documentt4

13) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo.

Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (Cataluña. Junio 1996).

x = nº de impresos de la empresa Ay = nº de impresos de la empresa B

Max z = 5x + 7ys.a.: x 120 y 100

x+y 150

x 0

y 0

1.- Planteamiento del problema

13) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (Cataluña. Junio 1996).


Max z = 5x + 7ys.a.: x 120 y 100 x+y 150 x 0 y 0

2.- Representar la región factible (rectas asociadas a las restricciones).

X = 120X = 120

xx yy

120120 00

120120 200200

y = 100y = 100

xx yy

00 100100

200200 100100

x+y = 150x+y = 150

xx yy

00 150150

150150 00




Max z = 5x + 7ys.a.: x 120 y 100 x+y 150 x 0 y 0


X = 120X = 120

xx yy

120120 00

120120 200200

y = 100y = 100

xx yy

00 100100

200200 100100

x+y = 150x+y = 150

xx yy

00 150150

150150 00


Como (0,0) verifica todas las tres primeras desigualdades, y las restricciones triviales restringen la solución al primer cuadrante, la región factible es la sombreada en la figura:

(120,0)

(120,200)

(200,100)(0,100)

(0,150)

(150,0)



Max z = 5x + 7ys.a.: x 120 y 100 x+y 150 x 0 y 0


X = 120X = 120

xx yy

120120 00

120120 200200

y = 100y = 100

xx yy

00 100100

200200 100100

x+y = 150x+y = 150

xx yy

00 150150

150150 00


3.- Calcular los vértices de la región factible y evaluar la función objetivo en ellos:

VérticeVértice CoordenadasCoordenadas Valor de la función objetivoValor de la función objetivo

AA (0,0)(0,0) zzAA = 5·0+7·0=0 = 5·0+7·0=0

BB (0,100)(0,100) zzBB = 5·0+7·100 = 700 = 5·0+7·100 = 700

C*C* (50,100)(50,100) zzCC = 5·50+7·100 = 950 = 5·50+7·100 = 950

D*D* (120,30)(120,30) zzDD = 5·120+7·30 = 810 = 5·120+7·30 = 810

EE (120,0)(120,0) zzEE = 5·120+7·0 = 600 = 5·120+7·0 = 600

*Resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.*Resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

A

B C

D

E

Solución: Para obtener el máximo beneficio tendrá que repartir 50 folletos de la empresa A y 100 folletos de la empresa B, alcanzando unos ingresos máximos de 950 ptas.

14) En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá produccir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 1996)

x = nº de bombillas normalesy = nº de bombillas halógenas

Max z = 450x + 600ys.a.: x 400 y 300

x+y 500

x 0

y 0


14) En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá

produccir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 1996)


Max z = 450x + 600ys.a.: x 400 y 300 x+y 500 x 0 y 0


x = 400x = 400

xx yy

400400 00

400400 200200

y = 300y = 300

xx yy

00 300300

300300 300300

x+y = 500x+y = 500

xx yy

00 500500

500500 00


14) En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se venden toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá produccir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 1996)




x = 400x = 400

xx yy

400400 00

400400 400400

y = 300y = 300

xx yy

00 300300

300300 300300

x+y = 500x+y = 500

xx yy

00 500500

500500 00

(400,0)

(400,400)

(300,300)(0,300)

(0,500)

(500,0)


Max z = 450x + 600ys.a.: x 400 y 300 x+y 500 x 0 y 0

14) En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá produccir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 1996)





AA (0,0)(0,0) zzAA = 450·0+600·0=0 = 450·0+600·0=0

BB (0,300)(0,300) zzBB = 450·0+600·300=180000 = 450·0+600·300=180000

C*C* (200,300)(200,300) zzCC = 450·200+600·300=270000 = 450·200+600·300=270000

D*D* (400,100)(400,100) zzDD = 450·400+600·100 =240000 = 450·400+600·100 =240000

EE (400,0)(400,0) zzEE = 450·400+600·0 =180000 = 450·400+600·0 =180000


Solución: Para obtener la máxima facturación tendrá que producir 200 bombillas normales y 300 bombillas halógenas, alcanzando una facturación máxima de 270000 ptas.

(400,0)

(400,400)

(300,300)(0,300)

(0,500)

(500,0)

x = 400x = 400

xx yy

400400 00

400400 400400

y = 300y = 300

xx yy

00 300300

300300 300300

x+y = 500x+y = 500

xx yy

00 500500

500500 00

A

B C

D

E


Max z = 450x + 600ys.a.: x 400 y 300 x+y 500 x 0 y 0

15) Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero menos de 200.En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B.¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias?¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?

(Murcia. Junio 1991)

x = nº de vuelos avión Ay = nº de vuelos avión B

Max z = 300000x + 200000ys.a.: x y x 120 x+y 60

x 0y 0


x+y 200

15) Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea

mínimo? (Murcia. Junio 1991)




Max z = 300000x + 200000ys.a.: x y x 120 x+y 60

x 0y 0

x+y 200

x = yx = y

xx yy

00 00

200200 200200

x = 120x = 120

xx yy

120120 00

120120 200200

x+y = 60x+y = 60

xx yy

00 6060

6060 00

x+y = 200x+y = 200

xx yy

00 200200

200200 00

15) Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 1991)



La región factible es la sombreada en la figura:

(120,0)

(120,200)

(200,200)

(0,200)

(0,0)

(200,0)

x = yx = y

xx yy

00 00

200200 200200

x = 120x = 120

xx yy

120120 00

120120 200200

x+y = 60x+y = 60

xx yy

00 6060

6060 00

x+y = 200x+y = 200

xx yy

00 200200

200200 00


Max z = 300000x + 200000ys.a.: x y x 120 x+y 60

x 0y 0

x+y 200

(0,60)

(60,0)



(120,0)

(120,200)

(200,200)

(0,200)

(0,0)

(200,0)

x = yx = y

xx yy

00 00

200200 200200

x = 120x = 120

xx yy

120120 00

120120 200200

x+y = 60x+y = 60

xx yy

00 6060

6060 00

x+y = 200x+y = 200

xx yy

00 200200

200200 00


Max z = 300000x + 200000ys.a.: x y x 120 x+y 60

x 0y 0

x+y 200



AA (60,0)(60,0) zzAA = = 300000·60+200000·0=18000000300000·60+200000·0=18000000

BB (30,30)(30,30) zzBB = = 300000·30+200000·30 =15000000300000·30+200000·30 =15000000

C*C* (100,100)(100,100) zzCC = = 300000·100+200000·100 =50000000300000·100+200000·100 =50000000

D*D* (120,80)(120,80) zzDD = = 300000·120+200000·80 =52000000300000·120+200000·80 =52000000

EE (120,0)(120,0) zzEE = = 300000·120+200000·0 =36000000300000·120+200000·0 =36000000


Solución: Para obtener las máximas ganancias tendrán que realizar 120 vuelos el avión A y 80 vuelos el avión B, alcanzando unas ganancias máximas de 52000000 de ptas.

A

B

C

D

E

15) Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 1991)

16) Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? (Universidades de Castilla- La Mancha. Junio 1996)

x = unidades de camionesy = unidades de automóviles

Max z = 6000000x + 20000000y

s.a.: 7x + 2y 300

x 0

y 0


3x+3y 270

Op. / díaOp. / día Nave ANave A Nave BNave B

Camiones (x)Camiones (x) 77 33

Automóviles (y)Automóviles (y) 22 33

RestriccionesRestricciones <=<= <=<=

300300 270270

16) Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? (Universidades de Castilla- La Mancha. Junio 1996) 1.- Planteamiento del problema


Max z = 6000000x + 20000000ys.a.: 7x + 2y 300

x 0y 0

3x+3y 270


7x+2y =3007x+2y =300

XX yy

00 150150

2020 8080

3x+3y=2703x+3y=270

xx yy

00 9090

9090 00

16) Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? (Universidades de Castilla- La Mancha. Junio 1996)



Max z = 6000000x + 20000000ys.a.: 7x + 2y 300

x 0

y 0

3x+3y 270


7x+2y =3007x+2y =300

XX yy

00 150150

4040 1010

3x+3y=2703x+3y=270

xx yy

00 9090

9090 00

(90,0)

(0,90)

(40,10)

(0,150)


16) Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para

maximizar las ganancias? (Universidades de Castilla- La Mancha. Junio 1996)



Max z = 6000000x + 20000000ys.a.: 7x + 2y 300

x 0

y 0

3x+3y 270


7x+2y =3007x+2y =300

XX yy

00 150150

4040 1010

3x+3y=2703x+3y=270

xx yy

00 9090

9090 00

(90,0)

(0,90)

(40,10)

(0,150)

A

B

C

D



AA (0,0)(0,0) zzAA = = 6000000·0+2000000·0=06000000·0+2000000·0=0

BB (0,90)(0,90) zzBB = = 6000000·0+2000000·90 =1800000006000000·0+2000000·90 =180000000

C*C* (24,66)(24,66) zzCC = = 6000000·24+2000000·66 =2760000006000000·24+2000000·66 =276000000

DD (300/7,0)(300/7,0) zzDD = = 6000000·300/7+2000000·0 =257142857,16000000·300/7+2000000·0 =257142857,1


Solución: Para obtener las máximas ganancias tendrán que producir 24 camiones y 66 automóviles, alcanzando unas ganancias máximas de 276000000 ptas.

17) Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27’5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla.El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades de Castilla y León. Septiembre 1997)

x = docenas de pasteles Py = docenas de pasteles Q

Max z = 20x + 30y

s.a.: 3x + 6y 150

x 0y 0


x+0,5y 22

IIngredientes por docenangredientes por docena HarinaHarina AzúcarAzúcar Mant.equillaMant.equilla

Pasteles P: (x)Pasteles P: (x) 33 11 11

Pasteles Q: (y)Pasteles Q: (y) 66 0,50,5 11

RestriccionesRestricciones <=<= <=<= <=<=

150150 2222 27,527,5 x+y 27,5




Max z = 20x + 30y

s.a.: 3x + 6y 150

x 0y 0

x+0,5y 22 x+y 27,5

3x+6y =1503x+6y =150

xx yy

00 2525

5050 00

x+0,5y=22x+0,5y=22

xx yy

00 4444

2222 00


x+y=27,5x+y=27,5

xx yy

00 27,527,5

27,527,5 00




Max z = 20x + 30y

s.a.: 3x + 6y 150

x 0y 0

x+0,5y 22 x+y 27,5

3x+6y =1503x+6y =150

xx yy

00 2525

5050 00

x+0,5y=22x+0,5y=22

xx yy

00 4444

2222 00


x+y=27,5x+y=27,5

xx yy

00 27,527,5

27,527,5 00

(22,0)

(0,44)

(50,0)

(0,25)

(0,27.5)

(27.5,0)




Max z = 20x + 30y

s.a.: 3x + 6y 150

x 0y 0

x+0,5y 22 x+y 27,5

3x+6y =1503x+6y =150

xx yy

00 2525

5050 00

x+0,5y=22x+0,5y=22

xx yy

00 4444

2222 00


x+y=27,5x+y=27,5

xx yy

00 27,527,5

27,527,5 00

(22,0)

(0,44)

(50,0)

(0,25)

(0,27.5)

(27.5,0)



AA (0,0)(0,0) zzAA = = 20·0+30·0=020·0+30·0=0

BB (0,25)(0,25) zzBB = = 20·0+30·25=75020·0+30·25=750

C*C* (5,22.5)(5,22.5) zzCC = = 20·5+30·22,5=77520·5+30·22,5=775

D*D* (17.5,10)(17.5,10) zzEE = = 20·17,5+30·10=65020·17,5+30·10=650

EE (22,0)(22,0) zzEE = = 20·22+30·0=44020·22+30·0=440


Solución: Para obtener las máximas ganancias tendrá que hacer 5 docenas de pasteles de tipo P y 22 docenas y media de tipo Q, alcanzando unas ganancias máximas de 775 unidades monetarias.

C

D

EA

B

18) Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 150 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el coste máximo y mínimo de la producción diaria. (La Laguna. 1992)

x = nº de rotuladores clase Ay = nº de rotuladores clase B

Máx/Min z = 200x + 150y

s.a.: x y + 1000

x 0y 0


x + y 3000 y 1000



Máx/Min z = 200x + 150y

s.a.: x y + 1000

x 0y 0


x + y 3000 y 1000

x – y = 1000x – y = 1000

xx yy

10001000 00

20002000 10001000

x+y=3000x+y=3000

xx yy

00 30003000

30003000 00


y =1000y =1000

XX YY

00 10001000

20002000 10001000




Máx/Min z = 200x + 150y

s.a.: x y + 1000

x 0y 0

x + y 3000

y 1000

x – y = 1000x – y = 1000

xx yy

10001000 00

20002000 10001000

x+y=3000x+y=3000

xx yy

00 30003000

30003000 00


y =1000y =1000

XX YY

00 10001000

20002000 10001000

(2000,0)

(0,44)

(2000,1000)

(1000,0)

(0,1000)

(2000,1000)




Máx/Min z = 200x + 150y

s.a.: x y + 1000

x 0y 0

x + y 3000

y 1000

x – y = 1000x – y = 1000

xx yy

10001000 00

20002000 10001000

x+y=3000x+y=3000

xx yy

00 30003000

30003000 00


y =1000y =1000

XX YY

00 10001000

20002000 10001000

(2000,0)

(0,3000)

(2000,1000)

(1000,0)

(0,1000)

(2000,1000)



AA (0,1000)(0,1000) zzAA = = 200·0+150·1000=150000200·0+150·1000=150000

BB (0,3000)(0,3000) zzBB = = 200·0+150·3000=450000200·0+150·3000=450000

C*C* (2000,1000)(2000,1000) zzCC = = 200·2000+150·1000=550000200·2000+150·1000=550000


Solución: El máximo coste se da cuando se producen 2000 rotuladores de la clase A y 1000 rotuladores de la clase B, siendo dicho coste máximo 550000 ptas.

A

B

C

Solución: El mínimo coste se da cuando se producen 1000 rotuladores de la clase B, siendo dicho coste mínimo 150000 ptas.

25) Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. ¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? (Valencia. 1993)

x = nº de paquetes de abono Ay = nº de paquetes de abono B

Min z = 15x + 24y

s.a.: 4x + y 4

x 0y 0


6x + 10y 23 x + 6y 6

Marca

K P N Precio

A 4 6 1 15

B 1 10 6 24

Restr.

4 23 6



Min z = 15x + 24y

s.a.: 4x + y 4

x 0y 0


6x + 10y 23 x + 6y 6

4x + y = 44x + y = 4

xx yy

11 00

00 44

6x + 10y = 236x + 10y = 23

xx yy

00 23/1223/12

23/623/6 00


x + 6y =6x + 6y =6

XX YY

00 11

66 00



Min z = 15x + 24ys.a.: 4x + y 4

x 0

y 0


6x + 10y 23

x + 6y 6

4x + y = 44x + y = 4

xx yy

11 00

00 44

6x + 10y = 236x + 10y = 23

xx yy

00 23/1223/12

23/623/6 00


x + 6y =6x + 6y =6

XX YY

00 11

66 00

(0,6)

(0,1)

(0,4)

(1,0)

(0,23/10)

(23/6, 0)

Como (0,0) no verifica ninguna de las tres primeras desigualdades, y las restricciones triviales restringen la solución al primer cuadrante, la región factible es la sombreada en la figura (observar que es una región factible no acotada):



Min z = 15x + 24ys.a.: 4x + y 4

x 0

y 0


6x + 10y 23

x + 6y 6

4x + y = 44x + y = 4

xx yy

11 00

00 44

6x + 10y = 236x + 10y = 23

xx yy

00 23/1023/10

23/623/6 00


x + 6y =6x + 6y =6

XX YY

00 11

66 00

(0,6)

(0,1)

(0,4)

(1,0)

(0,23/10)

(23/6, 0)

Como la región es no acotada se debe dibujar la recta de nivel f(x,y) = 0, es decir: 15x + 24y = 0, para ello necesitaremos una tabla de valores:

15x + 24y = 015x + 24y = 0

xx yy

00 00

-2-2 1,251,25

Se observa que si trasladamoshacia arriba la recta de nivel (discontinua), el valor de la función objetivo aumenta, con lo que el valor óptimo será el primer punto de la región factible que alcance la traslación de la recta de nivel.Este punto es el punto P (en negro),que se obtiene calculando el puntode corte entre las rectas azul y verde es el (1/2,2), siendo el valor óptimo z = 15·0,5 + 2·24 = 7,5 + 48 = 55,5

P

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