Universidad Industrial de Santander Tratamiento de Señales Propiedades de la Transformada Unilateral de Laplace

Propiedad Señal Transformada unilateral de

Laplace

ROC Región de Convergencia

x(t) χ(s) Rx: Re{s}>b1 x1(t) χ1(s) Rx1:Re{s}>b2 x2(t) χ2(s) Rx2:Re{s}>b3

Linealidad q(t) = ax1(t) +bx2(t)

Q(s)=aχ1(s) + bχ2(s)

RQ al menos Rχ1 ∩Rχ2

Desplazamiento en el dominio de s

q(t) = eSo.tx(t) Q(s) = χ(s-so) RQ: Re{s}>(b1+ Re{so})

Escalamiento en Tiempo q(t) = x(at), a>0 Q (s) = (1/a)χ(s/a) RQ = a. Rχ Re{s}>a.b1

Conjugación q(t) = x*(t) Q (s) = x*(s*) RQ = Rχ Convolución(suponiendo que x1(t) y x2(t) son cero

para t<0)

q(t) = x1(t)* x2(t) Q (s) =χ1(s) χ2(s) RQ al menos Rχ1 ∩Rχ2

Diferenciación en el dominio del tiempo

q(t) = dx(t)/dt Q (s) = sχ(s) - x(0-) RQ al menos Rχ

Diferenciación en el dominio de s

q(t) = -tx(t) Q (s) = dχ(s)/ds RQ = Rχ

Integración en el dominio del tiempo

t

q(t) = ∫x(τ)dτ

0-

Q (s) = χ(s)/s RQ al menos Rχ∩(Re{s}>0)

Generalización de la Propiedad de

diferenciación en el dominio del tiempo

q(t) = dnx(t)/dtn

snχ(s)-sn-1x(0-)-… -sx(n-2)(0-)-x(n-1)(0-)

RQ al menos Rχ

TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL Si x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces:

x(0+) = lim sχ(s) s→∞

lim x(t) = lim sχ(s)

t→∞ s→0 NOTA: • Las ROC para las transformadas unilaterales de Laplace son siempre semiplanos derechos. • En esta transformada no se consideran las propiedades de reflejo y desplazamiento en el tiempo

Universidad Industrial de Santander Tratamiento de Señales Propiedades de la Transformada Z Unilateral

Propiedad Señal Transformada Z unilateral

ROC Región de

Convergencia x[n] χ(z) Rx: ⎮ z⎮ > v1 x1[n] χ1(z) Rx1: ⎮ z⎮ > v 2 x2[n] χ2(z) Rx2: ⎮ z⎮ > v 3

Linealidad q[n]= ax1[n]+bx2[n] Q(z)=aχ1(z)+ bχ2(z) RQ al menos Rχ1 ∩Rχ2

Retardo de tiempo q[n]= x[n-1] Q(z)= z-1χ(z)+x[-1] RQ al menos ⎮ z⎮ > v1

Avance en el tiempo q[n]= x[n+1] Q (z) =zχ(z)-zx[0] RQ al menos ⎮ z⎮ > v1

Escalamiento en el dominio de z

q[n]= ejω0nx[n] q[n]=Z0

n x[n] q[n]=an x[n]

Q (z) =χ(e-jω0z) Q (z) =χ(z/z0) Q (z) =χ(a-1z)

RQ = ⎮ z⎮ > v1

RQ = ⎮z⎮> v1. ⎮zo⎮

RQ = ⎮z⎮> v1. ⎮a⎮ Expansión en el tiempo q[n]=

x[n/m], n=mk 0 , n≠mk

Q (z) =χ(zm)

RQ =⎮ z⎮ > v1

1/m

Conjugación q[n]= x*[n] Q (z) =χ*(z*) RQ = Rχ Convolución(suponiendo que x1[n] y x2[n] son cero cuando n<0)

q[n]= x1[n]*x2[n] Q (z) =χ1(z) χ2(z) RQ al menos Rχ1 ∩Rχ2

Primera diferencia q[n]= x[n]-x[n-1] (1-z-1) χ1(z)-x[-1] RQ al menos Rχ ∩(⎢z⎢>0)

Acumulación n q[n]= ∑x[k]

k=0

Q (z) = χ(z)/(1-z-1) con x[n]=0 para n<0

RQ al menos Rχ ∩(⎢z⎢>1)

Diferenciación en el

dominio de z q[n]= - nx[n]

Q (z) = z.dχ(z)/dz RQ = Rχ

Generalización del retardo en el tiempo

q[n]= x[n-no] no >0

-1

z-n0[χ(z)+ ∑x[m]z-m] m=-no

RQ al menos ⎢z⎢>1

Generalización del adelanto en el tiempo

q[n]= x[n+no] no >0

no-1

zn0[χ(z)- ∑x[m]z-m] m=0

RQ al menos ⎢z⎢>1

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

x[0] = lim χ(z) z→∞ NOTA: • La ROC de cualquier transformada z unilateral siempre es el exterior de una circunferencia que

contiene el infinito. • En las transformadas racionales unilaterales el número de ceros ≤ número de polos. • No tiene significado establecer una propiedad de reflejo en el tiempo.

Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales Propiedades de la Transformada Bilateral de Laplace

Propiedad Señal Transformada de Laplace

ROC Región de Convergencia

)t(x )(sX 11 }Re{: bsaRX << )t(y )(sY 22 }Re{: bsaRY << )(tq )(sQ 33 }Re{: bsaRQ << Linealidad )()()( tyBtxAtq +=

)()()( sYBsXAsQ +=

YX

Q

RRmenosalR∩

Desplazamiento en el tiempo

)()( 0ttxtq −= 0)()( tsesXsQ −= XQ RR =

Desplazamiento en el dominio de s

)()( 0 txetq ts= )()( 0ssXsQ −= }Re{}Re{}Re{

}Re{

0101

0

sbssa

sRR XQ

+<<+

+=

Escalamiento en el tiempo

)()( taxtq = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

asX

asQ

||1)(

11 .}Re{.

.

basaa

RaR XQ

<<

=

Inversión de tiempo )()( txtq −= )()( sXsQ −=

11 }Re{ asb

RR XQ

−<<−

−=

Conjugación )()( * txtq = )()( ** sXsQ = XQ RR = Convolución

∫∞

∞−

−= ττ dtyxtq )()()(

)(.)()( sYsXsQ = YX

Q

RRmenosalR∩

Derivada en tiempo dt

tdxtq )()( = )()( sXssQ = XQ RmenosalR

Derivada en el dominio de s

)()( txttq −= ( )sXdsdsQ =)( XQ RR =

Integración en el tiempo ∫

∞−

=t

dxtq ττ )()( ( )sXs

sQ 1)( = ( )0}Re{ >∩ sR

menosalR

X

Q

Teoremas del valor inicial y final Si x(t) =0 para t<0 y x(t) no contiene impulsos o sus derivadas en t=0, entonces:

)()(

)()0(

0ssXlímtxlím

ssXlímx

st

s

→∞→

∞→

+

=

=

Propiedades de la Región de Convergencia ROC. x(t) ROC: Franja vertical continua del plano s, paralela al eje

imaginario, para la cual X(s) existe x(t) Duración Finita ROC: Plano s posiblemente sin s=∞ x(t) Lateral Derecha ROC: Semiplano Derecho x(t) Lateral Izquierda ROC: Semiplano Izquierdo

x(t) Bilateral ROC: Franja paralela al eje imaginario x(t) Absolutamente integrable ROC: Contiene el eje imaginario

X(s) Racional ROC: Está limitada por polos y no contiene ningún polo

Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales Propiedades de la Transformada Z Bilateral

Propiedad Señal Transformada Z ROC Región de Convergencia

][nx )(zX 11: vzrRX <<

][ny )(zY 22: vzrRY <<

][nq )(zQ 33: vzrRQ <<

Linealidad ][][][ nyBnxAnq += )()()( zYBzXAzQ +=

YX

Q

RRmenosalR∩

Desplazamiento en el tiempo

][][ 0nnxnq −= )()( 0 zXzzQ n−= XQ RR = Excepto por la posible adición o

eliminación del origen o del infinito Escalamiento en el dominio de z

][.][ 0 nxznq n= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

)(zzXzQ

1010

0

..

.

vzzrz

RzR XQ

<<

=

Inversión de tiempo ][][ nxnq −= ( )1)( −= zXzQ

( ) ( )11

1

/1/1 rzv

RR XQ

<<

= −

Escalamiento en el tiempo ⎩

⎨⎧ =

==nOtro

mknmnxnxnq m ,0

],/[][][ )(

( )mzXzQ =)( mm

mXQ

vzr

RR/1

1/1

1

/1

<<

=

Conjugación ][][ * nxnq = )()( ** zXzQ = XQ RR = Convolución

∑∞

−∞=

−=r

rnyrxnq ][][][ )(.)()( zYzXzQ =

YX

Q

RRmenosalR∩

Primera Diferencia ]1[][][ −−= nxnxnq ( ) )(1)( 1 zXzzQ −−= ( )0>∩ zR

menosalR

X

Q

Suma consecutiva ∑

∞−=

=n

kkxnq ][][ ( )zX

zzQ 11

1)( −−=

( )1>∩ zR

menosalR

X

Q

Derivada en el dominio de z

][][ nxnnq −= ( )zXdzdzzQ .)( = XQ RR =

Teorema del valor inicial Si x[n] =0 para n<0, entonces: )(]0[ zXlímx

z ∞→=

Propiedades de la Región de Convergencia ROC. x[n] ROC: Región circular continua del plano z, centrada en

el origen, para la cual X(z) existe x[n] Duración Finita ROC: Plano z posiblemente sin z = 0 y/o z =∝ x[n] Lateral Derecha ROC: Exterior de una circunferencia posiblemente sin z =∝ x[n] Lateral Izquierda ROC: Interior de una circunferencia posiblemente sin z = 0

x[n] Bilateral ROC: Anillo centrado en el origen x[n] Absolutamente sumable ROC: Contiene la circunferencia de radio 1

X(z) Racional ROC: Está limitada por polos y no contiene ningún polo

Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales Propiedades de la Transformada de Fourier de Señales continuas en el tiempo

Propiedad Señal Transformada de Fourier )t(x )j(X ω )t(y )j(Y ω )(tq )( ωjQ Linealidad )()()( tyBtxAtq += )()()( ωωω jYBjXAjQ +=

Desplazamiento en el tiempo )()( 0ttxtq −= 0)()( tjejXjQ ωωω −= Desplazamiento en frecuencia )()( 0 txetq tjω= ))(()( 0ωωω −= jXjQ Conjugación )()( * txtq = )()( * ωω jXjQ −= Inversión de tiempo )()( txtq −= )()( ωω jXjQ −= Escalamiento de tiempo y de frecuencia

0,)()( >= ataxtq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ajX

ajQ ωω

||1)(

Convolución ∫∞

∞−

−= τττ dtyxtq )()()(

)(.)()( ωωω jYjXjQ =

Multiplicación )()()( tytxtq = ( ) )(*21)( ωωπ

ω jYjXjQ =

Derivada en tiempo dt

tdxtq )()( = )()( ωωω jXjjQ =

Integración ∫∞−

=t

dxtq ττ )()( ( ) )0(1)( πωω

ω jXjXj

jQ +=

Derivada en frecuencia )()( txttq = ( )ω

ωω jX

ddjjQ =)(

Relación de Parseval ∫∫∞

∞−

∞

∞−

== ωωπ

djXdttxE tx 22)( )(21)(

Dualidad Tiempo Frecuencia

)t(f )(Gω

π2)( tG −

)(fω

)t(G )(f2 ωπ −

j Imag Par j Imag Impar

Real Impar Real Par

Real ImparReal Par

j Imag Parj Imag Impar

x(t) X(jω)

Universidad Industrial de Santander - Tratamiento de Señales Propiedades de la Serie de Fourier de Señales Discretas

Propiedad Señal Periódica Coeficientes de Fourier

Frec.

NPeriodonx ],[ NPeriodoak , N/20 πω =

NPeriodony ],[ NPeriodobk , 0ω NPeriodonq ],[ NPeriodock , 0ω Linealidad ][][][ nyBnxAnq += kkk bBaAc += 0ω Desplazamiento en el tiempo

][][ 0nnxnq −= 00 njkkk eac ω−= 0ω

Desplazamiento en frecuencia

][][ 0 nxenq njMω= Mkk ac −= 0ω

Conjugación ][][ * nxnq = kk ac −= * 0ω Inversión de tiempo ][][ nxnq −= kk ac −= 0ω Escalamiento en tiempo

⎩⎨⎧

==nOtro

mdemúltiplonmnxnxnq m ,0

],/[][][ )(

kk a

mc 1=

m0ω

Convolución periódica ∑>=<

−=Nr

rnyrxnq ][][][ kkk baNc = 0ω

Multiplicación ][][][ nynxnq = ∑

>=<−=

Nllklk bac 0ω

Primera diferencia ]1[][][ −−= nxnxnq ( ) kjk

k aec 01 ω−−= 0ω Suma Consecutiva

∑∞−=

=n

k

kxnq ][][ ( )01 ωjkk

k eac −−

= (Periódica

si 00 ),0 ω=a

Relación de Parseval ∑∑

>=<>=<

==Nk

kNn

nx anxN

P 22][ ][1

Simetría ½ Onda, para N par: Si x[n] = - x[n + N/2] ⇒ aK = 0 si k número par.

DUALIDAD

Tiempo Coeficientes de la serie de Fourier x[n] q[k]

N q[-n] x[k] q[n] x[-k]/N

j Imag Par

j Imag Impar

Real Impar

Real Par

Real Impar

Real Par

j Imag Par

j Imag Impar

x[n], Periodo N ak , Periodo N

Universidad Industrial de Santander Tratamiento de Señales Propiedades de las Series de Fourier de señales continuas

Propiedad Señal Periódica Coeficientes de Fourier Frecuencia TPeriodotx ),( ka T/20 πω = TPeriodoty ),( kb 0ω TPeriodotq ),( kc 0ω Linealidad )()()( tyBtxAtq += kkk bBaAc += 0ω Desplazamiento en el tiempo

)()( 0ttxtq −= 00 tjkkk eac ω−= 0ω

Desplazamiento en frecuencia

)()( 0 txetq tjMω= M entero

Mkk ac −= 0ω

Conjugación )()( * txtq = kk ac −= * 0ω Inversión de tiempo )()( txtq −= kk ac −= 0ω Escalamiento en tiempo 0,)()( >= ataxtq kk ac = 0ωa Convolución periódica ∫ −=

T

dtyxtq τττ )()()( kkk baTc = 0ω

Multiplicación )()()( tytxtq = ∑∞

−∞=−==

llklkkk babac * 0ω

Derivada en tiempo dt

tdxtq )()( = kk ajkc 0ω= 0ω

Integración ∫∞−

=t

dxtq ττ )()( 0ωjk

ac k

k = (Periódica si

00 ),0 ω=a

Relación de Parseval ∑∫∞

−∞=

==k

kT

tx adttxT

P 22)( )(1

DUALIDAD G(t), Período 2π S F q[k]

q[n] T F G(- ω), Período 2π

Si x(t) = - x(t + T/2) (Simetría de Media Onda). Entonces aK = 0 para k número par.

j Imag Par

j Imag Impar

Real Impar

Real Par

Real Impar

Real Par

j Imag Par

j Imag Impar

x(t) ak

Propiedades de la Transformada de Fourier de Señales discretas en el tiempo Propiedad Señal Transformada de Fourier

][nx )( ωjeX ][ny )( ωjeY ][nq )( ωjeQ Linealidad ][][][ nyBnxAnq += )()()( ωωω jjj eYBeXAeQ +=

Desplazamiento en el tiempo ][][ 0nnxnq −= 0)()( njjj eeXeQ ωωω −= Desplazamiento en frecuencia

][][ 0 nxenq njω= )()( )( 0ωωω −= jj eXeQ

Conjugación ][][ * nxnq = )()( * ωω jj eXeQ −= Inversión de tiempo ][][ nxnq −= )()( ωω jj eXeQ −= Escalamiento de tiempo

⎩⎨⎧

==nOtro

mdemúltiplonmnxnxnq m ,0

],/[][][ )(

)()( ωω jmj eXeQ =

Convolución ∑∞

−∞=

−=r

rnyrxnq ][][][ )()()( ωωω jjj eYeXeQ =

Multiplicación ][][][ nynxnq = ( )∫ −=π

θωθω θπ 2

)( )(21)( deYeXeQ jjj

Diferencia en tiempo ]1[][][ −−= nxnxnq ( ) )(1)( ωωω jjj eXeeQ −−= Suma consecutiva

∑∞−=

=n

k

kxnq ][][ ( )∑∞

∞−=

−

−+

−=

m

j

jj

j

meX

eXe

eQ

)2()(

)(1

1)(

0 πωδπ

ωω

ω

Derivada en frecuencia ][][ nxnnq = ( )ωω

ωjj eX

ddjeQ =)(

Relación de Parseval ∫∑ ==

∞

−∞= π

ω ωπ 2

22][ )(21][ deXnxE j

n

nx

Dualidad Transformada de Señales Discretas-Serie de Señales Continuas Tiempo Frecuencia

][nx )(Gω , periodo 2π )( tG − , periodo 2π ][kx

j Imag Par

j Imag Impar

Real Impar

Real Par

Real Impar

Real Par

j Imag Par

j Imag Impar

x[n] X(ejω)