t2 puentes de medición

Universidad Nacional de Colombia. Daro Arango, Diego Hernndez, Juan Paredes. Puentes Dc y Ac.

1

Resumen La resistencia elctrica es un concepto

fundamental en el rea de la electrnica tanto histrica como

moderna. Este elemento por lo general disipa potencia y la

cantidad de potencia que disipa se relaciona directamente con

el valor resistivo que posee, en todos los campos sobre todo en

la industria es muy importante saber el valor preciso de estas

resistencias. Uno de los mtodos ms exactos para medir este

parmetro se denomina medicin con puentes y sobre este

tema trata este pequeo texto donde se intenta explicar el

funcionamientos de estos sistemas en AC y DC.

Palabras claves Puente AC, Puente DC, Puentes:

Wheatstone, Kelvin, Double Kelvin, Hay, Maxwell, Schering,

Wien, Sauty, Owen, Fleming, Goot, Heaviside, Nernst,

Wagner.

I. PUENTE WHEATSTONE

Este es el puente de medicin bsico DC y sobre el cual se

basan los dems puentes de medicin de resistencia en DC, su

principio fundamental es el galvanmetro. El circuito elctrico

que describe este puente se puede observar en la figura 1.

Figura 1. Esquemtico del puente Wheatstone

El smbolo (circulo) marcado con G entre los nodos c y d

simboliza el galvanmetro que se usa en este circuito. La idea

fundamental de este sistema es que por el galvanmetro no

circulo corriente es decir que no exista deflexin en l, a este

estado se la llama de equilibrio y nos brinda una referencia

para analizar la relacin que hay en las resistencias siempre y

cuando se mantenga este estado de equilibrio [1]. El anlisis

para el puente Wheatstone basado en la figura 1 es el

siguiente:

Idealmente por G no debera circular corriente, pero en el

galvanmetro hay una resistencia de forma que la diferencia

de tensin entre c y d es cero es decir: Vcd=0.

Si sumamos y restamos Va obtenemos.

Tomando las tensiones de nodos y la ley de Ohm tenemos las

siguientes relaciones,

[1.3]

Y reemplazando en la ecuacin 2 tenemos como resultado lo

siguiente:

Como dijimos inicialmente la corriente del galvanmetro es

cero por lo tanto se cumplen las siguientes condiciones:

Si multiplicamos la ecuacin 5 por R1 y la ecuacin 6 por R2

obtenemos lo siguiente:

Obsrvese la relacin que se exprese en la ecuacin 4, que son

los trminos a la izquierda de las ecuaciones 7 y 8, entonces

igualando y cancelando el trmino E, obtenemos:

PUENTES DC Y AC PARA MEDIR

RESISTENCIAS E IMPEDANCIAS

Arango Daro, Hernndez Diego y Paredes Juan. {dmarangoa, dahernandezo, jpparedesg}@unal.edu.co


2

Despejando los denominadores y eliminando los trminos

comunes obtenemos a lo que queremos llegar, que es la

expresin que nos permite trabajar con este puente como

medidor de resistencia:

Por lo general los parmetros fijos son R2 y R1 que nos dan

una constante por medio del cociente que se observa en la

ecuacin 10 y est constante define el circuito, el parmetro

R3 es una resistencia variable y la cual junto con R4 (la

resistencia desconocida o a medir) deben presentar esa misma

constante que presentan R2 y R1, solo bajo esta condicin se

cumplir que el galvanmetro se encuentre en condicin de

equilibrio y esto nos da un sistema de medida para hallar el

valor de R4. La ecuacin 11 muestra una forma ms comn de

nombrar la resistencia desconocida.

II. PUENTE KELVIN

El puente Wheatstone presenta una excelente solucin para

hallar valores de resistencias a ciertas escalas y con una

precisin mayor a lo que se obtiene con los sistemas serie o

shunt que son o eran usados en los hmetros como primera

solucin para obtener este tipo de medidas. Este sistema es

muy prctico para la mayora de valores resistivos

exceptuando cuando se trata de resistencias muy grandes

(miles de Megaohms) o en el caso de resistencias muy

pequeas (inferiores a 1). El por qu se dice que para resistencias muy pequeas ya el sistema no es preciso, viene

como resultado de las conexiones o cables de lnea que unen a

las resistencias y as mismo como el sistema de soldadura o

unin que se use presentara en total una resistencia que

alterara los resultados medidos, claro est y como ya se ha

dicho antes esto solo ocurre cuando se estn midiendo

resistencias inferiores a 1.

De lo expuesto anteriormente nace la idea del puente Kelvin,

el cual es un puente que busca anular el error que presentan las

conexiones en el circuito, para ilustrar un poco mejor lo que se

ha planteado hasta el momento obsrvese en la figura 2, en

comparacin con la figura 1 se han tenido en cuenta 3 nuevos

nodos, estos son los nodos: n, m y p. Se tienen en cuenta estos

nodos para poder realizar el anlisis del sistema e incluir el

cableado que se encuentra entre la resistencia a medir Rx, la

resistencia patrn R3 y el galvanmetro [2].

Figura 2, Esquemtico del puente Kelvin

Sea Ry la resistencia del alambre de conexin entre Rx y R3

entonces la idea es conectar el galvanmetro en el punto p, ya

que si lo conectramos directamente a la resistencia R3 es

decir al nodo m estaramos sobrecargando un valor a la

resistencia Rx y el valor medido entre el nodo m y el nodo

superior a Rx hara que la relacin 11 se viera como sigue:

Entonces se obtendr un valor mayor al valor real que

queremos medir, por otra parte y por medio de un anlisis

similar obsrvese que si ubicamos el galvanmetro en n se

obtendr un valor menor al que realmente deberamos obtener.

Si ubicamos el galvanmetro en un punto estratgico p y

buscamos que la relacin resistiva entre los cableados n a p y

m a p sea igual a la relacin que ya hemos expresado para las

resistencias R1 y R2 entonces tenemos lo siguiente:

De forma que basados en la ecuacin 11, la ecuacin de

equilibrio para el puente ser:

Ntese que la base del anlisis de este sistema es cuando se

cumple la condicin expresada en la ecuacin 13. De forma

que si despejamos cualquiera de las dos variables ya sea Rnp o

Rmp con base en esta ecuacin se sigue conservando la

condicin de equilibrio en el galvanmetro y esto es:

Si reemplazo ahora esto en mi ecuacin 14 y distribuimos los

operando en el trmino de la derecha lo que se obtiene es:


3

Ntese que el trmino de la derecha en la ecuacin 15 se repite

nuevamente en la ecuacin 16, si cancelamos este trmino

encontramos una caracterstica especial y es que desaparecen

los trminos incluidos en nuestra ecuacin de equilibrio al

considerar la resistencia Ry.

En conclusin si realizamos el anlisis del puente Wheatstone

incluyendo la resistencia de lnea (puente Kelvin) si se obtiene

un sistema diferente, pero al ubicar el galvanmetro en un

punto especial obtenemos que la diferencia incluida por la

resistencia Ry desaparece de forma que volvemos a tener un

sistema estable pero esta vez aplicado a resistencias pequeas.

III. PUENTE DOBLE KELVIN

Como ya se mencion para el puente Kelvin sencillo, existe

una resistencia presentada por los cables, en nuestro caso

llamada Ry que afecta el sistema de medicin. Aunque en el

desarrollo del puente Kelvin se dijo que se podra anular el

efecto de dicha resistencia al sistema ubicndola en un punto

estratgico que presentara cierta relacin con respecto a R1 y

R2, esto no siempre es posible ya que en algunas ocasiones es

muy difcil hallar el punto exacto p donde debe ir la conexin

al galvanmetro debido a las variaciones que hay entre cables

y soldaduras. Para solucionar este problema se recurre a la

idea del puente Doble Kelvin donde el tratamiento para

regular este problema no se centra en Ry, sino en dos

resistencias a y b que se conectan en paralelo con Ry y las

cuales son conocidas por quien disea el aparato y permiten

despreciar el efecto de Ry. La figura 3 ilustra un poco mejor

esta idea [3].

En este caso el galvanmetro presentara condicin de

equilibrio cuando se cumpla que la diferencia de tensin entre

p y k sea cero. Es decir Vkl = Vlmp. Adems se necesitara que

la relacin entre el cociente de la resistencias a/b sea igual al

cociente entre R1 y R2. Entonces:

[

]

Figura 3. Esquemtico Puente doble Kelvin

{

[

]}

Como ya dijimos las tensiones Vkl y Vlmp deben ser iguales

partiendo del equilibrio en el galvanmetro entonces si

igualamos las ecuaciones 18 y 19 obtenemos:

[

] {

[

]}

Si ahora despejamos ahora el trmino que corresponde a Rx

que es la resistencia a medir obtenemos la siguiente expresin:

(

)

Ntese que la condicin inicial que se propuso aparte de la de

equilibrio era que la constante dada por el cociente entre a/b

fuese igual al cociente entre R1/R2 si aplicamos esto a la

ecuacin 21 obtenemos como resultado nuevamente la

ecuacin que se ha venido trabajando:

De forma que la ecuacin resultante en los puentes Kelvin y

doble Kelvin son las mismas y surgira la pregunta si son

necesarios estos arreglos para llegar a lo mismo y as mismo

cabe recordar que cada anlisis permiti eliminar un problema

que se tena al medir pequeas resistencias y en comparacin

del puente Kelvin al Doble Kelvin hay una mejora que no solo

es parte de un circuito o diseo sino que es aplicable

completamente a la construccin de estos aparatos.


4

IV. PUENTES DE AC

Anteriormente el enfoque se haba aplicado a los puentes para

medir resistencias, las cuales no presentan mayor variacin

con la frecuencia, en el caso de elementos capacitivos e

inductivos se pueden medir con ayuda del puente bsico

usado para medir resistencias, donde ahora se puede usar con

el fin de medir impedancias en elementos reactivos.

El fundamento para medir impedancias se basa en

amplificadores, se tiene adems un buscador de cero, y una

fuente de AC que permite excitar los dispositivos y de esa

manera permitir desarrollar la medida [4].

Fig. 4.1: Puente de impedancias

Se puede observar en la figura 2.1 que se tiene una vez ms un

puente pero con impedancias z1,z2, z3 y z4, la condicin de

lectura cero se obtiene cuando la cada en los audfonos es

cero, es decir cundo:

Empleando un anlisis matemtico igual que en el caso del

puente Wheatstone, se llega a que se deben cumplir las

relaciones:

Por otra parte en trminos de admitancias tenemos:

Como estas expresiones son nmeros complejos, entonces se

puede ver que deben ser iguales tanto en las magnitudes como

en las fases, por lo tanto las ecuaciones a cumplir son:

| || | | || |

Y para los ngulos se tiene de cada impedancia:

V. PUENTE DE MAXWELL

Este puente se utiliza para la medida de inductores, la

arquitectura de este circuito se muestra en la figura 5,

basndose en la ecuacin [4.2] podemos ver que podemos

hallar la impedancia 4 es trminos de las otras como:

Figura 5: Puente de Maxwell

Segn la figura se puede apreciar que la impedancia 2 y 3

tienen un valor puramente resistivo, mientras que la

admitancia 1 tiene un valor dado por el equivalente en paralelo

de una conductancia y una reactancia de origen capacitivo, as

la disposicin se puede expresar a Z4 como:

Se pueden igualar las partes reales e imaginarias obteniendo:

Este dispositivo est limitado a bobinas con factor de calidad

medio, que se define como variable entre cero y diez, esto se

debe a que en el caso de que una impedancia sea muy

inductiva se debe compensar el valor de este ngulo con una

resistencia muy grande para la impedancia Z1 porque esta se

puede expresar como:

Por lo que se observa que esta fase tiende ms a menos 90 si

la parte imaginaria es ms negativa y esto se logra con

resistencia muy alta, lo que no es prctico, esto justifica que el

factor de calidad de la impedancia a medir debe ser medio y

no tan alto.

A partir de las ecuaciones que igualan la parte real e

imaginaria se puede observar que para lograr una excitacin

nula se debe variar la resistencia R1 y la R3, como la parte

imaginaria no depende de R1, primero se ajusta esta y por


5

ende se varia R3, al variar luego R1 se desequilibra de nuevo

el balance, luego se debe hacer varias veces el procedimiento

hasta que la corriente al fin sea nula, la desventaja se puede

ver en que el procedimiento puede ser bastante lento [5].

VI. PUENTE DE HAY

El puente Hay se utiliza para medir impedancias inductivas,

pero con la diferencia respecto al puente de Maxwell en

cuanto al factor de calidad ya que en este caso permite hallar

impedancia con alto Q. Este posee una impedancia Z1

compuesta de un condensador en serie con una resistencia,

favoreciendo la compensacin angular respecto a la condicin

de las fases [6].

En la figura 6 se puede observar la disposicin, de esa manera

se pueden plantear una vez ms las ecuaciones

correspondientes como:

Figura 6: Puente de Hay

Igualando la parte real y la imaginaria tenemos las ecuaciones:

A diferencia del puente de Maxwell, estas expresiones

presentan una dependencia de la frecuencia y por lo tanto se

debe estar seguro de la frecuencia de la red o tensin con la

que se alimente el circuito.

El factor de calidad se define como la razn de la energa

almacenada, sobre la disipada en un radian, y se puede

demostrar que para un elemento capacitivo se tiene:

Mientras que para el inductivo est dado por:

Observando la ecuacin [2.14] podemos notar que se puede

reescribir el trmino del denominador en funcin del factor de

calidad como:

( )

Por lo que si el factor de calidad es grande de puede despreciar

ese trmino para de esta manera obtener:

Vale la pena recordar que en este caso se varan las mismas

resistencias hasta llegar a una condicin de cero tensiones en

las terminales y por lo tanto que el equilibrio efectivo.

Se concluye que para medir inductancias por medio de los

puentes es necesario tener en cuenta saber si se trata de un

elemento con alto o bajo factor de calidad con el fin de poder

obtener una medida fiable con el puente apropiado.

VII. PUENTE SCHERING

Es un puente de medicin ampliamente utilizado en ac y se

usa para realizar la medicin de capacitores y capacitancias en

general. Este tipo de fuente es til para medir elementos con

ngulos de fase muy cercanos a 90, es decir, que su

componente capacitivo sea mucho mayor a su componente

resistivo. El esquema del Puente Schering se muestra en la

figura 7.

Figura 7: Puente Schering

El esquema circuital de este puente es similar a los anteriores,

pero a diferencia de los anteriores, en la rama 1 contiene un

resistor con un capacitor variable y la rama patrn (rama 3)

contiene nicamente un capacitor. En general, el capacitor de

la rama patrn es de mica, generando prdidas despreciables

debido a su resistencia que es casi nula y con ngulo de fase

muy cercano a 90. Adems de capacitores de mica, se suelen

utilizar capacitores de aire para mediciones de aislamiento [7].

Como se ha mencionado anteriormente, para que el sistema

est en equilibrio se debe cumplir que:


6

La condicin de equilibrio requiere que la suma de los ngulos

de fase en las ramas 1 y 4 sea igual a la suma de los ngulos

de fase de las ramas 2 y 3. Dado que la suma en las ramas 1 y

4 es 0+90

=90

debido que el resistor tiene un ngulo de fase

de 0, mientras que en el capacitor es de 90

ya que su parte

resistiva es despreciable. Por tanto, la suma de los ngulos de

fase en las ramas 2 y 3 debe ser igual a 90 para que se

conserve el equilibrio.

Dado que al medir un elemento capacitivo (rama 4), ste tiene

un componente resistivo asociado, su ngulo de fase es menor

a 90, es necesario que el ngulo de fase de la rama 1 sea

pequeo. Esto se logra asignando a C1 un valor pequeo con

respecto a R1.

Sustituyendo en la ecuacin de equilibrio X1 se tiene:

(

) (

)

Igualando las partes reales e imaginarias obtenemos:

Como se puede ver en la figura 4, R1 y C3 son parmetros fijos

mientras que R2 y C1 se escogen para el ajuste del equilibrio

del sistema.

Se define el factor de potencia (PF) en un arreglo RC como el

coseno del ngulo de fase del circuito. En ngulos de fase muy

cercanos a 90, se tiene que la reactancia es casi igual a la

impedancia y se puede modelar de la siguiente forma:

Adems, se define el factor de disipacin (D) de una

combinacin RC como la cotangente del ngulo de fase y se

expresa de la siguiente forma:

VIII. PUENTE WIEN

Este puente es utilizado como medidor de frecuencia en

circuitos de ac y adems tiene aplicacin como filtro

pasabanda y analizador de distorsin armnica. En la figura 7

se muestra el esquema del Puente Wien [8].

Figura 7: Puente Wien

Como se observa en el esquema presentado, el Puente Wien

contiene un capacitor fijo en serie con una resistencia variable

en la rama 1, adems de un capacitor fijo en paralelo con una

resistencia variable en la rama 3. Se tiene que en las ramas 1 y

3 la impedancia y admitancia, respectivamente, estn dadas

por:

Con base en la ecuacin de equilibrio descrita en las anteriores

secciones se tiene que:

Sustituyendo en la anterior ecuacin se tiene que:

(

) (

)

Igualando las partes real e imaginaria se tienen las siguientes

expresiones:

Como se tiene que , resolvemos para f, obteniendo:


7

Entonces, se tiene que si las resistencias R2 y R4 cumplen con

la condicin especificada y la tensin aplicada tiene la

frecuencia describa por la anterior ecuacin, el puente estar

en equilibrio.

Usualmente en los Puentes tipo Wien se fijan los valores de

forma que y , reduciendo las expresiones a:

IX. PUENTE ANDERSON

Este tipo de puente es utilizado para realizar la medicin de

inductancias mediante un capacitor de valor fijo en circuitos

ac. En la figura 9 se muestra el esquema del Puente Anderson.

En este tipo de puentes, el ajuste se realiza variando los

valores de R1 y R4 [9].

Figura 9: Puente Anderson

Para analizar el circuito, se encuentra el equivalente en estrella

de las tres impedancias que estn en delta en el circuito (R1, R4

y C). Se encuentra el circuito equivalente de la figura 9.1.

Figura 9.1: Circuito Equivalente Puente Anderson

Se tiene que:

Con base en la ecuacin de equilibrio expuesta anteriormente

se tiene que el producto de las impedancias de un par de ramas

opuestas es igual al producto del otro par de ramas opuestas,

obteniendo:

(

) (

)

(

)

Igualando las partes real e imaginaria se tiene que la para este

tipo de puente las ecuaciones de equilibrio estn dadas por:

(

)

X. PUENTE HEAVISIDE CAMPBELL

Este tipo de puente es utilizado para medir autoinductancia en

una bobina en trminos de la inductancia mutua. En la figura

10.1 se muestra el esquema del Puente Heaviside-Campbell

[10].

Figura 10.1: Puente Heaviside-Campbell


8

Para este puente, en equilibrio se tiene:

Si las resistencias R2 y R4 son iguales, se tiene:

Adems, este puente puede ser utilizado para medir la

inductancia mutua entre dos inductores en trminos de sus

autoinductancia como sigue.

Si las resistencias R2 y R4 son iguales, se tiene:

XI. PUENTE DE SAUTY.

El puente de Sauty al igual que los que se han visto posee una

versin en paralelo y en serie, en cuanto a los condensadores y

resistencias variables del instrumento. Este puente es utilizado

para la medicin de condensadores, para analizar el puente de

Sauty en paralelo, se observa en la figura 11 que la condicin

para que la tensin en los audfonos sea cero deber ser:

Figura 11: Puente de Sauty en paralelo

De esa manera nos damos cuenta que Y1 y Y2 son puramente

resistivos, y al expandir tenemos:

(

) (

)

De esa manera haciendo la igualacin de la parte real y la

imaginaria tenemos:

(

)

Como se puede observar las expresiones para la capacitancia y

la resistencia a medir dependen de la variacin que le haga a

R1 y a R2.

Esta disposicin es bastante til para medir capacitores con

alto factor de disipacin que es lo inverso a tener alto factor

de calidad, por lo tanto se puede utilizar en paralelo para bajos

factores de calidad y en seria para altos factores de calidad

[11].

XII. PUENTE DE OWEN

Este puente es utilizado para medir inductores, a diferencia de

los puentes de Maxwell y Hay, este utiliza dos condensadores

de los cuales uno de ellos es variable como se muestra en la

siguiente figura.

Figura 12: Puente de Owen

Si se aplican una vez ms las frmulas para igualar las partes

imaginarias y reales de los productos cruzados se puede

despejar la inductancia y la resistencia a medir como:

Y para el inductor:

El uso de este puente se emplea para la medicin de

impedancia con partes inductivas con bajos factores de

calidad.

Se puede observar adems que estos son independientes de la

frecuencia y que para hallar la parte resistiva solo hace falta

variar C3 que no se involucra directamente con la medicin de

la inductancia, sin embargo al igual que todos los puentes una

calibracin de una parte no garantiza la de la otra y por eso

asegurar el equilibrio puede seguir siendo lento [12].


9

XIII. PUENTE DE WAGNER

Se denomina tambin conexin a tierra de Wagner, su

funcionalidad radica en la existencia de capacitancias parasitas

entre los elementos fijos y los elementos a medir del circuito

afectando las mediciones. Con el fin de disminuir esos aportes

a error, se blindas las ramas del circuito y el blindaje se

aterriza haciendo que los errores no desaparezcan pero s que

tengan un valor constante que se puede compensar por

calibracin despus.

La conexin a tierra de Wagner ayuda a disminuir esas

capacitancias, la figura 13 ilustra el esquemtico de la

conexin.

Figura 13: Esquemtico del puente de Wagner

En el centro del puente se pueden observar el modelamiento

de las capacitancias parasitas C1 y C2, la conexin a tierra de

Wagner es la combinacin en serie de y Para calibra el puente se debe primero conectar el detector a la

terminal 1 del interruptor calibrando a R1 con el fin de que no

haya sonido en el detector.

Luego se pasa a la terminal 2 del interruptor con el fin de

conectarlo al punto de tierra, y una vez ms se ajusta la

resistencia para que exista el mnimo sonido, en este caso

variando a . Si se vuelve a pasar al detector a la terminal 1, se observa que

hay un desbalance lo que obliga a ajustar ahora las resistencias

2 y 3, y as sucesivamente hasta que el detector si llegue a un

cero, de esa manera se ha logrado cortocircuitas las

capacitancias parasitas suprimiendo su aporte en el balance

del puente.

En conclusin tal procedimiento permite que se disminuya el

efecto de las capacitancias parasitas sin afectar el balance del

detector haciendo que las medidas permanezcan inalteradas.

[13]

XIV. PUENTE DE NERST

Este tipo de puentes son utilizados para medir capacitancias, la

configuracin consta de una impedancia con reactancia

capacitiva en serie como entrada a medir y otra en paralelo

para ajustar.

En la siguiente figura se puede observar el esquemtico:

Figura 14: Puente de Nerst

Para este tipo de puente se tiene que la condicin de acople

con las impedancias y admitancias:

Como las otras dos ramas tienen resistencias, la condicin de

acople conlleva a la ecuacin de condicin de equilibrio:

Y para la parte imaginaria se tiene

Por lo que el equilibrio depende de la frecuencia.

Se puede entonces apreciar que la condicin de equilibrio se

tiene cuando son iguales los trminos:

[14.7]

La ventaja se tiene porque una vez se alcanza el equilibrio los

parmetros variables quedan igual a los medidos. [14]


10

XV. BIBLIOGRAFA

[1] Cooper. D, Mediciones con Puentes en Instrumentacin Electrnica Moderna y Tcnicas de

Medicin. Prentice Hall, 1991. Pg. 156, 190, 194, 195.


Medicin. Prentice Hall, 1991. Pg. 108.


Medicin. Prentice Hall, 1991. Pg. 109,110.








Medicin. Prentice Hall, 1991. Pg. 121.122.

dInstrumentacin Electrnica Moderna y Tcnicas de

Medicin. Prentice Hall, 1991. Pg. 126.127.

[9] Donald G. Medidas e instrumentos de medida en Manual Prctico de Electricidad para Ingenieros. Pag. 65.

[10] Heaviside-Campbell Bridge [Online]. Disponible en:

http://www.transtutors.com/homework-help/electrical-

engineering/electronic-and-electrical-measurements/heaviside-

campbell-bridge.aspx

[11] Puente de Sauty Serie [Online]. Disponible en:

http://www.electroraggio.com/fs_files/user_img/mediciones/s

autyp.pdf

[12] Instrumentacin Electrnica 1: Medicin con Puentes

[Online]. Disponible en:

http://ingdkmero.blogspot.com/2012/11/3-medicion-con-

puentes.html]


Medicin. Prentice Hall, 1991. Pg. 109, 195.

[14] Ch. De Cidrac Problemas de electricidad Electromagnetismo, Revert Tomo III pg 125.

t2 puentes de medición

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