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Tabla de contenido Página
Ecuaciones exactas y lineales 3
Ecuaciones diferenciales exactas 3
Teorema 4
Solución de una ecuación diferencial exacta 6
Ecuaciones lineales 12
Solución de una ecuación lineal 12
Resumen 19
Bibliografía recomendada 19
Párrafo nexo 20
Autoevaluación formativa 21
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Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
JAIME PRECIADO LOPEZ
Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.
Diseño instruccional y orientación a cargo de
MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
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Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Santa Fe de Bogotá, D.C.
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Ecuaciones exactas y lineales En este fascículo vamos a continuar el trabajo con las ecuaciones dife-
renciales de primer orden; aprenderemos a reconocer y a solucionar 2
nuevos tipos de ecuaciones, las ecuaciones diferenciales exactas y las
ecuaciones diferenciales lineales; cada uno de estas clases de ecuacio-
nes las trabajaremos por separado. Comenzaremos con las ecuaciones
exactas.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Reconoce la definición de ecuación diferencial exacta.
Determina si una ecuación es exacta o no.
Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales exactas.
Reconoce la forma estándar de una ecuación diferencial lineal.
Halla correctamente el factor de integración para una ecuación dife-
rencial lineal.
Resuelve de forma correcta ecuaciones diferenciales lineales.
Ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuación de la forma
0 dyyxNdxyxM ),(),(
se denomina ecuación diferencial exacta si el lado izquierdo de esta
ecuación corresponde a la derivada total de alguna función ),( yxf .
Ejemplo
La ecuación 0 xdyydx es una ecuación diferencial exacta por-
que el primer miembro de la ecuación es la derivada de la función
xyyxf ),( , es decir,
xdyydxxyd )(
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4
Ejemplo
La ecuación 08445 3 dyyxdxyx )()( es una ecuación dife-
rencial exacta porque
dyyxdxyxyyxxd )()(342 844524
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El teorema que sigue a continuación, nos ayuda a reconocer fácilmente
una ecuación diferencial exacta.
Teorema
Sean ),( yxM y ),( yxN funciones continuas, con derivadas parcia-
les de primer orden, continuas en alguna región R del plano yx, . En-
tonces una condición necesaria y suficiente para que
0 dyyxNdxyxM ),(),( sea una función diferencial exacta es:
x
N
y
M
La demostración de este teorema la puedes encontrar en la bibliografía
recomendada. Veamos ahora algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo
Veamos si la ecuación diferencial 04232 22 dyyxdxxy )()(
es una ecuación exacta.
Identifiquemos 32 2 xyM y 42 2 yxN , ahora si derivamos
haciendo
y
M
y
x
N
tenemos
5
5
x
Nyx
y
M
4
Por tanto, la ecuación dada es exacta.
Ejemplo
Veamos si la ecuación diferencial 01
dyyxy
dxeyyxy
ln)ln(
es exacta.
)ln(xy
eyyM y
yx
yN ln
1
derivando tenemos:
xyxey
y
M
1ln
yx
Nln
de donde
x
N
y
M
Por tanto la ecuación diferencial no es exacta.
Ejemplo
La ecuación diferencial 011
dyxdx
x
yx )ln(ln es exac-
ta. Veamos
x
yxN ln1 y )ln( xM 1
5
6
xy
N 1
y
xx
M 1
, lo que indica que
x
M
y
N
y por tanto la ecuación diferencial dada es exacta.
Solución de una ecuación diferencial exacta
A continuación describimos paso a paso el método de solución de una
ecuación diferencial exacta.
Dada la ecuación 0 dyyxNdxyxM ),(),(
Verifiquemos, en primer lugar, que se trate de una ecuación diferencial
exacta, esto es:
x
N
y
M
podemos suponer entonces que existe una función f tal que
),( yxMx
f
por tanto podemos encontrar f integrando ambos lados de la ecua-
ción con respecto a x y manteniendo y constante, lo cual correspon-
de a:
)(),(),( ygdxyxMyxf (1)
donde )( yg es la constante de integración en términos de y ; ahora si
derivamos ),( yxf con respecto a y , debemos obtener ),( yxN
así:
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),(
)(),(
)(),(
'
yxN
ygdxyxMy
ygdxyxMyy
f
de donde
dxyxM
yyxNyg ),(),()(
'
Si integramos esta última expresión respecto a y obtenemos el valor
de )( yg que al remplazarlo en (1) nos permite encontrar, en su totali-
dad, la función ),( yxf que corresponde a la solución de nuestra
ecuación diferencial exacta. Veamos algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo
Solucionemos la ecuación 01342 )()( ydxx . Verifiquemos
si es una ecuación diferencial exacta:
x
N
y
M
0
por tanto la ecuación es exacta. Ahora procedamos a resolverla.
Supongamos que: 42
xyxM
x
f),(
es decir: 42
x
x
f
Integremos a los dos lados de esta expresión respecto a x y sumemos
la “constante” )( yg
)(),( ygxxyxf 42 (1)
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Ahora derivemos ),( yxf respecto a y e igualémosla a ),( yxN
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yyg
y
f)(
'
Si integramos con respecto a y esta expresión, encontramos el valor
de )( yg
cyy
yg 2
3 2
)(
si reemplazamos el valor de )( yg en (1) tenemos:
cyy
xxyxf 2
34
2
2),(
de donde podemos escribir como solución de la ecuación diferencial
dada:
cyy
xx 2
34
22
Ejemplo
Resolvamos la ecuación 02
2
2
dyy
xdx
y
x. Verifiquemos que se tra-
te de una ecuación exacta.
y
xyxM
2),( y
2
2
y
xyxN ),(
2
2
y
x
y
M
y
2
2
y
x
x
N
por tanto:
x
N
y
M
Resolvamos esta ecuación diferencial exacta suponiendo que:
5
9
y
x
x
f 2
Integrando respecto a x tenemos:
)(),( ygy
xyxf
2
(1)
Si derivamos (1) respecto a y obtenemos:
)('
ygy
x
x
f
2
2
Igualando a ),( yxN
)('
ygy
x
y
x
2
2
2
2
De donde 0)('
yg .
Al integrar esta expresión tenemos:
cyg )(
donde c es una constante arbitraria. Si reemplazamos en (1) tenemos:
cy
xyxf
2
),(
de donde podemos escribir como solución a nuestra ecuación
cy
x
2
Ejemplo
Resolvamos la ecuación: 262 xyxe
dx
dyx
x
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La integral de dxxex
se realiza por partes ha-
ciendo xu y
dxedvx
podemos reescribir esta ecuación como:
062 2 dxxyxexdyx
)(
veamos si esta es una ecuación exacta:
)(262 xyxeM
x
xN
1
y
M 1
x
N
entonces:
x
N
y
M
por tanto la ecuación dada corresponde a una ecuación diferencial
exacta, vamos a resolverla:
)(262 xyxe
x
f x
integrando respecto a x obtenemos:
dxxyxeyxfx
)(),(262
)(),( ygxyxexeyxf
xx 3222 (1)
Si derivamos (1) respecto a y obtenemos:
xyxNygxy
f
),()('
por tanto:
0
)('
)('
yg
xygx
así cyg )(
Si reemplazamos en (1) obtenemos:
5
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cxyxexeyxfxx 3222),(
que podemos escribir como:
cxyxexexx 3222
9.1
a. Determina si la ecuación dada es exacta; si lo es, resuélvela:
1. 062 dyyxdxyx )()(
2. 0 dyyyxxdxysenxseny )cos(cos)(
3. 033431
2 3
2 xysenx
x
y
dx
dyx
xy )cos(
4. 02 dyyxxdxyxyx )())((
5. 023 223 dyxyxydxxsenxyy )cos()(
6. 03 233 dyxydxyx )(
7. 023 32 dyyxexdxeyxyy
)()(
8. 091
1 23
2
32
yx
dy
dx
xyx
9. 0 dyyxdxysenxsenx )cos()cos())()((tan
10. 0523333 dyydxxsenxx )()cos(
b. Resuelve la ecuación diferencial con la condición inicial dada
11. 11con 012 22 )()()( ydyxxydxyx
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Ecuaciones lineales
Decimos que una ecuación diferencial es lineal si la podemos escribir
de la forma:
)()( xQyxPdx
dy
donde P(x) y Q(x) son expresiones en términos de la variable x. Son
ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales:
)()(')
')
cos)
)
xfyxfyd
yeyc
xydx
dyb
x
xseny
xdx
dya
x
3
32
2
2
Solución de una ecuación lineal
Para solucionar la ecuación lineal:
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Tomamos )(xP y evaluamos dxxp
e)(
; este término es llamado el
Factor de Integración; luego multiplicamos ambos miembros de la
ecuación por el factor de integración obteniéndose:
)()()()()(
xQeyxPedx
dye
dxxpdxxpdxxp (2)
Si observas con atención puedes reconocer el primer miembro de la
ecuación como la derivada de dxxp
ye)(
, de donde podemos reescribir
la ecuación (2) como:
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dxxpdxxp
exQyedx
d )()(
)(
al integrar los dos miembros de esta ecuación obtenemos:
dxexQyedxxpdxxp
)()(
)(
y por tanto la solución y de la ecuación (1) es:
dxxp
dxxp
e
dxexQy
)(
)(
)(
Veamos algunos ejemplos de solución de ecuaciones lineales.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación xxyy sectan' . (1)
Esta es una ecuación diferencial lineal; identificamos xxP tan)( , el
factor de integración corresponde a:
xe
x
e
e
ee
dxxp
x
sx
xdxdxxp
cos
)(cos
)(
)ln(cos
cosln
tan)(
1
1
1
Cuando se calcula el factor de integración no es necesario uti-
lizar la constante al realizar la integral.
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14
Si ahora multiplicamos (1) por el factor de integración obtenemos:
xx
xxyy
x cossec
costan
cos
' 111
equivalente a:
xx
senxyy
x22
11
coscoscos
'
que podemos escribir como:
xx
ydx
d 21sec
cos
Integrando los dos lados de la ecuación tenemos:
xkxy
kxx
y
dxxx
y
cos)(tan
tancos
seccos
1
1 2
Podemos reescribir esta solución como xksenxy cos
Ejemplo
Resolvamos la ecuación:
xeyxxy )(
' 1 (1)
con la condición 0y cuando 1x .
podemos escribir esta ecuación como:
x
ey
x
xy
x
1' (2)
5
15
(2) corresponde a una ecuación lineal, donde
x
xxP
1)( ,
encontremos el factor de integración:
xxxx
xdxxP
xeedxee
ln)(
1
Si multiplicamos los dos miembros de (2) por el factor de integración
obtenemos:
x
exey
x
xxeyxe
xxxx
)(' 1
lo cual equivale a:
11 yxeyxexx
)('
(3)
El lado izquierdo de (3) corresponde a la derivada de yxex
, por tanto,
podemos escribir:
1)( yxedx
d x (4)
Si integramos (4) obtenemos:
cxyxe
dxyxe
x
x
1
de donde
xxe
cxy
(5)
Si reemplazamos la condición inicial 0y cuando 1x en (5) obte-
nemos:
e
c
10
5
16
de donde 1c .
Si reemplazamos en (5) podemos decir que la solución de nuestra
ecuación es:
xxe
xy
1
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferencia-
les corresponde a la física. Veamos una de estas utilidades en los circui-
tos.
En un circuito electrónico simple, como el que se muestra en la figura
No. 1, compuesto de un interruptor S, una resistencia R (medida en
ohms), un inductor con inductancia L (medida en Henrys) y una batería
o generador E que entrega al circuito un voltaje E(t) voltios en el tiempo
t, se cumple que:
)(tERIdt
dIL (1)
donde I corresponde a la corriente del circuito medida en amperios, es
decir
dt
dI representa el cambio de la corriente con respecto al paso del
tiempo después de cerrar el interruptor.
Figura 9.1. Circuito eléctrico sencillo.
La ecuación (1) corresponde a una ecuación diferencial lineal y por tan-
to podemos resolverla para valores de L, R y E(t) dados; veamos un
ejemplo.
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Ejemplo
Encontremos la corriente I en función del tiempo para el circuito que se
presenta a continuación; si el interruptor S se cierra en I = 0 cuando t =
0.
Figura 9.2. Circuito eléctrico para el ejemplo.
Si reemplazamos los valores de los elementos del circuito en la ecua-
ción (1) obtenemos:
1101 6 Idt
dI (2)
de donde nuestro factor de integración es:
tdt
ee6
6
1010
multiplicando (2) por el factor de integración:
ttteIe
dt
dIe
666 1010610 10
de donde:
tteIe
dt
d 66 1010
integrando a ambos lados de la ecuación obtenemos:
t
t
tt
tt
e
ceI
ceIe
dteIe
6
6
66
66
10
10
1010
1010
(3)
5
18
Así, si reemplazamos en (3) la condición inicial I = 0 cuando t = 0 tene-
mos:
c1
de donde (3) se convierte en
t
t
t
ee
etI
6
6
6
10
10
10
11
)(
Este resultado nos indica que si t aumenta )( t la corriente I(t) es
1 amperio.
9.2
1. Resuelve este mismo problema si:
a. Cambiamos la batería por un generador que proporcione un voltaje
tsentE 43)( voltios.
b. Quitamos la resistencia, es decir R = 0
2. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a. 02 ydx
dy
b. 1102 ydx
dy
c. 32 ydx
dyx
d. x
eydx
dy 3
e. 223 xyxy '
f. 12 xyyx'
g. yxdx
dy
h. 1 ysenxdx
dyxcos
5
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i. xseneyxxyx 21 )(
'
j. 021 dxxysenxdyx )tan()cos(
k. x
xeyxdx
dyx
221 )()(
l. 022 2 dyyxyxydx )(
m. 20205 )(, yydx
dy
n. 512 2 )(, yyxdy
dxy
En este fascículo hemos continuado nuestro estudio de las ecuaciones
diferenciales, hemos conocido y solucionado ecuaciones diferenciales
exactas y lineales de primer orden, además las hemos aplicado a la so-
lución de circuitos sencillos compuestos de resistencias, inductores y
fuentes de voltaje.
Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hall. Oc-
tava Edición. México 1997, Cap. 1 y 2
Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
Ed. Internacional – Thomson Editores. Sexta Edición. México 2000, Cap.
2. Secciones 2.4 y 2.5.
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20
En el próximo fascículo trabajaremos la solución de ecuaciones dife-
renciales por sustitución; veremos cómo al efectuar una sustitución
sencilla sobre algunas ecuaciones, éstas se pueden transformar en
ecuaciones de alguno de los tipos que hemos trabajado.
Puedes encontrar información sobre este tipo de ecuaciones en la bi-
bliografía recomendada en este fascículo.
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Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 9
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
1. Define:
a. Ecuación diferencial exacta
b. Factor de integración
2. Resuelve las ecuaciones diferenciales dadas:
a. 0223 322 dyyxysenxdxxyxxy )ln()cos(
ey )(0con
b. 10con 2 )(,cos)(tan'
yxyxy