t4 cba continuas - rua, repositorio institucional de la ... · contrastes de bondad de ajuste de...

Estadística :: T4. Contrastes de bondad de ajuste de variables continuas

Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

T4. Contrastes de bondad de ajuste de variables continuas

Estadística


Variable aleatoria continua y su ajuste a una distribución



Método de Kolmogorov-Smirnov (K-S)

Fi= Función de distribución empírica

Фi= Función de distribución teórica

Diferencia máxima Máx. |Fi-Фi|


Diferencia máxima



Fi= Función de distribución empírica

Фi= Función de distribución teórica

Máx. |Fi-Фi|

Diferencia máxima Máx. |Fi-1-Фi|


En una lonja se toma una muestra de 9 individuos de pulpo común (Octopus vulgaris), y con posterioridad se pesan para saber el valor de su biomasa (kg): 0.878, 0.710, 0.833, 1.066, 0.676, 0.960, 0.863, 0.920, 0.797 Si esta variable sigue la distribución Normal, podemos profundizar mediante un análisis posterior con métodos paramétricos ¿Siguen los datos una distribución Normal?


Ejemplo

),( σµNX ≡



0.676 0.111 -1.49 0.068 0.043 0.085

0.710 0.222 -1.20 0.115 0.107 |0.11-0.115|

0.797 0.333 -0.49 0.312 0.021

… … … … …

1.066 1.000 1.74 … …

Método de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Calcular la función de distribución empírica (Fi)

nixF i =)( 111.0

91)676.0( ==F



0.676 0.111 -1.479 0.068 0.043 0.085

0.710 0.222 -1.198 0.115 0.107 |0.11-0.115|

0.797 0.333 -0.479 0.312 0.021

… … … … …

1.066 1.000 1.744 … …

Método de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Tipificar la variable para calcular Zi

σµ−

=xz

( )121.0

1

2

=−

−= ∑

nxx

S855.01== ∑ ixn

x

),( σµNX ≡ )1,0(NZ ≡



0.676 0.111 -1.479 0.069 0.043 0.085

0.710 0.222 -1.198 0.115 0.107 |0.11-0.115|

0.797 0.333 -0.479 0.316 0.021

… … … … …

1.066 1.000 1.744 0.959 …

Método de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Calcular la función de distribución teórica (Фi) usando Tabla Z

9306.01)479.1(1)479.1(1)479.1( −=−=≤−=−≤ ∫ZPZP



0.676 0.111 -1.479 0.069 0.042 0.069

0.710 0.222 -1.198 0.115 0.107 0.004

0.797 0.333 -0.479 0.316 0.017 0.094

… … … … … …

1.066 1.000 1.744 0.959 0.041 0.071

Método de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Calcular las diferencias entre distribución empírica y teórica



0.676 0.111 -1.479 0.069 0.042 0.069

0.710 0.222 -1.198 0.115 0.107 0.004

0.797 0.333 -0.479 0.316 0.017 0.094

… … … … … …

1.066 1.000 1.744 0.959 0.041 0.071


0



0.676 0.111 -1.479 0.069 0.042 0.069

0.710 0.222 -1.198 0.115 0.107 0.004

0.797 0.333 -0.479 0.316 0.017 0.094

… … … … … …

1.066 1.000 1.744 0.959 0.041 0.071




0.676 0.111 -1.479 0.069 0.042 0.069

0.710 0.222 -1.198 0.115 0.107 0.004

0.797 0.333 -0.479 0.316 0.017 0.094

… … … … … …

1.066 1.000 1.744 0.959 0.041 0.071

Método de Kolmogorov-Smirnov (K-S) ¿Cual es la mayor diferencia entre distribución empírica y teórica?

{ } { } 107.0094.0,107.0|||,| 1exp ==−−= − MaxFFMaxD iiii φφ

¿Esta diferencia es grande o pequeña?



H0: La muestra se ajusta a la distribución hipotética H1: La muestra NO se ajusta a la distribución hipotética

β? α

Punto crítico c α,nD

• n = Nº de muestras

Obtenido de la Tabla K-S

430.005.0,9, == DDn α{ } 107.0|||,| 1exp =−−= − iiii FFMaxD φφ

430.0107.0 05.0,9exp =<= DD NO SE RECHAZA H0

La variable biomasa de los pulpos sigue una distribución

Normal




β? α

)( expDDPvalorp n ≥=−

NO SE RECHAZA H0

La variable biomasa de los pulpos sigue una distribución

Normal

)107.0( 9 ≥=− DPvalorp2.0>− valorp

α>− valorp

Obtenido de la Tabla K-S



Rechazamos H0 si:

Test diseñado para variables aleatorias continuas dadas de forma puntual (aunque se puede aplicar a ordinales). Normalmente se usa para pruebas con muestras pequeñas

Hipótesis estadística:

β? α


{ } αφφ ,1exp |||,| niiii DcFFMaxD =≥−−= −

{ } αφφ <−−≥=− − |||,|( 1 iiiin FFMaxDPvalorp• n = Nº de muestras


Desarrollo de la prueba:

1.  Ordenar los datos de menor a mayor 2.  Calcular la función de distribución empírica (Fi)

3.  Tipificar la variable para calcular Zi

4.  Calcular la función de distribución teórica (Фi) usando la Tabla de Z 5.  Calcular la discrepancia entre distribución empírica y teórica,

calculando para cada punto:

6.  Se comparan y se selecciona aquel intervalo de clase que tenga mayor desviación absoluta entre las desviaciones teóricas y observadas

7.  Se compara la desviación con los valores críticos de la tabla de Kolmogorov-Smirnov

nxx ≤≤ ...1


nixF i =)(

σµ−

=xz

|||| 1 iiii FyF φφ −− −

{ } 107.0|||,| 1exp =−−= − iiii FFMaxD φφ



Comando a utilizar con R: • ks.test(x, pnorm, mean(x), sd(x)): Test de Kolmogorov-Smirnov

t4 cba continuas - rua, repositorio institucional de la ... · contrastes de bondad de ajuste de...

Documents