Uz + da, t)p(a + dx, t). (3.11)

Al aplicarse un volumen de control fijo la densidad no varfa en el segmento dx. Entonces la

diferencia de flujos es

Pi v2 = (let) — Qa + dz, ole, 1) = -pla,t) 29 ag (3.12)

Sustituyendo (3.12) en (3.9) con la diferencial de masa dm = Arp(x,t)da se obtiene la

ecuacién de continuidad

do(a, t) aQ(a, t) Ar 7 de = — p(x, t) ax dr (3.13)

donde

do(z,t) — dplz, t) dx 8p(z, t) do On dt Ot (3.14)

con el término # & = 0 por ser un elemento de volumen fijo.

Cosiderande (3.14) la ecuacién de continuidad (3.13) puede escribirse

Ap Bole.) sy ola )22ED 0, (3.18)

3.1.3 Ecuacién Constitutiva

En le ecuacién de balance (3.8) y la ecuacién de continuidad (3.15) se observa la existencia

de tres funciones desconocidas H(x,t), Q(z,t) y p(x,#). Para determinar estas funciones es

necesario contar con una relacién extra. Esta relacién es conocida como Ecuacién Constitutiva

del Fluido.

En general existe una relacién entre la presién y densidad

p(z,t) =F (p) (3.16)

36

la, cual puede aproximarse mediante series de Taylor como

8 f (Po) (p — Po) f(p)=f (0) +—gew Po pt

Po

o de manera equivalente

(3.17)

(3.18)

(3.19)

La ecuacién (3.19) es Ja ecuacién constitutiva del fluido y representa el médulo de compre-

sibilidad volumétrica. El coeficiente p, es una densidad de referencia a partir de las cuales se

consideran las variaciones de p.

3.1.4 Modelo del Fluido en Ia Tuberia

A partir de la ecuacién de movimiento (3.8), la ecuacién de continuidad (3. 15) y la ecuacién

constitutive (3.19) es posible obtener el sistema determinado que describe el comportamiento

del fluido.

Considerando la funcién f (p) como la carga piezométrica

Pp =f (oe) = ge(z, t)H (a, t)

definiendo

6p) = £2) — aHte.9 derivando respecto a x (3,21)

p(w, t) _ g 8H(z,t)

Ox oie) Ox

37

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

de manera semejante derivando con respecto al tiempo (3.21) y despejando 14 variacién de la

densidad se obtiene

dp(z,t)_ _g_ OH(z,t)

at Ht (8.24) ap

de acuerdo a (3.21)

aslo) _ 222 _ PGP Fn) (3.25) dp ap P ‘

Tomando en cuenta que en el punto de operacién el término

AF (Po) _. y= 0 (3.26)

entonces por medio de la ecuacién (3.25) podemos definir la velocidad de la onda de choque en

un punto de operacidn como:

8 f (bo) P= ip . (3.27)

Sustituyendo (3.27) en (3.23) y esta en (3.8) se obtiene la ecuacién de balance de fuerzas

2Q(ert) , OE) 2QLG9) gf SEED ($+ ple,t)) — Argeona + wnt) (2,1)| = 0 (3.28)

de manera semejante al combinar (3.27) en (3.24) y su vez en (3.15) se llega a la ecuacién de

balance de masas

aQ oH 2a —_= e Pa + 9Arsy = 0. (3.29)

Las ecuaciones (3.28) y (3.29) describen completamente el comportamiento del fiuido en la

tuberfa.

38

3.1.5 Simplificaciones al Modelo

Las ecuaciones (3.28) y (3.29) describen el comportamiento de la tuberfa en general, sin embargo

es factible hacer ciertas simplificaciones.

En la ecuacién (3,28) es posible despreciar el factor %, ya que siempre este serd mucho

menor a la unidad (alrededor de un cienmilésimo) si se consideran velocidades de la onda de

choque de 1000m/s.

La segunda simplificacién se haré tambien en la ecuacién de movimiento al suponer

6.1) 2046.1) tet) (2.30)

La justificacién formal de esta hipétesis se encuentra desarrollada en [R. Guarga 1985].

Tiene como significado fisico el predominio en un solo sentido de Ja onda del fluido.

Finalmente existe una tiltima consideracién al suponer Ja tuberfa horizontal, por lo que el

dngulo a es cero.

Las hipétesis anteriores permiten finalmente escribir el modelo como:

FOE) 5 gp BED + wa(e,t)1O(08 = 0 (3.31) ; Ay Hes) +p22@) = 0 (3.32)

Hay que recordar que las ecuaciones (3.31) describen tnicamente variaciones alrededor del

punto de referencia H, de acuerdo a lo desarrollado en la Seccién 3.1.3.

3.1.6 Condiciones de Frontera

El conjunto de ecuaciones (3.31) y (3.32) describe parcialmente el comportamiento del fluido

dentro de una tuberfa, faltando las condiciones de frontera del sistema. Es decir, el sistema

quedaré4 caracterizado cuando se considere el tipo de componente conectado en los extremos

del ducto, tales como bombas, vdlvulas, tanques, compresores, etc.

En particular para el desarrollo de este modelo se consideran como condiciones de frontera

un. tanque de altura constante H, aguas arriba de la tuberfa y aguas abajo una vdlvula que

39

Figura 3-3: Condiciones de frontera en presencia de una falla

determina la salida del ducto mediante la siguiente relacién:

Q=7 VE. (3.38)

Adicionalmente, al presentarse una fuga en el punto zy de la tuberfa se produce una dis-

continuidad. Asf el flujo de fuga esté dado por [M. Zhidkova 1973]:

Ole, = AVH lay (3.34)

donde el pard4metro depende del tamaiio del orificio. El modelo del ducto en esta situacién

debe ser ‘considerar dos secciones de tubo que tienen como condicién de frontera entre ellos

Q lay = ley + Wey (3.38)

donde a y b son los puntos antes y después de la fuga respectivamente

3.2 Acondicionamiento del Modelo para Deteccién de Fallas

El grupo de ecuaciones (3.31) y (3.32) describe el comportamiento del fiuido dentro de una

tuberfa a través de coordenadas espaciales y temporales. El andlisis y manejo de este tipo de

sistemas no es simple ademés, esta fuera del interés del problema de deteccién de fugas el tener

un modelo exacto del comportamiento del fluido en la tuberia, lo que se busca es encontrar

relaciones simples con redundancia que permitan localizar la presencia de fugas.

Por lo tanto, se propone discretizar espacialmente la tuberfa en n segmentos obteniendo

asf una representacién en variables de estado la cual permite considerar una fuga entre cada

40

segmento.

Si la tuberfa de longitud I se discretiza en n secciones de tamafio Az en donde se considera

la presencia de una fuga entre cada seccién, como se muestra en la Figura 3.4

Figura 3-4: Discretizacién de una tuberfa en n segmentos

y se aproximan las derivadas parciales con respecto a 7 en las ecuaciones (3.31) y (3.32) por

oH itt - i; ao Az (3.36)

y

8Q _ G-Qi-1 On OC“ . (3.37)

el modelo de la tuberfa (3.31) y (3.32) se transforma en el siguiente conjunto de n ecuaciones

dindémicas acopladas.

d . aes = a1(Aj-Hi+1) — #Q:1Qi) parai=l...n (3.38)

a = a2(Qi — Qi-1) + AV parai=l..n (3.39)

con @] = we y a= pias asf como las condiciones de frontera Hy = Hy y Qi =T VH

3.2.1 Modelo de la Tuberia en Condiciones de Falla

Con objeto de darle una forma compacta al modelo del fluido y que éste pueda manejarse

facilmente en el contexto de los sistemas dindmicos, se propone escribirlo como

41

a (t) = Ax(t) + Bua (é) + B(x(t))ue(t) + pnl(x(t)) ~ a2nt f (a(t), A)

con la matriz

0 -al 0 0 0 0

a2 0 -a2 0 0

0 al 0 -al 0 0

A= E geane2n

0 0 0 ~a2 0

0. 60 0 0 0 —-al

0 O 0 0 a2 «(0

el vector de estados

j= .. r ge2nel

a(t) Q:1 He Qe Hs --- Qn Aner | ©

la presién del tanque como entrada al modelo

uy (t) = [He]

la apertura de la vélvula como entrada al modelo

ug (é) = [7]

el vector de fugas

A=[a deo det [ew

el vector de distribucién de entradas lineal

ay B=|: | eR?

42

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.48)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

@ee2e2e00e80e0e08080e0e0ee8eeeeeeee

eee eee @ e

el vector de distribucién de entradas no lineal

0

B(a(t)) = : e genet . (3.47)

~02,/fIon

el vector de términos no lineales

T

nl(a(t)) = a(t) |ci(t)] 0 +++ 2(t)on—1|e(é)an—x] 0 | ex (3.48)

y la matriz no lineal de distribucién de fugas

nige(t,A) =| 0 Arfaolt) 0 AoVaalt) --- 0 o} ex (3.49)

Si Wnicamente se mide el flujo a le entrada y la presién en el extremo final de la tuberfa, la

ecuacién de salida se puede escribir como

10--- 00 y = Ca(t) = a(t) € Re" (3.50)

00... O01

Esta reduccién permite usar como las relaciones basicas del método de deteccién de fugas a

las ecuaciones (3.40) y (3.50).

Observacién .1. Nétese de (3.40) que las fugas formalmente deben verse como incertidum-

bres multiplicativas en el modelo dindmico no lineal.

3.2.2 Validacién del Modelo del Fluido en la Tuberia

Una vez que se ha desarrollado el modelo del fluido en la tuberfa, es necesario saber la validez

de este. Para lograrlo se realiz6 una comparacién entre datos reales obtenidos de la tuberia

piloto del laboratorio de Hidromecénica y simulados. Todo ello bajo condiciones de fuga.

Los parémetros empleados en el modelo son los provenientes de la tuberfa piloto, con-

siderando la tuberfa recta equivalente y siete tramos (ver apéndice).

El simulador se alimenté con datos de presién a la entrada de la tuberfa y el gasto en el

extremo final de ésta.

43

Se provocé una fuga del 2.5% del gasto nominal alrededor de 90 s después de iniciado el

experimento. Las variables registradas fueron presion y gasto, tanto a la entrada como a la

salida, con una frecuencia de 0.5 Hz.

0.0145

0.014

0.0135

0.013

Q [m3/s}

0.0125

0.012 . 4 T 0.0115 5 700 200 300 400 500

tiempo [s]

Figura 3-5: Gasto medido y simulado

Para validar el modelo se compararon datos de presién a la salida H; y gasto ala entrada Qo

generados en el simulador con mediciones reales, se observé que el comportamiento dinémico

entre los datos simulados (puntos) y reales (linea continua) son muy similares, aunque hay un

pequefio defasamiento en el gasto, tal como lo muestran las Figuras 3.5 y 3.6.

20

5 | “10 0 100 200 300 400 500

tiempo [s]

Figura 3-6: Presién medida y simulada

La Figura 3.7 ilustra el porcentaje de la diferencia entre los datos reales y simulados, ob-

servandose que conforme el transitorio provocado por le fuga pasa la diferencia tiende a cero.

44

Sin embargo, al inicio de Ja falla tanto el gasto tienen picos de porcentaje considerable con

respecto al valor real. Esto se debe a las aproximaciones del modelo recto equivalente de la

tuberia . A pesar de esto pasado el primer instante, se considera satisfactorio el modelo del

finido en Ja tuberia .

1.5

deltaQ

%

0 100 200 300 400 500

tiempo [$s]

Figura 3-7: Porcentaje de la diferencia entre el gasto medido y simulado

3.3 Linealizacién del Modelo de la Tuberia

La metodologia de disefio que se desea analizar y validar para deteccién de fallas se apoya

bésicamente en herramientas de la teorfa de sistemas lineales, por lo cual se propone realizar

una linealizacién alrededor de un punto de operacién del modelo que describe el comportamiento

del fluido dentro de la tuberia.

El punto de operacién del modelo queda determinado a partir de los puntos de equilibrio

de Jas ecuaciones (3.38) y (3.39) suponiendo que no existe falla.

Fl gasto en el punto de operacién de acuerdo a la ecuacién (3.38) con a1 = sar como

Qo= “ (Heanaue — H;) (3.51)

y las presiones en cada uno de los segmentos de la tuberia

Hogas = How — £Qo 1@el, (3.52)

45

i se considera el vector de fugas A como las fallas que van a ser detectadas en el modelo

(3.39) en un punto de operacién (ao; tio), las variaciones del sistema alrededor de este punto de

operacién pueden expresarse por

& = Aga(t)+Buy(t) + Boua(t) + a*KAQ) . (3.53)

y = Cz(t)

Bo = B(x(t))o

B= ac 0 |

De manera compacta

Ao= [A + diag(u x1(t), 0, p x(t), ., 0, # (4) (2n-1)) a)| o en forma extendida

pj -al 0 0 0 0

a2 0 -a2 0 0

0 al p al 0 0

Ao=|: : mtd : € merneen (3.54)

0 0 0 ~a2 0

o 0 0 0 pp al

0 0 0 0 a2 ay

con p= —2p, a* = —a2/2, ay = $5)loEl vector de fugas linealizado

46

0 0 0 1

vas CO 0 0 0 0

0 1 see 0

oO . eRnt (3.55)

0 0 Vt2n-2(€)

0 0 -. 0

O «ss. 0 0

y matriz de mediciones

10-0 0 C= © Reren (3.56)

00-- O01

De las ecuaciones (3.54),(3.55) y (3.56) se observa que:

a) La matriz Ag es una matriz cuya diagonal principal, y diagonales contiguas no son nulas.

b) Unicamente se tiene como medicién gasto a la entrada y presién a la salida.

c) Las fallas afectan directamente los estados que representan las presiones.

d) El ultimo estado del sistema no depende del vector A(t) debido a que en el] extremo de la

tuberfa la condicién de frontera est4 dada por la vélvula y por tanto no existen fugas en dicho

tramo.

3.4 Observabilidad

Como se mencioné en el Capitulo 3, una propiedad esencial para poder aislar o separar fallas

es la redundancia analftica de las variables medidas.

Adicionalmente es necesario que los estados afectados por las fellas sean observables. En

particular para, el caso de las fugas en la tuberfa la estructura de las matrices Ag y C permiten

asegurar que independientemente del niimero de secciones n en que se encuentre dividida la

tuberfa, el vector de estados linealizado es observable si se mide el gasto en la entrada, o la

presién al final del ducto. Por lo tanto, dado que las columnas de la matriz K son diferentes

47

de cero se puede decir que las fallas se reflejan en las salidas.

La observabilidad de estado se puede garantizar ya que la matriz

Cc

CA e= j (3.57)

C. A(2n— )

posee 2n — 1 filas linealmente independientes. Esta afirmacién se obtuvo tomando en cuenta

las propiedades siguientes de la matriz Apo.

Pil. al £0, a2 # 0, y ux 0 para cualquier punto de operacién.

P.2 La primera fila de Ao, r}(Ap), satisface

=0 para j ) 2

rh’ £0 para j =2 (3.58)

* para j (2.

donde « significa elemento desconocido

P.3 La tercer columna de Ao, C® satisface

=0 para j(2

wo

r34) #0 para j =2 (3.59)

* para j )2.

Entonces, el primer vector renglén de AB, satisface

=0 para 3)3

rid £0 para j =3 (3.60)

* para j (3.

Por lo tanto, dado que 43 = AgAo y Ag satisface la proposicién 4 0 equivalentemente P.2

con j = 3, el primer vector renglén de A cumple con la proposicién 4 cuando j=4. Este

48

procedimiento puede aplicarse recursivamente para obtener todas las primeras filas de la matriz

A& para k = 0...2n—1y asf construir la matriz de observabilidad cuando se considera la primera

salida obteniéndose

10 wee -. 0 NC 0 wee 0 0

ri (Ap) *« NCO -- 0 0

@=| rt (Ad)? ={ i} ne (3.61)

: * * NC 0

rl (Ap)? x x ee x NC

con NC un elemento diferente de cero. Es claro que esta matriz es de rango completo y por

tanto el sistema es observable con la primera salida.

Dada la estructura de Ia, matriz Ap y C, se puede demostrar en forma anéloga que la matriz

de observabilidad para la segunda salida se reduce a

1 0 see -. 0 0 0 see 0 NC

r@n-2) (Ag) 0 0 -- NC *

O= ren-2) (Ap)? = : (3.62)

: 0 NC * *

p@n-2) (Ag)?n-} NC *# + * *

y por tanto ésta también es de rango completo. Obviamente la observabilidad se mantiene

cuando se tienen ambas salidas, y resulta asf una redundancia desde el punto de vista dinémico

cuando se emplean los dos sensores.

49

Capitulo 4

Aplicacién del Espacio de Paridad al

PDLFT

4.1 Introduccién

Como se mencioné en el Capitulo 2, el problema de FDI se puede reducir a un problema de

robustez y sensibilidad del sistema ante fallas o entradas desconocidas. El método propuesto

en este capftulo se apoya en las relaciones de paridad del modelo de la tuberfa para lograr

la robustez y sensibilidad buscada. Se propone un procedimiento para satisfacer al menos las

condiciones de distinguibilidad de dos conjuntos de fallas, lo cual es equivalente a encontrar

la matriz de transformacién que separa al sistema en un subespacio sensible a ciertas fugas y

robusto a otras. Este subespacio permite disefiar un observador o estimador (Kalman — Bucy)

sensible a dichas fugas, el cual tiene un error o residuo diferente de cero ante ellas.

Esta propuesta tiene la particularidad de separar el problema de desacoplamiento de per-

turbaciones y disefio del filtro en dos tareas independientes, a diferencia de Ja filosofia de otros

autores en que integran ambas tareas en una sola [J. Winnenberg 1990}.

4.2. Detectabilidad de Fallas

Dado que no hay perturbaciones en las ecuaciones de paridad, que el sistema es observable, y

que las fugas afectan directamente al menos un estado, se puede demostrar que existe un vector

50

VT que satisface (2.9) y (2.10) lo cual quiere decir que las fugas son detectables.

Sin embargo en este trabajo, se desea no solo detectar las fugas, sino también localizar la

ubicacién de éstas. Para conocer sf es posible aislarlas se propone tratar a cada una de ellas

como una falla y el resto como perturbaciones en (2.3). Es decir se redefine el vector de fugas

en (3.53) como Ay =Asy Ap =] Ar oe) Aged Avett And para el sistema.

& = Apx(t) + Bus(t) + Boua(t) + a*Kida(t) + a” EAp(t) (4.1)

y = Ca(t)

con:

Ay = [A+ diag(H x1(t),0, 4 25(t), 10,4 tan-1)(@), ay)| 3

By = B(x(t))o

B=| a1 ve o}

10--- 0 C= € green

00- 01

1 r an = 2 K; [ooo ae. 000] es (4.2)

0 0 0

1

vam (C ° 0 0 0

0 4 vee 0 E,= } 4) ; € gpanen—2 (4. 3)

oe 1

0 0 Vaon-2(2)

0 0 : 0

0 0 0 0

para i= 1...n—1, con p= —2p, a* = —a2/2, a, = $2-)lo.

51

Al aplicar este nuevo planteamiento con los valores de los pardmetros de la tuberia se

encontré que sélo se pueden separar dos fugas. Es decir no existe un vector V7 que cumpla

(2.8), (2.9) y (2.10) para n mayor que tres.

Por otro lado, de manera independiente a las relaciones de paridad, White y

Speyer [J. White & J. Speyer 1987] demostraron que la condicién de separabilidad de fallas

al considerar un filtro detector se podia reducir a verificar que la relacién

rango| CA%K, CA*E; =n-1 (4.4)

se satisfaciera para el sistema (4.1) donde 4; y & son los enteros més pequefios, tales que

CA K; #0 y CA%E; # 0 respectivamente. Nuevamente al calcular con los parémetros de la

tuberfa el lado izquierdo de (4.4) se confirms que sélo ésta ecuacién se satisface para n = 3 y

por tanto solo se pueden aislar dos fugas.

En el contexto de observadores esta limitacién se obtiene fécilmente al aplicar el siguiente

teorema demostrado en [C. Fang & W. Ge 1988].

Teorema

Sea un sistema lineal con m mediciones independientes, entonces existe un observador que

es robusto a m — 1 fallas y sensible al resto.

Como sélo se tienen dos mediciones independientes en el sistema (4.1), inicamente es posible

disefiar un observador robusto a una fuga y sensible a la otra. Lo anterior quiere decir que sélo

se pueden aislar una fuga con un observador.

4.3 Formulacién del Problema de Deteccién de Fugas Multiples

De acuerdo al andlisis presentado en la Seccién 4.2 para el sistema (4.1) solamente pueden

aislarse 2 fugas. Sin embargo, si se considera la posibilidad de disefiar un banco de observadores

en donde cada uno de estos debe ser robusto a una fuga y sensible al resto, junto con una ldgica

apropiada que evalue los residuos de los observadores para aislar de estos cada una de las

fugas, se puede atacar el problema de fugas multiples en el ducto sin necesidad de incrementar

los sensores, Cabe hacer notar que este planteamiento es completamente contrario al usado

tradicionalmente para resolver el problema FDI. En términos del modelo matematico del

52

sistema, lo anterior quiere decir que se deben permutar las perturbaciones y las fugas en (4.1)

y resolver n — 1 problemas de FDI de manera independiente.

4.3.1 Planteamiento

Sean los sistemas modificados para i = 1.2 —1

£= Aox(t) + Bui(t) + Boue(t) + E,X;(t) + KiAy, (t) (4.5)

y = Cx(t)

con A; la perturbacién, el vector de fugas Ay, = Mpocet Ager Atta ott Ant y las

matrices

1 Tv = gt wae rt B=a'| 0 yeag 9 9 0 0 o| ex (4.6)

0 0 0

1 ise 0 0

0 0 0

0 i see 0

Kea{ #@ eRe

a 0 0 VJ ten-2(4)

0 0 0

0 0 0 0

entonces se requiere disefiar n —~ 1 observadores para el modelo (4.5), los cuales deben ser

robustos a A; y sensibles al vector Ay, en cada caso.

En términos de los residuos 1;(t) € "+ implica que los observadores deben cumplir las

siguientes condiciones para el problema transformado:

1) Si el vector de fugas Ay, es cero, independientetemente de ;, las componentes de todos

53

los residuos r;(£) deben tender asintdticamente a cero.

2) SLAG #0 y Ay, = 0, el residuo del observador i debe tender asintdticamente a cero y el

resto de los residuos tenderd a valores diferentes de cero.

4.3.2 Banco de Observadores

Dentro del problema DLFT no sélo es importante le deteccién de fallas, si no también su

localizacién. Por lo tanto es necesario saber cuantos observadores se requieren para poder

aislar una falla.

En el caso de la tuberia se cuenta con 2 mediciones independientes y | puntos de fugas posi-

bles. Estos dos pardmetros permiten inferir cuantos observadores son necesarios para aislar una

falla, apoyéndose en el teorema de Ja Seccién 4.2 y en el nuevo planteamiento 4.3.1 obteniendo

las combinaciones posibles entre el ntimero de fallas y el nimero de mediciones independientes

disminuido en 1, esto es

I t l U (4.7)

1 Ma pi

es decir con cada generador de residuo es posible aislar una falla a la vez.

4.3.3 Solucién al Problema de Fugas Miiltiples

Considérese el sistema de la tuberfa (4.5) con el vector de fugas Ay,, la ecuacién de salida C ,

y la fuga A; como perturbacién. Entonces el conjunto de fallas A,, puede ser detectado ya que

existe un entero s y un vector vi = ve ur Uy con v* arbitrario tal que las siguientes

condiciones de detectabilidad y aislamiento

Vi H,(Ki)# 0 VP HAE;) = 0 (4.8)

con H;(-) definido como

CM O +. 0

CAM CM :--- 0

H(M) = Log (4.9)

CAS1M «+ +++ CM

se cumplen para cualquier n.

Atin mds la transformacién

- T g=aTa=|" |a (4.10)

LC

con la submatriz T;, dada por

Uo U Cc

wy vw - «O CA Tis = (4.11)

wy +O -- 0 CAs“!

y L, una ‘matriz tal que

nay =| ™ Qa 9 ae 44, = ‘1 Ge | = vt Lojb 0 Ins

lo cual permite transformar (4.5) en

xy A; 0 Zi 0 M; a ot o + Avya; +T; Bu + T;Boug + a+ a Afi

Lg Ain Aize ten LCE; Ma (4.12)

ta y= | Ra Re : (4.13)

Lig

55

donde la variable o salida auxiliar ya; = Liy es una combinacién ineal del vector de salida

y Ma # 0. Este hecho es consecuencia del Teorema 4 establecido por Wiinnenberg su tésis

doctoral [J. Wiinnenberg 1990], en donde se ha relajado la condicién de que el residuo sea cero

ante condiciones iniciales. Esta condicién no limita el uso de (4.12)ya que si hay una falia en el

instante ¢ = 0, si es capaz de detectar, sdlo que después de reconocer el transitorio.

La verificacién del hecho se realize. en dos pasos. Primero se muestra que bajo la condicién

de observabilidad del sistema se puede encontrar una L tal que T; tiene inversa y por Jo tanto

es una transformacién viable. Posteriormente se demuestra que bajo T;, el sistema (4.5) se

transforma en (4.12).

Primer paso:

Expresando (4.11) como

VIC + CA, + CA? +... FUCAS? + CAs}

v0 +u1CAo+ wyCA2 +... +uCAs?

Tis = : (4.14)

uC +uCAo

WC

y realizando transformaciones equivalentes en (4.14) se tiene

vt +u,0As-}

wCAs?

: (4.15)

wCAo

WC

donde los renglones de Ja ecuacién (4.15) son linealmente independientes, dado que el sistema

es observable. Por lo tanto la parte superior de T,, esté formada por s vectores linealmente

independientes y se puede encontrar una L; tal que T, sea de rango pleno.

56

@©#e@2e00e200800008000080020806808008000088088

888

CG @

EC

Segundo paso:

Transformando (4.5) por medio de (4.10) se obtiene

2; T; By T; Ti, wits] 8 1A | Qa Qn “4 | 7 Buyt+TBou+| | Bdt| 9" | Kidy

Lig Lc G2 Hi LC

(4.16)

Ea y=C} Qa Qe || - (4.17)

Tig

Por otro lado, la condicién (4.8) permite afirmar que

TisKis = 0 y TisKis # 9. , (4.18)

Por lo que (4.16) se reduce a

By , Ts A Ts A Xy 0 M; mi | sAQ1 sAQe2 7 | 4 7Buy +T;Bous+ at i An

ip L,CAQ1 L;,CAQ1 Lin, LCE; LCK;

(4.19)

Ei y= c| Qi Qe _ (4.20)

Lp

Ast los primeros s elementos del vector de estado se pueden escribir como

Zax TAQa Ga +TeAQe Fig ++TsBstr + T:Bo,u2 + Mads, (4.21)

y = CQa Fa +CQin Fe - (4.22)

Multiplicando la ecuacién de salida por la matriz DE, se tiene

57

Ly = LiCQi a +LiCQv Fa (4.23)

debido a que Li;CQi2 = In-s y LiC Qi = 0 entonces

Ly =e, . (4. 24)

Por lo tanto %j, puede expresarse como una combinacién lineal del vector de salida, el cual

se denota como vector de salida auxiliar ya;, obteniéndose con ello el sistema transformado

(4.11).

Observacién 3. Hay que notar que la transformacién propuesta resuelve el problema de

deteccién de una manera transparente dado que el subespacio aj es observable por “y” y es

afectado por A; y no afectado por la fuga ,. Una ventaja de esta representacién es que puede ser

considerado como un procedimiento para cualquier esquema FDI en que A; deba ser detectado.

En el caso particular de la tuberfa, como se mostro anteriormente, la transformacién (4.11)

existe. Desafortunadamente, la situacién opuesta no se alcanza, por ejemplo. Si A; se asume

como entrada desconocida, no existe um V/ para cualquier ¢ y ¢ tal que 4.8 se satisfaga.

4.3.4 Construccién del Observador o Filtro

La solucién propuesta en la Seccién 4.3.2 permite vencer el problema de generacién de residuos

para el conjunto de fallas A;, pudiendo disefiar entonces un banco de observadores de manera

independiente para el subsistema @ para i =1,...,/ dado por

ru= Ain ta +Amya: + Bow (4.23)

y= Ra a (4.26)

con residuo ri(t) = y(t)— y(t) y y(t) la estimacién de salida, de tal manera que la funcién

residuo 1;(t) tienda a cero en respuesta a una fuga A: y r,(t) # 0 en respuesta a las fugas

Aji(t) # 0 una vez que las condiciones del transitorio han desaparecido.

La dimensién del generador de residuos est4 dada por la dimensién de la matriz Aji, es

58

decir, este tendré un orden de 2n ~ 1, en el caso de que se construya un observador de orden

completo, pudiendo disminuir su dimensién a 2n — 2 si se toma en cuenta que el estado EiQan— 1)

es una medicién del sistema transformado.

La ganancia del filtro u observador se puede plantear de manera independiente. El proce-

dimiento empleado aqui para generador de residuos es un filtro de Kalman ya que su robustez

ante el ruido e incertidumbres del modelo es bien conocida [A. Gelb 1979], ademés de ofrecer

una generalizacién para el caso no lineal mediante filtros de Kalman extendidos.

4.4 Proceso de Aislamiento

Una vez concluido el proceso de generar residuos, es necesario contar con funciones de deteccién

que permitan inferir con certeza la ocurrencia de fugas en presencia de ruido.

Con este fin, para aislar la fuga 4; se propone la siguiente funcién de deteccién cuando la

fuga est4 presente en la seccién é de la tuberfa:

¢ — Bt & 2 2 I= f € (=, (rs(€) — ér;(t) ) dt>0 (4.27) F

La variable ( actua como factor de olvido y € como un factor de ajuste.

La funcién de deteccién (4.27) tiene ventajas sobre la determinacién directa de una fuga

a partir de los residuos generados por el sistema (4.25) ya que en cada toma de decisién se

considera la influencia de todos los residuos rift) re(t) --- ni(é) , siendo capaz de la

deteccién de fugas muiltiples.

En el caso de que exista una fuga en el tramo i , J; tomaré un valor positivo ya que ér,(t)?

es cero. Si no corresponde al tramo de fuga J; tomard valores negativos en su evolucién en el

tiempo. Finalmente, en ausencia de fuga la funcién de deteccién seré cero.

La accién integral y el factor de olvido filtran el ruido, lo que ayuda a que estas funciones

de deteccién reduzcan las falsas alarmas.

59

Capitulo 5

Resultados

En este capftulo se presentan los resultados obtenidos cuando se aplica el banco de observadores

y la funcién de aislamiento de fallas propuestas en el Capftulo 4 para localizar fugas. El estudio

se realiza con un modelo simulado y con datos experimentales.

5.1 Resultados en Simulacién

Con el objeto de evaluar el desempefio de la solucién propuesta al problema de DLFT, se

realizaron pruebas en simulacién empleando los parémetros de la instalacién fisica de la tuberfa

reportados en [R. Carrera 1998] y el modelo desarrollado en el Capitulo 3 se consideré una

discretizacién de siete tramos que permite ubicar seis fugas con la ayuda de un banco de seis

estimadores como lo muestra la Figura 5-1.

En el simulador se consideré el modelo no lineal del fluido en la tuberfa, se introdujeron

desviaciones del 10 % alrededor del valor nominal de 1[m] de altura del tanque alimentador

del circuito, se varié el coeficiente de apertura de la valvula de su valor méximo 1 a 0.75, y se

adicioné ruido en los sensores de presién y gasto. Todo ello con el objeto de tener variaciones

del punto de operacidn del sistema.

Se provocaron de manera aislada fugas de 0.000025 m (0.025 4) que representan el 0.18%

del gasto nominal de 0.0125 nt (12.5 4) en los seis puntos posibles de la tuberia.

La evolucién en funcién del tiempo de los residuos ante Jas seis fallas obtenidas en simulacién

se muestran en la Figura 5-2.

60

fl fe F3 f4 FS 6

ac ¥ ¥ # ¥ x # Se

ax ax ax ax ax aX aX

Figura 5-1: Tuberfa equivalente, seis fallas posibles.

En esta Figura las columnas representan el tramo en donde se provoca las ’fallas y Ja fila la

evolucién de los residuos ante fallas. Se puede observar en dicha figura que una falla a los 5 [s]

de observacién provoca que todos los residuos respondan, excepto el asociado a dicha fuga. Es

decir solamente elementos en la diagonal se mantienen en valores muy cercanos a cero.

El detealle de los residuos ante una fuga en el punto f6 de la Figura 5-1 se ilustra en 5-3.

Aqui se aprecia que el valor medio del residuo 6 es cero a pesar de las condiciones de ruido que

reflejan las variaciones de alta frecuencia de los sensores y a baja frecuencia del tanque.

El comportamiento de Ja funcién de aislamiento ante la fuga en el f6 se muestra en Ja Figura

5-4, en donde se observa que la funcién J6 asociada a f6 (donde se provoca la, fuga) es positiva,

mientras que las funciones restantes Ji son negativas.

Para. probar la capacidad del sistema ante la presencia de fugas simulténeas, se efectué una

simulacién provocando fugas en los puntos f2 y f4 de la tuberfa a los 5 segundos de iniciada

la simulacién. Las fugas provocadas en este caso generaron una desviacién de 0.000045%

(0.0454) equivalente al 0.36% del gasto nominal de 0.0125% (12.5 4) en la tuberfa.

El comportamiento de las funciones de deteccién se presentan en la Figura 5-5. Claramente,

las funciones de aislamiento J2 y J4 son las tinicas que toman valores positivos, indicando que

son los puntos £2 y f4 de la Figura 5-1 en donde se presenta la falla; el resto de las funciones se

desplazan en direccién negativa al eje de las abscisas.

61

Falla 1 Falla 2 Falia 3 Falla 6

[~

Residuo 2

Residuo 6

Lf

S|

150

100

Residuc 50

6

-50 —_+—__}+—. 6 § 10 15 tiempo [s]

Figura 5-2: Matriz de Residuos

62

150

Ri

1090

8 3 e 50 ® a

R6

-50 0 10

tiempo [s]

Figura 5-3: Evolucién en el tiempo de los residuos ante una fuga en el punto f6.

10

50

Funciones

de Aisiamiento J6

-100

° . 10

tiempo [s]

Figura 5-4: Funciones de aislamiento ante una fuga en el punto £6

63

x10

2 d2 Ald

J1 Funcién

de De

tecc

ién

o [a

J

f.2]

a 2 4 8 8 40

tiempo [3]

Figura 5-5: Funciones de aislamiento, con fugas en los puntos f2 y {4 con datos simulados

Los diferentes tiempos de respuesta de los detectores Ji de la Figura 5-5 pueden explicarse

por el fenémeno de transporte que existe dentro de la tuberfa, ya que se requieren tiempos

mayores para detectar y localizar fugas que se encuentran mas alejadas de los extremos del

ducto.

5.2 Resultados Experimentales

Las pruebas presentadas en ésta secci6n se basan en la medicién de flujos y presiones en los

extremios de la tuberfa piloto del Laboratorio de Hidromecénica del Instituto de Ingenierfa de

la UNAM, cuyas caracteristicas ffsicas son descritas en el apéndice.

Los datos fueron registrados en una computadora personal con una frecuencia de muestreo

de 0.5 Hz usando tarjetas Lab-PC-1200 y el paquete de adquisicién y manipulacin de datos

Lab View 4.7 de National Instruments.

Para la generacién de residuos se toman siete secciones de tamafio uniforme de la tuberfa,

64

con lo cual es posible localizar seis puntos donde posiblemente se encuentre la fuga por medio

de un banco de seis estimadores basados en el modelo linealizado del fluido en la tuberfa recta

equivalente descrito en el Capitulo 4.

El sistema detector de fugas supone como entradas la carga de presién que lo alimenta y el

flujo de salida de la tuberfa. Las sefiales de gasto a la entrada y presién a la salida se consideran

como mediciones.

Como primer experimento se simuldé una fuga abriendo la valvula localizada a 117.63 m del

inicio en longitud real (equivalente al punto f6 de la ilustracién 5-1), a los 150 s. Los registros en

condiciones de falla para las presiones y gastos a la entrada y salida de la tuberfa se muestrearon

-con un tiempo de 2 muestras/s y se ilustran en la Figura 5-6. Se observa que los registros de

gastos estén fuertemente contaminados con ruido proveniente de los sensores tipo propela. La

pérdida en el gasto debida a la fuga es de 0.0001 (0.14) que representan el 0.8% del gasto

nominal de 0.01225 (12.254)

o otis + |

0.011 g 100 200, 300 200 00 tiempo [s]

15 Hi

= 10} ‘| = Ho

st 1

% 100 20 300 35 500 tiempo { s]

Figura 5-6: Gastos y presiones ante una fuga de 0.1 litro/s

La Figura 5-7 muestra la evolucién del residuo R6 correspondiente al punto ubicado a

113.80m de la tuberfa recta equivalente (punto f6 de la ilustracién 5-1) y el residuo R3. Nétese

que a pesar del ruido en los residuos, las aproximaciones en el modelo empleado para la gen-

eracién de estos y las incertidumbres propids de la instalacién fisica, R3 tiene un sesgo mientras

que la evolucién del residuo R6 no se ve afectado, manteniéndose alrededor de cero indicando

65

SSCHOHSSHSSHSKHHHSSHSSSHESCOHHSSCOHOSHOSEOHEEE

con ello la presencia de una fuga. Este hecho muestra la efectividad del método empleado para

generar residuos sensibles a un conjunto de fallas e insensibles al resto a pesar de manejar un

modelo lineal en el filtro.

Resi

duos

100 «© 200=— 300 400) 5D tiempo [s]

Figura 5-7: Residuos ante una fuga en el punto f6 de la tuberia

La Figura 5-8 muestra la evolucién de las funciones de aislamiento ante la fuga en el punto

£6 del ducto. Se aprecia claramente que la funcién J6 es la tinica que toma valores positivos,

indicando asf que la falla esté presente en este punto de la tuberfa.

Se hace notar que gracias a la funcién de deteccién propuesta con accién integral y factor

de olvido es posible reducir el efecto del ruido que se manifiesta en los residuos.

1

3 J6

o 8

Func

ione

s de

Ai

stam

ient

o

g 700 200 300 400 50

tiempo [$]

Figura 5-8: Funcién de aislamiento ante la presencia de una fuga en el punto f6.

66

©0808 088688 88880 OOCSEEOHHOHOSOSHO

ORES

E

Para probar la capacidad del esquema PDLFT ante fugas miiltiples en una situacién real, se

realiz6é un segundo experimento en las instalacién piloto, provocando fugas simulténeas mediante

vélvulas de esfera localizadas a los 117.3 m y a los 15.15 m, puntos {6 y fl de la Figura 5-1

respectivamente. Esta situacién causa una pérdida de flujo del 6% (alrededor de 0.73 4) sobre

el gasto nominal de 0.01225 = So 12.25 me . Las grdficas de presién y gasto se muestran en la

Figura 5-9.

0.013 :

0.0125 ai | =” La DAI arf aah als NN a NM = oo fo Wwe yw yore vd So

0.0115 + . 0.011 Se Onl g 700 200 300 400 500 600

tiempo [s ] 15

Hi ~ OF 7 > Ho. = sf .

% 100 200300 400 500 00 tiempo [s]

Figura 5-9: Gastos y presiones en la presencia de fuga simultanea del 6%.

Empleando las funciones de aislamiento es factible detectar y ubicar la fuga, ya que crecen

en forma positiva los valores de las funciones J1 y J6 asociados a las fellas, mientras que las

funciones restantes crecen en forma negativa como se aprecia en Ja Figura 5-10. El tiempo de

respuesta del esquema PDLFT es menor a una decena de segundos tanto en los casos simulados

como experimentales, lo que hace ver el potencial que tiene el método.

250

200

150

100

50

°

50

100

150

+200

Func

lone

s de

Al

stam

lent

o

tiempo[s]

Figura 5-10: Funciones de deteccién para fugas en los puntos fl y {6 de la tuberfa

67

@eseeaeendeeeeeeeoeenenoedee

eee

one0e eee eee ed

@

Capitulo 6

Conclusiones

En esta tesis se presenta la aplicacién de un filtro de Kalman que actitia como observador

ante entradas desconocidas para la deteccién y localizacién de fugas muiltiples en tuberfas.

En particular se muestran las ventajas de realizar sistemas inteligentes que operan en tiempo

real con poca instrumentacién, para supervisar y monitorear redes de tuberfas de manera au-

tomatica.

La contribucidn principal de este trabajo es la forma novedosa para definir el problema de

deteccién de fugas multiples, usando el marco de referencia de un conjunto o banco de sistemas

o filtros que sean robustos a una fuga y sensibles al resto, lo que permite resolver el problema

de manera independiente.

Se ha mostrado que el esquema de deteccién de fallas y aislamiento propuesto opera sa-

tisfactoriamente ante la presencia de incertidumbres. Esta ventaja se debe a Ja presencia de

un banco de observadores o estimadores robustos que trabajan en forma retroalimentada para

determinar el comportamiento interno del fluido.

La funcién de deteccién propuesta permite aislar las fallas de manera simple y eliminar el

ruido en las mediciones. Los resultados de los estudios realizados en simulacién y de manera

experimental, muestran el uso potencial de la propuesta y son indicadores de la factibilidad de

localizar pequefias fugas en tuberfas por medio de software y sin necesidad de instrumentacién

redundante.

Para trabajos futuros se puede pensar en mejorar los resultados y ampliar la metodologia

mediante filtros de deteccién no lineales creados bajo el esquema de espacio de paridad, tales

68

@#e06e600800820000860800860080002000000808808880808 4

como filtros de Kalman extendidos, que operen de manera general para cualquier esquema FDI.

En cuanto al modelado del fluido dentro de la tuberfa se puede pensar en técnicas de

reduccién de modelo que permitiré trabajar redes més complejas que un ducto, aunque puede

variar la dificultad dependiendo del fluido que transporte.

69

ESTA TESIS NO SALE DE LA BIBLIOTECA

Apéndice

Instalacién Fisica.

Las pruebas para el esquema de deteccién de fugas en ductos se realizaron en Ja tuberfia

piloto ubicada en el Laboratorio de Hidromecdnica del Instituto de Ingenieria de la UNAM la

cual se aprecia en la Figura A-1.

Figura A-1: Vista del laboratorio

La instalaci6n, como se aprecia en Ja Figura A-2, esté formada por un tanque presurizado

(c), una vélvula tipo globo al final de la tuberfa (f), una bomba centrifuge de 50 Hp (b) y un

tanque abierto (a). Las sefiales de medicidn, presién y gasto, se recolectan en el punto (e)..

70

@ q

Figura A-2: Distribucién de la instalacién fisica

Las variables registradas en el punto (e) permiten considerar la medicién de presién al inicio

de la tuberfa y el gasto a la salida de ésta como entradas al sistema en el modelo (3.40) y

(3.50). Las dos cantidades restantes, gasto al inicio y presidn a la salida del ducto se consideran

mediciones en la representacién en variables de estado.

Para el desarrollo de (3.40) y (3.50) se considera una tuberia recta que no refleja la situacién.

real. Para compensar este hecho, se determiné experimentalmente la friccién con lo que se

obtiene una tuberfa equivalente que considera también las pérdidas por codos y vélvulas con-

servando el didmetro original de 10 cmde los tubos del circuito tal como lo reporta [R.

Carrera 1998].

A lo largo de la tuberfa existen cuatro puntos donde se simulan fugas por medio de vélvulas

de esfera de una pulgada de didmetro, colocadas en los puntos que muestra la Figura A-3, cuyas

separaciones reales y equivalentes se especifican en la siguiente tabla:

71

@#e2e2e60068600808000000080800008080880808800886 8

a f2 £3 £4

ol de A3 a4 d

Figura A-3: Puntos de fuga

dl d2 d3° ss d4 d5 longitud total

Distancias Equivalentesm 15.15 34.31 33.79 34.14 15.14 182.53

Distancias Reales m 15.15 34.39 33.87 32.22 15.14 132.77

Simulador

Con la caracterizacién de la tuberfa y las ecuaciones (3.40) a (3.50) se construyd el simu-

lador del comportamiento dindémico no lineal de la tuberfa que permite probar los esquemas de

deteccién de fuges sin necesidad de hacer pruebas sobre la instalacién fisica.

Para buscar flexibilidad en la manipulacién del simulador, su implantacién se elaboré con

ayuda del paquete SIMULINK de Matlab 5.2 Este permitié construir diferentes bloques que

proveen diversas configuraciones de tuberfas, el esquema PDLFT e instrumentos de medicién

contando ademés con la ventaja de diferentes algoritmos numéricos para la solucién de las

ecuaciones diferenciales no lineales.

E] simulador completo consta de los bloques: tuberfa, banco de observadores, visualizador

de residuos, generador de funciones de aislamiento, entradas al sistema, bloque de medicién

de gastos y presiones, bloque de inicio para cargar datos, bloque click-clok para cambiar los

pardémeros fisicos de la tuberfa asf como los bloques para referir los puntos de operacién, como

se aprecia en la Figura A-4.

72

Tuberia 7 seamentos

NMediciones de Edos

P.O, Mediciones PO Vatoula Teng

Banco de Observadores G Residuos

[aekciok [ince

Figura A-4: Sistema detector de fugas multiples

El diagrama a bloques es contenido en el programa “armado.mdl” y el célculo de las matrices

que conforman el modelo, banco de observadores y otros pardmetros se encuentra en el programa

“final.m’”.

Los parémetros empleados por el simulador dentro de la mascarilla “parameters” de Simulink

para el método numérico son: el algoritmo ode45 (domand-Prince), de paso variable con tol-

erancia relativa de le — 3, tolerancia absoluta de le — 6 y un factor de refinamiento de 0.1.

El algoritmo y sus parémetros se escogieron para que no existiera inestabilidad numérica y el

tiempo que tarda en simular fuera razonablemente corto a pesar de la perturbacién causada

por la fuga.

El programa puede operar de dos maneras diferentes. La primera de ellas funciona comple-

tamente como un simulador pudiendo cambiar las caracterfsticas de la tuberfa recta tales como

didmetro, friccién, gravedad, niimero de tramos por medio de la mdscara click-clock.

La segunda forma de operacién consiste en cargar datos de mediciones mediante el bloque

de inicio, donde se puede dar Ja ruta y nombre del programa. Este bloque acciona el programa

“grregla.m” que convierte los datos leidos de la instalacién a unidades de metros para las

variables de presién y [=| para los gastos, deshabilita el simulador de la tuberfa, conectando

directamente las entradas al banco de observadores.

El bloque correspondiente al banco de observadores contiene los filtros de Kalman capaces

de generar residuos contando tnicamente con las mediciones de gasto a la entrada y presién

a la salida de acuerdo a la ecuacién (4.25) para después exhibirlos en el bloque generador de

residuos.

73

Las funciones de aislamiento se obtienen en el bloque F _ Aislamiento de acuerdo a la ecua-

cion (4.27), ademés de contener los osciloscopios que hacen posible su visualizacién.

En el caso de que se esté trabajando en el primer modo de simulacién completa es posible

monitorear cada uno de las presiones y gastos a lo largo de la tuberfa mediante el bloque

mediciones de estados.

El bloque mas complicado es el de la tuberfa. Esté constituido por los bloques bdsicos de

tramos de tuberfa, bloque de fuga, vélvula, y tanque que se Imestran a continuacién.

El tramo de tuberta esté constituido por dos bloques que implantan cada uno de ellos las

ecuaciones diferenciales acopladas (3.38) y (3.39) que representan el comporamiento dindmico

-del gasto y presién en la tuberfa tal como lo ilustra la Figura A-5.

Figura A-5: Bloque tramo de tuberia

El bloque de fuga se construye por medio de la condicién de frontera algebraica (3.34) y su

inclusién dentro del modelo es de acuerdo a Ja ecuacién (3.35). La implantacién es la que se

aprecia en la Figura A-6.

74

fT

fuga 1

8 re] iT) C | sqrt(H2) Q3 H2

tiempo de inicio de

fuga

Figura A-6: Bloque de fuga

La vélvula es la condicién algebraica existente en el extremo final de la tuberia de acuerdo a

la ecuacién (3.33). Permite variaciones entre un valor cero, cuando esté completamente cerrada

y un valor unitario cuando esté completamente abierta. Se permite cambiar estos valores como

funcién del tiempo, tal como se ilustra en la Figura A-7.

M Valvals

variacién alrededor del

valor nominal

Figura A-7: Bloque de valvula

75

El tanque es la condicién de frontera aguas arriba de Ja tuberfa, este puede estar representado

por un valor constante o variante en el tiempo

La configuracién bdsica de estos elementos queda representado en la Figura A-8 con 3 tramos

de tuberfa , dos posibles fugas, asf como el tanque y la vdlvula en sus extremos.

tramo 1 tramo2 tramo 3

Figura A-8: Interconexién de bloques en el simulador de la tuberfa

76

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