t s bÀi toÁn tÍnh t thi hsg casio

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG TRONG ĐỀ THI HSG CASIO

I. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

1. Bài tập 1

Tính giá trị:

2 2 2 2 2 2A 1 2 3 4 ... 2015 2016

Dựa vào phím tính tổng, ta tách A thành hai tổng sau:

1 2 2 2 2 2

1008 10082 2

X 1 X 1

A 1 3 ... 2015 2 4 ... 2016

A 2X 1 2X

A 2033136

Giải trên máy:

hoặc:

1 2 2 2 2 2

1008 10082 2

X 1 X 1

10082 2

X 1

1008

X 1

A 1 3 ... 2015 2 4 ... 2016

A 2X 1 2X

A 2X 1 2X

A 4X 1

A 2033136

Giải trên máy CASIO fx-570VN PLUS:

2. Bài tập 2: Tổng có các số hạng nhân dồn


a/ Tính giá trị của A, biết:

A 1.3 2.4 3.5 ... 99.101

Thay thừa số 3,4,5,6.....101 bằng (2 1),(3 1),(4 1).....(100 1)

Ta có

A 1 2 1 2 3 1 3 4 1 ... 99 100 1

A 1.2 1 2.3 2 3.4 3 ... 99.100 99

A 1.2 2.3 3.4 ... 99.100 1 2 3 ... 99

A 333300 4950

A 338250

Ghi chú: Theo dõi Bài viết Dãy số là các cặp số tự nhiên tăng dồn – Tính tổng 5

Tổng quát:

n(n 1).(2n 1)A 1.3 2.4 3.5 ... (n 1)(n 1)

6


b/ Tính giá trị của A, biết:

A 1.4 2.5 3.6 ... 99.102

Giải

Thay thừa số ..4, .5,6, ,102 bằng (2 2),(3 2),(4 ...2), ,(100 2) .

Ta có :


A 1 2 2 2 3 2 3 4 2 ... 99 100 2

A 1.2 1.2 2.3 2.2 3.4 3.2 ... 99.100 99.2

A 1.2 2.3 3.4 ... 99.100 2 1 2 3 ... 99

A 333300 9900

A 343200


c/ Tính giá trị của A, biết:

A 1.2 2.3 3.4 ... 99.100

Nhân 2 vế với 3, trong đó từ số hạng thứ 2 thay vì nhân 3 ta nhân (4-1)=3

3A 1.2.3 2.3 4 1 3.4. 5 2 ... 99.100. 101 98

3A 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 99.100.101 98.99.100

3A 99.100.101

A 333300

Tổng quát: Dãy số b) với số cuối cùng là n thì:

1A 1.2 2.3 3.4 ... (n 1)n n.(n 1).(n 1)

3

Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS:

Nhập vào máy tính

99

X 1

(X(X 1)) 333300

d/ Tính giá trị của A, biết:


A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 98.99.100

Giải

Nhân 2 vế với 4 và biến đổi ta có

4A 1.2.3.4 2.3.4 5 1 3.4.5. 6 2 ... 98.99.100. 101 97

4A 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 ... 98.99.100.101 97.98.99.100

4A 98.99.100.101

A 2449755

Tổng quát:

n 2 n 1 n n 1

A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... n 2 n 1 n4


e/ Tính giá trị của tổng sau:

Cùng xét qua ví dụ về một tổng mà các số hạng trong tổng có dạng nhân dồn:

1 1 1 1......

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1........

2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n(n 1) (n 1)(n 2)

1 1 1 1 1 1 1......

2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2)

1 1 1 n(n 3)

2 1.2 (n 1)(n 2)

4(n 1)(n 2)

Dễ dàng sử dụng máy tính CASIO fx-570VN PLUS để tính toán nhanh kết quả phép tính trên.

f/ Tính giá trị của tổng sau:

Tính: M 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2015.2016.2017.20. . 1. 8 .


Ta có:

M 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2014.2015.2016.2017

2015.2016.2017.2018

5M 1.2.3.4 5 0 2.3.4.5 6 1 3.4.5.6 7 2

2014.2015.2016.2017 2018 2013 2015.2016.2017.2018 2019 2014

5M 1.2.3.4.5 0.1.2.3.4 2.3.4.5.

...

...

6 1.2.3.4.5 3.4.5.6.7

( 2).3.4.5.6 ... 2015.2016.2017.2018.2019 2014.2015.2016.2017.2018

5M 2015.2016.2017.2018.2019

M 403.2016.2017.2018.2019

M


Quan sát các chữ số đầu tiên của kết quả thu được:

g/ Cách tiếp cận khác của tính tổng nhân dồn:

Bài toán: Tính tổng

nS 1.2 2.3 3.4 ......... n(n 1)

Vì :

n n n n2 2

i 1 i 1 i 1 i 1

n

i 1

n2

i 1

i(i 1) (i i) i i

n(n 1)i 1 2 3 .... n

2

n(n 1)(2n 1)i

6

Vậy


n

n(n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2)S

2 6 3

Tương tự ta cũng tìm được công thức tổng quát của:

nS 1.2 2.5 3.8 ....... n(3n 1)

CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT VỀ TỔNG NHÂN DỒN:

+ Bước 1: Nhân A với thừa số bằng (Số số hạng của tích+1)x(bước nhảy)

+ Bước 2: Tách số hạng vừa nhân được ra làm tổng hiệu, kèm với thừa số bên ngoài tạo thành

các tích khử.

+ Bước 3: Tính giá trị biểu thức cuối cùng.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1/ Tính giá trị các biểu thức sau:

a/2 2 2A 1 2 ... 2017 .

b/2 2 2 2 2B 1 3 5 ... 2015 2017 .


a/ A 1.2 2.3 3.4 ... 2015.2016 2016.2017

b/ B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 2015.2016.2017

c/ C 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2014.2015.2016.2017

d/ D 1.4.7 4.7.10 7.10.13 ... 2011.2014.2017


a/ 1 1 1

A ...1.2.3 2.3.4 2015.2016.2017

b/ 1 1 1

B ...1.3 3.5 2015.2017

c/ 1 2 3 2016

C ...1.2 2.3 3.4 2016.2017


3. Bài tập 3: Phân tích tổng hai lũy thừa bậc 4

a/ Tính:

4 2 4 2 4 2

1 2 3 2017A ...

3 2 2 1 3 3 1 2017 2017 1

Cách 1: Tính tay

Thiết lập công thức tổng quát của tổng A:

Ta có:

4 2 2 2

2 2

n n

n n 1 n n 1 n n 1

1 1 1

2 n n 1 n n 1

Và vì:

22

22

n n 1 n 1 (n 1) 1

1 10

n n 1 n 1 (n 1) 1

Vậy ta được:

2

1 1A 1

2 n n 1

Với n 2017 .

Cách 2: Tính trên máy bằng phím Tổng Sigma.


b/

4 4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 11 3 5 ..... 2013

4 4 4 4S

1 1 1 12 4 6 ..... 2014

4 4 4 4

(Trích Đề thi tỉnh Tây Ninh năm học 2014-2015 THCS)

Áp dụng: 2 24n 4 n 1 1 n 1 1

Biến đổi:

4 2 24

4 2 24

12k 1 4k 3 1 4k 1 14k 2 44

1 4k 4 4k 1 1 4k 1 12k4

Suy ra

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 3 1 5 1 7 1 ..... 4027 1S

3 1 5 1 7 1 9 1 ..... 4029 1

Vậy 1

S8116421

.

4. Bài tập 4: Các số hạng lặp lại giống nhau

Đầu tiên nhắc lại công thức sau:

n 12 n 1 a

1 a a ... a1 a

a/ Tính

17 chu so 2

A 2 22 222 ... 22..22


14 chu so 2

14 chu so 1

14 chu so 9

2 3 14

2 3 14

15

A 2 22 222 ... 22..22

A 2 1 11 111 ... 11...11

2A 9 99 999 ... 99...99

9

2A 10 1 10 1 10 1 ... 10 1

9

2A 10 10 10 ... 10 17

9

2 10 10A

9 9

17

A

b/

13 chu so 4

13 chu so 0 13 chu so 1

B 34 344 3444 ... 344...4

B 3 10 100 1000 ... 100...0 4 11 111 1111 ... 111...1

Cũng bằng cách tính tương tự như a/, ta được:

14 1610 10 4 10 10B 3. 15

9 9 9

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tính các tổng sau:

a/

13 chu so 2

A 12 122 1222 12222 ... 1222...22

b/

15 chu so 4

B 34 344 3444 ... 344...4

c/

12 chu so 2017

C 2017 20172017 ... 2017...2017


5. Bài tập 5: Đoán tính chất của hàm số

Cho hàm số

x

x

3y f (x)

3 3

a/ Tính 1 2

A f f200 200

và

1 199B f f

200 200

b/ Tính 1 2 199

S f f ... f200 200 200

Hướng dẫn: Chứng minh được f (x) f (1 x) 1 nên S 99 0,5 99,5 .

II. BÀI TOÁN CÓ TRONG ĐỀ THI CÁC TỈNH

ột số b i toán trong các đề thi giải toán trên máy tính cầm tay

B i : T ích ề thi giải toán t n TCT cấp uốc Gia lớp 9 t nh n 2013-2014

Tính giá trị của biểu thức sau:

2 2 2 2 2 21 2 3 1004 1005 1006A ...

1.3 3.5 5.7 2007.2009 2009.2011 2011.2013

Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS

hi v o m n hình

21006

1

X

(2X 1)(2X 1)

Bấm = đợi khoảng 2 phút cho máy tính v ta được kết quả 251,6249379

B i : T ích ề thi giải toán t n TCT lớp 9 t nh n Giang n -2013

Tính 2012sè12

2012sè13

1212...1212 1212 121212

A ...13 1313 131313 1313...13



Ghi vào màn hình 1212

1313 bấm = ta được

12

13.


131313 bấm = ta được

12

13

Ta nhận thấy các số hạng của tổng A đều bằng 12

13

2 2012

2012so12

2 2012

2012so13

1212...1212 1 10 10 ... 10 12

1313...13 1313 1 10 10 ... 10

12 12 12 12 2012.12 24144A ...

13 13 13 13 13 13

12 12 12 12 2012.12 24144A ...

13 13 13 13 13 13

B i : T ích ề thi giải toán t n TCT lớp 9 t nh ạng n n -2013

Tính các giá trị sau

1 1 1 1S ...

x x 1 x 1 x 2 x 2011 x 2012 x 2012 x 2013

với 2012x 2013




2012 2012x 0

1

2013 X 2013 X 1

Bấm = đợi máy tính (khoảng 2 phút) ta được kết quả S 43,87576126

Cách khác:

1 1x 1 x ,..., x 2013 x 2012

x x 1 x 2012 x 2013

S x 2013 x

Ghi vào màn hình 2012 20122013 2013 2013

Bấm = được kết quả S 43,87576126

B i 4: T ích ề thi t nh Vĩnh ong n học 2015 - 2016

Tính tổng sau: (lấy chính xác đến 10 chữ số thập phân)

1 1 1 1

3.5.7 5.7.9 7.9.11 995.997.999 B

Công thức:

1 1 1 1

2n 1 2n 3 2n 5 4 2n 1 2n 3 2n 3 2n 5

Ta có:


4 4 4 44B

3.5.7 5.7.9 7.9.11 995.997.999

1 1 1 1 1 14B ...

3.5 5.7 5.7 7.9 995.997 997.999

1 14B

3.5 997.999

16600004B

4980015

415000B

4980015


B i 5: T ích Đề thi t nh Bình Thuận n học 2013-2014 Lớp 8

Tính giá trị biểu thức:


B i 6: T ích Đề thi t nh Bình Thuận n học 2013-2014 Lớp 9

Tính giá trị biểu thức: 1 1 1

1 2 4 5 ... 2014 20153 6 2016

B


Giải tương tự như B i 5, ta được:

B i 7: T ích Đề thi t nh Cần Th n học 2014-2015 THCS


Tính giá trị 1 2 3 2014

2 3 4 2015A .


B i 8: T ích Đề thi t nh Cần Th n học 2014-2015 THPT

Cho hàm số 3

3( )

5log 6

x

f xx

.

Tính tổng 1 2 3 100S f f f f .


Bài 9: T ích Đề thi t nh Thừa Thiên Huế n học 2014-2015 Lớp 8, Lớp 9

Tính giá trị gần đúng của biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 22011 20121 2 3 2013 2014

M ....2.3 3.4 4.5 2012.2013 2013.2014 2014.2015 2015.2016


B i : T ích Đề thi t nh óc T ng n học 2014-2015 THCS

C = 10123 + 10123123 + 10123123123 +.....+ 10 123123.......123123 gồm 30 nhóm số 123

Quy trình ấn phím:

Gán A=1; B=123; C=10123


A=A+1: B=1000B+123: C=C + 10 B

khi A=30, C= 1625909624 .

B i : T ích Đề thi t nh Tây Ninh n học 2014-2015 THCS

a/ 1 1 1 1

S ...1.3.5 3.5.7 5.7.9 2011.2013.2015


b/

2 2 2 2 2 2

2014S

1 1 1 1 1 11 1 ... 1

2004 2005 2005 2006 2014 2015

2014S

1 111

2004 2015

B i : T ích Đề thi TP Hồ Chí inh n học 2014-2015 THPT

Cho hàm số 2

x ln xf (x)

x 1

. Tính gần đúng (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

giá trị của tổng:

f (1) f (2) f (3) f (24) f (25)

S ...f '(1) f '(3) f '(5) f '(47) f '(49)

Đáp số: S 359,3529 .

t s bÀi toÁn tÍnh t thi hsg casio

Documents