Matemática  II  

2010-­‐2011    2º  Semestre    Exame  28  de  Junho  de  2011

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    Pedro  Raposo;  Maria  João  Araújo;  Carla  Cardoso;  Vasco  Simões    O  teste  tem  a  duração  de  2:30  horas.  Deve  resolver  os  grupos  em  folhas  separadas.    

Grupo  I  (4  valores)  

 

1. Seja      tal  que   .  Determine    de  forma  que  na  origem,  a  

derivada  de    na  direcção  (e  sentido)  do  vector    seja  nula.  (Cotação: 2 valores)      

2. Mostre   que   se   o   vector     é   perpendicular   ao   vector   gradiente   em     de   uma   função    homogénea  de  grau   ,  então     .  (Cotação: 2 valores)  

 

Grupo  II  (6  valores)  

3. Utilize  o  método  dos  multiplicadores  de  Lagrange  para  determinar  os  extremos  de  

sujeita  à  condição   .  (Cotação:  2  valores)   4. Considere a função  

sujeito a

a) Determine graficamente o mínimo e o máximo de z. Não precisa calcular as coordenadas de

nenhum dos pontos. (Cotação: 1.5 valores)

b) Indique as condições de Kuhn-Tucker para obter o mínimo de z. Mostre como se alterariam as condições se e . (Cotação: 1 valor)

c) Resolva o problema formulado no enunciado da questão 4 para o mínimo de z pelo método de Kuhn-Tucker admitindo que a restrição é não activa. (Cotação: 1.5 valores)

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Grupo  III  (6.5  valores)  

5. Considere  o  problema:  

   

a) Resolva-­‐o,  pelo  simplex.  (Cotação:  2  valores)  b) Escreva  o  dual  do  problema  dado.  (Cotação:  1  valor)  c) Determine  e  interprete  a  solução  do  dual,  através  da  propriedade  dos  desvios  complementares.  

(Cotação:  1  valor)    6.   Considere   o   problema   de   maximização   do   lucro   de   uma   dada   fábrica   que   produz   3   produtos  utilizando  2  recursos:  

Em  que  o  quadro  final  do  simplex  é  o  seguinte:

Z        

 

 

 

 

 

   

  0   1   0   7/5    1/5   74/5    

  1   -­‐1   0   1/5   -­‐2/5    2/5    

  0   0   1   2/5    1/5   24/5    

 a) Quanto  estaria  disposto  a  gastar  para  ter  mais  uma  unidade  de  cada  um  dos  recursos?  Justifique.  

(Cotação:  1  valor)    

b) Um  funcionário  da  fábrica  veio  avisar  o  director  que  afinal  a  quantidade  disponível  do  recurso  1  se  reduziu  de  10  para  3.  O  director  afirmou  que  o  problema  não  era  grave  pois  o  lucro  era  de  X.  Calcule  o  valor  do  lucro  X.  Comente  a  afirmação  do  director.  (Cotação:  1.5  valores)    

Grupo  IV  (3.5  valores)  

7.  Estude  a  natureza  da  série     .  (Cotação:  1  valor)  

 

8.  Seja     .  

(a)  Escreva  a  série  de  Mac-­‐Laurin  de   .  (Cotação:  1.5  valores)  

(b)  Chamando      à  série  obtida  em  (a)  diga  justificando  se    .  (Cotação:  1  valor)    

   BOA  SORTE.  

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PROPOSTA  DE  RESOLUÇÃO  

Grupo  I  

1. Resolução: , então a derivada dirigida pedida é

Logo

2. Resolução: Se é homogénea de grau tem-se em

que se pode escrever

ou ainda

Se o produto interno é nulo, logo c.q.d. Grupo  II  

 3.    

F = xyz − λ(x + 2y + 3z − 6)

∂F∂x

= yz − λ = 0

∂F∂y

= xz − 2λ = 0

∂F∂x

= xy − 3λ = 0

∂F∂λ

= −(x + 2y + 3z − 6) = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⇔

yz = λxz − 2yz = 0xy − 3yz = 0− − −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔

− − −z(x − 2y) = 0y(x − 3z) = 0− − −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

n sistemas, 2 zeros =1, 1 zero=2 e 0

zeros=1, numero de sistemas =4

1

λ = 0z = 0y = 0x = 6

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

 

2

λ = 0z = 0y = 3x = 0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

 

3

λ = 0z = 2y = 0x = 0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

 

4

λ = 2 / 3z = 2 / 3y = 1x = 2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

A 6,0,0( ) λ = 0; B 0,3,0( ) λ = 0;

C 0,0,2( ) λ = 0; D 2,1, 23( ) λ = 2

3  

H1=-4z

H 2 = 6xz +12yz + 4xy − x2 − 4y2 − 9z2

R.: A, B, C pontos de sela e D máximo f=4/3  

4/9

 4.    a)  

   

F = −x + y − λ1(9 − 2x − y) − λ2 (x2 − 6x + y2 + 4) − λ3(4y − x)    

b)

∂F∂x

= 0

∂F∂y

= 0

λ1

∂F∂λ1

= 0

λ2

∂F∂λ2

= 0

λ3

∂F∂λ3

= 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

λ1λ2λ3

∂F∂λ1

∂F∂λ2

∂F∂λ3

≥ 0

⇔

∂F∂x

= −1+ 2λ1 − 2xλ2 + λ3 + 6λ2 = 0

∂F∂y

= 1+ λ1 − 2yλ2 − 4λ3 = 0

λ1(−9 + 2x + y) = 0

λ2 (−x2 + 6x − y2 − 4) = 0λ3(x − 4y) = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

e com condições x>=0 e y>=0 ficaria:

x ∂F∂x

= x(−1+ 2λ1 − 2xλ2 + λ3 + 6λ2 ) = 0

y ∂F∂y

= y(1+ λ1 − 2yλ2 − 4λ3) = 0

λ1(−9 + 2x + y) = 0

λ2 (−x2 + 6x − y2 − 4) = 0λ3(x − 4y) = 0

λ1,λ2 ,λ3,∂F∂λ1

,∂F∂λ2

,∂F∂λ3

,x, y ≥ 0

∂F∂x

,∂F∂y

≤ 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

 

5/9

 

c)

∂F∂x

= 0

∂F∂y

= 0

λ1

∂F∂λ1

= 0

λ2 = 0

λ3

∂F∂λ3

= 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

λ1λ2

∂F∂λ1

∂F∂λ3

≥ 0

⇔

∂F∂x

= −1+ 2λ1 − 2xλ2 + λ3 + 6λ2 = 0

∂F∂y

= 1+ λ1 − 2yλ2 − 4λ3 = 0

λ1(−9 + 2x + y) = 0λ2 = 0λ3(x − 4y) = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

 

 

1

∂F∂x

= −1 = 0 impossivel

∂F∂y

= 1 + λ1 − 4λ3 = 0

λ1 = 0λ2 = 0λ3 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

2

∂F∂x

= −1 + 2λ1 + λ3 = 0

∂F∂y

= 1− 4 = 0 impossivel

λ1 = 0λ2 = 0(x − 4y) = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

3

∂F∂x

= −1 + 2λ1 + λ3 = 0 ⇔ λ1 = −1 / 2

∂F∂y

= 1 + λ1 − 4λ3 = 0 ⇔ λ1 = 0 impossivel

(−9 + 2x + y) = 0λ2 = 0λ3 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

4

∂F∂x

= −1+ 2λ1 + λ3 = 0

∂F∂y

= λ1 = −1+ 4λ3

(−9 + 2x + y) = 0λ2 = 0(x − 4y) = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

3

∂F∂x

= λ3 = 3 / 9 = 1 / 3

∂F∂y

= λ1 = 3 / 9 = 1 / 3

x = 4λ2 = 0y = 9

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

R:  min  Z=4-­‐1=3  para  x=4  e  y=9  e   λ1 = λ3 =

13

.  

6/9

 ___________________________________GrupoIII________________________________________       5. Resolva-­‐o,  pelo  simplex

Z                  

  1   1   0   0   M   0   0    

  1   1   1   0   0   0   8    

  0   1   0   -­‐1   1   0   3    

  -­‐1   1   0   0   0   1   2                  

  2   0   0   0   M   -­‐1   -­‐2    

  2   0   1   0   0   -­‐1   6    

  1   0   0   -­‐1   1   -­‐1   1                  

  -­‐1   1   0   0   0   1   2    

  0   0   0   2   ///   1   -­‐4    

  0   0   1   2   ///   1    4    

  1   0   0   -­‐1   ///   -­‐1    1    

  0   1   0   -­‐1   ///   0    3    

b. Escreva  o  dual  do  problema  dado.

 

 

zc66

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c. Determine  a  solução  do  dual,  através  da  propriedade  dos  desvios  complementares.    

Substituindo : , logo, a 1ª restrição é não activa

6.   Considere   o   problema   de   maximização   do   lucro   de   uma   dada   fábrica   que   produz   3   produtos  utilizando  2  recursos:  

Em  que  o  quadro  final  do  simplex  é  o  seguinte:

Z        

 

 

 

 

 

   

  0    1   0   7/5    1/5   74/5    

  1   -­‐1   0   1/5   -­‐2/5   2/5          

  0    0   1   2/5    1/5   24/5  

 

       

 a) Quanto  estaria  disposto  a  gastar  para  ter  mais  uma  unidade  de  cada  um  dos  recursos?  Justifique.    

   Os  preços  sombras  dos  recursos  são  7/5  para  o  recurso  1  e  1/5  para  o  recurso  2.  Estes  preços  correspondem   ao   aumento   do   lucro   por   uma   unidade   adicional   de   cada   um   dos   recursos.  Assim,  estaria  disposto  a  gastar  até    7/5  de  u.m.  por  cada  unidade  suplementar  do  recursos  1  e  até  1/  5  de  u.m.  por  cada  unidade  suplementar  do  recurso  2  porque  era  o  que  receberia  a  mais.          

b) Um  funcionário  da  fábrica  veio  avisar  o  director  que  afinal  a  quantidade  disponível  do  recurso  1  se  reduziu  de  10  para  3.  O  director  afirmou  que  o  problema  não  era  grave  pois  o  lucro  era  de  X.  Calcule  o  valor  do  lucro  X.  Comente  a  afirmação  do  director.      

8/9

 

 Quadro  inicial:  

 

 

Tudo  o  que  acontece  à  variável  de  folga   ,  acontece  a   ,  então:    

 

 

   

Como  as  varáveis  básicas  têm  que  ser  não  negativas,  fica:    

É  grave,  já  que   não  pertence  ao  intervalo  de  sensibilidade,  portanto  os  valores  das  variáveis  básicas  e  do  

lucro  vão  sofrer  alterações.  Para , então:

   Novo  quadro:  

Z        

 

 

 

 

 

   

     0      1   0    7/5    1/5    5    

     1    -­‐1   0    1/5   -­‐2/5   -­‐1          

     0      0     1    2/5    1/5    2                

   1/2        0   0    3/2        0   9/2    

  -­‐5/2    5/2   0   -­‐1/2        1   5/2          

   1/2   -­‐1/2   1    1/2        0   3/2                

 

zc66

9/9

 

 

Grupo  IV  

7. R: A série de módulos é e como tem-se:

Usando o critério de Cauchy para a série :

portanto a série converge.

e a série converge também e a série inicial em estudo é Absolutamente Convergente.

8.    a)  Seja     ,  então        

 

e  

 

Posto  isto,  como  

 

e          

 

fica  

 

 b)Não,  a  igualdades  é  falsa  uma  vez  que  5  não  pertence  ao  domínio  de  convergência.