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T. Tchangai
Sommaire
CALCULS AVEC LES POURCENTAGESExemple1. Définition
2. Calcul du pourcentage d’une valeur3. Comment déterminer un pourcentage4. Pourcentage indirect5. Augmentation d’un pourcentage :
6. Diminution d’un pourcentage :7. Pourcentages successifs : 8. Pourcentages par tranches
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Sommaire(suite)• Exercices• Exercice I• Exercice II• Exercice III
– A– B– C– D– E
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CALCULS AVEC LES POURCENTAGES
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ExempleClaire paye un loyer de 275 € pour son
appartement. Son salaire est de 1100 €.1. Calculer la fraction du salaire que
représente le loyer(donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible).
Cette fraction est de:
275
1100
51 27
4 2751
4
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2. Trouver une fraction équivalente(égale) à la précédente dont le dénominateur est 100 :
251 1
4 254
25
10025%
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1. Définition
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On dit que le loyer représente 25 pour cent (on écrit 25 % ) du salaire,
ou encore que le pourcentage du loyer par rapport au salaire est 25 % .
Écrire des rapports sous forme de pourcentages permet d'effectuer plus simplement des comparaisons ou des calculs.
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Remarque:
En divisant à la calculatrice 275 par 1 100, le résultat multiplié par 100 on obtient: 25 %
275100 25
1100
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2. Calcul du pourcentage d’une valeur
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Claire consacre 8 % de son salaire à des loisirs. Quelle somme cela représente-t-il?
11008
100 11 8 88
Cette somme est de: 88 €
On voit que pour calculer 8 % de 1100, il suffit
de multiplier 1100 par8
100
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8
100s’appelle le coefficient multiplicateur
(que l'on peut écrire sous forme décimale 0,08).
Pour calculer p % d'une valeur, on multiplie
100
p
•On dit aussi qu'on applique le coefficient multiplicateur
On dit aussi qu'on applique le coefficient multiplicateur 8
100
cette valeur par
100
p
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3. Comment déterminer un pourcentage
T. Tchangai
Claire économise 44 € par mois.Quel pourcentage de son salaire cela représente-t-il ?
44
1100100
444
11
Pourcentage des économies: 4 %
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Pour déterminer quel pourcentage x de la valeur A représente la valeur B:
on divise B par A et on exprime le résultat sous forme d'une fraction dont le dénominateur est 100.
100B
xA
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4. Pourcentage indirect
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Alexandre paye un loyer de 350 €, ce qui représente 28 % de son salaire.
Quel est le salaire d’Alexandre ?
Soit x le salaire d’Alexandre.28 % de son salaire pour un loyer de 350 € signifie que : 28
350100
x
soit28
350100
x
100350 1250
28x
le salaire d’Alexandre est donc de 1 250 €.
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5. Augmentation d’un pourcentage :
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Le prix d'un magnétoscope est de 375 €.Il subit une hausse de 2 %.
Calculer:
1. le montant de la hausse,
La hausse est donc de: 7,5 €
2375 375 0,02 7,5
100
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2. le nouveau prix,
Calculer:
Le nouveau prix: 375 + 7,5 = 382,5 €
Calculer: 3. le coefficient multiplicateur qui permet
de passer de l'ancien prix au nouveau.
375 + 375 × 0,02 = 375×(1 + 0,02)
= 375×1,02 = 382,5
Coefficient multiplicateur: 1,02
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Ce coefficient multiplicateur est donc égal à :
21,02 1
100
Pour ajouter t %, il suffit de multiplier par
1100
t
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6. Diminution d’un pourcentage :
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On a une remise de 5 % sur un téléviseur de 550 €.
Calculer :
1. cette remise, 5
550100
550 0,05 27,5
Le montant de la remise: 27,5 €
2. le nouveau prix, 550 – 27,5 = 522,5
Le nouveau prix: 522,5 €
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Calculer :
le coefficient multiplicateur k qui permet de passer de l'ancien prix au nouveau.522,5
0,95550
k
Le coefficient multiplicateur s’obtient en divisant le nouveau prix par l'ancien : k = 0,95On peut également remarquer que le nouveau prix est :
550 ‑ 550×0,05 = 550× (1 ‑ 0,05) = 550 × 0,95
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Le coefficient multiplicateur est donc égal à 50,95 1
100
Pour retrancher t % à une grandeur, il suffit de la multiplier par
1100
t
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7. Pourcentages successifs :
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Sur un prix de 250 €, on obtient une remise de 4 % , et un escompte de 2 % .
1. Calculer le montant de la remise:
250×0,04 = 1010 €
2.L'escompte s'applique sur le net après remise.
Calculer :
a) Le prix net après remise:250 – 10 = 240 €b) L’escompte: 240×0,02 = 4,8 € c) Calculer le montant que l'on doit régler :
240 – 4,8 = 235,2 €
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On aurait pu calculer directement :
250 × 0,96 × 0,98 = 235,2
Le coefficient multiplicateur est:
0,96 × 0,98 = 0,9408 Et il correspond à une remise unique
de : 5,92 % = 100 % - 94,08%.
L'usage commercial est d'appliquer successivement des réductions,
chaque pourcentage s'appliquant au net obtenu après application du pourcentage précédent.
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8. Pourcentages par tranches
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• Un viticulteur accorde les remises suivantes en fonction du nombre de bouteilles achetées.
• - De la première à la 50e bouteille: 10 % de remise;
• - De la 51e à la 100e bouteille: 15 % de remise;
• - à partir de la 101e bouteille: 20 % de remise.
1. Quelle sera le montant de la facture, sans réductions, de 120 bouteilles si une bouteille coûte 9,15 €?
2. Quelle sera le montant de la facture, avec réductions, de 120 bouteilles si une bouteille coûte 9,15 €?
3. Calculer le pourcentage global de la réduction.
Exemple:
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1. Montant de la facture sans réduction:
9,15×120 = 1098 €
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Tranches Nombre de bouteilles
taux de remise (%)
Montant de remise(€)
1 à 50 50,00 10,00 45,75
51 à 100 50,00 15,00 68,63
à partir de 1001
20,00 20,00 36,60
Total 120,00 150,98150,98100 13,75
1098
2. Pour répondre à la question posée, Compléter le tableau suivant:
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3. Montant global de la réduction
45,75 + 68,63 + 36,60 = 150,98 €4. Montant de la facture avec réduction:
9,15×120 - 150,98 = 947,02 €5. Taux global de
réduction:150,98100 13,75
1098
13,75 %
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Méthode
Pour calculer un pourcentage par tranche sur une grandeur(nombre) donnée:
On applique un taux différent pour diverses parties de cette grandeur(nombre)
et on fait la somme des résultats.
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Calculs avec les pourcentages :
Exercices
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I.
a. Calculer 12 % de 500 €. 12
500 500 0,12 60100
b. Sur 360 personnes inscrites à un concours, 126 sont reçues.
Quel est le pourcentage des reçus par rapport aux inscrits (appelé aussi taux de réussite) ?
126100 35
360
60 €
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Le pourcentage de personnes reçues au concours:
35 %
c. Un commerçant réalise 20 % du chiffred'affaires (CA) de la semaine le
samedi. Un samedi, le CA s'élève à 760 €.Quel est le CA de la semaine?
équivaut à20760
100CA
100760 3800
20CA
Le chiffre d’affaire de la semaine est de 3800 €
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II. 1.
•4 % de 40 € donnent4
40100
1,60
• 5 % de 720 € donnent5
720100
36
•8 % de 24 € donnent8
24100
1,92
1,60 €.
36 €.
1,92 €.
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•12 % de 1 200 € donnent.12
1200100
144
•2. On vous propose une remise de 8 % sur le prix d'une voiture neuve.
Le montant de cette remise s’élève à 780 €.Quel est le prix de la voiture ?
•Soit x le prix de la voiture neuve.8 8
780 780100 100
x x
100780
8x 9750
Le prix de la voiture est de 9 750 €
144 €
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Déterminer un pourcentage
• 3. Au mois de mars 2002, le salaire de Rémi était de 1320 €.
• Au mois de juillet 2002, il a obtenu une augmentation de 19,80 €.
• Exprimer cette augmentation en pourcentage du salaire du mois de mars.
19,8100
1320t 1,5%
Le salaire de Rémi a augmenté de 1,5 %
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III.
Dans une classe, 6 filles sur 18 sont blondes et 4 garçons sur 13 sont blonds.
• 1.Calculer, en %, la proportion de garçons blonds par rapport aux garçons de la classe à 0,01 % près.
A.
Pourcentage de garçons blonds par rapport aux garçons: 30,77 %
4100 30,77%
13
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• 2. Calculer, en % la proportion de filles blondes par rapport aux filles de la classe à 0,01 % près.
Le pourcentage de filles blondes par rapport aux filles est de 33,33 %
6100 33,33
18
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Déterminer un pourcentage
• 3. Calculer, en %, la proportion de blonds (filles et garçons) par rapport aux élèves de la classe à 0,01 % près.
•Le pourcentage des blonds par rapport aux élèves de la classe est de 32,26 %
10100 32,26
31
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Pourcentages successifs
• Sur un article marqué 40 €, un commerçant offre à ses clients deux remises successives de 20 % et 15 %.
B.
20 1540 (1 ) (1 )
100 100
40 0,80 0,85 27,2
Le prix final est de 27,2 €.
a.
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Pourcentages successifs
• b. Un client lui rétorque que c'est équivalent à une réduction de 35 %. Calculer alors sur ce même article marqué 40 € le prix après une réduction, de 35 %.
• Une réduction de 35 % sur 40 € fait payer 26 € 35
40 (1 ) 40 0,65 26100
•c. Est-ce que le client a raison ?
•Le client se trompe de 1,2 €
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Pourcentages successifs
Lors de la déclaration d'impôt, on calcule tout d'abord deux réductions successives de 10 % et de 20 % du salaire brut noté S. On obtient alors le revenu imposable noté R.
• 1. Calculer le revenu net imposable pour un salaire brut de 15244 €.
• 2. Calculer le pourcentage de réduction équivalent, pour un salaire brut S de 15244 €.
C.
1. 10 2015244 (1 ) (1 )
100 100R
15244 0,90 0,80 10975 À l’unité près
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2. •Montant de la réduction: 15 244 – 10 975 = 4 269 €
•Pourcentage de réduction:
4269100 28
15244
28 %
Un commerçant accorde à un acheteur deux remises successives de 10 % et 15 % sur un article à 60 €.
•a. Quel est le prix final payé par le client ?
•b. Quel est le pourcentage de réduction équivalent ?
D.
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1. Le prix final à payer est de:
10 1560 (1 ) (1 ) 45,9
100 100
45,9 €
2.•Montant de la réduction: 60 – 45,9 = 14,1 €
•Pourcentage de réduction:
14,1100 23,5
60
23,5 %
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E. Pourcentages par tranches
• Un grossiste accorde à ses principaux clients des remises progressives selon le montant de leurs commandes.
• · Moins de 763 € : 2,5 %;
• · de 763 € à 1526 €: 5 %;
• · de 1526 € à 3050 € : 10 % ;
• · au-delà de 3050 € : 20 %.
• 1. Un client, M. Francis, passe une commande de 3506 € Quelle est la remise qui lui est accordée ?
• 2. Quel est le pourcentage global de cette remise (à 0,01 % près) ?
3. Un autre client, M. Pougeolles, se voit accorder une remise
de 70 € Quel était le montant de sa commande ?
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Tranches Somme(€) Taux de remise(%) Montant de la remise(€)
0 à 763 763 2,5 19,075
763 à 1 526 1 526 - 763 = 763
5 38,15
1 526 à 3 050
3 050 - 1 526 = 1 524
10 152,4
Au delà de 3 050
3 506 - 3 050 = 456
20 91,2
Total 3 506 300,825
E. Pourcentages par tranchesCompléter le tableau:
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1. Remise accordée à M. Francis:
763×0,025 + 763×0,05 + 1524×0,10 + 456×0,20 = 300,825 €
2. Pourcentage global de la remise à M. Francis:300,825
100 8,583506
8,28%
3. M. Pougeolles a une réduction de 70 €
• 19,075 < 70 < 152,24 donc d’après le tableau, le montant de sa commande est comprise entre 1526 € et 3050 €
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La remise obtenue par ce Monsieur pour le montant au delà de 1526 € est de:
70 – (19,075 + 38,15) = 12,775 €Soit x le montant de la commande de M. Pougeolles au delà de 1526 €
1012,775
100x 100
12,775 12,7510
x
Le montant de la commande est donc de:
1526 + 127,75 = 1653,75 €