t nt x f nf - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 n nx 1 k=0 ej2ˇ n...

50
x(nT ) T p = NT X (kF ) F c =1/T = NF X (kF )= n 0 +N-1 X n=n 0 T · x(nT )e -j 2πkF nT x(nT )= k 0 +N-1 X k=k 0 F · X (kF )e j 2πkF nT n 0 k 0 NT NF n 0 = k 0 =0

Upload: others

Post on 10-Feb-2020

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

� �����������

� � ������� ��� ����� ������� ��� ��� ��� ����� � � � �!#" � � $ � �%�&�� � ��� � � ' � ��(�)� ��� �)�%��*�%��

+�,.- /103254�687903: 2<;=2 >�?A@B7DC�0E?GFH0JIKFH0L4�F#MDN29OG?1IKFH0P?Q7R>�?.ST?U2;VFW: IK7 >�?.4VSX0EFH;V7

Y[Z]\^Z]\ _a`Xbdcfe#gihijlkme^`onp[q.rsrutwv8xzy|{~}��z�|qG{��������������^�������u�����d�T�9��}�v8}�v�{s��}����d�|��}�}�v�r�vz}���v��� ¡�a��xBv�}�vz�|{V¢��a£|��{sqG�.¤|x¥v¦ q.��rsvi����}�}��d§.rsv�����qH�|q.{��������������V�������¨�����©�dª��Q«Q���.¬����Q���T��}�v�}�v­{s��}����d�|��}�}�vi£|��vi}���v��] ¡�a��x¥v8}�v�|{3¢®��£|��{~q.�­� ¦ qG§.{~¯|§°v1±¨²³£|qGrsr�v�r~q.´�v�}�v�v�r~rs���]µd{srs£ ¦|¦ ��{~�K��qG��{sq��f{�¢��a£|��{~q.�o�|{3£|�1��qG´a��v�r~q¦ q.��{s�d�|{s§G�³¶�·�¸¹poqGri§°v8���*�|{~��§.��qG}��U��{ ¦ ���d§.qG�|qKv���v8rs�a´�v8x¥qG�³}�q�ºAv°µaqG�|�|�){s��}����d�|��}�}��»rsv}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz�f{V¢®��£|��{~q.� ¦ q.�i��������������¬��s���Q«��Q�¨��¤���{�{s��}����d�|£|§.q<rsvz}���v8�� ¡�a��xBv8}�vz�|{V¢��a£|��{sq.�¦ q.�­��������������¬��s���Q«��Q�¨�lª��Q«¼���.¬����Q��¸½ £|q.�]}°t¾£|r~}�{sx¥v¿}���v8�� ¡�a��xBv8}�vf¤�§.�axD£|�|q.xRq.��}�q��|�8}�vA§.�axRqÁÀ­Â<ÃÅÄuÀ9�s���Q«��Q�Æ�BÂ=���©«¼���Q«Ãf«����f�¡Ç°��«¼ÈiÉ�¤oÊ�vËv8§.²³£|{s�]}�v8}��Ë£f��vÌ{~x ¦ �a�]}�v��|Í.v» ¡�a�|��v8x¥qG�³}�v�rsq ¦ q.��§�Ê|ÎÏ�1r�t¾£|�|{~§°vU}���vr~q¿}���v��� ¡�a��xBv�}�qÁ§�Ê|q ¦ �a����v*q.����q.��qϧ.v�rs§G�ar�v�}�v ¦ q.��µd{svU�d£fx¥qG��{s§.vUq.�Ðq.��{s�]}��a�|�*{~�|�arÑ}���qv�r~´a�a��{~}�xR{��|{�§°v8rs§.��rs��xR�ar~}��zqGÒR§.{~q.��}�{X±¨v�rs´a����{~}�x¥{®�|{PÂ����Q�3ÂE���d«¼���Q«�Ã|«����f�¡Ç°��«¼È�¶¼¸Ó­v8}��D£|����q.´a�|v�rsqov5}�q.x ¦ �Ô�|{s��§.��qQ}�� x(nT )

§.�a� ¦ qG��{~�©�|� Tp = NT¤f��{®��}�}�{~q.�|q[£|��v}���v��] ¡�a��x¥v8}�v ¦ q.��{s�d�|{s§.v�v� ¡��q.²³£|q.�fÍ°vB�|{~��§G��qG}�v X(kF )

§.�a� ¦ q.��{~�©�f� Fc = 1/T = NF¸Õ�q9q.� ¦ ��qG����{~�a�|{V�|{�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vzq9v8�³}�{~}���v��] ¡�a��x¥v8}�vÔ���a�|�fº

X(kF ) =

n0+N−1∑

n=n0

T · x(nT )e−j2πkFnT ±¨Öf¸~×�va¶

x(nT ) =

k0+N−1∑

k=k0

F · X(kF )ej2πkFnT ±¨Öf¸~×°y�¶§G�a�

n0

qk0

v���yf{~}���v���{=��v8}�vBr�v ¦ qG��{s�d�|{~§.{~}�ØR§G�a� ¦ qG��{~�©�|� NT�

NF�|q.´ar~{Pv8��´a�axRq.��}�{�|qGrsr~q<�|£|q9���axRx¥v8}��a��{sq8ºP{s�´aqG�|q.��v�rsq<��{ ¦ ���|q n0 = k0 = 0

¸ÙmÚ�Û�ÜQÝ�ÜQÞQÝßÜ�à5á3â^ãTäuåQæçåTèuÝßÜ�èuèué³êçÜ­ë ì�í

×�î�ï

Page 2: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

ÕVvi}���v8�� ¡�a��xBv8}�vo�|{f¢��a£|��{~q.�H±¨Ö|¸Ñ×�v�¶�µ©{~q.�|q#§�Êf{�v�x¥v8}�voÓ­¢�� ±uÓi{~��§G��qG}�q#¢��a£|��{sq.���E��v��|��� ¡�a��x�¶ q^r�t v���}�{Ñ}���v8�� ¡�a��xBv8}�v<±¨Öf¸~×°y�¶��mÓi¢��б��Æ��µ�q.����qHÓi{~��§G��qG}�qT¢��a£f��{sqG���E��v��|�� ¡����xB¶Q¸=poqGrsrsqq.²³£�v8Í.{s���|{^±¨Ö|¸Ñ×ç¶Tr~q<��q.rsv�Í.{~�a�|{� ¡��v�{�²³£�v���}�{Tq

Fq5{ ¦ q.��{s�d�|{ Tp

qFp���a�|�

F =1

Tp, Fc =

1

T,

Tp

T=

Fc

F= N

±¡Ö|¸�¶

x

0 T

N · T

Tp

� Ü �x(nT )

x

0T

N · TTp

0 F

N · F

Fc

��� �|X(kF )|

��������������� �"!�#�$�%'&)(+*-,/.0*�$�%'132"4�5-%x(nT )

%6&7,8.09+5-,7.+%'5:5�4<;>=?4@$BAC,@=>&/4�;?4X(kF )

�Ær��³£|x¥qG���9�|{ ¦ £|��}�{ ¦ q.� ¦ q.��{~�©�f� N�Wrs�<��}�q.����� ¦ qG��{srf��q.´a�|v�rsq#q ¦ q.��r�vi}���v��] ¡�a��x¥v8}�v¦ q.�[§.£|{=q.��}���v�xzy|{=��{~��£|rÑ}�v��f�R§G�ax ¦ rsqQ}�v�xRq.��}�q9� ¦ qG§.{~¯|§°v8}�{E��v8rsr�v�§G�a�|�a��§.q.�fÍ°v��|{ N rs�a���µ8v�rs����{ §G�a�|��q.§.£©}�{~µd{u¸ÕVvÁ±¨Öf¸~×°y�¶W��v ¦|¦ ��q.��qG��}�vB{~r=��q.´a�|v�rsq x(nT )

§G�ax¥q5����x¥x¥vR�f{=§G�ax ¦ �a�fq.��}�{#���ƪ���� �Q�EDF �¨�����

F · X(kF )ej2πkFnT

�|{Vv�x ¦ {~q.Í.ÍGq­¯��|{Ñ}�q<q< ¡��qG²d£fq.�|ÍGqkF ∈ {0, F, . . . , (N − 1)F}. ±¨Öf¸wî�¶

�Ærl ¨v8}�}��z§�Êfq<{sr®��qG´a��v�r~qx(nT ) ¦ ������vzqG����q.��q<��{s§G�a��}���£|{Ñ}��D�|v�rsrsv5}���v��� ¡����x¥v8}�v9�|{�¢��a£"���{~q.�

X(kF )x¥qG�|{�v8�³}�q�v���}�{~}���v��� ¡����x¥v�Í.{~�a�|q�}���v�x¥{Ñ}�qRr�v»±¨Ö|¸Ñ×°y®¶9�BµaqG��{~¯|§°v�y|{~rsq¥v�´aqQµa�ar-�xRq.��}�q9£f}�{srs{~Í.Í.v��|�|�zrsv���q.´�£|q.��}�q5��qGr�v�ÍG{s�a�fq­�|{��a�]}��a´a����v�rs{Ñ}�Ø

1

N

N−1∑

k=0

ej 2πN

k(n−m) = δnm

±¨Öf¸ Ö³¶�Æ�f ¨v8}�}�{ ¦ q.� n = m

±¨{~�Á´aqG�|q.��v�rsq ¦ q.� n = lm¶o{=}�qG��xR{s�|{=�|q.r~r�vB���axRxBv8}��a��{svR���a�|�}�£©}�}�{�£f�|{~}�v���{�q5²³£|{s�|�f{Vv��|§�Ê|qÔr�t¾q.� ¦ ��q.����{~�a�|qÔvR��{s�|{~��}���v��|q.r~r�v ±¨Ö|¸¾Ö³¶Tµ8v�rsq 1

¤�x¥qG�³}���q ¦ qG�n 6= m

±¨{~� ´�q.�|qG��v�r~q ¦ qG� n 6= lm¶#qG����v¥��{~��£|rÑ}�v

×°Ö0G

Page 3: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

1

N

N−1∑

k=0

(

ej 2πN

(n−m))k

=1

N

1 − ej2π(n−m)

1 − ej 2πN

(n−m)= 0.

ÕVv�±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £���q.����qG��qD��{s��§.��{Ñ}�}�vz�|q.r~r�vD ¡�a��xBvN−1∑

k=0

Fej2πkF (nT−mT ) =1

Tδnm

±¡Ö|¸���¶�|��µ�qÔ��{��9}�q.�³£f}�� ¦ ��q.��q.��}�qÔ§�Ê|q FT = 1/N

¸� r~rs�a��vDr�vDµ�q.��{ѯ�§°v��|qGrsr�v±¡Ö|¸Ñ×°y®¶T��{~��£|rÑ}�vfº

N−1∑

k=0

FX(kF )ej2πkFnT =

N−1∑

k=0

F

N−1∑

m=0

Tx(mT )e−j2πkFnTej2πkFnT

=N−1∑

m=0

Tx(mT )N−1∑

k=0

Fej 2πN

k(n−m)

=

N−1∑

m=0

x(mT )δnm = x(nT )

±¡Ö|¸��a¶

�|��µ�qÔ�|qGr ¦ qG�³£|r~}�{sxR� ¦ v�����v�´a´a{~����{��9�� ¡��£f}�}�v8}�v�r�vz§G�a�|�|{~Í.{~�a�|q<�|{�����}���´a�a��v�r~{~}�Ø�±¨Ö|¸��a¶¼¸��� ���������������������������������������

�a��µd{sqG�|q5��{~µ�q.�|qG��q5r�v�§.���|�|{sÍG{s�a�fq<�|{V�a��}��a´a�a��v8rs{~}�Ø�±¡Ö|¸���¶#{~�£|��v� ¡�a��x¥v�§�Ê|qÔ��v���Ø�£f}�{srsq{~�U��qG´a£|{~}��|¸"!©{X�a����q.��µ8vK§�Ê|q�{~�U²³£|q.�]}�vK§.�a�f�|{sÍG{s�a�|q¥{sr^��{~xzyl��rs�¿�f{$#<���a�fq.§&%�qG�δnm

µ8v{~�³}�q.���¥�|qGrsrsvD ¡�a��x¥vÔª��Q«¼���.¬������®ºδnm =

{1 m − n ∈ Z(N)0 m − n /∈ Z(N).

±¡Ö|¸�'�¶�Æ�f ¨v8}�}�{�¤���q

m−n�Wxz£|rÑ}�{ ¦ rs�­�|{ N {~r ¦ ��{~x¥�<xRq.xDy|���9�|qGrsr�v�±¡Ö|¸��a¶P�|{~µ�q.��}�v5£|�|{Ñ}�v���{s�|¤§G�ax¥q ¦ q.� m − n = 0¸��Æ� y�v���q5v�²³£|qG��}�v¥�a����q.�]µ8v�Í.{~�a�|q9��{~��£|rÑ}�vfº

N−1∑

k=0

Fej2πkFnT = δTp(nT ) =

{1T

n ∈ Z(N)0 n /∈ Z(N)

±¡Ö|¸�(a¶�|��µ�q

δTp(nT )

�9r�tÑ��Èiª��©�w���z�¨¬d�����s�Ô¬��s���Q«��Q�m�iª��Q«Q���.¬������z§.�a� ¦ q.��{~�©�f� Tp = NT¸

� ��v8rs�a´�v8x¥qG�³}�q­��{~��£|rÑ}�vN−1∑

n=0

Tej2πkFnT = δFc(kF )

±¡Ö|¸ ï�¶�|��µ�q

δFc(kF )

�<r�t¾{sx ¦ £|r~���z{~�|q°v�r~qi�|{~��§G��qG}�� ¦ q.��{s�d�|{s§G�z{s�� ¡��q.²³£|qG�|Í°vR§.�a� ¦ q.��{~�©�f� Fc =NF¸½ £|{~�|�|{ ¦ �a����{�v8x¥�Ë��v ¦|¦ ��q.��q.��}�v8��q*r�v Ó­¢�� �|q.r~r�t¾q.� ¦ �a�|qG�|Í.{sv�rsq1§.��x ¦ r~q.����� x(nT ) =

ej2πk0FnT ± X(kF ) = 1/F ¦ qG� k = k0 + mN§.�a�

m{s��}�q.����²³£�v�r~��{sv���{�q

X(kF ) = 0¦ q.� k 6= k0 + mN¶]§G�ax¥q

X(kF ) = δFc(kF − k0F )

¸×°Öf×

Page 4: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

������� ��� ���������� ºR�fq.r^§°v����K�|{X��q.´a�|v�rs{Xv }�q.x ¦ �Á§G�a��}�{~�d£f�Á£|�U��q.´a��v8rsq ¦ q.��{s�d�|{s§G� ¦ £��q.����qG��q5q.� ¦ ��q.������{~��}�q.��x¥{~�|{ �f{���q.��{sq<�|{V¢��a£f��{sqG�x(t) = x(t + Tp)

=+∞∑

k=−∞

ck · ej 2πkTp

t ±x��q°v8rsq�¶

= A0 ++∞∑

k=1

Ak · cos (2πkf0t + ϕk) , f0 =1

Tp

±¨Ö|¸Ñ×3G�¶

q*²³£|{s�f�|{D� ¦ �a����{syf{srsqÏ��v ¦f¦ ��qG��q.��}�v���q x(t)§.�axRq»���ax¥x¥v¹±¡{s�¹´aqG�|q.��v�rsq°¶ �|{�����������Æ��a��§.{sr~r�v�ÍG{s�a�f{ v���x¥���|{s§�Ê|q8¸poqGr�§°v����¥�|{���q.´a�|v�rs{�vz}�q.x ¦ ���|{~��§.��qG}��|¤�{s��µaqG§.q8¤�r~����µd{sr~£ ¦|¦ ��{s����qG��{~q5�f{V¢®��£|��{~q.�H�|{£|� ��qG´a��v�r~q<�|{ ¦ qG��{~�©�|� NT

Ê�v����©ª���N�Æ�Q«¼È�������º

x(nT ) = x(nT + NT ) ⇒ x(nT ) =N−1∑

k=0

FX(kF )ej2πkFnT =±x��q°v8rsq�¶

= A0 +

bN/2c∑

k=1

Ak cos (2πkFnT + ϕk)±¨Ö|¸Ñ×a×ç¶ÓDt v�r~}���v ¦ v���}�q�¤d£|�B��q.´a�|v�rsqov5}�q.x ¦ �5�|{s��§.��qG}��5�|{ ¦ qG��{~�©�|�5pÐ�o��v ¦|¦ ��q.��q.��}�v8}��z��v N�³£|xRq.��{ q�¤|��q5rsvD��v ¦|¦ ��qG��qG�³}�v�Í.{~�a�|q<}���v�xR{~}�qiÓ­¢�� �|�a���<��{~�|�a�|�|v���}�q�¤f�|qGµ�qÔx¥v���}�qG�|q.��qr�vÁ�f{sxRq.�|��{s�a��v8rs{~}�Øf¸ �Æ�|�arÑ}���q�¤�§.�axRq��a����q.�]µ8v8}��1v�r v ¦ ¸ ×a¤���v8}�� Nq.��{~��}��a�|�A���ar~�

Nq.� ¦ ���|q.�|ÍG{�v�r~{�§.��x ¦ r~q.����{��|{~��}�{~��}�{ §�ÊfqDv�xRxRqG}�}��a�|� N§G�ax¥q ¦ q.��{s�d�|�|¸

Y[Z�\�Z � ���lcfkßbdb©h[c|n����ßbfn�cf`��3b©k���n n `ie�c������mkmj j��^jlkme^`ok� rs{Vq.� ¦ �a�fq.�|ÍG{�v�r~{=§�Êfqz§.�ax ¦ v�{~�a�|�R�|q.r~rsqB±¨Ö|¸Ñ×ç¶ ¦ ���������|��q.����qG��q�q.� ¦ ��qG����{3§.�axRq ¦ ��}�q.�|ÍGq�|qGrsr�vz��v��|{~§.q

N�Æq.��{sx¥v��|q.r~r�t¾£|�|{~}�Øf¤d��v8}�v���v

WN = e−j 2πN .

�Æ�f ¨v8}�}�{�¤©}�q.�fq.�|�|� ¦ ��q.��qG��}�qD§�Êfq FT = 1/N��{���}�}�{sqG�|q

e±j2πkFnT = e±j2πkn/N = W±knN .

±¨Ö|¸Ñ× a¶� r~rs�a��vf¤�r�vÁ}���v��� ¡����x¥v8}�vÁ�|{W¢��a£f��{sqG�z�|{#£|�Ì��qG´a��v�r~q ¦ qG��{s�d�|{~§.�AvÁ}�qGx ¦ �A�|{s��§.��qQ}��|¤�a����{�v�rsv�Ó­¢��<¤�v�����£|xRq5rsvD ¡�a��x¥vfº

X(kF ) =N−1∑

n=0

T · x(nT )W knN

±¨Ö|¸Ñ×�îav�¶xRq.��}���q5rsv �mÓ­¢�� �|{~µ�q.��}�vfº

s(nT ) =

N−1∑

k=0

F · X(kF )W−knN .

±¨Ö|¸Ñ×�î�y®¶

×°Ö+

Page 5: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

!©{���{s§.������v�§�Ê|q5{ ¦ v���v�xRqG}���{�§�Ê|q5�|qG¯|�|{s��§.�a�|�R{��|��x¥{~�|{ ���a�|�Rrsq.´av8}�{l��v�rsr~q­��qGr�v�ÍG{s�a�f{

Tp = NT, Fc = NF, FcTp = N, FT =1

N.

±¨Öf¸~×°Ö�¶�EqG��}�v8�³}�� �|��� ��{ ¦ �a�����a�|�Ëq.��q.´a£|{~��q1rsqA�|�a��xBv8rs{sÍGÍ°v�ÍG{s�a�f{o��{sxz£|rÑ}�v��fq.qA�|q.{9²³£�v���}�{}�q.x ¦ �a��v�rs{lq< ¡��q.²³£|qG�|Í.{sv�rs{�± T = F = 1

¶Q¤|x¥v���{ ¦ £�� ¦ �a����q5v��q.��qGx ¦ {s�|º

T = 1, F =1

N(Tp = N, Fc = 1).

±¡Ö|¸~×��a¶§�Ê|q ¦ �a��}�vRv8rsrsqi��q.rsv�Í.{~�a�|{

X(k)=· N−1∑

n=0

x(n)W knN , x(n)=

· 1N

N−1∑

k=0

X(k)W−knN ,

±¨Öf¸~×��a¶

�|��µ�qB±¡§.�a� v�yf£|�����|{ �|��}�v8Í.{s���|q�¶x(n) = x(nT )

qX(k) = X(kF )

¸ �Ev�rsq­§G�a��µaqG�|Í.{~�a�|q�5v��|�8}�}�v�}�v�{s�����������Ïq9v�� q.����v¥§G{�v8}�}�q.����q.xR���|q.r���q.´a£f{~}�� · ¸

N=8

ej2π kN

�[{~§.�a����v��|�|� §�Ê|qWN

� £|�|v ��v8�|{s§GqN

�ßq.��{~xBv ¦ ��{sxR{~}�{~µ8vÔ�|qGrsrut £|�f{~}�Ø©ºW kn

N =(

e−j2π kN

)n

, ¨v�§.qG�|�|� µ�v8��{�v8��qn��{���{s§.v°µ�v8�|��}�£f}�}�q r~q��v��|{~§.{

N�ÆqG��{~x¥q<�|qGrsrut £|�f{~}�Ø©¸

����QÈiª�����������������Ó­v8}���{sr���q.´a�|v�rsq ¦ q.��{s�d�|{s§G���|{ ¦ qG��{~�©�|� NT = 4T

Ù��©Ü�� â[Û8å.ä¨é��]éwåQæçâ���Ü9é�� êçé�� â]è¨èuåDê�é æçåQæ�â! °éwê�â�æ"�]é ܼÝ�âWé����Ñܼè¨è�å$#%�çâX(k)

êçâ� Qâ[â�ä�ä¨â�ÝuâWéwæ.èuâ�ÝuÛçÝ�âmèßÜ�è�å#må'&Tâ(�wÜ)#må�&HÛ�åQæçâ�æ.èuâ^Ü��*� Ü+� Ý�â!,.-çâ]æ/��Ü

kF&#Ü#Ý�é�#%�çé Ü0&#Ü+�21 éwæ�ê�é3#mé�����Ü0��é åGæçâ(#måGæ4�wÜ),.-�Ü0�wâ�é5 �Ü�� åGÝuéfê�â����wÜèuÝßÜQä6� åQÝ7&#Ü�è�ÜTäuåQæçå8&Hâ�&HåQÝ�é*�!��ܼèué�éwæ9-�æ9 GâmèuèuåQÝ�â�:

×°Öaî

Page 6: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

x(nT |0 ≤ n ≤ 3) = {0, 3,−3, 7} N = 4

X(kF ) = T (0 · W 0kN + 3 · W k

N − 3 · W 2kN + 7 · W 3k

N )(WN = W4 = e−j π

2 = −j)

= T (0 + 3 · e−j kπ2 − 3 · e−jkπ + 7 · e−j 3kπ

2 )

ÕVv�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz��{s��£|r~}�vX(0) = 7T, X(F ) = (3 + j4)T = 5ej0.3πT, X(2F ) = −13T, X(3F ) = X∗(F )

q9��{��a����q.�]µd{=§�ÊfqX(0) = 7T = T

∑3n=0 x(nT )

±¨r�t v���q°v���£ £|� ¦ qG��{s�d�|�³¶½ £|{s�|�f{x(nT )

��{�r�v���§.{svz��v ¦|¦ ��q.��q.��}�v8��q5§.�axRq (F = Fc/N = Fc/4)

x(nT ) = F (X(0)W−0kN + X(F )W−k

N + X(2F )W−2kN + X(3F )W−3k

N )

= 14(7 + 10 cos (2πFnT + 0.3π) + 13 cos (2π2FnT + π)).

q9��{��a����q.�]µd{=§�Êfqx(0) = 0 = F

∑3k=0 X(kF )

±¨rutwv8��q°vz��£¿£|� ¦ q.��{s�d�|���|q.r~r�vD}���v��� ¡����x¥v8}�v�¶¼¸�

����QÈiª��������������5�x(nT ) =

��q ¦NT

[ej2πfnT w(nT )

];§.���

w(nT ) = 1(nT ) − 1(nT − NT )¸

x(nT )

NT

t

����� � � �������E!�� %'= 5�� % $�%'&)(+*-,�� ����)2 %'5�� 4@$�,)*:2��'9+*�5�4).09+=?4�;?4 .+%'5:5�4�� 2 % $>;>=?4/.0* ,3$�$�%'=��34�� *-,@2 %

NT2 ,@2��6& 9+5:;>*:(+5�47.+%'5�( %'=>*-,8.+,

Tp = PT � P = 10 � N = 23 �!©{���}�}�{sqG�|q ¦ �a��}�� θ = 2πfT

X(kF ) = TN−1∑

n=0

ej(θ− 2πN

k)n = T1 − ρN

k

1 − ρk

, ρk = ej(θ− 2πN

k)

q�²³£|{~�|�|{�¤P{s�»´�q.�|qG��v�r~q�¤X(kF ) 6= 0

¤k = 0, 1, . . . , N − 1

¤3§G�a��}����Krsq �mv�� ¦ qG}�}�v8}�{~µ�q"!�¸�Æ�f ¨v8}�}�{Pv���v�r~{sÍ.Í.v��|�|�¥{s�Á��q.��{sqz�|{P¢��a£|��{~q.�o£|�Kq.� ¦ �a�fq.�|ÍG{�v�r~qz§.�ax ¦ r~q.�����|¤ §G{3��{ ¦ �8}���qGy|y�q

×°Ö�Ö

Page 7: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

v�� ¦ qQ}�}�v���q^§�Ê|qTrutwv8��v�rs{~��{� ¡�a���|{~��§.vWµ8v�r~�a��{a}�£f}�}�{��d£frsrs{³v8�ÔqG§.§.qGÍ.{~�a�|qT�fq.r�µ8v�rs�a��q�{s� ¦ �a��{sÍG{s�a�|q§G�a����{s� ¦ �a�|�fq.��}�q5v�r~r�vD ¡��qG²³£|q.�|Í.v¥�|qGrsrut qG� ¦ �a�|q.�fÍ.{�v8rsq�¸!©qDrut qG� ¦ �a�|qG�|Í.{sv�rsq ejθn � ¦ q.��{s�d�|{s§G�¥qÔ²d£f{s�|�|{ θ = 2πf/Fc = 2πm/P

§.�a�mq

P§G� ¦ ��{~x¥{�± m < P¶Q¤|��{�}�����µ8v�§�Ê|q

X(kF ) =

{NT, k = lm0, k 6= lm

±¨Öf¸~× '�¶�����<�����s�z���

N = lP ��Q�����­�����<�����s�z���5���fª��Q«¼���.¬d�¥¬���«¼�wª��Q�¨� F ����� � NT

�5È��d���u�wª��s�B¬d�Q�ª��Q«¼���.¬d�PT¸ �Æ��§.v�����§G�a��}���v8��{s��{~r ¦ q.��{s�d�|���|{���{ ¦ qG}�{~Í.{~�a�|q NT 6= lPT

{s��}����©�|£f§.q<£|��v¦ q.��{s�d�|{s§G{~}�ØÔ§�Ê|q �Æ��v���§.�a�|�fq"!9{~r ¦ q.��{~�©�f� �ƵaqG��� !<�|q.r���q.´a��v8rsq�¸Õ��R�]}�qG�����¥��{~��£|rÑ}�v8}��Dµ8v�rsq ¦ q.�W{sr ��q.´���v�rsq<��q°v�r~q

x(nT ) = sin (2πfnT ) =ejnθ − e−jnθ

2j, θ = 2π

f

Fc

= 2πm

P,

±¨Öf¸~×�(a¶§G�ax¥q[q.��q.x ¦ rs{ѯ�§°v�}��5{s�¥¢P{s´|¸EÖ|¸ ©¸ � ²d£fq.��}�� ¦ ��� ¦ ����{~}��Ô��{�µ�q.��vDv��|§�Ê|qo{sr ¦ v���v�´a��v8 ¡�ÔÖf¸wîf¸

Y[Z]\^Z�� � ����� �le ��n � � � �­kme gik������©n� {s��}�q.��qG����v���}�q¿������qG��µ8v���q¿§�Ê|q�r�v1Ó­¢�� � {s��}�qG� ¦ ��qG}�v�y|{sr~q§.�axRq£|��v1}���v��] ¡�a��x¥v�ÍG{s�a�|q�a�]}��a´��a��v�r~q�¸ � rsrs�¥��§G� ¦ �� ¡����xR{�v�xR��{srVµaqG}�}��a��q x

§.�a�K´�rs{Nµ8v�rs�a��{V{s�Á£|� ¦ q.��{s�d�|���|qGr��q.´a��v8rsq9q9{srlµ�qG}�}��a��q

X§.�a� ´ar~{

Nµ8v�rs����{ �f{�£|� ¦ q.��{s�d�|���|qGrsr�vD}���v��] ¡�a��x¥v8}�vfº

x = [x(0), x(1), . . . , x(N − 1)]tDFT→ X = [X(0), . . . , X(N − 1)]t .

±¨Öf¸~×�ïa¶Ó­v8}�{�{���qG´a��v�r~{�±¨qG� ¦ �a�|q.�fÍ.{�v8rs{�§G�ax ¦ rsq.����{�¶

ek(n) = ej2π kN

n

n = −∞÷ +∞ k = −∞÷ +∞

±¨Öf¸8Ga¶�|{ ¦ q.��{s�d�|� N

{~�kq

n¤X� ¦ �a����{sy|{~rsq¥�|qG¯��f{s��qrsvÁy�v���q�����}���´a�a��v�r~q��|{ N

µ�qG}�}��a��{N

��|{~x¥qG�|��{~�a��v�r~{e0, e1, . . . , eN−1�|��µ�qÔ{~r µaqQ}�}�����q

ek�9��v�}�����v

ek , [ek(0), ek(1), . . . , ek(N − 1)]t .±¨Öf¸©×�¶

�^µaqG}�}��a��{��|{�y�v���qek

���©�|�f{s�� ¨v8�|��r�vz§.���|�|{sÍG{s�a�fq<�|{��a�]}��a´a����v�rs{Ñ}�Ø

etke

∗l =

N−1∑

n=0

ej 2πN

(k−l)n =

{N k = l0 k 6= l

±¨Öf¸0�¶

×°Ö �

Page 8: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

q.� Ê�v��f�|�R}�£f}�}�{�r�v�xRq.�|qG��{~xBvzr~£|�|´aÊ|qGÍ.Í.v√

etke

∗k =

√N.

±¨Öf¸�îa¶� r~rs�a��vz{sr�§.�dqGÒR§G{sq.��}�q

k�Æq.��{sxR���|q.r~r�v�Ó­¢�� ¦ £��BqG����qG��qÔ��§.��{~}�}��R§.�axRq9r�v ¦ ����{sq.ÍG{s�a�fq�|{

x��£

ek

X(k) = xte∗k =

N−1∑

n=0

x(n)e∗k(n).±¨Öf¸8Ö�¶

q ¦ ������{sv�xR� ¦ qG��}�v8�³}�����v ¦|¦ ��q.��q.��}�v8��q5r�v�Ó­¢�� �|{x§.�axRq9r�vD}���v��� ¡����x¥v�Í.{~�a�|q­r~{s�|q.v���q

X = Fx con F = [fkn] =[

e−j 2πN

kn]

=

e∗t0

e∗t1¸¸¸

e∗tN−1

±¨Ö|¸ �a¶

�|��µaqF�9£|�|v�x¥v8}���{s§Gq­��{~x¥xRqG}���{~§°vzq<�a�]}��a´a����v�rsq�±¨�|qQ}�}�vÈR���¨«Q�����5¬��PÂE���d«¼���Q«a¶

F · F∗t = F · F∗ = N · I −→ F−1 =1

N(F∗)t =

1

NF∗ ±¨Ö|¸ ��¶

Õ�t � ¦ q.��v�Í.{~�a�|q#{~�³µ�q.����v¥±¨��{~§.�a�]}���£|Í.{~�a�|q#�|{ x §.��x¥q#§G�axzy|{~��v�Í.{~�a�|qHr~{s�|q.v���qT�|q.{fµ�qG}�}��a��{ekºx =

N−1∑

k=0

ckek¶ ¦ £��Rq.����q.��qÔqG� ¦ ��q.����v¥§G�axRq

x =

N−1∑

k=0

ek

|ek|· X(k)

|ek|=

1

N

N−1∑

k=0

X(k) · ek = F−1X =1

NF∗X.

±¨Ö|¸ 'a¶½ £|{s�|�f{�{~r|µaqQ}�}�����q

x��{®}���v��� ¡�a��xBv9�|qGr®µ�qG}�}��a��q

Xv8}�}���v�µ�q.�����zrsv5x¥v8}���{s§Gq[�f{®}���v��] ¡�a�?�x¥v�Í.{~�a�|q

Fr~qD§.£f{3§.�ar~�a�|�|qD���a�|��{E§.�a�f{s£|´�v�}�{=�|q.{=µaqG}�}��a��{3�|qGrsr�vRy�v���q�§.�a�]}���£f{~}�v�§G�a�Krsq¦ ��}�qG�|Í.q��|qGrsrsqD��v��|{~§.{ N �ßq.��{~x¥q��fq.rsrut £f�|{~}�Øf¸ !dq.§.���|�|��}�v�r~q�{s��}�qG� ¦ ��qG}�v�Í.{~�a�|qzrsvB}���v8�� ¡�a���x¥v8}�v��|{=¢��a£|��{~q.�W�|�a���zv�rÑ}����R§�Êfqz£|�¿§.v�xzy|{~�¥�f{=y|v���qÔq ¦ �a{s§�Ê|Î5r�v�y�v���qÔ�Ô�a��}��a´a�a�|v�rsqq.����v¥v�r~}�q.��vz�fq.rsr~����}�q.�����¥ ¨v8}�}��a��q

N}�£f}�}�q9rsq<�f{s��}�v��|ÍGqR±¡}�qG�a��qGxBv��|{��Ev�����qGµ8v�r�¶

|X|2 = Xt ·X∗ = xtFF ∗x∗ = N · |x|2

Y[Z�\�Z¡Y �#n���`����mk �(gihoc �3b ���i`ikßb ��� cfn � ��jlk]e�`on bdc �(bdc � ���e�c����3b �(gik�oe�hocfkmn�c n ��

!©£ ¦f¦ �a�f{�v�xR��§�Ê|q5{sr ��q.´a�|v�rsq x(n)v�y|y|{sv�q.��}�q.�|��{s�a�fq5¯��f{~}�v

[n0, n0 + M − 1]q9²³£|{s�f�|{}���v��� ¡����x¥v8}�vzÍGqG}�v

X(z) =n0+M−1∑

n=n0

x(n)z−n.±¨Ö|¸ (�¶

×°Ö �

Page 9: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

!©q9�|q< ¨v�§G§.{sv�x¥��rsvz��{ ¦ qQ}�{sÍG{s�a�fq ¦ qG��{~�©�|{~§°vz§G�a� ¦ qG��{s�d�|� N ≥ M

x(n) =��q ¦

N [x(n)] N ≥ M±¡Ö|¸ �ï�¶

q9�|q9§°v8rs§.��rs{�v8x¥�Ôr�v�Ó­¢��X(k)

¤��9{sxRxRq.�|{sv8}��5µaq.��{~¯�§.v���q<}���v�xR{~}�q­r�v±¡Ö|¸~×°v�¶T§�Ê|q

X(k) = DFT [x(n)] = X(z)|z=zk, zk = ej2πkFT = ej 2π

Nk ±¨Öf¸wî0Ga¶

§G�a�F = Fc/N

¸�Æ�Kv�rÑ}���q ¦ v����arsq8¤l{Vµ8v�rs����{ X(k)

§.v�rs§G�ar�v8}�{�x¥qG�|{�v8�³}�qDrsvBÓ­¢��¹�fq.rsrsv¥��{ ¦ qG}�{~Í.{~�a�|q ¦ q ���{s�d�|{s§.vR§G�a� ¦ q.��{s�d�|� N�|qGrE��q.´a��v8rsq

x(n)v°µaq.��}�q��|£|��v�}�vR¯|�|{~}�v

M ≤ N¤l§.�a{~�|§.{~�|�a�|�§G�a�»{3µ8v�r~�a��{3�fq.rsrsv�}���v8�� ¡�a��xBv8}�v�Í.qQ}�v�§.v�x ¦ {s�a�|v8}�v��|qGrsr~qR��v��|{~§.{ N �ÆqG��{sxRq��|q.r~r�t¾£|�|{Ñ}�Ø�q²³£|{~�|�|{V§.�a{~�|§.{~�|�a�|��§G�a��rsv�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz�|{=¢®��£|��{~q.�#�|qGr=��q.´a�|v�rsq9�|{V�|£|��v8}�v�¯��|{Ñ}�v

x(n)§.v�x ¦ {s�a��v�}�vA§.�a� ¦ q.��{s�d�|� F = Fc/N¸ �E�����|qG��q.xR�U��£|rsrutwv���´a�axRq.��}��1�|qGr ¦ v���v�´a��v8 ¡�Ö|¸ ©¸ ©¸

x x

x(n)|X(ejθ)|

x(n)

0 N2N

� Ü �x(n)

x x

x(n)|X(ejθ)|

x(n)

0 2π

4πX(ejθ)

θx(n)

�-� �|X(ejθ)|

x x

x(n)|X(ejθ)|

x(n)

0 N2N

� # �x(n)

x x

x(n)|X(ejθ)|

x(n)

0 N2N

� ê �|DFT{x(n)}|

����� � � ��������!�� %'5�4�� *-,@2+*EA =?4<$�%'132"4�5:*�%6;>=?4@$BAC,@=>&/4�;�%

×°Ö '

Page 10: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

Y[Z�\�Z�� �Ác|e��icfk]n b�� gon � � �����× � �� ����� � ���

� � � � ��� �������� ± ¦ q.��{~�©�f{s§°v�{s�¿²d£|v���}���{E��q.´���v�rs{=§.��{s��µa�arÑ}�{V�����|� ¦ qG��{~�©�|{~§.{����8}�}�qG�³£f}�{}���v8x¥{Ñ}�q­��{ ¦ qG}�{~Í.{~�a�|q ¦ q.��{s�d�|{s§.vz�|{�£|� ��qG´a��v�r~q5v��f£|��v8}�vz¯��|{~}�v�¶y(n) , x(n + m)

Y (k) = ej 2πN

mkX(k)

±¨Ö|¸ îf×ç¶î ���� � � ���� � ���

x(n)��q°v�r~q�º { �[q

[X(k)] ¦ v���{�Æx[X(k)]

�|{s� ¦ v���{ ±¨Ö|¸ î+a¶ÕVv ¦ q.��{s�d�|{s§G{~}�Ø5�|q.r���q.´a�|v�rsq ¦ q.��xRqG}�}�q<{~�|�ar~}���q­�f{���§.��{~µ�q.��qÊfq.��xR{~}�{�v��f{~}�Ø©º

X(k) = X∗(−k)¦ q.��{s�d�|{s§G{~}�Øfº X(−k) = X(N − k)⇒ X(k) = X∗(N − k)

±¡Ö|¸wî�î�¶

Ö ��������� ������� ������ ��� ��� ��� � ���!©{�v8�|�

x(n)q

h(n)�f{ ¦ q.��{s�d�|� N

q��{�v8�|�X(k)

qH(k)

r~qDÓ­¢��¹§.�a����{s� ¦ ���|�|q.��}�{�¸� r~rs�a��v

Y (k) , H(k)X(k) =N−1∑

m=0

N−1∑

r=0

x(m)h(r)Wk(r+m)N

y(n) = 1N

N−1∑

k,m,r=0

x(m)h(r)Wk(r+m−n)N =

= 1N

N−1∑

m=0

x(m)N−1∑

r=0

h(r)N−1∑

k=0

Wk(r+m−n)N

±¨Ö|¸ î�Ö³¶

N−1∑

k=0

Wk(r+m−n)N =

{N r + m − n = lN0 l + m − n 6= lN

±¨Ö|¸ î �a¶

y(n) =

N−1∑

m=0

x(m)h(n − m + lN) =

=N−1∑

m=0

x(m)h(n − m) = x ~ h(n) = h ~ x(n)

±¨Ö|¸ î ��¶

�|��µaq~{~�|�|{s§.vzr�vz§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q ¦ qG��{~�©�|{~§°vzq<²³£|{~�|�|{�¤|v���qG��qGx ¦ {~�|¤|§G�a� N = 3

��{�Ê�vy(0) = x(0)h(0) + x(1)h(−1) + x(2)h(−2) = x(0)h(0) + x(1)h(2) + x(2)h(1)

y(1) = . . .

×°Ö (

Page 11: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

ÕVv5§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q ¦ qG��{s�d�|{~§°v­��{ ¦ £ �D��v ¦|¦ ��qG��qG�³}�v���qo§.�axRqW£|� ¦ ���d�|��}�}��Ôx¥v8}���{s§Gq ¦ qG�µ�qG}�}��a��q8¸ � � q.��q.x ¦ {s�f¤ ¦ qG� N = 3

y = A · x =

h(0) h(2) h(1)h(1) h(0) h(2)h(2) h(1) h(0)

x(0)x(1)x(2)

±¨Öf¸wî '�¶

!©{#������qG��µd{W§�Ê|qr�vÁx¥v8}���{s§GqA�£|�|vAx¥v8}���{s§GqÏ�Q��«������Ñ�����m�QºB��{ ¦ £��1��}�}�q.�fq.��q§G�a�)£|��v����}�v�ÍG{s�a�fq¥§G{s§.r~{s§.vf¤=v��Uq.��q.x ¦ {s�f¤P�|qG´ars{�q.r~q.xRq.��}�{��|qGrsrsv ¦ ��{sx¥v ��{s´�v©¸ ½ £f{s�|�|{�rsv�xR�ar~}�{��¦ r~{s§.v�Í.{~�a�|q �|{i£|�|vUxBv8}���{~§.q¿§G{s��§.�arsv���}�q ¦ q.�B£|� µaqQ}�}�����q ¦ £��»q.����q.��q1§.v�rs§G�ar�v�}�vϧG�axRq§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q ¦ qG��{~�©�|{~§°vf¸��X�|£|q ¦ ���ay|rsqGx¥{ ��{s��£|r~}�v��|� ¦ q.�]}�v���}��Rq.²³£|{ѵ8v�rsqG�³}�{�q.�¿v�rs´��a��{Ñ} �xR{lqQÒR§.{sqG��}�{ ¦ q.�Xr�vD��{s����rs£|ÍG{s�a�|qW�|{l£|�|� ¦ �a�����a�|��qG����qG��q9v ¦f¦ rs{~§°v8}�{ ¦ q.�T��{s���ar~µ�q.��qir�t v�rÑ}����±¡��{�µaqG��v¥{~r ¦ v���v�´a��v8 ¡��Ö|¸��a¶Q¸

!©{f�T�a����q.��µ8v8}��9§�Ê|q#r�vo}���v��] ¡�a��x¥v8}�vi�|{|¢��a£f��{sqG�P�|qGr©µ�qG}�}��a��qx ¦ £ �<q.����q.��qWµd{~��}�v­§G�axRq{~r�§°v�xDy|{s���|{�y|v���q8º

X = F · x §.��� FF∗ = N · I ±¡Ö|¸wî (�¶� r~rs�a��vD��v�r~r�v

y = A · x ±¡Ö|¸wî�ï�¶��{���}�}�{sq.�fq

Fy = F ·Ax

(

Y = Fyqx =

1

NF∗X

)

Y =1

N(FAF∗)X

�E�a{~§�Ê|Î�v�r~r�vX§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q ¦ q.��{s�d�|{s§.vT�|q.r8}�q.x ¦ �#§.�a����{s� ¦ ���|�|q�{s�­ ¡��q.²³£|qG�|Í°vW{sr ¦ ���d�|��}?�}��¥�|qGrsr~qi}���v��� ¡�a��xBv�}�q�¤fr�vzx¥v8}���{s§.qFAF∗ ��{s��£|r~}�vz�|{�v8´a�a��v�r~q�º

FAF∗ = N · �|{�v8´ [H(0), H(1), . . . , H(N − 1)]±¨Öf¸ Ö+Ga¶

§G�a�H(k) = DFT [h(n)]

¸�E�a����{sv�x¥� ¦ qG��}�v8�³}��<§.�a�f§.rs£f�|q.��q#§�Ê|q#r�v­x¥v8}���{s§GqX�|{|¢®��£|��{~q.�P�Tr�vix¥v8}���{s§GqT§�Ê|q#�|{sv�´a� ���v8rs{sÍGÍ°vD��´a�|{�xBv8}���{~§.qi§G{s��§.�arsv���}�q[q<{�µ8v�r~�a��{

H(k)¤k = 0, 1, . . . , N − 1

§.������{~� ¦ �a�|�|���|�v�´�rs{�v�£©}���µ8v�rs�a��{ �|{A¸

� � ����� � �"� � � ��� � � �����ÕVv���axRxBv��|qG{�²³£�v��|��v8}�{��|qG{3µ8v�rs�a��{3v������ar~£f}�{��fq.r���qG´a��v�r~q�{s�A£|� ¦ qG��{~�©�|�1±¡§.{~�©��rsv��£�v �Q� �Q«����¨��¶9��£|´a£|v�rsqBv1/N

µa�arÑ}�qBrsv¿����x¥x¥v¿�|qG{TxR�©�|£frs{Xv�rX²³£�v8�|��v8}��K�|q.{Xµ�v8rs�a��{�|qGrsrsvD}���v8�� ¡�a��xBv8}�vfºN−1∑

n=0

|x(n)|2 =1

N

N−1∑

k=0

|X(k)|2 ±¨Öf¸ Ö|×�¶�Ær|}�q.��xR{s�fq

1/N�W�|��µd£f}��Ô£|�f{s§°v8x¥qG�³}�qWv�rf ¨v8}�}��9§�Ê|q[r�v­y�v8��qW�|q.r~rs�<� ¦ v�Í.{~�9�|q.r~r�vi}���v��� ¡���?�x¥v8}�v��|��� �9�a�]}��a�f�a��x¥v�rsqoxBv��a�]}��a´��a��v�r~q�¸

×°Öaï

Page 12: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

+�,�� � F#OG2��H?G7ÔN�F ;�0P2 � @ / F ;�0P254V6�7903: 2<;=2 �HFH;=2Y[Z �HZ]\ _a`Xbdc|e#gohijlk]e�`onpoqG{ ¦ v8��v�´a��v8¯ ¦ ��q.§Gq.�|qG��}�{���{E�Ôµd{s�]}���§�Êfq�¤�q.�]}�qG�|�|q.�f�|� ¦ qG� ¦ q.��{~�©�f{s§.{Ñ}�Ø�£|��vB��q.²³£|qG�|Í°v�|{��|£f��v8}�v¯��f{~}�v�qRv ¦|¦ rs{s§.v��|�|��rsvÓ­¢��<¤V��{���}�}�{~q.�|q�r�vB}���v��] ¡�a��x¥v8}�v�Í.qG}�v��|qGr���qG´a��v�r~q§°v8rs§.��r�v8}�vT��£|r�§.q.��§�Ê|{s�W�|{���v�´a´a{~�H£|�|{Ñ}�v���{s�X�|q.{ ¦ £f�³}�{ zk = ej 2π

Nk ¤ç§G�a� k = 0, 1, . . . , N−1

¤q�²³£|{s�|�f{�r�vB}���v��� ¡����x¥v8}�v��|{�¢��a£f��{sqG�iµ8v�rs£©}�v8}�v�v�rsr~qN ¡��qG²d£fq.�|ÍGq

kF = kFc/N¤k =

0, 1, . . . , N −1¸ !©£ ¦|¦ ���|{�v�xR�9§�Ê|q[{sr���qG´a��v�r~qiv8y|y|{�v<qG��}�qG�|��{~�a�|q[¯��|{~}�v [0, M −1]

q[§�Ê|qr�v ¦ q.��{s�d�|{s§G{sÍGÍ°v�ÍG{s�a�|qo��{sv�q�� qQ}�}�£�v8}�v�§.��� ¦ q.��{s�d�|� N ≥ M¸

N N+1 N+M−10 1 M−1n

−N+1−N −N+M−1

����� � � � �����!�� %'=>*-,8.0*��'* � � 4�� *-,@2 % � ,@2 (�%'=>*-,8.+,N

.0*�9+2 $?%'132"4�5-% .0*�5:9+2+1� % � � 4M

�ÆrP��q.´a��v8rsqx(n)

µd{sqG�|qz²³£|{~�|�|{ ¦ q.��{s�d�|{s§G{sÍGÍ°v8}��B{s��}����d�|£|§.qG�|�|���|qGr ¦ q.��{s�d�|� N − M§°v8x ¦ {~�a�|{��³£|r~rs{�¸Hpoq.r=§°v8��� N = M{~rV�d£fx¥qG���B�f{E§.v�x ¦ {s�a�|{��fq.rsrsv�}���v��] ¡�a��x¥v8}�v�� ¦ v���{v�r~r�v¥�f{sxRq.�|��{s�a�|qÔ�|q.rP��q.´���v�rsqDq�¤�²³£�v�r~�a��v

N��{�v ¦ {s§.§G�ars�f¤ { ¦ �d§�Ê|{Pµ8v�rs����{=§.�a��T��}�}�q.�³£f}�{¦ �a�����a�|��q.����qG��q<{s�f��£fÒR§.{~q.��}�{ ¦ qG�H�|{~��q.´���v���qo§.�a����£fÒR§.{~q.��}�q9v�§G§.£|��v8}�qGÍ.Í.vzr�t v��|��v�xRq.��}���|qGrsr�v�}���v��] ¡�a��x¥v8}�v��|{�¢��a£f��{sqG�.¸¥Õ�t {~�³}����d�|£|ÍG{s�a�|q��fq.´ar~{�Í.q.��{�§.�a�|��q.��}�q¥�|{^v�£|xRq.��}�v8��qRv¦ {sv�§.qG��q�r�v���{s���ars£|ÍG{s�a�fq�± ¦ q.�9qG��q.x ¦ {~�|¤�§.��� M = 32

qN = 1024

��{3��}�}�q.�f´a�a�|�A×3G+�Ö§°v8x ¦ {~�a�|{©�|q.r~r�v­}���v��� ¡�a��xBv�}�v­�|{�¢��a£f��{sqG��v��|ÍG{s§�Ê|� 32¶Q¤�§.��x¥qWq.��q.x ¦ rs{ѯ�§°v�}��<{s�R¢P{~´|¸=Ö|¸��d¸

f

� Ü �N = M = 6

f

��� �N = 64

��� ������� ��� �E!�#�$?%'&)(+*-,/.0*������ .+%'5�$�%'132"4�5-% � ,@2M = 6

% .N

.0*�� %'=�%'2 ;>*

�Pv8rsq�}�q.§G�|{s§.v[µd{sqG�|qXv��|§�Ê|qX�|qG}�}�v�� F �Q«�� Dsªf��¬�¬����d���|qG�DÊ�v[r�t¾£|�|{s§G�o��§.� ¦ �i�f{©v8£|x¥qG��}�v���qr�v1��{~���ar~£|Í.{~�a�|q §.�a� rsvϲ³£�v�r~q¿��{ ¦ £��Uµd{s��£�v�r~{sÍ.Í.v���q r�vA}���v��� ¡�a��xBv�}�vÏ�f{­¢��a£|��{sq.�R�|{o£|���qG´a��v�r~q<�|{��|£|��v8}�v�¯��|{Ñ}�vf¸× � G

Page 13: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

Y[Z �#Z � � � � �­kme�`�� ��n�`Xb©e�gin � � �%bdc �����e�c ���3b � jln b �Ó­v�}�{�{sr ��q.´���v�rsq

x(n)q9r�v���£�vz}���v8�� ¡�a��xBv8}�vzÍ.qQ}�v

X(z) =

+∞∑

n=−∞

x(n) · z−n §G�a� |z| = 1 ∈ DX ,±¨Öf¸ Ö �¶

§.v�x ¦ {s�a�|{sv�xR�Dr�vz}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz�fq.rsr~q N��v8�|{s§G{��|q.r~r�t¾£|�|{Ñ}�Ø

zk = ej 2πN

kn ��}�}�qG�|q.�|�f�

Y (k) , X(zk) =+∞∑

n=−∞

x(n) · e−j 2πN

kn k = 0, 1, . . . , N − 1.±¨Ö|¸¾Ö�î�¶

� ��}�{Ñ}���v��� ¡�a��xBv8�|�|�Y (k)

¤k = 0, 1, . . . , N − 1

¤l�8}�}�qG�|{�v8x¥�¥£|�Á��qG´a��v�r~q ¦ q.��{s�d�|{s§G�y(n) = y(n + N)

q5§G{�§�Ê|{sqG�|{�v8x¥��{~� ²³£�v8rsq<��qGr�v�ÍG{s�a�fq­q.�����B��{�v�§.���x(n)

¸

N=8

zk = ej π4k

x(n)⇓ }���v��] ¡�a��x¥v8}�vzÍGqG}�vY (k) = X(zk)⇓ Ó­¢�� −1

y(n)

�Ær���qG´a��v�r~q9��}�}�q.�³£f}��¥v���}�{Ñ}���v��� ¡�a��xBv8�|�|�zrsvX(z)

§.v�x ¦ {s�a��v�}�vD�

y(n) =Ó­¢�� −1

[

Y (k)]

=1

N

N−1∑

k=0

X(zk) · ej 2πN

kn

=1

N

+∞∑

m=−∞

x(m)

[N−1∑

k=0

ej 2πN

(n−m)k

]±¨Öf¸ ÖaÖ�¶

!fv ¦ q.�|�f�R§�ÊfqN−1∑

k=0

ej 2πN

(n−m)k =

{N n − m = lN → m = n − lN0 n − m 6= lN

±¨Öf¸ Ö���¶{~r���qG´a��v�r~q

y(n)��{s��£|r~}�vzq.����q.��q

y(n) =+∞∑

l=−∞

x(n − lN) =��q ¦

N [x(n)]±¡Ö|¸ Ö ��¶

q9²³£|{s�f�|{�v�r�§.v�x ¦ {s�a�|v�x¥qG��}��z�|{ X(z)�fq.rsr~q<��v��f{s§.{

N�ßq.��{sxRq<�|q.r~r�t¾£|�|{~}�Ø�±¨�Rv�r §°v�x ¦ {s� ���v8x¥qG�³}��A£|�|{~ ¡����xRqB§.��� ¦ q.��{s�d�|� Fc/N

�|qGrsr�v }���v8�� ¡�a��xBv8}�v¿�|{#¢��a£f��{sqG��¶Ô§G�a����{s� ¦ �a�f�|q�|qGr�}�qGx ¦ ��r�v���{ ¦ qQ}�{sÍG{s�a�fq ¦ q.��{~�©�f{s§°vz§G�a� ¦ qG��{~�©�|� N�|qGr���qG´a��v�r~q�¸

× �d×

Page 14: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

!©q�{~r^��q.´a�|v�rsqx(n)

Ê�vÁ�|£|��v8}�v�{s�f¯��f{~}�v�Á�|£f��v8}�v�¯��|{Ñ}�vM ≥ N

¤���{TÊ�vÁv8rs{�v8��{s�f´�Æ}�q.x ¦ ����v�r~q"!�¤d§�Ê|q5§.�ax ¦ �a��}�v

y(n) =��q ¦

N [x(n)] 6= x(n)±¡Ö|¸ Ö 'a¶

!©q�¤�{~��µaq.§Gq�¤V{srE��qG´a��v�r~qx(n)

Ê�v��|£|��v8}�vB¯|�|{~}�vMq

N ≥ M¤�q.����� ��q.��v8}�}�v�x¥qG��}�q��v ¦|¦ ��qG��qG�³}�v8}��[��v�{8µ�v8rs�a��{�v�����£|��}�{���v�rsrsvT��£|v#}���v��] ¡�a��x¥v8}�vHÍ.qG}�v#�|q.r~rsq N ��v��|{~§.{��fq.rsrut £f�|{~}�ر¨�f£�v�rsq<�fq.r�}�qG�a��qGxBv��|qGr�§°v�x ¦ {~�a��v�xRq.��}����fq.r�}�qGx ¦ �³¶¼¸½ £|q.�]}�v ¦ ��� ¦ ��{~qG}�Øz�<§G�a�|��q.´a£|qG�|Í°v �mqGrsqGx¥qG�³}�v���q !o�|q.r  ¨v�}�}���§�Êfq5£f����q.´���v�rsq x(n)

�f{�|£|��v8}�vz¯��f{~}�vMÊ�v�}���v8�� ¡�a��xBv8}�v

X(z) =

n0+M−1∑

n=n0

x(n)z−n = z−n0

M−1∑

l=0

x(n + l)z−l = z−n0P (z)±¨Öf¸ Ö (a¶

�|��µaqP (z)

��£|� ¦ �ars{~�|�axR{s�^{s� z−1 �|{a´a��v��|� M−1§�Ê|q���£|�|{~µ��©§.v�xRq.��}�q�{~�|�|{~µd{~�|£�v8}����v�{�µ8v�r~�a��{ v�����£|��}�{V{s�

M ¦ £|��}�{��f{s��}�{s��}�{u¸ �Æ�f ¨v8}�}�{��|v8}���{sr ¦ �ar~{s�|��x¥{~�|º

P (s) =M−1∑

i=0

aisi ±¨Ö|¸¾Ö�ï�¶

�|qGr�²d£|v�rsq<��{�v��|���|�8}�{�{ µ8v�r~�a��{�v8����£f�³}�{�{s�M ¦ £|��}�{V�|{~��}�{~��}�{ sk

¤

P (sk) =

M−1∑

i=0

aisik

±¨Ö|¸��8G�¶

N=8

s0

s1s2

s3

s4

s5

s6

s7

����������� �����E!�� %'= 5�� *:2 ;�%'=>( ,@5�4�� *-,@2 %

� ¦ �a����{sy|{~rsq^�|qG}�q.��x¥{~��v���qX{f§G�©qQÒ¥§G{sqG�³}�{ ai

��{s����r~µaqG�|�|�­{~r©��{s�]}�q.x¥vi�|{Mq.²³£�v�ÍG{s�a�f{frs{~�|q°v8��{

P (sk) =

M−1∑

i=0

aisik k = 0, 1, . . . , M − 1

±¡Ö|¸��©×ç¶

× �8

Page 15: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

�Æ��}�v�r~qo��{s�]}�q.x¥vf¤©r�vÔx¥v8}���{s§Gqo�fq.{ §G�©qQÒR§.{sqG��}�{V = [si

k]��{s��£fr~}�v5q.����q.��q9r�vÔx¥v8}���{s§Gqo�f{

�^v��f�|q.��x¥�a�f�|q9§�Ê|qÔ�f{~µaqG��}�v�r�v�xBv�}���{~§.q­�f{V¢®��£|��{~q.�#²³£�v�r~�a��vz{ ¦ £f�³}�{ sk

��{�v��f�Rr~q<��v��f{s§.{M

�ßq.��{sxRq5�fq.rsrut £f�|{~}�Øf¸3ÕVv����ar~£|Í.{~�a�|q<�|qGr ¦ ����y|rsqGxBvz�9§.��� 3��v8}�v���vV · a = b ⇒ a = V−1b =

±¨��qV = F

¶=

1

NF∗ · b ±¨Öf¸��0�¶

ÕVvB��§Gq.r~}�v��|q.{ ¦ £|��}�{ sk

q.²³£|{s� ¦ v�ÍG{�v8}�{P��£A�|{E£|�A§.qG��§�Ê|{~���z²³£|{s�|�f{ ¦ v��]}�{~§.�arsv���xRq.��}�q�Ƨ.�axR�©�|v ! ¦ q.�#��{s§.v�µ8v���q<{�§.�dqGÒR§.{~q.��}�{��fq.r ¦ �ars{~�|�axR{s�zv ¦ v8��}�{~��q<��v8{ µ8v�rs�a��{ P (sk)¸

�[{~§.�a���|{�v8x¥��§�Ê|qB{sr ¦ ��rs{s�f�ax¥{~� P (s) ¦ £��ÁqG����qG��q���{s§.����}���£|{~}��¿v ¦ v��]}�{s��q¥�|v�{^µ8v�r~�a��{v�����£|��}�{l�|qG{ ¦ £|��}�{ sk¤d��qG�|Í°v5��{s���ar~µ�q.��qo{~r|��{~��}�qGxBv¥±¨Öf¸��0�¶Q¸ � rsr~�5��§.� ¦ �D��{ ¦ £��5£f}�{~rs{sÍGÍ°v���q�¤v�� q.��q.x ¦ {s�f¤|r�vD ¡�a��xz£|rsvz�|{�{s��}�qG� ¦ �ar�v8Í.{s���|qi�|{VÕVv�´���v��|´�q<��q.§G�a�|�|�Rr�v�²³£�v�r~q

P (s) =

M−1∑

k=0

P (sk)Ik(s)±¡Ö|¸��8î�¶

§G�a��´�rs{Ik(s)

¦ �ar~{s�|�axR{®�|{�´a��v��|� M − 1�|v8}�{��|v�rsrsv

Ik(s) =

M−1∏

i=0,i6=k

(s − si)

M−1∏

i=0,i6=k

(sk − si)

±¨Öf¸��8Ö�¶

§�Ê|q5´a�d�|�a�|���|qGrsrsv� ¦ ��� ¦ ��{~qG}�Øz{s��}�qG� ¦ �ar�v8}���{~§.q"!Ik(s) =

{1 s = sk

0 s = si 6= sk.

±¨Öf¸�� ��¶ ����QÈiª����������5�����

!©{fÊ|v<v­�|{s� ¦ �a��{sÍG{s�a�|qX£|����qG´a��v�r~qH�|{|�f£|��v8}�vi¯��|{Ñ}�v M ' 105 §°v8x ¦ {~�a�|{u¤�v���qG��qGx ¦ {~�§G{s��§.v2�P�|{d��qG´a��v�r~qX§.v�x ¦ {s�a�|v8}��[v Fc = 44.1

%��oÍ­±¨²³£�v�r~{~}�Ø Ó<¶¼¤8qX��{³µd£|�arsq^§°v8rs§.��r�v����|qrsvo}���v��� ¡�a��xBv�}�vo�f{f¢��a£|��{sqG�P��£N = 210 ¦ £|��}�{fq.²³£|{s� ¦ v�ÍG{�v8}�{�¤�²³£|{~�|�|{ X(f)

¤f = kFc/N

¸� r~rs�z��§.� ¦ �¥��{ ¦ £��R£f}�{~rs{~Í.Í°v8��qirsv��|qG¯��f{sÍ.{~�a�|q

X

(kFc

N

)

=

M−1∑

n=0

x(n)e−j 2πN

kn

§G£|{9��{sx¥v��|qAv8�����d§.{sv8}�v)£|��v̧.�ax ¦ r~q.����{~}�Ø)�f{ N · M� ¦ qG��v�ÍG{s�a�f{�±¨���ax¥xRq�¤ ¦ ���d�|��}�}�{�¤v�§G§.qG����{Ev�{��|v8}�{�¶Q¸

� ¦ {���§.�a��µaqG�|{sqG��}�q�¤�{s� v�rÑ}�qG����v8}�{~µ8vf¤d§.�a�]}���£|{s��q5{~r���qG´a��v�r~qy(n) =

��q ¦N [x(n)]qR§°v�r~§.�arsv����fq�r�vÓ­¢���§G�a�»£f�»v�r~´a�a��{~}�xR�Bµ�q.rs�d§.qR�|{�§.v�rs§G�ars�ϱ¡µ�q.�|{ ¦ v8�.¸BÖf¸ Ö³¶­�|{�§G�ax �¦ r~q.����{~}�Ø N · log2 N � N · M ¸

× �8î

Page 16: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

����QÈiª����������5���5�oÓiv8}���{sr ��q.´���v�rsqx(n) = an · 1(n)

§.��� |a| < 1±¡Ö|¸�� ��¶

r�vz��£�v�}���v8�� ¡�a��xBv8}�vzÍ.qQ}�v��X(z) =

1

1 − az−1|z| > |a| ±¡Ö|¸�� 'a¶

v�x ¦ {s�a�|v��|�|� X(z)�|q.{ ¦ £f�³}�{ zk = ej 2π

Nk ¤³�|�a�R��}�}�q.�|{sv�x¥�<rsv9Ó­¢�� �f{

x(n)y�q.�|��²³£|q.r~r�vD�fq.rsrsvÔ��£�v���{ ¦ qG}�{sÍG{s�a�|q ¦ q.��{~�©�f{s§°v©¤dx¥vf¤©��§.qG´ars{~q.�|�f� N

� ¦|¦ �a�]}�£|��v8x¥qG�³}�q­´a��v��|�|q8¤� ¦ ������{~y|{sr~q­��qG�|�|qG��q ¦ {s§G§.�ar~��r�t¾q.�����a��q<�f{�v�rs{sv���{~�|´|¸�Æ�f ¨v8}�}�{

Y (k) , X(

ej 2πN

k)

→ Ói¢�� −1 → y(n) =��q ¦

N [x(n)]±¨Öf¸�� (a¶

�|��µaq5{sr ��q.´���v�rsqy(n)

��{s��£fr~}�v

y(n) =+∞∑

l=−∞

x(n + lN) =+∞∑

l=−∞

an+lN1(n + lN)

=

∞∑

l=0

an+lN 0 ≤ n ≤ N − 1

±¨Ö|¸���ï�¶

!©{�Ê�v�²³£|{s�|�f{ ¦ qG� N´a��v��f�|q

y(n) =an

1 − aN' an = x(n) 0 ≤ n ≤ N − 1

±¨Ö|¸ �0G�¶Õ�t qG��������q9��qGr�v8}�{~µa����{s��£|r~}�v

|e| =

∣∣∣∣

x(n) − y(n)

x(n)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

aN

1 − aN

∣∣∣∣

±¨Ö|¸ �f×ç¶q ¦ qG� |a| = 0.9

��{=Ê|v|e| ≤ 1% → N > ln 10−2/ ln |a| ' 46

± ' 5§G�a��}�v���}�{��|{�}�q.x ¦ ��¶

0 N

l = 0l = 1 l = −1

2N−N−2N����� � � ��������! � %'= 5�� % $?%'&)(+*-, ���� �����=>*:( %';>* � *-,@2 % ( %'=>*-, .0*�� 4

× ��Ö

Page 17: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

����Q«��Q� F ���������5�����)�W{ ¦ qG}�q.��q<r�t v���v�r~{s��{l�|q.r~r�t¾q.��q.x ¦ {s�zÖf¸©¸ ©¤ ¦ q.�WrsvD}���v8�� ¡�a��xBv8}�vX(z) =

1

(1 − p1z−1) (1 − p∗1z−1)

|z| > |p1|§G�a�p1 = rejθ0

¤r < 1

¸�

Y[Z �#Z�� � k � e���bdc|hijlkme^`on¹gikX(z)

� ����c©b©kÆc|n¹g���k ��� � �ikme^`okX(zk)

�a�f��{s�fq.��{sv�xR�¥�a��vB{sr ¦ ���ay|r~q.x¥vR�|{=��{~§.�a�]}���£|{s��qÔrsv X(z)�|q.r~r�t¾{ ¦ ��}�qG��{V§�Ê|qz��{�v��|�¥���d�|�|{-��] ¨v8}�}�qHrsqH§G�a�|�|{~Í.{~�a�|{d�|q.rd}�q.����q.x¥vi�|qGr �m§.v�x ¦ {s�a�|v�x¥qG��}��[{s�D ¡��q.²³£|q.�fÍ°v !�º x(n)

�|{©�|£|��v�}�v¯��f{~}�vÁqG�ËqG��}�q.�|��{s�a�|q[n0, n0 + M − 1]

q�|���Ì����q.�]}���{Ñ}�}�{~µa� ¦ �a����q n0 = 0±¡{s�*§.v����§G�a��}���v8��{s�f¤|y�v��]}�v���{~ ¡qG��{~��qir~q<§.�a�f��{s�fq.��v8Í.{s���|{���qG´a£|qG�³}�{Pv8r���qG´a��v�r~q

y(n) = x(n + n0)¶Q¸

�E�a�]}��zk = ej2πk/M ¤ ¦ �a����{�v�xR����{~§.�a�]}���£|{s��q X(z)

}���v�xR{~}�qirut qG²d£|v�Í.{~�a�|q

X(z) =

M−1∑

n=0

x(n)z−n (x(n) =�mÓi¢��

[X(zk)])

=

M−1∑

n=0

[

1

M

M−1∑

k=0

X(zk)znk

]

z−n

=1

M

M−1∑

k=0

X(zk)M−1∑

n=0

(zkz

−1)n

=1

M

M−1∑

k=0

X(zk)1 − z−M

1 − zkz−1

=1 − z−M

M

M−1∑

k=0

X(zk)

1 − zkz−1

±¨Öf¸��+�¶

§�Ê|q��v ¦|¦ ��q.��qG��}�vK{sr ¦ ��rs{s�f�ax¥{~� X(z)§.�axRqB£|�|v¿ ¡£|�|Í.{~�a�|q���v�Í.{~�a��v�r~qB{X§.£|{ ¦ �ar~{X���a�|�§.v��|§.qGrsrsv8}�{��|vRv8r~}���qG}�}�v���}�{ Í.q.��{�¸

!©{#�a����q.�]µ8v»§�Ê|q�¤T��qX(z)

��v ¦|¦ ��q.��qG��}�v»rsvK m¸¾��¸ }°¸Ë�|{W£|�˯�rÑ}����Ï¢�� �5¤�rsv˱¡Ö|¸ �+a¶z�|q��£|´a´aqG��{s��§.qÁ£f��vU��q.v�rs{~Í.Í°v8Í.{s���|q��{s§G�a����{~µ8vϧG�a��}�{~}�£|{~}�vÏ��v�r~r�vA§°v���§°v8}�vU�|q.rW¯�rÑ}���� �m§.��xzy !(1 − z−M)/M

§G�ar ¦ v���v�rsr~q.rs�Ô�|{ M �a��§G{srsrsv8}�����{�§.�a� m¸ � ¸¾}.¸X(zk)/(1 − zkz

−1)¸

� r~r�vÏ��q.rsv�Í.{~�a�|q*±¡Ö|¸ �+a¶¥��{ ¦ �8}�qGµ8v*v�����{ѵ�v8��q¿�f{s��qQ}�}�v�x¥qG��}�q¿}���v�xR{~}�q¿r�v1 ¡�a��xz£fr�vÏ�f{{~�³}�q.� ¦ �arsv�Í.{~�a�|q­�f{VÕ=v8´a��v��f´aq9v ¦|¦ r~{s§.v8}�vzv8{ ¦ £|��}�{ zk = ej2πk/M ¤ k = 0, 1, . . . , M − 1¤

X(z) =M−1∑

k=0

X(zk) · Ik(z)±¡Ö|¸���î�¶

�|��µ�qÔ{~r ¦ ��rs{s�f�ax¥{~� �Æ{s��}�qG� ¦ �ar�v�}��a��q"! Ik(z)´a�d�|q<�|qGrsrsv ¦ ��� ¦ ��{sqQ}�Ø

Ik(z) =

{1 z = zk

0 z = zl 6= zk(z−1

k = z∗k)±¨Öf¸���Ö�¶

× � �

Page 18: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

q9��{s��£|r~}�vIk(z) = I0

(z−1

k z) ±¨Ö|¸ � �a¶

§.���I0(z) =

1

M

1 − z−M

1 − z−1

±¨Ö|¸ � ��¶ ����QÈiª����������5����[��q

X(z0) = 1 X(zk) = 0 ¦ q.� k 6= 0v�r~rs�a��vX(z) =

1

M

1 − z−M

1 − z−1

±¨Ö|¸ � 'a¶§�Ê|qÔv���}�{Ñ}���v8�� ¡�a��xBv8}�vD�|{ѵaq.��}�v

x(n) =

1

M

M−1∑

k=0

X(zk)ej 2π

Mkn =

1

Mn = 0, 1, . . . , M − 1

0v�r~}�����µaq

.

±¨Ö|¸ � (�¶

����Q«��Q� F ��� �����5���5�4�W{s§G�a��}���£|{~��q X(z)��v

X(

ej 2πN

k) ¤

k = 0, 1, . . . , N − 1¤l�fq.rsrut { ¦ �8}�q.��{

N > M§.�a�

M�|£|��v8}�v��|{

x(n)¸

����Q«��Q� F ���9�����5���� �W{s§.����}���£|{s��q X(z)��v

X (zk)§.�a�

zk = ej( 2πN

k+θ) ¤ k = 0, 1, . . . , N −1¤ ¦ qG� N = M

q ¦ v��]}�{~§.�arsv���{~Í.Í°v8��qi{~r���{~��£|rÑ}�v8}�� ¦ q.� θ = π/N¸

����Q«��Q� F ���������5�����)�W{s§G�a��}���£|{~��q X(z)��v

X(zk)§.�a�

zk = r · ej( 2πN

k) q N = M¸

�Æ��y�v���q<v�r~r�vR±¨Ö|¸ �aî�¶¼¤©�|v8}�{�{ �Ƨ°v�x ¦ {~�a�|{ !Tq.²³£|{~� ¦ v8Í.{�v�}�{ X(ejθk)¤d§.�a�

θk = 2πk/M =2πkF/Fc

�|��µaqF = Fc/M

¤ ¦ �a����{�v�xR����{~��v�r~{s��qiv�rsrsvÔ}���v��� ¡����x¥v8}�vz�|{V¢��a£f��{sqG�X(ejθ) =

M−1∑

n=0

x(n)e−jnθ

¤θ = 2πfT

¤f}���v�xR{~}�qir�vz ¡�a��xz£|rsvD�|{�{s��}�q.� ¦ �arsv�Í.{~�a�|q�º

X(ejθ) =M−1∑

k=0

X(ejθk) · Ik(ejθ)

±¨Ö|¸ �aï�¶��{~x¥{~rsqDv�rsrsvB ¡�a��xz£fr�vB�|{���{s§G�a��}���£|ÍG{s�a�|q��|{�£f�Ï��q.´a��v8rsq

x(t)}�q.x ¦ �§.���³}�{s�³£|��v ¦ v���}�{s��q��v�{���£|�a{�§.v�x ¦ {s�a�|{ x(nT )

±¡��qG��{sq<§.v����f{s��v�r~q�¶¼¸ !©{�Ê�v�{s�© ¨v8}�}�{�ºIk(e

jθ) = I0

[ej(θ−θk)

] ±¨Ö|¸�'8G�¶× � �

Page 19: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

qÔ²d£f{s�|�|{V}�£©}�}�qÔrsq9 ¡£|�|ÍG{s�a�|{V{~�³}�q.� ¦ �arsv8}���{s§G{ Ik(ejθ)��{E��}�}�qG�|´a�a�|� ¦ qG�o}���v���r�v�ÍG{s�a�|q9�|qGrsr~��]}�q.����� ¦ ����}���}�{ ¦ � I0(e

jθ)¤��f�çµ�q

I0(ejθ) =

1

M· 1 − e−jMθ

1 − e−jθ

=e−j M

e−j θ2

· ej M2

θ − e−j M2

θ

M(

ej θ2 − e−j θ

2

)

= e−j(M−1

2)θ · sin

(M θ

2

)

M · sin(

θ2

)

±¨Öf¸�'©×�¶

+�,�� �»2 � @ / ST7Ô: F�� 2ÔNST7 >�?�� O¼;�0P?ÕVvRÓ­¢�� �f{�£|� ��q.´���v�rsq

x(n)�|{��|£f��v8}�v�¯|�|{~}�v

NqG��qG��}�qG�|��{~�a�|q�� Gf¤®p ��×

X(k) =N−1∑

n=0

x(n)e−j2πkFnT ±¨Öf¸�'0�¶

§G�a�|��qG��}�q9�|{ xR{s��£|��v8��q[§.�axRq­r�t¾q.�fq.��´�{�vÔ�fq.r ��q.´a�|v�rsq­��{�vD�f{s��}���{~y|£|{~}�v9}���vDr~qN ¡��q.²³£|qG�|Í.q

kF = kFc/N¤k = 0, 1, . . . , N −1

¤�qW�|{�§Gr�v�����{~¯|§°v���rs�­§G�ax¥qW��q.´a��v8rsq#�|{�y�v8����v���v�r~}�vi ¡��q �²³£|qG�|Í°vf¤av[y�v8�|��vWr�v���´�v �8�]}���qQ}�}�vf¤. . . ¦ q.��{s�d�|{s§G����v ¦ q.��{s�d�|{s§G�Tq�¤8��q ¦ qG��{~�©�|{~§.�|¤��f{dqG��}���v����|q{ ¦ v���v�x¥qQ}���{�¤dv��BqG��qGx ¦ {~�|¤dr�v5 ¡��q.²³£|qG�|Í°vD ¡�a�f��v�xRq.��}�v�r~qoqor�t v�x ¦ {sqGÍ.Í°v9�|{® ¡�a�|��v8x¥qG�³}�v�rsqq5v���x¥�a�f{s§�Ê|q8¸

�Pv8rsq ¦ �a����{~y|{sr~{~}�ØW�|{ѵaq.��}�v ¦ v���}�{s§G�ar�v���x¥qG��}�q�{s��}�qG��qG����v8�³}�q ¦ qG�Prutwv��|v�rs{~��{��|{©£|����qG´a��v�r~qx(n)

�|�a� ��}�v�Í.{~�a��v���{s�|¤fv��q.��qGx ¦ {s�|¤�§G�a��}�{~}�£f{~}����|v �Æy|£|���]} !9��{s�³£|���a{s��v8rs{ §G�a� ¡��q.²³£|qG�|Í°v§�Ê|q¥µ�v8��{�v v���§°v8}�}�{^�|q.r�}�qGx ¦ � q�v�r~r�v�²³£�v�rsqR��v8�����d§.{sv8}�vr�t¾{s�© ¡�a��x¥v�Í.{~�a�|q ¦ �a�]}�v8}�v ��v8r��q.´a��v8rsq9��}�q.�����B�|qGr�§.�a����{~� ¦ �a�|�|qG�³}�q9{s��}�qG��µ8v�rsr~�z�|{�}�q.x ¦ �|¸� r~rs� ��§G� ¦ �|¤���v8}�� £f�%´aqG�|q.��{s§.�Ð��q.´a��v8rsq x(n)

¤�� ¦ ������{~y|{sr~q*v�� �a´a�|{D{s��}�v���}�q n§.v�rs§G�ar�v���q­r�v�Ó­¢�� ��£f´ars{�£fr~}�{~x¥{Nµ8v�rs����{

[x(n), x(n − 1), . . . , x(n − N + 1)].

��}�}�qG�|q.�|�f�Á�|q.{^§.�dqGÒR§G{sq.��}�{XÓi¢��� ¡£|�|ÍG{s�a�|{��|qGr�}�q.x ¦ � n��q.§G�a�|�|�¿rs� ��§�Ê|qGxBv¿�f{X¢E{s´|¸Ö|¸ (f¸

� � �a´a�f{o{~��}�v8�³}�qn��{i��}�}�qG�|´a�a�|�

Nµ8v�r~�a��{

yk(n)¤#�|��µaq

yk(n){s�|�|{~§°v1{srWµ�v8rs�a��qv�r~r�t¾{s�]}�v���}�q

n�fq.r

k�ßq.��{sxR��§.�dqGÒR§.{~q.��}�q9�|qGrsr�v�Ói¢��

X(k; n)

× � '

Page 20: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

x(nT )

0 n

��� ����������N��� �

����� � � ��������!�� 9 .+.0* � *-$>*-,@2 % *:2��+5-, � � �+*�.0*�� � 4�&)(+*-,@2+* .+%'5�$�%'132"4�5-% *:2 *:2+13=�% $�$�,

yk(n) =n∑

m=n−N+1

x(m)e−jθk[m−(n−N+1)] (= X(k; n))

=n∑

m=n−N+1

x(m)ejθk(n−m) · e−jθk(N−1)(e−jθk(N−1) = ejθk

)

=n∑

m=n−N+1

x(m)ejθk(n−m) · ejθk

±¨Ö|¸�'�î�¶

�|��µaqθk = 2πk/N = 2πkF/Fc

{s�|qG��}�{~¯|§°v�r�vz ¡��qG²³£|q.�|Í.v¥v8�����d§.{sv8}�v�v�r §°v���v8rsqk�ßq.��{sxR�|¸

DFT

x(n)

x(n − 1)

x(n − 2)

x(n − N + 1)

y0(n)

y1(n)

y2(n)

yN−1(n)z−1

z−1

z−1

����� � � ��������! ����� � ,@&7% � 5:;>=�,/4@. 9+2 *:2+13=�% $�$�,)% .N

9 $ �'*:;�%

Õ�t � ¦ q.��v�Í.{~�a�|q ¦ £��Rq.����q.��qz��§�Êfq.x¥v8}�{~Í.Í°v�}�v¥§G�axRq5{~� ¯|´a£|��vRÖ|¸ ïfºXrut £f��§.{Ñ}�v���v�rV§°v8��v�rsqk�ßq.��{sxR�

yk(n)�fq.rsrsv»Ó­¢�� µ�v8��{�vA�|qGro}�qGx ¦ �»q���v ¦f¦ ��qG��q.��}�vf¤ ¦ qG�B§.����}���£|Í.{~�a�|q8¤#£|��v� ¦ q.��v�Í.{~�a�|q<�|{�¯�rÑ}���v�´a´a{~�Drs{~�|q°v8��q­}�qGx ¦ ��{s��µ8v���{�v���}�q8¸Ó­v�r~r�v±¨Öf¸�'�îa¶T��{s��£|r~}�v

yk(n) = x ∗ hk(n)±¨Öf¸�'8Ö�¶

�|��µaqhk(n)

�9r�v���{s� ¦ �a�]}�vz{sx ¦ £|r~��{ѵ�vÔ�|{�£|�¯�r~}�����¢�� � �f{��|£|��v�}�vN

hk(n) =

{ejθk · ejθkn, n = 0, 1, . . . , N − 10,

v�r~}���{sxRq.��}�{�¤ ±¨Ö|¸�' �a¶

× � (

Page 21: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

x(n)H0

H1

H2

HN−1

y0(n)

y1(n)

y2(n)

yN−1(n)

����� � � � �������E! ��� � $�9N� 4�&)(+*-,@2+* *:2 *:2+13=�% $?$�,�� *-$>;?4�� ,@&7% �"4�2�� , .0* � 5:;>=>* ��� � ("4@$�$ 4��

�"4�2 . 4

!©{��a����qG��µd{V§�Ê|qÔrsv���{s� ¦ ����}�vz{~x ¦ £|rs��{~µ8vD���d�|�|{~�� ¨v�r�vz§G�a�|�|{~Í.{~�a�|qhk(n) = ckh

∗k(N − 1 − n) |ck| = |ejθk | = 1

±¡Ö|¸�' ��¶§�Ê|qB´aq.�|qG��v�r~{sÍGÍ°v v�r�§°v����Á§.�ax ¦ r~q.�����¿rsv §G�a�|�|{~Í.{s���|q��|{X��{sxRx¥qQ}���{�v��|qGrsr�v h(n)

qBv�§G£|{��{sx¥v��|q<v������d§.{sv8}�v�£|��v<ÇG�����9����� ����«��¥±¨v�}���v8}�}�{�¶Q¸!©{ ¦ £��|¤�{s�f�ar~}���q�¤©��§G��{~µ�q.��q

hk(n) = ejθk(n+1)h0(n)±¡Ö|¸�' 'a¶

q5²³£|{s�|�f{�rsqhk(n)

��{ ¦ �a�����a�|�B�8}�}�qG�|q.��qÔxR�d�|£|r�v8�|�|��r�v���{s� ¦ �a�]}�v�{sx ¦ £|rs��{~µ8v h0(n)§.�a�r~q ¦ �a��}�v���}�{ ejθk(n+1) v8rsrsq9 ¡��qG²³£|q.�|ÍGq kF = kFC/N

¸<Õ�����§�Êfq.x¥v��|{3¢P{~´|¸iÖf¸wïB�f{~µd{sqG�|qqG²d£f{~µ8v�rsqG��}�q�v1²³£|qGrsrs�1�|{[¢P{~´|¸ËÖf¸~×3G©¤T�|��µaqHk(e

jθ) = F [hk(n)]¸ !©{W�a����q.��µd{[§�Ê|q¿rsvqG²d£f{~µ8v�rsqG�|Í°vK��§G�a�|��qG´a£|qG�|Í°v1�|q.rT ¨v�}�}��A§�Ê|qr~q���{~� ¦ �a��}�q�{sx ¦ £|rs��{~µ�qB�����|�Arsq.´av8}�q���v8rsr�vÖ|¸�' '©¸

� {sx ¦ �a��}�v���}�qÁ�a����qG��µ8v���q1§�Ê|q8¤9v��|§�Ê|q1��qA´ar~{­��§�Ê|qGx¥{9�|{­¯|´a£|��v)Ö|¸ ï*q1Öf¸~×3G*���a�|�¦ q.�] ¡qG}�}�v�xRq.��}�qÔq.²³£|{~µ8v�r~q.��}�{u¤�r�vR��q°v8rs{sÍGÍ°v�ÍG{s�a�fq<§�Ê|qz£|��v¥r�vRÓ­¢��¹�Ôx¥��r~}�� ¦ {���qQÒR§.{sqG��}�q�|{�²³£|qGrsrsv�§�ÊfqÔ£|��vN¯|r~}���{�� ¦ q.��v���}�{�{s� ¦ v���v�r~rsqGrs�|¸��Æ�f ¨v8}�}�{^±¨��{�µaq.�|v ¦ v��G¸�Ö|¸¾Ö³¶Hq.��{~��}��a�|�v�r~´a�a��{~}�xR{�qQÒ¥§G{sqG�³}�{E�f{E§.v�rs§G�ars�R�|q.r~r�vRÓ­¢��¹§G£|{E��{sx¥v��|qÔv������©§G{�v8}�vR£f��vB§.��x ¦ r~q.����{~}�ØR�f{

N log2 N� ¦ qG��v�ÍG{s�a�f{W± N = 2ν ¶­§.���³}���� rsq N2 � ¦ q.��v�Í.{~�a�|{3§�Ê|q���{sx¥v��|´a�a�f�v������©§G{�v8}�qv�r~r�vz��q°v�r~{sÍ.Í.v�Í.{~�a�|qo�|q.´ar~{

N¯�rÑ}���{�¢�� � rs£f�|´aÊ|{

N�|qGrsr~����§�Ê|qGxBv��|{�¯�´a£f��v�Ö|¸~×@Gf¸

ÕVv���{s� ¦ �a�]}�v�{s�� ¡��q.²³£|qG�|Í°v¥v������©§G{�v8}�vRv8r�§°v��|v�rsq k�Æq.��{sxR����{~��£|rÑ}�v

Hk

(ejθ)

=

N−1∑

n=0

hk(n)e−jnθ

= ejθk ·N−1∑

n=0

ejθkn · e−jnθ =

= ejθk · 1 − e−jN(θ−θk)

1 − e−j(θ−θk)

!©{�Ê�v�{s�f�ar~}���q× �8ï

Page 22: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

H∗k

(ejθ)

= HN−k

(e−jθ

) ±¨Ö|¸�' (�¶q�²³£|{s�f�|{���q�r�t¾{s�f´a��qG����������q°v�r~q�¤�r~q�£|��§G{~}�q��fq.{�§°v8��v�rs{

kq

N − k��{s��£|r~}�v��|��§.��x ¦ r~q.����q§.���|{s£|´av8}�q8¸ ½ £f{s�|�|{�}�£f}�}�vzrut {~�f ¡�a��x¥v�ÍG{s�a�|q[�|{�£f��§.{Ñ}�v��<§.���³}�q.�³£f}�vR�|qG{ µ8v�rs����{

yk(n)§G�a�

k = 0, 1, . . . , N/2��q

N� ¦ v���{�q k = 0, 1, . . . , (N + 1)/2

��qN�5�f{s� ¦ v���{u¸

!©{<�a����q.�]µ8v˧�Ê|q1r�v*��{~� ¦ �a��}�v*{s�  ¡��qG²d£fq.�|Í.v �|q.r<§.v���v�r~q k�ÆqG��{~x¥�*��{ ¦ £��Ì��}�}�q.�|qG��q��vA²³£|q.r~r�vK�|q.r#§.v���v�r~q§.�a����{s� ¦ ���|�|q.��}�q�v k = 0 ¦ q.��}���v���rsv�Í.{~�a�|q��|{ θk = 2πk/N

qxR�ar~}�{ ¦ r~{s§°v8Í.{s���|q ¦ qG�[£f��v�§.�a�]}�v���}�q5�|{�xR�d�|£|rs��£f�|{~}�v���{~�|¤d}���v�xR{~}�q­r�v©ºHk(e

jθ) = ejθk · H0

(ej(θ−θk)

),

±¨Ö|¸�'�ï�¶��qGr�v�ÍG{s�a�fq­�|{s��qG}�}�v�xRq.��}�q<�fq.��{ѵ8v�y|{sr~q­��v�r~r�v�±¡Ö|¸�' 'a¶Q¸ÕVv���{s� ¦ ����}�v�{~� ¡��q.²³£|qG�|Í°v H0(e

jθ)��{s��£|r~}�v

H0

(ejθ)

= e−j N−1

2θ · sin

(N2θ)

sin(

θ2

)±¨Ö|¸ (0G�¶

q9§.�a����{~� ¦ �a�|�|q9v�r~r�vÔ}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz�|{�£|� rect§.v�£|��v�rsq

h0(n) =

{1, n = 0, 1, . . . , N − 10,v�rÑ}���{~x¥qG��}�{ ±¨Ö|¸ (f×ç¶

§�Ê|q­��v ¦|¦ ��q.��q.��}�v�r�v5� ¦ q.��v8Í.{s���|qi�|{ �mqG��}���v�ÍG{s�a�|q !o�|{l£f��y|rs�d§.§G�D�|{ N ��v8}�{ v ¦ v���}�{s��qo��v8r��qG´a��v�r~qx(n)¸

�Ær�¯�r~}����v������d§.{�v�}�� v�r�§°v8��v�rsq0��£|�A¯�r~}���� ¦ v�����v �ßy�v������|¤=x¥qG�³}���qR{3¯�r~}���{�v8�����d§.{sv8}�{v�´ar~{=v�r~}���{V§°v��|v�rs{=���a�f���|{=}�{ ¦ � ¦ v8����v �Æy�v��f��vf¤���}�}�qG�d£©}�{P�|v H0(e

jθ) ¦ q.�i}���v���r�v�ÍG{s�a�fqÔ�|{θk = 2πk/N

0 2πN

4πN

6πN

8πN

10πN

12πN

14πN 2π

|H0| |H1|

' 13.5 ���

θ

���

0

18.06

����� � ��� ��� �"�"!�� , .09+5-,/.+%'5:5�4<=>*-$>( ,3$>;?4 *:2 A�=�%�� 9 %'2 � 4).+%'* � 4�2"4�5:*0

%1 � N = 8 �

ÕVv���{s� ¦ �a�]}�vz{~�� ¡��q.²³£|qG�|Í°v H0(ejθ)§.��{s�|§G{s�|q8¤�v ¦ v��]}�q<{sr� ¨v8}�}��a��q<�f{���§.v�r�v 1/N

¤f§.�a�²³£|q.r~r�vR�|q.r �Ư�rÑ}�����v¥xRq.�f{�v¥xR�ay|{~rsq !­µd{s�]}�v�v�r~r�vz¯��|qD�|q.r=§°v ¦ ¸)©º ∣∣H0(e

jθ)∣∣�ÔxBv8����{~x¥�¦ q.� θ = 0

qK��{<v��|�³£|r~r�v ¦ q.� θ = θk = 2πkF/Fc¤

k = 1, 2, . . . , N − 1¤o²³£|{~�|�|{{s�)§G�a����{s� ¦ �a�|�fq.�|Í.vÏ�|qGr#xBv�����{~x¥�A�|{ ∣∣Hk(e

jθ)∣∣¤k 6= 0

¸ Õ�q��{~� ¦ �a��}�q{s�) ¡��q.²³£|qG�|Í°v�|qG{�¯�r~}���{ ¦ ��q.��q.��}�v8�|�B�|qGrsr~q­����µd��v ¦f¦ �a��{sÍG{s�a�|{ x¥�arÑ}���v8x ¦ {~qi}���vzy�v��|�fqÔv8�|{�v�§Gq.��}�{�q<£f��v×��8G

Page 23: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

¦ {~§.§G�ar�v�v8}�}�qG�d£|v�Í.{~�a�|qz ¡£|�a��{3y�v��f��v1± ' 13, 5��� ¦ q.�<{~r ¦ ��{sxR��rs�ay��³¶[§G�axRq�{srsr~£|��}���v8}��{~��¢E{s´|¸3Öf¸~×a×�¸

θ

|H0| |H1|

θ

� �

0

18.06

� � q.��qGx ¦ {s�|¤ ��£ ¦f¦ �a�f{�v�xR� �|{ {s��µd{�v���qv�r~r�t¾{s�|´a��q.������{srl��qG´a��v�r~qx(n) = ejθn1(n) = ej2πfnT 1(n).

� ��qG´a{sxRq�±n ≥ N − 1

¶Q¤�rsvz��{s� ¦ ����}�v��8ºykp

(n) = Hk

(

ejθ)

︸ ︷︷ ︸

· ejθn︸︷︷︸Ý�éwäuÛ�åGä¨è�ÜTê�â���à �¾è�ÝuåÜ0���wÜ � Ý�â!,.-çâ�æ"��Ü

θ/2π

äuâ]ÞQæ8Ü0�wâPéwæé æ�ÞQÝ�â�ä�ä¨å

θ

|H0|

|H1|

θ

� �

0

18.06

Ü����°â]ÞGæ�Ü0�wâ3êçÜ0�5#�ܼæ�Ü�� â1

!©q9q.��{s�]}�q9£|�k ¦ q.�#{~r�²³£�v�r~q�º

θ = θkrsqW£|��§.{Ñ}�qi�fq.rsrsv9Ó­¢��<¤dvÔ��q.´a{~x¥q8¤����a�|�5}�£f}�}�q�³£|rsr~q#v���qG§.§.qGÍ.{~�a�|qW�|q.r~r�vk�ÆqG��{sx¥v�±¡§°v����Ôva¶Q¸

θ

|H0| |H1|

θ

�◦

� �

0

18.06

� ���°â]ÞGæ�Ü0�wâ�êçÜ0�#�ܼæ�Ü�� â0

�◦�â�êçÜ��5#]ÜQæ�Ü0�wâ

1���

!©q8¤Dµd{s§.qQµaqG����v©¤�r�v  ¡��qG²³£|q.�|Í.v �fq.rz��q.´a��v8rsq��t¾{s�|´���q.����� � vÐx¥qQ}�Ø  ¡��vÐ�|£|qÌ ¡��q.²³£|qG�|Í.q¦ ��� ¦ ��{~q<�|q.r~r�v�Ó­¢��<ºk2π

N< θ < (k + 1)

Nv�r~rs�a��v ���a�|�  ¡�a�]}�qGx¥qG�³}�q q.§G§.{Ñ}�v8}�{Ë��{�v {~r§°v8��v�rsqk�ÆqG��{sxR�<§�Ê|q[²³£|q.r~rs�

(k+1)�ßq.��{sxR�­q}�£©}�}�q<r~q9v�r~}���q­£f��§.{Ñ}�q<���a�|���|�a��³£|rsr~q�±¨§.v����y®¶¼¸

θa

|H0| |H1|

θθb

� �

0

18.06

!©qK{~ri��qG´a��v�r~qK�K§.�a�]}�{Ñ}�£|{Ñ}��U��vU�f£|qA� ¦ { �}����|{Eµd{s§G{s�|{u¤ v8�Kq.��qGx ¦ {s� θb − θa < 2π/N¤�a����q.�]µ8v��|�|�<r~qX£|��§.{Ñ}�q

yk(n)�|�a�z��{©�H{~�D´a��v ��|�Ô�|{®��{s§G�a�|�a��§.qG��q[��qi{�}��a�|{������|�

1¤2� ¦ {���¸

!©{�Ê�v©¤|§.{~�©�<£|�|vRr~{sxR{~}�v8Í.{s���|qW{s��}���{s�|��q.§°v�v�r-�r�v�«Q�s������� F ����� �D���RǼ«����.���Q� F ��v�r~r�t¾{s��}�qG���|�R�|{§.{sv���§G£|��v�y�v��|�|vf¸�EqG�Wv�£|xRq.��}�v���q<r�vz��{s����rs£|ÍG{s�a�|qo{s�� ¡��q.²³£|q.�fÍ°v ¦ �a����{sv�x¥� ¦ qG�|��v���q9�|{�v�£|xRq.��}�v���q N

¤§G{s�d�D{sr^�Æ�QÈiª��¬��#�������Q«���� F ����� �Q¸ �=£f}�}�v°µ©{svB{s��}�v�r=x¥�d�|�¥�|�a�K��{E��{~�|£|§.qÔr�t v8}�}�q.�³£�v�ÍG{s�a�fq ¡£|����{Hy�v8�|��v̱¨rutwv�rÑ}�qGÍ.Í°v��|q.{ ¦ ��{sxR{Xr~�ay|{Xr�v8}�q.��v8rs{�¶<§�Ê|q8¤ ¦ q.��v�r~}����|¤��|qQ}�qG��xR{s��v¿rsv ¦ ��qG§.{-���{s�a�|qR§.���ϧG£|{X��{���{sqG��§GqBv§°v�r~§.�arsv���q�rutwv8x ¦ {~q.ÍGÍ°v��|q.r~rsqzµ8v���{sq�§.�ax ¦ �a�|q.��}�{��|q.r^��qG´a��v�r~q×��©×

Page 24: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

��t¾{s�|´���q.�����»±]«¼�s������� F ����� �����Ì��Èiª���� F F �©¶iq�{~�|�ar~}���qz��{���q.�f�|q¥{~r3��{~��}�q.x¥v r~q.��}�� v��q.´�£|{s��qµ8v���{sv�Í.{~�a�|{l�|q.r�§G�a��}�q.�³£f}��¥� ¦ qQ}�}���v�r~q5�fq.r���qG´a��v�r~q<�|{�{s�f´a��qG�����R��}�q.�����|¸�Æ���a´a�|{d§°v8���|¤���{fÊ�vi��q.x ¦ ��qT£|��vir~{sxR{~}�v8Í.{s���|q��|q.r~r�v[��{s���ars£fÍ.{s���|q�{s�D ¡��q.²³£|q.�fÍ°v<qH�|qGrsr�v��{~���ar~£|Í.{~�a�|q­{~� v�x ¦ {sq.ÍGÍ°vf¸!©q#{sr³��q.´a��v8rsqH�8¤³v��zq.��q.x ¦ {s�f¤a{s�zy|v�����vi ¡��q.²³£|qG�|Í°vR± θa ' 0

¶Q¤�q.�����<µ©{~q.�|qTylqG����{sr~qGµ8v8}����v�r�§.v���v�r~q0±¡¯�rÑ}������|{�x¥qG�|{�va¶Xq ¦ v�����vR²³£�v8��{V{s��v8r~}�qG��v8}��|¸

θa

|H0||H1|

θθb

��

◦◦

���

0

18.06

� éwäuå���-"��é åGæçâ3é æ<Ü0&HÛçéwâ��!��Ü��◦��åQÝ�éwÞQéwæ�Ü0�wâ

��|à/� èuÝßÜ�è�å

!©q{s��µaqG§.q�{srH��q.´a��v8rsq �|�a�Ì� {~�Ëy|v�����v1 ¡��q �²³£|q.�|Í.v±θb

¶�q.�����Dµd{sqG�|q­v�}�}�qG�³£�v8}��DxBv9�|�a�§.�ax ¦ r~qG}�v8x¥qG�³}�q»qGrs{sxR{s�|v8}��)��v�rÔ§°v��|v�rsq 0¸

�Æ� v�rÑ}���q ¦ v8���ar~q�¤T§G{�v���§.£|�˧°v��|v�rsq»±¨�|qGro�f� ���}���� qG��q.x ¦ {~� {srA§°v8��v�rsq 0¶Ð��{s��q.��}�q�v�� �§�Ê|q��|qGrsr�t¾q �lqG}�}��Á�f{T��qG´a��v�r~{T��q.r�v�}�{~µd{Xv��)v�r-�}���{R§.v���v�r~{�¤z§G{s�d�* ¡£|�a��{�y�v8�|��v�±����­�Q�¨�m� ¬���s���������d�.�i¬��s�ƪ��Q«��Q����� ��¶Q¸

�Pv8rsqK ¨v8}�}��*rs{~x¥{Ñ}�vÏrsv*��{s���ars£fÍ.{s���|qÁ{s� v�x ¦ {~q.Í.Í.v*�|q.r<��q.�|��� §�Ê|q1�|�a� � ¦ �a����{~y|{sr~q�¤�arÑ}���qÔ£|�K§.qG��}���rs{sxR{~}�q�¤®��}�v�y|{~rs{s��qÔ��qz{sr=��qG´a��v�r~qz��t¾£|��§G{~}�v���v�£|�K§.qG��}���§°v���v8rsqD���f�çµd£f}��{s��}�q.��v8x¥qG�³}�q5vR��q.´a��v8rs{�§.���³}�q.�³£f}�{E�|qGrsrsv�y|v��|��vRv�� q.�����B��q.r�v�}�{~µ8v��R��q5�5�f�çµd£f}���v��f§�Ê|qv<��qG´a��v�r~{®v ¦|¦ v��]}�qG�|q.��}�{®v9y�v��f�|qW��q.rsv8}�{ѵaqWv��¥v�rÑ}���{©§°v��|v�rs{u¸ ½ £|qG��}��5rs{~x¥{Ñ}�q8¤av<�|{ �lq.��q.�|Í.v�|{|²³£|qGrsr~�­{s�z ¡��q.²³£|q.�fÍ°vf¤³�|�a���#xR{s´�rs{s����v�y|{~rsq�v8£|x¥qG��}�v��|�f�<{sr³}�q.x ¦ �<�|{|�a����q.�]µ8v�Í.{~�a�|q N¤��v�r®xR�axRq.��}��Ô§�Ê|qi�|{ ¦ qG�|�|qo£|�|{s§.v�xRq.��}�q[��v�r~r�v9��{s� ¦ ����}�v5{s�� ¡��qG²d£fq.�|Í.v H0(e

jθ)¸ �Æ�f ¨v�}�}�{rsq<r~{sxR{~}�v�Í.{~�a�|{�{s��}���{s�f��q.§�Êfq5{~�� ¡��qG²d£fq.�|Í.vBv��{s� v�x ¦ {~q.Í.Í.vz�|q.r�y|v��|§.�R�|{ ¯|r~}���{��|qG��{~µ8v��f���v�r� ¨v�}�}����f{Vv�µ�q.��q �Æ�a����q.��µ8v8}�� !<{~r���qG´a��v�r~q<x¥qG�|{�v8�³}�q<£|��v�¯��|qG��}���vR�f{�}�{ ¦ � rect(·) ¸� µdµd{sv�x¥qG��}�q�¤©£f}�{~rs{~Í.Í°v8�|�|�D£f��vD¯��|qG��}���v

h0(n)�|{ѵaq.����vf¤f��}�}�q.�|{sv�x¥�5£|��v

H0(ejθ) =

F [h0(n)]�|{~µ�q.����v�qz²³£|{~�|�|{P£f�Áy�v��|§G��§.�a� ¦ ��� ¦ ��{sqQ}�ØR¯|r~}���v���}�{=�|{~µ�q.����q�¸ � rsr~�¥��§.� ¦ �����£©Ò¥§G{sqG�³}�qÔ�fq.rsrsv±¨Ö|¸�'�î�¶T���a��}�{~}�£|{s��q

x(m)§.���

x(m)h0(n − m)¸

1

0

Fc

2

−Fc

2

�� ��

���� � � � � � � ���� ��

!©q�¤%v�� q.��q.x ¦ {s�f¤ µd{sqG�|q £f}�{sr~{sÍ.Í.v8}�� £|�§.�a��q.�|�D��{�v8rsÍ°v�}��|¤���{lÊ�vÔ£|��v ¦ q.���|{~}�vÔ�|{®��v8}�{v�{[yl�a���|{[q¿²³£|{s�f�|{�¤H�¿§.�axRq¿��{o£f}�{sr~{sÍ.Í.v�����q£|�rect(·) §G�a�%£|�|v �|£|��v8}�v q.²³£|{~µ8v�r~q.��}�qx¥{~�|�a��q�¸

½ £|{s�|�f{�¤�§G{f��{ ¦ £ �9v�� ¦ qG}�}�v���qT§�Ê|q8¤�{s�z§G�a����{s� ¦ �a�|�fq.�|Í.vf¤ar�v[r�v���´aÊ|qGÍ.Í°vo�|q.r©rs�ay�� ¦ ��{s�|§G{��¦ v�r~qi�|qGrsrsv5}���v��� ¡����x¥v8}�vÔv�£|xRq.��}�{lq­��{l��}�}�q.�|´�vz£f��vz��{~���ar~£|Í.{~�a�|q[{s�B ¡��q.²³£|q.�fÍ°v�{s�f ¡qG��{~�a��qvz²³£|q.r~r�v5§�Ê|q9��{ �8}�}�qG����q.y|y�q­§.��� £f�rect

�|{ ¦ v���{l�|£|��v�}�vf¸ �=£f}�}�v°µd{�vf¤fv�µ�q.�|�f�¥qGrs{sxR{s�|v8}��rsqo�|{s��§.�a��}�{s�³£|{~}�ØDv�{�y��a���|{u¤©§G{l��{ ¦ £ ��v�� ¦ qG}�}�v���qi§�Ê|q<rsv5}���v��� ¡����x¥v8}�vÔv�y|y|{svÔrs��y|{®r�v8}�q.��v8rs{�|{�qG�³}�{~}�Ø���{s�|�8}�}�vzq9²³£|{~�|�|{�§�Ê|q5xR{s´ar~{s�a��{�rsvz��{~���ar~£|Í.{~�a�|q­{~��v8x ¦ {~q.ÍGÍ°vf¸�Æ�Ë´�q.�|qG��v�r~q�¤i��¬Ï�©���1«Q�¨¬�� F ����� ��¬d�Q���Ñ�A«Q�s������� F ����� ������Ǽ«����.���Q� F �*����«¼«¼�s�ƪ�����¬d���d�È��Ñ��������«���ÈB�Q���m��¬d�Q���Ñ�¥«¼�s������� F ����� �<���1��Èiª���� F F ��� ������� ���Q«��.����o��v�¯��|qG��}���v��|{�§.�axD£|�|q9{sx ¦ {sqG´a�z�9²³£|q.r~r�vz�|{ �ov��|�|{~�|´|º

��0

Page 25: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

h0(n) =

{12

[1 − cos

(2π

N−1n)]

, 0 ≤ n ≤ N − 1

0,v�r~}���{~x¥qG�³}�{�¸ ±¨Öf¸�(+�¶

Õ�t £f}�{sr~{sÍ.ÍG��|{^}�v�rsq�¯��|qG��}���v¿§G�ax ¦ �a�]}�v��v¿£|�Ursv8}�� £|��v ¦ qG���|{Ñ}�v��f{^��{s���ars£|ÍG{s�a�fqR{~� ¡��q.²³£|q.�fÍ°v ¦ v8��{³v��5£|�Ô ¨v�}�}�����q 5±¨r�v#rsv���´aÊfq.Í.Í.v[�fq.r³rs�ay�� ¦ ��{~�|§.{ ¦ v�r~q3��v��f�|� ¦|¦ {sv#qX�|{ѵd{sq.�fq4π/N

¶5v������d§.{sv8}�vv�r~r�v � ¦ q.���|{~}�v !��|{���v�}�{�v�{�y��a���|{�qR²³£|{s�|�f{Xv8rsr�v��f£|��v8}�v qG²³£|{~µ8v�r~q.��}�q{~�f ¡q.��{s�a��q�¤®qD��v8rsr�t v�rÑ}�����£f�Kv�£|xRq.��}��¥�|q.r~r�v���{~���ar~£|Í.{~�a�|q9{s�¿v�x ¦ {sq.ÍGÍ°vf¸ �Æ�f ¨v�}�}�{u¤®§.�a� }�v�r~q¯��fq.��}���vf¤f£|����qG´a��v�r~qo ¡£|����{�y�v��|��v©¤ ¦ q.�H�|v���qors�D�]}�qG������§G�a��}���{sy|£f}��z{s�Bv�x ¦ {sqGÍ.Í°v5�|{�£|�|�{~�Dy�v��f��v ¦ v8����v8�³}�q�¤a�fqGµaqTv°µaq.��qH£|��t v�x ¦ {sqGÍ.Í.v[§G{s��§.v 35µ��ar~}�qXx¥v�´a´a{~�a��q#±¨r�t v8}�}�q.�³£�v8Í.{s���|q�|qGr ¦ ��{~x¥��r~�ay���r�v8}�q.��v8rsq­�9§.{~��§.v 31

��� ¦ q.� Nv8y|y�v��]}�v��|Í.vR´���v��|�fq�¶Q¸

�o��t v�rÑ}���vD¯|�|q.�]}���v�� ¦ q.�����¥£f}�{~rs{sÍGÍ°v8}�vD�9²³£|q.r~r�v��|{ �ov�x¥xR{s�f´|ºh0(n) =

{0, 54 − 0, 46 · cos

(2π

N−1n)

0 ≤ n ≤ N − 1

0v�r~}���{~x¥qG�³}�{ ±¨Öf¸�(aîa¶

§�Ê|q¥§.�a�f��q.��}�q��|{���}�}�q.�|qG��q¥£|��t v8}�}�q.�³£�v�ÍG{s�a�|q� ¡£|�a��{�y�v��|��v ¦ v���{Xv §.{~��§°v 45��� §.�a�Ursv�]}�q.����vR��{s���ars£fÍ.{s���|q­{s�� ¡��q.²³£|q.�fÍ°v¥�fq.rsrsvD¯��|qG��}���vR�f{ �iv��|�f{s�|´|¸

� rÑ}���vD¯|�|q.�]}���v�£f}�{srs{~Í.Í.v8}�vD�9²³£|qGrsr�v��|{ �Tr�v�§&%³x¥v��

h0(n) =

{0.42 − 0.5 cos

(2π

N−1n)

+ 0.08 cos(

4πN−1

n)

0 ≤ n ≤ N − 1

0v8r~}���{sxRq.��}�{ ±¨Öf¸�(�Ö�¶

rsvD§.£|{l}���v8�� ¡�a��xBv8}�vÔÊ�vz£f� r~�ay��z§.qG�³}���v�r~q­�|{lr�v���´aÊ|q.ÍGÍ°v ¦ v8��{�vz§G{s��§°v 6π/Nqi£|��t v8}�}�q.� �£�v8Í.{s���|q< ¡£|�a��{ y�v��|��v ¦ v8��{Vv�§.{~��§°v 60

� �i¸�Æ�A¢P{s´f¸5Öf¸~× �µaq.�f´a�a�|���{ ¦ ����}�v�}�qDr~qz��{~� ¦ �a��}�qz{s�Á ¡��q.²³£|qG�|Í°v�|q.r~rsqÔ²d£|v8}�}�����¯��|qG��}���q¦ ��q.��q.��}�v8}�qD�|qGr�§°v���� N = 64

¸�o��t v�rÑ}���vD¯|�|q.�]}���v�{sx ¦ �a��}�v���}�q­�9²³£|q.r~r�v��|{ #9v�{~��qG�5±¡µaqG�|{V��qGÍ.{s���|q'©¸~×�¶Q¸� y|yf{�v�xR��µ©{~��}���§�Ê|q¥{3¯�r~}���{�v������d§.{sv8}�{�v�r~r�v�Ó­¢�� ���a�|� �|qG{ ¦ v8����v y�v��|�|v qR²³£|{s�|�f{r~q<£|��§G{~}�q9�|qGrsrsv�Ó­¢������a�|��{s� ¦ ��{sx¥v�v ¦|¦ ���a����{sx¥v�Í.{~�a�|q­�|qG{���qG´a��v�r~{�rs{sxR{~}�v8}�{®{~��y�v��|��v©¸½ £|qG��}��1 ¨v8}�}��Ï��£|´a´aqG��{~��§.q�r�v ¦ �a����{sy|{~rs{~}�ØÁ�|{#���8}�}��d§°v8x ¦ {~�a��v���q�rsq£|��§.{~}�q yk(n)

�|{W£|� ¨v8}�}��a��qL > 1

¤8qX²³£|{~�|�|{d�|{©§.v�rs§G�ar�v8��q�r�voÓ­¢��U��´a�|{L§°v�x ¦ {~�a�|{��|{d{s�|´���q.�����z±¨��{~�|£|§Gq.�|�|�rsv9§G�ax ¦ rsqG����{Ñ}�Ø<�|{®§°v8rs§.��rs�³¶¼¤a§.�a�¥£|��v9����µd��v ¦f¦ �a��{sÍG{s�a�|qW�|{ N −L

§°v8x ¦ {~�a�|{f}���v9y|rs�d§.§�Êf{��£|§.§Gq.����{~µd{�¸ � rfr~{sxR{~}�q8¤ç��{~ ¡qG��qG�|�|�a��{|v�r~r�v[¯|�|q.�]}���v<��qG}�}�v��|´a��r�v���qXqWv�����£|xRq.�f�|�<£|��v­y�v8�|��v¦ v8����v8�³}�qÔ�fq.{ ¯�rÑ}���{ ¦ v���{�v 2π/N±Fc/N

¶Q¤f� ¦ �a����{syf{srsqo����}�}��d§°v�x ¦ {~�a��v���qi�|{�£|�� ¨v8}�}��a��qL = N

q5²d£f{s�|�|{��f{~µd{s�|qG��q9{V��v8}�{�{s� y|rs�d§.§�Ê|{��f�a������µ©��v ¦|¦ �a��}�{Vrs£|�|´�Ê|{ N q.�Áv ¦|¦ rs{~§°v���q£|�|vDÓ­¢��Ðv8�B�a´a�f{�yfrs�d§.§.�f¸ � {sx ¦ �a��}�v���}�qW�a����q.�]µ�v8��qi§�Êfq�¤|v8�|§�Ê|qi��qorut £f��§.{Ñ}�v9��v�r®y�v��f§.��|{�¯�rÑ}���{=±uÓ­¢��[¶��[§.�a�]}�{~}�£|{~}�v5�|v5��q.´a��v8rs{ ¦ qG��v���}�q.xRq.��}�qiv � qQ}�}�{��|vÔv�r~{�v���{s�|´R±¡{s��}����©�f��}�}����v8rsr�vR�|q.§G{sx¥v�Í.{~�a�|q°¶Q¤ xRqG}�}�qG�|�|��{s�K§.v���§.v8}�v�{~rPy�v8�|§.���|{E¯�r~}���{Ev������©§G{�v8}���v�rsrsv �mÓ­¢�����{§.v��|§.qGrsrsv�§G�ax ¦ rsqQ}�v�xRq.��}�qir�t v�rs{sv���{~�|´|¸+�,Æ+ @�2Ô4�;J@B7ÔC�0E?QFH0�/10P2ÔN4�6�750P: ��@Ì@ /��Y[Z¡YoZ]\ _a`Xbdcfe#gihijlkme^`on�Ær^}�q.��x¥{~�|q�¢P¢�� ���a�]}�v��fÍ.{�v8rsxRq.��}�q¥��{H��{~ ¡q.��{s��§.q�v8�U£|��vÁ§Gr�v�����q��|{Tv�rs´��a��{Ñ}�xR{PµaqGrs�d§.{T�f{§.v�rs§G�ars�5�|q.r~r�v5Ó­¢��<¤³§�Ê|q­§G�a�|��q.��}��a�f�z�|{���{s�f£|����qo{~r��d£fx¥qG���z�|{®� ¦ q.��v�Í.{~�a�|{�v������d§.{�v�}�qov��£|�|v�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz�f{��|{sxRq.�|��{s�a�fq

N = 2ν ��v N2 v N · log2 N¸

×���î

Page 26: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

� �� �� ���

θ0.2π

0.3π

0.5π

0.4π 0.6π0.6π

0.7π

0.8π π0.0

0

−20

−40

−60

−80

−100

� Ü���©éwæçâ�ä¡è�Ý�ÜTÝ�âmè¨èßܼæçÞGå�� ܼÝ�â

� �� �� ���

θ0.2π

0.3π

0.5π

0.4π 0.6π0.6π

0.7π

0.8π π0.0

0

−20

−40

−60

−80

−100

��� ��fé æ�â�ä¨èuÝßÜTêçé�=ÜQæçæçéwæçÞ

� �� �� ���

θ0.2π

0.3π

0.5π

0.4π 0.6π0.6π

0.7π

0.8π π0.0

0

−20

−40

−60

−80

−100

� # ��fé æçâ�ä¡è�Ý�ÜHê�é�=Ü0&+&HéwæçÞ

� �� �� ���

θ0.2π

0.3π

0.5π

0.4π 0.6π0.6π

0.7π

0.8π π0.0

0

−20

−40

−60

−80

−100

� ê � �©éwæçâ�ä¡è�Ý�ÜHê�é�� � Ü�#�� &#ܼæ����� � � ������� � ! � *-$�(�,3$>;?4 *:2 A�=�%�� 9 %'2 � 4 .+%'5� 4�2"4�5-%

0 � 2 ,@=>&/4�5:* � � 4�;?4 4�5 �34�5-,@=�% |H(ej0)| �� ,@=>=>*-$>( ,@2 .+%'2 ;�% 4�� 2 % $>;>=�% .0* � %'=�$�% � N = 64 �

{ ��§�Ê|qB§.v���v8}�}�qG��{sÍGÍ°v r�t¾{s��}�qG��v§.r�v8����q¥�|{Xv�rs´a����{~}�x¥{E�¥{~r� ¨v8}�}���§�Ê|q ¦ �a�����a�f�¿q.����qG��q��}�}�q.�³£f}�{�§.�axRq9£|��t v ¦|¦ r~{s§.v�Í.{~�a�|q­�|qGr ¦ ��{~�|§.{ ¦ {s� �¨¬�� ���¨¬d�z�Q�X��Èiª��Q«����m¸ �Pv�r~q ¦ ��{~�|§.{ ¦ {s�DÊ�vµ8v�rs����q[´aq.�|qG��v�r~q­qi§G�a�|��{s��}�q­�|qGr ��{~���arѵaqG��q­��{s§.������{ѵ8v�x¥qG��}�q[£|� ¦ ����y|rsqGxBv5�|{l�f{sxRq.�|��{s�a�|q¯��|{Ñ}�v���£1���8}�}���{s�|��{sq.xR{3�|{��|v8}�{W± �¨¬�� ���¨¬d� ��¶i�fqG}�qG��xR{s��v�}�{3§G�a�Ï£f��v ²³£�v8rs§�Ê|q�rsqG´a´aq�qR�|q.r��{~§.�axDy|{s��v8��q ¦ ��{=¤©²³£�v��|�|�D��{�v ¦ ������{~y|{sr~q�¤�{®µ8v���{���{~��£|rÑ}�v8}�{ ¦ v���ÍG{�v�r~{=±�����Èiª��Q«����u¶�{~�BxR�©�|�}�v8rsqi�|v��8}�}�qG�|q.��q<r�vD���ars£fÍ.{s���|qi�|qGr ¦ ���ay|rsqGxBvÔ�a��{~´a{s��v8rsq�¸ Ê|{sv���v�xRq.��}�q�¤|v8rsr�t¾� ¦ q.��v�Í.{~�a�|q�|{W�|{ѵ©{~��{~�a�|q�|q.r~r�t¾{s�|��{sqGx¥q��|{W��v�}�{W{s�Ë����}�}��a{~�|��{~q.xR{H�Áv������d§.{sv8}��1£|� §Gq.�]}��U´a£|v���v�´a�f�{s�Á}�q.��x¥{~�|{P�|{P§.�ax ¦ rsqG����{~}�Ø¥�|{3§°v8rs§.��rs��{~rP²³£�v�r~q��|qGµ�qRqG����q.��qR§.���f ¡���a��}�v8}���§G�a�A{srP§G�a��}��rsqG´�v8}���v�rsrsvD��{~§.�axzyf{s��v�ÍG{s�a�fq­q �8�Rv�r~r�vD§G�a��}���£|ÍG{s�a�fq5�fq.{����8}�}�� ¦ ���ayfrsq.xR{�¸� ���a´a�|{���§Gq.rÑ}�vÔ�fq.rsrsv ¦ v8��}�{~Í.{~�a�|qW�|q.r~r�t¾{s�|��{sqGx¥qW�|{���v8}�{l�|{ ¦ v��]}�qG�|Í°vz{~�B���8}�}���{s�|��{sq.xR{§.������{~� ¦ �a�|�|q<£f�¿v�r~´a�a��{~}�xR�D�f{~µaqG�����¥§G�a��§G�a��}�{��|{ ¦ v��]}�{~Í.{s���|q �ß��{s§G�axzy|{~��v�ÍG{s�a�|qW�|{ѵaqG����{u¸�E£©}�}�qirsq[§.�a�|��{s�|qG��v�ÍG{s�a�f{® ¨v�}�}�qo��£|r~r�v5Ó­¢�� ¦ �a�����a�|�zqG����qG��qi}���v�� ¦ ����}�v�}�q­v8rsr�v)�mÓ­¢��<¸� }�v8rsq ¦ ��� ¦ �a��{~}�����{X�a����q.��µ8vÁ§�Ê|q�£f��v ¦ ���©§Gq.�|£|��vÁ�|{^§°v�r~§.�ar~�¿�|qGrsr�v�Ó­¢�� �|{ѵd{sq.�fq£|��v ¦ ���©§Gq.�|£|��v ¦ qG�[{~r�§°v8rs§.��rs���|qGrsr�v �mÓ­¢��<¤�v��q.��q.x ¦ {s�|¤f��q.§G�a�|�|�¥rsq<xR�©�|v�rs{Ñ}�Øfº

×��8Ö

Page 27: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

S/P

N N N

DFT IDFT P/S

banco difiltri

banco difiltri

x(n) x(n − N)

Z(T )Z(T )

Z(N · T )

00

64

64

128

128

256

256

512

512

1024

1024

N

��� ��������

��� ���� �� ����������

����� � � � ����� �E!���,@20A�=�,@2 ;�, A�=?4 5-% � ,@&)(+5-% $�$�*:;�� .0* � 4�5�� ,@5-, .+%'5:5�4 ��� � � 4�5�� ,@5�4�;?4 � ,@2 5�4�A ,@=>& 9+5�4.0*:=�%';>;?4)=>*-$>( %';>;�,74 � 9 %'5:5�4 � 4�5�� ,@5�4�;?4 � ,@2 4�5:1 ,@=>*:;>&)* .0* ��� �

v¥¶x(n) = IDFT [X(k)] = DFT [X(−k)] /N

y¿¶x(n) = IDFT [X(k)] = (DFT [X∗(k)])∗ /N

§Ô¶x(n) = IDFT [X(k)] = (

�Æxz(n) + j

�[qz(n)) /N§.���

z(n) = DFT [�Æx

X(k) + j�[q

X(k)]

Y[Z¡YoZ � �1e � � �mn � �dkßb���gik � ��� � e��me�gin � � � � � � e�` k � ��n b©e#gie�gik��c|n b³b©e �a�f��{s�fq.��{sv�xR�U{sro§.�dqGÒR§.{~q.��}�q

k�Æq.��{sxR�U�|qGrsr�v»Ó­¢�� �|{­£|�дaqG�|q.��{s§.�*��q.´a�|v�rsq

x(n)v��£ ¦|¦ �a��}��R¯��f{~}��

X(k) =

N−1∑

n=0

x(n) · W k·nN

�|��µ�qWN , e−j 2π

N

k = 0, 1, . . . , N − 1

x(n) ∈ C.

±¨Öf¸�( ��¶

�EqG���a´a�|{k¤i§G{s�d� ¦ qG��{sro§°v�r~§.�ar~�U�|{­£|� ¦ £f�³}��Ë�fq.rsrsvUÓ­¢��<¤#���a�|�)�|qG§.q.����v���{sq

N

�� �

Page 28: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

xR�ar~}�{ ¦ r~{s§°v8Í.{s���|{�q N−1 ' N���axRx¥qTq.��}���v�xzy�qH§.�ax ¦ r~q.����q�¸ �Æ�z}�q.��x¥{~�|{©�f{|� ¦ q.��v8Í.{s���|{��q.v�rs{ ��{�Ê�vfº

NC∗ + NC

+ ≡ 4 · NR∗ + 2NR

+ + 2NR+ = 4

(NR

∗ + NR+

) ±¨Ö|¸ ( ��¶� r~}���qWv�rsrsv­§.�ax ¦ r~q.����{~}�Ø<v���{Ñ}�xRqG}�{~§°v�±¡�d£fx¥qG���9�|{�����x¥xRq#qo�f{�x¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|{�¶ �|�ay �y|{sv�x¥�Dv��|§�Ê|q9��{s§.������v���qi§�Ê|q9�|��y|y|{�v8x¥�Dv�§.§Gq.�|qG��q5v�{ �|v8}�{u¤ ¦ q.�H§G£|{��|�ayfy|{�v�xR�zqG��q.´�£|{s��q

N� ¦ q.��v�Í.{~�a�|{��|{ rsqG}�}�£|��v�q.� £|��v��|{���§G��{~}�}�£|��v��|q.r���{s��£fr~}�v�}��z§G{s�d��º

N + 1 ' N� ¦ q.��v�Í.{~�a�|{��|{�� ��� ±¡Ö|¸ ( 'a¶

�Ær3§.����}���|{Pv�§.§Gq.������v��K£|�A��v8}������|qG}�q.��xR{s�|v8}��|¤l�ar~}���qz§�Êfq���v�rE}�q.x ¦ ���f{�v�§.§Gq.�����¯���{s§.�f¤|v��|§�Êfq­��v�r� ¨v8}�}��D§�Ê|q<�|��y|y|{�v8x¥�Ô§°v�r~§.�arsv����|q[r�t¾{s�f�|{s��{sÍ.ÍG�|ºV�|�a��}�q.����q.xR�z§.���³}����|q.r}�qGx ¦ �5§.�a����{s� ¦ ���|�|q.��}�q�¸�Ói�ayfy|{�v�xR�5{s�|�arÑ}���q#x¥qQ}�}�qG��q[{s�R§.�a��}��zr�v9§.�ax ¦ r~q.����{~}�Ø9��q.rsv8}�{ѵ�vv�r®§°v8rs§.��rs�5�|q.{W kn

N

� ¦|¦ £|��q�¤©��qir~{®x¥qGx¥�a��{sÍGÍ.{�v8x¥�<{~�B£|��v9}�v�y�q.r~r�vf¤�{~r�}�q.x ¦ �D�|{lv�§.§Gq.�����v�r~r�vz}�v�y�q.r~r�vf¸ !©v���ØR� ¦|¦ �a��}�£|�|�B§Gq.��§°v���qz£|�Kv�r~´a�a��{~}�xR��§�Ê|qz§G�a�|��q.��}�v��|{=��}�}�{sxR{sÍGÍ°v���q<{sr}�qGx ¦ �R�|{=v�§.§Gq.��������{sv¥v�{V��v�}�{V§�Ê|qzv8{V ¨v�}�}�����{ W knN

±¨xRq.�|{sv���}�q9£|��{s�|�|{~��{~Í.Í°v8x¥qG�³}���§�Ê|q��{sv5{~r ¦ { �R��qG´a�ar�v8��q ¦ ������{~y|{sr~q�¶¼¸ �a�|§Grs£|�fq.�|�|�f¤f{sr��³£|xRq.���D�|{®� ¦ q.��v�Í.{~�a�|{®�|qG§.q.����v���{sq ¦ qG�§°v8rs§.��r�v���q­£|� §.�dqGÒR§.{~q.��}�q9�|qGrsr�vD}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz��º

Nx¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|{

N���axRx¥q

N� ¦ qG��v�ÍG{s�a�f{ �|{�� ���

N ¨v8}�}��a��{

W knN

�¥v8§.§.qG����{Ev8��£|�|v � ���

±¨Ö|¸ ( (�¶¦ q.�W£|��v�§.��x ¦ r~q.����{~}�Ø��|{

C = kC∗ N2 + KC

+N2 + Ka · N2 + KwN2 +±¡§°v�r~§.�ar~��{s�|�f{s§.{�¶Q¸ ±¨Öf¸�(aïa¶

�Ær�}�qGx ¦ ���|{�§°v�r~§.�ar~�z�|{ N §G�©qQÒ¥§G{sqG�³}�{��9²d£f{s�|�|{ ¦ ��� ¦ �a��ÍG{s�a�|v�rsqiv N2 ºT (N) = K · N2.

±¨Ö|¸ ï0G�¶Y[Z¨Y[Z�� �1e � ���mn � �dkßb � gik ����� �le��]e¹gok­hi` ��� ��e�cfkßb ��e gikob©k �Ôe�������� ���

�����������������

!©q ��v ¦f¦ {�v�xR�A§�Ê|q {sr#��qG´a��v�r~q��r~�©§.v�rs{~Í.Í°v�}��Á{~�Ë£|�|v1§Gq.��}�vÏy�v8�|��vf¤ ¦ qG�R§.v�rs§G�ar�v8���|q�rsvÓ­¢�� ¦ �a����{�v�xR�|¤©v���q.��q.x ¦ {s�|¤©��{~§.�a����v���qo§�Ê|q<q.����v��<q.²³£|{ѵ8v�rsqG�³}�q<v���£|��y|v��|§.���|{�¯�r~}���{q���q.v�rs{~Í.Í.v���q����ars�K{~rT¯�rÑ}����K�K{H¯|r~}���{T��q.r�v�}�{~µd{Xv�rsrsv¿y�v��f��vK�|{#{s��}�qG��qG����q8¸ !©{H��}�}�{~q.�|q�{~�²³£|q.�]}��¥§°v����¥rutwv�r~´a�a��{~}�xR�5�|{ ��� ��}�Í.q.r^±�µaqG�|{ �Ñ× �¶¼¸poqGr�§°v�����{~�1§G£|{�¤V{~�³µ�q.§Gq�¤=��{3µa��´ars{~�a�|��§°v8rs§.��r�v���qD}�£f}�}�{�´ar~{

Nµ8v�r~�a��{E�|q.r~r�v�Ó­¢��<¤V��{¦ £��¥v ¦|¦ rs{s§.v���qi{sr ¦ ��{s�|§G{ ¦ {~�z�|qGr �¨¬�� ���¨¬d�z�Q�X��Èiª��Q«����m¸

!©{�vT (N)

{srd}�q.x ¦ �5�f{�§°v�r~§.�ar~�<v������©§G{�v8}��5v��¥£f� ¦ ���ay|r~q.x¥v­�|{�§°v8���|{~��v�rs{Ñ}�Ø NqW��£ ¦ �¦ �a�|{�v8x¥� ¦ q.�W��q.x ¦ rs{~§.{~}�Ø N = 2ν ¸ !©q ¦ v���}�{sÍG{s�a�|{sv�xR�D´ar~{ N ��v8}�{�{s��|£|q9����}�}��a{s�|��{sqGx¥{�|{

N/2��v8}�{uº

N → N

2+

N

2,

±¨Ö|¸ ïf×ç¶

�� �

Page 29: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

��{s����r~µd{�v�xR�B{��f£|q�����}�}�� ¦ ���ay|r~q.xR{Pq���{~§.�axzyf{s�|{sv�x¥�¿±¨��q ¦ �a����{~y|{sr~q�¶or~q��|£|q����ar~£|Í.{~�a�|{u¤ {sr}�q.x ¦ ���|{�§.v�rs§G�ars�z�f{~µd{sqG�|q

T (N) = 2 · T(

N

2

)

+ R(N)±¡Ö|¸ ï+a¶

§G�a�R(N) ¦ v���{�v�r�§G�a��}����|{���{s§.��xzy|{s�|v�Í.{~�a�|q�¸ � r~rs�D�]}�qG�����R��{~��£|rÑ}�v8}��z��{�v�����{~µ8vD��q R(N)��v ¦|¦ ��q.��qG��}�v¥{~r�§.����}��R�|{�§G�a��}���£|ÍG{s�a�fq5q �8�R��{s§G�axzy|{~��v�ÍG{s�a�|qo�|q.{��f£|q9����}�}�� ¦ ���ay|r~q.xR{�¸po�a��9�|{ÑÒ¥§G{sr~qiµaqG��{~¯|§°v���q5§�ÊfqÔ��q

R(N) = O(N)¤|§.{~�©�<{~r §.����}��R�|{���{s§.��xzy|{s�|v�Í.{~�a�|q�[rs{~�|q°v���qH�|qG{��|v8}�{�qW��{�{Ñ}�qG��v<{sr ¦ ���d§.q.�f{sxRq.��}��9¯��|�Ôv�� N����}�}��a{~�|��{~q.xR{f�|{®£|�R���ar~�9��v8}��f¤{~r }�qGx ¦ ���|{�§°v�r~§.�ar~�z��qGr�v8}�{~µ���v�rsrsv ¦ ���d§.qG�|£|��v��|{ѵaqG�³}�vfº

T (N) = O (N · log2(N))±¡Ö|¸wï�î�¶

²³£�v�r~��{sv���{���{svDr�vD§G�ax ¦ rsqG����{Ñ}�Ø5�|{ §.v�rs§G�ars�Ô�a��{~´a{s��v8rsq T (N)¤ ¦ £|��§�Ê|�<�f{l}�{ ¦ � ¦ ��rs{s�f�ax¥{sv�rsq8¤§G{s�d�<�|q.r�}�{ ¦ �

T (N) = O(Na), a ∈ R.±¡Ö|¸ ï�Ö³¶

� µ³µd{�v�xRq.��}�q8¤çx¥{~�|�a��qP��r�vT§G�ax ¦ rsq.����{Ñ}�ØH�a��{s´a{~��v���{svi±¡²³£|{s�|�f{�r�t¾q.� ¦ ���|q.��}�q a ¶ q ¦ {�� ¦ {s§G§.�ar~���v���Ø[{sr�}�qGx ¦ �o�f{d§.v�rs§G�ars�ov�r³²³£�v�r~q^��{fv8����{ѵ8vov ¦f¦ rs{~§°v��|�f�[{~r ¦ ��{~�|§.{ ¦ {s� �¨¬�� ���¨¬d�W�Q����Èiª��Q«������{~� ��´a�|{�§.v����|¤�§G�axz£|�f²d£fq�¤®q.�����B��v���Ø��|qGrsrut �a���|{s�fq­�|{N · log2 N

¸!©{^�a����q.��µ8v¿§�Êfq�{sr ¦ ��{s�|§G{ ¦ {~���|qGr �¨¬�� ���¨¬d���Q�i��Èiª��Q«����#§G�a�|�|£|§Gq�� ¦ �a��}�v8�|q°v�xRq.��}�q�v�]}���£©}�}�£f��q�|{H§.v�rs§G�ars� ¦ v���v8rsrsqGrsq8¸ ���

N = 2ν ¤�rsq ¦ v8��}�{~Í.{~�a�|{^�|q.{H�|v8}�{ ¦ { �*qGÒR§G{sq.��}�{���a�|�Rrsq ¦ {�� �Æ� ¦ �a��}�v��fq.q"!�¤�q9���a�|� �Æ��§�Ê|qGxBv8}�{sÍGÍ°v8}�q"!<{~��¯�´a£|��v ¦ q.� N = 8¸

0 1 2 3 4 5 6 7

⇒� r~´a�a��{Ñ}�xR{�vR�|qG§.{~xBv�ÍG{s�a�fq�|q.r�}�q.x ¦ �

0 1 2 3 4 5 6 7

N/2 N/2

⇒� r~´a�a��{Ñ}�xR{�vR�|qG§.{~xBv�ÍG{s�a�fq{s�� ¡��qG²³£|q.�|Í.v

0 1 2 3 4 5 6 7

N/4N/4N/2

⇒ � r~´a�a��{Ñ}�xR{ ! ¦ rs{Ñ} � �ov��f{��Y[Z¡YoZ¡Y � � ��e�cfkßb ��k � gon � k ����j kme�`in�`on �Dbfn�� �Ôe �

N = 2ν

Ói{ѵd{s�|{sv�x¥�R{=��v8}�{E�|{P{~�|´a��q.�����x(n)

{~�Á§°v�x ¦ {~�a�|{V�|{ ¦ �a�]}�� ¦ v8��{=qz§°v�x ¦ {~�a�|{V�|{ ¦ �a�]}���|{~� ¦ v8��{

n =

{2 · r

2 · r + 1

±¨Öf¸wï ��¶�E�a����{sv�x¥����§.��{~µaqG��q8¤®}�q.�³£f}��¥§G�a��}��R§�Ê|q

W 2N = WN/2

¤×�� '

Page 30: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

X(k) =

N−1∑

n=0

x(n)W nkN

(

WN = e−j 2πN

)

=

N/2−1∑

r=0

x(2r)W 2rkN +

N/2−1∑

r=0

x(2r + 1)W(2r+1)kN

=

N/2−1∑

r=0

x(2r)W rkN2

︸ ︷︷ ︸

+W kN

N/2−1∑

r=0

x(2r + 1)W rkN2

︸ ︷︷ ︸

G(k) H(k)

= G(k) + W kN · H(k)

%��)Gf¤~×�¤�¸.¸.¸G¤®p ��×.

±¨Ö|¸ ï ��¶

½ £|{s�|�f{ErsvR}���v��� ¡����x¥v8}�v���£N ¦ £|��}�{ X(k)

��{ ¦ £��B��}�}�q.�|qG��qz��{s§.��xzy|{s�|v��|�|�Rrsq5�|£|q}���v��� ¡����x¥v8}�qA��£N/2 ¦ £|��}�{ G(k)

qH(k)

¤­}�qG�d£©}�� §G�a��}�� §�Êfq»�����|� ¦ q.��{~�©�f{s§�Ê|qA�|{¦ q.��{~�©�f� N/2ºG(k) = G(k + N/2)

qH(k) = H(k + N/2)

¸

−1

G(k)

H(k)

X(k)

X(N/2 + k)

W kN

����� � � � ��� � ��! � ;>=>9+;>;>9+=?4������������� ����

ÕVvÔ��{~§.�axDy|{s��v8Í.{s���|qHÊ�v5{sr�§.����}��Ô�|{�£|��vÔxR�arÑ}�{ ¦ rs{s§.v�Í.{~�a�|q ¦ qG� W kN

qo�f{l£|�|vÔ����x¥x¥vf¸ÕVv­§.�ax ¦ r~q.����{~}�Øi�|{f§.v�rs§G�ars��±¨§�Ê|q#{~�|{sÍG{�v�r~x¥qG�³}�q�q.��v<�|qGrsrut �a���|{s�fqX�|{ N2 ¶E�|{ѵd{sq.�fqH²³£|q.r~r�vi�|{�|£|qX}���v8�� ¡�a��xBv8}�q��|{f�|{~x¥qG�|��{~�a�|qN/2

±¨§G{s�d�2·(N/2)2 ¶¼¤ ¦ { �Ô{sr³§.����}��i�|{f��{s§.��xzy|{s�|v�Í.{~�a�|q¦ v���{�v N

q5��{�Ê�vN2 → 2

(N

2

)2

+ N < N2 ¦ qG� N > 2.±¡Ö|¸wï 'a¶

� ²d£fq.��}�� ¦ £|��}�� ¦ �a����{�v�xR�*��{sv ¦|¦ r~{s§.v���qÁ{~r ¦ ��{s�|§G{ ¦ {~�*�|q.r �¨¬�� ���¨¬d�»�Q����Èiª��Q«����zv�r§°v8rs§.��rs�)�|q.r~rsqA�|£|qA}���v��� ¡����x¥v8}�qA�|{N/2 ¦ £|��}�{ �zrsv)§G�ax ¦ rsqG����{Ñ}�Ø)�|{9§°v�r~§.�ar~�)�|{~µ�q.��}�v¦ ��� ¦ ����Í.{~�a��v�r~q<v

2

(

2

(N

4

)2

+ 2N

4

)

+ N = 4

(N

4

)2

+ N + N.±¡Ö|¸wï (�¶

�� (

Page 31: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

-

-

-

-

-

-

-

- --

--

-

-

-

-

--

--

-

-

-

-

-

-

-

-

BBBBBBBBBBBBBBN

BBBBBBBBBBBBBBN

BBBBBBBBBBBBBBN

BBBBBBBBBBBBBBN�

��������������

���������������

���������������

���������������

� ë ã�í� ë ��í

� ë ì¼í� ë ��í� ëwámí� ë ��í� ë���í� ë���í

� ë ��í� ëwámí� ë ã�í� ë ��í

^ë �¼í^ë á]í

^ë �¼í^ë ã�í

ë �¼í

ë ã�í ë �¼í ë ìQí

ë á]í

ë �¼í ë ��í

ë���í

ã Û"-çæ.èué�� ���

Û"-çæ.èué � ���ãW 1

N

W 2

N

W 0

N

W 3

N

��� ������� ��� � � !�� 4�5�� ,@5-,/.+%'5:5�4 ����� � ,@&)(+5-%';?4);>=?4�&)*:;�% .09 % � ��� $�9N/2

� 4�&)(+*-,@2+*

�Ær ¦ ���©§Gq.�|{~x¥qG��}��¿}�q.��xR{s�|v��|� ¦ � ν = log2 Nv ¦f¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|{��|qGr ¦ ��{s�|§G{ ¦ {~� �Æ�|{~µd{s�fqqQ}Ô{~x ¦ q.��v !�¤l²³£�v��|�|���{�v�����{~µ8v�v�}���v8�� ¡�a��xBv8}�qz��£A£|�1§°v8x ¦ {~�a�|q±¨v�§.�a�]}���³£|rsr~�³¶Q¤�q�{~�§G�a����{s� ¦ �a�|�fq.�|Í.vor�vH§G�ax ¦ rsqG����{Ñ}�Ø#�|{ѵ©{~q.�|q ¦ ��� ¦ �a��ÍG{s�a��v8rsq�v N ·log2 N = N ·ν � ¦ q.��v8Í.{s���|{±¡x¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|{u¤a����x¥xRq�¤�v8§.§.qG����{Ev8{���v8}�{�¤�¸Ñ¸~¸X¶¼¸

� ����qG��µd{�v8x¥�W§�Ê|qX� ¦ �a����{syf{srsq��f{sxRq.Í.Í.v���q�{~r��³£|x¥qG���[�|{�xR�ar~}�{ ¦ r~{s§°v8Í.{s���|{ç§�Ê|qX{~��}�q.�]µaqG� �´a���|���|q.r~r�vz��{s§.��xzy|{s�|v�Í.{~�a�|q�¸ � r~rs�z��§.� ¦ �|¤|§G�a���{Ñ ¡q.��{~x¥qG��}���v�r~r�v5q.²®¸�Ö|¸wï �f¤f�<��£fÒR§.{sqG��}�q§.v�rs§G�ar�v���qi�|qGrsr~�D��}�q.����� ¦ v��������|q.r §.{s§Grs�z�f{ ��{~§.�axDy|{s��v8Í.{s���|qo��{�v X(k)§�Ê|q

X(k + N/2)¸

!©{�Ê�v{

X(k) = G(k) + W kNH(k) k = 0, 1, . . . , N/2 − 1

X(N2

+ k) = G(k) + WN/2+kN H(k) = G(k) − W k

NH(k)

±¨Öf¸wïaïa¶¦ �a{s§�ÊfÎ W

k+N/2N = −W k

N

¸Õ�t � ¦ q.��v�Í.{~�a�|q��|{���{s§G�axzy|{~��v�Í.{~�a�|qz��{~rsrs£f��}���v8}�v¥{s�Ï¢P{s´|¸�Öf¸~×°Öq ¦ ��q.�|�|q¥{sr3�f�ax¥q��f{���.�d�u�Æ�Q«���� �mº*q.����v*�|{~µd{sqG�|qÁrsv»x¥��r~}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�fq��|q.´ar~{ H(k) ¦ qG��{o ¨v8}�}��a��{ W k

N

±¨�|qQ}�}�{�������¨¬�¬f�s�HÇG�d�Q�Æ��« ��¶o§G�a�

k = 0, 1, . . . , N/2 − 1¤���q.´a£|{Ñ}�v���v

N/2Ó­¢�� ��£

2§.v�x ¦ {s�a�f{

G(k)q

W kNH(k)

¸ÔÕ�����§�Ê|qGxBv��|{P§°v�r~§.�ar~�B����v ¦|¦ ��qG��qG�³}�v8}��{~�A¢P{s´|¸<Öf¸~×°Öf¤ Ö|¸Ñ× �©¤�Öf¸~×��©¤Ö|¸Ñ× '©¸� �¥��´a�|{|{Ñ}�q.��v�Í.{~�a�|q#�|qGrsrutwv�r~´a�a��{~}�xR�[��q.�]}�v��f�Dv������d§.{sv8}�q

N/2�my|£f}�}�qG����� !WqW²³£|{s�f�|{�{s�}���}�v�r~q<��{�Ê�v8�|�|�

N

2· ν ±¨Ö|¸Ñ×3G0Ga¶

×���ï

Page 32: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

-

-

-

- --

--

-

- -

-

-

-

AAAU

AAAU

AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAA�

����������

�����������

� ë ì¼í

� ë ��í

� ë ��í

� ë �¼í

� ë á]í

� ë ã�í

� ë �¼í

ì Û"-çæ.è�é�� ���

ì Û"-çæ.è�é�� ���� ë ã�í

W 1

N/2

W 0

N/2

����� � ��� ��� � �E! � 4�5�� ,@5-, .+%'* � , %���'*-%'2 ;>* .+%'5:5�4 ����� ;>=?4�&)*:;�% .09 % ����� $>9N/4

� 4�&)(+*-,@2+*

y|£f}�}�qG������¸�Õ=vÔ§.�ax ¦ rsqG����{~}�Ø9�|{�£|��vDyf£f}�}�q.��� �B��{s��£fr~}�v9�|{�£|��v5x¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|qX§.�ax ¦ r~q.�?���v©¤X�|£fq����ax¥xRq�§G�ax ¦ rsq.����q8¤T²³£�v8}�}����A� ¦ q.��v�Í.{~�a�|{H�f{#rsqG}�}�£|��v �8��§.��{Ñ}�}�£|��vÁq£|�Ëv�§.§Gq.�����v�r~r�vÔ}�v�ylqGrsrsvz§.�a��}�qG�|q.��}�qÔ{� ¨v8}�}��a��{W k

N

¸

WN2

WN3

WN1

WN0

2WN

2WN

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

WN0

X[0]

X[1]

X[2]

X[3]

X[4]

X[5]

X[6]

X[7]

x[0]

x[2]

x[6]

x[1]

x[5]

x[3]

x[7]

x[4]−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

����� � � ������� � ! � *�4�13=?4�&)&/4 .0*�� 9 $�$?, .0*�9+2"4 ����� $>98

(+9+2 ;>* � ,@2 .+% �'*:&/4�� *-,@2 % 2 %'5 ;�%'&)( , �.+, � % *�. 4�;>*�*:2 *:2+13=�% $�$�, $�,@2 , ,@=�.0*:2"4�;>*�*:2 &7,8.+, . 4 (+=�, .09+=>=�% 4�5:5�� 9 $ �'*:;?4 5�4;>=?4@$BAC,@=>&/4�;?4<*:2 ,@=�.0*:2 %���2"4�;>9+=?4�5-%��

ÕVvR�]}���£©}�}�£f��v��|q.r~r�vzy|£f}�}�qG������xR�a�]}���v©¤|{s�|��r~}���q�¤©£|��t¾£f}�{~rsq ¦ ��� ¦ ��{~qG}�Ø��fq.rsrutwv8rs´a�a��{~}�x¥�|¸!©q[{s�|�f{s§�Ê|{sv�x¥�<§G�a�

vett(N)£|�¥µ�qG}�}��a��qi�|{

N ¦ ����{sÍG{s�a�f{|qixRq.xR�a��{~Í.ÍG{�v�xR�­�|qGrsrsq ¦ ��{sxRqN/2 ¦ �a��{sÍ.{~�a�|{ G(k)

q9�|q.r~rsq­��q.§.���|�|qN/2 ¦ ����{sÍG{s�a�f{ H(k)

{vett(k) = G(k) k = 0, 1, . . . , N/2 − 1vett(k + N

2) = H(k),

±¨Ö|¸Ñ×3Gf×綧.{���{Vv�§.§G�a��´�q5��£|y|{Ñ}���§�Ê|q5� ¦ �a����{~y|{sr~q­��{~��§.��{~µ�q.��q9rut qG²�¸o±¡Ö|¸wï�ï�¶X§.��x¥q

× ' G

Page 33: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

p = W kN · vett(k + N/2) k = 0, 1, . . . , N/2 − 1

vett(k + N/2) = vett(k) − pvett(k) = vett(k) + p

±¨Ö|¸Ñ×3G+a¶q�²³£|{~�|�|{H���çµd��v���§G��{~µ�q.��q�{X��{s��£|r~}�v8}�{

X(k){s�*�����|{~�|q���v8}�£|��v8rsqA±

X(k) = vett(k)¶D��£f{��v�}�{

G(k)q

H(k)±¨§.{~�©�� ¨v���q�{^§.v�rs§G�ars{ �m��£fr ¦ �a�]}�� !m¶Q¸ ½ £�v8�³}����fqG}�}�� ¦ q.�5{sr3��{s��£|r~}�v8}��¯��|v�rsq8¤Pµ8v�rsq¥v��|§�Ê|q ¦ qG�D{sr�§.v�rs§G�ars� �|q.r~rsqR�|£|qR}���v8�� ¡�a��xBv8}�q¥�f{X�|{~x¥qG�|��{~�a�|q N/2

¤G(k)q

H(k)¤ ¦ q.�D²d£fq.rsr~�K�|q.r~rsq¥²d£|v8}�}����K}���v��� ¡�a��xBv�}�qB�f{H�|{sxRq.�f��{s���|q N/4

¸~¸Ñ¸ ½ £�v��f�|�K��{v�����{ѵ�v¥v�r ¦ ��{sxR�B�]}�v��f{s��{~�¿§.£f{3��{E§°v�r~§.�arsv��|�¥}���v��] ¡�a��x¥v8}�qÔ��£K�|£|q ¦ £|��}�{�¤ §G{P��{3v�§G§.�a��´aq¦ q.� �<§�Ê|qW{f��v8}�{f�|{©{s�|´���q.����� x(n)�|qQµa�a�f�5qG����q.��qWxRq.xR�a��{~Í.Í.v8}�{³{s�

vett(n){s�z£|� �Æ�a���|{~�|q� ¦f¦ �a�]}�£|�f� !�¸ Õ�t �����|{~�|q¥�f{s��§Gq.�|�fqB��v�r~r�t v ¦|¦ r~{s§.v�Í.{~�a�|qz��{ ¦ qG}�£©}�v��fq.rsrsv ��q.´a��r�v�|{�§°v�r~§.�ar~��|{ £|��vz}���v��� ¡�a��xBv�}�v ¦ q.�#��{~§.�axDy|{s��v8Í.{s���|qo�f{��|£|q<}���v��� ¡����x¥v8}�qo§.�a�]}���£f{~}�q<��£|{�§°v8x ¦ {~�a�|{�|{ ¦ �a��}�� ¦ v8��{�q[�|{s� ¦ v���{u¸ !©q[²³£|{s�f�|{®��{�}�{~q.�|qW}���v�§.§G{�v9�|q.r~r�v<��}��a��{sv9�f{�£f�B§°v8x ¦ {~�a�|q x(n)�|qGr ��q.´a��v8rsq­��v5}���v8�� ¡�a��xBv���qo�fq.rsrsvÔ§G�a��}���£|ÍG{s�a�|qi�|q.r~r�t v�rs´a����{~}�x¥�f¤���{�}����çµ8vD§�Êfq�¤|��§.��{Ñ}�}��

n{~� yf{s��v���{s�n = bν−1 · 2ν−1 + · · ·+ b1 · 21 + b0 · 20 ≡ (bν−1 · · · b1b0)2 ,

±¨Ö|¸Ñ×3Gaî�¶¦ q.� ¦ ��}�qG�H ¨v���q9{�§.v�rs§G�ars{ �m��£fr ¦ �a�]}�� !­�9�|q.§Gq.����v���{~�¥��§.��{~µaqG��q x(n)

{s�vett(k)

¤��|��µaqk ≡ (b0b1 · · · bν−1)2 .

±¨Ö|¸Ñ×3G�Ö³¶��{P��}�}�{sqG�|qz��v8rsr�v���§G��{Ñ}�}�£f��vB�|{

n{s�¿y|{s��v8��{s�f¤�r~q.´a´�q.�|�|�B{Py|{Ñ}­��v�r=xRq.�|����{s´a�|{ѯ�§°v�}�{~µ���v�r¦ {����{s´��|{~¯�§.v8}�{ѵa�|¸

� ��qG��qGx ¦ {~�|¤|�|qGr�§°v���� N = 8{���v8}�{��|qGµ��a�|�Rq.����q.��qÔ ¡�a���|{~}�{ �|qGrsr�t¾�a���|{s�|q

vett = [x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7)] .� ¦ ������{~y|{sr~q � ¦ v��]}�{~��q"!H§.�a�B{��|v8}�{ x(n)

xRq.xR�a��{sÍ.Í.v8}�{�{~�¥�����|{~�|qo�|v8}�£|��v�rsqWqo��}�}�q.�|qG��qrsv�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vzx¥qGx¥�a��{sÍGÍ°v8}�vzv �my|{Ñ}#����µaqG��§G{�v8}�{ !<§G�axRq<��{ ¦ �a�]}�v8}���{s� ¢P{s´f¸3Ö|¸Ñ×�(f¸

WN2

WN3

WN1

WN0

2WN

2WN

WN0

WN0

2WN

2WN

2WN

2WN

X[0]

X[2]

X[7]

x[0]

x[2]

x[5]

x[7]

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

X[6]

X[1]

X[4]

X[3]

X[5]

x[1]

x[6]

x[3]

x[4]

����� � � � ����� �E! � *�4�13=?4�&)&/4<.0*�� 9 $�$?, .0*�9+2"4 ����� $�98

(+9+2 ;>* � ,@2 .+% �'*:&/4�� *-,@2 %62 %'5�;�%'&)( , �.+, � % *�. 4�;>*�*:2 *:2+13=�% $�$�,7$?,@2 ,<*:2 ,@=�.0*:2 %���2"4�;>9+=?4�5-%��

× 'd×

Page 34: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

Y[Z¨Y[Z�� � � �^e�cfkÆb ��k ��gon � k ����j kme�`in¹km` ��cfn��Hhin�`oj � �N = 2ν

!©q9�|{ѵ©{~�|{�v8x¥�Ô´ars{N��v8}�{

x(n)�fq.{��|£fq5yfrs�d§.§�Ê|{

x(n)¤n = 0, 1, . . . , N/2− 1

¤fqx(n)¤

n = N/2, N/2 + 1, . . . , N − 1¤|rsv�Ó­¢����|{

x(n)��{ ¦ £��R��§G��{~µ�q.��qÔ�|qGrsrsvD ¡�a��x¥v

X(k) =

N/2−1∑

n=0

x(n)W nkN +

N/2−1∑

n=0

x(N

2+ n)W

(N2

+n)k

N

(

WN k

2

N = (−1)k)

=

N/2−1∑

n=0

[

x(n) + (−1)kx

(N

2+ n

)]

. ±¨Ö|¸Ñ×3G �a¶ v�rs§G�ar�v8�|�|����q ¦ v���v8}�v�xRq.��}�q5{�µ8v�r~�a��{ X(k)

�|{ ¦ �a��}�� ¦ v���{�q9�|{~� ¦ v���{���{��8}�}�{~q.�|q

X(2r) =

N/2−1∑

n=0

x(n) + x

(N

2+ n

)

︸ ︷︷ ︸

W rnN/2 r = 0, 1, . . . , N/2 − 1

g(n)

X(2r + 1) =

N/2−1∑

n=0

x(n) − x

(N

2+ n

)

︸ ︷︷ ︸

W nN

W rnN/2

h(n) ±¨Ö|¸Ñ×3G ��¶�Ær�§°v�r~§.�ar~���|q.r~r�v�Ó­¢�� ��£

N = 2ν ¦ £f�³}�{�µ©{~q.�|q9²³£|{~�|�|{���{s§.���|�|��}�}��|º�QÉDv�r�§.v�rs§G�ars���|{��f£|q9��q.´���v�rs{u¸

g(n) = x(n) + x(

N2

+ n)

n = 0, 1, . . . , N/2 − 1

h(n) = x(n) − x(

N2

+ n)

±¨Ö|¸Ñ×3G 'a¶§�Ê|q5§.�a����{~� ¦ �a�|�|q9v N/2

Ó­¢�� ��£ �|£|q ¦ £f�³}�{�¤ [x(n), x(N2

+ n)]�

�]ÉDv�rsrsvDxR�ar~}�{ ¦ r~{s§°v8Í.{s���|qW�|{ h(n) ¦ q.� W nN

�ÆÉDv�r�§.v�rs§G�ars���|{��f£|q5Ó­¢�� ��£N/2 ¦ £|��}�{u¤|£|��v���£ g(n)

q5rutwv8r~}���vD��£h(n)W n

N

¸

−1

Xm[p]

Xm[q]

Xm+1[p]

Xm+1[q]W n

N

����� � � ������� �E!�� ;>=>9+;>;>9+=?4������������� �����.+%'5:5�� 4�5:1 ,@=>*:;>&7, ����� 4<.+% �'*:&/4�� *-,@2 % *:2 A�=�%�� 9 %'2 � 4

× '8

Page 35: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

�Æ�¿²³£|qG��}��¥§°v����B��{ ¦ ��q.§G�a�|�|{~Í.{~�a��v��|�R{���v8}�{V�|q.{V�|£|q5y|r~�©§G§�Ê|{��|{ N/2��v8}�{�{s� x¥�d�|�§�Ê|qD£|��vR}���v��] ¡�a��x¥v8}�v���£

N/2��v8}�{V�|{�v�{�µ�v8rs�a��{��|{

X(k) ¦ q.� k ¦ v���{VqÔrutwv�rÑ}���v���q.x ¦ ��q��£N/2

�|v8}�{��f{�v�{�µ8v�rs�a��{ �|{X(k) ¦ q.� k

�|{~� ¦ v���{�¸!©qD��{= ¨v¥{srV§.�a��}����|q.r~r�v�§.�ax ¦ r~q.����{~}�Øf¤l��{=}�����µ8v¥§�Ê|qzv��|§�Ê|qz{~�Á²³£|q.�]}���§.v�����{~r ¦ ���d§.q ��|{~x¥qG��}����<µ�v8�³}�v�´a´a{~�a������{s� ¦ qQ}�}��Rv�r §°v�r~§.�ar~���|{s��qG}�}�����q N > 2

¸!©{ ¦ £ �Ô²³£|{~�|�|{�{~}�q.��v���q8¤���{�v ¦|¦ rs{~§°v��f�|�­r�v­��q.´a��r�v<v�r|§.v�rs§G�ars�<�fq.rsr~q#�|£|q#}���v��� ¡����x¥v8}�qH�f{�|{~x¥qG�|��{~�a�|q

N/2¤X(2r)

qX(2r+1)

¤çq^{sr ¦ ���©§Gq.�|{~x¥qG��}��WÊ�v[}�q.��x¥{~�|q��|� ¦ � ν = log2 N�]}�v��|{�²³£�v8�|�|�R§.{���{���{s�|£f§.q5v�r�§.v�rs§G�ars���|{N}���v��] ¡�a��x¥v8}�q­�|{�£|� ��v8}��|¸

W N0

W N2

W N0

W N2

−1

−1

W N0

W N2

W N0

−1

W N0

−1

W N0

−1

W N0

−1

−1

−1

−1

−1

W

W

N3

3

N1

−1

−1

x[4]

x[5]

x[6]

x[7]

x[0]

x[1]

x[2]

x[3]

X[0]

X[4]

X[2]

X[1]

X[5]

X[3]

X[7]

X[6]

����� � � � ����� �E! � *�4�13=?4�&)&/4 .0* � 9 $�$�, .0* 9+2"4 ����� $>98

(+9+2 ;>* � ,@2<.+% �'*:&/4�� *-,@2 %�*:2 A =�%�� 9 %'2 � 4

�ÆrP´a��v8 ¡��§G�a����{s� ¦ �a�|�fq.��}�q��z��{ ¦ �a��}�v8}��¥{s�K¢E{s´|¸<Ö|¸ 8GBq���{P�a����qG��µ8v�§�Ê|q���{3�8}�}�{~q.�|qD��v²³£|qGrsrs�¥�|{=¢P{s´f¸#Ö|¸~×�' ¦ q.� �ß}���v�� ¦ �a��{~Í.{~�a�|q"!�¤�§.{~�©�9{s��µ�q.��}�q.�|�f��{sr�µaqG�����B�|{ ¦ q.��§.�a����qG�|Í°vB�f{}�£f}�}�{^{���v�xR{�¤�r�v8��§.{sv��|�|��{~��v�rÑ}�q.��v8}�{P{�x¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v8}��a��{u¤�q�{~�³µ�q.�]}�q.�f�|�|¤P²³£|{~�|�|{u¤={��f�©�|{��f{{~�|´a��qG�����ϧG�a�˲³£|qGrsr~{H�|{#£|��§.{~}�vf¸ÌpoqGr#��q.´�£|{~}��|¤X{~�f ¨v8}�}�{�¤3µ�q.�|��q.xR�ϧ�Êfq���q¿v��)£|�Ë´a��v� ¡��|{ ��£|�������|{=��qG´a��v�r~qÔr~{s�|q.v���q9��q.��}�v�v������d§.{�v�}�v¥£f��vBx¥v8}���{s§.q9�|{V}���v��� ¡qG��{~x¥qG�³}��H(z)

¤�v8r´a��v8 ¡�K}���v�� ¦ �a��}��A��q.�]}�v1v������©§G{�v8}�� H(z)t ¸ÌpoqGr#§°v����»v8}�}�£�v8rsq H(z) = F¤Tx¥v8}���{s§Gq��|{¢��a£|��{sqG�#§�Ê|q9�5��{sxRx¥qQ}���{s§°vÔq5²³£|{~�|�|{�¸G¸.¸.¸

�Ær<§°v�r~§.�ar~�)�|q.r~r�vU}���v��� ¡�a��xBv�}�v ¦ £��Ëq.����q.��qÏ ¨v8}�}�� �m��£|r ¦ ����}�� !�º){s� ²³£|q.�]}�� §.v����Ì�¦ q.� �*��v8}�£f��v�r~q*±¨x¥v»�|��� �ay|y|r~{s´�v8}��a��{~�³¶Dq.��}���v���qK§.�a� {o��v8}�{ox¥qGx¥����{sÍGÍ°v8}�{W{s� �a���|{s�fq��v�}�£|��v�rsq­�fq.rsr~q ¦ �a��{~Í.{s���|{l��£|§.§Gq.����{~µ�qD�|{ £|��µaqG}�}��a��q ¦ qG�#��}�}�q.�|qG��q<{srl§.�dqGÒR§.{~q.��}�q X(k)¤

k ≡ (bν−1 · · · b1b0)2

¤f{s� ¦ ����{sÍG{s�a�fq n ≡ (b0b1 · · · bν−1)2

Y[Z¡YoZ�� � � ��e�cfkßb ��k � gon � k ����j kme�`in�`on �Dbfn�� �Ôe � � ���de ��n�`in�c ���mn¢P{~�|� v��A�a��vv�yfy|{�v�xR��§.���|��{~�|q.��v8}��{srP§°v�r~§.�ar~���|q.r~r�v�¢3¢�� §.���Ïy�v8��q ©¸ !©£ ¦|¦ �a�|{sv�xR�§�Ê|q9{~rl�³£|xRq.���

N�|{ ¦ £|��}�{���£|{�²³£�v�r~{ ��{lµ©£f�arsq­§.v�rs§G�ar�v8��q[r�vz¢3¢�� �f�a���{�vÔ£|��v ¦ ��}�qG�|Í°v�|{ zy�q.�|���º

N = p1 · p2 · . . . pν = p1 · q1±¨Ö|¸Ñ×3G (�¶

× '8î

Page 36: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

� ¦ �a����{sy|{~rsqÔv ¦|¦ r~{s§.v���qÔ{sr ¦ ��{s�f§.{ ¦ {s� �¨¬�� ���¨¬d�R�Q�#��Èiª��Q«����X{~�Áx¥�d�|���|v�q �lqG}�}�£�v���qp1}���v��� ¡����x¥v8}�q­��£

q1¦ £f�³}�{^±¨��µd{s§GqGµaqG����v�¶[v8�|Í.{~§�Ê|�9£|��v����arsv�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vD��£ N ¦ £|��}�{u¸

� ��v8rs�a´�v8x¥qG�³}�qivÔ²d£|v���}��D ¨v8}�}�� ¦ qG�Tr�vÔ¢3¢�� §G�a��y�v���q7©¤ ¦ ������{sv�xR�Ôq�� qQ}�}�£|v���q­£f��v�|qG§.{sx¥v�ÍG{s�a�|qD�|q.r3}�q.x ¦ �§.���|��{~�|q.��v��|�|� rsq p1

����}�}��a��qG²d£fq.�|ÍGq�¤3§G{�v���§.£|��v��|{�r~£|�|´aÊfq.Í.Í.vq1

¤8��}�}�q.�³£f}�qT�|qG§.{sx¥v��|�f�i§.��� ¦ v������ p1

{sr³��qG´a��v�r~qx(n)

±¡§.�ax ¦ �a�|q.��}�{ ¦ �ar~{~ ¨v���q^�f{©�a���|{s�fqp1

¶¼¸������q5§.������{~� ¦ �a�|�|���|�Rv�rsrsvD��§G��{~}�}�£|��vfº

n = p1 · l + r§.�a� 0 ≤ r ≤ p1 − 1

0 ≤ l ≤ q1 − 1

±¨Ö|¸Ñ×3Gaï�¶

� ��qG��qGx ¦ {~�|¤ ¦ q.� p1 = 3��{�Ê|v

x (p1l)

x (p1l + 1)

x (p1l + 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n

r = 0

r = 1

r = 2

0123456789

1011

ÕVv¥Ó­¢�� �|qGr���q.´���v�rsqx(n) ¦ £ �¥qG����qG��q5��§G��{~}�}�v�§.��x¥q

X(k) =N−1∑

n=0

x(n) · W k·nN =

=

q1−1∑

l=0

x(p1l) · W kp1lN + . . . +

q1−1∑

l=0

x(p1l + p1 − 1) · W k(p1l+p1−1)N =

=

p1−1∑

r=0

q1−1∑

l=0

x(p1l + r) · W k(p1l+r)N =

(

W kp1lN = W k·l

q1

)

� ���¿ä6-q1

Û/-çæ.èué=

p1−1∑

r=0

W r·kN

q1−1∑

l=0

x(p1l + r) · W k·lq1

︸ ︷︷ ︸

=

Y (r, k)

=

p1−1∑

r=0

Y (r, k) · W r·kN ±¨Ö|¸Ñ×a×3G�¶�|��µaqDrsq

Y (r, k)���a�|�

p1Ó­¢��¹��£

q1µ�v8rs�a��{=qÔ{=µ8v�r~�a��{

W rkN

§.�a�]}�{Ñ}�£|{~��§.���|�B{V ¨v8}�}��a��{V�|{��{~§.�axDy|{s��v8Í.{s���|q�± ��� ���¨¬�¬f�s��ÇG�d�Q�Æ��« ��¶¼¸× '�Ö

Page 37: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

�a�|��{s�|qG��{�v8x¥�|¤fv�²d£fq.��}�� ¦ £|��}��|¤®£|��v��|qG§.{~xBv�ÍG{s�a�fq ¦ v���{Vv q1

�fq.rsrut £f��§.{Ñ}�vX(k)

ºk = m · q1 + t

§.�a� 0 ≤ m ≤ p1 − 10 ≤ t ≤ q1 − 1.

±¨Ö|¸Ñ×a×a×ç¶� r~rs�a��vf¤d}�q.�³£f}��R§G�a��}��R§�Ê|q9rsq

Y (r, k)���a�|� ¦ q.��{s�d�|{s§�Ê|qi�|{ ¦ qG��{~�©�|� q1

{~�kqG����q.�|�|��|qGrsr~q9Ó­¢�� ��£

q1¦ £|��}�{Vq9²d£f{s�|�|{ Y (r, mq1 + t) = Y (r, t)

¤���{�Ê�v

X(k) =

p1−1∑

r=0

Y (r, k) · W r·kN

X(mq1 + t) =

p1−1∑

r=0

Y (r, t) · W r(mq1+t)N

±¨Ö|¸Ñ×a× a¶

�E�a����{sv�x¥����§.��{~µaqG��q

X(mq1 + t) =

p1−1∑

r=0

Y (r, t) · W r·tN · W rmq1

N

(W r·m·q1

N = W r·mp1

)

=

p1−1∑

r=0

Y (r, t)W r·tN

︸ ︷︷ ︸W r·m

p1

Y ′(r, t)

=

p1−1∑

r=0

Y ′(r, t) · W r·mp1

q9²d£f{s�|�|{ r�t¾£|��§G{~}�v���{���}�}�{sq.�fq<§.�axRqq1Ó­¢�� ��£

p1¦ £|��}�{�¸

�[{~q ¦ {~rs�a´av��|�|�|¤³rsvRÓi¢�� {~�|{sÍG{�v�r~q[µd{sqG�|q9§°v�r~§.�arsv8}�v×a¸#q�� qQ}�}�£�v��|�|�

p1

Ó­¢�� §.{�v8��§.£f��vR��£q1

§.v�x ¦ {s�a�f{ Y (r, k)

©¸#xR�arÑ}�{ ¦ rs{s§.v��|�|� ¦ q.� W rtN

r~qY (r, t)

��}�}�q.�|qG�|�|�Y ′(r, t)îf¸#q�� qQ}�}�£�v��|�|�

q1

Ó­¢�� §.{sv���§G£|��v���£p1

§.v�x ¦ {s�a�f{�¸!©{^��}�}�{sq.�fq�¤3{~�*v���v�r~�a´a{sv§G�a�*r�v�¢3¢�� �|{Xy�v���q ©¤3£|�|v �my|£©}�}�qG����� !B�|{T�f{sxRq.�|��{s�a�|q

p1¸ !dq<{s��}�qG� ¦ ��qG}�{sv�xR�Dr�vÔxBv ¦f¦ vzÖ|¸Ñ×a×�îD§G�ax¥qi£|��v���{~��§.��{~}�}�£|��vÔ�|{ x(n)

{~��£|��v�x¥v8}���{s§Gqp1 × q1

¤Ev8rsr�t¾� ¦ q.��v�Í.{~�a�|q (1)§.������{~� ¦ �a�|�|q�£f��v ��q.��{sq��|{�Ó­¢�����£|r~rsq���{s´aÊ|q�§�Êfq¥�|qGrsrut � ¦ �qG��v�ÍG{s�a�|q

(2)µ�q.�|´a���|�ÁxR�ar~}�{ ¦ r~{s§°v�}�q ¦ q.�Ô{� ¨v8}�}��a��{ W rt

N

q.�»{s�f¯��fq�¤3v8rsr�t¾� ¦ q.��v�Í.{~�a�|q (3)§G�a����{s� ¦ �a�|�fq­£|��vz��q.��{~q­�|{ }���v��] ¡�a��x¥v8}�qi��£frsrsqo§.�ar~�a�|�|q8¤f§G�ax¥qo{sr~rs£|�]}���v�}��D{~��¢P{~´a£|��v5Ö|¸ ©×�ÆrV§.�a�]}��|¤l{s�}�q.��x¥{~�|{V�|{V§.�ax ¦ r~q.����{~}�Ø¥�|{V§°v8rs§.��rs�|¤ ¦ q.�oq �lqG}�}�£�v���q p1

}���v��] ¡�a��x¥v8}�q5�f{r~£|�|´aÊ|qGÍ.Í.vq1

q9��{~§.�axDy|{s��v8��rsqo�9�|� ¦ �R{~r ¦ ��{sxR� ¦ v������T1 ≡ p1 · q2

1︸ ︷︷ ︸

+ (p1 − 1) · N︸ ︷︷ ︸

p1

}���v��� ¡����x¥v8}�q+��{s§G�axzy|{~��v�ÍG{s�a�|q ±¨Ö|¸Ñ×a×�î�¶

�[{sv ¦|¦ r~{s§.v��|�|�z{~r ¦ ��{s�|§G{ ¦ {~����}�}�q.�|{sv�xR�|º× ' �

Page 38: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

x(8)p1

q1 Y (r, k)Y ′(r, t) W (k)

����������� ��� � � ! � � � %'&/47.0*�$ � ,@&)(�,3$>* � *-,@2 % .+%'5:5�4 ��� � $�9p1 · q1

(+9+2 ;>*

N = p1 · p2 · . . . · pν = p1 · q1 = p1 · p2 · q2

±¨Ö|¸Ñ×a×°Ö³¶�|��µaq

q1 = p2 ·q2¸ �=�a����{�v�xR�i²³£|{~�|�|{f��£|�|�|{ѵd{s�|qG��qH£|rÑ}�qG��{s����xRq.��}�q^�a´a�|{©Ó­¢��)��£

q1¦ £|��}�{{s�

p2}���v��] ¡�a��x¥v8}�qT��£

q2¦ £|��}�{u¸ �Æ��²d£fq.��}��DxR�©�f�<r�v­§.��x ¦ r~q.����{~}�Ø­�|{|§.v�rs§G�ars�<�|qGrsrsv<Ó­¢����£

q1¦ £|��}�{Vµd{~q.�|q9��{~�|��}�}�v

��vq21

vp2 · q2

2 + (p2 − 1) · q1Õ�q5§G�ax ¦ rsqG����{Ñ}�Øz�|{�§.v�rs§G�ars�f¤f��}�}�q.�³£f}�q9{~}�qG��v��f�|��rsq<��§G�ax ¦ �a��{sÍG{s�a�|{u¤©�f{~µaqG��}�v��|�fº

T2 ≡ p1p2q22 + p1q1 (p2 − 1) + (p1 − 1) · N = p1p2q

22 + N · (p1 + p2 − 2)¸¸¸

Tν ≡ N · (p1 + p2 + . . . + pν − ν) ±¨Ö|¸Ñ×a× �a¶Ó­vo²³£|{���{³§°v ¦ {~��§Gq^��£|y|{Ñ}��[§�Ê|q9�����������Q� � � ���Ô�d�Q� �Q«����s� � ¬d������Èiª���«¼«����Ð���°ª���Wª������Q���.���s�Ä��Q�����9���zÇG���¨�m��«¼� ª���zª������������lª������Q���.���s�ÆÉ���������È����m�9���zÇG���¨�Æ��«Q� ª�«¼��È���¸

� ��qG��qGx ¦ {~�|¤ ¦ q.� N = 72���a�|� ¦ ������{~y|{sr~{lr~q<�|q.§G�ax ¦ �a��{sÍG{s�a�|{

N = 72 = 4 · (18) = 4 · (2 · 9) == 2 · (36) = 2 · (2 · (18)) == 2 · (2 · (2 · (3 · (3))))q9r�t¾£|r~}�{sx¥vÔ��{s��£fr~}�vzrsv ¦ {��§G�a��µaq.�f{sq.��}�q�¸poqGr�§°v���� ¦ v8��}�{~§.�arsv���qi{s�§.£|{uº

p1 = p2 = . . . = pν , p N = pν ±¨Ö|¸Ñ×a×���¶r�v±¡Ö|¸Ñ×a× �a¶T�|{ѵaqG�³}�v

Tν = N · (p − 1) · ν ±¡Ö|¸Ñ×a× 'a¶��v�r~r�v5²d£|v�rsqo� ¦ �a����{~y|{sr~qo§G�a�|��}�v8}�v8��q­§�Ê|q<rsvD§.��x ¦ r~q.����{~}�ØD�|{l§°v�r~§.�ar~�Ôµd{sqG�|q­xR{s�|{~x¥{~Í.Í°v�}�v��§Gq.´ar~{sqG�|�|�A{srXx¥{~�|{sxR�

p± ¦ qG��q.�.¸*��q N = 81

§.�a��µd{sqG�|q v�����£|x¥qG��qp = 3

q�²³£|{~�|�|{§.���|��{~�|q.��v���qN = 36 v��|ÍG{s§�Ê|� p = 9

q9²³£|{s�f�|{N = 92 ¶Q¸

�Pv8rs{#§.���|��{~�|q.��v�Í.{~�a�|{#�����|�Ï�fq.r#}�£f}�}��1´aq.�fq.��v8rs{#q�|�a�)}�qG�|´a�a�|�ϧ.�a��}��Ï�|{W�|qG����£|��v¦ q.§.£frs{�v8��{~}�Øf¸VpoqGrsrsvo��§Gq.rÑ}�vi�|qGr©}�{ ¦ �i�|{d��£|�f�|{~µd{s��{s�a�fqT�|qGrsr�t¾{s�f��{sqGx¥q��|qG{©�|v8}�{u¤��H� ¦f¦ �a�]}�£|�f�}�qG�|q.� ¦ ��q.��q.��}�qDv�rs§G£|�|q<§°v8��v8}�}�q.��{s�]}�{s§�Êfq<�|q.r~r�v�Ó­¢�� q �lqG}�}�£�v8}�vR��£�{~�|��{~q.xR{ �|{p ¦ £|��}�{�º

× ' �

Page 39: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

p = 2º�r~q<� ¦ qG��v�ÍG{s�a�f{���{���{s�|£|§G�a�|�Rv����axRxRqR±¨§.��x¥q­µd{s�]}���{s� ¦ ��q.§Gq.�|qG�|Í°v�¶¼¸

p = 4º�rsv �my|£©}�}�qG����� !B§.�a����{~� ¦ �a�|�|qG�³}�q��|{ѵ©{~q.�|q¥£|��vKÓ­¢��L��£)²d£|v8}�}���� ¦ £f� �}�{ �Ì�fq.rsrsv �Æy|£f}�}�q.� ��� !��f�a�(§.{ ���a�f� x¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|{¥��q.v�rs{ß± W n

4 =1, j,−1,−j

¶¼¸p = 8

º�rsvUy|£f}�}�q.� ��� �|{ѵ©{~q.�|qK£f��v)Ó­¢�� ��£ ��}�}�� ¦ £|��}�{u¸ !©{<Ê�v8�|�|�)���ar~�4x¥��r~}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�f{=±¨rsq9v8r~}���q 4

�����|�¥y|v���v�r~{�q9��{���{~�|£|§G�a�|�Rv����axRx¥q°¶Q¸� r~{³v�rs´��a��{Ñ}�xR{ ¦ {��zqGÒR§.{~q.��}�{d�����|�­²³£|q.r~rs{³§�Ê|qH£©}�{sr~{sÍGÍ°v��|�#}�v�rs{ ¦ q.§.£frs{�v8��{~}�Øf¸V¢���v[²d£fq.��}�{� ¦ {s§G§°v��|�´ar~{Pv8rs´a�a��{~}�x¥{��|{^�ƪ������ DÆ«���¬����Ï�fq.{3²³£�v�r~{P��{3q.��q.´a£|���|��}���v8�� ¡�a��xBv8}�q �Æx¥{~��}�q !Ô��£

�q<Ö ¦ £|��}�{�¸

Y[Z¡YoZ�� _ � ���]n���n�`^b ��jlk]e�`on �©h ��b©cfh[b³b©hocfn � ��� ����� ��� ��1gin � � �����!©£ ¦|¦ ���|q.�|�f���|{Eµ��arsqG�i§°v8rs§.��r�v���qÔrsvB¢3¢��¹��£Ky|rs�d§.§�Êf{Er~£|�|´aÊ|{

N�fq.rP��q.´a�|v�rsq

x(nT ){s�}�q.x ¦ ����q°v�r~q�¤���{ ¦ £�� ¦ q.�|��v���qD�|{P£f}�{sr~{sÍ.Í.v���q9�|£fqzy|£ �lq.�o�|{PxRq.xR�a��{sv�qz�|{={sxRxBv�´av�Í.ÍG{����v8��q�v�rÑ}�q.����v8}�{~µ8v�xRq.��}�q5£|�Ky|r~�©§G§.��{s�¿£|�Ky|£ �lq.�<xRq.��}���qz��£frsr�t v�rÑ}����¥��{Eq.��qG´a£|q�r�vB¢3¢��qµd{s§.qQµaqG����v©¸ ÕVvA ¡��q.²³£|qG�|Í°vÏv�rsrsvÁ²d£|v�rsq{srT��q.´���v�rsq�µd{sqG�|q §°v�x ¦ {s����v8}��K�fqG}�qG��xR{s��vKrsv§.v ¦ v�§G{~}�Ø��|{X§.v�rs§G�ars� ��{~§�Ê|{sqG��}�vf¸ �Ær^}�qGx ¦ �¿�|{^§°v8rs§.��rs� �|q.r~r�v¿¢P¢�����£*£f�*y|rs�d§.§G�¿�|{N��v�}�{�¤

TFFT

¤��fqGµaq5���d�|�|{~�� ¨v���q<r�vz�|{~��£|´�£�v�´ar~{�v��|Í.vfºTFFT < N · Tc =

N

Fc

±¨Ö|¸Ñ×a×�(�¶�|��µ�q

Fc = 1/Tc�9r�vD ¡��q.²³£|q.�fÍ°v¥�f{�§°v�x ¦ {s����v�xRq.��}��|¸

Buffer

Buffer

2

1

ALU

RAM

x(n) X(k)

W kN

����� � � ����� � � !�� � � %'&/4/.0* � 4�5�� ,@5-,7.+%'5:5�4 ����� � ,@2 .+,@(+(+*-, �+9 �E%'=

× ' '

Page 40: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

�a�|��{s�|qG��{�v8x¥�|¤ ¦ q.�H��q.x ¦ rs{~§.{Ñ}�Øf¤�{~r�§.v���� N = 2ν ¸ �W{s§G�a����v8�|�|�D§�Êfq­r�vÔ¢3¢�� Ê�vD£f��v��}���£f}�}�£|��v�{s��}���{s�|��q.§°v8x¥qG�³}�q ¦ v���v�rsr~q.r�v�±¨§G�a� N = 2ν ¤�r�t v�rs´a����{~}�x¥���|{3¢3¢�� ¦ £��q.����qG��q¦ q.�|��v8}��­§G�axRqT��£f�|�|{~µd{~���­{~� ν�]}�v��|{©§.{sv���§G£|�|�­�|qG{f²³£�v�r~{³§.�ax ¦ ����}��i��v N/2

y|£f}�}�q.� ��{sqG��¶¦ �a����{�v�xR� ¦ q.�|��v���q��|{P�|{~µd{s�fq.��qÔ{sr=}�q.x ¦ ���|{3§.v�rs§G�ars�¥�|{3§°v©¸ νµ��ar~}�qz�|{s� ¦ ���|q.�|�f���|{ ν£|�|{Ñ}�Ø��|{�§.v�rs§G�ars��§�ÊfqÔrsv�µ��a��v8�|��{s��§°v�}�q.�|vR�|{�xR�a��}�v8´a´a{s��± � ¦ { ¦ q.rs{~�|q"!m¶Q¸

ingresso

Datidi

ALU ALU ALU

uscita

Datiin

N N N N

StadioStadioStadio1° 2° −esimo

x(n)

x(n) X(k)

T1 T2 Tν

ν

����� � � � ����� �E!�� � � %'&/4�������������� ��.0* � 4�5�� ,@5-,/.+%'5:5�4 �����

poqGr ¦ ��{~x¥���]}�v��f{s�|¤Vv��AqG��q.x ¦ {~�|¤ ¦ ������{sv�xR� ¦ qG�|��v8��q��|{�q �lqG}�}�£�v8��q�{�§°v8rs§.��rs{=��£1£|�y|r~�©§G§.�B�f{P��v8}�{E� t {~�|´a��qG�����|¤ ¦ v8����v8��qz{=��{~��£|rÑ}�v8}�{Ev8rE��q.§.���|�|����}�v��|{~�|¤l�fq.rP²³£�v8rsqD{=§°v8rs§.��rs{µaqG�|´a�a�f��qG��q.´�£|{~}�{���v £f��twv8r~}���v�£|�|{Ñ}�Ø��|{�§°v8rs§.��rs�|¤�q���{s§.��x¥{~�|§.{sv���q5{sxRx¥qG�|{�v�}�v�xRq.��}�qÔ{sr§°v8rs§.��rs����£fr�y|rs�d§.§G�R��£|§.§Gq.����{~µ��B�|{��|v8}�{�{~��{s�|´a��q.�����|¸�Ær�}�qGx ¦ ���|{�§°v�r~§.�ar~�z�|{�£|�|v¥Ó­¢�� � ¦ v���{�v

TFFT = T1 + T2 + . . . + Tν∼= ν · Tstadio

±¨Ö|¸Ñ×a×�ï�¶�|qGr�§°v����

T1∼= T2

∼= . . . ∼= Tν

q̧G�a����{s� ¦ �a�f�|qÌv�rD}�qGx ¦ �Ð�|{���{Ñ}�v����|� ±¨rsv8}�qG�|Í°v�¶ ¡��vA{sr#��{sqGx ¦ {~x¥qG��}��K�|qGr[yf£ � qG�Bv8rsr�t¾{s�f´a��qG�����Kq r�t¾£|��§.{~}�v1�fq.{#µ8v�rs�a��{H�|qGrsr�vÁ}���v��] ¡�a��x¥v8}�v§.������{~� ¦ �a�|�|qG��}�q�¸ �=£f}�}�v°µ©{sv��a´a�|{Tstadio =

TFFT

ν[s]

±¨Ö|¸Ñ× 8G�¶��{��8}�}�{~q.�|q<£f��v�}���v��] ¡�a��x¥v8}�vf¸ÕVvo§.���|�|{sÍG{s�a�fqX�|qGrsrsv# ¡����xz£|rsv5±¨Ö|¸Ñ×a×�(�¶ ¦ £ �­q.����q.��qH��{~��§G��{~}�}�v5±¡}���v���§.£|��v��|�|�ir�vWr�v8}�q.�|Í.v{s�f{sÍ.{sv�rsq°¶�§G�axRq

Tstadio =TFFT

ν< N · T ′

c =N

F ′c

±¨Ö|¸Ñ× ©×綧.���|��qG�³}�q.�|�f�B�|{Vv�£fx¥qG�³}�v���q9rsvD ¡��q.²³£|qG�|Í°vR�|{�§°v8x ¦ {~�a��v�xRq.��}��D¯��|�¥v�r µ8v�r~�a��q<r~{sxR{~}�q

F ′c ' ν · Fc.

±¨Ö|¸Ñ× 0a¶

× ' (

Page 41: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

+�,�� � OQMÔ790E?Q;=: ?��zF#OQ7RST?)>�?)SH25OGST75OG7 >�F#OQO.2 ST7ÔN��D7ÔOGC �H?Q7DN�FÕVv §.���³µ��ars£fÍ.{s���|qU�|{Ô£|�¹��qG´a��v�r~q

x(n)§.���¹£|��v ��{~� ¦ �a��}�v {sx ¦ £|r~��{ѵ�vÌ¢�� �

h(n)�|{qG��}�qG�|Í.{~�a�|q

[0, M − 1]±¡�|£|��v8}�v

M¶H�9��v8}�v���v8rsr�vÔ��q.rsv�Í.{~�a�|q8º

y(n) = h ∗ x(n) =M−1∑

k=0

h(k) · x(n − k) =n∑

k=n−M+1

h(n − k) · x(k).±¡Ö|¸~×3�î�¶

�[}�{srs{~Í.Í.v��|�|�D}�v�rsq­ ¡����xz£|rsvf¤d{sr }�q.x ¦ ���|{�§.v�rs§G�ars�z�f{��a´a�|{�§.v�x ¦ {s�a�fq y(n)��{s��£fr~}�v©º

T ′D = KD · M ±¨xR�arÑ}�{ ¦ rs{s§.v�Í.{~�a�|{u¤a���axRxRq�¤�v�§G§.qG����{�¶ ±¨Ö|¸Ñ× 8Ö³¶

qG���9²³£|{s�f�|{ ¦ ��� ¦ �a��Í.{~�a��v�r~q­v�r~r�vz�|£|��v8}�v��|{ h(n)¸

�E£©}�}�v°µd{�v�� ¦ �a����{~y|{sr~qD��}�}�q.�fq.��q�rsvB§.���³µ��ars£fÍ.{s���|q± ¦ q.��{s�d�|{s§.v�¶#�|{3�|£|q���q.´a�|v�rs{Pv���}�{��}���v��] ¡�a��x¥v��|�|��{~r ¦ ���©�|�8}�}����|qGrsr~q­rs�a����}���v8�� ¡�a��xBv8}�qy = h ~ x =

Ó­¢�� −1 [H(k) · X(k)]§G�a�

H(k) = DFT[

h(n)]

h =��q ¦

N [h]

X(k) = DFT [x(n)] x =��q ¦

N [x]

y =��q ¦

N [y].

±¨Ö|¸Ñ× �a¶

��µ³µaqG���¥}���v�xR{~}�q­rs����§�Ê|q.x¥v��|{V¢P{s´f¸3Ö|¸ 8Ö|¸

S/P

DFTS/P

DFTS/P

DFT −1

h(nT)

x(nT)

X(k) H(k)y(nT)

��������������� �+��! � � � %'&/47.0* � 4�5�� ,@5-, .+%'5:5�4 � ,@2 � ,@5:9 � *-,@2 % 4�;>;>=?4 � %'=�$�,/5�4 ��� �

!©qx(n)

Ê�v��|£|��v�}�vz¯��|{Ñ}�v ¦ v���{Vv Dx

¤|rsv��|£|��v�}�v��|{y(n) = x ∗ h(n)

��ºDy = Dx + M − 1.

±¨Öf¸~× ��¶!©q

N ≥ Dy±¨§G{s�d��¤©��q<{sr ¦ qG��{~�©�|�D�|{ ��{ ¦ qG}�{~Í.{~�a�|qi�<x¥v�´a´�{s�a��qo�|qGrsrsvD�|£|��v8}�vz�|{ y(n)

¶v�r~rs�a��vzr�v�§.�a��µ��ars£|ÍG{s�a�fq ¦ q.��{s�d�|{s§.vz§.�a{~�|§.{~�|q9§.�a��²d£fq.rsrsv¥v ¦ qG��{s�d�|{~§°v±¨�f�a�¿§8t �Ôv�rs{sv���{~�|´³¶q8¤®v ¦|¦ r~{s§°v8�|�|��r�v ±¡Ö|¸~×3 �a¶Q¤©��{���}�}�{~q.�|qy(n) = y(n)

¤0 ≤ n ≤ N − 1

¸× '8ï

Page 42: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

� ¦|¦ ���a����{sxR{�v8x¥� Nv8rsr�vÔx¥{~�|{sx¥v ¦ ��}�qG�|Í°v��|{ 2 ¤�§G{s�d�

N = min {2ν} ≥ Dy,±¨Ö|¸Ñ× 'a¶

q<µ8v�rs£f}�{�v�xR�D{~r }�qGx ¦ ���|{�§.v�rs§G�ars�|¸�Ær�}�q.x ¦ �¥�|{�§.v�rs§G�ars� ¦ q.� ¦ £|��}��B�|{V£|��§.{~}�vR�5��v8}��¥�|v�r�}�qGx ¦ �¥��{s§�Ê|{~q.�]}��R��v 2

¢3¢��<¤1

�m¢3¢�� qNxR�arÑ}�{ ¦ rs{s§.v�Í.{~�a�|{u¸

T ′CV = 1

N · ( }�q.x ¦ �R�f{�§°v�r~§.�ar~�z�|{ �Ó­¢���q<£f��v �m¢P¢�����p�x¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|{ )=

KF · 3 · N log2 N + KA · NN

= 3KF log2 N + KA

' K · log2 N. ±¨Ö|¸Ñ× (�¶�EqG�Ô ¨v�§G{srs{Ñ}�v���qD{~r�§.�a�f ¡���a��}�� ��£ ¦f¦ �a�f{�v�xR� N ¦ ���a����{sxR� v Dy

¸ � r~rs�a��v�{sr���v ¦|¦ �a��}�� ¡��v­{~rf�³£|xRq.���5�f{|� ¦ q.��v8Í.{s���|{©��{s§�Ê|{~q.�]}��9��v�r©x¥qQ}��d�|�<§�Ê|qW£f}�{~rs{~Í.Í°v[r�v<¢3¢��<¤T ′

CV

¤�q#²³£|qGrsr~��|{~��qG}�}��|¤T ′

D

¤��<�|v8}��R��vT ′

CV

T ′D

' 3 · KF · log2 (Dx + M) + KA

KD · M±¨Ö|¸Ñ× �ï�¶

q.� � ¦ ������{~y|{sr~qiµ8v�rs£©}�v���q­��qT ′

CV

T ′D

<=>

1

��µ³µaq.���z��qor�t¾£f}�{~rs{~Í.Í.�<�fq.rsrutwv8rs´a�a��{~}�x¥�­�f{�§.v�rs§G�ars�9�|qGrsrsv5§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|qW}���v8x¥{Ñ}�qW¢3¢�� � ¦ {��§.���³µ�q.�|{~q.��}�qÔ�|q.r�§.v�rs§G�ars�D�|q.r�}�q.x ¦ ��q ¦ ������{sv�xR� ¦ v���rsv���q<�f{ �m§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q­µaqGrs�d§.q !�¸� � ��� �

Dx' M

½ £|q.�]}��<��¤av��zq.��q.x ¦ {s�f¤�{sr³§.v����<��q.r�v�}�{~µ��­v�rd§°v8rs§.��rs�[�|q.r~r�vW§.�a����q.rsv�Í.{~�a�|q^�|{f£f�z��qG´a��v�r~q±rx(n) = x ∗ x � (n)

§.�a�x � (n) = x(−n)

¶iq�{sr=��v ¦|¦ �a�]}��� ¡��v¥{3�|£|qD}�q.x ¦ {3�|{E§°v�r~§.�ar~��|{ѵaq.��}�v

T ′CV

T ′D

∼= 3 · KF · log2 (2M) + KA

KD · M ≈ 3log2 (2M)

M(KF ' KD)

±¨Ö|¸Ñ×�î0G�¶§�Ê|q8¤�§.v�rs§G�ar�v�}���v�rlµ�v8��{�v8��q<�|{

M¤®v8����£fx¥q9{�µ8v�rs����{�º

MT ′

CV

T ′

D

23

128

24

1516

25

1832

' 12

· · ·· · ·

210

' 130

�(8G

Page 43: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

½ £|{s�|�f{ ¦ q.�5µ�v8rs�a��{XxR�ar~}�� ¦ {s§.§G�ars{^�|{ � §.�a��µd{sqG�|q�{sr^§°v8rs§.��rs� �|{s��qG}�}��|¤3xRq.��}���q�´a{sئ q.� M = 25 = 32§G�a��µd{sq.�fqÔq�� qQ}�}�£|v���q9{sr §°v�r~§.�ar~� ¦ v�����v��|�|� ¦ q.�#rsq­}���v��] ¡�a��x¥v8}�q�¸

� � � ��� �D

x� M

poqGrl§.v�����{~�B§.£f{ {��|£|q­��q.´a��v8rs{lv�y|y|{sv��|�Dr~£|�|´aÊfq.Í.ÍGq­xR�ar~}��Ô�|{ѵaqG����q�±¡¯�rÑ}���v8´a´a{s�5�|{�£|���q.´a��v8rsq9§.�a� £|��¯�rÑ}����R¢�� �o¶i¤���{�Ê|vT ′

CV

T ′D

' 3 · KF · log2 Dx + KA

KD · M ≈ 3log2 Dx

M

±¨Ö|¸Ñ×�îf×ç¶��v8rsr�vz²³£�v8rsq<��qG´a£|q5§�Ê|q

T ′CV

T ′D

< 1 ¦ qG� Dx < 2M3

±¨Ö|¸Ñ×�î+a¶� r­µ8v���{�v���qÁ�|{

M¤­{­µ8v�r~�a��{iq.��}����Ë{<²³£�v�r~{­§.���³µd{~q.�|q1q �lqG}�}�£�v���qAr�vU§.���³µ��ars£fÍ.{s���|q}���v�xR{~}�q<¢3¢�� ���a�f�|º

max Dx

º 32210

64220

128243

Ê|{�v8��v�xRq.��}�q8¤ ¦ q.�Wµ8v�rs����{V´a��v8�|�|{=�|{ Dx{srVx¥qQ}��d�|�B�f{~µd{sqG�|qÔ{~x ¦ ��� ¦ �a�|{~y|{sr~q ¦ qG�irsv²³£�v���}�{~}�Ø��f{PxRq.xR�a��{svR��{s§�Ê|{~q.��}�vK±uv8�Áq.��q.x ¦ {s�|¤ ¦ qG� Dx = 220 ��qG��µa���|� v�rsxRq.�|� 2 · 220¦ �a��{~Í.{~�a�|{d�|{fxRq.xR�a��{sv�¶�qH��q Dx → ∞ £|��v­��£�v­��q.v�rs{~Í.Í°v8Í.{s���|qX� ¦ qG��v���}�qT{s�D}�q.x ¦ �­��q°v�r~q�|{ѵd{sq.�fq5{~x ¦ �a����{syf{srsq8¸

Y[Z��#Z]\ � ��� �le��]eÅgon � � � �le^` ��e �mhoj kme�`in � � �me���� � k qG��§�Ê|{sv�x¥� �|{�§°v ¦ {s��q¥��q¥��{^��{sqG��§.q¥v�§.v�rs§G�ar�v8��q�r�v�§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|qR��£»£f�»��qG´a��v�r~q x(n)

¤�|{��f£|��v8}�v�v8��y|{Ñ}���v8��{�v8x¥qG�³}�qz´a��v��|�|q8¤=qG��qG´a£|q.�f�|�ar�v��]v�y|r~�©§G§�Ê|{ !zq ¦ �a{���{s§G�axzy|{~��v��|�|�B{��{s��£fr~}�v�}�{ ¦ v���ÍG{�v�r~{�¸

DFTS/P S/PDFT −1x(n)x(n) ��� ���

X(k)H(k)

t0

L L L L L

x(n)x(n)

X(k)H(k)

����� � ��� ��� � �E! � � � %'&/4).0* � 4�5�� ,@5-,7.+%'5:5�4 � ,@2 � ,@5:9 � *-,@2 % � 4 �+5-, � � �+* �

×�(©×

Page 44: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

� � � ������������������ � ��� ��� ��� �����

�ÆrVx¥qQ}��d�|�B�f{=§.v�rs§G�ars��µ�q.rs�d§.qÔ�|q.r~r�v�§.�a��µ��ars£|ÍG{s�a�fqÔ�|qQ}�}�� ��� ���Q«¼�Ñ�Qª�D]��¬�¬��3�Dy�v8��v8}��B��£frsr�v��£f�|�|{~µd{~��{s���|qH�|qGr���q.´���v�rsq#{~��y|rs�d§.§�Êf{|�|{|r~£|�|´aÊ|qGÍ.Í.vL > M

±uv��f§�Ê|qW��q#}�v�r~qTµd{s�|§G�ars�i�|�a��9�|q.§Gq.����v���{s�³¶¼¸�E�a�]}��

xk(n) ,

{x(n), kL ≤ n ≤ (k + 1)L − 10,

v�r~}���{~x¥qG�³}�{�¤ ±¨Ö|¸Ñ×�îaî�¶{sr ��q.´���v�rsq

x(n) ¦ £ �¥qG����qG��q5��§G��{~}�}���§.��x¥q

x(n) =

+∞∑

k=0

xk(n).±¨Ö|¸Ñ×�î�Ö�¶

�EqG�<{sr=x¥�axRq.��}�����£ ¦f¦ �a�f{�v�xR�B§�Ê|q�rsvBrs£f�|´aÊ|qGÍ.Í°v L�|qG{3y|rs�d§.§�Êf{E�|���K��{�v¥���a´a´�qG}�}�vv���v�rs§G£|��µd{s�|§G�ars�Rv ¦ v���}�q9²d£fq.rsr~���|{�q.����q.��qDx¥v�´a´a{~�a��qo�|{ M ±�µaqG�|��qGx¥�R{s� ��qG´a£|{~}���§�Ê|qq.��{s�]}�qT£f��vo��§.q.rÑ}�vi�8}�}�{~xBv#�|{�}�v�rsq ¦ v���v�x¥qQ}����³¶Q¸ � r~rs�a��v#r�vW§.�a��µa��rs£|ÍG{s�a�|qX��{ ¦ £��i§°v�r~§.�arsv���q§.��x¥q

y(n) = h ∗ x(n) =n∑

i=n−M+1

h(n − i)x(i) =+∞∑

k=0

xk ∗ h(n) =

=

+∞∑

k=0

yk(n)

±¨Ö|¸Ñ×�î �a¶

� ¦|¦ v���qG�³}�q.xRq.��}�q y(n)�[��v8}��Ô�|v�rsrsv­���axRxBv­�f{�{~�f¯��|{Ñ}�{f}�q.��x¥{~�|{�¸��Æ�B��q°v�rÑ}�Øf¤�qG��v�xR{����v��f�|�zr�v5��}���£f}�}�£|��vD�|{

yk(n)¤©}�v�rsq[����x¥x¥v5��{ ��{s�|£|§Gq­v��B£|����{~�|´a�ar~�5}�q.��x¥{~�|qo� ¦|¦ £|��q­v�|£|q<}�q.��xR{s�f{�¸

0 M−1

xk(n) h(n)n

kL (k + 1)L − 1

����� � ��� ��� � ��! � � � %'&/4�;>* � � 4�� *-,@2 % 13=?4 � � 47.+%'*�$�%'132"4�5:*h(n)

%xk(n)

�Æ�f ¨v8}�}�{�¤|v���q.§G�a�|��vR�|q.r�µ8v�r~�a��q­�f{n¤�r�vz§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q

yk

±¨��¶

yk(n) =n∑

i=n−M+1

xk(i)h(n − i)±¨Öf¸~×�î ��¶

��{�rsv���§G{�vz��§.��{ѵaqG��q5{s�£|�|���|qG{�²d£|v8}�}����Rx¥�d�|{�º×�(0

Page 45: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

� �kL ≤ n ≤ kL + M − 2

yk(n) =n∑

i=kL

x(i) · h(n − i)±¨Ö|¸Ñ×�î 'a¶xk(i)

h(n − i)

nkL (k + 1)L − 1

� �kL + M − 1 ≤ n ≤ (k + 1)L − 1

yk(n) =

n∑

i=n−M+1

x(i)·h(n−i) = y(n)±¨Ö|¸Ñ×�î (�¶

xk(i)

h(n − i)

n

kL (k + 1)L − 1

� �(k + 1)L ≤ n ≤ (k + 1)L + M − 2

yk(n) =

(k+1)L−1∑

i=n−M+1

x(i) · h(n − i)

±¨Ö|¸Ñ×�îaï�¶

xk(i)h(n − i)

n

kL (k + 1)L − 1

� �n < kL

qn > (k + 1)L + M − 2

yk(n) = 0±¨Öf¸~×°Ö0G�¶

xk(i)h(n − i)

nkL (k + 1)L − 1

�� ���yk(n) = y(n)

¤�xRq.��}���q�{s� � � q�{s� ��� vyk(n) = 0

�mx¥v��|§°v !z{~r3§.�a��}���{syf£f}���|qGrsrsv ¦ v���}�q �߯���v�r~q"!zq �Æ{s�|{~Í.{�v8rsq"!5�f{ xk−1(n)q

xk+1(n)¤E��{s� ¦ qQ}�}�{ѵ8v�x¥qG��}�q�¤V§G�a��}���{~y|£f}�{¦ ��q.��q.��}�{={s� yk−1(n)

qyk+1(n)

¸ �[{~��£|rÑ}�vz²³£|{~�|�|{

y(n) =

yk(n) + yk−1(n) n = kL, . . . , kL + M − 2±M − 1

µ8v�r~�a��{�¶yk(n) n = kL + M − 1, . . . , (k + 1)L − 1

yk(n) + yk+1(n) n = (k + 1)L, . . . , (k + 1)L + M − 2±M − 1

µ8v�r~�a��{�¶±¨Ö|¸Ñ×°Ö|×ç¶

�Pv8rsq9��qGx ¦ r~{~¯�§.v�Í.{~�a�|q<�Ô�|��µ©£©}�vBv8rV ¨v�}�}��R§�Ê|qÔr�v���{s� ¦ ����}�v�{sx ¦ £|r~��{ѵ�vz�fq.r�¯�r~}����R�Ô�f{�|£f��v8}�v¿¯��|{~}�vU±�¯�r~}����K¢�� �o¶Q¸ !©{ ¦ ��}���qGy|ylq ¦ qG�|��v���q1±¨q¥��{H�B}�q.��}�v�}��Á�|{X��q.v�rs{~Í.Í°v8��rs��¶<�f{×�(�î

Page 46: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

v ¦|¦ rs{s§.v���qT{sr ¦ ���©§Gq.�|{~x¥qG��}��9v��|§�Êfqo§G�a�R¯|r~}���{�� � �5¸+�Æ��²³£|q.�]}��Ô§°v����Ô�|��µd��qGx¥xR�<����x¥x¥v���q{s�©¯��|{~}�{ }�qG��xR{s�|{yk

¸XÕ�t v���v�r~{s��{�§.�a����{~� ¦ �a�|�|qG�³}�q9x¥�a�]}���vR§�Ê|q5r�vz§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q5v�y|rs�d§.§�Ê|{§°v8rs§.��r�v8}�v ¦ q.�­£f�¿¯�r~}�����§G�a�Á��{s� ¦ �a�]}�v � � � {~�|{sÍG{�vRvB�|{~µ�q.��}�v8��qz§G�a��µaq.�f{sq.��}�q�²d£|v��|�|��rsv ¡£|�|ÍG{s�a�fq<�|{�}���v��� ¡qG��{sxRq.��}��RÊ|vRv8rsxRq.�|�30 ¦ �ar~{�q 30

Í.qG��{X±¨x¥v�{l£f}�{~rs{sÍGÍ°v8}�v�¶Q¸����v�xR{s�|{sv�xR�|¤��a��v©¤©rsvÔ§.��x ¦ r~q.����{~}�Ø5�f{ §°v8rs§.��rs�5��£ ¦|¦ �a�|qG�|�|���|{�£f}�{srs{~Í.Í.v���qW£|��vD¢3¢��y�v���q ¦ q.�#{~r�§°v�r~§.�ar~�zµaqGrs�d§.q<�|qG{Vµ8v���{ yk(n)

±¡}���v�xR{~}�qi§.���³µ��ars£fÍ.{s���|q ¦ qG��{s�d�|{~§°v�¶¼¸yk(n) = xk ~ hk(n) =

Ó­¢�� −1 [Xk(l)H(l)]

�|��µaqxk(n) =

��q ¦P [xk(n)] → Xk(l) = DFT [xk]

h(n) =��q ¦

P [h(n)] → H(l) = DFT [h]

yk(n) = yk(n) n ∈ q.�]}�q.�f��{s���|q9�|{ yk(n).

±¨Ö|¸Ñ×°Ö a¶

ÕVvR�|£f��v8}�v��fq.rsrsvz§.�a��µ��ars£|ÍG{s�a�fqR�Qª��Q«Q���.¬������¥v������©§G{�v8}�v�v�r�y|rs�d§.§G�k�ÆqG��{~x¥���8º

Dyk= L + M − 1 , P = 2ν ⇒ L = P − M + 1

±¡Ö|¸~×.Ö�î�¶�EqG�H��}�}�q.�|qG��q­rsv5§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|qiv ¦ qG��{~�©�|{~§°v9��vÔ²³£|qGrsrsv ¦ q.��{~�©�f{s§°v9�|�ayfy|{�v�xR� ¦ qG��{s�d� �{s§G{sÍGÍ°v���q<{ µ8v���{�y|r~�©§G§�Ê|{�§G�a��£f� ¦ q.��{s�d�|��v�rsxRq.�f� ¦ v���{�v P

¸ v�rs§G�ars{sv�xR�|¤��a��v©¤H{srH}�q.x ¦ �1�|{W§°v�r~§.�ar~�A§.�a����{s� ¦ ���|�|q.��}�q ¦ �a�|qG�|�|� B = Dx/L

{sr�³£|xRq.�����|{�yfrs�d§.§�Ê|{uº

TCB = KF · P · log2 P±¡}���v��] ¡�a��x¥v8}�vz�|{

hº�rs£|�|´�Ê|q.ÍGÍ°v

+B [2 · KF · P · log2 P ]

( }���v8�� ¡�a��xBv8}�vz��£|{By|r~�©§G§�Ê|{�º£|��v��|{s��qG}�}�v�q.� £|��v�{s��µaqG����v¥��£

P ¦ £f�³}�{)

+B · Kaus · P±¨§.v�rs§G�ars{ v�£|��{srs{sv���{uº

P ¦ ���d�|��}�}�{ ¦ q.�#y|r~�©§G§.�³¶' KF · 2B · P · log2 P ±¨Ö|¸Ñ×°ÖaÖ³¶

� �|ÍG{s§�Ê|Î���{~ ¡q.��{s����{EvTCB

� ¦ ��qQ ¡q.��{sy|{~rsq5§°v�r~§.�arsv���qÔ£|� ¦ v���v8x¥qQ}���� ¦ { �K��{s´a�|{ѯ�§°v�}�{~µ��|º{srl}�q.x ¦ ���|{�§°v�r~§.�ar~� ¦ qG�W§°v�x ¦ {s���|q T ′CB

T ′CB =

TCB

Dx

' 2KF · P · log2 P

L= 2 · KF · P · log2 P

P − M + 1

±¨Ö|¸Ñ×°Ö��a¶�Æ��}�q.� ¦ ��qQ}�v��f�|� T ′

CB

§.��x¥q5 ¡£|�|Í.{~�a�|qÔ�|{P¤lqG�������|{~µ�q.��}�v�xR�ar~}��¥´���v��|�fqz��{sv ¦ q.� P¦ ���a����{sxR��v M

§�Ê|q ¦ q.� PxR�arÑ}��RxBv�´�´a{s�a��q9�|{

M±¡�|q.rE²d£|v�rP§.v����

T ′CB ≡ log2 P

¶[qG�Ê�vB£f�Áx¥{~�|{sxR� ¦ q.�i£f�¿µ8v�rs�a��qÔ{~��}�q.��x¥qG�|{s�R�|{ P ¸[Õ�t v��|��v�xRq.��}��B�|{ T ′CB

v�r�µ8v���{�v���qÔ�|{P�9��{ ¦ ����}�v�}��z{~�¯|´a£|��v©¸

×�(8Ö

Page 47: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

Pott.

M−1 P

T’CB

min[T’CB

]

ÕVv ¦ ��qG��qG�|Í°v­�|qGr ¦ £f�³}��­�|{dx¥{~�|{sxR�§.{®��£f´a´aq.��{s��§.q[r�v<��§Gq.r~}�v5�8}�}�{~xBv ¦ q.�Pqo²³£|{~�|�|{ ¦ qG�Xrsv5r~£|�|´aÊfq.Í.Í.v L

�|{§.{sv���§G£|��y|rs�d§.§G�±¨{~����q.v�r~}�ØÔ{~rlxR{s�|{-�x¥�Ô�|�a���ix¥�arÑ}��5��qGrsqG}�}�{ѵa� ¦ q.�T§.£|{r�v���§.q.rÑ}�v�|{P�|���1��{s��£|r~}�v�x¥�arÑ}��§.��{~}�{~§°v�¶¼¸

� ��qG��qGx ¦ {~�|¤|��q M = 100

PT ′

CB/2KF

='

27

4028

1629

14210

13211

13, 2212

14

�axRq9v���}�{s§G{ ¦ v�}���{sr x¥{~�|{sxR�D� ¦ �©§G�R��q.r~qG}�}�{~µ��Rq9��{�Ê�v ¦ qG� M = 100

Pott = 1024 → Lott = P − M + 1 = 925½ £|q.�]}�v¿ ¡�a��xz£|r�v§.���|��qG�³}�q��|{T�]}�{~xBv���qPott

±¨qLott

¶¼¤3µ8v�rs�a��q¥§�Êfq�µ�v ¦ �a{^xRq.�����Av¦ £f�³}��¥� ¦ qG��{~x¥qG�³}�v�rsxRq.��}�q�¸ÕVv ¦ ���d§.qG�|£|��v��zx¥{~´ars{~�a��v8y|{sr~qi��q�{~rE��q.´a�|v�rsqÔ�z��q.v�rsq8¤ £f}�{srs{~Í.Í.v��|�|�¥£|�Av�rs´��a��{Ñ}�xR�R�f{¢3¢�� §�Êfqz� ¦ q.��{E��£K��v�}�{P§G�ax ¦ rsqG����{={s�¿x¥�d�|�B�|vB}���v8�� ¡�a��xBv���qÔ�f£|qzy|r~�©§G§�Ê|{3v�r~r�v�µa�arÑ}�vf¸� rsrs�o��§G� ¦ �i��{© ¡����x¥vo£|����q.´a��v8rsqT§G�ax ¦ rsqG�����ix¥qQ}�}�qG�|�|�<�|qGrsrsv ¦ v��]}�qX��q°v8rsqT{~r©yfrs�d§.§.� xk−1q9{s�²³£|qGrsr�vz{~x¥x¥v�´a{~��v���{�v

xk

z(l) , u(l) +j· v(l) l = 0, 1, . . . , L − 1↑ ↑xk−1 xk

±¨Ö|¸Ñ×°Ö ��¶Ói{�}�v�r~q<��qG´a��v�r~qÔ��{=§.v�rs§G�ar�vzrsv¥Ói¢�����£

P ¦ £|��}�{X±¡q.��}�q.�|�fq.�|�|�B{=yfrs�d§.§�Ê|{�§G�a��µ8v�r~�a��{�³£|r~rs{�¶¼ºZ(m) = U(m) + j · V (m) m = 0, 1, . . . , P − 1

±¨Öf¸~×°Ö 'a¶�|��µ�q

Uq

V���a�|�rsqÔ}���v8�� ¡�a��xBv8}�qz�|{

uq��|{

v±¨�f�a�AÊ�v��|�|�f¤�²d£f{s�|�|{u¤�{srE��{s´��|{~¯�§.v8}��B�|{¦ v8��}�q9��q°v�r~q<q.� {sxRxBv�´�{s��v���{�v<�|{ Z(m)

¶¼¸� ²³£|q.�]}�� ¦ £|��}��R��{�q.��q.´a£fqÔrsvzx¥�arÑ}�{ ¦ rs{~§°v�ÍG{s�a�|q

Z(m) · H(m)q9��{Vv8�³}�{~}���v��] ¡�a��x¥vD��}�}�q.�fq.�|�|�R£|� ��qG´a��v�r~q<§.�ax ¦ rsqG�����R�fq.rsrsvz§.£|{ ¦ v���}�q<��q°v8rsq­}�����µ©{sv�xR�rsv5§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q[��q.rsv8}�{ѵ8vÔv�r�yfrs�d§.§.�k− 1

�ßq.��{~x¥�5q[�|q.r~r�v ¦ v���}�qo{~x¥x¥v�´a{~��v���{�v[}�����µd{�v�xR�rsv�§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q<��q.r�v�}�{~µ8v�v�r y|rs�d§.§G�k�ÆqG��{sxR�|º

z ∗ h(l) = u ∗ h(l) + jv ∗ h(l)

yk−1(l) =�[q

[z ∗ h(l)]yk(l) =

�Æx[z ∗ h(l)]

±¨Ö|¸Ñ×°Ö (�¶

�( �

Page 48: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

�a��}�v�rsq5v�§G§.�a��´a{sxRq.��}��|¤|{sr�}�q.x ¦ ���|{V§.v�rs§G�ars� ¦ q.� ¦ £|��}��¥�|{�£|��§.{~}�v¥��{s��£fr~}�vz�f{sxRq.Í �Í°v�}��|ºT ′

CB ' KF · P · log2 P

P − M + 1.

±¨Ö|¸Ñ×°Ö�ï�¶!©{³�^v ¦|¦ q.��vW}�����µ8v8}��o§�Ê|q ¦ q.� M = 100

¤8��{dÊ|vPott = 210 � M

q�r�vW�|{s��£|´a£�v8´ars{sv��|Í°vµ8v�rsq<{~�´aq.�|qG��v�r~q ¦ qG�#§.£|{V��{ ¦ £�����§G��{~µ�q.��qmin T ′

CB ' KF · log2 Pott

±¨Ö|¸Ñ× �8G�¶½ £|q.�]}�v��q.rsv�Í.{~�a�|qÔ§.{3§G�a�|��qG��}�qR�|{PµaqG��{ѯ�§°v���q�§�Ê|q�r�vB§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|q�v�y|rs�d§.§�Êf{P��§.� �xz£|�f²d£fq ¦ { �»§.�a��µaqG�|{sqG��}�q��|qGrsrs� ��§�Êfq.x¥vÁ§�Ê|q�{ ¦ ��}�{~Í.Í.v �|£fqB}���v��� ¡�a��xBv�}�qRqB£|��v¿v���}�{��}���v��� ¡����x¥v8}�vz�|{��f{sxRq.�|��{s�a�|{ ¦ v���{�v Dx

±¨§G�a�Dx

´a��v��|�|q°¶Q¸������v1§.{ ¦ q.��x¥qQ}�}�q�{~�|�arÑ}���qB�|{#��}�v�y|{sr~{s��qB²³£�v���}�� ¦ {��̧G�a��µaqG�|{sqG�³}�q���{�vK{srT§°v�r~§.�ar~�Kvy|r~�©§G§�Ê|{���{~� ¦ qG}�}���v�r�§°v8rs§.��rs�z�|{~��qQ}�}����|qGr�}�qGx ¦ �

min T ′CB

T ′D

' KF log2 Pott

KD · M ' log2 Pott

M(KF ' KD) .

±¨Ö|¸Ñ× �©×ç¶�Pv8rsq5��v ¦|¦ �a�]}��B��{s��£|r~}�v È���� ��«��Ô�|{ 1 ¦ ��v8}�{~§°v�xRq.��}�qÔ��q.x ¦ ��q�±¨�|qG{Er~{sxR{~}�{l�|{Vµ�v8rs{s�f{~}�Ø�|qGrsrsq9v ¦|¦ ��������{~xBv8Í.{s���|{l{~��}����d�|��}�}�q°¶T{s�²³£�v���}��|º

M � Pott < 2M ±¨Ö|¸Ñ× �0a¶�[{~§.�a�f��{s�fq.��{sv�xR�zr�t¾q.��q.x ¦ {s�|º ¦ qG� M = 100

��{VÊ�vmin T ′

CB → Pott = 210 � M = 100Pott = 210 � 2M = 2100

±¨Ö|¸Ñ× ��î�¶q

min T ′CB

T ′D

' log2 210

100=

1

10

±¨Ö|¸Ñ× �8Ö³¶ �a�|§Grs£|�|qG�|�|�|¤P²d£f{s�|�|{u¤P��q�r�v�|£|��v8}�v

M�|q.r~r�v��{s� ¦ ����}�v {sx ¦ £|r~��{~µ8v���v8y|y�v��]}�v��|Í.v´a��v��|�|q

(M ≥ 30)¤={~r3§°v8rs§.��rs���|qGrsr�v�§G�a��µa�ar~£|Í.{~�a�|qRvy|rs�d§.§�Ê|{E}���v8x¥{Ñ}�q�¢3¢��%��{~��£|rÑ}�v�{~rxRqG}��d�|� ¦ {��qGÒR§.{~q.��}�q8¸

� � � ������������ ����� � ��� ��� ��� � � � �

�Ær[x¥qQ}��d�|� ��� ���Q«¼�Ñ�Qª�D]��¬�¬��­§G�a�|��{~��}�q¿������}�v8�|Í.{sv�rsxRq.��}�q �|qGro���ax¥x¥v���q ¡��vÏr~�a���1rsq §.�a�"�µa��rs£|ÍG{s�a�|{ ¦ v���Í.{sv�rs{ yk(n)����µ©��v ¦|¦ �a��}�q�¸�p[q.r©x¥qQ}��d�|� ��� ���Q«¼�Ñ�Qª�D��.� ��� ��{©��{s��£|r~}�v8}�{ ¦ v���Í.{sv�rs{�|qGrsrsqD§.�a��µa��rs£|ÍG{s�a�|{

yk(n)µaq.�f´a�a�|�����µd��v ¦|¦ ����}�{�qzµd{~q.�|q���v�r~µ8v8}������arsv�x¥qG��}�qz{~rE}���v8}�}��§.������qQ}�}��|¸

�Æ�f ¨v8}�}�{�¤©�|q.r~r�v5§.�a��µa��rs£|ÍG{s�a�|q ¦ qG��{s�d�|{~§°vD�|{ ¦ qG��{~�©�|� N�|{��f£|q­��qG´a��v�r~{ r~£|�|´aÊ|{

Mq.�

N±¡q.�]}�q.�f��{s���|q

[0, M − 1]q

[0, N − 1]¶Ô§G�a�

N > M¤�{ ¦ ��{sxR{ M − 1

µ�v8rs�a��{^���a�|��|{ѵaq.����{H�|vÁ²d£fq.rsr~{X�fq.rsrsv¿§.���³µ��ars£fÍ.{s���|q�v ¦ q.��{s�d�|{s§.vf¤PxRq.��}���q�´ars{^£|rÑ}�{sxR{ N − (M − 1)§.��{s�|§G{s�|�a�f�|¸ !dq1²³£|{~�|�|{­��{­�|{ѵ©{~�|qK{sro��qG´a��v�r~qK{s� y|r~�©§G§�Ê|{­rs£f�|´aÊ|{NqK��{­§.v�rs§G�ar�v»rsv§.���³µ��ars£fÍ.{s���|q ¦ qG��{s�d�|{~§°v�± ¦ qG��{s�d�|� N > M

¶#�fq.r�y|r~�©§G§.�k�ßq.��{~x¥��§G�a�

�( �

Page 49: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

h(n) =��q ¦

N [h(n)] ,±¨Ö|¸Ñ× � ��¶

��{��|qGµ��a�|����§.v���}�v���q<{ ¦ ��{sxR{ M − 1µ8v�rs����{��|{��a´a�f{ §.���³µ��ars£fÍ.{s���|q

yk(n)q ¦ qG�#��}�}�q.�|qG��q}�£f}�}�{�{�µ8v�r~�a��{|�f{

y(n) = x∗h(n)�[�|qG§.q.����v���{s�Ô�|{~µd{s�fq.��q

x(n){s�Ry|rs�d§.§�Ê|{�r~£|�|´aÊf{

N§G�a�£|�|v���� ��«��Qª�ª����Q� F ����� �<�f{ M − 1

§.v�x ¦ {s�a�f{l ¡��v��|£fqÔy|r~�©§G§�Ê|{�§G�a��}�{s´�£|{�¸

M−1

M−1

M−1

N

N

N

0

N−M+1 N−M+1 N−M+1

x0

x1

x2

y0

y1

y2

y

����� � ��� ��� � � !��8,"� =?4�(+( ,3$>* � *-,@2 % .0* �+5-, � � �+* [email protected]*�4 � %'2 ;>*

� �|§�Êfq^{~�<²³£|q.�]}��[§°v����[qG��{~��}�q�£f��v#�|{sxRq.�|��{s�a�fqP��}�}�{sx¥vN�fq.{ay|r~�©§G§�Ê|{aq�r~q ¦ ��qG��}�v�Í.{~�a�|{���a�|�Rq.²³£|{~µ8v�r~q.��}�{�vR²³£|qGrsrsq<�fq.r�xRqG}��d�|� �Æ�çµ�q.��r�v ¦ �Æv��|� !�¸

�( '

Page 50: T NT X F NF - unipd.itlttm.dei.unipd.it/nuovo/teaching/ens/dispense/cap_04.pdf1 N NX 1 k=0 ej2ˇ N (n m) k = 1 N 1 ej2ˇ(n m) 1 ej2ˇ N (n m) = 0: ÕVv ±¡Ö|¸¾Ö³¶ ¦ £ q. qG

�( (